skkn phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết

Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là một trong những môn học quan trọng nhất của học sinh nói chung và
học sinh trung học cơ sở nói riêng. Đó là môn học rèn luyện cho học sinh các kĩ năng
tính toán, phương pháp suy nghĩ độc lập sáng tạo, nó giúp các em rèn luyện tư duy
lôgíc, khoa học làm cơ sở cho việc học tập lên cao cũng như tạo hành trang tốt cho cuộc
sống sau này.
Để học tốt môn toán học sinh không chỉ cần có trí thông minh mà còn có tính cần
cù, kiên trì, cẩn thận. Các em phải biết yêu toán và học môn toán một cách hiệu quả
nhất. Các em phải biết học toán một cách tích cực. Mà các phương pháp và kĩ thuật học
tích cực là : tự học lí thuyết, sưu tầm và giải hệ thống bài tập tương tự, tìm cách giải
khác cho bài tập đã giải, phân loại bài tập và tìm phương án chung để giải các bài tập
cùng dạng, mở rộng khái quát hóa bài toán đã giải.
Do thời lượng tiết học trên lớp có hạn và do các em chỉ mới là học sinh lớp 6 nên
năng lực tư duy lôgíc của các em chưa phát triển cao. Chỉ có một số học sinh khá, giỏi
mới có thể tự làm đúng hướng yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khác lúng
túng không biết cách làm và thực hiện như thế nào đối với dạng toán có sử dụng các
tính chất chia hết của tổng, hiệu hoặc tích và các dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9 và mở
rộng hơn là chia hết cho 4, 8, 25, 125, 11. Đây chính là trăn trở của tôi: làm sao học sinh
trung bình yếu hiểu và ham học phần toán này, và làm sao có thể bồi dưỡng cho các em
học sinh khá, giỏi để tạo nguồn cho các kì thi học sinh giỏi và sẽ là tiền đề cho các em
học lên lớp lớn hơn sau này.
Với những lí do trên đây, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về ‘’ dấu
hiệu chia hết và tính chất chia hết ‘’ trong chương trình Số học lớp 6.
II. MỤC ĐÍCH :
a) Kiến thức :
Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về xét tổng ( hoặc hiệu có chia hết
cho một số không), điền chữ số thích hợp vào dấu * hoặc thay các chữ x, y bằng chữ số
thích hợp để được các số chia hết, chứng minh biểu thức chia hết cho một số, hay tìm số
tự nhiên để biểu thức này chia hết cho biểu thức kia.

b) Kĩ năng :
Học sinh có kĩ năng tìm số chưa biết, chứng minh tốt các bài toán có sử dụng các
tính chất chia hết của tổng, hiệu hoặc tích và các dấu hiệu chia hết cho 2,5,3,9 và mở
rộng hơn là chia hết cho 4, 8, 25, 125
III. KẾT QUẢ CẦN ĐẠT:
Phạm Ngọc Tâm 1 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
Giúp mọi đối tượng học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận
và khả năng sáng tạo trong suốt quá trình học về toán chia hết để đạt được kết quả tốt.
Từ đó các học sinh có thể phát huy tối đa tính tích cực trong quá trình học toán.
Mỗi dạng bài tập đều có phương pháp chung, một số ví dụ được chọn lọc có
hướng dẫn giải và kèm theo một số bài tập tương tự. Tất cả đều đuợc sắp xếp theo một
hệ thống, từ dễ tới khó phù hợp với mọi đối tượng học sinh.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1. Phạm vi của đề tài.
Chương I: Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên- môn Số học lớp 6.
2. Đối tượng :
Học sinh lớp 6 trung học cơ sở.
Phạm Ngọc Tâm 2 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Hệ thống bài tập thể hiện dạng toán chia hết có vai trò quan trọng là nó giúp cho
học sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng kiến thức một cách linh hoạt
vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và logic. Đó cũng là những kỹ năng cần thiết
của học sinh khi còn ngôi trên ghế nhà trường. Có như thế mới phù hợp với sự cải tiến
dạy học là phát huy hết tính tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh trong trường học.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và
không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này.

Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không chút
ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc
phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ dễ đến khó, bên
cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi được lồng vào các tiết
luyện tập.
III. GIẢI PHÁP:
1. Thực trạng trước khi thực hiện
1.1 Thuận lợi: Đa phần học sinh chăm ngoan, chịu khó làm bài tập một cách tích
cực. Các em có nắm được các kiến thức về dấu hiệu chia hết và tính chất chia hết.
1.2 Khó khăn: Các em lúng túng chưa biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt
vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và logic.
2. Các nội dung thực hiện
KIẾN THỨC LÍ THUYẾT
A) Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên:
I/ Tính chất chung:
1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/
a b b c a c⇒M M Mvaø
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1.
II/ Tính chất chia hết của tổng và hiệu
5/ Nếu a
M
m và b
M
m thì
a b m a b m+ −M Mvaø
(a
≥
b)

6/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
III/ Tính chất chia hết của tích
7/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
8/
,a m b n ab mn⇒M M M
IV/ Hệ quả:
1/
n n
a b a b⇒M M
(n>0)
Phạm Ngọc Tâm 3 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
2/
, ,( , ) 1a m a n m n a mn= ⇒M M M
3/ Nếu tổng hoặc hiệu của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia
hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
4/ Nếu ac  b và (a, b) =1 thì c  b
5/ Nếu a  b, c  b và (m, n
∈
N) thì a.m + c.n  b (b
≠
0)
6/ a  b và c  d ⇒ ac  bd
7/ am
⇒
k.am (k
∈
N)
8/ a m; bm

⇒
k
1
a+k
2
bm
B) Một số dấu hiệu chia hết
Gọi N =
n 1 1 0
a a a a
n
−
1. Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2
⇔
chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn.
•
N  2 ⇔ a
0
 2 ⇔ a
0
∈{0; 2; 4; 6; 8}
2. Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5
⇔
chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.
•
N  5 ⇔ a
0
 5 ⇔ a

0
∈{0; 5}
3. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25:
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25)
⇔
số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4
hoặc 25.
•
N  4 (hoặc 25) ⇔
1 0
a a
 4 (hoặc 25)
4. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125:
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125)
⇔
số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8
hoặc 125.
•
N  8 (hoặc 125) ⇔
2 1 0
a a a
 8 (hoặc 125)
5. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9)
⇔
tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).
•
N  3 (hoặc 9) ⇔ a
0
+a

1
+…+a
n
 3 (hoặc 9)
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xét tính chia hết của một tổng hoặc hiệu
Phương pháp:
Ta sử dụng các tính chất
• Nếu a
M
m và b
M
m thì
a b m a b m+ −M Mvaø
(a
≥
b)
• Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
Phạm Ngọc Tâm 4 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
Bài tập 1: Áp dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia hết cho 8
không?
a) 48 + 56 + 112
b) 160 – 47
Giải:
a) Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có:
8)1125648(
8112
856

848




++⇒






b) 160  8 mà 47  8 nên 160 - 47  8
Bài tập 2: Không thực hiện phép tính, chứng tỏ rằng:
a) 34.1991 chia hết cho 17.
b) 2004. 2007 chia hết cho 9.
c) 1245. 2002 chia hết cho15.
d) 1540. 2005 chia hết cho 14.
Hướng dẫn:
Ta dùng tính chất sau:
Chỉ cần có một thừa số trong tích chia hết cho một số thì cả tích chia hết cho số đó.
Giải:
a) 34.1991 = 17.2.1991
Vì 17 chia hết cho 17 nên 17.2.1991 hay 34.1991
b) 2004. 2007 chia hết cho 9
2007 có tổng các chữ số bằng 9, mà 9 chia hết cho 9 nên 2007  9
Do đó 2004. 2007  9
c) 1245. 2002 chia hết cho15
1245 có tận cùng là chữ số 5 nên 1245  5
Do đó 1245. 2002 chia hết cho 5.

1245 có tổng các chữ số là 1+2+4+5 = 12; 12 3 nên 1245  3
Do (5,3) = 1.
Vậy 1245. 2002 chia hết cho15
d) 1540. 2005 chia hết cho 14.
1540 = 14. 110
Ta có 14  14 nên 14.110  14 hay 1540. 2005  14 .
Vậy 1540. 2005 chia hết cho 14.
Phạm Ngọc Tâm 5 Trường THCS Tiến Thành
cbacNcbaca  .)0(,,;
⇒≠∈
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 không?
a) 1.2.3.4.5.6 + 40
b) 1.2.3.4.5.6 - 32
Hướng dẫn :
* Nhận xét rằng tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số 5 do đó tích này chia hết cho 5. Từ
đó xét thừa số cũng lại xem có chia hết cho 5 không? Dẫn đến cách giải tương tự như
bài tập 1.
Giải:
a) 1.2.3.4.5.6 5 và 40 5
⇒
1.2.3.4.5.6 + 40
b) 1.2.3.4.5.6 5 và 32  5
⇒
1.2.3.4.5.6 - 32  5
Bài tập 4: Cho A = 2.4.6.8.10.12+ 40. Hỏi A có chia hết cho 5, cho 6, cho 8 không?
Hướng dẫn :
Ta sử dụng tính chất
• Nếu a
M

m và b
M
m thì
a b m a b m+ −M Mvaø
(a
≥
b)
• Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
Giải:
* 2.4.6.8.10.12  5 và 40  5
⇒
2.4.6.8.10.12+ 40 5
⇒
A 5
* 2.4.6.8.10.12  6 và 40  6
⇒
2.4.6.8.10.12+ 40 6
⇒
A 6
* 2.4.6.8.10.12  8 và 40  8
⇒
2.4.6.8.10.12+ 40 8
⇒
A 8
Từ đó ta kết luận: A  5, A  6, A  8
Bài tập 5: Chứng tỏ rằng: (49.a + 7
2
)  7 với
a N

∀ ∈
Giải:
Ta có: 49.a  7 với
a N
∀ ∈
và 7
2
 7
⇒
(49.a + 7
2
)  7 với
a N
∀ ∈
Bài tập 6 : Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x
∈
N. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2
b) A không chia hết cho 2
Phương pháp: Tìm điều kiện của một số hạng để tổng ( hoặc ) chia hết cho một số.
Nhận xét: Ba số hạng đầu tiên trong tổng A đều chia hết cho 2. Muốn tổng A chia hết
cho 2 thì x phải là một số chia hết cho 2. Muốn tổng A không chia hết cho 2 thì x phải là
một số không chia hết cho 2.
Giải:
a) Ta có: 122, 142, 162.
Để A = (12 + 14 + 16 + x) 2 thì x 2. Vậy x= 2.k (k
∈
N)
b) Ta có: 122, 142, 162.
Phạm Ngọc Tâm 6 Trường THCS Tiến Thành

Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
Để A = (12 + 14 + 16 + x)  2 thì x  2. Vậy x= 2.k+1(k
∈
N)
Dạng 2: Nhận biết các số chia hết cho 2, 3, 5, 9
Bài tập 1: Cho số : 21780; 325; 1980; 176. Hãy cho biết các số trên chia hết cho
những số nào trong các số sau ( 2; 3; 5; 9 )?
Hướng dẫn:
a) Số 21780 chia hết cho 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0. Chia hết cho 3 và 9 vì
tổng các chữ số chia hết cho 9.
b) 325 chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 5.
c) 176 chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là 6 (chữ số chẵn).
d) 1980 chia hết cho 2, cho 5, cho 3, cho 9 (vì có chữ số tận cùng là 0 và có tổng
các chữ số chia hết cho 9).
Bài tập 2: Dùng ba trong bốn chữ số: 8; 3; 1; 0. Hãy ghép thành các số tự nhiên
có ba chữ số sao cho số đó:
a) Chia hết cho 9.
b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
Hướng dẫn:
a) Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có 3 chữ số có tổng chia hết cho 9 là 8; 1; 0. Vậy các
số lập được là: 810; 180; 108; 801
b) Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có 3 chữ số có tổng chia hết cho 3 mà không chia hết
cho 9 là 8; 3; 1. Vậy các số lập được là: 813; 831; 381; 318; 183; 138
Dạng 3: Viết các số chia hết cho 2, 3, 5, 9, 4, 8, 25, 125 từ các số hoặc chữ số cho
trước.
Phương pháp: Sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, cho 4, 8, 25,
125
Bài tập 1 : Điền chữ số vào dấu * để được số
*54
chia hết cho 2

Hướng dẫn học sinh:
Số
*54
= 540 + *
Để
*54
chia hết cho 2 thì *
∈
{ }
8;6;4;0
Vậy các số tìm được là: 540; 542; 546; 548.
Bài tập 2 : Điền chữ số vào dấu * để được số
85*
thoả mãn:
Phạm Ngọc Tâm 7 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
a) Chia hết cho 2.
b) Chia hết cho 5
Hướng dẫn học sinh:
a) Số
85*
có chữ số tận cùng là 5 mà 5 không chia hết cho 2
⇒
số
85*
không chia hết cho 2
Vậy ta không tìm được * để
85*
chia hết cho 2.
b) Số

85*
có chữ số tận cùng là 5. Vậy ta có thể thay * bằng bất cứ số nào từ 1
đến 9 thì số
85*
đều chia hết cho 5.
Nên các số tìm được là: 185; 285; 385; 485; 585; 685; 785; 885; 985.
Bài tập 3 : Điền chữ số vào dấu * để
2*3
chia hết cho 9.
Hướng dẫn học sinh.
Ta có
2*3
chia hết cho 9 thì ( 3 + * + 2 ) phải chia hết cho 9
Hay ( 5 + * )

9
Vậy * = 4
Ta có số cần tìm là 342
Bài tập 4 : Điền chữ số vào dấu * để
*81*
chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9 ( trong một số có
nhiều dấu * các dấu * không nhất thiết phải thay bởi các số giống nhau).
Hướng dẫn học sinh.
Vì
*81*
chia hết cho 2 và 5 nên
*81*
có * tận cùng là 0, ta có số
810*
Mặt khác ta có

810*
chia hết cho 3 và 9 mà 9

3
nên ( * + 8 + 1 + 0 )

9
nghĩa là (* + 9 )

9
Vây * = 9 ( Vì là * đầu tiên của một số nên không thể bằng 0 )
Ta có số cần tìm là 9810
Bài tập 5: Tìm chữ số x để:(
3x4
- 12) 3
Hướng dẫn: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 đã chia hết cho 3. Từ đó dựa vào dấu
hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số x.
Giải:
Ta có: (
3x4
- 12) 3
Mà 12  3
Nên
3x4
 3
Phạm Ngọc Tâm 8 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
Hay 3+x+4  3
Do đó 7+x  3, và do 0
≤

x
≤
9
Vậy x
∈
{ 2; 5; 8}
Bài tập tương tự : Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a) Số
275x
chia hết cho 5, cho 25, cho 125
b) Số
9xy4
chia hết cho 2, cho 4, cho 8
Đáp số: a)
275x
 5
⇔
x
∈
{0; 5}
275x
 25
⇔
x
∈
{0}
275x
 125
⇔
x

∈
{0}
b)
9xy4
 2
⇔
x, y
∈
{ 0,1,2,…,9}
9xy4
 4
⇔
x
∈
{ 0,1,2,…,9}; y
∈
{ 0,2,4,6,8}
9xy4
 8
⇔
x
∈
{ 0,2,6,8} và y
∈
{ 2,6} hoặc x
∈
{ 1,3,5,7,9}và y
∈
{ 0,4,8}
Bài tập 6: Tìm các chữ số a, b sao cho

a56b
 45
Hướng dẫn: sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5, cho 9 và hệ quả am, an, (m,n) =1
⇒
am.n
Giải:
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 ; 0<a
≤
9 và 0
≤
b
≤
9
để
a56b
 45 ⇔
a56b
 5 và 9
Xét
a56b
 5 ⇔ b ∈ {0 ; 5}
Nếu b = 0 ta có số
a56b
 9 ⇔ a + 5 + 6 + 0  9 ⇒ a + 11  9 ⇒ a = 7
Nếu b = 5 ta có số
a56b
 9 ⇔ a + 5 + 6 + 0  9 ⇒ a + 16  9 ⇒ a = 2
Vậy các số phải tìm là 7560 ; 2560
Bài tập 7: Tìm các chữ số x, y sao cho
34x5y

 4 và 9
Hướng dẫn: sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4, cho 9 và hệ quả am, an, (m,n) =1
⇒
am.n
Giải:
Để
34x5y
 4 thì
5y
 4, khi đó y = 2 hoặc y = 6
* Với y = 2, để
34x5y
 9 thì 3+4+x+5+2  9, do đó x = 4
* Với y = 6, để
34x5y
 9 thì 3+4+x+5+6  9, do đó x = 0 hoặc x = 9
• x = 4 và y = 2
• x = 0 và y = 6
• x = 0 và y = 6
Vậy các số phải tìm là : 34452 ; 34052 ; 34952
Phạm Ngọc Tâm 9 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
Từ lời giải của các bài toán trên kết hợp với các dấu hiệu chia hết khác có thể nêu
lên và giải được nhiều bài toán tương tự như : Tìm các chữ số x, y sao cho:
34x5y
 15;
34x5y
 18;
34x5y
 55

Dạng 4: Phân tích tìm ra thừa số chung để chứng minh chia hết.
4.1 Sử dụng tính chất chia hết kết hợp với cách viết một số về tổng các lũy thừa của
10.
Bài tập 1: Chứng minh rằng:
a)
ab ba+
chia hết cho 11.
b)
ab ba−
chia hết cho 9 với a > b.
Giải:
a) Ta có
ab ba+
= (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)
M
11
Vậy
ab ba+

M
11.
b) Ta có :
ab ba−
= (10a + b) – (10b + a) với a > b
= 9a – 9b
= 9 (a – b)
Vì 9
M
9 nên 9 (a – b)
M

9
Vậy
ab ba−
M
9
Bài tập 2: Cho
abc
-
deg
M
7. Chứng minh rằng:
abcdeg
M
7
Giải:
: deg 1000 deg 1001 ( deg )
7.143 ( deg )
= + = − −
= − −
abc abc abc abc
abc abc
Tacoù
Mà 7.143
7abcM
và
abc
-
deg
M
7 nên 7.143.

abc
- (
abc
-
deg
)
M
7
Do đó:
abcdeg
M
7
Bài tập tương tự: Cho
abc
+
deg
M
37. Chứng minh rằng:
abcdeg
M
37
Giải:
: deg 1000 deg 999 ( deg)
27.37 ( deg)
27.37 37; ( deg) 37; : deg 37
= + = + +
= + +
+
Ta abc abc abc abc
abc abc

Do abc abc abcM M M
coù
Vaäy
Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số
gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
Giải:
Gọi số tự nhiên có hai chữ số là:
ab
.( 0 < a
≤
9, 0
≤
b
≤
9, a,b
∈
N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số:
abba
Phạm Ngọc Tâm 10 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .

1000 100 10
1001 110 7.11.13 11.10 11
: 11
abba a b b a
a b a b
abba
= + + +
= + = + M

MVaäy
Bài tập 4: Cho số
37abcM
. Chứng minh rằng số
37bca M
và
cab
 37
Giải:
Theo đề:
37abcM
nên 100a+10b+c  37
⇒
100a+10b+c = 37.k (k
∈
N)
Ta có:
abc bca cab+ +
= 100a+10b+c +100b+10c+a+100c+10a+b
= 111a+111b+111c
= 111(a+b+c)
= 37.3.(a+b+c)
⇒
abc bca cab+ +
 37
Mà
bca
=100b+10c+a
= 10.10b+ 10.c+ 10.100a - 999a
=10.(100a+10b+c)- 999a

=10.37k - 37.27ª
⇒
bca
 37
Ta thấy:
abc bca cab+ +
 37 mà
37abcM
và
bca
 37
⇒
cab
 37
Bài tập 5: Chứng minh rằng: nếu
11 deg 11ab cd eg thì abc+ + M M
Giải:
: deg 10000 100 9999 99 ( )
9999 11; 99 11;( ) 11
= + + = + + + +
+ +
Ta abc ab cd eg ab cd ab cd eg
Do ab cd egM M M
coù

Vậy :
deg 11abc M

Bài tập 6: Chứng minh rằng :
2 67ab cd abcd= ⇒ M

Giải:
Ta có
100abcd ab cd= +
Mà:
2ab cd=
Suy ra:
200 201 3.67 67= + = =abcd cd cd cd cd M
Vậy:
67abcd M

Bài tập 7: Cho số N =
dcba
. Chứng minh rằng:
a. N  4 ⇔ (a + 2b)  4
b. N  16 ⇔ (a + 2b + 4c + 8d)  16 với b chẵn
Hướng dẫn : a) Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4 và tính chất chia hết của một tổng.
Phạm Ngọc Tâm 11 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
Giải:
a. N4 ⇔
ba
4 ⇔ 10b + a  4 ⇔ 8b + (2b + a) 4 ⇒ a + 2b4
b. N16 ⇔ 1000d + 100c + 10b + a  16
⇔ (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16
⇒ a + 2b + 4c + 8d 16 (với b chẵn)
Bài tập 8: Cho biết (a + 4b) chia hết cho 13, ( a; b thuộc N). Chứng minh rằng (10a + b)
chia hết cho 13.
Giải:
Đặt : a + 4b = x
10a + b = y

Theo đề cho x chia hết cho 13, ta cần chứng minh y chia hết cho 13
Cách 1:
Xét biểu thức
10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b )
=10a + 40b – 10a – b
= 39b
Suy ra : 10x - y

13
Do x

13 nên 10x

13
Ta đã có 10x - y

13
Do đó y

13
Vậy 10a + b

13
Nhận xét: hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức (10x – y)
nhằm khử a tức là làm cho hệ số của a bằng 0.
Cách 2: Xét biểu thức
4y – x = 4 ( 10a + b ) – ( a + 4b )
= 40a + 4b – a – 4b
= 39.a
Suy ra: 4y - x


13
Do x

13 nên 4y

13
Mà (4,13) = 1 nên y

13 hay 10a + b

13
Nhận xét: hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1. Nên xét biểu thức (4y – x)
nhằm khử b.
Cách 3: Xét biểu thức
3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + b )
=3a + 12b +10a + b
= 13a + 13b
= 13.(a+b)
Phạm Ngọc Tâm 12 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
Suy ra: 3x + y

13
Do x

13 nên 3x

13
Mà ta đã có : 3x + y


13
Suy ra: y

13 hay 10a + b

13
Cách 4: Xét biểu thức
x + 9y = a + 4b + 9.( 10a + b )
= a + 4b + 90a + 9b
= 91a + 13b
= 13.( 7a + b)
Suy ra:
x 9y+
 13
Do x13 nên 9y13
Ta có: (9;13)=1
Nên y13 hay 10a + b13
Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi rút gọn có một
số hạng chia hết cho 13. Khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội của 13.
4.2 Chứng minh A
(n)
chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi chia A
(n)

cho k.
Bài tập 1 : Chứng minh rằng:
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Giải:

a) Viết tích của hai số tự nhiên liên tiếp dưới dạng A
(n)
= n(n + 1).
Có hai trường hợp xảy ra :
+ n

2
⇒
n(n + 1)

2
+ n không chia hết cho 2 (n lẻ)
⇒
(n + 1)

2
⇒
n(n +1)

2
b) Viết tích của ba số tự nhiên liên tiếp dưới dạng A
(n)
= n(n + 1)(n+2).
Xét mọi trường hợp: n chia hết cho 3; n chia 3 dư 1 (n =3q+1); n chia 3 dư 2 (n = 3q+2)
(q
∈
N)
+ Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên A
(n)
chia hết cho 3

+ Nếu n = 3q+1 thì n+2 = 3q+3= 3.(q+1)
Ta có: 3.(q+1) chia hết cho 3 , do đó n+2

3. Suy ra A
(n)


3
+ Nếu n = 3q+2 thì n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 = 3.(q+1) chia hết cho 3
Ta có: 3.(q+1) chia hết cho 3 , do đó n+1

3. Suy ra A
(n)


3
Vậy A
(n)
chia hết cho 3 (đpcm)
Bài tập 2: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 6.
Giải:
Phạm Ngọc Tâm 13 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
a/ (n + 10 ) (n + 15 )
• Khi n chẵn
⇒
n = 2k (k
∈

N).
Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) chia hết cho 2.
• Khi n lẻ
⇒
n = 2k + 1 (k
∈
N).
Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ Đặt A = n (n + 1)(n + 2)
* Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ, số chẵn chia hết cho
2 nên A chia hết cho 2.
*- Trường hợp: n = 3k (k
∈
N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (1)
- Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
• Khi n = 3k + 1
⇒
A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)
(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (2)
• Khi n = 3k + 2
⇒
A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4)
chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Do (2, 3) = 1. Vậy A chia hết cho 6.
Bài tập 3: Chứng minh rằng: Với ∀ n ∈ N, thì A
(n)
= n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6

Giải:
Ta thấy một trong hai thừa số n và 7n+ 7=7(n + 1) là số chẵn với ∀n ∈ N
⇒ A
(n)
 2 (1)
Ta chứng minh A
(n)
 3
Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + r (k ∈ N)
Với r ∈ {0; 1; 2}
• Với r = 0 ⇒ n = 3k ⇒ n  3 ⇒ A
(n)
 3
• Với r = 1 ⇒ n = 3k + 1 ⇒ 2n + 7 = 6k + 9  3 ⇒ A
(n)
 3
• Với r = 2 ⇒ n = 3k + 2 ⇒ 7n + 1 = 21k + 15  3 ⇒ A
(n)
 3
Suy ra A
(n)
 3 với ∀ n∈ N, mà (2, 3) = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A
(n)
 6 với ∀ n ∈ N
Bài tập 4) Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn
tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
Giải:
+Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)

M
3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3. (n+ 1)
Phạm Ngọc Tâm 14 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
3. (n+ 1)
M
3
⇒
n + (n + 1) + (n + 2)
+Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết
cho 4 còn 7 không chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự
nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
Bài tập 5) Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng
của 5 số lẻ liên tiếp thì không chia hết cho 10.
Giải:
+Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2)
M
10
+Gọi 5 số lẻ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5
M
10.
Chú ý đến tính chẵn lẻ, tính liên tiếp của các số mà bài toán đã đề cặp đến, khai
thác những tính chất này cùng với phương pháp giải ta có thể đưa ra nhiều bài toán phù
hợp và bổ ích như:
1. Tổng hoặc hiệu của nhiều số chẵn là một số chẵn.

2. Tổng của ba số liên tiếp thì chia hết cho 3.
3. Tổng của ba số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3
4. Tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
5. Tổng của bốn số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
4.3 Để chứng minh A
(n)
chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq .
+ Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A
(n)


p và A
(n)


q.
+ Nếu (p, q)
≠
1, ta phân tích A
(n)
= B
(n)
.C
(n)
rồi chứng minh: B
(n)


p và C
(n)


q
.
Bài tập: a) Chứng minh: A
(n)
= n(n +1)(n + 2)

6.
b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Giải:
a) Ta có: 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trên đã có A
(n)
chia hết cho 2 và 3.
Do đó A
(n)
chia hết cho 6.
b) Ta viết A
(n)
= 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1).
8 = 4 . 2.
Vì 4

4 và n(n +1)

2 nên A
(n)


8

Chú ý đến tính chẵn lẻ, tính liên tiếp của các số mà bài toán đã đề cặp đến, khai
thác những tính chất này cùng với phương pháp giải ta có thể đưa ra nhiều bài toán phù
hợp và bổ ích như:
1. Tích của nhiều số lẻ là một số lẻ.
2. Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48.
Phạm Ngọc Tâm 15 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
3. Tích của ba số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3
4.4 Để chứng minh A
(n)
chia hết cho k, có thể biến đổi A
(n)
thành tổng (hiệu) của
nhiều hạng tử, trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k.
Bài tập: Giải thích tại sao tổng sau đây chia hết cho 5?
M = 4+ 4
2
+ 4
3
+ + 4
15
+ 4
16
Phân tích, tìm hiểu đề bài:
Tổng M gồm các số hạng là lũy thừa liên tiếp của 4 từ 4
1
đến 4
16
và phải giải
thích tại sao M lại chia hết cho 5

Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng cặp là 2 lũy thừa liên tiếp bắt đầu từ
cặp 4 + 4
2
để làm xuất hiện thừa số chung 1+4 = 5
Cách giải:
M = (4+ 4
2
)+ (4
3
+ 4
4
)+ + (4
15
+ 4
16
)
= 4(1+4)+4
3
(1+4)+ +4
15
(1+4)
=(1+4)(4+ 4
3
+ + 4
15
)
= 5.(4+ 4
3
+ + 4
15

)
Suy ra M chia hết cho 5.
Khai thác bài toán:
Lưu ý, nếu cho tổng các lũy thừa của 4 thì sẽ chứng minh được tổng này chia hết
cho 4+1 = 5, nếu là lũy thừa của n thì chứng minh được tổng chia hết cho n+1. Chẳng
hạn chứng minh được tổng N = 2013+ 2013
2
+ 2013
3
+ + 2013
2011
+ 2013
2012
chia hết
cho 2014.
Bài tập tương tự: 1) Chứng minh : A= 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
60
chia hết cho 3, 7, 15.
2) Chứng minh : B= 3 + 3
3
+ 3
5
+ + 3
1991
chia hết cho 13, 41
Hướng dẫn: 1) Chứng minh : A= 2 + 2

2
+ 2
3
+ + 2
60
chia hết cho 3, 7, 15.
Trường hợp 1: Chứng minh : A= 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
60
chia hết cho 3
Ta có: bài toán này tương tự bài toán ở trên.
A= (2 + 2
2
)+(2
3
+ 2
4
)+ +(2
59
+ 2
60
)
= (1 + 2)+2
3
.(1+ 2) + + 2
59
(1+ 2)

= ( 1+2).(2+2
3
+ +2
59
)
= 3.(2+2
3
+ +2
59
)
Suy ra A chia hết cho 3
Trường hợp 2: Chứng minh : A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
60
chia hết cho 7
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là ba lũy thừa liên tiếp bắt đầu
từ 2 + 2
2
+ 2
3
để làm xuất hiện thừa số chung 2 + 2
2
+ 2
3
= 2.(1+ 2 + 2
2
)= 2.7

A= (2 + 2
2
+ 2
3
)+(2
4
+ 2
5
+ 2
6
)+ +(2
58
+2
59
+ 2
60
)
= 2.(1 + 2+ 2
2
)+2
4
.(1+ 2+ 2
2
) + + 2
58
(1+ 2+ 2
2
)
= ( 1+2+ 2
2

).(2+2
4
+ +2
58
)
= 7.(2+2
4
+ +2
58
)
Phạm Ngọc Tâm 16 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
Suy ra A chia hết cho 7
Trường hợp 3: Chứng minh : A= 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
60
chia hết cho 15
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là bốn lũy thừa liên tiếp bắt
đầu từ 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
để làm xuất hiện thừa số chung 2 + 2
2
+ 2

3
+2
4
= 2.(1+ 2 + 2
2
+2
3
)=
2.15
A= (2 + 2
2
+ 2
3
+2
4
)+( 2
5
+ 2
6
+

2
7
+2
8
)+ +(2
57
+2
58
+2

59
+ 2
60
)
= 2.(1 + 2+ 2
2
+ 2
3
)+2
5
.(1+ 2+ 2
2
+ 2
3
) + + 2
57
(1+ 2+ 2
2
+ 2
3
)
= 2.(1 + 2 + 4 + 8) + 2
5
(1 + 2 + 4 + 8) + + 2
57
(1 + 2 + 4 + 8)
= 15.(2 + 2
5
+ + 2
57

)

15.
Suy ra A chia hết cho 15
Hướng dẫn: 2) Chứng minh : B= 3 + 3
3
+ 3
5
+ + 3
1991
chia hết cho 13, 41
*Trường hợp 1: Chứng minh: B= 3 + 3
3
+ 3
5
+ + 3
1991
chia hết cho 13
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là ba lũy thừa liên tiếp bắt đầu
từ 3 + 3
3
+ 3
5
để làm xuất hiện thừa số chung 3+ 3
3
+ 3
5
= 3.(1+ 3
2
+ 3

4
)= 3.91=3.7.13
B = 3 + 3
3
+ 3
5
+ + 3
1991

=(3 + 3
3
+ 3
5
)+(3
7
+ 3
9
+ 3
11
)+ +(3
1987
+3
1989
+ 3
1991
)
=3.(1 + 3
2
+ 3
4

)+3
7
.(1 + 3
2
+ 3
4
)+ +3
1987
.(1 +3
2
+ 3
4
)
= 7.13.(3+ 3
7
+…+3
1987
)
Suy ra B chia hết cho 13
*Trường hợp 2: Chứng minh tương tự: B = 3 + 3
3
+ 3
5
+ + 3
1991
chia hết cho 41
Bằng cách ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là bốn lũy thừa liên tiếp
bắt đầu từ 3 + 3
3
+ 3

5
+ 3
7
để làm xuất hiện thừa số chung mà thừa số ấy chia hết cho 41.
Bằng phương pháp làm như trên ta có thể giải được bài toán tương tự
Bài tập. Cho S = 1+ 3+ 3
2
+ 3
3
+… +3
11
. Chứng minh rằng:
a) S  13
b) S  40
Dạng 5: Áp dụng tính chất chia hết để tìm số tự nhiên
Phương pháp: Căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu và tích, ta có thể rút ra
phương pháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây:
Nếu A
M
B thì (m.A+n.B)
M
B (m, n
∈
N*)
Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: (18n + 3)

7.
Giải
Cách 1: Ta có: 18n + 3  7
⇒

14n + 4n + 3  7 mà 14n  7
⇒
4n + 3  7 mà 7 7
⇒
4n + 3 - 7  7
⇒
4n - 4  7
Phạm Ngọc Tâm 17 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
⇒
4.(n - 1)  7
Vì (4,7) =1 nên (n - 1)  7.
Vậy n = 7k +1 (k
∈
N)
Cách 2: Ta có: 18n + 3  7
Mà 21  7
Do đó: 18n + 3 - 21  7
Suy ra 18n - 18  7
⇒
18.(n - 1)  7
Vì (18,7) =1 nên (n - 1) 7
Vậy n = 7k +1 (k
∈
N)
Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một biểu
thức chia hết cho 7 mà ở đó các hệ số của n là 1.
Bài tập 2: Tìm n
∈
N để:

a) n + 4
M
n b) n + 6
M
n + 2
c) 3n + 7
M
n d) 27 – 5n
M
n
e) 2n + 3
M
n – 2 f) 3n + 1
M
11 – 2n
Giải:
a) Ta có: n + 4
M
n mà n
M
n
⇒
4
M
n
⇒
n
∈
Ư(4) =
{ }

1;2;4
b) Ta có n + 6
M
n + 2
⇒
n + 2 + 4
M
n + 2
mà n +2
M
n + 2
⇒
4
M
n + 2
⇒
n + 2
∈
Ư(4)=
{ }
1;2;4
⇒
n
{ }
0;2∈
( vì n
∈
N )
c) Ta có: 3n + 7
M

n mà 3n
M
n
⇒
7
M
n
⇒
n
∈
Ư(7) =
{ }
1;7
d) Ta có: 27 – 5n
M
n mà 5n
M
n
⇒
27
M
n
⇒
n
∈
Ư(27) =
{ }
1;3;9;27

nhưng 5n

≤
27 nên n
∈

{ }
1;3
e) Ta có: 2n + 3
M
n – 2
⇒
2(n – 2) + 7
M
(n -2)
⇒
7
M
(n - 2)
⇒
n – 2
{ }
1;7∈
⇒
n
{ }
3;9
∈
f) Ta có: 3n + 1
M
11 – 2n (n < 6)
⇒

[2(3n + 1) + 3(11 – 2n)]
M
11 – 2n
⇒
35
M
11 – 2n
⇒
11 – 2n
{ }
1;5;7;35∈
nhưng vì n
∈
N nên n
{ }
5;3;2∈
Bài tập tương tự:
1) Tìm số tự nhiên x sao cho : (x+ 15) (8- x)
Hướng dẫn:
(x+ 15) (8- x) và(8 - x) (8- x) nên [(x+ 15) +(8- x) ]  (8- x)
Do đó: 33 (8 - x). Suy ra: x
{ }
5;7
∈
2) Tìm số tự nhiên x sao cho :
(2x 7)+
(x+2)
Giải:
Phạm Ngọc Tâm 18 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .

Ta có: (x+2)(x+2)
⇒
2.(x+2)(x+2)
⇒
(2x+4)(x+2) (1)
mà (2x+7)(x+2) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : (2x+7)-(2x+4) (x+2)
Do đó 3 (x+2)

(x 2) {1;3}⇒ + ∈
mà x
∈
N

x {1}⇒ ∈
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên x sao cho: (5x + 7)(3x + 1)
Hướng dẫn:
Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta cần tìm bội chung
nhỏ nhất của hai hệ số. Sử dụng tính chất a

b và c

b
⇒
a
±
c

b
Giải:

Ta có: (3x+1)(3x+1)
⇒
5.(3x+1)(3x+1)
⇒
(15x+5)(3x+1) (1)
(5x+7)(3x+1)
⇒
3.(5x+7)(3x+1)
⇒
(15x+21)(3x+1) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : (15x+21) - (15x+5)  (3x+1)
Do đó 16 (3x+1)

(3x 1) {1;2;4;8;16}⇒ + ∈
mà x
∈
N

x {0;5}⇒ ∈

C. KẾT LUẬN.
Phạm Ngọc Tâm 19 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
KẾT QUẢ VÀ HIỆU QUẢ.
1. Những kết quả quan trọng nhất của toàn bộ đề tài :
Trong mỗi tiết lên lớp, đứng trước mỗi bài toán người thầy cần tuân thủ quá trình
ba bước:
- Tìm tòi lời giải bài toán;
- Trình bày lời giải;
- Nghiên cứu sâu lời giải (khai thác bài toán).

Để giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, có kĩ năng trình bày và có phương
pháp tư duy đúng đắn thì người thầy cần phải mẫu mực trong hai bước đầu. Để phát huy
tính sáng tạo, phát triển tư duy của học sinh nhất là những học sinh khá giỏi thì người
thầy đặc biệt coi trọng bước thứ ba. Vì theo như Pôlya: "Một người thầy giáo giỏi phải
hiểu và làm cho học sinh hiểu rằng không có một bài toán nào là hoàn toàn kết thúc.
Bao giờ cũng còn một cài gì đó để suy nghĩ. Có đầy đủ kiên nhẫn và chịu khó suy nghĩ
sâu sắc, ta có thể hoàn thiện cách giải và trong mọi trường hợp bao giờ cũng hiểu được
cách giải sâu sắc hơn".
Hơn nữa tư duy toán học thể hiện nhiều ở quá trình tìm cách giải và nghiên
cứu sâu lời giải thông qua các hoạt động trí tuệ chủ yếu: khái quát hoá, đặc biệt hoá,
tương tự,… Cũng theo như Pôlya khẳng định: "Đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự là
nguồn gốc vĩ đại của phát minh."
2. Quá trình áp dụng của bản thân và kết quả đạt được:
Tùy từng đối tượng học sinh Giỏi, Khá, Trung bình mà chọn nội dung bài cho phù
hợp với nội dung của chuyên đề.
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, chất lượng học sinh được cải thiện
theo chiều hướng rất khả quan. Tỉ lệ học sinh yếu, kém giảm đáng kể, tỉ lệ học sinh khá,
giỏi tăng lên rõ rệt. Không những thế, khi đã nắm vững kiến thức dạng này thì các em
học rất tốt ở chương trình toán lớp 8, 9 trong các dạng toán tìm giá trị nguyên của phân
thức và trong chương trình học toán ở cấp 3.
Nhìn chung học sinh tiến bộ trong học tập, các em phần hăng say và sôi nổi hơn
trong các giờ học toán.
Kết quả đạt được như sau:
- Sau khi học xong phần “Dấu hiệu chia hết” và ’’các tính chất chia hết ‘’ học
sinh nắm được các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 và hiểu được cơ sở lý
luận của các dấu hiệu đó dựa trên tính chất chia hết của một tổng, hoặc hiệu.
Phạm Ngọc Tâm 20 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
- Học sinh biết vận dụng các dấu hiệu đó để nhận ra một số, một tổng, một hiệu
có chia hết hay không chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9. Đặc biệt là mở rộng ra dấu

hiệu chia hết cho 4, 8, 25, 125, 11 bồi dưỡng cho các học sinh có năng khiếu trong việc
đào tạo nguồn thi học sinh giỏi các cấp.
- Sau khi làm bài kiểm tra đánh giá kết quả sự tiếp thu kiến thức của học sinh cả
khối 6 trong năm học 2012-2013 thì kết quả đạt được như sau:
SỐ
BÀI
ĐIỂM DƯỚI TB ĐIỂM 5 – 6 ĐIỂM 7 – 8 ĐIỂM 9 - 10
87
TS % TS % TS % TS %
4 4.6 41 47.1 28 32.2 14 16.1
3. Vấn đề còn hạn chế :
Đây là mảng kiến thức khá rộng và phổ biến, đa dạng về thể loại và phức tạp về
nội dung, nên với khoảng thời gian hạn hẹp và đối tượng chỉ là học sinh lớp 6 Tôi chỉ
đưa ra một số dạng toán. Nếu có điều kiện tốt hơn về thời gian Tôi sẽ cố gắng nghiên
cứu sâu, kĩ hơn.
4. Phần kết :
Trong quá trình giảng dạy, Tôi thấy nếu giáo viên có sự đầu tư nghiên cứu bài
càng kĩ thì hiệu quả đạt được càng cao. Tâm huyết với nghề là một trong những yếu tố
tạo nên sự thành công của bài dạy.
Mặc dù đã cố gắng khi phân chia kiến thức và trình bày chuyên đề này nhưng
trong quá trình thực hiện không tránh khỏi sai sót, nhầm lẫn hay chưa khoa học. Tôi rất
mong nhận được những lời động viên, ý kiến đóng góp quí báu từ các Thầy Cô giáo để
chuyên đề này được hoàn thiện hơn nữa về nội dung và cả hình thức. Tôi xin chân thành
cảm ơn !
Phan Thiết, ngày 5 tháng 4 năm 2013
Người viết

Phạm Ngọc Tâm
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
Phạm Ngọc Tâm 21 Trường THCS Tiến Thành

Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
1. Sách giáo khoa lớp 6 - Nhà xuất bản giáo dục năm 2010
2. Phương pháp giảng dạy môn toán - NXB GD năm 1998
3. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6- Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam (Vũ Hữu
Bình- Tôn Thân- Đỗ Quang Thiều).
4. Sách bài tập, sách giáo viên, sách nâng cao toán 6- Nhà xuất bản giáo dục năm
2010.
5. Thực hành giải toán – NXB GD ( Vũ Dương Thụy ).
6. Hướng dẫn tự học tích cực trong một số môn học cho học sinh THCS- Nhà
xuất bản Hà Nội- 2012 ( TS. Trần Đình Châu - TS. Phùng Khắc Bình).
7. 500 bài toán nâng cao lớp 6 - Nhà xuất bản đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh.
8. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6-Nhà xuất bản giáo dục ( Bùi Văn
Tuyên)
9. Cách tìm lời giải các bài toán trung học cơ sở- Tập I - Nhà xuất bản đại học
quốc gia Hà Nội.( Lê Hải Châu- Nguyễn Xuân Quỳ)

XÉT DUYỆT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS TIẾN THÀNH :
Phạm Ngọc Tâm 22 Trường THCS Tiến Thành
Phát triển tính tích cực của học sinh lớp 6 thông qua phép chia hết .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
XÉT DUYỆT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT PHAN THIẾT:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
Phạm Ngọc Tâm 23 Trường THCS Tiến Thành