phương pháp chứng minh bất đẳng thức thcs

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B

BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph

hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss
s
ố
ốố
ố

Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 04/09/11

Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 09/09/11

Chủ đề
Chủ đềChủ đề
Chủ đề

2
22
2



phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

<1>

A/Mục tiêu



Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận
dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
- Tập chứng minh BĐT theo nhiều cách khác nhau
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-

GV:

Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS:

Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
C/Tiến trình bài dạy

I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức



sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số



II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ


(15 phút)
-

HS1:

Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?

-

HS2:

Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ?

III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
(160 phút)
A Lí thuyết
(30 phút)

1) Định nghĩa bất đẳng thức.
a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a b < 0.
a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a b > 0.
a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a

b, nếu a - b

0.
a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a

b, nếu a - b

0.

Ví dụ:

VD1:
7 5 7 6
>
vì

( 7 5) ( 7 6) 1 0
= >

VD2:
1 3 1 1
3 4 3 4
<
vì
1 3 1 1 1
0
3 4 3 4 2

= <



VD3: a
2
+ 1 < a
2
+ 2 vì (a
2
+ 1) - (a
2
+ 2) = -1 < 0
2) Các tính chất của BĐT.
+ Tính chất 1: a > b

b < a.
+ Tính chất 2: a > b và b > c

a > c (tính chất bắc cầu)
+ Tính chất 3: a > b

a + c > b + c
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

+ Tính chất 4: a > b, c > d


a + c > b + d

a > b, c < d

a - c > b - d
+ Tính chất 5:
ac bc, nếu c > 0
a b
ac bc, nếu c < 0
>

> <=>

<

+ Tính chất 6: a > b > 0, c > d > 0

ac > bd
+ Tính chất 7: a > b > 0

a
n
> b
n
với mọi n
*
N

;
a > b

a
n
> b
n
(n lẻ);
a b
>
a
n
> b
n
(n chẵn)
+ Tính chất 8: a > b > 0

n n
a b
> với mọi n
*
N

;
Hệ quả: a, b 0 =>
2 2
a b a b a b
<=> <=>
+ Tính chất 9:
m n
m n
a 1 và m n a a với m,n N *
0 a 1 và m n a a với m,n N *


> > => >

< < > => <



3, Một số bất đẳng thức thông dụng :
a, Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm:
Với hai số không âm a , b ta có :
ab
ba

+
2

(
)
2
a b
ab
2
+


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b
b, Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki :
Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )
2


(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
Dấu đẳng thức xảy ra <=>
y

b
x
a
=

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

baba ++

Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab

0
B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức (130 phút)
Phơng pháp chung :
Cách 1 : Biến đổi BĐT cần chứng minh thành một BĐT tơng đơng mà ta đã biết là
đúng
Cách 2 : Biến đổi BĐT đúng đã biết thành BĐT cần chứng minh
1. Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa

Phơng pháp chứng minh
Phơng pháp chứng minhPhơng pháp chứng minh
Phơng pháp chứng minh

A > B
A > BA > B
A > B

:
::
:

- Bớc 1: Xét hiệu A B
- Bớc 2: Chứng minh A B > 0
- Lu ý :
A
2


0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
- A
2
0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
A A A

;
A A A 0; A A A 0
= <=> = <=>

Bài tập:
Bài tập:Bài tập:
Bài tập:
*) Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
a b
ab
2
+

(Bất đẳng thức Côsi)




Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá

án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG

G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss
s
ố
ốố
ố

Bài làm :


Xét hiệu

2
2 2
a b a 2ab b 4ab
ab
2 4
+ + +

=


2
a b
0
2

=



Vậy:
2
a b
ab
2
+




dấu = xảy ra khi a = b.
Chú ý: Để chứng minh BĐT: Với hai số không âm a , b ta có :
ab
ba

+
2

ta xuất phát từ BĐT
2
( a b ) 0

, luôn đúng với mọi a, b 0
*) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có

2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)
+ + +

(Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki)

Bài làm :
Xét hiệu
2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)
+ + +

= a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
- a

2
x
2
- b
2
y
2
2byax
= (ay bx)
2


0
Vậy:
2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)
+ + +

dấu = xảy ra khi ay = bx hay
a b
x y
=

*) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)
+ + + + + + +

Bài làm :

Xét hiệu
2 2 2 2 2
(a b c d e ) a(b c d e)
+ + + + + + +

=
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
ab b ac c ad d ae e
4 4 4 4

+ + + + + + +




=
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2

+ + +



Vậy:
2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)

+ + + + + + +

dấu = xảy ra khi
a
b c d e
2
= = = =

*) Bài tập 4: Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x
2
+ y
2
+ z
2
+3

2(x + y + z)
Bài làm :
Ta xét hiệu : H = x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2( x + y + z)
= x
2
+ y
2
+ z

2
+3 - 2x - 2y - 2z
= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)
= (x - 1)
2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2
Do (x - 1)
2


0 với mọi x
(y - 1)
2


0 với mọi y
(z - 1)
2


0 với mọi z

=> H

0 với mọi x, y, z
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Hay x
2
+ y
2
+ z
2
+3

2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.
*) Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x
4
+ y
4


xy
3
+ x
3
y

Bài làm :
Xét hiệu : x
4
+ y
4
( xy
3
+ x
3
y ) = ( x
4
xy
3
) + ( y
4
x
3
y )
= x( x
3
y
3
) + y( y
3
x
3
) = ( x y )( x
3
y
3

)
= ( x y )
2
( x
2
+ xy + y
2
) = ( x y )
2
(
)
2
2
3
1
x y y
2 4

+ +



0
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng . Dấu = xảy ra khi x = y .
*) Bài tập 6: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng :
a b a b
+ > +

Hớng dẫn :
Cách 1 :

(
)
(
)
2 2
a b a b a b a b a 2 ab b a b
2 ab 0 (BĐT đúng vì a, b > 0 )
+ > + <=> + > + <=> + + > +
<=> >

Vậy
a b a b
+ > +

Cách 2 :
(
)
2
a b a b a 2 ab b a b (vì 2 ab 0)
+ = + = + + > + >

Cách 3 : Vì a > 0, b > 0 nên
a b
1, 1
a b a b
< <
+ +
, do đó
a a b b

,
a b a b a b a b
> >
+ + + +

Cộng vế với vế của hai BĐT cùng chiều => đpcm
Cách 4

:

Vì a > 0, b > 0 nên
a 0, b 0
> >

Dựng tam giác ABC vuông tại A có
AB =
a ,AC b
=

áp dụng Py ta go tính đợc
BC =
2 2
AB AC
+

(
)
(
)
2 2

a b+ =
a b
+

áp dụng BĐT tam giác, ta có : AB + AC > BC
Vậy
a b a b
+ > +

b
a
C
B
A

*) Bài tập 7: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng :
3
a b c
abc
3
+ +

(BĐT Cô-si cho ba số không âm)
Hớng dẫn :
Cách 1 : Bài toán phụ : Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2
3 3 3 2
1
x y z 3xyz (x y z) (x y) y z z x

2

+ + = + + + +






Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS

SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss
s
ố
ốố

ố












Hớng dẫn

: Ta biến đổi từ VP để có VT

Với x, y, z 0 =>
3 3 3
x y z 3xyz
+ +
0 =>
3 3 3
x y z
xyz
3
+ +


Đặt x =

3 3 3
a ,y b ,z c (a,b,c 0)
= =

Ta có :
3 3 3 3
a b c a b c
a b c abc
3 3
+ + + +
<=>

Cách 2 : Bài toán phụ
Cho x, y, z, t không âm . Chứng minh rằng
4
x y z t
xyzt
4
+ + +


(BĐT Cô-si cho bốn số không âm)

Thật vậy:

4
x y z t x y
z t
1 1
( xy zt ) xy zt xyzt

4 2 2 2 2
+ + + +

+
= + + =



=>
4
x y z t
xyzt
4
+ + +





Do đó
( )
4
4
a b c
a b c
a b c 3 a b c
abc
3 4 3
+ +

+ + +

+ + + +
=




Trờng hợp một trong ba số a, b, c bằng 0, bài toán đợc chứng minh
Trờng hợp a, b, c đều khác 0 , ta có a + b + c > 0
Do đó:
(
)
4
a b c a b c
abc
3 3
+ + + +
<=>

3
a b c
abc
3
+ +


2. Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức
*) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện
x + y = 2. Chứng minh x

4
+ y
4

2
Bài làm :


- Ta có: (x
2
y
2
)
2


0 (với mọi x, y)


x
4
+ y
4


2x
2
y
2

x
4
+ y
4
+ x
4
+ y
4


x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4



2(x
4
+ y
4
)

(x

2
+ y
2
)
2
(1)
dấu = xảy ra khi x = y hoặc x = - y.
- Mặt khác, ta có: (x y)
2


0 (với mọi x, y)


x
2
+ y
2


2xy


2(x
2
+ y
2
)

(x + y)

2



x
2
+ y
2


2 (2) (vì x + y = 2)
dấu = xảy ra khi x = y.
- Từ (1) và (2) x
4
+y
4

2 dấu= xảy ra khi x = y = 1.
*) Bài tập 2 : Chứng minh rằng
2 2 2
3
a b c a b c
4
+ + +

Bài làm :
Ta có:
2
2
1 1

a 0 a a
2 4

+ +



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


2
2
1 1
b 0 b b
2 4

+ +




2
2
1 1
c 0 c c
2 4

+ +



Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta đợc:

2 2 2
1 1 1
a b c a b c
4 4 4
+ + + + +


2 2 2
3
a b c a b c
4
+ + +

dấu = xảy ra khi a = b = c =
1
2

.
*) Bài tập 3 : Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng :
(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài làm :
Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .

Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)
(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
Do 0 < a, b, c, d <1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0
=>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
*) Bài tập 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a
Bài làm :
Do 0 < a, b < 1 => a
3
< a
2
< a < 1 ; b
3
< b
2

< b < 1 ; ta có :
(1 - a
2
)(1 - b) > 0 => 1 + a
2
b > a
2
+ b
=> 1 + a
2
b > a
3
+ b
3
hay a
3
+ b
3
< 1 + a
2
b .
Tơng tự : b
3
+ c
3
< 1 + b
2
c ; c
3
+ a

3
< 1 + c
2
a .
=> 2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a
*) Bài tập 5 : Từ bất đẳng thức
( )
2
a b 0

, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau :
+)
(
)
2
2 2
a b a b
2 2

+ +

+)
( )
2
a b 4ab
+
+)
(
)
2
a b
ab
2
+


+)
( )
2
1 1
(a,b 0)
4ab
a b
>
+
+)
1 1 4
(a,b 0)
a b a b

+ >
+




Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án

nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss
s
ố
ốố
ố

+)
2 2
a b 2(a b ) (a,b 0)
+ + >
(BĐT Bu-nhi-a-côp-xki)
+)
a b 2 ab (a,b 0)
+ >
(BĐT cô-si)
3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
- Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là
một phép biến đổi tơng đơng .
- Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất
đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng .
- Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức
kia cũng đúng .
Ta có sơ đồ : A > B A
1
> B
1

A
2
> B
2
A
n
> B
n

*) Bài tập 1 :
Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :

3
4
1
1
1
1

+
+
+
b
a

Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng
3(a + 1 + b + 1)

4(a + 1) (b + 1)

9

4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)
9

4ab + 8 1

4ab (a + b)
2


4ab
Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
*) Bài tập 2 :
Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4
Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

Giải:
Từ : (a + b)
2


4ab , (a + b + c)

2
=
[
]
cbacba )(4)(
2
+++

=> 16

4(a + b)c => 16(a + b)

4(a + b)
2
c

16 abc
=> a + b

abc
Tơng tự : b + c

abc
c + a

abc
=> (a + b)(b + c)(c + a)

a
3

b
3
c
3

*) Bài tập 3 :
Chứng minh bất đẳng thức :

3
33
22






+

+ baba
; trong đó a > 0 ; b > 0
Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

3
33
22

+

+ baba








+
+






+
2
).(
2
22
ba
baba
ba

.
2
2






+ ba

a
2
- ab + b
2



2
2






+ ba

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng

Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

4a
2
- 4ab + 4b
2


a
2
+ 2ab + b
2

3a
2
- 6ab + 3b
2
= 3(a
2
- 2ab + b
2
)

0
( )
2
3 a b 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :
3
33
22






+

+ baba

Dấu = xảy ra a = b
*) Bài tập 4 :
Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b
3
+ ab


2
1

Giải :
Ta có : a
3

+ b
3
+ ab


2
1
<=> a
3
+ b
3
+ ab -
2
1


0
<=> (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab -
2
1


0
<=> a
2
+ b

2
-
2
1

0 . Vì a + b = 1
<=> 2a
2
+ 2b
2
- 1

0
<=> 2a
2
+ 2(1-a)
2
- 1

0 ( vì b = a -1 )
<=> 4a
2
- 4a + 1

0
<=> ( 2a - 1 )
2


0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a
3
+ b
3
+ ab


2
1

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2
1

*) Bài tập 5 :
Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :

a
b
a




a
b
b

Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng :

a
b
a




a
b
b

(
)() baabbbaa ++

0

[
]
0)()()(
33
++ baabba


0)())(( +++ baabbababa


0)2)(( ++ bababa

2
( a b )( a b ) 0
+

Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :
a
b
a




a
b
b

*) Bài tập 6 :
Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ

Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss
s
ố
ốố
ố












Chứng minh rằng : ( 1 +
1
a
)( 1 +
1

b
)

9 (1)
Giải:
Ta có ( a +
1
a
.)( b +
1
b
)

9 ab + a + b + 1

9 ab ( vì a,b > 0 )
a + b + 1

8 ab 2

8 ab ( vì a + b = 1 )
( a + b )
2


4 ab ( a b )
2


0 (2)

Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợc
chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức a = b.
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(5 phút)
- Xem lại các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong bài học và làm các bài tập
về nhà sau:
*) Bài tập 1 : Chứng minh bất đẳng thức :

2
22
22






+

+ baba

Hớng dẫn:
Xét hiệu : H =
2
22
22

+

+ baba

=
4
)2()(2
2222
bababa +++

=
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
=+ baabbaba
. Với mọi a, b .
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
*) Bài tập 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m)
b) b(b + a)

ab
c) a(a b)

b(a b)
d)
2
c 1
c 1 2

+

*) Bài tập 3 : Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1.
Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1)

8
*) Bài tập 4 : Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (x + y + z)
2


3(xy + yz + xz)
b) c
2
c 1
2
+


*) Bài tập 5 : Cho a, b là hai số thoả mãn điều kiện a + b = 2.
Chứng minh rằng a

4
+ b
4


a
3
+ b
3
.
Hớng dẫn: Vì a + b = 2 nên a
4
+ b
4


a
3
+ b
3

(
)
4 4 3 3
2(a b ) (a b) a b
+ + +

4 4 4 4 3 3 4 4 3 3 3 3
2
2 2

2(a b ) a b ab ba a b ab ba (a b)(a b ) 0
b 3b
(a b) (a ) 0 (luôn đúng)
2 4
<=> + + + + <=> + + <=>

<=> + +



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

*) Bài tập 6 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1. Chứng minh:
a) x
2
+ y
2

1
2


b)
1
8

x
4
+ y
4

D/Bổ sung




*******************************

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG

Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn

ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii

i


s
ss
s
ố
ốố
ố















Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 12/09/11

Ngày dạy

Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 16/09/11

Chủ đề 2
Chủ đề 2Chủ đề 2
Chủ đề 2



phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. Chứng
minh đẳng thức từ một điều kiện cho trớc <2>









A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp
dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp-xki hoặc bất đẳng
thức giá trị tuyệt đối
- Học sinh biết cách chứng minh một số bất đẳng thức bằng phơng
pháp sử dụng các bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác
- Chứng minh đẳng thức từ một điều kiện cho trớc

Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:

Thớc, êke
-

HS:

Thớc, êke

C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức

-

-

sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số

II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
(10 phút)
-

HS1:

Giải bài tập 1
đã cho ở

buổi học trớc

-

HS2:

Giải bài tập 3

đã cho ở buổi học trớc

III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới

(115 phút)
4. Phơng pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc
- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất
đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,
- Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x
2
+ y
2


2xy
Với a, b > 0 ,
2+
a
b
b
a

*) Bài tập 1:
Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng :
yxyx +
+
411

Giải
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

á
p dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xyyx 2+
, chia cả hai vế cho xy > 0

yx
11
+



xy
2
, nhân cả hai vế với x + y ta có
=> (x + y)(
yx
11
+
)


xy
2
(x+y) =
xy
2
2 xy
= 4 =>

yx
11
+



yx
+
4

*) Bài tập 2 :
Cho x , y là 2 số thực dơng thoả mãn :

x
2
+ y
2
=
22
11 xyyx +

Chứng minh rằng : 3x + 4y

5
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :
(x
2
+ y
2

)
2
= (
22
11 xyyx +
)
2
(
0 x 1
<
;
0 y 1
<
)


(x
2
+ y
2
)(1 - y
2
+ 1 - x
2
)
2 2 2 2
x y 2 (x y )
+ +
=> x
2

+ y
2


1
Ta lại có : (3x + 4y)
2


(3
2
+ 4
2
)(x
2
+ y
2
)

25
=> 3x + 4y

5
Đẳng thức xảy ra
2 2
x y 1
0 x 1,0 y 1
y
x
3 4

+ =

< <



=







=
=
5
4
5
3
y
x

*) Bài tập 3 :
Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a,

6+++++ accbba

b,
5,3111 <+++++ cba

Giải
a, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
a b .1 b c .1 c a .1 1 1 1 a b b c c a

+ + + + + + + + + + + +



=>
(
)
2
a b b c c a 3.(2a 2b 2c) 6
+ + + + + + + =

=>
6+++++ accbba
.
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =
3
1

b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

( )
(a 1) 1
a
a 1 a 1 .1 1
2 2
+ +
+ = + = +

Tơng tự :
1
2
1 ++
b
b
;
1
2
1 ++
c
c

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P

PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss
s
ố
ốố
ố

5,33
2
111 =+
+
+
+++++
cba
cba

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0, trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy :
5,3111 <+++++ cba

*) Bài tập 4 :
Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng :
9
111
++
c
b

a

Giải :
Theo cô - si ta có :
a b
2
b a
+
với a , b > 0
Ta có :
=++
c
b
a
111
)
111
(
c
b
a
++
.1 =
)
111
(
c
b
a
++

.(a + b + c)
=
111 ++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a

=
++++++ )()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a

3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
9
111
++
c
b
a

Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =
3
1

5. Phơng pháp 5: Dùng bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác
a , b, c là độ dài ba cạnh của tam giác

a < b + c (1)
b < a + c (2)
c < a + b (3)
Từ 3 bất đẳng thức về tổng hai cạnh của tam giác ta suy ra đợc 3 bất đẳng thức về
hiệu hai cạnh
a < b + c (1)
a b c

<
(4)
b < a + c (2)
b c a

<

(5)
c < a + b (3)
c a b

<
(6)
*) Bài tập 1:
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi chọn HSG huyện Gia Lộc
chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc
chọn HSG huyện Gia Lộc -

-

Hải Dơng năm học 2008
Hải Dơng năm học 2008 Hải Dơng năm học 2008
Hải Dơng năm học 2008 -

-

2009
20092009
2009

Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + +

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì ?
Hớng dẫn: Chứng minh BĐT phụ: Với x, y > 0 ta luôn có:
1 1 4
x y x y
+
+

Dấu "=" xảy ra x = y
áp dụng ta có:
1 1 4 4
p a p b p a p b c
+ =
+

Tơng tự :
1 1 4 1 1 4
;
p a p c b p c p b a
+ +


Cộng từng vế => đpcm
Dấu "=" xảy ra
p a p b p c a b c Tam giác ABC đều
= = <=> = = <=>

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng

Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

*) Bài tập 2:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

abc
Giải:
Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết

2 2 2
0 ( )
b c a a b c a
<

<


2 2 2
0 ( )
c a b b c a b
< <


2 2 2
0 ( )
a b c c a b c
< <

Từ đó
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b a b c



(a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)(c - a + b)(c + a - b)
2 2 2
a b c



(a + b - c)
2
(b + c - a)
2
(c + a - b)
2
2 2 2
a b c

(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

abc
Vì a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên
a + b - c > 0
b + c - a > 0
c + a - b > 0 và abc > 0
Vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh
*) Bài tập 3:
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
MA + MB + MC >
+ +
AB AC BC
2

Giải:
Xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
MA + MB > AB
MA + MC > AC
MB + MC > BC
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của ba bất đẳng thức lại ta có:
2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC
MA + MB + MC >
+ +
AB AC BC
2
( đpcm)
*) Bài tập 4:

M
C
B
A



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá

án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG

G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss
s
ố
ốố
ố

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC.

Chứng minh: AM <
2
ACAB
+

Giải:
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
MD = MA. Dễ dàng chứng minh đợc


AMB =

DMC (c.g.c)
CD = AB (hai cạnh tơng ứng) (1)
Xét tam giác ACD theo bất đẳng thức ta có:
AC + CD > AD = 2AM mà CD = AB ( theo (1) )

AC + AB > 2AM
AM <
2
ACAB
+
(điều phải chứng minh).

*) Bài tập 5:
Cho điểm I nằm tron
g tam giác ABC
.

Chứng minh rằng: BI + IC < BA + AC
Giải:
Kéo dài BI cắt AC tại K.
Xét

AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam
giác)
BI + IK < AB + AK BI < AB + AK - IK (1)


Xét

KIC có IC < IK + KC (Bất đẳng thức tam giác)
IC < IK + (AC AK) (2)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của (1) với (2) ta có:
BI + IC < AB + AK IK + IK + AC AK
BI + IC < AB + AC (đpcm)
*) Bài tập 6:

Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từ điểm M nằm trong góc xOz vẽ MH
vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), vẽ MK vuông góc với Oy( K thuộc Oy ).
Chứng minh: MH < MK.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Giải:
Gọi A là giao điểm của MK với Oz.
Vẽ AB

Ox ( B thuộc Ox ). Nối B với
M. Xét

KOA vuông tại K và

BOA vuông tại B có:
OA là cạnh chung



BOA KOA
=
(Oz là tia phân
giác)
Do đó

KOA =

BOA( cạnh huyền
góc nhọn )
AK = AB ( hai cạnh tơng ứng
)
Xét

AMB có BM < AB + AM (Bất
đẳng thức tam giác)
Do đó BM < AK + AM (AB = AK )
hay BM < MK
Mặt khác MH < BM (Quan hệ giữa
đờng xiên và đờng vuông góc)
Suy ra MH < MK => Đpcm

*) Bài tập 7: Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của BAC (D

BC).
M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD. Chứng minh: MB MC < AB AC.
Giải:
Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AC
Vì AB > AC nên E nằm giữa A và B suy ra
AE + EB = AB => EB = AB AE = AB AC
Xét

AEM và

ACM có:
AE = AC (cách vẽ)

=
EAM CAM
(AD là tia phân giác của Â)
AM là cạnh chung
Do đó

AEM =

ACM (c.g.c). Suy ra ME = MC (hai cạnh tơng ứng) .
Xét

MEB có MB ME < EB (Bất đẳng thức tam giác)
Vì MC = ME, EB = AB - AC
Do đó MB MC < AB AC (điều phải chứng minh).
*) Bài tập 8: Cho tam giác ABC, gọi a, b, c lần lợt là độ dài ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Giải:
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
a + b - c > 0 => c(a + b - c) > 0 (1)
b + c - a > 0 => a(b +c - a) > 0 (2)
a + c - b > 0 => b(a + c - b) > 0 (3)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta đợc:

c(a + b - c) + a(b +c - a) + b(a + c - b) > 0
=> ac + bc - c
2
+ ab + ac - a
2
+ ab + bc - b
2
> 0
=> 2(ab + bc + ca) - (a
2
+ b
2
+ c
2
) > 0
A

a

c

b

C

B

A

M

E

C

B

D




Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo

oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H

HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss

s
ố
ốố
ố













2(ab + bc + ca) > a
2
+ b
2
+ c
2
(điều phải chứng minh)
*) Bài tập 9:
Chứng minh rằng nếu: a = y + z ; b = z + x ; c = x + y thì a, b, c là độ dài các cạnh của
một tam giác ( x, y, z lớn hơn 0).
Giải:
Theo bài ra ta có:
a = y + z

b = z + x => 2(x + y + z) = a + b + c => x + y + z =
)(
2
1
cba ++

c = x + y
Suy ra x =
2
acb

+
; y =
2
bca

+
; z =
2
cba

+

Vì x, y, z > 0 =>
2
acb

+
> 0 ;
2

bca

+
> 0 ;
2
cba

+
> 0
=> a, b, c thoả mãn là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
*) Bài tập 10:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn a + b + c = 2.
Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1
Giải:
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Suy ra : a + b > c
b + c > a
a + c > b
mà a + b + c = 2
suy ra a < 1 ; b < 1 ; c < 1
=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0
(ab - a - b + 1)(c - 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 < 0
abc + ( a + b + c) - 1 < ab + ac + bc vì a + b + c = 2
=> abc + 1 < ab + ac + bc (điều phải chứng minh)
*) Bài tập 11:
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi chọn HSG huyện Gia Lộc
chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc
chọn HSG huyện Gia Lộc -

-

Hải Dơng
Hải DơngHải Dơng
Hải Dơng



Cho tam giác ABC, D là điểm trên cạnh BC (D không trùng với B, C)
Chứng minh :
AD.BC BD.CA CD.AB
< +

Hớng dẫn: Kẻ DE//AC, DF//AB
DE BD DE
BD BC.
AC BC AC
CD
DF DF
CD BC.
CB AB AB
= => =
= => =

BD.CA CD.AB
+
=
DE
BC.

AC
.CA +
DF
BC.
AB
.AB
=
BC.DE BC.DF BC(DE AE) BC.AD
+ = + >


6. Chứng minh đẳng thức từ một điều kiện cho trớc:
*) Bài tập 1:
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi chọn HSG huyện Gia Lộc
chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc
chọn HSG huyện Gia Lộc -

-

Hải Dơng năm học 2007
Hải Dơng năm học 2007 Hải Dơng năm học 2007
Hải Dơng năm học 2007 -

-

2008
20082008
2008

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Cho a, b, c và x, y, z là các số thỏa mãn điều kiện :

3 3 3
ax by cz và xy yz xz xyz ( Với x, y, z 0)
= = + + =

Chứng minh đẳng thức:
2 2 2
3
3 3 3
ax by cz a b c
+ + = + +

Hớng dẫn:
xy yz xz xyz ( Với x, y, z 0)
+ + =
, chia cả hai vế cho xyz ta có:
1 1 1
1
x y z
+ + =

Đặt:

3 3 3
ax by cz
= =
= t =>
3 3 3
t t t
a ;b ;c
x y z
= = =

Thay vào VT ta có: VT =
3
3 3
t t t
1 1 1
t( ) t
x y z x y z
+ + = + + =

VP =
3 3
3 3
3
3 3 3
t t t
1 1 1
t ( ) t
x y z
x y z
+ + = + + =

Vậy :
2 2 2
3
3 3 3
ax by cz a b c
+ + = + +

*) Bài tập 2:
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi chọn HSG huyện Ninh Hòa
chọn HSG huyện Ninh Hòachọn HSG huyện Ninh Hòa
chọn HSG huyện Ninh Hòa

Chứng minh rằng nếu:
2 2
x yz y xz
x(1 yz) y(1 xz)

=


với
x y,yz 1,xz 1,x 0,y 0,z 0

thì
1 1 1
x y z
x y z

+ + = + +

Hớng dẫn:
2 2
2 2
x yz y xz
(x yz)(y xyz) (y xz)(x xyz)
x(1 yz) y(1 xz)

= <=> =


2 3 2 2 2 2 3 2 2 2
2 2 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz 0
(x y xy ) (x yz xy z) (x z y z) (x yz xy z ) 0
xy(x y) xyz(x y ) x(x y ) xyz (x y) 0
(x y) xy xyz(x y) z(x y) xyz 0
xy xyz(x y) z(x y) xyz (
<=> + + + =
<=> + =
<=> + =

<=> + + + =


<=> + + +

2
2
vì x y ) xy xz yz xyz(x y) xyz
xy xz yz xyz(x y) xyz
1 1 1
(xyz 0) x y z
xyz xyz x y z
<=> + + = + +
+ + + +
<=> = <=> + + = + +

*) Bài tập 3:
Đề thi
Đề thi Đề thi
Đề thi chọn HSG huyện Gia Viễn
chọn HSG huyện Gia Viễnchọn HSG huyện Gia Viễn
chọn HSG huyện Gia Viễn

1/ Cho ba s x, y, z tu ý. Chng minh rng
2
2 2 2
3 3
x y z x y z
+ + + +





2/ Chng minh rng nu

1 1 1
2
a b c
+ + =
v a + b + c = abc thỡ ta cú
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =

Hớng dẫn:
1/ p dng BT Cụsi ta cú: x
2
+ y
2


2xy (1) ; y
2
+ z
2


2yz (2) ; z
2
+ x
2

2zx (3)
Cng tng v ba BT trờn ta c 2( x
2
+ y
2
+ z
2
)

2( xy + yz + zx )

2( x
2
+ y
2
+ z
2
) + ( x
2
+ y
2
+ z
2
)

( x
2
+ y
2
+ z

2
) + 2( xy + yz + zx )

3( x
2
+ y
2
+ z
2
)

( x + y + z )
2



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi

ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng

gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
s
ố
ốố
ố












chia hai v cho 9 ta c :
2 2 2 2
( )
3 9
x y z x y z
+ + + +
=
hay
2
2 2 2

3 9
x y z x y z
+ + + +

=



2/ T
1 1 1
2
a b c
+ + =



2
1 1 1
4
a b c

+ + =





2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4

a b c ab bc ca

+ + + + + =





2 2 2
1 1 1
2 4
a b c
a b c abc
+ +

+ + + =


.
M a + b + c = abc


1
a b c
abc
+ +
=


2 2 2

1 1 1
2 4
a b c
+ + + =



2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =

IV.
Luyện tập
Luyện tậpLuyện tập
Luyện tập

-

-

Giải đề thi
Giải đề thiGiải đề thi
Giải đề thi


(45 phút)
*) Bài tập 1:
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2010

Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2010 Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2010
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2010 -

-

2011, ngày thứ nhất
2011, ngày thứ nhất2011, ngày thứ nhất
2011, ngày thứ nhất


Cho a, b, c, d là các số dơng thỏa mãn
4 4
2 2
a b
1
a b 1 và
c d c d
+ = + =
+

Chứng minh rằng:
2
2
a d
2
c
b
+

Hớng dẫn:

4 4
2 2
a b
1
a b 1 và
c d c d
+ = + =
+
=>
(
)
2
2 2
4 4
a b
a b
c d c d
+
+ =
+

Quy đồng và biến đổi đa về đẳng thức:
(
)
2
2 2
da cb 0
=

=>

2 2
da cb

= 0 hay
2 2
a b
c d
=
. Do đó
(
)
2
2
2 2
2 2 2
b d
a d b d
2 2 0
c d
b b db

+ = + =
. Vậy
2
2
a d
2
c
b
+

*) Bài tập 2:
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2010
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2010 Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2010
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2010 -

-

2011, ngày thứ hai
2011, ngày thứ hai2011, ngày thứ hai
2011, ngày thứ hai

Chứng minh
( )
3 3
a b ab a b , với mọi a, b 0
+ +
. áp dụng kết quả trên, chứng
minh bất đẳng thức
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
a b 1 b c 1 c a 1
+ +
+ + + + + +

với mọi a, b, c là các số dơng thỏa mãn abc = 1
Hớng dẫn:
( )
3 3 2

a b ab a b (a b) (a b) 0, đúng với mọi a, b 0
+ + <=> +

3 3
3 3
a b 1 ab(a b) 1 ab(a b) abc ab(a b c)
1 1
(theo đề bài abc = 1)
ab(a b c)
a b 1
+ + + + = + + = + +
<=>
+ +
+ +

(do các vế đều dơng)
Tơng tự ta có:
3 3
1 1
bc(a b c)
b c 1

+ +
+ +
;
3 3
1 1
ac(a b c)
c a 1

+ +
+ +

Cộng vế với vế của các bất đẳng trên ta có
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
ab(a b c) bc(a b c) ac(a b c)
a b 1 b c 1 c a 1
+ + + +
+ + + + + +
+ + + + + +

<=>
3 3 3 3 3 3
1 1 1
a b 1 b c 1 c a 1
+ +
+ + + + + +
1
*) Bài tập 3:
Đề thi vào THPT tỉnh HảI Dơng năm học 2011
Đề thi vào THPT tỉnh HảI Dơng năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh HảI Dơng năm học 2011
Đề thi vào THPT tỉnh HảI Dơng năm học 2011 -

-

2012, ngày thứ nhất
2012, ngày thứ nhất2012, ngày thứ nhất
2012, ngày thứ nhất

Cho x, y, z là ba số dơng thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:
x
x 3x yz
+ +
+
y
y 3y zx
+ +
+
z
z 3z xy
+ +


1
Hớng dẫn:
Vỡ x + y +z= 3 =>
3 ( ) ( )( )
+ = + + + = + +
x yz x y z x yz x y x z

p dng bt ng thc Bunhia - Copxki ta cú
2
( yx) ( )( ) yx ( )( )

yx 3
yx 3
+ + + + + +
+ +
+ + + +
xz x y z x xz x y z x
xz x yz
x xz x x yz

3 yx
=
+ + + + + +
x x x
x x yz x xz x y z

Chng minh tng t
3

+ + + +
y
y
y y xz x y z
;
3

+ + + +
z z
z z xy x y z

Cng cỏc v ca 3 bt ng thc cựng chiu ta c

1
3 3 3
+ + + + =
+ + + + + + + + + + + +
y
x y z x z
x x yz y y xz z z xy x y z x y z x y z
Du = xy ra xy ra khi x = y = z = 1
*) Bài tập 4:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Ninh Bình
Ninh Bình Ninh Bình
Ninh Bình năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009

-

-

2010
2010 2010
2010

1. Cho 3 s a, b, c >0. Chng minh rng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +

+ + + + + +

2. Tỡm x, y nguyờn sao cho x + y + xy + 2 = x
2
+ y
2
Hớng dẫn:
1. Vi a > 0; b > 0; c > 0 .
Chng minh rng:
abc
abc
a
c
abc
c
b
abc
b
a
1111
333333

+
+
+
+
+
+
+
+

HD: ta cú a
3
+ b
3
+ abc = (a+b)(a
2
+ b
2
- ab) + abc

(a+b)(2ab - ab)+ abc
( vỡ (a-b)
2


0 vi mi a, b => a
2
+ b
2

2ab)
=> a
3
+ b
3
+ abc

ab(a+b) + abc = ab( a+b+c)
Vỡ a, b, c > 0 =>

abcba
abcba
)(
11
33
++

++
(1)
Tng t ta cú:
bccba
abccb
)(
11
33
++

++
(2) ;
cacba
abcac
)(
11
33
++

++
(3)
T (1) ; (2); (3)

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B

BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph

hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss
s
ố
ốố
ố

=>
abccbaabc
cba
abcacabccbabcba
1
)(
111
333333
=
++
+
+

++
+
++
+
++

Du "=" xy ra khi a = b = c
Vy bt ng thc c chng minh.
2. Tỡm x, y nguyờn tho món: x + y + xy + 2 = x
2
+ y

2 (*)

<=> x
2
- x(y + 1) + y
2
- y - 2 = 0
(**)

Vỡ x, y l nghim ca phng trỡnh
(*)
=> Phng trỡnh
(**)
luụn cú nghim theo x
=>

= (y+1)
2
- 4 (y
2
- y - 2)

0
=> -3y
2
+ 6y + 9

0 <=> - y
2
+ 2y + 3

0 <=> (- y
2
- y) + 3(y + 1)

0
<=> (y + 1)(3 - y)

0
Gii c -1

y

3 vỡ y nguyờn => y

{-1; 0; 1; 2; 3}
+ Vi y = -1 =>
(*)
<=> x
2
= 0 => x = 0
+ vi y = 0 =>
(*)
<=> x
2
- x - 2 = 0
cú nghim x
1
= -1; x
2

= 2 tho món x

Z.
+ vi y = 1 =>
(*)
<=> x
2
- 2x - 2 = 0 cú
'

= 3 khụng chớnh phng.
+ vi y = 2 => x
2
- 3x = 0 => x

= 0 hoc x = 3 tho món x

Z.
+ vi y = 3 => (x-2)
2
= 0 => x = 2 tho món x

Z.
Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l: (x,y)


{
}
)3;2();2;3();2;0();0;2();1;0();0;1(

*) Bài tập 5:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Thanh Hóa
Thanh HóaThanh Hóa
Thanh Hóa

năm học 20
năm học 20năm học 20
năm học 2011
11 11
11 -

-

2012
20122012
2012

Cho các số dơng x, y , z . Chứng minh bất đẳng thức
2>
+
+
+
+
+
yx
z

zx
y
zy
x

Hớng dẫn:
áp dụng BĐT Cosi ta có :
zyx
x
zy
x
x
zyx
x
zy
x
zy
++

+
=>
++
=
+
+

+ 2
22
1
1.

zyx
y
zx
y
y
zyxy
zx
y
zx
++

+
=>
++
=
+
+

+ 2
22
1
1.

zyx
z
xy
z
z
zyx
z

xy
z
xy
++

+
=>
++
=
+
+

+
2
22
1
1.


Cộng vế với vế ta có :
2
)(2
=
++
++

+
+
+
+

+ zyx
zyx
xy
z
zx
y
zy
x
dấu bằng xảy ra
y+ z = x
x+ z = y x + y + z = 0
y+ x = z
Vì x, y ,z > 0 nên x + y + z > 0 vậy dấu bằng không thể xảy ra .
=>
2>
+
+
+
+
+ xy
z
zx
y
zy
x
với mọi x, y , z > 0 ( Đpcm )
*) Bài tập 6:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Bình Định

Bình Định Bình Định
Bình Định năm
năm năm
năm học
học học
học 2010
2010 2010
2010 -

-

2011
20112011
2011

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Cho cỏc s a, b, c tha món cỏc iu kin 0 < a < b v phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 vụ
nghim. Chng minh rng:
a
b
cba

+

+
> 3
Hớng dẫn:
Ta cú (b-c)
2
0

b
2
2bc - c
2

Vỡ pt ax
2
+ bx + c = 0 vụ nghim nờn cú = b
2
- 4ac < 0(do a>0 ;b>0 nờn c>0)

b
2
< 4ac

2bc - c
2
< 4ac

4a > 2b-c

a+b+c > 3b - 3a

a
b
cba

+
+
> 3 (pcm)
*) Bài tập 7:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Trị
Quảng Trị Quảng Trị
Quảng Trị năm học
năm học năm học
năm học 2010
2010 2010
2010 -

-

2011
20112011
2011

Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tho món a + b + c = 3. Chng minh rng:

( ) ( ) ( )
3 3 3
3

1 1 1
4
+ +
a b c

Hớng dẫn:
3 3 2
( 1) 3 3 1
a a a a
= +

( )
2
2
3 3 3
3 3 1 1 1 (1) ( 0)
2 4 4

= + = +


a a a a a a a do a

Tng t:
( ) ( )
3 3
3 3
( 1) 1 2 ; ( 1) 1 3
4 4
b b c c

T (1), (2), (3) suy ra:

( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 9 3
1 1 1 3 3
4 4 4
a b c a b c
+ + + + = =

Vy BT c chng minh.
Du ng thc xy ra khi

2
2
2
3
3
0
0
3
2
0,
2
2
3
3
0
0

3
0,
2
2
2
3
3
0
3
0
0,
2
2
2
3
3



=


= =




= = =

= =
=



= = =






= =


=
= = =






+ + =

+ + =


a a
a hoặc a
a b c
b hoặc b
b b
b a c
c hoặc c
c c
c a b
a b c
a b c

V.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
(10 phút)
- Xem lại các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong bài học và giải
tiếp các bài tập sau:
*) Bài tập 1:
Cho a, b > 0 ; c > 0; Chứng minh rằng:
A =

a + b

+

a + c

+
b + c

6

c b a
Hớng dẫn:



Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo

oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H

HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss

s
ố
ốố
ố












A =

a

+

b

+

b

+

c

+

a

+

c

c

c a

a

b

b

A = (

a

+

c

) +
(

b

+

c

) +
(

a
+

b

) 6

c

a

c

b

b

a
(Lu ý: a, b > 0; c > 0; )

a

+

c

2;

b

+

c

2;

a
+

b

2;

c

a

c

b

b

a

*) Bài tập 2:
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
A =

(a + b)
2
+

(a + c)
2
+

(b + c)
2
4(a + b + c)
c b a
Hớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
( ) ( )
2 2
a b a b
4c 2. .4c 4(a b)
c c
+ +
+ = +

Tơng tự:
(a + c)
2
+ 4b 4 (a + c)
b
(b + c)
2
+ 4a 4 (b + c)
a
Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh.
*) Bài tập 3:
Chng minh bt ng thc:
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
a b c d a c b d
+ + + + + +

Hớng dẫn: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2
2 2 2 2
( )( )
a b c d

+ +
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2ac + 2bd

2 2 2 2
( )( )
a b c d
+ +
ac + bd. (2)
Nu ac + bd < 0 thỡ (2) c chng minh.
Nu ac + bd

0 thỡ (2) tng ng vi
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)

a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd


a
2
c
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c
2
+ b
2
d
2


a

2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd


(ad bc)
2

0 (3)
Bt ng thc (3) ỳng, bt ng thc (1) c chng minh.
*) Bài tập 4: Vi ba s a,b,c khụng õm, chng minh bt ng thc
a b c ab ac bc
+ + + +

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu

Hớng dẫn: Khi a, b, c khụng õm ta cú
(
)
2
0 2

a b a b ab
+
(1)
Tng t
(
)
2
0 2
b c b c bc
+
(2) ;
(
)
2
0 2
a c a c ac
+
(3)
Cng (1), (2) v (3) theo v ta c
a b b ab bc ac
+ + + +

*) Bài tập 5:
a, Cho 3 số dơng a,b,c thoả mãn
2 2 2
5
3
a b c
+ + =

Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1 1
a b c abc
+ <

b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2
25 ( 6)
x y y
= +

Hng dn:
a)
Ta có :

( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 5
0 2( ) 0 ( ) 1
2 2 3
1 1 1 1 1
(do a,b,c > 0)
a
+ + + + + + + = <
+
< + <
a b c a b c ac bc ab ac bc ab a b c
ac bc ab
abc abc b c abc

b, Từ
2
25 ( 6)
x y y
= +
. Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Để ý trong phơng trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải
với x là số tự nhiên.
Khi đó: y+3+x

y+3-x .
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn ,
vậy 2 số 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn .
Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây.
- 16 = 8 (- 2) = 4 (- 4) = 2 (- 8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị (y+3+x).
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0.
Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3.
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6.
Vì thế phơng trình đã cho có các nghiệm ( x,y) =
(
)
(
)
(
)
5,0 ; 5, 6 ; 4, 3 .

*) Bài tập 6: Chng minh cỏc bt ng thc :
a) (a + b)
2
2(a
2
+ b
2
)
b) (a + b + c)
2
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
Hng dn:
a) Ta cú : (a + b)
2
+ (a b)
2
= 2(a
2
+ b
2
). Do (a b)
2
0, nờn (a + b)
2

2(a
2
+ b
2
).
b) Xột : (a + b + c)
2
+ (a b)
2
+ (a c)
2
+ (b c)
2
. Khai trin v rỳt gn, ta c :
3(a
2
+ b
2
+ c
2
). Vy : (a + b + c)
2
3(a
2
+ b
2
+ c
2
).
*) Bài tập 7:

Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì

3 3 3
x y z 3xyz.
+ +

Hng dn:
Ta cú

(
)
(
)
(
)
P x y z xyz x y xy x y z xyz
= + + = + + +
3
3 3 3 3
3 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y z xy x y xyz x y z x y z x y z xy x y z


= + + + + = + + + + + + +


3 2
3 2

3 3 3




Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Năm học
2011
-

2012


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn

n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n



Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i


s
ss
s
ố
ốố
ố

( ) ( ) ( ) ( )
(
)
x y z x y z x y z xy x y z x y z xy yz zx

= + + + + + = + + + +

2
2 2 2 2
3

( ) ( ) ( ) ( )
x y z x y y z z x

= + + + +

2 2 2
1
0
2
(

Do
giả thiết
x + y + z

0 )
Suy ra
P x y z xyz
= + +
3 3 3
3 0
và do đó
x y z xyz
+ +
3 3 3
3

*) Bài tập 8:
1. Cho
1, 1.
x y

Chng minh :
1 1
x y y x xy
+
.
2. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
1
1
( 1; 1)

y
x
A x y
y x


= +

Hng dn:
1. p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm ta cú:

1 1
1 1.( 1)
2 2
y y
y y
+
= =

1
2
xy
x y

Tng t :
1
2
xy
y x

Do ú :
1 1
x y y x xy
+

2. Theo cõu 1:
1 1
1 1 1
x y y x
x y y x xy
xy
+
+

Do ú :
1
1
1
y
x
y x


+

Du = xy ra
1 1 2
1 1 2
x x
y y

= =



= =


Vy giỏ tr ln nht ca A bng 1.
*) Bài tập 9: Chng minh
1 1 2
, , 0
1 1
1
x y
x y
xy
+ >
+ +
+
tha món
1
xy


Hng dn:
( ) ( )
1 1 1 1
(1) 0
1 1
1 1

0
(1 )(1 ) (1 )(1 )
0 0
1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
x y
xy xy
xy x xy y
x xy y xy
x y x y y x
y x y
x
x y
x xy y xy xy
+
+ +
+ +

+
+ + + +






+ +
+ + + + +

( )( )
(
)
(
)
( )
( )( )
2
1
0 0
1 1
1
1 1 1
y x xy
y x x x y y x y
x y
xy
xy x y


+



+ +
+
+ + +


BT cui cựng ỳng do

1
xy

.
ng thc xy ra
x y
=
hoc
1
xy
=

*) Bài tập 10: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010 -

-

2011
20112011
2011
Chng minh
22
15
a b c
a b b c c a
+ +
+ + +
(2)