Trường hợp bằng nhau của hai tam giác toán lớp 7

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 1

Bài giảng số 8: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM
GIÁC.

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Trường hợp
Định lý
Kí hiệu
Hình minh họa
Cạnh – cạnh –
cạnh
Nếu 3 cạnh của tam
giác này bằng 3 cạnh
của tam giác kia thì 2
tam giác đó bằng nhau
ΔABC vàΔDEFcó:
AB = DE
AC = DF
BC = EF
ΔABC = ΔDEF (c - c - c)


Cạnh – góc –
cạnh
Nếu 2 cạnh và góc
xengiữa của tam giác
này bằng 2 cạnh và góc
xen giữa của tam giác

kia thì 2 tam giác đó
bằng nhau
ΔABC và DEFcó:
AB = DE
ˆˆ
B = E
BC = EF
ΔABC = DEF (c - g - c)




Hệ quả: Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác
vuông này bằng 2 cạnh góc vuông của tam giác
vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

Góc – cạnh –
góc
Nếu 1 cạnh và 2 góc kề
cạnh ấy của tam giác
này bằng 1 cạnh và 2
góc kề cạnh ấy của tam
giác kia thì 2 tam giác
đó bằng nhau
ΔABC và DEFcó:
ˆˆ
B = E
BC = EF
ˆ
ˆ

C = F
ΔABC= DEF (g - c - g)





Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc
nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng
một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam
giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng
nhau
Hệ quả 2:Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của
tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc
nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác
vuông đó bằng nhau


Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 2


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Trường hợp Cạnh – Cạnh – Cạnh
*Phương pháp chứng minh
- Xét hai tam giác cần chứng minh
- Chỉ ra lần lượt ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau
- Kết luận tam giác bằng nhau
a) Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho


xOy
khác góc bẹt. Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A,B sao cho
OA = OB.
Lấy C nằm trong góc xOy sao cho CA = CB. Chứng minh:
a)

OAC =

OBC
b) OC là tia phân giác của góc xOy
Giải:


GT

o
xOy 180 ;

A

Ox; B

Oy;
OA = OB

C

xOy;
CA= CB

KL
a)

OAC =

OBC
b) OC là tia phân giác của
góc xOy

Chứng minh:
a) Xét

OAC và

OBC có:
- OA = OB (gt)
-
CA=CB
(gt)
- OC chung
Vậy

OAC =

OBC (c-g-c)
b) Ta có

OAC =

OBC (chứng minh câu a)




AOC = BOC
(góc tương ứng)

OC là tia phân giác của góc xOy
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
a)
ABM = ACM

b) AM là tia phân giác của góc A và
ˆ
ˆ
B = C

c) Tính số đo

AMB

d) Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA. Chứng minh CK // AB
Giải:

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 3



GT
ΔABC, AB = AC

M

BC; MB

MC;
KL
a)
ABM = ACM

b) AM là phân giác của góc A
và
ˆ
ˆ
B = C

c) Tính số đo góc AMB

Chứng minh
a) Xét
ΔABM
và
ΔACM
có:
- AB = AC (gt)
- MB = MC (gt)
- AM chung
ΔABM = ΔACM
(c-c-c)
b) Theo chứng minh câu a) ta có:
ΔABM = ΔACM



ABM = ΔACM
(Góc tương ứng) hay
 
B = C

c)
ΔABM = ΔACM
(chứng minh câu a.)


AMB = AMC
mặt khác


AMB AMC 180
o

(Hai góc kề bù)

AMB 90
o


Ví dụ 3: Cho
ABC= A'B'C'
. Gọi M là trung điểm của BC, M’ là trung điểm của
B'C'

biết
AM= A'M'
. Chứng minh
a)
AMB= A'M'B'

b)


AMC = A'M'C'

Giải


GT
ABC= A'B'C'

M

BC; MB

MC;
M' B'C'; M'B' = M'C' ; AM = A'M'

KL
a)
AMB= A'M'B'

b)



AMC = A'M'C'



Chứng minh
a) Vì
ABC= A'B'C'
nên ta có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 4

-
AB= A'B'
(1)
-
BC= B'C'
(2)
Vì M, M’ lần lượt là trung điểm của BC,
B'C'
nên MB = MC (3);
M'B'= M'C'
(4)
Từ (2) ; (3) ; (4) suy ra
MB=M'B'
(5)
Xét
AMB
và

A'M'B
có
-
AB= A'B'
(theo (1).)
-
AM= A'M'
(theo giả thiết)
-
MB=M'B'
(theo (5).)
AMB= A'M'B'  
(c-c-c)
b)
AMB= A'M'B'
(cmt)


AMB A'M'B'
(góc tương ứng) (6)
mặt khác


AMC 180 AMB
o

(t/c hai góc kề bù) (7)


A'M'C' 180 A'M'B'

o

(t/c hai góc kề bù) (8)
Từ (6) ; (7) ; (8) suy ra


AMC = A'M'C'

Bài tập áp dụng
Bài 1:


Trên hình vẽ có các tam giác nào bằng
nhau? Vì sao?




Bài 2: Dựng tam giác ABC biết AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm
HD: Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm, Vẽ đường tròn (A; 4cm) và đường tròn (B; 5cm). Giao
điểm của hai đường tròn là đỉnh C
Bài 3: Cho hình vẽ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 5


Chứng minh rằng :
a) ΔADE = ΔBDE
b)
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D và E la điểm trên cạnh BC sao cho

BD = DE = EC
, biết AD = AE.
a) Chứng minh


EAB = DAC

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE
c) Giả sử

DAE 60
o

, có nhận xét gì về các góc của tam giác AED?
HD: a) Chứng minh ΔEAB = ΔDAC



EAB = DAC

b) Chứng minh
2) Trường hợp bằng nhau thứ 3: Cạnh – Góc – Cạnh
*Phương pháp chứn minh
- Xét hai tam giác cần chứng minh
- Chỉ ra 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau và các góc xen giữa hai cặp cạnh đó
bằng nhau
- Kết luận hai tam giác bằng nhau
a) Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Trên tia đối
của tia MB lấy D sao cho MB = MD; trên tia đối của tia NC lấy E sao cho NE = NC.

Chứng minh:
a)
ΔNEA = ΔNCB; ΔMBC = ΔMDA

b) A là trung điểm của ED
Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên tia Ox lấy điểm A,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Gọi C là một điểm bất kì trên tia Oz. Chứng
minh
a) AC = BC và


xAC yBC


Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 6

b)
AB Oz

b) Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính số đo góc x trên hình vẽ






Bài 2: Cho
ABC
có

ˆ
A = 90
o
và
AB< AC
. Gọi M là trung điểm của AC, trên tia BM lấy
điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn BN. Chứng minh
a)
CN AC
và CN = AB
b)
AN = BC
và AN // BC
Bài 3: Cho góc xAy khác góc bẹt, trên tia Ax lấy 2 điểm B, D; trên tia Ay lấy 2 điểm C,
E sao cho AB=AC, AD=AE
a) Chứng minh tam giác ACD và tam giác ABE bằng nhau
b) Chứng minh
= BOD COE
. Với O là giao điểm của DC và BE
c) Chứng minh AO vuông góc với DE
Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M.
a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC.
b) Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC.
c) K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AM, đường thẳng CK cắt cạnh AB tại I.
Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh góc


BAC = 2BIH

Bài 5: Cho tam giác ABC có


o
A < 90
. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C kẻ
Ax vuông góc với AB, lấy D thuộc Ax sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC
không chứa điểm B kẻ Ay vuông góc với AC, lấy E thuộc Ay sao cho AE = AC
a) Chứng minh
ADC ABE  

b) Chứng minh BE
CD

3. Trường hợp Góc – Cạnh – Góc
*Phương pháp chứng minh
- Xét hai tam giác cần chứng minh
- Chỉ ra 2 cặp góc tương ứng bằng nhau và 1 cặp cạnh kề 2 góc đó bằng nhau
- Kết luận tam giác bằng nhau
A
H
B
K
I
40
1
2
x

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 7

a) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm AC. Từ A vẽ đường thẳng song song
BC cắt BD tại E. trên cạnh BC lấy M, đường thẳng DM cắt AE tại N Chứng minh :
a) ΔADE = ΔCDBđể suy ra AE = BC.
b) ΔNDE = ΔMDBđể suy ra D là trung điểm MN.
c) AB // EC


GT
ABC,DA = DC

AE//BC;
AE BD E

M BC; DM AE N  

KL
a) ΔADE = ΔCDB để suy ra
AE = BC.
b) ΔNDE = ΔMDB để suy ra
D là trung điểm MN.
c) AB // EC


Chứng minh
a)Xét ΔADE và ΔCDB, ta có :
- (so le trong).
- DA = DC (D là trung điểm AC)
- (đối đỉnh).

ΔADE = ΔCDB (g – c – g)


AE = BC.
b) Xét ΔNDE và ΔMDB, ta có :
- (so le trong).
- DE = DB (ΔADE = ΔCDB)
- (đối đỉnh).

ΔADE = ΔCDB (g – c – g)

DM = DN
Hay D là trung điểm MN.
c) Xét ΔADB và ΔCDE, ta có :
- DA = DC (D là trung điểm AC)
- (đối đỉnh).
- DE = DB (ΔADE = ΔCDB)

ΔADE = ΔCDB (c – g – c)



Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 8

Mà: ở vị trí so le trong nên AB // EC.
Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC, gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc
B. Từ I hạ ID

AB, IE

AC, IF


BC. Chứng minh:
a)
IDA= IEA

b) ID = IE = IF
c) CI là tia phân giác của góc C từ đó rút ra nhận xét về tính chất các tia phân giác
của các góc trong một tam giác.

GT
ΔABC,
I là giao điểm của phân
giác góc A và phân giác góc B
ID AB; IE AC; IF AC  

KL
a)
IDA= IEA
.
b) ID=IE=IF
c) CI là phân giác góc C. Nhận
xét?

Chứng minh
a) Xét hai tam giác vuông
IDA
và
IEA
có:
- IA chung
-



IAD IAE
(gt)
IDA = IEA  
(hệ quả cạnh huyền – góc nhọn)
b)
IDA= IEA
(cmt)
ID= IE
(cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông
IDB
và
IFB
có
- IB chung
-


IDB IFB
(gt)
IDB= IFB  
(hệ quả cạnh huyền – góc nhọn)
ID= IF
(2)
Từ (1) và (2)
ID= IE = IF
(3)
c) Xét hai tam giác vuông

IFC
và
IEC
có
- IC chung

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 9

- IF = IE (theo (3).)
IFC = IEC  
(hệ quả cạnh huyền – góc nhọn)


ICE ICF
(góc tương ứng)
Hay CI là tia phân giác của góc C
*Nhận xét: Ba tia phân giác của ba góc trong một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm
này cách đều 3 cạnh của tam giác đó
b) Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của BC. trên tia đối của tia DA lấy điểm
E sao cho DE = DA. Chứng minh rằng :
a) ΔACD = ΔEBD.
b) AC // BE.
c) AB = CE.
Bài 2. Vẽ tam giác ABC biết
 
o
B= 60 ; BC = 4cm ; C 40
o


Bài3. Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy M là trung điểm của BC. Trên tia DA lấy
điểm D sao cho AM = MD. Chứng minh :
a) ΔAMB = ΔDMC.
b) AB // CD.
c) góc CDA vuông.
d) AM = BM.
Bài 4: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của canh AB, đường thẳng kẻ qua D song
song với cạnh BC cắt AC ở E, đường thẳng kẻ qua E song song với cạnh AB cắt BC ở F
Chứng minh rằng:
a)
ΔBFD = ΔEFD

b) AD = EF
c) AE = EC và BF = FC
d) BC = 2DE và AB = 2EF