Chuyên đề biến đổi căn thức nâng cao tổng hợp đại số 9

Xuctu.com
Nhóm 2: căn thức

1. Rút gọn biểu thức:
a.
2
44
1
12
22






x
xx
x
xx
A
.
b.
2
1
2
1
2
2
2
2

x
x
x
xB
.
2. Rút gọn biểu thức:
2
141



x
xxx
, (n dấu căn).
3. Tính tổng:
1
1

34
1
23
1
12
1

nn
.
4. CMR:
8
1
,
3
18
3
1
3
18
3
1
33




aN
aa
a
aa
ax
.
5. Cho a, b > 0 và b < a
2
. CMR:
a.

22
22
baabaa
ba




b.
22
22
baabaa
ba





6. Rút gọn biểu thức:
a.
521028 521028
.
b.
22
2
2
2
2
2
2

2
2

x
y
y
x
x
y
y
x
.
c.
143 xx
+
168 xx
.
d.
5225232 xxxx
.
e.

1
11
1
:
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab

ab
a
.
f.
























121
2

1
12
1
a
aa
aa
aaaa
a
aa

7. Tính giá trị các biểu thức:
a.
5122935 A
.
b.
1262113 B
.
c.
53537 C
.
8. Tính tổng:
a. S =
3414
1

913
1
59
1
15

1






nn
.
b. P =
20062005
1

21
1
1
1




nnnnnn
.
9. Giải các phơng trình:
a.
44
20082007
1

21

1
1
1





xxxxxx
.
b.
225225232 xxxx
.
10. So sánh 2 số:
74 A
và
274 B
.
Xuctu.com
11. Cho





























nn
n
a
2
51
2
51
5
1
. CMR:
a.
nnn

aaa 
 12
.
b.
NnNa
n
 ,

TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 1 -

)116)(
63
12
26
4
16
15
(





C
402088 B
12. Cho a > b > 0. CMR:
a.
22

baabaa
ba




.
b.
22
baabaa
ba




.
13. Hãy đề xuất các bài tập mới bằng cách khai thác các bài tập trên.



Chuyên đề căn thức bậc hai bậc ba
1/ Chứng minh :
Giá trị của biểu thức :
40 2 57 40 2 57
A

chia hết cho 5
2/Tính giá trị của các biểu thức sau :
4 4
4

8 2 1 8 2 1
( 4 7 4 7 )
8 2 1
B




3/Tính )


4/Cho a,b,c > 0 và . Tính : P =
Figure 1

5/ Thu gọn các biểu thức:
a)
b)
c)

6/Cho biểu thức:
2
4 4 4 4
8 16
1
x x x x
A
x
x

a. Rút gọn biểu thức A
b.Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.
c.Chứng minh rằng :
Số x = + là nghiệm của phơng trình : x
4
- 16x
2
+ 32 = 0
7/ Tính : A =
8/ Cho . Tính giá trị của biểu thức B = a
3
6a - 2049
9/Tìm a,b thoả mãn đẳng thức :
10/ Cho a,b thoả mãn hệ .Tính giá trị của biểu thức : Q = a
3
+ b
3

Căn thức-
Bài 1.
4 4
4
8 2 1 8 2 1
( 4 7 4 7
8 2 1
B

3 0
a a b b c c abc

TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 2 -

Cho
2 2
1
1 1
x x x x
M x
x x x x



. Rút gọn M với 0 # x # 1.
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
.
22
22
9)2(3
695
xxxx
xxxx
A

3 2 2
3 2 2
3 ( 1) 4 2
2)
3 ( 1) 4 2
x x x x
B
x x x x



( x








2
x x
2
x x
1
1 2 2 1
4
C

1
1 2 2 1
4
, với x < 0.
Bài 3. Cho biểu thức: B =
2
332
12
))1()1((11
x
xxx



Hãy rút gọn biểu thức B rồi tính giá trị của góc nhọn

khi x =
2
1
và
sin
B



Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức :
15 x 11 3 x 2 2 x 3
P(x)
x 2 x 3 1 x x 3

a) Tìm giá trị của x để
1
P(x)
2

.
b) So sánh
P(x)
với
2
3
.
Bài 4. Cho biểu thức:
2 2
2 1 1 1
.
3 1
2 1 2 1
1 1
3 3
N
x
x x

.
Rút gọn rồi tính giá trị của x để N = 1/3.
Bài 5: Cho biểu thức:




1
2 1 2
1 .
1
1 2 1
x x x
x x x x x x
M
x
x x x

.
1. Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2000 M) khi x # 4.
3. Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức:
2 2 1 1
x x x x x
P
x x x x x



.
1. Rút gọn P. 2/ So sánh P với 5.
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 3 -

3/ Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức 8/P chỉ
nhận đúng một giá trị nguyên.

Bài 7: Cho biểu thức:
2
4 4 4 4
16 8
1
x x x x
A
x x



.
1. Với giá trị nào của x thì A xác định. 3/Tìm giá trị của x
để A đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 8: Cho biểu thức:
3 9 3 1 1 1
2 :
1
2 1 2
x x
P
x
x x x x

.
1. Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P.
2. Tìm các số tự nhiên x để 1/P là số tự nhiên.
3. Tìm giá trị của P với
4 2 3
x
.
Bài 9: Cho biểu thức:
2 3 2
: 2
5 6 2 3 1
x x x x
P
x x x x x







.
1. Rút gọn P. 2/ Tìm x để
1 5
2
P

.

Bài 10: Cho các biểu thức:
2 2
5 1 2 1
:
4 1 1 2 1 2 1 4 4
x x
A
x x x x x






.

4 2 3 19 8 3
B

1. Với những giá trị nào của x để A có nghĩa? 3/
Rút gọn A và B.
2. Tìm những giá trị của x để A = B.
Bài 11: Cho các biểu thức:
1 2 1
1
1 1
x x x
P
x
x x x x

.
1. Rút gọn P. 2/Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
2
Q x
P

.
Bài 12: Cho biểu thức:
2 1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x



.
1. Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A. 3/Tính A với
33 8 2
x
.
2. Chứng minh rằng: A < 1/3.
Bài 13: Cho hàm số
2 2
2

2 6 ( 1)( 2) 5
( )
3 4
x x x
y f x
x x



.
1. Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).
2. Chứng minh y # 3. Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?
Bài 14: Cho biểu thức:
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x



.
1. Rút gọn P. 2/Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 4 -

2. Tìm x để biểu thức
2

x
Q
P

nhận giá trị là số nguyên.
Bài 15: Cho biểu thức;
1 2 2
: 1
1
1 1
x x
P
x
x x x x x







với x # 0; x # 1.
1. Rút gọn P. 2/Tìm x sao cho P < 0.
Bài 16: Cho biểu thức:
2 1
.
1
1 2 1 2 1
x x x x x x x x
M

x
x x x x x









1. Hãy tìm điều kiện của x để M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
2. Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất
đó của M?
Bài 17: Cho biểu thức:
2
2
2 1
( )
3 4 1
x x
P x
x x



.
1. Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
2. Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0.
Bài 18: Cho biểu thức:

2
1 1 1
.
2
1 1 2
x x x
P
x x x







.
1. Rút gọn P. 2/Tìm x để
2.
P
x


Bài 19: Cho
2 1 1
1 1 1
x x
M
x x x x x

với x # 0, x # 1.
1. Rút gọn M. 2/ Chứng minh rằng với với x #
0, x # 1, ta có M < 1/3.
Bài 20: Cho biểu thức:
1 1 1
x x x x x
P
x x x x x



.
1. Rút gọn P. 2/Tìm x để P = 9/2.
Bài 21: Cho biểu thức:

3 2 1 1
:
1
1 1
2 1
a a a a
P
a
a a
a a

.
1. Rút gọn P. 2/ Tìm a để
1 1
1
8
a
P


.
Bài 22: Cho biểu thức:
1 2
1 : 1.
1
1 1
x x
P
x
x x x x x

1. Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
Q P x

nhận giá trị
nguyên.
Bài 23: Cho biểu thức:
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x



.
1. Rút gọn A.
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 5 -

2. Tìm x để A < 1. 3/ Tính giá trị của A với
29 12 5 29 12 5
x
.

Bài 24: Cho biểu thức:
1 1
1 : 1
1 1 1 1
xy x xy x
x x
P
xy xy xy xy









1. Rút gọn P. 2/ Cho
1 1
6
x y

, tìm giá trị lớn nhất
của P.
Bài 25: Cho biểu thức:
2
1 1
:
x
P

x x x x x x



.
1. Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và hãy rút gọn P.
2. Tìm các số nguyên x để giá trị của
2
2
1
P x
Q
x



cũng là số nguyên.
Bài 26: Cho biểu thức:
3 2 2 2
3 2 2 2
3 ( 4) 1 4
3 ( 4) 1 4
x x x x
P
x x x x



với x # 1.
1. Rút gọn P(x). 2/ Giải phơng trình P(x) = 1.

Bài 27: Xét biểu thức:
2 2 1
3 3 1
x x x x
P
x x x x



với x # 0.
1. Rút gọn P. 2/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của P.
Bài 28: Cho biểu thức:
3 2 2
: 1
2 3 5 6 1
x x x x
P
x x x x x








1. Rút gọn P. 2/ Tìm các giá trị
nguyên của x để P < 0.
2. Với giá trị nào của x thì biểu thức 1/P đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 29: Cho
2
x x x x x
A
x x




1. Rút gọn A 2/ Tìm x thỏa mãn
2 1
A x

.
Bài 30: Cho biểu thức

2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x




1. Rút gọn P 2/ Tìm giá trị trị nhỏ nhất của P
2. Tìm x để biểu thức
2
x

Q
P

nhận giỏ trị là số nguyên trên và là một số
nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
Đề 1:
Câu 1 :
Chứng minh : số A =
26
4813532


là một số nguyên.
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 6 -

Hớng dẫn câu 1: A =


1
26
26
26
132532
2
2

Câu 2 :Cho a,b,c là các số thực không âm.
Chứng minh : a+ b + c =
.cbabcacab

Hớng dẫn câu 2







cba
cbcababcacabcba

0
222

Câu 3 : Cho x , y , z là các số thực dơng thỏa mãn
0 zyx

Chứng minh :
0
111

zyxyxzxzy

Hớng dẫn câu 3:

0 zyx
suy ra
xyzyxzyx 2

Tơng tự : z + x - y =
xz2
; x + y - z =
xy2

Do đó ta có :
0
22
1
2
1
2
1111

xyz
zyx
xyxzyz
zyxyxzxzy


Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị x,y,z thỏa mãn điều kiện :
zyxzyx

Hớng dẫn câu 4:
zyxzyx

zxyzyx
điều kiện x,y,z 0 và x +z
y






zy
yx
zyyxxyzyxyxyzyxy 0))(()(.

Vậy x = y 0 hoặc y = z 0
Câu 5 :Cho biết

333
22
yyxx
(1)
Hãy tính : E = x+ y.
Hớng dẫn câu 5:
Nhân hai vế (1) cho
3
2
xx
ta có : -
3


33
2
yy
(
3
2
xx
)

)2(33
22
xxyy

Nhân hai vế (1) cho
3
2
yy
ta có -
3


33
2
xx
(
3
2
yy
)





)3(33
22
yyxx

Cộng 2 và 3 ta có : x+y = 0.
Câu 6 : Cho x và y thỏa
111
22
xyyx
(1)
Chứng minh x + y = 1.
Hớng dẫn câu 6:
Cách 1: làm giống câu 5.
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 7 -

Cách 2: 1 suy ra



01111111
2
2
2
2
2
222
yxxyyxxyyx

Suy ra
11
222
yxxy

Câu 7: Cho ba số thực x, y, z khác 0 và
zyzxyx
(1)
Chứng minh :
0
111

zyx

Hớng dẫn câu 7:
Điều kiện x+y, y + z và x+z 0
Bình phơng hai vế (1) ta có
0))(())((
2
xzyzxyzxyzxzxyzx
0
111

zyx

Câu 8 :
Cho a,b,c là các số hữu tỉ. Chứng minh :
222
)(
1
)(
1
)(
1

accbba




là một số hửu tỉ
Hớng dẫn câu 8 : Đặt x = a-b , y = b-c và z = c-a ta có x+ y + z = 0
Ta có
222222
2
111

.2
111111
zyxzyx
zyx
zyxzyx

Câu 9: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
xx

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức :B =
xx 3

Hớng dẫn câu 9 :
a) điều kiện để tồn tại
x
là x 0 do đó A =
x
+ x 0 Nên MinA = 0 khi
và chỉ khi x =0
chú ý : cách giải sai : A =
4
1
4
1
4
1
2
1
2

MinAx
( ở đây dấu bằng
không thể xảy ra vì khi đó
2
1
x
là điều vô lí.
b) Điều kiện x 3 ; Đặt y =
x3
suy ra y
2
= 3-x Do đó B = 3-y
2
+ y =
4
13
2
1
4
13
2







y

Câu 10 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x
2
y với các điều kiện x,y
là số dơng và 2x + xy = 4.
Hớng dẫn câu 10 :
Ta có A =
xyx.2
2
1
. áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dơng 2x và xy ta
có :
A =
xyx.2
2
1

2
4
)2(
2
1
2

xyx

Câu 11 :
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 8 -

Đề II
Câu 1: (Đề thi tuyển sinh THPT Lơng Văn Chánh 2005-2006)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng k , ta có
:










1
11
2
)1(
1
kkkk

b) Chứng minh rằng :
2
)1(
1

34
1
23
1

2
1



nn
, với mọi số nguyên
dơng n .
Câu 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Lơng Văn Chánh 2002-2003)
Tính : T =
61230
1062315417



Câu 3: (Đề thi tuyển sinh THPT Lơng Văn Chánh 1999-2000)
Rút gọn : B =
52253
20


Câu 4: (65/400)
Tìm các số x,y, z thỏa
)(
2
1
21 zyxzyx

Câu 5 : (67/400)
Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn : ab +bc +ca = 1. chứng minh rằng số :

A =
)1)(1)(1(
222
cba
là một số hữu tỉ.
Câu 6 (80/1001)
Tìm x biết : x =
135135
trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp
đi lặp lại cách viết căn thức có chứa chữ số 5 và 13 một cách vô hạn lần.
Câ 7: (82/1001)
Rút gọn : A =
33
3312518233125182

Câu 8: (84/1001)
Cho số x =
33
549549

a) Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phnwơng trình : x
2
- 3x - 18 = 0 .
b) Tính x .
Câu 9: (87/1001)chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức sau:
a)
15252
33

b)
6
8
33
3223223







( Đề thi lớp 10 chất lợng cao THPT Duy Tân
2006-2007)
Câu 10: ( Đề thi lớp 10 chất lợng cao THPT Duy Tân 2006-2007)
a)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
A =
15 xx

b) Giải phơng trình:
15 xx
= -x
2
+ 2x +1
Câu 11: (81/1001)(Thi HSG toàn quốc 1999)
TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
- Trang 9 -

TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : A = (3x

3
+8x
2
+2 )
2006
víi x =
56145
38517)25(
3



C©u 12 ( bµi 11/tr120 c®b®tvµ cùc trÞ)
Cho a,b,c  0
Chøng minh r»ng: a
2
+ b
2
+ c
2

abccabbca 
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 10 -

Đề 3:
Câu 1 :
Cho A =
20002001;19992000 B

;So sánh A và B.
Hớng dẫn : Ta có :
20002001
1
20002001
20002001
20002001
19992000
1
19992000
19992000
19992000










B
A

Do đó A > B
Câu 2:Rút gọn biểu thức :
3242)4321(23
3814
3

)3612(


.
Câu 3 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2001-2002 Hà Tây)
Tìm các giá trị của x,y,z thỏa mãn phơng trình:
.3000)(
2
1
200220012000 zyxzyx

Hớng dẫn:Đk : x 2000 ;y 2001 ; z 2002
Phơng trình đã cho tơng đơng
0)2002()12001()12000(
222
zyx

Do đó ta có : x=2001; y = 2002 ; z= 2003
Câu 4 : ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 1 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh đẳng thức :
1
2
3
11
2
3
1
2
3
11

2
3
1







Hớng dẫn:
Ta có VT =
1
33
32
33
32
4
)13(
1
2
32
4
)13(
1
2
32
22

CÂU 5: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh rằng số : x
0

3236322
là một nghiệm của
phong trình: x
4
- 16x
2

+ 32 = 0
Hớng dẫn: Ta có
:
03216
166438)336(4)32(4
)3362322()8(

833623228
33623228
2
0
4
0
4
0
2
0
22
2
0
0
2
0
2
0





xx
xx
x
x
x
2
x kieọn ẹieu

TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 11 -

Vậy x
0
là nghiệm của phơng trình x
4
- 16x
2

+ 32 = 0
Câu 6: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Tây)
Tìm số n nguyên dơng thỏa mãn:
.6)223()223(
nn

Hớng dẫn:
Đặt
.)223()223(
nn
a
a
1
thỡ 0a vụựi

Phơng trình đã cho tơng đơng a+
6
1

a
a
2
-6a + 1 =0 có nghiệm a
1
=
3-2
223;2
2
a

- Với a
1
= 3-2
;2
suy ra
2)223()223(
223
1
223)223(
21




n
n
(loại).
- Với a

1
= 3+2
;2
suy ra
2)223(223)223(
2
n
n

Vậy n = 2
Câu 7:
a) Với ba số a,b,c khác 0 và a+ b+c =0 thì
cba
cba
111111
222


b) Rút gọn :
22222222
2007
1
2006
1
1
5
1
4
1
1

4
1
3
1
1
3
1
2
1
1 B


Câu 8 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A =
x
x
x
x 2002
2
2001




Hớng dẫn:
Đk x 2002
Đặt a =
2001x
; và b =
2002x

Ta có a
2
= x -2001 x +2= a
2
+ 2003
và x-2002 = b
2
; x = b
2
+ 2002.
A =
b
b
a
a
b
b
a
a
2002
1
2003
1
20022003
22

Ap dụng bất đẳng thức côsi ta có :
20022003
2003

b
2002
vaứ b
a
a

Do đó A
2002
1
2003
1

; Đẳng thức xảy ra khi
4004
2002
2003
2003
2002
2
2

x
b
a
a
a
b
b


TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 12 -

CÂU 9: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đại Học Vinh)
a) Tính giá trị biểu thức : P = x

3
+ y
3
- 3(x+y) + 2004.
Trong đó
3333
221721217;223223 yx
.
b) Rút gọn :
P =
20072003
1

1713
1
139
1
95
1
51
1

Hớng dẫn :
343221721217
63;223223
3
33
3
33


yyy
xxx

Do đó : P = x
3
+ y
3
- 3(x+y) + 2004= x
3
-3x + y
3
-3y +2004=6+34+2004=2044.
Câu 10:
Tìm số nguyên n thỏa mãn đẳng thức :
888
3
2
3
2
nnnn

Hớng dẫn
:
Gọi x =
888
3
2
3
2
nnnn

Ta có x
3
-3x(-2) -2n =0 suy ra n = (8
3
-2.8.(-2)):2 =280
Câu 11:Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x, y sao cho :
1989 yx

Hớng dẫn : ta có
2213 yx
vì
2213
là số vô tỉ nên
yx ,
là những
căn thức đồng dạng chứa
221

Do đó đặt

221,221 byax
với a, b N ; Ta có : a+b=3.
Vậy




















0
3
;
3
0
;
1

2
;
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a

Các cặp số x, y cần tìm là : (221;884);(884;221);(0;1989);(1989;0)
Đề 4
Câu 1
Với x, y là các số dơng thỏa mãn :
2000)1)(1(.
22
yxyx

Tính giá trị biểu thức : S =
22
11 xyyx

Hớng dẫn :với x,y > 0 ta có :

1)11(
1)1()1)(1(2)1(
.1)1)(1(2

)1)(1()1)(1(2))1)(1(.(2000
222
222222
22222222
222222222




xyyx
xyyxxyyx
yxyxyxxyyx
yxyxxyyxyxyx

Do đó : 2000 = S
2
+1 suy ra S =
1999

Câu 2: Trục căn thức ở mẫu : A =
224
2
33


Hớng dẫn :
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 13 -

A =
3
3
3
33
3
2
3
3
2
3
2
33
33
42
1)2(
)12(4
12)2(
2
)212(2
2
224
2

Câu 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
4444 xxxx

Hớng dẫn :
Câu 4:Rút gọn biểu thức :
13
2
:
22102
62230102


A

Câu 5:
Cho biểu thức
3
32
1
23
32
1115

x
x
x
x
xx
x
A
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.; b) Rút gọn A.; c) So sánh A với
3
2

Câu 6: Không dùng máy tính hãy so sánh:
3232
và
12

Câu 7: Chứng minh đẳng thức :
a
b
a
ba
b
a
b
ab

Với a, b trái dấu.
Hớng dẫn :
Vì a,b trái dấu nên
0
b
a
;Ta có :
a
b
a
ba
a
b
b
a
b
ba
b
a
b
ba
b
a
b
ab

).()(
2

Câu 8: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đà Nẵng)
Thu gọn biểu thức : P =
432
48632


.
Hớng dẫn.
P =
12
432
)432(2)432(

Câu 9:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
22
)2007()2006( xx

Hớng dẫn:
P =
22
)2007()2006( xx
=
12007200620020062002006 xxxxxx

TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 14 -

Vậy P 1, Đẳng thức xảy ra khi :(-x - 2006)(x+2007) 0 -2007 x -
2006
Câu 10:
Rút gọn biểu thức : P=
bcaccbabcaccba 22

Hớng dẫn:
)()(
)()(22
22
cbacba
cbacbabcaccbabcaccba

Nếu a+b c thì P=2
ba

Nếu a+b< c thì P=2
c

Câu 11:Tính giá trị biểu thức : P = x
3
+3x +2 với
3
3
12
1
12

x

Một số bài tập tính giá trị biểu thức
Bài 1: Tính
P




2
2003 .2013 31.2004 1 2003.2008 4
2004.2005.2006.2007.2008

HD: đặt 2003 = x
Tử thức A = [x
2
(x + 10) + 31(x + 1) 1][x(x+5) + 4]
A = (x
3
+ 10x
2
+ 31x + 30)(x + 1)(x + 4)
A = (x
3
+ 2x
2
+ 8x
2
+ 16x + 15x + 30)(x + 1)(x + 4)
A = (x + 2) (x + 3) (x + 1) (x + 4) (x + 5)
Mẫu thức B = (x + 1)(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5)
Suy ra P =
1
A
B


Bài 2: Tính
A = Sin
2
1

0
+ Sin
2
2
0
+ . + Sin
2
89
0
HD:
A = (Sin
2
1
0
+ Sin
2
89
0
) + (Sin
2
2
0
+ Sin
2
88
0
) + .+ (Sin
2
44
0

+ Sin
2
46
0
) + Sin
2
45
0

A = (Sin
2
1
0
+ Cos
2
1
0
) + (Sin
2
2
0
+ Cos
2
2
0
) + . + (Sin
2
44
0
+ Cos

2
44
0
) + Sin
2
45
0

A = 44,5
Bài 3: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
+ 2005x + 1 = 0
và x
3
; x
4
là hai nghiệm của phơng trình x
2
+ 2006x + 1 = 0
Tính B = (x
1
+ x
3
)(x
2
+ x

4
)(x
1
+ x
4
)(x
2
+ x
3
)
HD: Xét phơng trình x
2
+ 2005x + 1 = 0 =>
1 2
1 2
2005
. 1
x x
x x






và phơng trình x
2
+ 2006x + 1 = 0 =>
3 4
3 4

2006
. 1
x x
x x






B = (x
1
2

+ x
1
x
4
+ x
1
x
3
+ x
3
x
4
)( x
2
2

+ x
2
x
3
+ x
2
x
4
+ x
3
x
4
)
B = [x
1
2

+ x
1
(x
3
+ x
4
) + x
3
x
4
] [ x
2
2

+ x
2
( x
3
+ x
4
) + x
3
x
4
]
B = (x
1
2
+ 1 2006x
1
)( x
2
2
2006x
2
+ 1)
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 15 -

B = x
1
2

x
2
2
- 2006x
1
2
x
2
+ x
1
2

+ x
2
2

2006x
2
+ 1 2006x
1
x
2
2

+ 2006
2
x
1
x
2

2006x
1

B = 16088121
Bài 4: Cho các số không âm thoả mãn: a
2005
+ b
2005
= a
2006
+ b
2006
= a
2007
+
b
2007
.
Tính giá trị của biểu thức P = a + b
HD:





2005 2005
2005 2005 2006 2006
2005 2005 2007 2007 2006 2006
1 1 0

1 1 0
a a b b
a b a b
a b a b a a b b












nhân 2
vế với a






2006 2005
2006 2006
1 1 0(1)
1 1 0(2)
a a ab b
a a b b

Từ (1) và (2) => b
2005
[a(b 1) b(b 1)] = 0
b
2005
( b 1)( a b) = 0 (*)
Vì a, b 0 Nên (*)
1
b
a b






Với b = 1 => a = 1 => P = 2
Với a = b => a = b = 1 => P = 2
Thật vậy a = b. Thay vào ta có a
2005

+ b

2005

= a
2006
+ b
2006
2a
2005
(1 a) = 0
a = 1 => b = 1
Bài 5: Tính
a) A =
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x a x b x b x c x c x b
c a c b a b a c a b c b




b) B =
( )( )( )
( )( )( )
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x x y y z x z




(Với a, b, c đôi một khác nhau cho trớc)

HD: a) Xét đa thức A là đa thức bậc 2 đối với biến x
=> A có nhiều nhất 2 nghiệm
+ Với x = - a => A = 1
+ Với x = - b => A = 1
b) Tơng tự B là đa thức bậc 3 đối với biến x hoặc biến y hoặc biến z
=> B có nhiều nhất 3 nghiệm
+ Với x = y => B = 0
+ Với x = z => B = 0
+ Với y = z => B = 0
Bài 6: Tính
a) A =
1 99 9 1 99 9 1 9 99
1 1 1
1 2 1 00 0
1 00 0 1 00 0 1 0 00
1 1 1
1 2 1 99 9









=>

A = 1
với mọi x

=>

B = 0 với mọi x, y , z

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
- Trang 16 -

b)
 
2
4 4 4 4
1 1 1 1
1 9 25
2 1
n
 
   
 
   
   
 
   

 

HD:
a) A
1

=
1999 1999 1999
1 1 1
1 2 1000
    
  
    
    
=
2000.2001 2999
1000!

A
2
=
1000 1000 1000
1 1 1
1 2 1999
    
  
    
    
=
1001.1002 2999
1999!

=> A =
1
2
2999! 1999!.1000!

. 1
1999!.1000! 2999!
A
A
 

b) B =
2 2 2 2 2 5 2 1 2 3 2 1
3 1 1 1 1
3 3 5 5 2 3 2 3 2 1 2 1
n n n n
n n n n
   
       
    
       
   
       

B =
1 5 3 7 2 3 2 1
3. . . . .
3 3 5 5 2 1 2 1
n n
n n
 

 

B =

2 1
2 1
n
n




Bµi 7: TÝnh
Cho x > 0 tho¶ m·n x
2
+
2
1
x
= 7. TÝnh N = x
5
+
5
1
x

HD: * x
2
+
2
1
x
= 7 
2

1 1
9 3( 0)
x x x
x x
 
     
 
 

* (x
2
+
2
1
x
)(
1
x
x

) = 21  x
3
+ x +
1
x
+
3
1
x
= 21

* x
3
+
3
1
x
= 18
* (x
3
+
3
1
x
)( x
2
+
2
1
x
) = 126  x
5
+
5
1
x
= 123
Bµi 8: Cho a, b, c ≠ 0. TÝnh T = x
2007
+ y
2007

+ z
2007

BiÕt x, y, z tho¶ m·n:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
 
  
 

HD: Tõ
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
 
  
 


2
2
x
a
-
2
2 2 2
x

a b c
 
+
2
2
y
b
-
2
2 2 2
y
a b c
 
+
2
2
z
c
-
2
2 2 2
z
a b c
 
= 0
 x
2
.
2 2
2 2 2

b c
a b c

 
+ y
2
.
2 2
2 2 2
a c
a b c

 
+ z
2
.
2 2
2 2 2
a b
a b c

 
= 0
Do a, b, c ≠ 0 => x = y = z = 0 => T = x
2007
+ y
2007
+ z
2007
= 0.

Bµi 9: Chøng tá x =
3 3
9 4 5 9 4 5
  
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
x
3
 3x  18 = 0
TÝnh x = ?
HD: Tõ x =
3 3
9 4 5 9 4 5
  

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
- Trang 17 -

 x
3
= 9 + 4
5
+ 9 - 4
5
+ 3
   
2
3
9 4 5 9 4 5
 

+ 3
  
2
3
9 4 5 9 4 5
 

 x
3
= 18 + 3
3 3
9 4 5 3 9 4 5
  

 x
3
 3x  18 = 0
*) TÝnh x nh sau x
3
 3x  18 = 0
 x
3
 27  3x + 9 = 0
 (x  3)(x
2
 3x + 6) = 0 (x
2
 3x + 6 ≠ 0)  x  3 = 0  x = 3
Bµi 10: Cho (x +
2

3
x

)(
2
3
y y
 
) = 3. TÝnh x + y
HD: Ta cã (x +
2
3
x

)(
2
3
y y
 
) = 3. Nh©n liªn hîp ta cã
(x -
2
3
x

) (x +
2
3
x


)(
2
3
y y
 
) = 3(x -
2
3
x

)
(x +
2
3
x

) (y +
2
3
y

)(
2
3
y y
 
) = 3(y -
2
3
y


)

2 2
2 2
3 3
3 3
y y x x
x x y y

     


     



2 2
2 2
3 3(1)
3 3(2)
x y x y
x y y x

    


    



Tõ (1) vµ (2) => x + y = 0
Bµi 11: Cho a, b, c tho¶ m·n
2 2 2
0
14
a b c
a b c
  


  


TÝnh Q = 99 + a
4
+ b
4
+ c
4

HD: * Tõ a + b + c = 0 => a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + ac + bc) = 0 => ab + ac + bc
= - 7
=> a

2
b
2
+ a
2
c
2
+ b
2
c
2
+2(a
2
bc + b
2
ac + abc
2
) = 49
=> a
2
b
2
+ a
2
c
2
+ b
2
c
2

+ 2abc(a+ b + c) = 49 => a
2
b
2
+ a
2
c
2
+ b
2
c
2
= 49
* a
2
+ b
2
+ c
2
= 14 => a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2(a
2
b
2
+ a

2
c
2
+ b
2
c
2
) = 196
=> a
4
+ b
4
+ c
4
= 98
* Q = 99 + a
4
+ b
4
+ c
4
= 197
Bµi 12: Cho a lµ sè tù nhiªn ®îc viÕt b»ng 222 ch÷ sè 9. TÝnh tæng c¸c ch÷
sè cña N mµ N = a
2
+ 3
HD: * Cã a = 9999 = 10
222
 1
* a

2
+ 3 = (10
222
 1)
2
+ 3 = 10
444
 2.10
222
+ 1 + 3 = 10
222
.98 + 4
* Tæng c¸c ch÷ sè cña sè N lµ: 9 + 8 + 4 = 21
Bµi 13: TÝnh S =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 3 3 4 2006 2007
        

HD: C¸ch 1* TQ
 
2
2
1 1
1
1
n
n
 


=
 
2 2
2
2
2 1
1
1
n n n
n n
  


=
 
 
 
2 2
2 2
2 1
1
1
1 1
n n
n n n n

 
 

=
 
 
2
2
2 1
1
1
1
n n
n n
 


=
 
2
1
1
1n n
 

 
 

 
=
1 1
1
1

n n
 


C¸ch 2 *) NÕu a, b, c lµ ba sè bÊt k× tho¶ m·n a + b + c = 0
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 18 -

Ta luôn có
2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c





Chứng minh:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1
2
a b c
a b c a b c ab ac bc a b c abc a b c

=>
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c


Bài 14: Tính S =
2
2
2
2007
1 2007
2008


HD: S =
2
2 2
1 1
2007 1
2007 2008




= 2007
2 2
1 1
1

2007 2008





Bài 15: Cho x, y thoả mãn
3 2
2 2 2
2 4 3 0(1)
2 0(2)
x y y
x x y y








Tính Q = x
2
+ y
2

HD: * Từ (1) có : x
3
= - 2y
2

+ 4y 3 = -2(y
2
2y + 1) 1
x
3
= - 2(y 1)
2
1 -1 x -1 (3)
* Từ (2) ta có: x
2
+ x
2
y
2
= 2y (1 + y
2
) = 2y x
2
=
2
2
1
y
y

0
* Do (y 1)
2
= y
2

2y + 1 => y
2
+ 1 2y
=> x
2
=
2
2
1
y
y


2
2
y
y
= 1( y 0) => - 1 x 1 (4)
* Kết hợp (3) và (4) => x = -1. Thay vào (1) hoặc (2) => y = 1
Vậy Q = 2
Bài 16: Tính tổng
a) S = 2 + 2.3 + 3.4 + + 2008.2009
b) S = a + a(a + 1) + + (a + n 1)(a + n) (a, n Z)
HD: a) S = 2 + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + + 2008(2008 + 1)
S = 2 + 2
2
+ 2 + 3
2
+ 3 + + 2008
2

+ 2008
S = (1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + 2008
2
) + ( 1+ 2+ 3 + + 2008)
S=
2008.(2008 1)(2.2008 1)
2009.1004
6



b) ý b tơng tự
Chú ý: S = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
( n N) , S =
.( 1)(2. 1)
6
n n n

Chứng minh bằng quy nạp
* n = 1 => S = 1 đúng
* n = 2 => S = 5 = 1 + 2
2
đúng
* n = 3 => S = 14 = 1+ 2
2
+ 3
2
đúng
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 19 -

* Giả sử đúng với n = k tức là ta có S = 1 + 2
2
+ + k
2
=
.( 1)(2. 1)
6
k k k


Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1
Bài 17: Tính S = 1.3 2.4 + 5.7 6.8 + + 1997.1999 1998.2000
HD: S = - 5 13 21 29 - - 3997
S = -

4002.400
800400
2


Chú ý dãy S = - 5 13 21 29 - - 3997 các số hạng của tổng lập thành
cấp số cộng công sai d = - 8
Bài 18: Tính S =




2 2
2
1 1
1
b c
a
a


+




2 2
2
1 1
1

c a
b
b


+




2 2
2
1 1
1
a b
a
c



Trong đó a, b, c > 0 và thoả mãn ab + bc + ca = 1
HD:
* ab + bc + ca = 1 (a + c)b = 1 ac b =
1
ac
a c



* 1 + b

2
= 1 +

2 2 2 2 2 2
2
2
1 2 2 1 2
( )
ac a c a ac c ac a c
a c
a c




=> 1 + b
2
=





2 2
2
1 1
a c
a c

* Tơng tự
1 + a
2
=





2 2
2
1 1
b c
b c


; 1 + c
2
=





2 2
2
1 1
a b
a b

* S = a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) = ab + ac + ab + bc + ac + bc
S = 2
Bài 19: Tính tổng
S = a
1
+ a
2
+ + a
99
với a
n
=
1
( 1) 1
n n n

( n = 1, 2, 3, , 99)
HD: * Cách 1 a
1
=
1
2 2

; a
2
=
1

3 2 2 3

; .; a
99
=
1
100 99 99 100


* Cách 2: Xét tổng quát
* a
n
=
1
( 1) ( 1)
n n n n

=
( 1) 1
( 1)
n n n n
n n


=
1 1
1
n n

* a
1
= 1 -
1
2
; a
2
=
1
2
-
1
3
; a
3
=
1
3
-
1
4
; .; a
99
=
1
99

1
10

=> S = a
1
+ a
2
+ + a
99
=
9
10

Bài 20: Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn hệ:
2 2
3 3
4 4
3
5
9
17
ax by
ax by
ax by
ax by

TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 20 -

Tính giá trị của biểu thức
A = ax
5
+ by
5
, B = ax
2009
+ by
2009

HD: * Cách 1: ax
2
+ by
2
= 5 =>
3 2
2 3
5
5
ax by x x
ax y by y

Cộng vế với vế => 9 + 3xy = 5(x + y) (1)
* ax
3
+ by
3
= 9 =>
4 3
3 4
9
9
ax by x x
ax y by y








Cộng vế với vế => 17 + 5xy = 9(x + y) (2)
* Từ (1) và (2) =>

2
3
xy
x y






* (x + y)(ax
4
+ by
4
) = 51 ax
5
+ by
5
= 33
* Cách 2: Ta có
1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
3 2 1
5 2 1
9 2 1
17 2 1
ax by
ax by

ax by
ax by





Suy ra ax
5
+ by
5
= 2
5
+ 1
ax
2009
+ by
2009
= 2
2009
+ 1
Tổng quát: ax
n
+ by
n
= 2
n
+ 1
Bài 21: Cho a
2

+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1 (1). Tính S = a
2
+ b
9
+ c
1945

HD: + Ta có
a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 => - 1 a, b, c 1.
Từ (1) => a
3
+ b
3
+ c

3
= 1 a
2
(a 1) + b
2
(b 1) + c
2
(c 1) = 0
Do 1 a, b, c 1 => a
2
(a 1) + b
2
(b 1) + c
2
(c 1) 0
=> a, b, c (0;1) => b
2
b
9
; c
2
c
1945

=> S = 1
Bài 22: Giả x, y, z là các số thực khác 0 thoả mãn:

3 3 3
1 1 1 1 1 1
2(1)

1(2)
x y z
y z z x x y
x y z














Tính giá trị của biểu thức P =
1 1 1
x y z


HD: Từ (1) có :
2
x x y y z z
y z z x x y

2 2 2 2 2 2
2
x z x y xy y z yz xz
xyz



(
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
x z xz xy y z x y xyz yz xyz


xz(x + z) + y
2
(x + z) + xy( x+ z) + yz(x + z) = 0
(x + z)[x(y + z) + y(y + z)] = 0
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 21 -

(x + z)(y + z)(x + y) = 0
x z
y z
x y

Kết hợp với (2), Ta có:
+ Với x = - z => y = 1 => x = z = 0
+ Với y = - z => x = 1 => y = z = 0
+ Với x = - y => z = 1 => x = y = 0 => P = 1

MộT Số BàI TậP THAM KHảO Từ CáC ĐÊ THI VàO TRƯờNG
CHU VĂN AN Và AMSTERDAM
1. Đề thi CVA& Amsterdam 1995 - 1996
Cho các biểu thức: A =
2x 3 x 2
x 2


và B =
3
x x 2x 2
x 2



a) Rút gọn A và B. b) Tìm giá trị của x để A = B.
2. Đề thi CVA& Amsterdam 1996 - 1997
Cho biểu thức: P =
3a 9a 3 a 2 1
1
a a 2 a 1 a 2

a) Rút gọn P. b) Tìm a để |P| = 1. c) Tìm các giá trị
của a N sao cho P N.
3. Đề thi CVA& Amsterdam 1997 - 1998
Cho biểu thức: P =


3 x x 3
x 3 x 2
x x 2 x 2 x 1





a) Rút gọn P. b) Tìm x để P <
15
4
.
4. Đề thi CVA& Amsterdam 1998 1999
Cho biểu thức: P =
xy x xy x
x 1 x 1
1 1
xy 1 1 xy xy 1 xy 1

a) Rút gọn P. b) Cho
1 1
6
x y

. Tìm giá trị lớn nhất của P.
5. Đề thi CVA& Amsterdam 1999 2000
Cho biểu thức: P =
x 3 x 2 x 2 x
: 1
x 2 3 x x 5 x 6 x 1







a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức
1
P
đạt giá trị nhỏ nhất.
6. Đề thi CVA& Amsterdam 2000 2001

TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 22 -

Cho biểu thức: P =
2x 2 x x 1 x x 1
x x x x x




a) Rút gọn P. b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng: biểu thức
8
P
chỉ nhận đúng một
giá trị nguyên.
7. Đề thi CVA& Amsterdam 2001 2002
Cho biểu thức: P =
x 2 x 3 x 2 x
: 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1







a) Rút gọn P. b) Tìm x để

1 5
P 2

.
8. Đề thi CVA& Amsterdam 2002 2003
Cho biểu thức: P =
x 1 x 2 x 1
x 1
x x 1 x x 1





a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
2
x
P

.
9. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 2004
Cho biểu thức: P =
2
x x 2x x 2(x 1)
x x 1 x x 1

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức Q =
2 x
P
nhận giá trị là số nguyên.
10. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 2004
Cho biểu thức: P =
2
x 1 x 1 1 x
2
x 1 x 1 2 x







a) Rút gọn P. b) Tìm x để
P
x
> 2.
11. Đề thi CVA& Amsterdam 2005 2006
Cho biểu thức: P =
x x 1 x x 1 x 1
x x x x x

a) Rút gọn P.
TT Giỏo viờn & Gia s Quc Tun- T:09056712320989824932
E mail:
- Trang 23 -

b) Tìm x để P =
9
2
.
56. Rút gọn các biểu thức :
a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1
c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2


57. Chứng minh rằng
6 2
2 3
2 2

.
58. Rút gọn các biểu thức :




6 2 6 3 2 6 2 6 3 2
9 6 2 6
a) C b) D
2 3

.
59. So sánh :
a) 6 20 v 1+ 6 b) 17 12 2 v 2 1 c) 28 16 3 v 3 2


60. Cho biểu thức :
2
A x x 4x 4


a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau :
a) 11 2 10 b) 9 2 14



3 11 6 2 5 2 6
c)
2 6 2 5 7 2 10



62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c > 0. Chứng minh đẳng thức :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c

63. Giải bất phơng trình :
2
x 16x 60 x 6

.
64. Tìm x sao cho :
2 2
x 3 3 x

.
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:
2
2
1 16 x
a) A b) B x 8x 8
2x 1
x 2x 1




.
67. Cho biểu thức :
2 2
2 2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x

.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số :
0,9999 9
(20 chữ số 9)
71. Trong hai số :
n n 2 v 2 n+1

(n là số nguyên dơng), số nào lớn
hơn ?