tuyển tập đề thi toán lên lớp 10 có đáp án

TP HỒ CHÍ MINH
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008
KHÓA NGÀY 20-6-2007
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1, 5 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x
2
– 2 x + 4 = 0
b) x
4
– 29x
2
+ 100 = 0
c)
Câu 2: (1, 5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
a)
b)
Câu 3: (1 điểm)
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m
2
và có chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và
chiều rộng của khu vườn.
Câu 4: (2 điểm)
Cho phương trình x
2
– 2mx + m
2
– m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.

a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
.
c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x
1
x
2
- x
1
- x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại
E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.
Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT
Năm học 2007-2008
1
Câu 1:
a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x
1
= 5 – 1 và x

2
= 5 + 1.
b) Đặt t = x
2
≥ 0, ta được phương trình trở thành t
2
– 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2.
* t = 25 x
2
= 25 x = ± 5.
* t = 4 x
2
= 4 x = ± 2.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5.
c)
Câu 2:
a)
b)
Câu 3:
Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0).
Theo đề bài ta có:
Ta có: (*) x
2
– 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15.
Khi x = 45 thì y = 15 (nhận)
Khi x = 15 thì y = 45 (loại)
Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m)
Câu 4:
Cho phương trình x
2

– 2mx + m
2
– m + 1 = 0 (1)
a) Khi m = 1 thì (1) trở thành:
x
2
– 2x + 1 = 0 (x – 1)
2
= 0 x = 1.
b) (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
Δ’ = m – 1 > 0 m > 1.
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
m > 1.
c) Khi m > 1 ta có:
S = x
1
+ x
2
= 2m và P = x
1
x
2
= m
2

– m + 1
Do đó: A = P – S = m
2
– m + 1 – 2m = m
2
– 3m + 1 = − ≥ – .
Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là – .
Câu 5:
a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC.
Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BF, CE là hai đường cao của ΔABC.
H là trực tâm của Δ ABC.
2
AH vuông góc với BC.
b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:
chung và
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB
c) Khi BHOC nội tiếp ta có:
mà và (do AEHF nội
tiếp)
Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )
Vậy mà BC = 2KC nên
d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:
(đối đỉnh)
Δ EHB đồng dạng với Δ FHC
3
HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12

HC(CE – HC) = 12 HC
2
– 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6.
* Khi HC = 2 thì HE = 6 (không thỏa HC > HE)
* Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE)
Vậy HC = 6 (cm).
****************************
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2008-2009
KHÓA NGÀY 18-06-2008
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 2x
2
+ 3x – 5 = 0 (1)
b) x
4
– 3x
2
– 4 = 0 (2)
c)
2x y 1 (a)
3x 4y 1 (b)
+ =


+ = −


(3)
Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –x
2
và đường thẳng (D): y = x – 2 trên cùng một cùng một
hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Câu 3: Thu gọn các biểu thức sau:
a) A =
7 4 3 7 4 3− − +
b) B =
x 1 x 1 x x 2x 4 x 8
.
x 4
x 4 x 4 x
 
+ − + − −
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 
(x > 0; x ≠ 4).
Câu 4: Cho phương trình x
2
– 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi x
1

, x
2
là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để
2 2
1 2 1 2
x x x x 7+ − =
.
Câu 5: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến
MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
a) Chứng minh MA
2
= MC.MD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I , B cùng nằm trên một
đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn.
Suy ra AB là phân giác của góc CHD.
4
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K
thẳng hàng.
oOo
Gợi ý giải đề thi môn toán
Câu 1:
a) 2x
2
+ 3x – 5 = 0 (1)
Cách 1: Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm là:
x
1
= 1 hay x
2

=
c 5
a 2
= −
.
Cách 2: Ta có ∆ = b
2
– 4ac = 3
2
– 4.2.(–5) = 49 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là x
1

=
3 7 5
4 2
− −
= −
hoặc x
2
=
3 7
1
4
− +
=
.
b) x
4
– 3x
2

– 4 = 0 (2)
Đặt t = x
2
, t ≥ 0.
Phương trình (2) trở thành t
2
– 3t – 4 = 0 ⇔
t 1
t 4
= −


=

(a – b + c = 0)
So sánh điều kiện ta được t = 4 ⇔ x
2
= 4 ⇔ x = ± 2.
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là x = 2 hoặc x = –2.
c)
2x y 1 (a)
3x 4y 1 (b)
+ =


+ = −

(3)
Cách 1: Từ (a) ⇒ y = 1 – 2x (c). Thế (c) vào (b) ta được:
3x + 4(1 – 2x) = –1 ⇔ –5x = –5 ⇔ x = 1.

Thế x = 1 vào (c) ta được y = –1. Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm là x = 1 và y = –1.
Cách 2: (3) ⇔
8x 4y 4
3x 4y 1
+ =


+ = −

⇔
5x 5
3x 4y 1
=


+ = −

⇔
x 1
3.1 4y 1
=


+ = −

⇔
x 1
y 1
=



= −

.
Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm là x = 1 và y = –1.
Câu 2:
a) * Bảng giá trị đặc biệt của hàm số y = – x
2
:
x –2 –1 0 1 2
y = –x
2
–4 –1 0 –1 –4
* Bảng giá trị đặc biệt của hàm số y = x – 2:
x 0 2
y = x – 2 –2 0
Đồ thị (P) và (D) được vẽ như sau:
5
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
x
y
O
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là:
–x
2
= x – 2 ⇔ x

2
+ x – 2 = 0 ⇔ x = 1 hay x = –2 (a + b + c = 0)
Khi x = 1 thì y = –1; Khi x = –2 thì y = –4.
Vậy (P) cắt (D) tại hai điểm là (1; –1) và (–2; –4).
Câu 3:
a) A =
7 4 3 7 4 3− − +
=
2 2
(2 3) (2 3)− − +
=
2 3 2 3− − +

Mà 2 –
3
> 0 và 2 +
3
> 0 nên A = 2 –
3
– 2 –
3
=
2 3−
.
b) B =
x 1 x 1 x x 2x 4 x 8
.
x 4
x 4 x 4 x
 

+ − + − −
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 
.
=
2 2 2
x 1 x 1 (x 4)( x 2)
.
( x) 2 ( x 2) x
 
+ − − +
−
 ÷
 ÷
− +
 
=
2 2
( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) (x 4)( x 2)
.
x
( x) 2 ( x 2)
 
+ + − − − − +
 ÷
 ÷

 
− +
 
 
=
x 3 x 2 (x 3 x 2)
x
+ + − − +
=
6 x
x
= 6.
Câu 4: x
2
– 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Cách 1: Ta có: ∆' = m
2
+ 1 > 0 với mọi m nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.
Cách 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có hai phân biệt.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để
2 2
1 2 1 2
x x x x 7+ − =
.
Theo a) ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

6
Khi đó ta có S =
1 2
x x 2m+ =
và P = x
1
x
2
= –1.
Do đó
2 2
1 2 1 2
x x x x 7+ − =
⇔ S
2
– 3P = 7 ⇔ (2m)
2
+ 3 = 7 ⇔ m
2
= 1 ⇔ m = ± 1.
Vậy m thoả yêu cầu bài toán ⇔ m = ± 1.
Câu 5:
a) Xét hai tam giác MAC và MDA có:
– ∠ M chung
– ∠ MAC = ∠ MDA (=
»
đAC
1
s
2

).
Suy ra ∆MAC đồng dạng với ∆MDA (g – g)
⇒
MA MC
MD MA
=
⇒ MA
2
= MC.MD.
b) * MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên
∠MAO = ∠ MBO = 90
0
.
* I là trung điểm dây CD nên ∠ MIO = 90
0
.
Do đó: ∠ MAO = ∠ MBO = ∠ MIO = 90
0
⇒ 5 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn
đường kính MO.
c)  Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến
cắt nhau) và OA = OB = R
(O)
. Do đó MO là trung trực của AB ⇒ MO ⊥ AB.
Trong ∆MAO vuông tại A có AH là đường cao ⇒ MA
2
= MH.MO. Mà MA
2
= MC.MD (do a)) ⇒
MC.MD = MH.MO ⇒

MH MC
MD MO
=
(1).
Xét ∆ MHC và ∆MDO có:
∠M chung, kết hợp với (1) ta suy ra ∆MHC và ∆MDO đồng dạng (c–g –c)
⇒ ∠ MHC = ∠ MDO ⇒ Tứ giác OHCD nội tiếp.
 Ta có: + ∆OCD cân tại O ⇒ ∠ OCD = ∠ MDO
+ ∠ OCD = ∠ OHD (do OHCD nội tiếp)
Do đó ∠ MDO = ∠ OHD mà ∠ MDO = ∠ MHC (cmt) ⇒ ∠ MHC = ∠ OHD
⇒ 90
0
– ∠ MHC = 90
0
– ∠ OHD ⇒ ∠ CHA = ∠ DHA ⇒ HA là phân giác của ∠ CHD hay AB là
phân giác của ∠ CHD.
d) Tứ giác OCKD nội tiếp(vì ∠ OCK = ∠ ODK = 90
0
)
⇒ ∠ OKC = ∠ ODC = ∠ MDO mà ∠ MDO = ∠ MHC (cmt)
⇒ ∠ OKC = ∠ MHC ⇒ OKCH nội tiếp
⇒ ∠ KHO = ∠ KCO = 90
0
.
⇒ KH ⊥ MO tại H mà AB ⊥ MO tại H
⇒ HK trùng AB ⇒ K, A, B thẳng hàng.
7
O
M
D

C
A
B
I
H
K
oOo

Sở GD và ĐT
TP Hồ Chí Minh
Kì thi tuyển sinh lớp 10Trung học phổ thông
Năm học 2009-2010
Khoá ngày 24-6-2009
Môn thi: toán
Câu I: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) 8x
2
- 2x - 1 = 0 b)
2 3 3
5 6 12
x y
x y
+ =


=

c) x
4
- 2x

2
- 3 = 0 d) 3x
2
- 2
6
x + 2 = 0
Câu II: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =
2
2
x
và đthẳng (d): y = x + 4 trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Câu III: Thu gọn các biểu thức sau:
A =
4 8 15
3 5 1 5 5
+
+ +
B =
:
1
1 1
x y x y
x xy
xy
xy xy

+

+

ữ
ữ
ữ

+


Câu IV: Cho phơng trình x
2
- (5m - 1)x + 6m
2
- 2m = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình. Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
=1.
Câu V: Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) có tâm O, bán kính R. Gọi
H là giao điểm của ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là diện tích tam giác ABC.
a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đờng tròn.
b) Vẽ đờng kính AK của đờng tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng
dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và S =

. .
4
AB BC CA
R
.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
d) Chứngminh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2 S.
Gợi ý đáp án
8
9
CÁC ĐỀ TS 10 HÀ NỘI
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HÀ NỘI
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008
MÔN TOÁN
Bài 1: (2,5 điểm)
Cho biểu thức
3 6 4
1
1 1
x x
P
x
x x
−
= + −
−
− +
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm x để
1

2
P <
Bài 2: (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h
so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 3: (1 điểm)
Cho phương trình
2
0x bx c
+ + =
1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2
2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A
và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và
B ( E nằm giữa B và H)
1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH.
2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng
10
minh AHEK là tứ giác nội tiếp.
3. Xác định vị trí điểm H để
3AB R=
.
Bài 5: (0,5 điểm)
Cho đường thẳng y = (m-1) x + 2
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- Hà Nội
Năm học 2007-2008
Bài 1:

P=
1. Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là
2. Yêu cầu
.
Đối chiếu với điều kiện xác định của P có kết quả cần tìm là
Bài 2:
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x>0) ta có phương trình . Giải ra
ta có nghiệm x=12(km/h)
Bài 3:
1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x
2
-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2
2. Điều kiện cần tìm là
Bài 4:1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng.
2. nên hay . Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp
đường tròn đường kính AE.
3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có
11
đều cạnh R. Vậy AH= OM=
Bài 5: Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố
OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d
vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1.
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI
(2008-2009) – ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
Ngày thi: 18 – 6 - 2008
Bài 1 ( 2,5 điểm )
Cho biểu thức:
1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị của P khi x = 4

3) Tìm x để
Bài 2 ( 2,5 điểm )
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
12
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng tjhứ hai tổ I vươt mức 15% và tổ II vượt
mức 10% so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất
mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Bài 3 ( 3,5 điểm )
Cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = mx + 1
1) Chứng minh với mọi giá trị cả m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
2) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m (O là gốc tọa độ)
Bài IV (3,5 điểm )
Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó (E khác A và B).
Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.
1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA
2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE
tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F.
3) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn
(I).
4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P
là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK.
Bài V ( 0,5 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết:
LỜI GIẢI
Bài 1. Cho biểu thức
a) Rút gọn P
13
b) Tính giá trị của P khi x = 4.
Với x = 4 thì
c) Tìm x để

ĐKXĐ: x > 0
(1)
Đặt ; điều kiện t > 0.
Phương trình (1) ;
Giải phương trình ta được hoặc ( thỏa mãn điều kiện )
+) Với x = 9
+) Với
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Gọi số chi tiết máy tổ thứ nhất làm được trong tháng đầu là x ( x N*; x<900; đơn vị: chi tiết máy)
Số chi tiết máy tổ thứ hai làm được trong tháng đầu là 900-x (chi tiết máy)
Tháng thứ hai tổ I làm vượt mức 15% so với tháng thứ nhất nên tổ I làm được
115% . x=1,15. x ( chi tiết máy )
Tháng thứ hai tổ II làm vượt mức 10% so với tháng thứ nhất nên tổ II làm được 110%(900-x)=1,
1(900-x) (chi tiết máy)
Tháng thứ hai cả hai tổ làm được 1010 chi tiết máy nên ta có phương trình:
1,15. x + 1,1. (900-x) = 1010
14
1,15.x + 1,1.900 – 1,1.x = 1010
0,05.x = 20
x = 400 ( thỏa mãn điều kiện )
Vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 chi tiết máy tổ II sản xuất được 900-400=500 chi tiết máy.
Bài 3:
Cho Parabol (P) và đường thẳng (d) y=mx+1
1) Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P):
(*)
với mọi m
(*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với
mọi giá trị của m.
2) Gọi A,B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m (O là gốc tọa độ)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
–––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2009
Thời gian làm bài: 120 phút
15
C©u I. (2,5 điểm)
Cho biểu thức:
víi ,
x
A x x
x
x x
= + + ≥ ≠
−
− +
1 1
0 4
4
2 2
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi
x
=
25
.

3. Tìm giá trị của x để
A
−
=
1
3
.
C©u II. (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may
trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất
may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao
nhiêu chiếc áo?
C©u III. (1,0 điểm)
Cho phương trình (ẩn x):
( )
x m x m− + + + =
2 2
2 1 2 0
1. Giải phương trình đã cho khi m = 1.
2. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
,x x
1 2
thoả mãn hệ thức:
x x+ =
2 2
1 2
10
C©u IV. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với

đường tròn (B, C là các tiếp điểm)
1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2. Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R
2
.
3. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O, R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B, C). Tiếp tuyến tại
K của đường tròn (O, R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có
chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
4. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M,
N. Chứng minh rằng
PM QN MN+ ≥
.
C©u V. (0,5 điểm)
Giải phương trình:
( )
x x x x x x− + + + = + + +
2 2 3 2
1 1 1
2 2 1
4 4 2
.
HẾT
16
HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT (2009-2010)
CÂU NỘI DUNG
ĐIỂM
1 Bài toán về phân thức đại số 2,5đ
1.1 Rút gọn biểu thức
Đặt

= ⇒ = ≥ ≠; ,y x x y y y
2
0 2
Khi đó
= + +
− +
−
y
A
y y
y
2
2
1 1
2 2
4
0,5
( )
( ) ( )
+ −
= + +
− − −
+ +
= = =
− + −
−
y y y
y y y
y y y y y
y y y

y
2
2 2 2
2
2
2 2
4 4 4
2 2
2 2 2
4
Suy ra
=
−
x
A
x 2
0,5
1.2 Tính giá trị A khi
=x 25
Khi
= ⇒ = =
−
x A
25 5
25
3
25 2
0,5
1.3 Tìm x khi
−

=A
1
3
( )
− −
= ⇔ =
−
⇔ = − +
⇔ =
⇔ = ⇔ = ⇔ = ≥ ≠tho¶ m·n ®k 0,x 4
y
A
y
y y
y
y x x x
1 1
3 2 3
3 2
4 2
1 1 1
2 2 4
1
2 Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình 2.5đ
* Gọi:
 Số áo tổ  may được trong 1 ngày là x
( )
∈ >¥;x x 10
 Số áo tổ  may được trong 1 ngày là y
( )

∈ ≥¥,y y 0
0,5
* Chênh lệch số áo trong 1 ngày giữa 2 tổ là:
− =x y 10
* Tổng số áo tổ  may trong 3 ngày, tổ  may trong 5 ngày là:
+ =x y3 5 1310
2
17
( )
( )
= −
− =


⇔
 
+ =
+ − =


= −

⇔

− =

=

⇔


=

Ta cã hÖ
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
y x
x y
x y
x x
y x
x
x
y
10
10
3 5 1310
3 5 10 1310
10
8 50 1310
170
160
Kết luận: Mỗi ngày tổ  may được 170(áo), tổ  may được 160(áo)
3 Phương trình bậc hai 1đ
3.1
Khi
=
m 1
ta có phương trình:
− + =x x
2
4 3 0

Tổng hệ số
+ + =
a b c 0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm
= = =;
c
x x
a
1 2
1 3
0,5
3.2
* Biệt thức
( )
( )
∆ = + − + = −'
x
m m m
2
2
1 2 2 1
Phương trình có 2 nghiệm
≤x x
1 2

⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≥'
x
m m
1
2 1 0

2
0,25
* Khi đó, theo định lý viét
( )
−

+ = = +




= = +


b
x x m
a
c
x x m
a
1 2
2
1 2
2 1
2
( )
( )
( )
+ = + −
= + − +

= +
Ta cã x x x x x x
m m
m m
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
2
2
4 1 2 2
2 8
( )
*Theo yªu cÇu:
lo¹i
x x m m
m
m m
m
+ = ⇔ + =
=

⇔ + − = ⇔

= −

2 2 2
1 2
2

10 2 8 10
1
2 8 10 0
5
Kết luận: Vậy
m = 1
là giá trị cần tìm.
0,25
4 Hình học 3,5
4.1 1đ
18
* Vẽ đúng hình và ghi đầy đủ giả thiết kết luận
0,5
* Do AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O)
·
·
⇒ = = °ACO ABO 90
⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp được.
0,5
4.2 1đ
* AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O) ⇒ AB = AC
Ngoài ra OB = OC = R
Suy ra OA là trung trực của BC ⇒
⊥
OA BE
0,5
* ∆OAB vuông tại B, đường cao BE
Áp dụng hệ thức liên hệ các cạnh ta có:
= =.OE OA OB R
2 2

0,5
4.3 1đ
* PB, PK là 2 tiếp tuyến kẻ từ P đến (O) nên PK = PB
tương tự ta cũng có QK = QC
0,5
* Cộng vế ta có:
+ = +
⇔ + + + = + + +
⇔ + + = +
⇔ ∆ = + =Chu vi Kh«ng ®æi
PK KQ PB QC
AP PK KQ AQ AP PB QC QA
AP PQ QA AB AC
APQ AB AC
0,5
4.4 0,5
19
Cách 1
∆MOP đồng dạng với ∆NQO
( )
( )
B®t C«si
Suy ra:
. .
.
®pcm
OM MP
QN NO
MN
MP QN OM ON

MN MP QN MP QN
MN MP QN
=
⇔ = =
⇔ = ≤ +
⇔ ≤ +
2
2
2
4
4
0,5
Cách 2
* Gọi H là giao điểm của OA và (O), tiếp tuyến tại H với (O) cắt AM, AN tại X, Y.
Các tam giác NOY có các đường cao kẻ từ O, Y bằng nhau ( = R)
⇒ ∆NOY cân đỉnh N ⇒ NO = NY
Tương tự ta cũng có MO = MX
⇒ MN = MX + NY.
Khi đó: XY + BM + CN = XB + BM + YC + CN = XM + YN = MN
* Mặt khác
MP + NQ = MB + BP + QC + CN = MB + CN + PQ
( )
**
≥
MB + CN + XY =
MN
0,5
20
5 Giải phương trình chứa căn 0,5đ
*

( )
( ) ( )
   
⇔ − + + = + + = + +
 ÷  ÷
   
PT x x x x x x
2
2 2 2
1 1 1 1
2 1 1 1
4 2 2 2
Vế phải đóng vai trò là căn bậc hai số học của 1 số nên phải có
≥
VP 0
Nhưng do
( )
+ > ∀ ∈¡x x
2
1 0
nên
−
≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥VP x x
1 1
0 0
2 2
Với điều kiện đó:
 
+ = + = +
 ÷

 
x x x
2
1 1 1
2 2 2
0,25
( )
( )
( )
( )
 
⇔ − + + = + +
 ÷
 
 
⇔ + + = + +
 ÷
 
   
⇔ + = + +
 ÷  ÷
   

−

+ =
=


⇔ ⇔



=
+ =



*
Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
PT x x x x
x x x x
x x x
x
x
x
x
2 2
2 2
2
2
1 1 1
1
4 2 2
1 1
1
4 2
1 1
1
2 2
1

1
0
2
2
0
1 1
Tập nghiệm:
{ }
−
= ;S
1
0
2
0,25
21