10 dạng tích phân thi đại học năm 2014 - 2015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.38 MB, 114 trang )
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />T r a n g 1
10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI
ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Trong các các kì thi Đ ạ i Học – C a o Đ ẳ ng câu tích phân luôn mặc định xuất h i ệ n trong đề thi môn Toán.
Tích phân không phải là câu hỏi khó, đây l à m ột bài toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm”. Vì vậy
việc m ất điểm s ẽ trở nên “vô duyên” với những ai đã bỏ chút thời gian đọc tài liệ u. Ở bài viế t nhỏ nà y sẽ
cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất h i ện trong các kì t h i Đ ạ i H ọc - Cao Đẳng ( và
đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này). Vớ i cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi
kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Mong rằng sau khi đọ c tài liệu, việc đứng trước một b à i
toán tích phân sẽ không còn là rào cản đối với các em . Chúc các em thành công !
Trong bài viết này sẽ giới thiệ u tới các em 8 phần: Trang
I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ……………………………
1
II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ……………………………
2
III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN…
3 –12– 26
I V . 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI H ỌC – CAO ĐẲNG
27
– 81
V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN……………………………………………………
82
– 93
VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI … … . .
94 – 102 - 106
VII. DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA
k
n
C
……
107 - 110
VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI H ỌC ………………
111- 114
I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢ I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />T r a n g 2
II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
Điều kiện tiên quyết để l à m t ốt p h ần tích phân là chúng ta phải n h ớ và hiểu được cách
vận dụng các công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu 8 công thứ c t h ì s ẽ biết cách suy
luận ra các công thức còn lại)
1
( 1 )
)
1
u
u du C
1
2
1
1
1
1
; .
1 1
1 1
; ;
1
ax b
x
x dx C ax b dx C
a
du du
du u C C C
u u u
u
) l n
du
u C
u
2
ln
1
ln
dx
x C
x
dx
ax b C
ax b a
)
ln
u
u
a
a du C
a
3
;
ln
1
;
x
x u u
x x ax b ax b
a
a dx C e du e C
a
e dx e C e dx e C
a
) sin cosudu u C
4
sin cos
1
sin( ) cos( )
xdx x C
ax b dx ax b C
a
) cos sinudu u C
5
cos sin
1
cos( ) sin( )
xdx x C
ax b dx ax b C
a
2
) cot
sin
du
u C
u
6
2
2
cot
sin
1
cot( )
sin ( )
dx
x C
x
dx
ax b C
ax b a
2
) tan
cos
du
u C
u
7
2
2
tan
cos
1
tan( )
cos ( )
dx
x C
x
dx
ax b C
ax b a
2 2
1
1 1 1
) ln
2 2
du u a
du C
u a a u a u a a u a
8
2 2
2 2
1
l n
2
1
ln
2
du u a
C
a u a u a
dx x a
C
x a a x a
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />T r a n g
3
III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU T Ỉ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ
CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
( )
( )
f x
I dx
g x
(*)
Chú thích: Sơ đồ t r ê n đ ư ợ c h iểu như sau :
Khi đứng trước một bài toán tích phân có dạn g h ữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới b ậ c c ủa t ử số và mẫu số.
*) Nế u bậ c của tử số nhỏ hơn bậc của m ẫ u số, khi đó ta chú ý tới b ậc dưới m ẫu số. Cụ thể:
++) Nế u bậ c d ư ớ i m ẫ u số bằn g
1
ta có luôn công thức t r o n g b ảng nguyên hàm và đưa ra được đáp số.
++) Nế u bậ c d ư ớ i m ẫ u số bằn g
2
ta quan tâm tới
hay “tính có nghiệm” của phương trình dưới m ẫ u.
+) Nế u
0
tức khi đó ta sẽ phân tích dưới m ẫ u thành tích và dùng kĩ thuật tách ghép để t á c h t h à n h
hai biể u thức có mẫ u bậc
1
(quay về trường hợp mẫ u số có b ậc bằ ng
1
).
+) Nế u
0
tức khi đó ta sẽ phân tích dưới m ẫ u thành hằng đẳng thức và dùng kĩ thuật tách ghép để
đưa tích phân về dạng đã b i ết.
+) Nế u
0
tức khi đó ta không thể phân tích dưới m ẫu số thành tích và hằng đẳng thức được .
-) Nếu trên tử là hằng số khác
0
ta sẽ dùng phương pháp lượng giác hóa để c h u yển về d ạng cơ bản
( theo cách đổi b i ến ở sơ đồ trên).
-) Nếu trên tử có dạ ng bậc nh ấ t ta sẽ c h u y ển v ề b ậc
0
( hằng số hay số tự do) bằ ng kĩ thuật vi phân
như cách trình bày ở sơ đồ và quay về trườn g h ợp trước đó (tử l à h ằng số khác
0
).
++) Nế u bậc của mẫ u số lớn hơn
2
ta sẽ tìm cách giảm bậc bằng phương pháp đổi b i ến h o ặc các kĩ t h u ậ t:
Nhân, chia, tách ghép (đồng nhất hệ số), vi phân…
*) N
ế
u bậ c của tử s
ố
l ớn hơn hoặc b
ằ
ng b
ậc của mẫ u s
ố
thì ta chuy
ể
n sang
TH2
(trư
ờ
ng h
ợ
p 2).
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />T r a n g 4
CHÚ Ý :
Việc đồng nhất hệ s ố dựa theo cách phân tích sau:
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2
( )
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m n n
m n m n
A B x C
A A B x C B x Cf x
ax b cx dx e ax b ax b ax b cx dx e cx dx e cx dx e
Sau đó quy đồn g b ỏ m ẫu, dùng tính chất “hai đa thức bằ ng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng bằng
nhau” từ đó tìm được các
,
i j
A B
,
j
C
( 1 , ; 1 , )i m j n
hoặc có thể dùng cách chọn
x
để tìm các
,
i j
A B
,
j
C
.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính tích phân
2
2
0
2
dx
I
x x k
v ới : 1)
3
4
k
2)
1k
3)
4k
Giải: 1)
V ới
3
4
k
thì :
2
2 2 2 2
2
2
0 0 0 0
0
4 (2 3 ) (2 1 ) 2 2 2 1
2 l n
3
4 8 3 (2 1 ) ( 2 3 ) 2 1 2 3 2 3
2
4
dx dx x x x
I dx dx
x x x x x x x
x x
15
ln
7
2)
V ới
1k
thì :
2
2 2
2 2
0
0 0
1
2 1 ( 1 ) 1
dx dx
I
x x x x
2
3
3)
V ới
4k
thì :
2 2
2 2
0 0
2 4 ( 1 ) 3
dx dx
I
x x x
Đặt
1 3 tan
x t
với
;
2 2
t
2
2
3
3.(1 tan )
cos
dt
dx t dt
t
v à
:02x
thì
:
6 3
t
Khi đó
23 3
3
2
6
6 6
3.(1 tan ) 3 3
3. (t an 1 ) 3 3
t dt
I dt t
t
3
18
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
1)
2
1
1
3
4 1
I dx
x
2)
0
2
2
1
2 3
dx
I
x x
3)
1
3
2
0
6 9
dx
I
x x
4)
1
4
2
0
2 2
dx
I
x x
5)
1
5
2
0
4 5
2
x
I dx
x x
6)
2
6
2
1
3 2
4 4 1
x
I dx
x x
7)
2
7
2
1
3
2 4
x
I dx
x x
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />T r a n g 5
Giải: 1)
2
2
1
1
1
3 3
ln 4 1
4 1 4
I dx x
x
3 7
ln
4 3
2)
0
2
2
1
2 3
dx
I
x x
0
1
( 1 ) ( 2 3 )
dx
x x
1
5
0
1
(2 3 ) 2( 1 )
( 1 ) ( 2 3 )
x x
dx
x x
0
0
1
1
1 1 2 1 1 1 1
l n l n
5 1 2 3 5 2 3 5 6
x
dx
x x x
l n 6
5
3)
1
1 1
3
2 2
0
0 0
1
6 9 ( 3 ) 3
dx dx
I
x x x x
1
12
4)
1 1
4
2 2
0 0
2 2 ( 1 ) 1
dx dx
I
x x x
Đặt
1 tan
x t
v ới
;
2 2
t
2
2
( 1 tan )
cos
dt
dx t dt
t
và
:0 1x
thì
: 0
4
t
Khi đó
0 0
2
0
4
2
4
4 4
( 1 tan )
tan 1
t dt
I dt t
t
4
5)
1 1 1
1
5
2
0
0 0 0
4 5 ( 1 ) 3 ( 2) 1 3
ln 2 3ln 1
2 ( 1 ) ( 2) 2 1
x x x
I dx dx dx x x
x x x x x x
4ln2
Chú ý: V i ệc phân tích
4 5 1 3 ( 2)x x x
có được là do ta đi tìm hệ số
,a b
thỏa mãn:
4 5 ( 1 ) ( 2) 4 5 ( ) 2
x a x b x x a b x a b
k h i đ ó
4 1
2 5 3
a b a
a b b
6)
2 2 2
6
2 2 2
1 1 1
3 7
2 1
3 2 3 7
2 2
4 4 1 (2 1 ) 2(2 1 ) 2(2 1 )
x
x
I dx dx dx
x x x x x
2
1
3 7
ln 2 1
4 4(2 1 )
x
x
3 7
ln3
2 6
7)
2 2 2 2
7
2 2 2 2
1 1 1 1
1
2 2 4
3 1 (2 2) 1
2
4 4
2 4 2 4 2 2 4 2 4 2
x
x x dx
I dx dx dx A B
x x x x x x x x
(*)
+) Tính
2 2
2
2
2
2 2
1
1 1
(2 2) ( 2 4)
l n 2 4
2 4 2 4
x d x x
A dx x x
x x x x
2ln2
(1)
+) Tính
2 2
2 2
1 1
2 4 ( 1 ) 3
dx dx
B
x x x
Đặt
1 3 tan
x t
v ới
;
2 2
t
2
2
3
3.(1 tan )
cos
dt
dx t dt
t
và
: 1 2x
thì
:0
3
t
23 3
3
2
0
0 0
3.(1 tan ) 3
3 3
tan 1 3
t dt
B dt t
t
(2)
. Thay (1) và (2) vào (*) ta được:
7
I
4 3
ln 2
3
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />T r a n g 6
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
1
1
2 2 4
2 1
x x x
I dx
x
2)
1
4 3 2
2
2
0
2 4 2
2 3
x x x x
I dx
x x
3)
2
3 2
3
2
1
4 4 7 2
4 4 1
x x x
I dx
x x
4)
1
2
4
2
0
( 1 )
1
x
I dx
x
( D – 2013) 5)
2
2
5
2
0
2 1
2 4
x x
I dx
x x
Giải:
1)
2
2 2
3 2 3
2
1
1 1
1
2 2 4 5 5
1 l n 2 1
2 1 2 1 3 2
x x x x
I d x x dx x x
x x
10 5
ln3
3 2
2)
1 1 1
4 3 2
2 2
2
2 2
0 0 0
2 4 2 5 2( 1 ) ( 3 )
1 1
2 3 2 3 ( 1 ) ( 3 )
x x x x x x x
I dx x dx x dx
x x x x x x
1
1
3
2
0
0
2 1
1 2ln 3 l n 1
3 1 3
x
x d x x x x
x x
2
2ln3 ln2
3
3)
2 2 2 2
3 2
3
2 2 2 2
1 1 1 1
4 4 7 2 6 2 3 ( 2 1 ) 1 3 1
4 4 1 4 4 1 (2 1 ) 2 1 (2 1 )
x x x x x
I dx x dx x dx x dx
x x x x x x x
2
2
1
3 1
l n 2 1
2 2 2(2 1 )
x
x
x
11 3
ln3
6 2
4)
1
2
4
2
0
( 1 )
1
x
I dx
x
( D – 2013)
1 1 1 1 1 1
2 2
1
2
4
2 2 2 2
0
0 0 0 0 0 0
1 2 2 2 ( 1 )
1 ln( 1 )
1 1 1 1
x x x x d x
I dx dx dx dx dx x x
x x x x
1 ln2
5)
2 2 2
2
5
2 2 2
0 0 0
3
(2 2 ) 6
2 1 3 9
2
2 2
2 4 2 4 2 4
x
x x x
I d x dx dx
x x x x x x
2 2 2
2
2 2
0 0 0
3 ( 2 4)
2 6
2 2 4 2 4
d x x dx
dx
x x x x
2
2
0
3 3
2 ln( 2 4) 6 4 ln 3 6
2 2
x x x I I
(*)
Tính
2 2
2 2
0 0
2 4 ( 1 ) 3
dx dx
I
x x x
Đặt
1 3 tan
x t
(với
;
2 2
t
)
2
2
2 2
3
3(1 tan )
cos
( 1 ) 3 3 ( 1 tan )
d x d t t dt
t
x t
v à
:02x
thì
:
6 3
t
23 3
3
2
6
6 6
3(1 tan ) 3 3 3
3 ( 1 tan ) 3 3 18
t dt
I dt t
t
(2*). Thay (2*) vào (*) ta được :
5
I
3 3
4 l n 3
2 3
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />T r a n g 7
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
1)
1
3
1
4 2
0
3 2
x
I dx
x
x
(B – 2012)
2)
1
7
2
4 2
0
( 3 2 )
x
I dx
x
3)
2
2
3
4 2
1
1
( 3 2)
x
I dx
x x x
4)
2
4
2 2
1
2 3
( 2 )( 4 3 )
x
I dx
x x x x
5)
1
2
5
4 3 2
2
1
4 6 4 1
x
I dx
x x x x
6)
2
6
3 5
1
dx
I
x x
7)
1
7
3
0
( 1 2 )
x
I dx
x
8)
2
8
2014
1
1
dx
I
x x
9)
0
2
9
8
1
( 1 )
x dx
I
x
Giải: 1)
1
3
1
4 2
0
3 2
x
I dx
x
x
(B – 2012)
Đ ặ t
2
t x
2d t x d x
hay
2
dt
xdx
và
:01x
thì
:0 1t
1 1 1 1
2
1
4 2 2
0 0 0 0
. 1 . 1 2( 1 ) ( 2) 1 2 1
3 2 2 3 2 2 ( 1 ) ( 2) 2 2 1
x x d x t dt t t
I dt dt
x x t t t t t t
1
0
1
l n 2 l n 1
2
t t
3
ln3 l n 2
2
2)
1
7
2
4 2
0
( 3 2 )
x
I dx
x
Đặt
3 3
4
4
1
8
8
3 2
3
2
dt x dx x dx dt
t x
t
x
và
:01x
thì
:31t
Khi đó
1 1 1 3
7 4
3
2
4 2 4 2 2 2
0 0 3 1
3
1 1 3
2
.
( 3 2 ) (3 2 ) 8 16
t
x x t
I dx x dx dt dt
x x t t
3
3
2
1
1
1 3 1 1 3
ln
16 16
dt t
t t t
2 l n 3
16
3)
2
2
3
4 2
1
1
( 3 2)
x
I dx
x x x
Đặt
2
2
2
dt
t x dt x d x xdx
và
:12x
thì
:1 2t
Khi đó
2 2
2
3
2 4 2 2
1 1
( 1 ) 1 1
.
( 3 2) 2 ( 3 2)
x t
I xd x d t
x x x t t t
Lúc này ta sẽ phân tích
2
1
( 3 2 )
t
t t t
thành tổng các phân thức có mẫ u bậc
1
bằng phương pháp đồng nhất
hệ s ố . Cụ thể:
2
1 1
( 3 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 1 2
t t A B C
t t t t t t t t t
1 ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 1 )t A t t Bt t Ctt
(*)
Việc tìm
, ,A B C
có thể làm theo 2 cách :
Cách 1:
2
(*) 1 ( ) ( 3 2 ) 2t A B C t A B C t A
khi đó
1
0
2
3 2 1 2
2 1 3
2
A
A B C
A B C B
A
C
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />T r a n g 8
Cách 2: +) Chọn
0t
thì (*) có dạ ng:
1
1 2
2
A A
+) Chọn
1t
thì (*) có dạng:
2 2B B
+) Chọn
2t
thì (*) có dạn g :
3
3 2
2
C C
Vậy
2
2
3
1
1
1 1 2 3 1 3
ln ln( 1 ) ln( 2)
2 2 1 2 ( 2) 44
I dt t t t
t t t
7ln3 11.ln2
4
4)
2 2 2
4
2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
( 2 )( 4 3) ( 2)( 1 ) ( 3) ( 3 )( 3 2)
x x x
I dx dx dx
x x x x x x x x x x x x
Cách 1: ( đ ổ i biến)
Đặt
2
3t x x
(2 3 )dt x dx
v à
:12x
thì
: 4 10t
Khi đó
10
10 10
4
4 4
4
1 1 1 1
l n
( 2) 2 2 2 2
dt t
I dt
t t t t t
1 15
l n
2 12
Cách 2: ( tách ghép và sử dụn g k ĩ thuật vi phân)
2 2
2 2 2
4
2 2 2 2
1 1 1
( 3 2) ( 3 ) (2 3 )
1 1 (2 3 ) (2 3 )
2 ( 3 ) ( 3 2) 2 3 3 2
x x x x x
x dx x dx
I dx
x x x x x x x x
2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 1
1
1 ( 3 ) ( 3 2 ) 13
ln
2 3 3 2 2 3 2
d x x d x x x x
x x x x x x
1 15
l n
2 12
5)
1
2
5
4 3 2
2
1
4 6 4 1
x
I dx
x x x x
Chia cả t ử và mẫu trong biểu thức tích phân cho
2
x
ta được :
1 1
2
2
5
2
2
2 2
2
2
1
1
1
1
4 1
1 1
4 6
4 6
dx
x
x
I dx
x x
x x
x x
x x
Cách 1: ( đổi biến ) Đặt
1
t x
x
2
2 2
2
1
1
1
2
dt dx
x
t x
x
và
:2 1x
thì
5
: 2
2
t
Khi đó
2
2 2 2
5
2 2 2
5
5 5 5
2
2 2 2
1
( 2 ) 4 6 4 4 ( 2) 2
dt dt dt
I
t t t t t t
1
36
Cách 2: ( tách ghép và sử dụn g k ĩ thuật vi phân – dành cho những ai có kĩ năng phân tích tốt)
1
1 1
2
5
2 2
2 2
2
1 1
1 2
1
1
1 1 1
2
4 4 2
dx d x
x x
I
x
x x x
x
x x x
1
36
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />T r a n g 9
6)
2 2
6
3 5 3 2
1 1
( 1 )
dx dx
I
x x x x
Cách 1: (đ ổ i b i ế n)
Đặt
2
t x
2
2
dt
dt xdx x d x
và
:12x
thì
:1 4t
Khi đó
2 4
6
4 2 2
1 1
1
( 1 ) 2 ( 1 )
xdx dt
I
x x t t
4
2
1
1 ( 1 )
2 ( 1 )
t t
dt
t t
4 4
2 2
1 1
1 1 1 1 1 ( 1 )
2 ( 1 ) 2 ( 1 )
t t
dt dt
t t t t t t
4
4
2
1
1
1 1 1 1 1 1 1
l n
2 1 2
t
dt
t t t t t
3 1 5
l n
8 2 8
Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép)
2 2
2 2
6
3 2 3 2
1 1
( 1 ) 1 1
( 1 ) ( 1 )
x x
I dx dx
x x x x x
2 2
2 2
3 2 3 2
1 1
1 ( 1 ) 1 1
( 1 ) 1
x x x
dx dx
x x x x x x
2 2
2
3 2
1 1
1 1 1 ( 1 )
2 1
d x
dx
x x x
2
2
2
1
1 1 3 1 5
ln l n ( 1 ) ln 2 ln
2 2 8 2 2
x x
x
3 1 5
l n
8 2 8
7)
1
1 1 1
7
3 3 2 3 2
0 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 2(1 2 ) 4(1 2 )
x x
I dx dx dx
x x x x x x
1
18
8)
2
8
2014
1
1
dx
I
x x
Đặt
2014 2013 2013
1 2014
2014
dt
t x dt x dx x dx
và
:12x
thì
2014
: 2 1 2t
Khi đó
2014 2014
2 1 2 1 2
2013
8
2014 2014
1 2 2
1 1 1 1
2014 ( 1 ) 2014 1
1
x dx dt
I dt
t t t t
x x
2014
1 2
2
1 1
ln
2014
t
t
2014
2015ln2 l n (1 2 )
2014
9)
0
2
9
8
1
( 1 )
x dx
I
x
Đ ặ t
1t x dt d x
v à
:1 0x
thì
:1 2t
Khi đó
2
2 2 2
2 2
9
8 8 8 7 6 7 6 5
1 1 1
1
( 1 ) 1 2 1 2 1 1 1 1
7 3 5
t d t t t
I dt dt
t t t t t t t t
33
4480
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau: 1)
2
2
1
3
1
1x
I dx
x
2)
l n 2
3
2
0
1
x
I e dx
Giải:
1)
2
2
1
3
1
1x
I dx
x
Đặt
2 2 2
2 2
1 1
1
tdt x d x
t x t x
x t
và cận
:0 3t
2 2 3 3
2 2 2
1
3 4 2 2 2 2
1 1 0 0
1 1 . .
( 1 ) ( 1 )
x x x d x t tdt t
I dx dt
x x t t
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 10
Đặt
2
2
tan ( 1 tan )
cos
du
t u dt u du
u
và cận
:0
3
u
2 2 2 23 3 3 3
2 2
1
2 2 2 2
0 0 0 0
tan .(1 tan ) tan sin
.cos sin
( 1 tan ) 1 tan c o s
u u du u u
I du udu udu
u u u
3
3
0
0
1 cos2 1 1 3
sin2
2 2 4 6 8
u
du u u
4 3 3
24
2)
l n 2
3
2
0
1
x
I e dx
Đặt
2
3 3
3
3
1 1
1
x
x x
x
t dt e dx
t e t e
e t
v à c ậ n
:0 1t
l n 2 l n 2 1 1 1
3 2 3
3
2
3 3 3
0 0 0 0 0
1 . . 3 1
1 3 3 1
1 1 1
x x
x
x
e e dx t t dt t dt
I e dx dt
e t t t
Ta dùng phương pháp đồn g n h ất hệ s ố:
2
3 2 2
1 1
1 .( 1 ) ( )( 1 )
1 ( 1 ) ( 1 ) 1 1
A B t C
A t t Bt C t
t t t t t t t
2
0
1 1 2
1 ( ) ( ) 0 ; ;
3 3 3
1
A B
A B t A B C t A C A B C A B C
A C
( C ó t h ể chọn
0t
và
1t
được ba pt 3 ẩn
, ,A B C
rồi giải t ì m được
, ,A B C
(máy tính có thể giúp ) )
V ậy ta có:
3 2 2
1 1 2 1 1 2
1 3 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 1 1
t t
t t t t t t t
1
2
2
0
1 2
3
1 1
t
I dt
t t t
1 1 1 1
2
2 2 2
0 0 0 0
1
(2 1 ) 1
1 1 1 ( 1 )
2
3 3
1 1 1 2 1 1
t
d t t d t
dt d t
t t t t t t t t
1
2
0
1
3 ln( 1 ) ln( 1 )
2
t t t t J
3 l n 2 J
(*) với
1 1
2
2
2
0 0
1
1 3
2 2
dt dt
J
t t
t
Đặt
2
2
2
2
2
3 3(1 tan )
2cos 2
1 3
tan
2 2
1 3 3
( 1 tan )
2 2 4
u
dt du du
t
t u
t u
và :0 1t thì cậ n
:
6 6
u
26 6
6
2
6
6 6
3(1 tan ) 4 2 3 2 32 3
.
2 3 ( 1 tan ) 3 3 9
u
J du du u
u
(2*)
Thay (2*) vào (*) ta được :
2
I
2 3
3 l n 2
9
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 11
Nhận x é t : Trong các bài toán đổi biế n các em sẽ nhận ra một đ iều (rất quan trọng trong phần đổi biế n), khi
chúng ta đổi b i ến th ì bư ớ c t i ếp theo là bước vi phân cả 2 vế. Sau khi làm xong điều này các em sẽ biế t ngay
là bài toán chúng ta đi có đúng hướng hay không. Cụ thể : Nế u sau khi vi phân ta có:
( ) ( )
f t dt g x dx
t h ì
xảy ra 2 khả năng:
+) Trong đề bài có chứ a
( )
g x dx
(có thể phải thêm bước tách ghép, thêm bớt để nhìn thấy nó) và phần còn
lại c ủa biể u thức dưới dấu tích phân (nế u có) còn chứ a biế n
x
mà ta rút được t h e o
t
. Khi đó xác suất ta đi
theo hướng này đúng là cao.
+) Trong đề bài không có lượng
( )
g x
để ta c h ỉ nh (vì
dx
đi một mình lúc này “không ổn” phải có mặt
( )
g x
đi cùng hay phải có
( )
g x dx
thì ta mới chuyển được theo
( )
f t dt
). Khi đó các em nên nghĩ tới việc t ự
nhân thêm vào (đề bài không cho thì ta tự cho) và chỉ nh bằng cách nhân với lượng tương ứng ở dưới mẫu số
và phần phát sinh thêm sau khi nhân cùng với biể u thức trước đó sẽ r ú t đ ư ợ c theo
t
(ở cả hai bài toán trên
ta đã tự nhân cả tử và mẫu lần lượt v ới
x
và
x
e
)
Bài luyện
Tính các tích phân sau: 1)
1
2
0
2
dx
I
x x
( Đs:
1 1
l n
3 4
) 2)
1
2
2
0
4 11
5 6
x
I dx
x x
( Đs:
9
ln
2
)
3)
3
3
3
2
0
2 1
x
I dx
x
x
( Đs:
9
3ln4
4
) 4)
3
3
4
2
0
1
x dx
I
x
( Đ s :
3
ln2
2
)
5)
1
5
4 2
0
4 3
xdx
I
x x
( Đs:
1 3
l n
4 2
) 6)
1
2
6
2
0
3 10
2 9
x x
I dx
x x
( Đs:
1 4
1
2
l n
3
)
7)
0
7
2 2
1
( 4 3 ) ( 4 4)
dx
I
x x x x
( Đs:
1 3 1
ln
2 2 6
) 8)
1
2
8
4 2
0
2 1
dx
I
x x
( Đs:
1 1
l n 3
3 4
)
9)
1
9
4 2
0
3 4
dx
I
x x
( Đs:
l n 3
20
) 10)
1
10
4 2
0
4 3
dx
I
x x
( Đs:
( 9 2 3)
72
)
11)
1
11
3
0
( 1 3 )
x
I dx
x
( Đs:
1
8
) 12)
1
12
2
2
0
1
dx
I
x
( Đs:
2
8
) 13)
1
3
1 3
2
8
0
4
x dx
I
x
( Đ s :
1 l n 3
96 128
)
14)
1
14
3
0
1
dx
I
x
( Đs:
1 3
ln2
3 18
) 15)
6 10
2
2
15
4
1
1
1
x
I dx
x
( Đs:
2
6
) 16)
1
4
16
6
0
1
1
x
I dx
x
(Đs:
3
)
17)
1
2
17
4 3 2
1
2
2
2 5 4 4
x
I
x x x x
( Đs:
3
44
) 18)
1
18
2 2
0
2 5
( 3 2)( 7 12)
x
I dx
x x x x
( Đs:
1 5
ln
2 4
)
19)
1
19
4 3 2
0
2 1
2 3 2 3
x
I dx
x x x x
( Đs:
3
ln
5
) 20)
2
2
20
4 2
1
3
( 3 2)
x
I dx
x x x
( Đ s :
13 21
l n 3 ln2
4 4
)
21)
1
21
2
0
( 1 ) ( 2)
xdx
I
x x
( Đs:
3
l n 2
20 5
) 22)
1
2
22
3 2
0
2 5 2
2 4 8
x x
I dx
x x x
( Đs:
1 3
l n
6 4
)
23)
2
3 2
23
4 3
1
4 1x x x
I dx
x x
( Đ s :
8 15
ln
3 7
) 24)
5
3 2
24
2 2
3
4 2 1
( 1 )
x x x
I dx
x x
( Đs:
15 2
ln
2 15
)
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 12
2. TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Trước khi đi vào 10 dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đ ạ i H ọc – Cao Đẳng các em cần nắm
được cách tính các tích phân lượng giác cơ bản qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau với
1 ; 5k
(có 40 câu tích phân trong ví dụ này) :
2
0
sin
k
A xd x
2
0
cos
k
B xdx
4
0
tan
k
C x d x
2
4
c o t
k
D xdx
2
3
1
sin
k
E dx
x
6
0
1
c o s
k
F dx
x
4
6
1
tan
k
G dx
x
3
4
1
cot
k
H dx
x
Giải:
*) Với k = 1 . Ta có :
+)
2
2
1
0
0
sin c o sA xdx x
1
+)
2
2
1
0
0
cos sinB xdx x
1
+)
4 4 4
4
1
0
0 0 0
sin cos 2
tan l n cos l n
cos cos 2
x d x
C x d x dx x
x x
1
ln2
2
+)
2 2 2
2
1
4
4 4 4
cos sin 2
cot l n sin l n
sin sin 2
x d x
D xdx dx x
x x
1
l n 2
2
+)
2
1
3
1
sin
E d x
x
Cách 1:
2 2 2
1
2 2
3 3 3
1 sin sin
sin sin 1 c o s
x x
E dx dx dx
x x x
. Lúc này ta có 2 cách trình bày
Cách trình bày 1: Đặt
c o st x
sind t x d x
v à
:
3 2
x
thì
1
: 0
2
t
Khi đó
1 1 1 1
1
2 2 2 2
2
1
2
0 0 0 0
0
1 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 1
l n
1 ( 1 ) (1 ) 2 ( 1 ) (1 ) 2 1 1 2 1
dt dt t t t
E dt dt
t t t t t t t t
1
l n 3
2
Cách trình bày 2:
2 2
2
1
3
3 3
cos 1 1 1 1 1 cos
cos ln
( 1 c o s )(1 c o s ) 2 1 cos 1 c o s 2 1 c o s
d x x
E d x
x x x x x
1
ln3
2
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 13
Cách 2:
2 2
2 2 2 2 2 2
1
3 3 3 3 3 3
sin c o s sin c o s c o s sin
1 1 1
2 2 2 2 2 2
sin 2 2
2sinc o s cos sin c o s sin
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
dx dx d d
E dx dx
x x x x x x
x
2
2
3
3
ln cos ln sin ln tan
2 2 2
x x x
1
l n 3
2
Cách 3:
2 2 2 2
1
2
3 3 3 3
tan
1 1
2
sin
2sincos 2tan cos tan
2 2 2 2 2
x
d
dx
E dx dx
x x x x x
x
2
3
ln tan
2
x
1
l n 3
2
+)
6 6 6
1
2 2
0 0 0
1 cos cos
c o s cos 1 sin
x x
F dx dx dx
x x x
( tính tương tự như
1
E
- hoặ c đ ổ i biến hoặc v i p hâ n )
6 6
6
0 0
0
1 sin 1 1 1 1 1 sin
sin l n
2 ( 1 sin ) (1 sin ) 2 1 sin 1 sin 2 1 sin
d x x
d x
x x x x x
1
ln3
2
+)
4 4 4 4
4
1
6
6 6 6 6
1 cos sin
c o t ln sin l n 2
tan sin sin
x d x
G dx xdx dx x
x x x
1
l n 2
2
+)
3 3 3 3
3
1
4
4 4 4 4
1 sin cos 2
tan l n c o s l n
cot co s cos 2
x d x
H d x xdx dx x
x x x
1
l n 2
2
*) Với k = 2 . Ta có:
+)
2 2
2
2
2
0 0
0
1 1 1
sin ( 1 cos2 ) sin 2
2 2 2
A xdx x dx x x
4
+)
2 2
2
2
2
0 0
0
1 1 1
cos ( 1 c o s 2 ) sin2
2 2 2
B xdx x dx x x
4
+)
4 4
2
4
2
2
0
0 0
1
tan 1 tan
c o s
C xdx dx x x
x
4
4
+)
2 2
2
2
2
2
4
4 4
1
c o t 1 cot
sin
D x d x dx x x
x
4
4
+)
2
2
2
2
3
3
1
c o t
sin
E dx x
x
3
3
+)
6
6
2
2
0
0
1
tan
cos
F dx x
x
3
3
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 14
+)
4 4 4
2
4
2
2 2
6
6 6 6
1 1
cot 1 cot
tan sin
G dx x d x dx x x
x x
3 1
12
+)
3 3 3
2
3
2
2 2
4
4 4 4
1 1
tan 1 tan
c o t c o s
H dx x d x dx x x
x x
3 1
12
*) Với k = 3 . Ta có:
+)
32 2 2
2
3 2 2
3
0 0 0
0
c o s
sin si n .sin ( 1 c o s ) c o s c o s
3
x
A x d x x x d x x d x x
2
3
(có thể đặt co st x )
+)
3
2 2 2
2
3 2 2
3
0 0 0
0
sin
c o s cos .cos ( 1 sin ) sin sin
3
x
B xdx x xdx x d x x
2
3
(có thể đặt
sint x
)
+)
4 4 4 4
3 3 2
3
2
0 0 0 0
tan
tan tan tan tan tan ( 1 tan ) tan tan
cos
x
C xdx x x x dx x x x dx x dx
x
2
4 4 4
4
1 1
2
0 0 0
0
tan tan
tan tan tan
cos 2
x x
dx xdx xd x CC
x
1 1
l n 2
2 2
( các em có thể x e m l ại cách tính
1
1
ln2
2
C
đã tính ở trước đó với k = 1 )
+)
2 2 2 2
3 3 2
3
2
4 4 4 4
c o t
c o t c ot cot cot cot ( 1 cot ) cot co t
sin
x
D x d x x x x dx x x x dx x dx
x
22 2 2
2
1 1
2
4
4 4 4
c o t cot
c o t cot cot
sin 2
x x
dx xdx xd x D D
x
1 1
l n 2
2 2
(các em có thể xem lại cách tính
1
1
ln 2
2
D
đã tính ở trước đó với k = 1 )
+)
2 2 2
3
3 4 2 2
3 3 3
1 sin sin
sin sin ( 1 cos )
x x
E dx dx dx
x x x
Đặt
cos sint x dt x d x
và
1
: 0
2
t
Khi đó
1 1 1
2
2 2
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
0 0 0
( 1 ) ( 1 )
1 1 ( 1 ) ( 1 ) 2(1 ). (1 )
( 1 ) 4 ( 1 ) .(1 ) 4 ( 1 ) .(1 )
t t dt
dt t t t t
E dt
t t t t t
1 1
2 2
2 2 2 2
0 0
1 1 1 2 1 1 1 1 1
4 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) . (1 ) 4 ( 1 ) ( 1 ) 1 1
dt dt
t t t t t t t t
1
2
0
1 1 1 1
l n
4 1 1 1
t
t t t
1 1
ln3
4 3
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 15
+)
6 6 6
3
3 4 2 2
0 0 0
1 co s cos
cos cos ( 1 sin )
x x
F dx dx dx
x x x
Đặt
sin cost x d t x d x
và
:0
6
x
thì
1
:0t
2
Khi đó
1 1 1
2
2 2
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
0 0 0
( 1 ) ( 1 )
1 1 ( 1 ) ( 1 ) 2(1 ).(1 )
( 1 ) 4 ( 1 ) .(1 ) 4 ( 1 ) .(1 )
t t dt
dt t t t t
F dt
t t t t t
1 1
2 2
2 2 2 2
0 0
1 1 1 2 1 1 1 1 1
4 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) . (1 ) 4 ( 1 ) ( 1 ) 1 1
dt dt
t t t t t t t t
1
2
0
1 1 1 1
l n
4 1 1 1
t
t t t
1 1
ln3
4 3
+)
4 4 4 4
3 3 2
3
3
6 6 6 6
1
cot cot c o t c o t cot ( 1 cot ) cot
tan
G dx xdx x x x dx x x x dx
x
4 4 4 4 4
2 2
6 6 6 6 6
c o t c o s c o t cos sin
c o t c o t
sin sin sin sin sin
x x x x d x
dx dx dx xd x
x x x x x
2
4
6
cot
ln sin
2
x
x
1
1 ln2
2
+)
3 3 3 3
3 3 2
3
3
4 4 4 4
1
tan tan tan tan tan ( 1 tan ) tan
c o t
H dx xdx x x x dx x x x dx
x
3 3 3 3 3
2 2
4 4 4 4 4
tan sin tan sin cos
tan tan
cos c o s cos cos cos
x x x x d x
dx dx dx xd x
x x x x x
2
3
4
tan
l n c o s
2
x
x
1
1 ln 2
2
*) Với k = 4 . Ta có:
+)
2
2 2 2 2
4 2
4
0 0 0 0
1 c o s 2 1 1 1 c o s 4
sin 1 2cos2 cos 2 1 2cos2
2 4 4 2
x x
A xdx dx x x dx x dx
2
2
0
0
1 3 1 1 3 1
2cos2 c o s 4 sin 2 sin4
4 2 2 4 2 8
x x dx x x x
3
16
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 16
+)
3
16
+)
2
4 4 4 4
4 2 4 2 2 2 2 2
4
2
0 0 0 0
tan
tan tan tan tan tan ( 1 tan ) tan tan
cos
x
C xd x x x x dx x x x dx x dx
x
2 3
4 4 4
4
2 2
2 2
2
0 0 0
0
tan tan
tan tan tan
cos 3
x x
dx xdx xd x CC
x
1 4
3 4
3 8
12
(các em có thể xem lại cách tính
2
4
4
C
đã tính ở trước đó với k = 2 )
+)
2
2 2 2 2
4 2 4 2 2 2 2 2
4
2
4 4 4 4
c o t
c o t c o t cot cot c o t ( 1 co t ) c o t cot
sin
x
D xdx x x x dx x x x d x x dx
x
2 3
2 2 2
2
2 2
2 2
2
4
4 4 4
cot c o t
cot co t cot
sin 3
x x
dx xd x x d x DD
x
1 4
3 4
3 8
12
(các em có thể xem lại cách tính
2
4
4
D
đã tính ở trước đó với k = 2 )
+)
3
2 2 2
2
2
4
4 2 2
3
3 3 3
1 1 1 co t
. 1 c o t . c o t cot
sin sin sin 3
x
E dx d x x d x x
x x x
10 3
27
+)
3
6 6 6
6
2
4
4 2 2
0 0 0
0
1 1 1 tan
. 1 tan . tan tan
c o s c o s c o s 3
x
F d x d x x d x x
x x x
10 3
27
+)
4 4 4 4
4 2 4 2 2 2 2
4
4
6 6 6 6
1
c o t cot cot cot cot ( 1 cot ) c o t
tan
G dx xdx x x x dx x x x dx
x
2 24 4 4 4 4
2 2 2
2 2 2
6 6 6 6 6
cot cot 1
c o t c ot co t cot 1
sin sin sin
x x
x dx dx xdx xd x dx
x x x
3
4
6
cot
cot
3
x
x x
8
12
2
2 2 2 2
4 2
4
0 0 0 0
1 co s 2 1 1 1 co s 4
cos 1 2cos2 cos 2 1 2cos2
2 4 4 2
x x
B xdx dx x x dx x dx
2
2
0
0
1 3 1 1 3 1
2cos2 cos4 sin 2 sin 4
4 2 2 4 2 8
x x dx x x x
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 17
+)
3 3 3 3
4 2 4 2 2 2 2
4
4
4 4 4 4
1
tan tan tan tan tan ( 1 tan ) tan
cot
H dx x d x x x x d x x x x dx
x
2 23 3 3 3 3
2 2 2
2 2 2
4 4 4 4 4
tan tan 1
tan tan tan tan 1
cos c o s c o s
x x
x dx d x xdx x d x dx
x x x
3
3
4
tan
tan
3
x
x x
8
12
*) Với k = 5 . Ta có:
+)
2 2 2 2
5 4 2 2 2 4
5
0 0 0 0
sin sin .sin ( 1 cos ) .sin ( 1 2cos cos ) . cosA xdx x x d x x x d x x x d x
2
3 5
0
2 1
c o s cos c o s
3
x
5
x x
8
15
(có thể đặt c o st x )
+)
2 2 2 2
5 4 2 2 2 4
5
0 0 0 0
cos cos .cos ( 1 sin ) .cos ( 1 2sin sin ). sinB xdx x xdx x x d x x x d x
2
3 5
0
2 1
sin sin sin
3
x
5
x x
8
15
(có thể đặt
sint x
)
+)
3
4 4 4 4
5 3 5 3 3 2 3 3
5
2
0 0 0 0
tan
tan tan tan tan tan ( 1 tan ) tan tan
cos
x
C xdx x x x dx x x x dx x dx
x
3 4
4 4 4
4
3 3
3 3
2
0 0 0
0
tan tan
tan tan tan
cos 4
x x
dx xdx xd x CC
x
1 1 1
l n 2
4 2 2
1 1
l n 2
2 4
( các em có thể xem lại cách tính
3
1 1
l n 2
2 2
C
đã tính ở trước đó với k = 3 )
+)
32 2 2 2
5 3 5 3 3 2 3 3
5
2
4 4 4 4
cot
cot c o t c o t cot cot ( 1 c o t ) c o t co t
sin
x
D xdx x x x dx x x x dx x dx
x
1 1 1
l n 2
4 2 2
1 1
l n 2
2 4
( các em có thể xem lại cách tính
3
1
2
1
l n 2D
2
đã tính ở trước đó với k = 3 )
3 4
2 2 2
2
3 3
3 3
2
4
4 4 4
cot cot
c o t c o t c o t
sin 4
x x
dx xdx xd x D D
x
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 18
+)
2 2 2
5
5 6 2 3
3 3 3
1 sin sin
sin sin ( 1 cos )
x x
E dx dx dx
x x x
Đặt
cos sint x dt x d x
và
:
3 2
x
thì
1
: 0
2
t
. Khi đó
1
2
5
2 3
0
( 1 )
dt
E
t
Ta có:
3
3 3
2 3 3 3 3 3
( 1 ) ( 1 )
1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 6(1 ).(1 )
. .
( 1 ) 8 ( 1 ) .(1 ) 8 ( 1 ) . (1 )
t t
t t t t
t t t t t
2
3 3 2 2 3 3 2 2
( 1 ) ( 1 )
1 1 1 6 1 1 1 3
.
8 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .(1 ) 8 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) .(1 )
t t
t t t t t t t t
2 2
3 3 2 2
1 1 1 3 ( 1 ) ( 1 ) 2(1 ) . ( 1 )
.
8 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) . (1 )
t t t t
t t t t
3 3 2 2
1 1 1 3 1 1 2
8 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ).(1 )t t t t t t
3 3 2 2
1 1 1 3 1 1 1 1
8 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 1t t t t t t
Suy ra
1
2
5
3 3 2 2
0
1 1 1 3 1 1 1 1
8 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 1
E dt
t t t t t t
1
2
2 2
0
1 1 1 3 1 1 1
l n
8 2(1 ) 2(1 ) 2 1 1 1
t
t t t t t
1 3
ln3
12 16
+)
6 6 6
5
5 6 2 3
0 0 0
1 c o s cos
c o s cos ( 1 sin )
x x
F dx dx dx
x x x
Đặt
sin cost x d t x d x
v à
1
:0t
2
.
Khi đó
1
2
5
2 3
0
( 1 )
dt
F
t
1 3
ln3
12 16
(xem cách tính
5
E
ở ý t r ên )
+)
3 3 3 3
5 3 5 3 3 2 3
5
5
4 4 4 4
1
tan tan tan tan tan ( 1 tan ) tan
cot
H dx x d x x x x d x x x x dx
x
3 33 3 3 3
3
3
2 3 2 3
4 4 4 4
tan 1 tan 1
tan tan
cos c o t cos cot
x x
dx dx dx xd x H
x x x x
4
3
3
4
tan 1
2 1 l n 2
4 2
x
H
1
1 l n 2
2
( các em có thể xem lại cách tính
3
1
1 ln2
2
H
đã tính ở trước đó với k = 3 )
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 19
CHÚ Ý:
+) Sẽ có nhiề u em thắc mắc l à b i ể u thức dưới dấu tích phân
tan
k
x d x
tương tự với
1
c o t
k
dx
x
v à
tương tự với . Nếu đi tính nguyên hàm (tích phân bất định ) chúng có sự g i ống nhau
(tính nguyên hàm được h i ể u là tính trên tập xác định của hàm). Nhưng nếu đi tính tích phân xác định thì sẽ
có sự khác biệt . Ví như tính và
4
1
0
1
cot
H dx
x
thì
1
1C
như cách chúng ta đã làm. Còn
trong tình huống này với kiế n thức toán sơ cấp sẽ không tính được vì hàm số dưới dấu tích phân không xác
định v ới cận
0x
.
+) Để đưa ra công thức t ổng quát cho các tích phân trên các em sẽ tìm hiể u rõ hơn ở mục VI trong phần
tích phân truy hồi .
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
1)
2
1
0
1 c o s
dx
I
x
2)
2
2
0
2 cos
dx
I
x
3)
2
3
0
1 sin
dx
I
x
4)
4
4
0
sin2 cos3 cos5I x x xd x
5)
4
2 6 6
5
0
( 1 2sin) sin cosI x x x dx
6)
3
3
6
0
sin cos
2 2
x x
I dx
Giải:
1)
2 2 2
2
1
2 2
0
0 0 0
2
tan
1 cos 2
2cos cos
2 2
x
d
dx dx x
I
x x
x
1
2)
2
2
0
2 cos
dx
I
x
Đặt
2
2
2
2
1
tan
2
1
cos
1
dt
dx
x
t
t
t
x
t
và
:0
2
x
thì
:0 1t
1 1
2
2
2 2
0 0
2
2
2
1
1 3
2
1
dt
dt
t
I
t t
t
Đặt
2
2
2 2
3
3(1 tan )
3 tan
cos
3 3 ( 1 tan )
d t du u du
t u
u
t u
v à
:0
6
t
Khi đó
2
6 6
6
2
2
0 0
0
2 3(1 tan ) 2 3 2 3
3 ( 1 tan ) 3 3
u du
I du u
u
3
9
CHÚ Ý: Khi đặt
2
2
2 2
2
1
tan
2
2 1
sin ; c o s
1 1
dt
dx
x
t
t
t t
x x
t t
cot
k
xdx
1
tan
k
dx
x
4
1
0
tanC xdx
1
H
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 20
3)
2 2 2
2
3
2
2
0 0 0
0
cot
1 sin 2 4
2sin
sin cos
2 4
2 2
d x d x dx x
I
x
x
x x
1
( hoặc biến đổi
2
1 1 1
1 sin
1 cos 2sin
2 2 4
x
x
x
)
4)
4 4 4
4
0 0 0
1 1
sin2 co s 3 cos5 sin 2 cos 8 cos2 sin2 cos8 sin 2 c o s 2
2 2
I x x xd x x x x dx x x x x dx
4
4
0
0
1 1 1 1 1
sin10 sin6 sin4 cos10 cos6 cos 4
4 4 10 6 4
x x x dx x x x
13
120
5)
4
2 6 6
5
0
( 1 2sin) sin cosI x x x dx
Ta có:
2
6 6 2 2 3 2 2 2 2 2
1 2sin co s 2
3
sin cos (si n c o s ) 3sin .cos ( s in c o s ) 1 sin 2
4
x x
x x x x x x x x x
Khi đó
4 4
4
2 2 3
5
0 0
0
3 1 3 1 1
cos2 1 sin 1 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2
4 2 4 2 4
I x x dx x d x x x
3
8
6)
3 3
3
3 3 4
6
0
0 0
1
sin c o s 2 sin sin sin
2 2 2 2 2 2
x x x x x
I dx d
1
4
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
1)
4
1
0
cos sin
1 sin2
x x
I dx
x
2)
3
2
0
sin
3sin cos
k
x
I dx
x x
v ới
1 ; 3k
3)
3
4
3
4
2 sin cos
dx
I
x x
4)
3
4
0
cos .cos3I x xd x
5)
4
3 3
5
0
cos2 .( s in sin3 cos cos3 )I x x x x x dx
6)
4
4
6
4 4
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
Giải:
1)
4 4
4
1
2
0
0 0
c o s sin ( si n cos ) 1
1 sin 2 (sin cos ) sin c o s
x x d x x
I dx
x x x x x
2
1
2
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 21
2)
3
2
0
sin
3sin cos
k
x
I d x
x x
với
1 ; 3k
Cách trình bày 1:
Ta có:
3 3 3
2
0 0 0
3 1
sin sin co s
sin 1
6 6 2 6 2 6
2
3 13sin cos
sin
2 sin c o s
6
2 2
k k
k
k
k
x x x
x
I dx dx dx
x x
x
x x
3 3
1
1
0 0
c o s
1 3
6
2
sin sin
6 6
k
k k
x dx
dx
x x
3 3
1 1
1
0 0
sin
3 1
6
2 2
sin sin
6 6
k k
k k
d x
dx
x x
+) V ới
3k
3
3 3
2
2 3 2
0 0
0
sin
3 1 3 1
6
cot
16 16 16 6
sin sin 32 s in
6 6 6
d x
dx
I x
x x x
3
32
+) V ới
2k
khi đó
3 3
2
2
0 0
sin
3 1
6
8 8
sin sin
6 6
d x
dx
I
x x
3 1
8 8
A B
(1 )
*) Ta có:
3 3 3
2 2
0 0 0
sin sin
6 6
sin sin 1 c o s
6 6 6
x x
dx
A dx dx
x x x
3
0
cos
6
1 cos 1 c o s
6 6
d x
x x
3
0
1 1 1
cos
2 6
1 cos 1 cos
6 6
d x
x x
3
0
1 cos
1
6
ln l n 3 2
2
1 c o s
6
x
x
(2) *) Ta có:
3
3
2
0
0
sin
1
6
1
sin sin
6 6
d x
B
x x
(3)
Thay (3); (2) v à o (1) ta được :
2
I
3ln 3 2 1
8
+) V ới
1k
3
3 3
2
0 0
0
sin
3 1 3 1
6
l n sin
4 4 4 4 6
sin
6
d x
I dx x x
x
3 1
ln2
12 4
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 22
Cách trình bày 2:
3
2
0
sin
3sin cos
k
x
I d x
x x
với
1 ; 3k
Ta có:
3 3 3
2
0 0 0
sin sin 1 sin
2
3 1
3sin cos
sin
2 sin cos
6
2 2
k k
k
k
k
x x x
I dx dx dx
x x
x
x x
Đặt
6
t x dt dx
và
:0
3
x
thì
:
6 2
t
Khi đó
2 2 2
2
1
6 6 6
3 1
sin
sin cos
1 1 1 3sin cos
6
2 2
2 sin 2 sin 2 sin sin
k k k k k k k
t
t t
t t
I dt dt dt
t t t t
+) V ới
1k
2 2 2
2
2
6
6 6 6
1 cos 1 sin 1
3 3 3 ln sin
4 sin 4 sin 4
t d t
I dt dt t t
t t
3 1
ln2
12 4
+) V ới
2k
2 2 2
2
2 2 2
6 6 6
1 3 sin c o s 1 c o s sin
3
8 sin sin 8 ( 1 cos ) ( 1 cos ) sin
t t d t d t
I dt
t t t t t
2
6
3 1 cos 1
ln
16 1 c o s 8sin
t
t t
3ln 3 2 1
8
+) V ới
3k
2 2 2
2
2 3 2 3
6 6 6
1 3 cos 1 sin
3
16 sin sin 16 sin sin
t dt d t
I dt
t t t t
2
2
6
1 1
3 c o t
16 2sin
t
t
3
32
3)
3 3 3 3
4 4 4 4
3
2
4 4 4 4
1 1
2 sin cos 2 2 2
2 2 cos 1 co s sin
4 4 2 8
dx dx dx dx
I
x
x x
x x
3
3
4
4
2
4
4
1 1
2 8
c o t
2 8
2 2
sin
2 8
x
d
x
x
2
2
4)
3
4
0
cos .cos3I x xd x
Ta có:
3 2
1 cos 2 c o s 4 cos 2
cos .cos3 c o s .(cos .cos3) .
2 2
x x x
x x x x x
2
1
c o s 4 c o s 2 cos 2 .cos4 cos 2
4
x x x x x
1cos6 cos 2 1 co s 4
co s 4 cos2
4 2 2
x x x
x x
c o s 6 3cos4 3cos2 1
8
x x x
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 23
4
0
0
1 1 sin 6 3sin4 3sin2
(cos6 3cos4 3cos2 1 )
8 8 6 4 2
x x x
I x x x dx x
=
8
Chú ý: Bài toán trên ta có thể có cách biến đổi :
Xuất phát từ công thức nhân 3 của cos:
3
cos3 4cos 3cos
x x x
( sau đó nhân cả 2 vế với
cos3
x
)
2 3 3
1 c o s 6 3 ( c o s 4 cos 2 )
cos 3 4cos.cos3 3cos.cos3 4cos.cos3
2 2
x x x
x x x x x x x
3
c o s 6 3cos4 3cos2 1
cos .cos3
8
x x x
x x
5)
4
3 3
5
0
c o s 2 .(sin sin3 cos c o s 3 )I x x x x x dx
Ta có:
3 3
sin sin 3 cos cos 3
x x x x
=
2 2
sin ( 1 c o s )sin3 cos ( 1 sin )cos3
x x x x x x
=
sin sin3 cos cos 3 sin cos cos sin 3 s i n cos 3
x x x x x x x x x x
=
cos2 sin cos .sin4
x x x x
2 2 3
cos2 sin 2 c o s 2 cos2 ( 1 sin 2 ) c o s 2
x x x x x x
Khi đó:
2
4 4 4 4
3 4 2
5
0 0 0 0
1 c o s 4 1
cos2 .cos2 c o s 2 1 2cos4 cos 4
2 4
x
I x x d x x d x dx x x dx
3
32
6)
4
4
6
4 4
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
Ta có:
2
2 2
4
2
4 4 2
1 cos2 1 c o s 2 2cos2 2 sin 2 2cos2
sin
2 4 4
1 2 sin 2
sin c o s 1 sin 2
2 2
x x x x x
x
x
x x x
Khi đó:
2
4 4 4
4
6
2 2 2
0
0 0 0
1 2 sin 2 2cos2 1 2cos2 1 cos2
1
2 2 sin 2 2 2 sin 2 2 2 sin 2 8
x x x x
I dx dx x dx I
x x x
Tính
4
2
0
cos 2
2 sin 2
x
I dx
x
Đặt
sin2 2cos2 cos2
2
dt
t x dt xdx x dx
v à
:0 1t
, suy ra:
1
1 1 1
2
0 0 0
0
2 2
1 1 1 1 1 1 2 1
l n ln 2 1
2 2
4 2 4 2 2 2 4 22 2 2
2 2
t t
dt t
I dt dt
t
t t t
t t
Vậy
6
I
1
l n 2 1
8
2 2
Chú ý: Bài toán trên ta có thể có cách biến đổi :
2 2 2 2
4 4 4 4 4
4 4 2
4 4
2
sin cos sin cos
sin sin cos sin cos 1 1 cos 2
1
sin c o s 2 2 2 sin 2
2 sin c os
2 1 sin 2
2
x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x
2
cos2 2sincos .sin2 cos2 cos 2 sin 2 cos 2
x x x x x x x x
4 4
4
0 0
0
1 1 cos8 1 3 1 1 3 1 1
1 2cos4 2cos4 cos8 sin 4 sin8
4 2 4 2 2 4 2 2 16
x
x dx x x dx x x x
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 24
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: 1)
2
1
0
1 sin cos
dx
I
x x
2)
4
2
0
2sin 11cos
3sin 4cos
x x
I dx
x x
3)
2
3
0
sin 7cos 6
4sin 3cos 5
x x
I dx
x x
4)
5)
3
5
6
sin .sin
6
dx
I
x x
Giải:
1)
2
1
0
1 sin cos
dx
I
x x
Đặt
2
2
2
2
2
2 2
1 tan
1 2
2
2 2 1
2cos
tan
2
2
2 1
sin ; c o s
1 1
x
dx t dt
dt dx dx dx
x
x t
t
t t
x x
t t
và
:0
2
x
thì
:0 1t
, khi đó
1 1
1
1
2
0
2
0 0
2 2
2
ln 1
1
2 1
1 1
1 1
dt dt
I t
t
t t
t
t t
ln2
2)
4
2
0
2sin 11cos
3sin 4cos
x x
I dx
x x
Ta phân tích:
2sin co s (3sin 4cos) (3 cos 4sin)
x x A x x B x x
2sin 11cos ( 3 4 )sin (4 3 )cos
x x A B x A B x
Đ ồ ng nhất hệ s ố ta được:
3 4 2 2
4 3 11 1
A B A
A B B
Khi đó :
4 4 4
2
0 0 0
2(3sin 4cos) ( 3 c o s 4sin) ( 3 si n 4cos)
2
3sin 4cos 3sin 4cos
x x x x d x x
I dx dx
x x x x
4
0
2 l n 3sin 4cosx x x
7 2
l n
2 8
3)
2
3
0
sin 7cos 6
4sin 3cos 5
x x
I dx
x x
Phân tích:
sin 7cos 6 (4sin 3cos 5) (4cos 3sin)
x x A x x B x x C
sin 7cos 6 (4 3 )sin (3 4 )c o s 5
x x A B x A B x A C
Đồng nhất hệ số ta được:
4 3 1
3 4 7 1
5 6
A B
A B A B C
A C
Khi đó :
2 2 2
3
0 0 0
4sin 3cos 5 4cos 3sin 1
4sin 3cos 5 4sin 3cos 5 4sin 3cos 5
x x x x
I dx dx dx
x x x x x x
2 2
2
0
0 0
(4sin 3cos 5) 9
l n 4sin 3cos 5 l n
4sin 3cos 5 2 8
d x x
dx I x x x I I
x x
( *)
0
4
2
2
sin 2
(2 sin )
x
I dx
x
Webdiemthi.vn
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 />Trang 25
Tính
2
0
1
4sin 3cos 5
I dx
x x
Đ ặ t
2
2
2 2
2
1
tan
2
2 1
sin ; c o s
1 1
dt
dx
x
t
t
t t
x x
t t
và
:0
2
x
thì
:0 1t
. Suy ra
1
1 1 1
2
2 2 2
0 0 0
0
2 2
2
1 1
1
2 1 4 4 ( 2) 26
4. 3. 5
1 1
dt
dt dt
t
I
t t t t t t
t t
(2*)
Thay (2*) vào (*) ta được:
3
I
9 1
ln
2 8 6
4)
0
4
2
2
sin 2
(2 sin )
x
I dx
x
Cách 1: ( Phân tích, kế t hợp kĩ thuật vi phân)
0 0
4
2 2
2 2
sin 2 2cos(2 sin ) 4cos
(2 sin ) (2 sin )
x x x x
I dx dx
x x
0 0
2
2 2
c o s cos
2 4
2 sin (2 sin )
x x
dx dx
x x
0
0 0
2
2
2 2
(2 sin ) (2 sin ) 4
2 4 2ln2 sin
2 sin (2 sin ) 2 sin
d x d x
x
x x x
2ln2 2
Cách 2: ( Đ ổ i biến)
Đặt
2 sin cost x dt xdx
và
: 0
2
x
thì
:1 2t
Khi đó
2
0 2 2
4
2 2 2
1 1
1
2
2sin 2( 2) 2 4 4
cos 2ln
(2 sin )
x t
I xdx dt dt t
x t t t t
2ln2 2
5)
3
5
6
sin .sin
6
dx
I
x x
Cách 1:
3 3
5
6 6
2
3 1
sin . 3sin cos
sin . sin cos
2 2
dx dx
I
x x x
x x x
3
2
6
2
sin . 3 cot
dx
x x
3
3
6
6
3 cot
2 2ln3 cot
3 cot
d x
x
x
3
2ln
2
Cách 2:
3 3
5
6 6
sin sin cos c o s sin
1
6 6 6
. 2
sin
sin .sin sin .sin
6
6 6
x x x x x x
I dx dx
x x x x
3
3 3 6
6 6 6
6
cos sin
cos sin sin
6 6
2 2 2ln
sin sin
sin sin sin
6 6 6
x d x
x d x x
d x
x x
x x x
3
2ln
2
Webdiemthi.vn
