Đề thi HSG Toán 9 vòng Tỉnh năm học 2008-2009

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS
CÀ MAU NĂM HỌC 2008-2009.
ĐỀ CHÍNH THỨC
-Môn thi: Toán
-Ngày thi: 01/03/2009
-Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm):
a) Tính giá trị của biểu thức :
2 3 2 3
S
2 3 2 3
+ -
= +
- +
.
b) Rút gọn biểu thức:
2 2
2 1 4 4y x x x x= - + + - +
Bài 2 (3,0 điểm):
a) Chứng minh rằng số a =
2
(
( )
2 3 1 2 3a = + -
là số hữu tỉ.
b) Cho đa thức
( ) ( ) ( )
3 2
2 3 5 4f x mx m x n x n= + - - - -
. Xác định m, n sao cho đa thức
( )

f x

chia hết cho
1x +
và
3x-
.
Bài 3 (3,0 điểm):
Tìm một số tự nhiên gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số ở hàng đơn vị đặt về bên trái
của số gồm hai chữ số còn lại, ta được một số có 3 chữ số lớn hơn chữ số ban đầu là 765 đơn vị.
Bài 4 (3,0 điểm): Cho đa thức
( ) ( )
2 2
1 1 2 2f x x m x m m- = - + - + -
.
a) Tìm
( )
f x
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
f x
khi
2m =-
.
Bài 5 (3,5 điểm):
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh CD, E là giao điểm của AC và BI , F
là giao điểm của hai tia AB và DE. Chứng minh rằng:
a) B là trung điểm của đoạn AF.
b) Nếu BC = BD thì AC = FD.

c) Nếu AC = FD thì BC = BD.
Bài 6 (4,5 điểm):
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Trong đó hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M.
Cho biết ADB là tam giác cân có
µ
0
A 90>
.
a) Chứng minh rằng : AD
2
= AM.AC
b) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DCM và J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác BCM. Chứng minh rằng :
·
·
IDB JDB=
.Chứng minh rằng: Tổng các độ dài của hai đoạn thẳng
ID và JB không tùy thuộc vào vị trí của điểm C trên cung lớn BD của đường tròn (O).
HẾT