Kĩ năng biến đổi căn thức bậc hai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (131.01 KB, 3 trang )

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI
CĂN BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9
(Trần Nam Trung – GV. THCS Trung Kiên)
Ở lớp 7 học sinh đã được làm quen
với căn bậc hai, lên lớp 9 các em được học
tiếp căn bậc 2 và các phép biến đổi căn bậc
2. trong quá trình dạy học chúng tôi thấy
các em còn lúng túng, chưa biết vận dụng
một cách linh hoạt các phép biến đổi căn
bậc hai.
Ở bài viết này, tôi muốn trao đổi
cùng đồng nghiệp và các em học sinh kĩ
năng biến đổi căn bậc hai thường gặp thông
qua các bài tập. Hy vọng qua bài viết này
các thầy cô giáo giúp các em học sinh đỡ
lúng túng khi gặp các bài toán liên quan
đến biến đổi căn bậc hai.
Bài 1. Chứng minh:
a)
( )
32413
2
−=−
b)
13324
−=−−
Giải
Đối với câu a) dễ dàng chứng minh:
( ) ( )
32411.3.2313
22

−=+−=−
Từ đó gợi ý cho ta làm câu b)
( )
1313
313313
313233324
2
−=−−=
−−=−−=
−+−=−−
Bài 2. Tính
a)
30211
+
b)
246625
−−−
c)
96220
−
d)
200822009
−
Giải
a)
( )
65
6566.52530211
2
+=

+=++=+
b)
( ) ( )
232223
22232223
42.22222.323246625
22
−=+−−=
−−−=−−−=
+−−+−=−−−
c)
( )
812128
1281212.82896220
2
−=−=
−=+−=−
d)

( )
1200812008
1200822008200822009
2
−=−=
+−=−
Nhận xét: Xét các biểu thức trong dấu căn
của các bài tập trên ta thấy số trong căn
viết thành tích của hai số nguyên thì tổng
hai số nguyên đó bằng số hạng nằm ngoài
căn. Cụ thể như sau:

134
1.33
+=
=

5611
6.530
+=
=

325
3.26
+=
=

426
4.28
+=
=

12820
12.898
+=
=

120082009
1.20082008
+=
=

Như vậy tất cả các bài toán trên đều có
dạng chung. Ta có bài toán tổng quát sau:
Tính
ba 2
±
với a =x+y ; b= x.y (x,y>0)
Giải.
( )
yx
yxyxyxba
±=
±=±+=±
2
.22
với x>0, y>0.
Với bài toán tổng quát trên, ta dễ dàng giải
quyết tốt các bài toán khó hơn.
Bài 3.Tính
1992.199123983
....1227625223
−
++−+−++=
A
Giải. sử dụng cách biến đổi ở trên ta có
12223
−=+
23625
−=−
341227
−=−

……………………….
199119921992.199123983
−=−
vậy
11992
19911992..342312
−=
−+−+−+−=
A
Bài 4.Tính
a)
422
2
−+
aa
( với a>0)
b)
4222
−+
xx
(
2
≥
x
)
Giải
a)
( ) ( )( ) ( )
( )
2222

22222422
2
2
−++=−++=
=−+−+++=−+
aaaa
aaaaaa
Do a>2.
b)

( ) ( )
( )
2222
222224222
2
+−=+−
=+−+−=−+
xx
xxxx
Do
2
≥
x
Bài 5. Giải phương trình
1168143
=−−++−−+
xxxx
Giải
Đièu kiện
1

≥
x
.
( ) ( )
( ) ( )
( )
*13121
13121
193.12142.121
1168143
22
=−−+−−⇔
=−−+−−⇔
=+−−−++−−−⇔
=−−++−−+
xx
xx
xxxx
xxxx
Nếu
109131031
54121021
109131031
54121021
<⇔<−⇔<−⇔<−−
<⇔<−⇔<−⇔<−−
≥⇔≥−⇔≥−⇔≥−−
≥⇔≥−⇔≥−⇔≥−−
xxxx
xxxx

xxxx
xxxx
Tóm lại
*Với
10
≥
x
thì phương trình (*) có dạng
)/(109131
151213121
mtxxx
xxx
=⇔=−⇔=−⇔
=−−⇔=−−+−−
*Với
51
≤≤
x
thì phương trình (*) có dạng
)/(54121
112511312
mtxxx
xxx
=⇔=−⇔=−⇔
=−−⇔=−−+−−
*Với
105
<<
x
thì phương trình (*) có dạng

11321
=−−+−−
xx
Phương trình có vô
số nghiệm thoả mãn 5<x<10
Vậy phương trình có nghiệm
105
≤≤
x
Trên đây ta đã sử dụng bài toán tổng quát
( )
yxyxxyyxba
+=+=±+=±
2
22
để giải một số bài toán đơn giản.
*) Ta xét tiếp trường hợp tính:
ba
±
Ở đây ta thấy không có hệ số 2 trước
b
như bài toán tổng quát xét ở trên.
Với dạng căn thức này ta có công thức sau:
22
22
baabaa
ba
−−
±
−+

=±
với a>0, b> 0, a
2
>b.
Đây là công thức tiện lợi cho việc biến đổi
một số biểu thức chứa căn bậc hai. Nhưng
thông thường học sinh phải chứng minh
công thức trên rồi mới sử dụng, cách chứng
minh như sau:
Đặt
2
0 xxxbabax
=⇒>⇒−++=
Bình phương hai vế ta được:
2
.2
2
422
2
2
22
baa
x
baa
baax
−+
=⇒









−+
=−+=
Suy ra:
2
.2
2
baa
baba
−+
=−++
(1)
Tương tự, ta có:
2
.2
2
baa
baba
−−
=−−+
(2)
Cộng (1) và (2) suy ra công thức phải
chứng minh.
Trong thực tế khi giảng dạy tôi thấy
học sinh thường lúng túng khi chứng minh
và áp dụng công thức trên. Do đó tôi

thường hướng dẫn học sinh làm như sau:
Tìm cách làm xuất hiện số 2 trước
b
để đưa về dạng bài toán tổng quát
bằng cách: Nhân biểu thức trong căn
( )
ba
±
với 2 rồi chia cho 2, hoặc đưa thừa
số ra ngoài dấu căn ( tuỳ thuộc vào từng bài
toán cụ thể).
Sau đây ta xét một số ví dụ:
Ví dụ 1. Tính
a)
25353
−−−+
b)
230
158
−
−
c)
48135
+−
Giải
a)Ta có:

( ) ( )
02
2

15
2
15
2
2
15
2
15
2
2
526
2
526
25353
22
=−
−
−
+
=
−
−
−
+
=
−
−
−
+
=

−−−+
b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức với
2

( )
( )
2
1
1152
115
2152
15216
230
158
2
=
−
−
=
−
−
=
−
−
c) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
( )
13324
1241125
12213548135
2

−=−=
−=+−=
+−=+−
Ví dụ 2. Tính
a)
7474
+−−
b)
2116116
−−−+
c)
( )
154.610
+−
Giải
a) Cách 1:
( )
2
2
2
2
1717
...
2
728
2
728
7474
−=
−

=
+−−
==
+
−
−
=+−−
Cách 2: Đặt A=
7474
+−−
Nhận xét: Ta có
0074747474
<⇒<+−−⇔+<−
A
Bình phương hai vế:
( )( )
2271628
7474287474
2
2
2
2
−=⇒=−−=⇔
+−−=⇔





