ÔN TẬP HKII-TOÁN9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (285.74 KB, 17 trang )
Tài liệu ơn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
HƯỚNG DẪN ƠN TẬP TỐN LỚP 9 – HỌC KÌ II ( 2010 – 2011)
I. LÝ THUYẾT:
ĐẠI SỐ:
Câu 1: Nêu dạng tổng qt của phương trình bậc
nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có
bao nhiêu nghiệm?
*Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức
dạng
ax by c+ =
,Trong đó a,b và c là các số đã
biết (
0a ≠
hoặc
0b ≠
).Phương trình bậc nhất
hai ẩn ln ln có vơ số nghiệm.
Câu 2: Nêu dạng tổng qt của hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn số.
* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =
+ =
Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có
thể có bao nhiêu nghiệm?
* Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể
vơ nghiệm, có 1 nghiệm duy nhất hoặc vơ số
nghiệm.
Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương
đương.
Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:
a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vơ
số nghiệm thì ln tương đương với nhau.
b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ nghiệm
thì ln tương đương với nhau.
* Hai hệ phương trình được gọi là tương đương
với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có
vơ số nghiệm thì ln tương đương với nhau. ( s )
b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ nghiệm
thì ln tương đương với nhau.( Đ)
Câu 5: Viết dạng tổng qt của phương trình bậc
hai .Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương
trình
− + + =
2
3 3 1 0x x
*Dạng tổng qt của phương trình bậc hai
ax
2
+ bx+ c = 0 (a
≠
0)
Áp dụng :
− + + = = − = =
2
3 3 1 0( 3; 3; 1)x x a b c
Câu 9: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm
có tổng là S và có tích là P (khơng cần chứng
minh )
Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm
là:
2 2+
và
2 2−
Câu 10:
Nêu tính chất của hàm số
2
( 0)y ax a= ≠
Câu 6
cơng thức tính ngiệm của phương trình trên .
Áp dụng : Giải phương trình
*
Nếu
Nếu
Nếu
Áp dụng
− + = ∆ = − − = − ⇒ ∆ = − <
2 2
3 2 0; ( 3) 4.1.2 5 5 0x x
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Câu 7
− + + =
2
5 4 3 0x x
*
1 2
b
x x
a
−
+ =
Áp dụng
a = -5<0
có hai nghiệm phân biệt
+ =− = = =−
1 2 1 2
4 3
; .
5 5
b c
x x x x
a a
Câu 8
nghiệm x
1 2
1 2
2 2
1 2
2
x ;
2 2
2
;
2 2 2
4
. .
2 2 4
b b
x
a a
b b b a
x x
a a a b
b b b b ac c
x x
a a a a
- + D - - D
= =
- + D - - D -
Þ + = + = =
- + D - - D - +
= = =
Câu9
tích hai nghịêm là P có dạng
Áp dụng
2
S 2 2 2 2 4;P (2 2).(2 2) 4 2 2
Vậy 2+ 2 và 2- 2 là hai nghiệm của phương trình
X 4X 2 0
= + + - = = + - = - =
- + =
Giáo viên : Đồn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
1
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ
trong một đường tròn hay trong hai đường tròn
bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng
nhau”
Ta có:
»
»
AB CD=
( GT)
⇒
·
·
AOB COD=
( 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau )
Nên :
AOB COD=V V
( c.g.c)
⇒
AB = CD (đpcm)
Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong
một đường tròn. Áp dụng:Cho đường tròn (O),
đường kính AB. Vẽ dây AM sao cho
·
0
40AMO =
.
Tính số đo cung BM ?
O
A
B
M
GT
Cho đường tròn
(O)
AB: Đường kính
Dây AM sao cho:
·
0
40AMO =
KL
Tính
·
BOM
?
Ta có: OA = OB ( bán kính)
⇒
AOMV
cân tại O
⇒
·
BOM
= 2
·
0
2.40AMO =
=
0
80
( đlí về góc ngoài
∆
AOM)
Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai
cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
(Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp:
một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả
đường tròn)
Ta có:
·
·
AOC OCD=
( So le trong)
·
·
BOD ODC=
( So le trong)
Mà
·
·
OCD ODC=
(
OCDV
cân tại O)
⇒
·
·
AOC BOD=
⇒
»
»
AC BD=
( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng
nhau)
Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ
và dây căng cung đó trong một đường tròn để giải bài toán
sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán
kính OM, ON sao cho:
·
·
0 0
40 , 80AOM BON= =
. So sánh:
AM, MN và NB ?
O
A
M
B
N
GT
Cho đường tròn (O)
M,N
∈
(O):
·
·
0 0
40 , 80AOM BON= =
KL
So sánh: AM, MN,
BN?
Ta có:
·
·
·
·
0
0 0 0
180
180 40 80
MON AOM BON
MON
= − −
= − −
( vì
·
0
180AOB =
)
⇒
·
·
·
AOM MON NOB< <
⇒
¼
¼
»
AM MN NB< <
( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn)
⇒
AM < MN < NB
( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn)
Câu 5: Chứng minh đlí:“ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng
số đo hai góc đối diện bằng 180
0
”.
O
D
C
A
B
GT
Cho đường tròn
(O)
. ABCD nội tiếp
(O)
KL
µ
µ
µ
µ
0
0
180
180
A C
B D
+ =
+ =
Ta có:
µ
A =
1
2
sđ
¼
BCD
( Đlí về góc nội tiếp)
µ
C =
1
2
sđ
¼
BAD
(Đlí về góc nội tiếp)
⇒
µ
µ
1
2
A C+ =
sđ(
¼
¼
BCD BAD+
) =
1
2
.
0
360
=
0
180
Tương tự:
µ
µ
0
180B D+ =
( hoặc
µ
µ
0 0 0
360 180 180B D+ = − =
( tính chất tổng 4 góc của tứ giác)
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
2
O
A
B
C
D
GT
Cho đường tròn (O)
CD: dây cung
AB: đường kính
AB // CD
KL
»
»
AC BD=
O
A
B
C
D
GT
Cho đường
tròn (O)
»
»
AB CD=
KL
AB = CD
Ti liu ụn thi hc kỡ II- Nm hc: 2010- 2011
Cõu 6: Chng minh nh lớ: Trong mt ng
trũn, s o ca gúc ni tip bng na s o ca
cung b chn( Ch chng minh mt trng hp: cú
mt cnh ca gúc i qua tõm )
GT : Cho (O ; R)
ã
BAC
là góc nội tiếp .
KL : chứng minh
ã
1
BAC
2
=
sđ
ằ
BC
Chứng minh: Trờng hợp: Tâm O nằm trên 1 cạnh
của góc
ã
BAC
:
Ta có: OA=OB = R
AOB
cân tại O
ã
BAC
=
ã
1
2
BOC
ã
1
BAC
2
=
sđ
ằ
BC
(đpcm)
Cõu 7: Chng minh nh lớ: S o ca gúc to
bi tia tip tuyn v dõy cung bng na s o ca
cung b chn.
( Ch chng minh mt trng hp: Tõm O ca
ng trũn nm ngoi ca gúc).
Tâm O nằm bên ngoài góc
ã
BAx
:
GT
Cho ng trũn (O)
ã
xAB
: gúc to bi tia tip tuyn
V dõy cung.
KL
ã
xAB
=
1
2
s
ằ
AB
Vẽ đờng cao OH của
AOB
cân tại O ta có:
ã
ã
BAx AOH=
(1) (Hai góc cùng phụ với
ã
OAH
)
Mà:
ã
AOH
=
1
2
sđ
ằ
AB
(2)
Từ (1) và (2)
ã
1
BAx
2
=
sđ
ằ
AB
(đpcm)
Cõu 9: Nờu cỏch tớnh di cung
0
n
ca hỡnh qut
trũn bỏn kớnh R. p dng: Cho ng trũn ( O; R
= 3 cm).
Tớnh di cung AB cú s o bng 60
0
?
Ta cú:
ằ
180
AB
Rn
l
=
Vi:R = 3cm v n = s
ằ
0
60AB =
( gt) Vy:
ằ
.3.60
( )
180
AB
l cm
= =
Cõu 8: Chng minh nh lớ: S o ca gúc cú nh
bờn trong ng trũn bng na tng s o hai cung b
chn.
n
E
O
D
C
A
B
m
GT
Cho ng trũn (O)
ã
BEC
: gúc cú nh bờn trong(O)
KL
ã
BEC
=
1
2
s(
ẳ
ẳ
BnC AmD+
Xột tam giỏc BDE, ta cú:
ã
BEC
=
à
à
B D+
( nh lớ gúc ngoi ca tam giỏc BDE)
M
à
1
2
B =
s
ẳ
AmD
(lớ v gúc ni tip )
à
1
2
D =
s
ẳ
BnC
(lớ v gúc ni tip )
Nờn:
ã
BEC
=
1
2
s(
ẳ
AmD
+
ẳ
BnC
Cõu 10: Cho t giỏc ABCD ngoi tip mt ng trũn
(O).
Chng minh: AB + CD = AD + BC.
Ta cú: AM = AQ ( Tớnh cht 2 tip tuyn giao nhau)
BM = BN (nt)
DP = DQ (nt)
CP = CN (nt)
Cng tng v, ta cú:
AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN
Hay: AB + CD = AD + BC ( pcm)
Giỏo viờn : on Vn Lun - Tr ng THCS Bu Nng- DMC
3
O
A
B
GT
Cho ng trũn
(O; R = 3cm)
S
ằ
0
60AB =
KL
Tớnh di
ằ
AB
O
H
A
x
B
O
A
D
B
C
M
N
P
Q
GT
Cho ng trũn (O)
ABCD ngoi tip
ng trũn (O)
KL
AB+CD = AD+BC
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
II.BÀI TẬP:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a/
3 2 1
3
x y
x y
− =
+ = −
3 2 1 5 5
2 2 6 3
x y x
x y x y
− = = −
⇔ ⇔
+ = − + = −
1 1
1 3 2
x x
y y
= − = −
⇔ ⇔
− + = − = −
b/
3 5 1
2 4
x y
x y
+ =
+ = −
3 5 1 7 21
10 5 20 2 4
x y x
x y x y
+ = =
⇔ ⇔
− − = + = −
3 3
2.( 3) 4 2
x x
y y
= − =
⇔ ⇔
− + = − =
c/
4 3 15
3 2 10
x y
x y
+ =
+ =
8 6 30
9 6 30
x y
x y
− − = −
⇔
+ =
0 0
3 2 20 3.0 2 10
x x
x y y
= =
⇔ ⇔
+ = + =
0
5
x
y
=
⇔
=
d/
3 5
2 3 18
x y
x y
− =
+ =
9 3 15
2 3 18
x y
x y
− =
⇔
+ =
11 33
2 3 18
x
x y
=
⇔
+ =
3 3
9
16
2.3 3 18 4
x x
x
y
y y
= =
=
⇔ ⇔ ⇔
=
+ = =
e/
1 1 5
8
1 1 3
8
x y
x y
+ =
− =
Cộng từng vế hai phương trình ta được:
2
1 2x
x
= ⇔ =
Thay
2x =
vào
1 1 5
8x y
+ =
được:
1 5 1 1 1
8
8 2 8
y
y y
= − ⇔ = ⇔ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2 ; 8)
f/
2 1
1
2
1 5
6
2
x y x y
x y x y
− =
+ −
+ =
− +
Đặt
1 1
;
2
a b
x y x y
= =
+ −
Điều kiện
2
x y
y
x
≠
−
≠
Ta có hệ phương trình
2 1
5 6
a b
a b
− =
+ =
Giải ra ta được
1
1
a
b
=
=
Giải hệ phương trình
1
1
2
1
1
x y
x y
=
+
=
−
2
2 1
3
1 1
3
x
x y
x y
y
=
+ =
⇔ ⇔
− = −
=
( Thỏa điều kiện ).Vậy (x;y)=
2
3
1
3
x
y
=
−
=
h/
5( 2 ) 3 1
2 4 3( 5 ) 12
x y x
x x y
+ = −
+ = − −
5 10 3 1
2 4 3 15 12
x y x
x x y
+ = −
⇔
+ = − −
⇔
2 10 1 2 10 1
15 16 2 30 32
x y x y
x y x y
+ = − + = −
⇔
− + = − − + = −
⇔
33
15 16
40
40 33 29
8
y
x y
y
x
−
=
− + = −
⇔
= −
=
Vậy
29 33
( ; ) ( ; )
8 40
x y
−
=
Bài 2:
Câu 1: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình
2 12
2 6
ax by
ax by
+ =
− = −
Có nghiệm là
( 2; 1)x y= − =
Câu 2: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình
3 1
2
mx y
x ny
+ =
+ = −
nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
4
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Giải câu 1:
2 12
2 6
ax by
ax by
+ =
− = −
Do
( 2; 1)x y= − =
là nghiệm của hệ phương trình
Nên
4 12
2 2 6
a b
a b
− + =
− − = −
4 12 5 9
3 3
a b a
a b a b
− + = − =
⇔ ⇔
− − = − − − = −
⇔
9 9
5 5
9 24
3
5 5
a a
b b
− −
= =
⇔
− = − =
Câu 2:
3 1
2
mx y
x ny
+ =
+ = −
Do
( 2; 3)x y= − =
là nghiệm của hệ phương trình
Nên
2 3.3 1
2 3 2
m
n
− + =
− + = −
2 9 1
2 3 2
m
n
− + =
⇔
− + = −
2 8 4
3 0 0
m m
n n
− = − =
⇔ ⇔
= =
Bài 3:
Câu 1: Cho hệ phương trình:
3 5
4 6 9
mx y
x y
+ =
+ =
. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình
2 5
3
x y
ax y a
+ =
+ =
a/ Có một nghiệm duy nhất ; b/ Vô nghiệm.
Câu 3: Cho hệ phương trình
3
2 6 8
x y m
x y
− =
− =
Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm.
Giải
Câu 1:
3 5
4 6 9
mx y
x y
+ =
+ =
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
3 3.4
4 6 6
m
m⇔ ≠ ⇔ ≠
2m⇔ ≠
Câu 2:
2 5
3
x y
ax y a
+ =
+ =
a/ Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
1 2 3.1 3
3 2 2
a a
a
⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
b/ Hệ phương trình vô nghiệm
1 2 5 3
3 2
a
a a
⇔ = ≠ ⇔ =
Câu 3:
3
2 6 8
x y m
x y
− =
− =
.Ta có
1 3
2 6
−
=
−
.Nếu
1
4
2 8
m
m= ⇔ =
thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Nếu
1
4
2 8
m
m≠ ⇔ ≠
thì hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 4:
Câu 1: Xác định hàm số
y ax b= +
biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm
a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)
Câu 2: Xác định đường thẳng
y ax b= +
biết rằng d0ồ thị của nó đi qua điểm
A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng
y x= −
và
2 1y x= − +
Giải
Câu 1:a/ Vì đồ thị hàm số đi qua A(2; -4) nên
2 4a b+ =
Và qua B(-5 ; 4) nên
5 4a b− + =
Ta có hệ pt
2 4
5 4
a b
a b
+ =
− + =
7 0
2 4
a
a b
=
⇔
+ =
0
4
a
b
=
⇔
=
Vậy
4y =
b/ Vì đường thẳng
y ax b= +
qua A(3 ; -1) nên
3 1a b+ = −
Và qua B(-2 ; 9) nên
2 9a b− + =
Ta có hệ phương trình
3 1 5 10
2 9 2 9
a b a
a b a b
+ = − = −
⇔
− + = − + =
2 2
2( 2) 9 5
a a
b b
= − = −
⇔ ⇔
− − + = =
Vậy
2 5y x= − +
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
5
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Câu 2:
.Xác định giao điểm B của hai đường thẳng :
y x= −
và
2 1y x= − +
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng:
2 1x x
− = − +
1x
⇔ =
1y⇒ = −
Vậy B(1 ; -1)
.Xác định tiếp đường thẳng đi qua A(2 ; 1) và B(1 ; -1) được
2 3y x= −
Bài 5: Cho hàm số y = -x
2
có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)
a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hoành độ bằng 1.
b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của
chúng .
c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P)
Giải
a/
2
( )
(1; 1), ( ) 1 2.1 1
1
1
A A
A
A
A P
y x
A A d m m
x
x
ì
ì
Î
ï
=
ï
ï ï
Û Û - Î Û - =- + Û =
í í
ï ï
=
=
ï
ïî
î
b/ Bảng giá trị của y=-2x-3 và y = - x
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
2 2
1
2 3 2 3 0
3
x
x x x x
x
é
=-
ê
- =- - Û - - = Û
ê
=
ë
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9)
c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
2 2
2 2 0x x m x m m- =- + Û - + =
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
' 1 0 1m mÛ D = - > Û <
Với m<1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
d/ (d) tiếp xúc với (P)
' 0 1 0 1m mÛ D = Û - = Û =
(d) không cắt (P)
' 0 1 0 1m mÛ D < Û - < Û >
Bài 6: Giải phương trình :
2 2
2 2
2
/ 3 75 0; / 384 0; / ( 15) 3(27 5 )
3
/ (2 7) 12 4(3 ); /(3 2) 2( 1) 2
a x b x c x x x
d x x x e x x
+ = − = − = −
− − = − − − − − =
Giải :
1/
2 2
3 75 0;3 75 0x x x+ = + > "
Nên phương trình vô nghiệm.
2/
1
2 2 2
2
24
2
384 0 2 1152 576
24
3
x
x x x
x
é
=
ê
- = Û = Û = Û
ê
=-
ë
3/
1
2
2
9
( 15) 3(27 5 ); 81
9
x
x x x x
x
é
=
ê
- = - Û = Û
ê
=-
ë
4/
1
2 2
2
0
(2 7) 12 4(3 ) 2 7 12 12 4 2 11 0 ( 11) 0
11
x
x x x x x x x x x x
x
é
=
ê
- - =- - Û - - =- + Û - = Û - = Û
ê
=
ë
5/
1
2 2 2 2 2
2
0
(3 2) 2( 1) 2 9 12 4 2 4 2 2 7 8 0 (7 8) 0
8
7
x
x x x x x x x x x x
x
é
=
ê
ê
- - - = Û - + - + - = Û - = Û - = Û
ê
=
ê
ë
Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn )
2 2 2
1/ 5 14;2/ 3 10 80 0;3/ 25 20 4 0x x x x x x− = − + = = − + =
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
x 0 -3/2
y=-2x-3 -3 0
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=-x
2
-9 -4 -1 0 -1 -4 -9
6
Tài liệu ơn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Giải : 1/
2
5 14x x− = −
2
1 2
5 14 0( 1; 5; 14); 25 56 81 0 2; 7x x a b c x xÛ + - = = = =- D = + = > Þ = =-
2/
2
3 10 80 0x x+ + =
( 3; 10; 80)a b c= = =
;
'D
= 25-240 = -215<0 .Phương trình vơ nghiệm
3/
2
25 20 4 0( 25; 20; 4)x x a b c− + = = = − =
;
'D
=(-10)
2
-25.4 =0
Phương trình có nghệm kép :
1 2
' 10 2
25 5
b
x x
a
−
= = = =
Bài 8:Định m để phương trình :
− + = + − =
2 2 2
2
a/ 3x 2x m 0 vô nghiệm ;b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt
c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép
Giải a/
2
3 2 0( 3; ' 1; )x x m a b c m− + = = = − =
;
'D
= (-1)
2
-3m = 1-3m
Để phương trình vơ nghiệm
'D
<0 suy ra 1-3m<0 hay
1
3
m >
Với
1
3
m >
thì phương trình đã cho vơ nghiệm
b/ 2x
2
+ mx - m
2
= 0 (a = 2;b = m; c =- m
2
) ;
D
= m
2
-4.2(-m
2
)= m
2
+8 m
2
=9 m
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
0 9 0 0m mÛ D > Û > Û ¹
c/ 25 x
2
+ mx +2 = 0 (a = 25;b = m;c = 2);
D
= m
2
-4.25.2= m
2
-200
Để phương trình có nghiệm kép thì
D
=0
1
2
2
10 2
200 0
10 2
m
m
m
é
=
ê
Û - = Û
ê
=-
ê
ë
Bài 9:Cho phương trình :x
2
+ (m+1)x + m = 0 (1)
1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m .
2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm còn lại .
3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
5/ Tìm m sao cho x
1
- x
2
= 2 ;
6/ Tìm m để
2 2
1 2
x x+
đạt gía trị lớn nhất
7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ;
8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1;
x
2
khơng phụ thuộc vào m.
9/ Tính
3 3
1 2
x x+
Giải:
1/ x
2
+ (m+1)x + m = 0 (a = 1;b = m+1;c = m)
D
=(m+1)
2
-4.1.m= (m+1)
2
³
0 với mọi m
2/Thay x = -2 vào (1) ta được (-2)
2
+(m+1)(-2) + m = 0 4-2m-2+ m = 0
Û
m = 2
1 2 2 2
. 2. 2 1
c
x x m x x
a
= = Û - = Û =-
3/ Phương trình có hai nghiệm đối nhau
Û
x
1
+x
2
=0
Û
-(m+1) = 0
Û
m = -1
4/Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau
Û
x
1
x
2
=1
Û
m = 1
5/Theo hệ thức Vi-et
1 2
1. 2
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
x x (m 1)(1)
x .x m(2)
x x 2
(x x ) 4 (x x ) 4x x 4
m 2m 1 4m 4 m 2m 3 0
m 1
m 3
ì
+ =- +
ï
ï
í
ï
=
ï
ỵ
- =
Û - = Û + - =
Û + + - = Û - - =
é
=-
ê
Û
ê
=
ë
6/Theo hệ thức Vi-et
1 2
1. 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
x x (m 1)(1)
x .x m(2)
x x (x x ) 2x x
m 2m 1 2m m 1 1
ì
+ =- +
ï
ï
í
ï
=
ï
ỵ
+ = + -
= + + - = + ³
Dấu ‘ =’ xảy ra khi m=0
Vậy : GTNN là 1 khi m=0
Giáo viên : Đồn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
7
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Vậy với m = -1 hoặc m = 3 thì
1 2
2x x− =
7/ Phương trình có hai nghiệm đều dương
Û
2
0 ( 1) 0 1
0 0 0
0 ( 1) 0 1
m m
P m m
S m m
ì
ì ì
ï
D ³ - ³ ³
ï ï
ï
ï ï
ï
ï ï
ï ï ï
> Û > Û >
í í í
ï ï ï
ï ï ï
> - + > <-
ï ï ï
ï ï
î î
ï
î
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm đều dương
8/Ta có
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( 1) 1
. .
. 1
x x m x x m
x x m x x m
x x x x
ì ì
+ =- + + =- -
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
Þ + + =-
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào m
9/Ta có
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
3 3 2
1 2
3 3 2
1 2
3 3 3
1 2
( )( )
( 1)( 1 )
( 1)( 1)
( 1)
x x x x x x x x
x x m m m
x x m m m
x x m
+ = + - +
Û + = - - + -
Û + =- + - +
Û + =- +
Bài 10: Giải phương trình :
− = − = − − = − − + =
+ −
4 2 5 3 2
15 1 1
1/ 2;2/ 1;3/ 2 7 4 0;4/ 1 0
1 1
x x x x x x
x x x
1/
2 2
15
2( 0)
3
15 2 2 15 0
5
x x
x
x
x x x x
x
- = ¹
é
=-
ê
Û - = Û - - = Û
ê
=
ë
(Thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là x
1
=-3 và x
2
= 5
2/
2 2
2
1 1
1( 1)
1 1
1 ( 1) 1 1 1 1
1
x
x x
x x x x x x
x
- = ¹ ±
+ -
Þ - - + = - Û - - - = -
Û =-
Vậy phương trình vô nghiệm .
3/ 2x
4
- 7x
2
– 4 = 0
Đặt
2
0t x= ³
.Ta có phương trình :
2
1 2
1
2
2
2 7 4 0; 49 4.2( 4) 49 32 81
7 9 7 9 2 1
4( ) ( )
4 4 4 2
2
4
2
t t
t tmñk t ktñk
x
x
x
- - = D = - - = + =
+ - - -
= = = = =
é
=
ê
Þ = Û
ê
=-
ë
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
= 2
và x
2
= -2
4/
5 3 2
3 2 2 2 3
2 2
3 3
1 0
( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0
1
1 0 1
1
1 0 1
1
x x x
x x x x x
x
x x
x
x x
x
- - + =
Û - - - = Û - - =
é
=
ê
é é
- = =
ê
ê ê
Û Û Û =-
ê
ê ê
- = =
ë ë
ê
=
ë
Vậy nghiệm của phương trình là
1 2
1; 1x x= = −
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
8
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
II.BÀI TẬP:
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M
( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với AB
tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh :
a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c/. Tích CM.CN không đổi.
O
x
d
A
B
C
D
N
P
GT
Cho đường tròn(O;R)
AB, CD: đường kính, AB
⊥
CD tại O.
M
∈
AB, CM cắt (O) tại N
Đường thẳng d
⊥
AB tại M
Tiếp tuyến của (O) tại N cắt d tại P
KL
a/. OMNP nội tiếp được 1 đường tròn
b/. CMPO là hình bình hành
c/. CM.CN không đổi.
a/. Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn:
Ta có:
·
0
90OMP =
( d
⊥
AB)Và
·
0
90ONP =
( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính)
⇒
·
·
OMP ONP=
Nên: Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn ( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp nhìn 1
cạnh dưới 1 góc không đổi).
b/. Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành:
Ta có:
·
1
2
AMC =
sđ
» »
( )
AC BN+
( Định lí góc có đỉnh bên trong đường tròn(O))
và
·
1
2
CNx =
sđ
»
»
( )
BC BN+
( Định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và 1 dây cung)
mà sđ
»
AC
= sđ
»
BC
=
0
90
( do AB
⊥
CD)
Do đó:
·
AMC
=
·
CNx
(1)
Ta lại có:
·
CNx
=
·
MOP
( cùng bù với
·
MNP
) (2)
Từ (1), (2)
⇒
·
AMC
=
·
MOP
Mà
·
AMC
,
·
MOP
ở vị trí so le trong. =>: CM // OP (3)
Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4)
Từ (3), (4)
⇒
CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)
c/. Chứng minh tích CM.CN không đổi:
Ta có:
·
0
90CND =
( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)
Nên ta chứng minh được:
OMC NDCV : V
(g.g)
⇒
CM CO
CD CN
=
Hay CM.CN = CO. CD = R.2R= 2R
2
Mà R không đổi
⇒
2R
2
không đổi
Nên: CM.CN không đổi (đpcm)
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
9
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA = R.
Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D.
a/. Chứng minh: DI
⊥
BC.
b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
c/. Giả sử
·
0
45AMB =
.Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM.
I
M
O
D
B
C
A
GT
Cho đường tròn (O), đường kính :
BC = 2R
A
∈
(O): BA = R; M
∈
cung AC nhỏ.
BM cắt AC tại I, BA cắt CM tại D.
·
0
45ABM =
: (c)
KL
a/. DI
⊥
BC
b/. AIMD nội tiếp (O)
c/. Tính độ dài AC và S
quatAOM
?
a/. Chứng minh : DI
⊥
BC:
Ta có:
·
0
90BAC =
( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)
⇒
CA
⊥
BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC. (1)
Và
·
0
90BMC =
( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)
⇒
BM
⊥
CD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC. (2)
Từ (1), (2)
⇒
I là trực tâm của tam giác BDC
⇒
DI là đường cao thứ ba của tam giác BDC
Nên DI
⊥
BC
b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn:
Ta có:
·
0
90IAD =
( CA
⊥
BD )
Và
·
0
90IMD =
( BM
⊥
CD
⇒
·
IAD
+
·
0
90IMD =
+
0 0
90 180=
Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
( Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng
0
180
)
c/. Tính độ dài AD. Diện tích hình quạt AOM:
*Tính AD:
Nếu
·
0
45ABM =
thì
ABIV
vuông cân tại A ( Tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng
0
45
)
⇒
AB = AI = R
Xét tam giác ADI vuông tại A ,ta có:
·
·
ADI AMI=
( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI…)
Mà
·
1
2
AMI =
sđ
»
AB
=
0 0
1
.60 30
2
=
( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn và
AOBV
đều)
Nên:
·
0
30ADI =
Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác đều.
⇒
ID = 2R
Lúc đó: AD =
2 2 2
3 3ID AI R R− = =
(đvđd)
* Tính diện tích hình quạt AOM:
Ta có: S
quatAOM
=
2
360
R n
π
, với n =
·
·
0
2. 90AOM ABM= =
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
10
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Nên: S
quatAOM
=
2 2
.90
360 4
R R
π π
=
(đvdt)
Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA > CB. Vẽ hình
vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác điểm C).
a/. Chứng minh : OF
⊥
AB.
b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F.
c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng.
F
O
E
D
M
A
B
C
GT
Cho đường tròn (O), đường kính AB
C
∈
(O): CA>CB
D
∈
tia đối của tia BC: ACDE là hình
vuông.
CE cắt (O) tại F
CF cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở M:
(c)
KL
a/. OF
⊥
AB
b/. Tam giác BDF cân tại F.
c/. D, E, M thẳng hàng.
a/. Chứng minh: OF
⊥
AB
Ta có:
·
·
0
45ACF BCF= =
( Tính chất của đường chéo hình vuông)
»
»
AF BF=
( Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau)
⇒
AF = BF
⇒
AFBV
cân tại F
Mà O là trung điểm của AB
⇒
FO là trung tuyến cũng là đường cao ( Tính chất tam giác cân)
Hay : FO
⊥
AB
b/. Chứng minh tam giác BDF cân tại F:
F
∈
đường chéo CE của hình vuông ACDE
⇒
FA = FD ( Tính chất 2 đường chéo của hình vuông) (1)
Mà: FA = BF ( cmt)
⇒
FD = FB (2)
Hay: Tam giác BDF cân tại F
c/. Chứng minh: D, E, M thẳng hàng:
Xét tam giác ABM, ta có:
O là trung điểm của AB
Mà OF // AM ( cùng vuông góc với AB)
⇒
F là trung điểm của B
⇒
FM = FB (3)
Từ (1),(2),(3)
⇒
FA = FB = FD = FM
⇒
ABDM là tứ giác nội tiếp được một đường tròn ( Tứ giác có 4 đỉnh cách đều F)
⇒
·
·
0
180BAM BDM+ =
Mà
·
0
90BAM =
( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính)
⇒
·
0
90BDM =
⇒
DM BD⊥
(4)
Ta lại có: DE
⊥
BD ( do
·
0
90BDE =
) (5)
Từ (4),(5)
⇒
DM trùng với DE ( hệ qủa tiên đề Ơ- Clit) Hay: D, E, M thẳng hàng.
( Chú ý: Học sinh có thể chứng minh
·
0
180DEM =
bằng cách xét:
AEMV
và
ACBV
)
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
11
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M
∈
cạnh BC ). Đường
tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q.
a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
b/. Chứng minh: MA
⊥
PQ.
c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn.
Q
H
C
A
P
B
M
I
GT
Cho
ABCV
vuông tại A
AM: trung tuyến, AH: đường cao
Đường tròn (H; HA) cắt AB tại P và
AC tại Q
KL
a/. Chứng minh : P, H, Q thẳng hàng.
b/. MA
⊥
PQ
c/. BPCQ nội tiếp được đường tròn.
a/. Chứng minh 3 điểm P, H, Q thẳng hàng:
Ta có:
·
0
90PAQ =
(GT)
Mà
·
PAQ
là góc nội tiếp
⇒
·
PAQ
chắn cung nửa đường tròn
⇒
PQ là đường kính của đường tròn tâm H
⇒
P, H, Q thẳng hàng ( đường kính đi qua tâm)
b/. Chứng minh: MA
⊥
PQ:
Gọi I là giao điểm của AM và PQ
Ta có:
µ
·
C MAC=
( Tam giác MAC cân tại M)
Mà
µ
·
0
90C HAC+ =
( Tam giác AHC vuông tại H)
Và
·
·
HAC AQH=
( Tam giác AHQ cân tại H)
⇒
·
·
0
90MAC AQH+ =
Nên: Tam giác AIQ vuông tại I
Hay PQ vuông góc với AM tại I
c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn:
Ta có:
µ
·
C BAH=
( cùng phụ với
·
CAH
)
mà
µ
·
P BAH=
( Tam giác AHP cân tại H)
⇒
µ
µ
C P=
⇒
Tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn
( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc không đổi)
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
12
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE đi qua trung điểm P
của OC, ED cắt CB tại Q.
a/. Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp được một đường tròn.
b/. Chứng minh : PQ // AB.
c/. So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC.
Q
O
A
B
C
D
P
E
GT
Cho đường tròn (O)
AB, CD là 2 đường kính:AB
⊥
CD tại O
AE cắt OC tại P ( P: trung điểm OC)
ED cắt BC tại Q
KL
a/. CPQE nội tiếp được 1 đường tròn
b/. PQ // AB
c/ So sánh
CPQ
S
và
ABC
S
?
a/. Chứng minh: CPQE nội tiếp được 1 đường tròn:
Ta có:
·
PCQ
chắn cung BD
·
PEQ
chắn cung AD
Mà:
»
»
BD AD=
( do
·
·
0
90BOD AOD= =
)
Nên:
·
PCQ
=
·
PEQ
Vậy: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn.
( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc không đổi)
b/. Chứng minh: PQ // AB:
Ta có: Tứ giác CPQE nội tiếp được 1 đường tròn (cmt)
⇒
·
·
CEP CQP=
( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CP)
Ta lại có:
·
CEP
=
µ
B
( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn(O))
⇒
·
µ
CQP B=
Mà
·
µ
,CQP B
ở vị trí đồng vị
Nên: PQ // AB
c/. So sánh
CPQ
S
và
ABC
S
?
Ta có: P là trung điểm OC (GT)
Mà PQ // AB (cmt)
⇒
Q là trung điểm của BC
Nên: PQ là đường trung bình của tam giác BOC
⇒
CPQ
S
=
1
4
BOC
S
Mà CO là trung tuyến của tam giác ABC
⇒
BOC
S
=
1
2
ABC
S
Do đó:
CPQ
S
=
1
4
.
1
2
ABC
S
=
1
8
ABC
S
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
13
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
ĐẠI SỐ
I. LÍ THUYẾT:
Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu
nghiệm?
Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.
Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?
Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương.
Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:
a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau.
b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau.
Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai .
Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình
− + + =
2
3 3 1 0x x
Câu 6: Cho phương trình ax
2
+ bx +c=0
( 0)a ≠
. Viết công thức tính ngiệm của phương trình trên .
Áp dụng : Giải phương trình
− + =
2
3 2 0x x
.
Câu 7: Phát biểu hệ thức Viet .Áp dụng :
− + + =
2
5 4 3 0x x
.Tính x
1
+ x
2
và x
1
x
2
Câu 8: Cho phương trình :
+ + =
2
0ax bx c
( 0)a ≠
có hai nghiệm x
1
và x
2
.Chứng
minh :
= + =− = =
1 2 1 2
;
b c
S x x P x x
a a
Câu 9: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm có tổng là S và có tích là P (không cần chứng minh )
Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
2 2+
và
2 2−
Câu 10: Nêu tính chất của hàm số
2
( 0)y ax a= ≠
II. BÀI TẬP
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a/
3 2 1
3
x y
x y
− =
+ = −
b/
3 5 1
2 4
x y
x y
+ =
+ = −
c/
4 3 15
3 2 10
x y
x y
+ =
+ =
d/
3 5
2 3 18
x y
x y
− =
+ =
e/
1 1 5
8
1 1 3
8
x y
x y
+ =
− =
f/
2 1
1
2
1 5
6
2
x y x y
x y x y
− =
+ −
+ =
− +
h/
5( 2 ) 3 1
2 4 3( 5 ) 12
x y x
x x y
+ = −
+ = − −
Bài 2:
Câu 1: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình
2 12
2 6
ax by
ax by
+ =
− = −
Có nghiệm là
( 2; 1)x y= − =
Câu 2: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình
3 1
2
mx y
x ny
+ =
+ = −
nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.
Bài 3:
Câu 1: Cho hệ phương trình:
3 5
4 6 9
mx y
x y
+ =
+ =
. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình
2 5
3
x y
ax y a
+ =
+ =
a/ Có một nghiệm duy nhất b/ Vô nghiệm.
Câu 3: Cho hệ phương trình
3
2 6 8
x y m
x y
− =
− =
Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm.
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
14
Tài liệu ơn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Bài 4:
Câu 1: Xác định hàm số
y ax b= +
biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm
a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)
Câu 2: Xác định đường thẳng
y ax b= +
biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm
A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng
y x= −
và
2 1y x= − +
Bài 5: Cho hàm số y = -x
2
có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)
a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hồnh độ bằng 1.
b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của
chúng .
c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) khơng cắt (P)
Bài 6: Giải phương trình :
2 2
2 2
2
/ 3 75 0; / 384 0; / ( 15) 3(27 5 )
3
/ (2 7) 12 4(3 ); /(3 2) 2( 1) 2
a x b x c x x x
d x x x e x x
+ = − = − = −
− − = − − − − − =
Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc cơng thức nghiệm thu gọn )
2 2 2
1/ 5 14;2/ 3 10 80 0;3/ 25 20 4 0x x x x x x− = − + = = − + =
Bài 8:Định m để phương trình :
− + =
+ − =
2
2 2
2
a/ 3x 2x m 0 vô nghiệm
b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt
c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép
Bài 9:Cho phương trình :x
2
+ (m+1)x + m = 0 (1)
1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m .
2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm còn lại .
3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
5/ Tìm m sao cho x
1
- x
2
= 2 ; 6/ Tìm m để
2 2
1 2
x x+
đạt gía trị lớn nhất
7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ;8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1;
x
2
khơng phụ thuộc vào m.
9/ Tính
3 3
1 2
x x+
Bài 10: Giải phương trình
− =
− =
+ −
− − =
− − + =
4 2
5 3 2
15
1/ 2
1 1
2/ 1
1 1
3/ 2 7 4 0
4/ 1 0
x
x
x x
x x
x x x
Giáo viên : Đồn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
15
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
HÌNH HỌC
I. LÍ THUYẾT:
Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”
Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường tròn. Áp dụng:Cho đường tròn (O), đường kính
AB. Vẽ dây AM sao cho
·
0
40AMO =
. Tính số đo cung BM ?
Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. (Chú ý:
Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả đường tròn)
Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường tròn để giải
bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM, ON saocho:
·
·
0 0
40 , 80AOM BON= =
.
So sánh: AM, MN và NB ?
Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
”.
Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn”.
( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm ).
Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị
chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường tròn nằm ở ngoài của góc).
Câu 8: Chứng minh định lí: “ Sđ của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng sđ hai cung bị chắn”.
Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung
0
n
của hình quạt tròn bán kính R. Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R = 3 cm).
Tính độ dài cung AB có số đo bằng 60
0
?
Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O). Chứng minh: AB + CD = AD + BC.
II. BÀI TẬP:
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm
M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với
AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh :
a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c/. Tích CM.CN không đổi.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho
BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D.
a/. Chứng minh: DI
⊥
BC.
b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
c/. Giả sử
·
0
45AMB =
.Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM.
Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA > CB.
Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác
điểm C). a/. Chứng minh : OF
⊥
AB.
b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F.
c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M
∈
cạnh BC ).
Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q.
a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
b/. Chứng minh: MA
⊥
PQ.
c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn.
Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE đi qua trung
điểm P của OC, ED cắt CB tại Q.
a/. Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp được một đường tròn.
b/. Chứng minh : PQ // AB. c/. So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC.
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
16
Tài liệu ôn thi học kì II- Năm học: 2010- 2011
Giáo viên : Đoàn Văn Luận - Tr ường THCS Bàu Năng- DMC
17
