Tải bản đầy đủ (.doc) (17 trang)

SKKN phương trình mặt cầu THPT HẢI HẬU A

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (295.86 KB, 17 trang )

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Các bài tốn về phương pháp toạ độ trong không gian từ trước đến
nay bao giờ cũng có trong các đề thi TN, ĐH-CĐ. Nếu học sinh nắm chắc
phương pháp toạ độ học sinh có thể giải được nhiều bài tốn hình học
khơng gian bằng phương pháp toạ độ.
Trong đời sống hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều những đồ vật có
dạng hình cầu như: Quả bóng, quả địa cầu... nhưng rất ít người biết về các
tính chất của mặt cầu. Học sinh được học về mặt cầu và phương trình mặt
cầu trong Chương trình, SGK HH 12. Trong phần "Phương pháp toạ độ
trong khơng gian" trong SGK HH12 có ba đối tượng được nghiên cứu đó
là: Đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Khi dạy học sinh về phương trình
mặt cầu tơi nhận thấy rằng học sinh khơng khó tiếp thu các kiến thức về
mặt cầu nhưng việc vận dụng vào giải bài tập về phương trình mặt cầu cịn
nhiều học sinh khơng làm được, khơng nắm được các dạng tốn về phương
trình mặt cầu và một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong giải một
số bài toán đại số.
Trong bài viết này tơi trình bày về phương pháp giải các bài tốn về:
Viết phương trình mặt cầu, các bài tốn về tiếp tuyến, tiếp diện, đường trịn
trong khơng gian và một số ứng dụng trong bài toán đại số cần luyện tập
cho học để học sinh có thể giải tốt được các bài tốn trên khi gặp trong các
kì thi.
B. NỘI DUNG:
I. Các kiến thức cơ bản:
-1-


1. Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x − a )
Dạng 2:


2

+ ( y − b) + ( z − c ) = R2 .
2

x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 )

cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính

R = a2 + b2 + c2 − d

2

(1)

(2). Khi đó: Mặt

.

2. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:
Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng ( ∆ ) .
Tính: d ( I , ∆ ) . Nếu: d ( I , ∆ )

> R :( ∆ ) ∩ ( C ) = ∅ ;

d ( I , ∆ ) < R :( ∆ ) ∩ ( C )

d ( I , ∆ ) = R :( ∆ ) , ( C )

tại 2 điểm phân biệt;

tiếp xúc nhau, ( ∆ ) gọi là tiếp tuyến của

mặt cầu.
3. Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:
Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng

( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
Tính:

d ( I , ( P) ) =

Aa +Bb +Cc+D
A2 + B2 + C 2

.

Nếu:
1) d ( I , ( P ) )

> R :( P ) ∩ ( C ) = ∅ ;

2) d ( I , ( P ) ) < R : ( P ) ∩ ( C ) là đường tròn

( H;r =

R2 − d 2 ( I ; ( P ) )

)

với H là


hình chiếu của I trên (P).
Vậy đường trịn trong khơng gian có phương trình:
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2


 Ax + By + Cz + D = 0


3)

d ( I , ( P ) ) = R :( P ) , ( C )

tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I

trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C).
-2-


II. Các dạng toán:
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước (dạng pt
(2)):
Cách 1: Đưa về dạng 1
Cách 2: Kiểm tra điều kiện a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ⇒ tâm và bán kính.
Ví dụ:
Cho phương trình:

x 2 + y 2 + z 2 − 2m 2 x − 4my +8m 2 − 4 = 0

Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu. Khi đó

tìm tập hợp tâm của họ mặt cầu đó.
Giải:
Pt đã cho

⇔ ( x − m 2 ) + ( y − 2 m ) + z 2 = m 4 − 4m 2 + 4
2

là phương trình mặt cầu
I ( m 2 ; 2m; 0) .

Khi đó tâm

2

⇔ m 4 − 4m 2 + 4 = ( m 2 − 2 ) > 0 ⇔ m ≠ ± 2

Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và:

Vậy tập hợp tâm I là parabol
M (2; 2 2;0)

y2
x=
4

yI2
xI =
4

nằm trong mp Oxy bỏ đi 2 điểm:




N (2; −2 2;0).

Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho
trước
Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
- Biết tâm: tìm bán kính;
- Biết bán kính: tìm tâm;
- Chưa biết tâm và bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện,
tiếp xúc với 2 mặt phẳng cho trước.... thường xác định tâm trước sau đó đi
tìm bán kính.
-3-


Bài 1:
Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng
(ABC) với:

A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3).

Giải: Phương trình mp(ABC):
Bán kính mặt cầu:

x y z
+ + =1⇔ x + y + z −3 = 0
3 3 3

R = d ( I , ( ABC ) ) = 2 3 ⇒


( x − 4)

2

Phương trình mặt cầu:

+ ( x − 3) + ( x − 2 ) = 12
2

2

Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường
thẳng (d) có phương trình:

5x − 4 y + 3z + 20 = 0

 3x − 4 y + z − 8 = 0

tại 2 điểm A, B sao cho AB

= 16
R

Giải:

d

(d) đi qua M(11; 0; -25) và có véc tơ chỉ phương
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có:

uu r
ur
 MI , u 


IH = d ( I , AB ) =
= 15 ⇒ Bán
r
u

kính mặt cầu:

2

 AB 
R = IH + 
÷ = 17 .
 2 
2

( x − 2)

2

Vậy phương trình mặt cầu:

+ ( y − 3) + ( z + 1) = 289
2

2


Bài 3:

-4-

r
u = ( 2;1; − 2 )

A

H

B


Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình:
x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
1
2

và hai mặt phẳng ( P1 ) : x + 2y + 2z − 2 = 0; ( P2 ) : 2x + y + 2z −1= 0 .

Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm trên (d) và tiếp xúc với 2 mặt
phẳng trên.
Giải:
I ∈ ( d ) ⇒ I ( 2t + 1; t + 2; 2t + 3)


Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng

⇔ d ( I , ( P ) ) = d ( I , ( P2 ) )
1

t = 0
8t + 9 = 9t + 9
⇔ 8t + 9 = 9t + 9 ⇔ 
⇔
t = −18
8t − 9 = −9t − 9
17


t=0

⇒ I1 ( 1; 2;3) ; R1 = 3 ⇒ Pt m / c ( S1 ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3 ) = 9
2

2

2

2

2

2

18

3
19  
16  
15 
9
 19 16 15 

t = − ⇒ I 2  − ; ; ÷; R2 =
⇒ Pt m / c ( S 2 ) :  x + ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ =
17
17
17  
17  
17 
289
 17 17 17 


Chú ý:
Nếu ( P1 ) P( P2 ) :
1) d song song nhưng không cách đều ( P1 ) và ( P2 ) hoặc nằm trên ( P1 ) hoặc

( P2 ) : Không có mặt cầu thoả mãn.
2) d song song và cách đều ( P1 ) và ( P2 ) : Có vô số mặt cầu thoả mãn.
3) d không song song, không nằm trên ( P1 ) và ( P2 ) : Có 1 mặt cầu thoả mãn.
Bài 4:
Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0),
B(3; 1; 2),

C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2).


Giải:

-5-


Cách 1: Gọi I(x; y; z)

 IA2 = IB 2

⇒  IB 2 = IC 2
 IC 2 = ID 2


⇒ I ( 1;1;1) , R = IA = 2

Cách 2:
Gọi

phương

trình

mặt

cầu

là:

x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 )


Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
2a + 2b + d + 2 = 0
6a + 2b + 4c + d + 14 = 0

⇒
⇒ a = b = −1; c = −2; d = 2
−2a + 2b + 4c + d + 6 = 0
2a − 2b + 4c + d + 6 = 0


Kết luận: Phương trình mặt cầu là: ( x − 1)

2

+ ( y − 1) + ( z − 2 ) = 4
2

2

Chú ý:
Bài tốn (ĐH KD-2004): Trong khơng gian Oxyz cho 3 điểm A(2;
0;1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - 2 =
0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt
phẳng (P).
Cách giải bài toán này tương tự như cách 1 của bài toán trên.
Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu
Bài tốn 1:
Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tại
điểm A

Cách giải:
ur
u

mp(P) đi qua A và nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến
Bài toán 2:

-6-


Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính
R biết véc tơ pháp tuyến của (P) là:

r
n = ( A; B; C )

Cách giải:

( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
Có:

d ( I,( P) ) = R ⇔

Aa +Bb +Cc+D
A2 + B2 + C 2

=R⇒

tìm được D suy ra phương trình


mp(P).
Chú ý:
Trong bài tốn cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:

( P ) song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường

- Biết

thẳng cho trước.
- Biết vng góc với 1 đường thẳng cho trước.
Bài tốn 3:
Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S)
tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng
(d) cho trước.
Cách giải:
- Xét đường thẳng (d) dưới dạng phương trình tổng quát;
- Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua (d);
- Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mp(P).
Bài tốn 4:
Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S),
tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) đi qua điểm C và:
1) Song song với đường thẳng (d) cho trước.
2) Vng góc với mặt phẳng (Q) cho trước.
Cách giải:
-7-


1) Gọi: ( Q ) = ( d ; C ) ;

a = ( P) ∩ ( Q) ⇒ a


đi qua A và song song với d nên có pt

xác định
Bài tốn trở thành viết phương trình mp(P) đi qua a và tiếp xúc với mặt cầu
(S)
2) Tương tự như trên với: d đi qua A và vng góc với mp(Q).
Dạng 4: Đường trịn trong khơng gian
Bài tốn 1:
Xác định tâm, tính bán kính đường trịn là giao của mặt phẳng với mặt
cầu cho trước:
Cách giải:
Sử dụng tính chất ở phần B.I2) để tìm tâm, tính bán kính đường trịn
Bài tốn 2:
Tìm tâm và bán kính của đường trịn là giao của 2 mặt cầu (S), (S') có
tâm lần lượt là I, I'; bán kính R, R'.
Cách giải:
- Đưa pt đường tròn là giao của 2 mặt cầu về pt đường tròn là giao của
mặt cầu (S) với một mặt phẳng (Q).
- Tâm của đường tròn là O = II '∩ ( Q ) ;
bán kính r =

R2 − d 2 ( I ;( P) )

.

Bài tốn 3:
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn sau kẻ
từ A cho trước:
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R



 Ax + By + Cz + D = 0


( 1)
-8-


Cách giải:
Gọi B là tiếp điểm. Để ý rằng B thuộc đường trịn nên toạ độ B thoả
mãn (1).
Lại có: tiếp tuyến AB của đường tròn đồng thời là tiếp tuyến của mặt cầu
tâm O nên:
uu uu uu uu
ur ur
ur ur
⇒ AB ⊥ OB ⇒ AB .OB = 0 ( 2 )

từ (1) và (2) suy ra toạ độ B ⇒ tiếp tuyến AB.
Dạng 5: Ứng dụng của mặt cầu giải một số bài tốn đại số
Bài 1:
Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm, hãy tìm nghiệm đó:
 x 2 + y 2 + z 2 =1

2 x − y + 2 z = m

(1)

Giải:

Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là tọa độ điểm chung của:
mặt cầu (S):

x 2 + y 2 + z 2 =1 ,

(S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = 1

và mặt phẳng ( α ) :2 x − y + 2 z − m = 0
Do đó hệ (1) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (S) và (α) tiếp xúc nhau


d ( O, (α ) ) =

−m
22 + (−1) 2 + 22

=1



m = 3
m = − 3


TH1:m = 3 nghiệm của hệ là hình chiếu vng góc H của O trên (α1): 2x
– y + 2z – 3 = 0

đường thẳng ∆ qua O và vng góc với (α1) có phương trình
-9-


 x = 2t

 y = − t ( t ∈R)
 z = 2t



1

giá trị của tham số t tương ứng với điểm chung của (α1) và ∆ là t = 3 ⇒
H

2 1 2
 ;− ; ÷
3 3 3

TH2: m = -3. Gọi H’ là hình chiếu vng góc của O trên (α2): 2x – y + 2z
+3=0
⇒ H’

 2 1 2
− ; ;− ÷
 3 3 3

(tương tự như TH1)

Vậy khi m = 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là

2
1

2

 x= ; y =− ;z = ÷
3
3
3


khi m = - 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là

Bài 2: Giải hệ phương trình:

2
1
2

x=− ; y= ;z=− ÷
3
3
3


 x + y + z = 3 ( 1)
 2
2
2
x + y + z = 3( 2)
 3
3
3

 x + y + z = 3 ( 3)

Giải:
Mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 = 3 , tâm O bán kính R =
z – 3 = 0 tiếp xúc với nhau vì d ( O, (α ) ) =
Do đó hệ phương trình

−3
12 + 12 + 12

 x + y + z = 3 ( 1)

 2

2
2
x + y + z = 3( 2)


3

và mp(α): x + y +

= 3=R .

nghiệm duy nhất,

dễ thấy nghiệm đó là x = y = z = 1 và nghiệm này cũng thỏa (3). Vậy hệ đã
cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 1
Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa:


x 2 + y 2 + z 2 =1 .

F = 2x + 2 y − z − 9

Giải:
- 10 -

Tìm GTLN và GTNN của:


Xét mặt cầu (S):
2x + 2 y − z − 9 = 0

x 2 + y 2 + z 2 =1 ,

tâm O, bán kính R = 1 và mặt phẳng (α):

Đường thẳng ∆ qua O và vng góc với (α) có phương trình
 x = 2t

 y = 2t ( t ∈ R )
z = − t


giá trị tham số t tương ứng với giao điểm của ∆ và (S) là t = ±
2 2

1


 2

1
3

2 1

⇒ ∆ và (S) cắt nhau tại 2 điểm: A  3 ; 3 ; − 3 ÷ và B  − 3 ; − 3 ; 3 ÷





d ( A, (α ) ) =

4 4 1
+ + −9
3 3 3
2 + 2 + ( −1)
2

2

2

Lấy M(x; y; z) ∈ (S),
Ln có

=2;


d ( B, (α ) ) =

d ( M , (α ) ) =

2
;
3

Fmax = 6 đạt khi x = y =

22 + 22 + ( −1)

2x + 2 y − z − 9
22 + 22 + ( −1)

d ( A, (α ) ) ≤ d ( M , (α ) ) ≤ d ( B, (α ) )

Vậy Fmin = 6 đạt khi x = y =

4 4 1
− − − −9
3 3 3

z=




2
;

3



2

2

=4

1
= F
3

2≤

1
F ≤4
3



6 ≤ F ≤ 12

1
3

z=

1

3

Bài tập vận dụng:
Bài 1:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d):

2x − 2 y − z + 1= 0

 x + 2 y − 2 z − 4= 0

và mặt

cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y + m = 0 . Tìm m để d cắt mặt cầu
(S) tại 2 điểm M, N sao cho MN = 9.
Bài 2:
Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x + 2y + z + 5 = 0 và I(1; 2; -2):
- 11 -


a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu (C)
và mp (P) là đường trịn có chu vi bằng 8π
b) CMR; mặt cầu (C) nói trên tiếp xúc với (d): 2x - 2 = y + 3 = z.
c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C).
Bài 3:
Cho điểm M(0; 2; 0) và đường tròn (C):

 x 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1) 2 = 9 ( S )


 x+y+z =2



a) CMR: M nằm ngồi (C). Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M tới
(C).
b) Từ M kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu (S). Tìm tập hợp các tiếp điểm.
Bài 4:
Cho mặt cầu (S): ( x − 2 )

2

+ ( y + 3) + ( z + 3 ) = 5
2

2

và mp(P): x - 2y + 2z + 1 = 0

a) CNR: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường trịn. Lập phương trình
đường trịn (C) là giao tuyến và tìm tâm, tính bán kính của đường trịn đó.
b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tâm nằm trên mặt phẳng (Q):
x+y+z+3=0
Bài 5:
Cho 2 mặt cầu: ( S1 ) : ( x − 2 )

2

+ ( y + 3) + ( z + 3 ) = 5

( S 2 ) : ( x − 3)


2

+ ( y + 5 ) + ( z + 1) = 20

2

2

2

2

a) CMR: Hai m/c cắt nhau, lập phương trình đường trịn giao tuyến của 2
m/c.
b) Tìm tâm và bán kính của đường trịn.
Bài 6:

- 12 -


Cho mặt cầu (S): ( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9
2

2

và mp(P): x - 4y - 3z + 5


= 0. Lập phương trình tiếp diện của (S) đi qua A(0; 1; 0) và vng góc với
mp(P).
Bài 7: Giải hệ phương trình:

 x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4 y − 6z = 0

3 x + 2 y − 2 z − 8 = 0
3 x + 3 y − 4 z −12 = 0


ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN:
Bài 1:

( S ) : I ( −2;3; 0 ) , R =

13 − m ( m ≥ 13 )

r
65
d : A ( 0;1; −1) ; vtcp a = 3 ( 2;1; 2 ) , d ( I , d ) = 3, IM 2 = IH 2 + d 2 ( I , d ) ⇒ m = −
4

Bài 2:
a) Bán kính đường trịn r = 4, d ( I , ( P ) )

=3⇒ R =5

⇒ ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 25
2


2

b) d ( I , ( ∆ ) )

2

= 5 = R ⇒ đpcm

c) 2x - 11y + 10z - 35 = 0.
Bài 3:
a) Gọi tiếp điểm là H(x; y; z). Vì H thuộc (C) nên:
 x 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1) 2 = 9 ( S )


(1)
 x+y+z =2

uu u ur uu u ur
u
r uu
u uu
r
⇒ IH ⊥ MH ⇒ IH .MH = 0 ⇔ x + y + z = 2 = 2 ( 2 )
Lại có:

Từ (1) và (2) có:

 6 4 16 
H1 ( 2;0;0 ) ; H 2  − ; ; ÷ ⇒ pttt.

 7 7 7

b) Gọi T là 1 tiếp điểm nên T thuộc m/c (S) (1)
Lại có:

MT = R 2 + MI 2 = 2 2

nên T thuộc m/c (S') tâm M, bán kính 2

pt:
x2 + ( y − 2) + z2 = 8
2

(2)
- 13 -

2




Từ (1) và (2) tập hợp T là giao của 2 m/c (S), (S') nên là mp có phương
trình
 x2 + ( y − 2) 2 + z 2 = 8


2 y − z = 0


Bài 4:

a) Đường tròn tâm

 5 −7 −11 
H ; ;
÷; r = 2
3 3 3 

b) Tâm J của m/c nằm trên đường thẳng IH ⇒ J
l = d ( J , ( P ) ) = 4 ⇒ bán

kính m/c:

= IH ∩ ( Q ) ⇒ J ( 3; −5; −1)

R '2 = r 2 + l 2 = 20

Bài 5:
a)

R2 − R1 < I1 I 2 < R2 + R1 ⇒ ĐPCM.

b) Tâm

Pt:

 ( x − 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z + 3) 2 = 5


x − 2 y + 2z + 1 = 0 ( α )



 5 −7 −11 
O = I1 I 2 ∩ ( α ) ⇒ H  ; ;
÷; r = 2
3 3 3 

Bài 6: Lập pt đường thẳng d đi qua A và vng góc với (P):

4 x + y − 1 = 0

3x − z = 0

Bài toán trở thành lập pt mp đi qua d, tiếp xúc với (S).
Bài 7:
Nghiệm của hệ là tọa độ điểm chung của:
3 x + 2 y − 2 z − 8 = 0

Mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0 và đường thẳng ∆: 3x + 3 y − 4 z −12 = 0


∆ qua M(0; 4; 0) và có VTCP

r
u

⇒ ∆ có phương trình tham số:

= (-2; 6; 3)
 x = − 2t


 y = 4 + 6t ( t ∈ R )
 z = 3t


Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung của (S) và ∆ là nghiệm của
phương trình:
- 14 -


( −2t )

2

+ ( 4 + 6t ) + ( 3t ) − 2 ( −2t ) − 4 ( 4 + 6t ) − 6.3t = 0
2

2



⇒ ∆ và (S) có hai điểm chung A ( 0; 4;0 ) và
Vậy hệ (3) có hai nghiệm ( 0; 4;0 ) và

t = 0

t = − 10

49



 20 136 30 
A ;
;− ÷
49 
 49 49

 20 136 30 
;− ÷
 ;
49 
 49 49

C. ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY:
Phương pháp trên đã được tôi khai thác và triển khai để dạy học sinh
các lớp ôn thi TN, ĐH-CĐ và bước đầu đã đạt được những kết quả tốt. Các
học sinh sau khi được học đã vận dụng và giải được các bài tốn về
phương trình mặt cầu, nhận dạng ngay được cách giải, đảm bảo yêu cầu
chính xác, tiết kiệm thời gian tìm lời giải khi đi thi.
Đối tượng thực nghiệm năm học này là lớp 12A2 và 12A9: Đối với
lớp 12A2 tôi đã dạy kĩ, đầy đủ các dạng trên và cho học sinh tìm tịi, khai
thác các câu hỏi khác nhau xoay quanh các bài toán trên. Đối với lớp 12A9
đối tượng học sinh yếu hơn, tôi cho học sinh làm các bài tốn cơ bản và
phân tích cặn kẽ lời giải để học sinh hiểu được, làm theo và dần dần biết
độc lập tìm tịi lời giải một bài tốn.
Khi dạy trước hết tơi đưa ra các bài tốn để học sinh tìm lời giải, sau
đó tổng hợp cách làm và các dạng để học sinh nắm được phương pháp, có
cái nhìn tổng qt hơn khi giải tốn. Khi dạy tránh trình bày các dạng và
phương pháp giải trước sau đó đưa bài tập cho học sinh làm, khi đó hầu
như bài tốn chỉ cịn là thay số, dần làm cho học sinh lười suy nghĩ và thụ
động khi làm toán.

- 15 -


D. MỘT SỐ KIẾN NGHỊ:
Theo tôi việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên phải được tiến
hành thường xuyên, liên tục, trước hết là việc tự bồi dưỡng và được thể
hiện bởi kết quả giảng dạy và các tài liệu thu thập được. Vì vậy nhà trường,
các tổ, nhóm chun môn nên phân công cụ thể lần lượt từng người viết các
báo cáo, sáng kiến kinh nghiệm hoặc một phần nào đó tuỳ theo sở trường
và được trình bày hàng tháng, hàng q hoặc sau một kì mà khơng nhất thiết
để cuối năm học. Các báo cáo được photo cho từng người trong tổ, nhóm
để đọc, bổ sung, trình bày trước tổ và sửa chữa, hoàn thiện làm tài liệu
giảng dạy chung khi cần. Các tài liệu có chất lượng được hỗ trợ kinh phí
hoặc thưởng và là căn cứ đánh giá thi đua của người viết. Nếu làm được
như vậy vừa mang tính động viên, khích lệ, vừa mang tính ràng buộc việc
tự học và là cơ hội tốt để giáo viên học hỏi lẫn nhau, đặc biệt giúp cho các
giáo viên trẻ có thể học hỏi được nhiều kinh nghiệm của các thầy cơ đi
trước, vừa có tài liệu tốt để giảng dạy.
Các báo cáo mang tính đặc thù bộ mơn nên trình bày trong tổ, nhóm;
các báo cáo về phương pháp có thể trình bày trước cả hội đồng GD nhà
trường.
E. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Sách giáo khoa, sách bài tập HH12 (Chuẩn và NC)
2. Đề thi ĐH của các năm và Bộ đề năm 1996.
3. Tài liệu khai thác trên mạng.

- 16 -


- 17 -




×