Đề thi HSG Toán 9 vòng Tỉnh năm học 2009-2010

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS
CÀ MAU NĂM HỌC 2009-2010.
ĐỀ CHÍNH THỨC
-Môn thi: Toán
-Ngày thi: 04 – 04 – 2010
-Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,0 điểm):
a) Chứng minh rằng:
( ) ( )
4 15 5 3 4 15 2+ − − =
.
b) Giải phương trình:
( )
2 2
4 2
3
5 3 1
1
x x
x x
+ = +
+ +
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Cho 3 số x, y, z thỏa mãn đồng thời
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + =
. Tính
giá trị biểu thức
2010 2010 2010
A x y z= + +

b). Xác định
x
∈
¡
để biểu thức
2
2
1
1
1
B x x
x x
= + − −
+ −
là một số tự nhiên.
Bài 3: (4,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
( )
6;5A
và
( )
3;2B
a).Xác định hàm số
( )
y f x=
, biết đồ thị của nó là một đường thẳng đi qua
hai điểm A và B.
b). Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao cho CA + CB nhỏ nhất
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, bán kính R. Tiếp tuyến tại M bất kỳ

trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D.
a). Chứng minh AC.BD = R
2
b). Tìm vị trí của M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất.
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC, phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Chứng minh
rằng:
2
. .AD AB AC DB DC= −
.
HẾT