Đại số lượng tử Su(3) Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất

LÒÌ CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSNguyễn Thị Hà Loan

, người đã tận tình
giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này.
Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian
được làm việc cùng cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại học, Khoa Vật Lý
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, tryền đạt cho tôi
những kiến thứcquý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời
gian qua.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã
luôn giúp đỡ, động viên tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận
văn này.
Hà Nội, 15 tháng 07 năm 2013 Tác giả
Nguyễn Thị Vân Anh
LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Nguyễn thị Vân Ảnh

, học viên cao học khóa 2011 - 2013 chuyên ngành Vật lí lí
thuyết và Vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Đại số lượng tửSU(3)’\

là kết quả nghiên cún và thu thập của
riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng vói các tác giả khác.
Neu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa
học.
Hà Nội,15 tháng 07 năm 2013 Tác giả
Nguyễn Thị Vân Anh
MỤC LỤC
MỞ ĐÀU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản trong vậtlý lý thuyết. Ngôn ngữ toán
học của đối xứng là lý thuyết nhóm. Sau sự phát triển của mẫu quark là lý thuyết
Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu, sự hiểu biết những
nhóm Lie đã trở thành cần thiết cho việc nghiên cún lý thuyết hạt cơ bản. Nhóm Lie
ngày càng trở thành công cụ chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại như giải tích phức,
phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô hạn
Đại số của nhóm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng của nó
trong nghiên cún vật lý mà V .1. Drinfeld đã lượng tủ’ hóa đại số của nhóm Lie làm
nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng tử. Gần đây nhóm
lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý
thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng của chúng trong các mẫu vật
lý và trong mối liên quan với lời giải các phương trình vi phân phi tuyên. Chúng liên
quan đên những vân đê đa dạng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-
Baxter lượng tử, lý tuyết trường comíòrmal hữu tỷ lý tuyết trường hai chiều với
nhũng thống kê phân số. Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng phụ
thuộc vào một hoặc nhiều tham số của đại số Lie thông thường.
Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng của đại số Lie cổ điển.
Trong trường họp tống quát sự biến dạng này có thể phụ thuộc vào một hoặc nhiều
thông số. Đại số lượng tử SU(3) mô tả đối xứng spin đồng vị của các hạt cơ bản. Và
từ đại số SU(3) có nhu cầu mở rộng thành SU(3) biến dạng phụ thuộc một thông số
hoặc nhiều thông số. Sự biến dạng phụ thuộc vào một thông số q đưa đến đại số biến
dạng SU(3)q. Đại số lượng tử SU(3)pq được khảo sát như sự biến dạng phụ thuộc hai
thông số (p,q) của đại số Lie thông thường của nhóm Unita SU(3), để đạt được điều
này chúng tôi xây dựng dao động điều hòa biến dạng hai thông số (p,q). Đại số lượng
tử SU(3)q là một trường hợp đặc biệt của đại số SƯ(3)pq trong trường hợp giới hạn p
= q.

Khi thông số biến dạng tiến đến một giá trị giới hạn nào đó thì đại số biến dạng
sẽ trở về đại số chưa biến dạng, và như thế đại số biến dạng sẽ tổng quát hơn đại số

2
chưa biến dạng. Từ đó hy vọng đại số biến dạng sẽ mô tả hiện tượng vật lý gần với
thực nghiệm hơn.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “đại số lượng tửSU(3)”
2. Mục đích nghiên cún
Mục đích nghiên cún của đề tài: “ đại số lượng tử SU(3)” là đi nghiên cứu đại
số lượng tử SU(3) biến dạng một hoặc nhiều thông số.
3. Nhiệm vụ nghiên cún
Đại số lượng tử SU(3), biểu diễn của đại số lượng tử SU(3)
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu đại số SU(3), đại số lượng tủ’ SU(3)q và đại số lượng tử SU(3)pq
5. Phương pháp nghiên cún
Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vậy lý toán. Sử dụng các
phương pháp của nhóm đối xứng và đại số lượng tủ’.
6. Cấu trúc luận văn
Chương 1 : Hình thức luận dao động tử lượng tử Chương 2: Đại số lượng tử
SU(3)q Chương 3: Đại số lượng tử SU(3)pq
3
NỘI DƯNG
CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ
• • •
Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tống quan về các dao động tử lượng tử,
dao động Boson biến dạng, dao động tử Fecmion biến dạng, dao động tử p,q và
tính phổ năng lượng của các dao động tử.
1.1Dao động tử điều hòa
1.1.1 Dao động tử Boson
Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đon mode có dạng:
Trong đó:
a

: là toán tử hủy dao động tử
a

\

là toán tử sinh dao động tử Toán tử số
dao động N có dạng:
N = a+a
kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có:
[/v,£ỉ] =
^N,a
+
J = ^a
+
a,a
+
J
= a
+
aa
+
-a
+
a
+
a
= -a
4
=a+[a,a+J
= a

Như vậy:
[/v,ß] = -a
^N,a+~ị = a+
Không gian Fock là không gian mà vector cơ sở của nó là những trạng thái
với số hạt xác định. Trong không gian Fock, trạng thái chân không Ịo) được định
nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện:
fl|0) = 0 (1.1.4)
Đưa vào không gian Fock với \n)

là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n
dao động tử ứng với trị riêng n:
n=0,l,2, (1.1.5)
Ta chứng minh:
= n\n)
Thật vậy:
Nịỉì) =a+a\rỳ = a+a-j=(a+^ Ịo)
= —L=a+a(a+) |0) = —h=a+ a,(a+) lo)
4n\

v ; 1 7 4n\

L v
}

-I' '
= —!=a+n(a+) |o) = —p=rịa+) lo)
4n\

v ; 1 '

v ;
= n\rì)
5
=n(a
+
^ (1.1.6)
Bây giờ, ta hãy chứng minh rằng:
Với n = 2:
a,(a

+

Ỵ

=ứ+|^ứ,úf+J + |^ứ,íỉ+Jữ+ = 2a

+
Nhận thấy (1.1.6) đúng với n = 1,2.
Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.1.6) đúng với n = k, tức là:
a,(a+^j =k(a+^
Ta phải chứng minh biểu thức (1.1.6) đúng với n = k+1:
= a+kịa+^j
+
(
a +
)
= (k + l)(ứ+)
Vậy phương trình (1.1.6) đúng với n = k+1. Suy ra (1.1.6) đúng với mọi n.
Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử
xung lượng p liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động a,a

+

như sau:
ô=jSữ++ữ)
p = i

^ộ_ụ,_

a

j

Khi ấy hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p
là:
[Q,p]=ỉ— (tf
+
+ữ)(tf
+
-aj
ỉh
6
=n(a
+
^ (1.1.6)
Thế (1.1.1) vào (1.1.7) suy ra :
[Q,p] = ih (1.1.8)
Toán tủ’ Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các toán
tử sinh, hủy dao động tử a

+, a

như sau:
H = — P2 +-mco2Q2 2 m 2
hcở(
+
\2 ỲlCỞ
+
\2
= ——(a —a) H——ya +aJ
=——[a+ —a)-ị——(a+ +a}{a+ +ứ)
_+ hũ) (

+ + + + \
= —ya a —a a—aa +aaj-\——ya a +a a + aa +aaj
_hcO(

+ + \
= —ya a + aa )
^

+

I +_ + \
= —\2a a + aa -a aJ =
-^-ị2a+ci + ịa,a+ Ị
hú)
(2N + \)
Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định bởi phương trình hàm
riêng và trị riêng của toán tủ' H:

H\n) = En\n)
H\n)J-f(2N + \)\n)
= ^f(2n + ỉ)\n)
Suy ra:
„ hú)/ \
E,

t

=-—(2/1 + 1) n = 0,1,2,
(1.1.9
7
(1.1.1
Nhận xét:

Công thức (1.1.10) là công thức xác định năng lượng của dao động
tử diều hòa một chiều
Từ hệ thức (1.1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:
fr_
4 4 (1.1.11)
Thật vậy, ta dễ dàng thấy
(Q) = {n\Q\n) = 0 p) =
(n\p\n) = 0
((Ạpf) = (ịp-{p)f)
(a+-a} nj
((Aổ)
2
)((AP)
2
) = ^(2n + l)

2
>
(1.1.12
h /
2
m
ũ) \
h
n
2
h
2
m
ũ
a
+
a
n
n
Do độ lệch toàn phương ^(Ag)
2
^, (ẶApỴ^ của tọa độ và xung lượng là:
((AÔ)
2
)=((Ổ-(Ô})
2
)=(Ô
2
)
(a*+a} nj

' a
+
a
+
nj + {ìi\aa\n^Ị + (n a
+
a lĩ^ + (n
aa
+
n^Ịj a
+
n +1^4-^/7|íĩ|/7-1^ + (n a
+
a
ĨĨ^Ị + (n aa
+
n) +
h
((n|2W + l|
n)) (2/1 + 1)
2
m
ú
= p
hmũ)
/ •
——
ịẬn a+a++ (n aa\nj - (n a+a\nj - (n aa+
hmco (
ịịn a+ \n +1^ + (n a\n -\^-ịn a^aịn^ — ịn

aa+ |fĩ^j ịịnịìĩ + 2^ + (nịn — 2^ — (n a+a\nỳ
— ịìĩ aa+\nỴj
Suy ra:
((Д0)2)((Д/?)2) =^-(2n + 1)^J
4 4 '4
1.1.2 Dao động tử Fermion
Hệ thức phản giao hoán của dao động từ Fermion có
dạng:
{bx}=
1
b2=ị
b+f=
0
Trong đó:
b: là toán tử hủy dao
động tử b+: là toán tử sinh dao
động tử Toán tử số dao động N có
dạng:
N=b+b
Tương tự N thỏa mãn hệ thức giao hoán:
fimc
(1.1.1
9
hmc
hmco /
■(n
a
n
2 \
ti

2
tim
a
+
a nj
+
(n ((ti|2W +
1|/i)) (2 n
(1.1.1
(1.1.1
[N,b] = Nb-bN
=
b

+

bb-
bb

+

b
=
-b{\-
2bb*)
1
— —b + 2bbb+
= —b
[_N,b+~\ = Nb*-b+N
= b*bb* -b'b'b

= b*{\-2b*b)
= b* - 2b*b*b = b*

(1.1.16) Đại số (1.1.13) có
thế thực hiện trong khoảng không gian Fock với cơ sở là vector đã chuẩn hóa của
toán tử số dao động N:
|n) = (ủ+)"|o)
n=0,l (1.1.17)
(n=0,l vì đây là hệ hạt Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lý loại trò
Pauli)
Khi ấy tác dụng của toán tủ’ b, b+ lên trạng thái I /?):
Ề> I o) = 0
* |Ó} = |1>
*|1> = |0>
'
(1.1.18)
ỉ>+|l)=0
1.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q
1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q
1.2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng đơn mode
Daođộng tử Boson đon mode biến dạngq được mô tả bởi các toán tử
hủy và sinh dao động tủ’ a,a

+

tuân theo hệ thức giao hoán sau:
+ + _ -N
aa —qa a = q Q 2 1)
trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động.
Trong phương trình (1.2.1) nếu q = 1 thì trở về hệ thức dao động tử điều hòa

(1.1.1):
= 1
Toán tủ’ số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:
N\n) cì=n\n) (1.2.2)
và thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[N,a] = -a,
r 1 (1.2.3)
[N,CI
+
J = a
, \ («+)" , V
\n) = -^Uo) (1.2.4)
Đưa vào không gian Fock với I /z) là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n
dao động tử ứng với trị riêng n:
Ở đây ta ký hiêu: \n] ——

^—(1.2.5)
' q-q
Ta có:
[0] = 1,
Dễ dàng chÚTLg minh được rằng:
a a\n)q=[n\\n)q, aa
+
\n) =
[n +1] ịn)
Với n = 0:
«♦fl|0)=0|0> = [0l|0> .
(1.2.
a+a\\) = a+a r

—lo)
#ĩ''
a + ■aa
№
ị^q~N + qa+a} |0) = a+q~° |ơ)
№
Với n = 2:
a+a\2) = a+a
C

J-

—-|l)
#r
[q N +qa+a}|l)
q

'a+ 1^ qa

+

a aa

+

1^
№ #ũ
=^'l
2
^+4^(‘r,v+‘?fl+ữ)l0}

= í-|2) + tío>
1
w = (,-'+,)|2) = [2]j2);
Suy ra: a+a|2) = [2]j2)
Như vậy phương trình (1.2.6) đúng với n = 0, 1, 2.
Giả thiết phương trình (1.2.6) vẫn đúng với n = k ,
tức là:
a+a\k}<l=[kll\k)íl
I
Với n =
1
a
+
Bây giờ ta chứng minh nó sẽ đúng với n = к +1
nghĩa là: a

+

aịk + Ýf =ịk +
iị

I& + 1)
a+a|k + l) =—=LÜ=ra+ |k) = ,
’ ,FT vFĩ
a+
■í ^

Ik) +q ị =

=[к] Ik)

Ịĩĩĩĩ' '• "Ịtĩĩĩ1 V '•
- \ r , * 1 I , - \
= q-t\k + l)ii+q[k]{i\k + \)íi
q +q
<?-<? ;
= [* + l]J* + l)?
Vì |n) là vector riêng của N với trị riêng n:
N \ n ) l l = n \ n )
„
Nên РЧ1")„=Н1")„
Ket hợp với phương trình (1.2.6) ta có:
a+a = [w]
Xuất phát tò hệ thức ( 1.2.1 ) ta có:
aa

+

= qaa

+ q~

N

= g[N]íy
+ q
N -N
_ q - q - N
= CỊ— \

+CỊ

q-q
Với n =
1
aa
+
к
N
+ qa
+
aj\k)
N+1 -(N+ỉ)
= я_ -я
q-q~x
=iN+ll
Với n =
1
Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái |n) thì:
a+a = \ N ] ,
q

(1.2.7)
aa

+

= [iV + 1]
Đe khử N từ phương trình (1.2.1)
ta đưa vào các toán tử sinh, hủy
A

+

,A

có liên hệ với a,a+theo công thức:
ỵi _N12 4+__ + N/2/ 1 o
___0\
A — q a,A =a aq (1.2.8)
Biểu diễn a, a+ thông qua A, A+:
a = q~N/2Ả, a =
A+q~Nỉl
Tính hệ thức giao hoán của toán tủ' số N với A và A+:
[N,qNna\ = qm2[N,a}
= -qN/2a = - Ả ,
[Af,/\+] = [iV,aV/2]
_ +N / 2
= a q =
A+
Từ hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.2.1) và công thức (1.2.8) ta làm biến
đối sau:
+ + _ -N
ữũ — (Ịữ ũ — (Ị ,
q~N/2AA+q~NI2 - qA+q~N/2q~NI2A =
q~N, q~N AA+ - qA+q~N A = q~
N
, q~N
AA+ - qq~(N~]^A+A = q~
N
,
AA+ -q2A+A = \

Ta dẫn tới hệ thức giao hoán kiếu Arik - Coon [9]:
(1.2.
(1.2.
Tương ứng với các toán tử sinh, hủy A+, A, biểu diễn không gian Fock trở
thành:
A|0) = 0
Nịn)

= /71 /2^
2 n

2
trong đó: [n

] = —

2

là hàm cấu trúc (ở đây ký hiệu B dành cho Boson).
C Ị — \
Trong không gian Fock ta có:
A+A = [N]B,
AA*=[N + if
Xét các toán tử b, b+ liên hệ với a, a+theo hệ thức:
Qua vài biến đổi đon giản chúng ta sẽ thu được:
[b,b*] = 1,
[N,b] = -b [N,b+]=b,
N = b*b.
Đây chính là đại số dao động tử Boson thông thường. Như vậy, chúng ta có
thể kết luận rằng các toán tủ’ hủy, sinh của hệ Boson q - biến dạng và không biến

dạng có thể biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.2.14).
(1.2.1
(1.2.13
1
Ịỵv+Ị]
V
N +1
/
[^+1]
N + l
b
a
(1.2.14
a
+

(1.2.15
Xét hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P: [Q,p] =
— ịa

+

+ -ứ)
=
~([a,ữ+]~\_
a+
’
a
)
= ih[a,a+~\ (1.2.16)

= »([N + ^-[N1).
Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng
p có dạng:
H = — P1 + -ma>1Q1 2
m 2
= —hcoịa+a + aa
+
)
=ịMK+[/v+,U
Phổ năng lượng của dao động tủ’ điều hòa biến dạng q được xác định như sau:
\nco([Nị+[N + \ị)\n)q = E„\n)q
=> E

= — h(o{\n\

+[/í + ll )
" 2 V 9 V (1.2.18)
n - 0,1,2,
Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về phổ
năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:
E, ,= ịlìco(2n + \) n =
0,1,2,
1
(1.2.1
1.2.1.2 Dao động tử Boson biến dạng đa mode
Đối với các dao động tử Boson biến dạng q với định nghĩa (1.2.1), (1.2.11) việc
mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản.
Dao động tử Boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy a

+

,a
theo hệ thức giao hoán sau:
- \_{q - l)3j + = ổịịq~
Nị
(1.2.19)
Khi q = \

thì phương trình (1.2.31) trở thành:
a.a+j — a^ữị =s~ (1.2.20)
Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Bose - Einstein.
Toán tò số dao động tử N.

có dạng:
Nị = aỊciị (1.2.21)
Ta tính các hệ thức giao hoán giữa N.

và a - ,a

+:
[Ní'aj]=[aĩai'aj]
-a. ciịữ ■ —a .a■ a.
Ta có: |^ớ.,ữ.J = 0 Và ịcLj

, af

J = ổị. —>

cijttj

-

a]

Do đó:
[/v.,ay] = a,+<2J.<2( ịỏị- +a'Ịa

j

)a

i
= a. a a■ - ổ a. - a+ajữ■
=~ỗỉPi
Khi ỉ = j thì [Nna.] = -an
Hay [N,a] = -a
Tương tự: [#,.,0}] = ^«} (1.2.23)
1
a
(1.2.2
Khi ỉ

= j

thì n N ị

, CL

^ = aj,
Hay |^iV,ứ+J = a+

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N. với các toán tử sinh, hủy a

+

,a.

lại
trở về dao động tử Boson đơn mode thông thường.
Toán tử số dao động tủ’ điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị
riêng:
N. \n) = 72. |/i) (1.2.24)
Và N thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[w,.,a,.] = ] =õ

VỊ

a).

(1.2.25)
Đe khử N trong phương trình (1.2.19) ta dùng các toán tử sinh, hủy
A

+

,A.

được định nghĩa theo công thức đưa vào toán tử A+, A cóliên hệ với
a

+

,a.

theo hệ thức:
\ _ NJ2 „ *+ + Nj l 2
/I T /i/;\
Aị=q

' dị,A

= d j q ' . (1.2.26)
Biểu diễn a%a. thông qua A%AỊ ;
_ —NỊ/2 \ + _ A+ — N;/2 /1 r)
d ị = q ' A^a^A^q ệ (1.2.27)
Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N. với toán tủ' A

+

, A

.:
= qN'n[Nl,aị\
= -^At
2
\Ni,A]~] = [Ni,qN‘na]'] (1.2.28)
= r2[",^
2
= q^
= v ;
Thay (1.2.27) vào phương trình (1.2.19) ta có:

a
i
a
] “[(<7_
1
H+
1
]aj+ứ. =
s
ifl~
N
‘>
-[(« - 1H + \]q-^A]q-^A, = õ

if

f

N

‘
q~
N
‘A,A] - [(ạ -1)^ +1] A]q-
N
'A, = S-fl~
N
‘,
AA;-[(?
2

-IH+I]A;A=^.
Suy ra:
A
A;-[(^-I)^
J +
I]A;A=^.
và thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[w„A,]=^v|>(,A;]=<vt;.
7.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q
1.2.2. ỉ Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode
Dao động tử Fermion biến dạng q được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy
b+,b như sau:
bb+ + qb+b = q~N
è
2
=(ỉ>*)
2
= 0
và toán tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[ N , b ] = -b,
[N,b*~\=b*
Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N như sau:
N Ì n ) = n \ n ) (1.2.32)
\/CỊ I / q
Các trạng thái riêng đã được chuẩn hóa của toán tủ’ N được xác định theo
công thức:
2
(1.2.29
(1.2.30
(1.2.31

\ n )
" Ẹp

(1,2,33)
b\o) = o
ở

đây dùng kí hiệu [n]b được cho bời:
r 1* q~n -(-lỴ q”
H -— , > í1-2-34)
Và ta dễ dàng có được (tương tự mục 1.1.13):
b+b = [ N ] \ bb* = [ N
+ \]b
Khi q = l ta có dao động tủ' Fermion thông thường bb

+

+ b

+

b =

1 và
nguyên lý Pauli là hệ quả trực tiếp từ b

2

=

[ b +) = 0
Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng
p có dạng:
H = — P1 + -mo)1Q1 2m 2
= —tiũ)ịa*a + aa*\
2 (1.2.36)
= L
h ứ )
( [ N f
+
[ N
+
l f )
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q được xác định như sau:
H \ n ) = E \ n )
I / a
1 1
I / a
2
(1.2.3
n

= 0,1,2,
Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tô điều hòa biến dạng qsẽ
trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:
£„= 1^(2« + 1) (1 238)
n = 0,1,2,
1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đa mode
Dao động tử Fermion biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử
sinh, hủy f

+
, f - theo hệ thức giao hoán sau:
/,/; + [(* - IK+1] Ỉ ; f , =SẶ”' , (1.2.39)
Khi q -1 thì phương trình (1.2.39) trở thành:
a^j + a+jCiị =ổị- (1.2.40)
Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Fermi - Dirac.
Toán tử số dao động tử N . có dạng:
N , = f í f , (1-2.41)
Ta tính các hệ thức giao hoán giữa N . và /+,/ :
Ta có: [./;./,]-() > f , f ,
Và [/
y
,/
(
+
]=<y
j l
=ÍJ,+/;/,,
Do đó:
Í/O/,
= -ỗự

Jt

(1.2,42)
Khi i =

j

thì [N

„/,] = -/„hay [iV,/] = -/,
Tương tự: [*,./;] = «ự/* (1-2-43)
Khi i = j thì ỊX/,+] = /,+ , hay [w,/*] = /*,
(L2J7)
2
Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N với các toán tử sinh, hủy /+,/. lại trở
về dao động tử fermion đơn mode thông thường.
Toán tủ' số dao động tủ* điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị
riêng:
N.ịn^ = n . ị ỉ ĩ f (1.2.44)
và N thỏa mãn hệ thức giao hoán:
<y,.
IX/;]=v/ c-2-45)
Có những dạng khác của hệ thức
(1.2.39) khi q là số thực. Để khử N
trong phương trình (1.2.39) ta dùng các toán tử sinh, hủy F

+

,F

được định nghĩa theo
công thức đưa vào toán tử F

+

,F

có liên hệ với /

+
,/ theo hệ thức:
F = qNi'2
in (1.2.46)
F*
Biểudiễn f j
+
, f ị thông quaFj,Fị

:
f
::
q
1 (1.2.47)
r
=
r-m
(L2J7)
2