Đề thi HSG Toán 9 vòng Tỉnh năm học 2005-2006

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH CÀ MAU
CÀ MAU NĂM HỌC 2005-2006
ĐỀ CHÍNH THỨC
- Môn thi: TOÁN
- Ngày thi: 02 – 04 – 2006
- Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3,5 điểm)
a). Rút gọn biểu thức
15 6 6 33 12 6A = − + −
.
b). Cho các số a
1
; a
2
; a
3
;…; a
2006
.
Biết rằng
( )
2
3
2
3 3 1
k
k k
a
k k
+ +
=

+
, với mọi
1;2;3; ;2006k =
.
Tính tổng
1 2 3 2006
S a a a a= + + + +
Bài 2: (4,0 điểm)
Giải các phương trình:
a).
( )
2
2 3 2 1
2
x x x+ + + = +
.
b).
4
16 8 0x x+ + =
Bài 3: (4,5 điểm)
Cho đa thức
( ) ( )
2 2
1 1 2 2f x x m x m m− = − + − + −
a). Tìm
( )
f x
b). Chứng minh rằng phương trình
( )
0f x =

luôn có hai nghiệm phân biệt.
c). Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
f x
khi
2m = −
.
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ tiếp tuyến chung
MN của (O) và (O’) với
( ) ( )
; 'M O N O∈ ∈
và A nằm trong tam giác BMN. Tiếp
tuyến tại A của (O) cắt (O’) tại C, MA cắt NC tại D. Chứng minh rằng:
a).
·
·
NAD ABD=
b). ND tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính BC
·
( )
0
, 60AB AC AOB< >
, D là điểm thuộc cung nhỏ AB sao cho DA = DB. Đường
trung trực của đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại E và F (với F thuộc cung
nhỏ AC).
a). Chứng minh
»

»
2FC DE=
b). Đường thẳng qua O và song song với DA cắt AC tại J. Chứng minh EJ
là tia phân giác của góc CEF.
HẾT