SKKN-hướng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị trong đại số

A - ĐẶT VẤN ĐỀ
I-LỜI MỞ ĐẦU :
Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng.
Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp
học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong
mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển
những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả
năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư
tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân.
Ở trưòng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình
thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các
định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc
biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy
học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi
việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững
chắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài
tập thì việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng
của ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng. Do đó
việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình
giải toán là rất cần thiết và không thể thiếu được.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường
THCS tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế
dạy học tôi thấy: trong chương trình Toán THCS "Các bài toán về
cực trị trong đại số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý
nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này.Ở
THPT để giải quyết các bài toán về cực trị đại số người ta thường
1
dùng đến "công cụ cao cấp" của toán học là: đạo hàm của hàm số.
Ở THCS,
vì không có (hay nói chính xác hơn là không được phép dùng)

"công cụ cao cấp" của Toán học nói trên, nên người ta phải bằng
các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và
phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết các
bài toán loại này. Chính vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở THCS
không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi người học
phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức
cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống.
Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 những năm qua tôi nhận
thấy: phần "Các bài toán cực trị trong đại số" là một trong những
phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường
THCS. Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng tôi và những
trường tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú với loại
toán này, bởi lẽ các bài toán về cực trị đại số ở trường THCS
không theo một phương pháp nhất định nên các em rất lúng túng
khi làm toán về cực trị, các em không biết bắt đầu từ đâu và đi
theo hướng nào. Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toán cực
trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác.
Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế
nào để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toán
này". Với trách nhiệm của người giáo viên tôi thấy mình cần giúp
các em học tốt hơn phần này.
Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng
dạy của bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử
nghiệm, được sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là
những bài học sau những năm ở trường sư phạm. Tôi mạnh dạn
2
chọn nghiên cứu đề tài: "Hướng dẫn học sinh THCS giải các bài
toán cực trị trong đại số".
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi
gặp các bài toán cực trị đại số, giúp các em học tốt hơn. Đồng thời

hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận
dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa
học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất,
tốt nhất.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1, Đối với học sinh :. Thực trạng khi nhận chuyên môn phân
công dạy toán 8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy hụt hẩng trước
cách học của học sinh.
Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng
nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật
học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt
chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực
hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học sinh
lúng túng không biết chứng minh như thế nào.
Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện
pháp kết quả cho thấy.
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %
8 49 02 06 31 10
Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ hồ,
một sô học sinh làm được chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi.
Số còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải thích
bài toán như thế nào.
2, Đối với giáo viên :
3
Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì
người giáo viên là người chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ
tuân theo SGK mà dạy bài toán này đòi hỏi học sinh phải tư duy

tốt và phải thâu tóm được kiến thức đã học để tận dụng vào làm
bài tập .
Đôi khi giáo viên áp đặt gò bó các em phải thê này, phải thế
nọ mà không đưa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề.
Về phí học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng toán
mà các em rất ít được gặp chính vì lí do đó mà người thầy phải
tìm ra PP phù hợp nhất để học sinh có hứng học, bước đầu học
sinh làm quen với dạng bài toán “ Toán Cực chỉ” nên cảm thấy mơ
hồ phân vân tại sai lại phải làm như vậy. Nếu không biến đổi thì
có tìm được kết quả không. Từ những băn khoăn đó của học sinh
giáo viên khẳng định nếu không biến đổi như vậy thì không trả lời
yêu cầu của bài toán.
Sau đây tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm hướng dẫn học
sinh giải các bài toán cực trị trong đại số 8.
4
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I - CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc
miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến
(x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S mà ta có: P(x
0

, y
0
, z
0
)
≥
P(x, y, , z) hoặc
P(x
0
, y
0
, z
0
)
≤
P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc
nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
) trên miền S.
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)

∈
S còn gọi
là P đạt cực đại tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc P
ma x
tại (x
0
, y
0
, z
0
). Tương
tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S còn gọi là P
đạt cực tiểu tại (x
0
, y
0

, z
0
) hoặc P
min
tại (x
0
, y
0
, z
0
).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là
các cực trị của P trên miền S.
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó
là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng P
≥
k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của
các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
5
- Chứng tỏ rằng P
≤
k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của
các biến trên miền xác định S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên .

VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x
2
+ (x - 2)
2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:
Ta có x
2

≥
0 ; (x - 2)
2
≥
0 nên A
≥
0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng không?
Giải

:
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới
chứng tỏ rằng A
≥
0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra
dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng
thời:

x
2
= 0 và (x - 2)
2
= 0 .
Lời giải đúng là:
A = x
2
+ (x - 2)
2
= x
2
+ x
2
- 4x +4 = 2x
2
- 4x + 4
= 2(x
2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)
2
+ 2
Ta có: (x - 1)
2

≥
0 ,
∀
x

⇒
2(x - 1)
2
+ 2
≥
2
∀
x

⇒
A
≥
2
∀
x
Do đó A = 2
⇔
x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
3.

Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm
vững:
6
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh
bất đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a
2

≥
0, tổng quát: a
2k

≥
0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = 0
* -a
2

≤
0, tổng quát: -a
2k

≤
0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = 0

*
0
≥
a
. (Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = 0)

* -
aaa
≤≤
. (Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = 0)
*
baba
+≥+
(Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
ab
≥
0)
*
baba
−≥−
(Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a
≥
b
≥
0 hoặc a
≤
b
≤
0)
*
2

1
≥+
a
a
,
∀
a >0 và
2
1
−≤+
a
a
,
∀
a <0
*
ab
baba
≥






+
≥
+
2
2

22

∀
a,b (Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = b)
* a
≥
b, ab >0
⇒

ba
11
≤
(Xảy ra dấu đẳng thức
⇔
a = b)
II - CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)

Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo)
tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài
7
toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến
thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó. Sau đây là
một số dạng cơ bản thường gặp:
DẠNG 1

: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.

Ví dụ 1

: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x
2
- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
Hướng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải
biến đổi về dạng A(x)
≥
k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và
chỉ ra trường hợp xảy ra đẳng thức
Lời giải

: A(x) = x
2
- 4x+1
= x
2
- 2.2x+1
= (x
2
- 2.2x+4)- 3
= (x- 2)
2

- 3
Với mọi giá trị của x: (x - 2)
2

≥
0 nên ta có:
A(x) = (x- 2)
2
- 3
≥
-3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2
Đáp số

: A(x)
nhỏ nhất
= - 3 với x=2
Ví dụ 2

:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x
2
- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
8
Hướng dẫn giải

:

Gợi ý

: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải
biến đổi đưa B(x) về dạng B(x)
≤
k (k là hằng số) với mọi giá trị
của biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy
ra đẳng thức
Lời giải

: B(x) = -5x
2
– 4x+1
= -5 (x
2
+
5
4
x) +1
= -5
1
5
2
5
2
5
2
.2
22
2

+














−






++
xx
=
1
25
4
5
2

5
2
+








−






+−
x
= -5
1
5
4
5
2
2
++







+
x
= -5
5
9
5
2
2
+






+
x
Với mọi giá trị của x:
2
5
2







+
x

≥
0 nên -5
2
5
2






+
x

≤
0
suy ra: B(x)= -5
2
5
2







+
x

+
5
9

≤

5
9
Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)=
5
9
, khi x = -
5
2
Đáp số

: B(x)
lớn nhất
=
5
9
với x = -
5
2
Ví dụ 3

:

(Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+bx + c
9
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải
biến đổi sao cho P = a.A
2
(x) + k. Sau đó xét với từng trường hợp
a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải

:
P = a.A
2
(x) + k
= a (x
2
+
a
b
x) + c

2
2
2
2
2
442
2
a
b
c
a
b
a
b
xxa
−+








++=

k
a
b

xa
+






+=
2
2
với
2
2
4a
b
ck
−=

Do
0
2
2
≥







+
a
b
x
nên:
+Nếu a>0 thì
0
2
2
≥






+
a
b
xa
do đó P
≥
k
+Nếu a<0 thì
0
2
2
≥







+
a
b
xa
do đó P
≤
k
Vậy khi x = -
a
b
2
thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0)
DẠNG 2

: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,GIÁ TRI LỚN
NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO:
10
Ví dụ4

:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x
2
+ x + 1)
2
Hướng dẫn giải

:
(?) Ta nhận thấy A = (x
2
+ x + 1)
2

≥
0, nhưng giá trị nhỏ nhất
của A có phải bằng 0 hay không? Vì sao?
Trả lời

: Mặc dù A
≥
0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A không
phải bằng 0 vì: x
2
+ x +1 ≠ 0
Do đó A
mi n
 (x
2
+ x +1)
min

(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x
2
+ x +1? và tìm giá trị nhỏ
nhất của A?
Trả lời:

Ta có x
2
+ x +1 = x
2
+ 2x.
2
1
+
4
1
-
4
1
+ 1
=
2
2
1






+x
+
4
3

≥
4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của x
2
+ x + 1 bằng
4
3
với x = -
2
1
Trả lời:

Giá trị nhỏ nhất của A bằng
16
9
4
3
2
=






với x = -
2
1
Ví dụ 5

:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
4
– 6x
3
+ 10x
2
– 6x + 9
Hướng dẫn giải

:
Gợi ý:

-Hãy viết biểu thức dưới dạng A
2
(x) + B
2
(x)
≥
0
-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức bằng bao nhiêu?
Lời giải

: x
4
- 6x
3

+ 10x
2
- 6x +9
11
= x
4
- 2.x
2
.3x + (3x)
2
+ x
2
- 2x.3 +3
2

= (x
2
- 3x)
2
+ (x - 3)
2

≥
0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
x
2
–3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
  x = 3  x = 3
x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số

: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
DẠNG 3

: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ6

: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ι x - 1ι + ιx - 3ι
Hướng dẫn giải

:
Gợi ý:

Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng
ta phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối
của một biểu thức.
A Nếu A
≥
0
ιAι =
- A Nếu A
≤
0
Cách 1

: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A
trong các khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các

khoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải
+ Trong khoảng x < 1 thì ιx - 2ι = - (x -2) = 2 - x
ιx - 5ι = - (x - 5) = 5 - x
12

⇒
A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x
Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x >3
+ Trong khoảng 2
≤
x
≤
5 thì ιx - 2ι = x - 2
ιx - 5ι = - (x - 5) = 5 - x
⇒
A = x - 2 + 5 - x = 3
+ Trong khoảng x > 5 thì ιx - 2ι = x - 2
ιx - 5ι = x - 5
⇒
A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy
giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2
≤
x
≤
5
Đáp số:

A
min
= 3 khi và chỉ khi 2
≤
x
≤
5
Cách 2

: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một
tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. Từ đó tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Lời giải:

A = ιx - 2ι+
5
−
x
= ιx - 2ι+
x
−
5

Ta có: ιx - 2ι + ι5 - xι
≥
ιx - 2 + 5 - xι = 3
ιx - 2ι
≥
0
A = 3   (x - 2) (5 - x)

≥
0
ι5 - xι
≥
0
 2
≤
x
≤
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2
≤
x
≤
5
13
DẠNG 4

: BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ
TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI


Ví dụ 7

: Tìm giá trị lớn nhất của M =
5 4x - 4x
3
2
+

Hướng dẫn giải

:
Gợi ý

: Sử dụng tính chất a
≥
b, ab >0
⇒

ba
11
≤
hoặc
theo quy tắc so sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều
dương.
Lời giải:
Xét M =
5 4x - 4x
3
2
+
=
414)2(
3
2
++− xx
=
4 1)-(2x
3

2
+
Ta thấy (2x - 1)
2

≥
0 nên (2x - 1)
2
+ 4
≥
4
Do đó:
4 1)-(2x
3
2
+
≤

4
3
Trả lời:

Vậy M lớn nhất bằng
4
3
khi 2x – 1 = 0 => x =
2
1
Đáp số

: M
lớn nhấ t
=
4
3
với x =
2
1
Ví dụ 8

: Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
4 - x-2x
1
2
Hướng dẫn giải

:
Ta có: B =
4 - x-2x
1
2
= -
4 2x - x
1
2
+
= -
3 1) -(x
1
2

+
Vì (x - 1)
2

≥
0 => (x + 1)
2
+ 3
≥
3
=>
3 1) -(x
1
2
+

≤

3
1
=> -
3 1) -(x
1
2
+

≥
-
3
1

14
Vậy B nhỏ nhất bằng -
3
1
khi x – 1= 0 => x =1
Đáp số

: M
nhỏ nhất
= -
3
1
với x = 1
Chú ý:

Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập
luận rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất
(nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân
thức

3
1
2
−x
Mẫu thức x
2
- 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0
Nhưng với x = 0 thì
3

1
2
−x
= -
3
1
không phải là giá trị lớn nhất
của phân thức
Chẳng hạn với x = 2 thì
3
1
2
−x
= 1 > -
3
1
Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra -
3
1
>
1
1
Vậy từ a < b chỉ suy ra được
a
1
>
b
1
khi a và b cùng dấu .
DẠNG 5

:BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA
PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC
Ví dụ 9

Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
2
2
)1(
1
+
++
x
xx
Cách1

:
15
Gợi ý:

Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi
đổi biến bằng cách viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy
thừa của
1
1
+x
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải

: Ta có: x

2
+ x + 1 = (x
2
+ 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1)
2
- (x + 1) + 1
Do đó A =
−
+
+
2
2
)1(
)1(
x
x
+
+
+
2
)1(
)1(
x
x
2
)1(
1
+x
= 1 -

1
1
+x
+
2
)1(
1
+x
Đặt y=
1
1
+x
khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 - y + y
2

Ta có: A = 1 - y + y
2
= y
2
– 2.y.
2
1
+ (
2
1
)
2
+
4
3

=
2
2
1






−y
+
4
3

≥

4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
4
3
khi và chỉ khi:
2
1
1
1
2
1
0

2
1
=
+
⇔=⇒=−=
x
yy

⇔
x + 1 = 2

⇔
x = 1
Đáp số

: A
nhỏ nhất
=
4
3
khi x = 1
Cách 2

:
Gợi ý

: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một
biểu thức không âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:
16

( ) ( ) ( )
2
22
2
2
2
2
14
12363
14
144
1
1
+
+−+++
=
+
++
=
+
++
=
x
xxxx
x
xx
x
xx
A
2

22
)1(4
)1()1(3
+
−++
=
x
xx
A
2
2
)1(4
)1(
4
3
+
−
+=
x
x
A
2
)1(2
1
4
3







+
−
+=
x
x
A
A=
4
3
+






+
−
)1(2
1
x
x
2

≥
4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

4
3
khi x-1=0
⇒
x=1
Đáp số

: A
nhỏnhất
=
4
3
khi x=1
DẠNG 6

: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠNG
2
)(
k
xA
≥
0
(HOẶC
2
)(
k
xA

≤

0)
Ví dụ 10

:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M
(x)
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
(Với x thuộc tập hợp số thực)
Hướng dẫn giải

:
Gợi ý

: Từ M
(x)
=
32
1063
2
2
++
++

xx
xx
ta có:
17
M
(x)
=
32
1963
2
2
++
+++
xx
xx
=
32
1)32(3
2
2
++
+++
xx
xx
(?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho
x
2
+ 2x + 3 được không? Vì sao?
Trả lời

: Vì x
2
+ 2x + 3 = x
2
+ 2x + 1 + 2 = (x+1)
2
> 0 với
mọi giá trị của x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x
2
+ 2x + 3 ta
được
M(x) = 3 +
2)1(
1
2
++x
(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời:

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2)2(
1
2
++x
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của
2)(
1
2
++x
từ đó suy ra giá

trị lớn nhất của M(x)
Trả lời:

Vì (x+1)
2
≥
0 Với mọi x
Nên (x+1)
2
+ 2
≥
2 với mọi x
Do đó
2)1(
1
2
++x

≤

2
1

Từ đó ta có:
M(x) = 3 +
2)1(
1
2
++x

≤
3 +
2
1
= 3
2
1
Dấu “=” xảy ra khi x+1=0 hay x=-1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3
2
1
khi và chỉ khi x=-1
Đáp số

: M(x)
Lớn nhất
=3
2
1
với x = -1
18
C. KẾT LUẬN
1. Thực tiễn khảo sát sau khi áp dụng.
Sauk hi áp dụngcác cách giải bài toán cực trị trong đại số 8 thực
tế học sinh dần dần chú trọng khi giải toán chứ không lúng túng
như trước.
Kết quả tôi đã thu được sau khi áp dụng đề tài này được thể hiện ở
bảng sau:
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém

SL % SL % Sl % SL %
8 49 05 10 34 0
2. Kết quả:
19
Sau khi thực hiện giảng dạy phần “ Các bài toán cực trị trong
đại số 8” theo nội dung đề tài này kết quả mà tôi thu được khá
khả quan.
Để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ở lớp 8 các em phải
biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng
khá nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức
tạp. Ngoài ra còn liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng
minh đẳng thức bởi thế nói các bài toán cực trị đại số 8 tạo ra khả
năng giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ năng biến đổi
đồng nhất các biểu thức đại số, kĩ năng tính toán, khả năng tư duy.
Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán về cực trị trong
đại số 8 có PP hơn, có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyết
các bài tập có liên quan kích thích được sự đam mê học toán nói
chung và sự say mê giải các bài toán cực trị nói riêng.
Yêu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng tư duy tích
cực độc lập, sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán
đã được học.
Về mặt tư tưởng các bài toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi
với kíên thức thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học .
luôn mong muốn làm được những công việc đạt hiệu quả cao nhât,
tốt nhất.
3. Bài học kinh nghiệm:
Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán
cực trị trong đại số” Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản
nhất về các bài toán cực trị trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tôi
có đưa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ trong mỗi ví dụ đó có gợi

ý và hướng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi
gặp các ví dụ khác các em có thể giải được.
Các dạng bài tập đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp nhằm giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về
giải bài toán cực trị trong đại số 8. Bên cạnh đó tôi còn đưa ra các
ví dụ là các bài toán tổng hợp các kiến thức và kĩ năng tính toán,
khả năng tư duy ở cấp học này, qua đó làm cho các em say mê
hứng thú học tập bộ môn Toán.
20
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn có rất nhiều học
sinh còn bỡ ngỡ trong qúa trình giải các bài toán cực trị, lập luận
chưa có căn cứ, suy diễn chưa hợp logic và đặc biệt là một số
dạng chưa phù hợp với học sinh trung bình, yếu.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian không
nhiều, do trình độ năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn
hạn chế lại chưa có kinh nghiệm trong lĩnh vực nghiên cứu khoa
học nên trong cách trình bày không tránh khỏi những sơ xuất thiếu
sót . Rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của các thầy , cô và
và bạn đồng nghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong quá trình
giảng dạy của mình trong thời gian sau.
Thiệu Minh, ngày 08 tháng 3 năm 2009
Người viết
Nguyễn Thị Huyền
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tôn Thân.
2. SBT Toán 8 – NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên
3. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo
dục- Nguyễn Văn Lộc.
4.Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 Đại số-NXB Giáo dục
Trần San

5. Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hoàng Chúng Chủ biên
6. Các bài toán đại số hay và khó – NXB Giáo dục Nguyễn Đễ
7. PP dạy học môn toán – NXB Giáo dục Phạm Gia Đức.
21
22