SKKN Bồi dưỡng học sinh tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề môn đại số 8

A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề.
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Hiện nay việc đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ
bức thiết để chấn hưng nền giáo dục nước nhà. Đổi mới phương pháp dạy học ở
đây phải được hiểu là: "Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo,
khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của
người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại
vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu của
học sinh bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề".
Trong những năm qua ngành Giáo dục và Đào tạo đã thực hiện đổi mới
phương pháp dạy học đó là: "Phương pháp tích cực lấy học sinh làm trung tâm,
đảm bảo không chỉ truyền thụ kiến thức mà phải giáo dục tính năng động sáng
tạo và hướng dẫn cho học sinh năng lực cũng như phương pháp tự học".
Để giúp học sinh hoà nhập được cuộc sống sôi động công nghiệp hoá -
hiện đại hoá đất nước, mọi người tự học, tự đào tạo thì ngay trên ghế nhà trường
học sinh phải được dạy theo phương pháp tự học, tự sáng tạo, năng lực tự giải
quyết vấn đề.
Việc thay SGK đã nhằm khắc phục những hạn chế trên của việc đổi mới
phương pháp dạy học. Tuy nhiên người giáo viên khi giảng dạy tuỳ đối tượng
học sinh mà khai thác những kiến thức cơ bản của sách giáo khoa một cách hiệu
quả, giúp học sinh vận dụng những điều đã được học để giải quyết những vấn đề
thực tế (đơn giản) phù hợp với năng lực của mình. Như đo đạc, tính toán, vẽ
hình, mô phỏng….
Người dạy cần phải tránh việc truyền thụ kiến thức một chiều (đây là một
thực trạng tồn tại rất nhiều năm của giáo dục), bởi vậy sẽ làm cho học sinh thụ
động, kém linh hoạt, khó nảy sinh được năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề.
Trong thời đại bùng nổ thông tin người dạy cần phải tích cực hoá hoạt động dạy
2
học của mình bằng việc sử dụng, ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy
một cách khéo léo, không lạm dụng công nghệ thông tin.

2. Ý nghĩa của giải phảp mới.
Giúp làm tăng khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh
Học sinh biết suy luận theo hướng logic (suy luận theo bản đồ tư duy, suy
luận thao sơ đồ phân tích….)
Giúp học sinh biết liên hệ giữa các vấn đề, dẫn tới hiệu quả học tập tốt
hơn.
Học sinh biết cách trao đổi thông tin với bạn thông qua hoạt động dạy học
hợp tác trong nhóm của giáo viên.
Giúp học sinh yêu thích môn học và say mê với môn học. Từ đó làm giảm
những suy nghĩ tiêu cực trong học sinh.
3. Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm.
Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện nghiên cứu tại trường THCS
Thuần Hưng, huyện Khoái Châu, tỉnh Hưng Yên từ năm học 2012-2013 đến
năm học 2012-2013.
Đối tượng cần nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm ở đây là các em học
sinh khổi 8 của nhà trường.
Nội dung nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm chính là: "Bồi dưỡng học
sinh tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”.
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lý luận.
Sáng kiến đề cập tới những vấn đề cụ thể trong giảng dạy bộ môn Toán ở
trường THCS để minh hoạ cho việc đổi mới phương pháp dạy học, dạy như thế
nào để phát huy được tư duy sáng tạo của học sinh trên lớp đồng thời đặt ra
được những vấn đề để học sinh tự suy nghĩ giải quyết vấn đề rèn luyện tính độc
lập, sáng tạo ra tri thức mới khi học tập ở trường và tự học ở nhà.
Sau cùng là đúc kết thành bài học chung nhất để học sinh có thể nhớ và
vận dụng trong quá trình tự học của mình.
3
Hiện nay nhiều ý kiến cho rằng kiến thức đưa vào trong chương trình phổ
thông là quá tải đối với học sinh nên vấn đề đặt ra với người thày là với những

kiến thức cơ bản đó phải tìm ra cách dạy như thế nào để phát huy tư duy sáng
tạo khả năng tự giải quyết vấn đề để học sinh cảm thấy nhẹ nhàng khi tiếp thu
kiến thức.
Sau đây tôi xin minh hoạ một số vấn đề cụ thể:
Ở chương trình lớp 8 học sinh đều được học các hằng đẳng thức sau:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2

(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2

a
2
- b
2
= (a-b)(a+b)
(a+b)
3
= a
3
+ 3a
2

b + 3ab
2
+ b
3

(a-b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
a
3
- b
3
= (a - b)(a
2

+ ab + b
2
)
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
(a - b - c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
- 2(ab - bc + ca)
(a - b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
- 2(ab + bc - ca)

(a + b - c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab - bc - ca)
Với các hằng đẳng thức đáng nhớ học sinh có thể giải quyết được rất
nhiều bài toán mà SGK cũng như sách tham khảo, các dạng toán như: tính
nhanh, phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức, tìm giá trị lớn nhất –
giá trị nhỏ nhất của biểu thức…
2. Cơ sở thực tiễn.
Trong giảng dạy thì một số giáo viên ngại đào sâu kiến thức dẫn tới việc
giảng dạy đa phần là truyền thụ một chiều làm giảm hiệu quả của hoạt động dạy
học, hơn nữa việc ít liên hệ thực tế cuáng làm cho học sinh cứng nhắc trong việc
học, dẫn tới khó vận dụng vào các vấn đề liên quan.
Học sinh từ việc học thụ động nên việc học tập của các em chưa hiệu quả
dẫn tới một số em chán nản trong việc học. Một số em ít được quan tâm từ gia
4
đình nên kết quả học tập còn thấp, phần hằng đẳng thức các em ghi nhớ không
tốt nên việc vận dụng vào thực hành giải toán hiệu quả chưa cao.
Nhà trường vẫn còn thiếu một số phòng học chức năng dẫn tới khó khăn
trong một số giờ học, hệ thống máy chiếu không ổn đinh nên các giáo viên gặp
khó khăn trong việc minh hoạ, mô phỏng nội dung bài giảng.
Chất lượng học sinh vẫn không đồng đều, vẫn còn nhiều học sinh trung
bình và yếu.
3. Các biện pháp tiến hành.
Bản thân là một giáo viên toán được đào tạo bài bản và hiện nay tôi đã tốt

nghiệp ĐHSP được 4 năm cho nên khả năng nắm vững bản chất của vấn đề là
tương đối vững, cùng với sự trau dồi chuyên môn nghiệp vụ với các đồng
nghiệp thì phương pháp giảng dạy của tôi cũng đã được các cấp ghi nhận. Với
tinh thần yêu nghề, tôi sẽ ra sức phấn đấu học tập và cống hiến cho sự nghiệp
trồng người của mình.
Trong giảng dạy Toán ở trường THCS, SGK thường chỉ nêu ra những
kiến thức cơ bản tối thiểu cần truyền thụ cho học sinh, nếu giáo viên chỉ truyền
thụ một chiều thì học sinh sẽ hình thành thói quen hời hợt trong nhận thức, trong
vận dụng, các em sẽ không cảm thấy hứng thú môn học, sau này các em sẽ
không tự tin để tự nghiên cứu, tự sáng tạo trong học tập cũng như trong thực tế
đời sống sản xuất và xử lý những vấn đề phức tạp trong xã hội. Nên nhiệm vụ
của giáo viên là kích thích tính sáng tạo, từ đó học sinh nhìn thấy bản chất của
bài toán gắn với thực tế hơn.
Việc dạy các hằng đẳng thức trên không khó lắm, ở đây tôi muốn đề cập
đến vấn đề phát huy tư duy sáng tạo và tự học, tự tìm ra kiến thức cho học sinh
như thế nào. Đó là một yêu cầu rất lớn đối với mỗi người giáo viên.
Trong bài giảng, tôi hình thành một hệ thống câu hỏi, đặt vấn đề để thông
qua việc trả lời các câu hỏi học sinh giải quyết được vấn đề, các kiến thức có thể
đưa ra trong giờ học (Theo cách bồi dưỡng cập nhật hoặc trong buổi bồi dưỡng
theo chuyên đề).
4. Thời gian tạo ra giải pháp
5
Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi đã thực hiện kể từ
đầu năm học 2010 - 2011 đến năm học 2012-2013 đối với các em học sinh lớp 8
của nhà trường.
B - NỘI DUNG
I- Mục tiêu
Từ những vấn đề đã nêu ở trên và với nhiệm vụ là một giáo viên giảng
dạy môn toán ở trường phổ thông thì việc giảng dạy trước hêt phải đảm bảo
đúng và đủ nội dung chương trình SGK do Bộ GD-ĐT quy định còn phải bồi

dưỡng học sinh giỏi tạo lòng cốt cho các em tới đây còn có thể đi thi học sinh
giỏi cấp huyện, cấp tỉnh đòi hỏi tôi phải tập trung nghiên cứu, đúc rút kinh
nghiệm về đổi mới phương pháp giảng dạy để không những trước mắt mà lâu
dài hoàn thành được nhiệm vụ và mục tiêu đào tạo. Sáng kiến này được đúc rút
từ thực tế giảng dạy ở lớp 8 trường THCS Thuần Hưng từ năm học 2010 - 2011
đến năm học 2012-2013. Đây là vấn đề cấp bách và đòi hỏi liên tục được bổ
sung trong những năm tới, tôi sẽ cố gắng minh hoạ bằng các ví dụ cụ thể đồng
thời rút ra những kết luận chung nhất của đề tài.
II- Phương pháp tiến hành.
1. Mô tả giải pháp của đề tài.
Giải pháp được cụ thể hoá thông qua một số ví dụ cũng như như bài toán
cụ thể
1- Từ hằng đẳng thức (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
Với mọi a, b ta có (a - b)
2
≥ 0
Từ bất đẳng thức đơn giản đó GV đặt những câu hỏi để học sinh chỉ cần
thực hiện một số biến đổi nhỏ đã có thể dẫn đến những bất đẳng thức, những
mối quan hệ giữa các biểu thức mà ứng dụng của nó trong giải các bài tập đại số
và hình học rất có hiệu quả.
Chẳng hạn:
- So sánh a
2
+ b
2

với 2ab
6
(a - b)
2
≥ 0 ⇔ a
2
- 2ab + b
2
≥ 0
⇔ a
2
+ b
2
≥ 2ab (1)
- So sánh (a + b)
2
với 4ab
Cộng vào cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 2ab ta có (a + b)
2
≥ 4ab (2)
- Biến đổi bất đẳng thức (1) theo một hướng khác:
Cộng vào 2 vế của bất đẳng thức đó với: a
2
+ b
2
ta lại có bất đẳng thức:
2(a
2
+ b
2

) ≥ (a + b)
2
(3)
Từ 3 bất đẳng thức vừa phát hiện
a
2
+ b
2
≥ 2ab (1)
(a + b)
2
≥ 4ab (2)
2(a
2
+ b
2
) ≥ (a + b)
2
(3)
(Cả 3 bất đẳng thức trên đều tương đương với bất đẳng thức (a - b)
2
≥ 0 và
do đó chúng xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b)
Ta dễ dàng suy ra bất đẳng thức:
a
2
+ b
2
≥
2

b) (a
2
+
≥ 2ab (*)
Ý nghĩa của (*) là nêu lên mối quan hệ giữa tổng hai số với tích của
chúng hoặc với tổng các bình phương của 2 số đó.
Áp dụng các bất đẳng thức này ta có thể giải được nhiều bài tập về chứng
minh bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Cho a + b = 1
Chứng minh rằng a
2
+ b
2
≥
2
1
; a
4
+ b
4
≥
8
1
; a
8
+ b
8
≥
128
1

Giải: Áp dụng bất đẳng thức (3) và giải thiết ta có:
a
2
+ b
2
≥
2
b) (a
2
+
=
2
1
7
a
4
+ b
4
≥
2
)
2
b
2
(a
2
+
=
2
2

1
2
)(
=
8
1
a
8
+ b
8
≥
2
)
4
b
4
(a
2
+
=
2
8
1
2
)(
=
128
1
Các bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi a = b =
2

1
Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0
Chứng minh rằng: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8 abc
Giải: Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:
(a + b)
2
≥ 4ab
(b + c)
2
≥ 4bc
(c + a)
2
≥ 4ca
Vì a, b, c > 0 suy ra:
[(a + b)(b + c)(c + a)]
2
≥ 64 a
2
b
2
c
2
⇒ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
(Vì a, b, c > 0 nên abc > 0 và (a + b)(b + c)(c + a)> 0)
Có đẳng thức khi: a = b = c
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có:
a
4
+ b
4

+

c
4
+ d
4
≥ 4abcd
Giải: áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
a
4
+ b
4
= (a
2
)
2
+ (b
2
)
2
≥ 2a
2
b
2
c
4
+ d
4
= (c
2

)
2
+ (d
2
)
2
≥ 2c
2
d
2
Suy ra: a
4
+ b
4
+

c
4
+ d
4
≥ 2a
2
b
2
+ 2c
2
d
2
= 2(a
2

b
2
+ c
2
d
2
)
Lại áp dụng bất đẳng thức (1) một lần nữa ta có:
a
2
b
2
+ c
2
d
2
= (ab)
2
+ (cd)
2
≥ 2abcd
Suy ra: a
4
+ b
4
+

c
4
+ d

4
≥ 4abcd
8
Ví dụ 4: Cho a + b + c + d = 2
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+

c
2
+ d
2
≥ 1
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
a
2
+ b
2
≥ 2ab
b
2
+ c
2
≥ 2bc
c
2
+ d
2

≥ 2cd
a
2
+ c
2
≥ 2ac
a
2
+ d
2
≥ 2ad
b
2
+ d
2
≥ 2bd
Suy ra 3(a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
) ≥ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
⇒ 4(a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
) ≥ a
2
+ b
2
+c
2
+ d
2
+ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
⇒ 4(a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
) ≥ (a + b + c + d)
2
= 2
2
= 4
⇒ a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
≥ 1
Sau đó áp dụng bất đẳng thức (1), (2), (3) vào giải những bài tập phức tạp
hơn.
Ví dụ 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1
Chứng minh rằng: b + c > 16abc
Giải: Từ giả thiết ta có:
1 = [a + (b + c)]
2
≥ 4a(b + c) (áp dụng bất đẳng thức (2))
⇒ b + c ≥ 4a(b + c)
2
(do b + c > 0)
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: (b + c)
2
≥ 4bc
Từ các bất đẳng thức trên suy ra: b + c ≥ 4a. 4bc = 16abc (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi: a = b + c ⇔ a =
2
1
b = c b = c =
4
1
9
Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta có:
(a + b)
2
(b + c)

2
≥ 4abc(a + b + c)
Giải:
(a + b)
2
(b + c)
2
= (ab + ac + b
2
+ bc)
2
= [ ac + (a + b + c)b]
2
Áp dụng bất đẳng thức (2) cho 2 số là ac và (a + b + c)b ta có:
[ ac + (a + b + c)b]
2
≥ 4abc(a + b + c)
Hay (a + b)
2
(b + c)
2
≥ 4abc(a + b + c) (đpcm)
* Từ bất đẳng thức (1) ta đề xuất một hướng khai thác để các em tìm ra
kiến thức mới cao hơn.
- Từ a
2
+ b
2
≥ 2ab em có suy nghĩ gì về a
2

+ b
2
+ c
2
(Có học sinh trả lời ngay a
2
+ b
2
+ c
2
≥ abc sai)
- Thử xét với a
2
+ b
2
? (a
2
+ b
2
≥ 2ab)
b
2
+ c
2
? (b
2
+ c
2
≥ 2bc)
a

2
+ c
2
? (a
2
+ c
2
≥ 2ac)
Cộng bất đẳng thức cùng chiều trên ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca (4)
- Hãy xét a
4
+ b
4
+ c
4

(áp dụng bất đẳng thức (4) ta có a
4
+ b
4
+ c
4
≥ a

2
b
2
+ b
2
c
2
+ a
2
c
2
)
Lại áp dụng bất đẳng thức (4) một lần nữa ta có:
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ a
2
c
2
≥ ab
2
c + bc
2
a + ba

2
c = abc(a + b + c)
Từ các kết quả trên suy ra:
a
4
+ b
4
+ c
4
≥ abc (a+b+c)
- Mở rộng thêm với 5 số a, b, c, d, e xem sao?
* Hướng dẫn: Xét (
2
a
- m)
2
≥ 0 với m = a + b+ c+ d+ e xem sao?
10
Sẽ có kết quả: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
≥ a(b + c + d + e)
* Từ bất đẳng thức (1) đề xuất một hướng khác, ta lại có một bất đẳng

thức mới có nhiều ứng dụng trong giải toán:
- Nếu a, b dương hãy chứng minh bất đẳng thức:
b
a
+
a
b
≥ 2
(Chỉ việc chia 2 vế bất đẳng thức (1) cho ab > 0 ta được bất đẳng thức
b
a
+
a
b
≥ 2 (5))
- Hãy phát biểu bất đẳng thức (5) thành lời? nếu b = 1 thì ta có kết quả
như thế nào? (Tổng của một số dương với số nghịch đảo của nó thì không bé
hơn 2, nếu b=1 thì a +
a
1
≥ 2).
Trên đây mới chỉ là những ví dụ về ứng dụng của 3 bất đẳng thức được
khai thác từ bất đẳng thức đơn giản: (a - b)
2
≥ 0 trong một dạng toán chứng minh
bất đẳng thức, thực ra các bất đẳng thức này còn áp dụng để giải một số dạng
toán khác nữa. Chẳng hạn dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một
biểu thức, nhưng vì mục đích của sáng kiến này nên tôi không trình bày kỹ vấn
đề đó.
Nếu khai thác bất đẳng thức (a + b)

2
≥ 4ab theo một hướng khác lại có thể
giúp học sinh suy nghĩ tìm ra những kiến thức mới bổ ích.
Bài toán:
Chứng minh rằng:
+ Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi
hai số đó bằng nhau.
+ Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và
chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Để chứng minh 2 mệnh đề trên ta dùng bất đẳng thức (a + b)
2
≥ 4ab
11
- Nếu hai số a và b có a + b = k (k là hằng số) thì từ (a + b)
2
≥ 4ab suy ra
ab ≤
4
2
k
do đó max(ab) =
4
2
k
khi và chỉ khi a = b.
- Nếu hai số dương a và b có ab = p (hằng số) thì từ (a + b)
2
≥ 4ab suy ra
(a + b)
2

≥ 4p suy ra (a + b) nhỏ nhất ⇔ (a + b)
2
nhỏ nhất
Do đó min (a + b)
2
= 4p khi và chỉ khi a = b
- Từ kết quả vừa chứng minh, em có nhận xét gì về diện tích của các hình
chữ nhật có cùng chu vi (Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông
là hình chữ nhật có diện tích lớn nhất - đây là cách phát biểu của mệnh đề trên
với điều kiện x, y > 0)
- Có nhận xét gì về chu vi của các hình chữ nhật có cùng diện tích (Trong
các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất)
Từ định lý vừa chứng minh ta có thêm một công cụ để giải toán chí ít là
tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và giải phương trình.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của P = x(8 - x).
(Hướng dẫn: Nhận xét gì về tổng của x và 8 - x ?; P
max
= 16 ⇔ x = 4).
2- Từ hằng đẳng thức :
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
Với học sinh THCS việc tìm ra các bất đẳng thức từ đẳng thức là cách làm
quen thuộc và hiệu quả.

- Từ (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca
Áp dụng bất đẳng thức a
2
+ b
2
≥ 2ab ta có:
2ab + 2bc + 2ca ≤ (a
2
+ b
2
) + (b
2
+ c
2
) + (c
2
+ a
2
)
⇒ 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a
2
+ b

2
+ c
2
)
Từ các kết quả trên suy ra:
(a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) (5)
- Hãy phát biểu bất đẳng thức (5) thành lời: Bình phương của tổng 3 số
không lớn hơn ba lần tổng các bình phương của chúng.
12
- Nếu a + b + c = 1 thì có bất đẳng thức nào? (a
2
+ b
2
+ c
2
≥
3
1
) (6')
3- Từ hằng đẳng thức: a
3
+ b

3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
- Hãy chứng minh bất đẳng thức:
2
3
b +
3
a
≥ (
2
b a +
)
3
(Với a>0; b>0) (7)
* Hướng dẫn: Sử dụng phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức
(7):
2
3
b +
3
a
- (
2
b a +
)
3

≥ 0
⇔ (
2
b a +
)[a
2
- ab + b
2
- (
2
b a +
)
2
] ≥ 0
⇔ (
2
b a +
)(3a
2
+ 3b
2
- 6ab) ≥ 0
⇔ 3(
2
b a +
)(a - b)
2
≥ 0
Với a>0; b>0 bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, ta có đpcm
4- Từ hằng đẳng thức (a

2
+ b
2
)( c
2
+ d
2
) = (ac + bd)
2
+ (bc - ad)
2
- Em có nhận xét gì về các số hạng ở vế phải (không âm).
- Nếu bỏ đi một số hạng thì sẽ xảy ra điều gì?
(Vì (bc - ad)
2
≥ 0 dấu "=" xảy ra ⇔
b
a
=
d
c
nên ta có ngay bất đẳng thức:
(a
2
+ b
2
)( c
2
+ d
2

) ≥ (ac + bd)
2
dấu "=" xảy ra ⇔
b
a
=
d
c
)
(Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với 4 số)
- Em thử viết bất đẳng thức với 6 số, 8 số xem sao?
Với 6 số: a, b, c, và m, n, t khác 0 ta có:
(a
2
+ b
2
+ c
2
)( m
2
+ n
2
+ t
2
) ≥ (am + bn + ct)
2
13
dấu "=" xảy ra ⇔
m
a

=
n
b
=
t
c
Với 2n số thực a
1
, a
2
, a
3
a
n
và b
1
, b
2
, b
3
b
n

Ta có bất đẳng thức:
(a
2
1
+ a
2
2

+ + a
2
n
)( b
2
1
+ b
2
2
+ + b
2
n
) ≥ (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+
.
+ a
n
b
n
)
2
dấu "=" xảy ra ⇔
1

b
1
a
=
2
b
2
a
=
3
b
3
a
= =
n
b
n
a
Đây chính là bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki tổng quát.
- Việc tự suy nghĩ phát hiện ra kiến thức mới sẽ làm cho học sinh tự tin,
hăng hái học tập hơn. Trong quá trình giảng dạy nếu thày giáo luôn chú ý bồi
dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề thì dần dần sẽ
hình thành trong các em một thói quen tư suy độc lập, sáng tạo, khả năng tự học.
2. Phạm vi áp dụng.
* Để thực hiện được sáng kiến này:
- GV phải chuẩn bị chu đáo:
+ Về giáo án giảng dạy như: Có hệ thống câu hỏi gợi mở phù hợp, thể
hiện rõ hoạt động của thày và trò, đặc biệt là nội dung bài tập năng cao, vận
dụng giáo viên phải chuẩn bị thật chu đáo (có thể chuẩn bị nhiều cách giải cho
một bài toán và hướng khái thác)

- Trong giờ học GV phải :
+ Tạo được sự thi đua giữa cá nhân với cá nhân trong học tập, luôn
hướng HS tới những kiến thức tìm hiểu kế tiếp
+ Giúp HS tích cực quan sát, suy luận, tìm tòi, trao đổi ý kiến trong
nhóm, làm bài tập vận dụng sau mỗi phần
- Những yêu cầu đó đòi hỏi GV phải có thời gian, kinh phí, tâm huyết,
yêu nghề, yêu trẻ, có lòng say mê tìm tòi sáng tạo. GV cũng cần rèn cho HS ý
thức, thói quen học tập nghiêm túc, rèn kĩ năng quan sát, làm việc theo sự hướng
dẫn của GV. Đối với HS cần phải có tinh thần học tập bộ môn những bạn học
14
khá giỏi giúp đỡ những bạn học yếu hơn mình có như vậy giờ học mới đảm bảo
đúng tiến độ của giờ lên lớp.
* Đối tượng
Nhóm phương pháp dạy học: Phương pháp nêu và giải quyết vấn đề phối
kết hợp với phương pháp hoạt động nhóm, phương pháp sử dụng bản đồ tư duy,
phương pháp vấn đáp, phương pháp đàm thoại
* Phạm vi
Tất cả các giáo viên giảng dạy bộ môn toán đều có thể áp dụng vào giảng
dạy cho học sinh lớp 8 và lớp 9
3. Hiệu quả.
Trong những năm qua theo sự chỉ đạo của ngành giáo dục và đào tạo: Đổi
mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục "Phương pháp tích cực lấy học sinh làm
trung tâm" và "Bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn
đề" tôi đã nắm bắt chủ trương đó và vận dụng vào thực tế giảng dạy vừa đảm
bảo mặt bằng kiến thức vững chắc, vừa đi sâu đào tạo mũi nhọn trong quỹ thời
gian có hạn phải chuyển tải đến học sinh một lượng kiến thức vừa chắc, vừa sâu,
học sinh nắm được kiến thức một cách nhẹ nhàng, hiểu bài càng thấy say mê
học tập.
Tôi có làm một bài tập khảo sát với hai nhóm học sinh của hai lớp: Lớp
thực nghiệm 8A (lớp được giảng dạy theo sáng kiến) và lớp đối chứng 8B (lớp

giảng dạy theo lối thông thường) với đề bài như sau:
Đề bài:
Câu 1: Chứng minh rằng: (a + b)
2

≤
2 (a
2
+ b
2
) với mọi a, b.
(a + b)
2

≤
2(a
2
+ b
2
) (1)
Câu 2: Cho hai số a, b thoả mãn: a + b = 1
Chứng minh: a
3
+ b
3
+ab
≥

2
1

(3)
Câu 3: Cho a
2
+ b
2

≤
2 . Chứng minh : a + b
≤
2 (5)
Đáp án và biểu điểm:
Câu 1: 3điểm
15
Ta có (1)
⇔
a
2
+2ab +b
2
- 2a
2
- 2b
2

≤
0

⇔
-(a
2

- 2ab + b
2
)
≤
0 1 điểm

⇔
-( a - b)
2

≤
0 (2) 0,75 điểm
Bất đẳng thức (2) luôn đúng với mọi a, b nên bất đẳng thức (1) luôn đúng
với mọi a, b (đpcm). 0,75 điểm
Dấu “=” xảy ra
⇔
a = b 0,5 điểm
Câu 2: 4 điểm
Ta có: (3)
⇔
a
3
+ b
3
+ab -
2
1

≥
0 0,5 điểm

⇔
(a + b) (a
2
- ab + b
2
) +ab -
2
1

≥
0 0,5 điểm

⇔
a
2
- ab + b
2
+ ab -
2
1
≥
0 (vì a + b = 1) 0,5 điểm

⇔
a
2
+ b
2
-

2
1
≥
0 0,5 điểm

⇔
2a
2
+ 2b
2
- 1
≥
0 0,5 điểm

⇔
2a
2
+ 2(1 - a)
2
- 1
≥
0 ( vì b = 1 - a) 0,5 điểm

⇔
4 (a -
)
0
2
1
2

≥
(4) 0,5 điểm
Bất đẳng thức (4) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên
ta có (3) đúng (đpcm.
Dấu “=” xảy ra
⇔
a =
2
1
= b 0,5 điểm
Câu 3: 3 điểm
Giả sử: a + b > 2 0,5 điểm
⇔
a
2
+ 2ab + b
2
> 4 (5) 0,5 điểm
Ta có: (a - b)
2

≥
0
⇔
a
2
- 2ab + b
2

≥

0 0,5 điểm
⇔
2ab
≤
a
2
+ b
2
⇔
a
2
+ b
2
+ 2ab
≤
2(a
2
+ b
2
) 0,5 điểm
Mặt khác theo giả thiết ta có: a
2
+ b
2

≤
2
⇔
2(a
2

+ b
2
)
≤
4 0,5 điểm
Suy ra: a
2
+ b
2
+ 2ab
≤
4 (6) mâu thuẫn với (5). vậy phải có a + b
≤
2.
16
Dấu “=” xảy ra
⇔
a = b = 1 0,5 điểm
Khi làm bài thì thấy học sinh lớp thực nghiệm 8A làm bài rất nhanh và rất
hiệu quả, các em cũng cảm thấy rất hứng thú với cách học vừa qua và từ đó thấy
yêu thích môn học hơn. Còn đối với các em lớp đối chứng 8B thì làm bài có
phần chậm hơn và khó khăc trong việc vận dụng các hằng đẳng thức vào chứng
minh bài toán.
4. Kết quả thực hiện
+ Kết quả kiểm tra:
Lớp Số bài kiểm tra
Số bài đạt điểm Trung bình trở lên
0 ,1 ,2 3 ,4 5 ,6 7 ,8 9 ,10 Số lượng %
8B 35 2 8 14 9 2 25 71,4%
8A 35 0 5 12 12 6 30 85,7%

* Phân tích kết quả:
- Qua kiểm tra khi thống kê kết quả các bài kiểm tra kết hợp với quan sát
cách làm bài của học sinh tôi nhận thấy: Điểm trung bình và đặc biệt điểm khá -
giỏi ở lớp thực nghiệm ( 8A ) cao hơn hẳn lớp đối chứng ( 8B)
- Về chất lượng lĩnh hội kiến thức: Việc tích cực hoá các hoạt động nhận
thức của học sinh bằng cách kết hợp các phương pháp dạy học một cách linh
hoạt vào bài giảng đã nâng cao hiệu quả học tập của HS, giúp các em hiểu bài
sâu sắc, các em vận dụng kiến thức vào bài tập, trả lời câu hỏi tốt hơn.
- Về khả năng tư duy: Qua kiểm tra bài cũ, hoàn thành phiếu học tập, làm
bài tập vận dụng cho thấy năng lực tư duy ở lớp thực nghiệm tốt hơn hẳn lớp đối
chứng thể hiện ở kĩ năng trả lời câu hỏi, kĩ năng vận dụng kiến thức vào làm bài
tập, đặc biệt là bài tập đòi hỏi tư duy cao.
- Về khả năng tự học: Trong quá trình thực nghiệm khả năng tự học thể
hiện ở kĩ năng đọc sách, nghiên cứu tài liệu, quan sát, phân tích, phối kết hợp
các phương pháp của các em được nâng lên rõ rệt do đó việc nắm bắt, vận
dụng kiến thức làm bài tập, trả lời câu hỏi nhanh hơn, hiệu quả đạt cao hơn
- Vế độ bền kiến thức: Đối chiếu kết quả ở phần kiểm tra:
17
+ Ở lớp thực nghiệm có tỉ lệ HS đạt khá - giỏi cao hơn nhiều, tỉ lệ HS yếu ở
lớp thực nghiệm có nhưng không nhiều . Học sinh ở lớp thực nghiệm nắm bài
tốt hơn và nhớ bài lâu hơn, bền vững hơn, vận dụng kiến thức chắc chắn, linh
hoạt hơn.
+ Lớp đối chứng 8B tôi dạy bằng phương pháp thuyết trình, kết hợp với
phương pháp hỏi đáp, giảng giải thì hiệu quả giảng dạy rất hạn chế, thiếu thời
gian, không thực hiện được đầy đủ các bước lên lớp, không rèn được kĩ năng
tính toán cho học sinh, học sinh tiếp thu kiến thức rời rạc, chưa khái quát hết
được kiến thức có ở trong bài, khả năng suy luận chưa sâu
- Như vậy cùng là một bài học nhưng cách truyền thụ khác nhau, cách khai
thác khác nhau đã phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của HS, đem
lại kết quả giảng dạy đạt chất lượng cao hơn hẳn. Điều đó cho thấy: Việc tích

cực hoá hoạt động nhận thức của HS bằng cách phối hợp các phương pháp gỉảng
dạy linh hoạt đã xác định hướng nghiên cúu của tôi là có hiệu quả.
* Những kinh nghiệm rút ra từ đề tài:
Qua việc giảng dạy tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh bằng
cách khai thác các hằng đẳng thức đáng nhớ, vận dụng vào chứng minh đẳng
thức, hằng đằng thức đã giúp học sinh nâng nao năng lực nhận thức, năng lực
vận dụng, từ đó bồi dưỡng cho các em tư duy sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề
một cách rất hiệu quả. Qua đây tôi nhận thấy để học sinh ham mê môn học và
học sinh phát huy được trí sáng tạo, năng lực nhận thức, tư duy sâu thì ta cần có
một vài kinh nghiệm sau:
1- Giáo viên phải nghiên cứu kĩ bài giảng. Phải chuẩn bị chu đáo đồ dùng
cho từng tiết dạy, phải có tâm huyết với nghề nghiệp.
2- Phải hiểu và sử dụng thành thạo các thiết bị đồ dùng dạy học đặc biệt là
công nghệ thông tin (máy chiếu) cũng như xây dựng kiến thức trên bản đồ tư
duy một cách chọn lọc nhất.
3- Phải truyền thụ đầy đủ và chính xác nội dung kiến thức cơ bản, cho học
sinh được làm thành thạo các bài tập cơ bản.
4- Phải đọc nhiều sách nâng cao và phải chắt lọc kiến thức.
18
5- Dạy học sinh các bài tập mở rộng phải theo tính logic để học sinh có thể
chủ động sáng tạo.
6- Khai thác bài toán theo nhiều hướng giải khác nhau và phát triển bài
toán lên mức độ khó hơn.
7- Cho học sinh được trao đổi thảo luận để xây dựng mối quan hệ đoàn kết
trong nhóm, lớp giúp đỡ nhau cùng tiến bộ
8- Giáo viên phải tích cực học hỏi đồng nghiệp, trau dồi kiến thức, cập
nhận các phương pháp dạy học mới thường xuyên.
C. KẾT LUẬN
1. Nhận định chung
Việc dạy học theo phương pháp phát huy tính năng động sáng tạo của học

sinh sẽ hình thành thói quen tư duy độc lập, năng lực tự giải quyết vấn đề của
học sinh. Học sinh hiểu bài và say mê học tập, thích tìm tòi, phát hiện những
điều mới lạ, các em sẽ là những nhà khoa học sáng tạo trong thế kỷ XXI.
Tuy nhiên để hình thành thói quen cho học sinh đòi hỏi hoạt động đồng
bộ của các thày cô giáo giảng dạy các bộ môn trong một lớp. Hơn thế nữa
phương pháp dạy học này cần được triển khai trong cả quá trình học tập của các
em từ bậc Tiểu học cho đến Trung học và nhất là Cao đẳng và Đại học.
"Bồi dưỡng học sinh tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề" là
phương pháp dạy học tiên tiến mang tính thời đại nhưng đó là một việc làm khó
vì hiện nay điều kiện thực thi còn thiếu thốn, bất cập tuy nhiên đã đến lúc không
thể không làm.
Trong những năm vừa qua với việc đổi mới chương trình thay sách giáo
khoa các khối lớp đã thúc đẩy mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học. Đây
là một vấn đề còn mới mẻ đòi hỏi chúng ta phải đúc rút kinh nghiệm trong
những năm giảng dạy tiếp theo.
Để hưởng ứng chủ trương đổi mới phương pháp dạy học "Phương pháp
tích cực lấy học sinh làm trung tâm" chúng tôi đã tích cực đổi mới phương pháp
19
dạy học, trong đó luôn chú ý đến việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo, năng lực tự
giải quyết vấn đề, tự học của học sinh.
Đề tài trình bày ở trên nhằm phục vụ cho một chủ trương lớn của ngành.
Đề tài này là một minh hoạ nhỏ bé cho một chủ trương lớn nên chắc rằng còn
nhiều khiếm khuyết mong được các bạn đồng nghiệp và các cấp quản lý giáo
dục góp ý để đề tài được hoàn chỉnh thêm.
2. Những điều kiện áp dụng
Đối với SKKN này giáo viên dạy toán trường THCS đều có thể tham
khảo áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy trong bài học đối với chương trình
hiện nay.
SKKN áp dụng được cho các đối tượng học sinh lớp 8 và 9, đặc biệt là
học sinh giỏi, đối với các học sinh các lớp khác cũng có thể tham khảo để trang

bị cho mình cách giải toán và đặc biệt có thể vận dụng vào giải một số bài tập
hình học khó.
3. Hướng tiếp tục nghiên cứu
Để khắc phục những vấn đề còn hạn chế trên tôi muốn nghiên cứu các
lượng kiến thức khác theo các chuyên đề, tôi sẽ mở rộng hơn về các lượng kiến
thức nhằm áp dụng được rộng rãi hơn cho các đối tượng học sinh. Như: Vận
dụng hằng đẳng thức, bất đẳng thức vào giải bài toán hình học; một số phương
pháp chứng minh bất đẳng thức; xét dấu tam thức bậc hai; kỹ năng giải phương
trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; Các kỹ năng chứng minh tam giác đồng dạng;
các dạng toán về diện tích tứ giác….
4. Những đề xuất, kiến nghị.
1-Đối với giáo viên:
Để hệ thống được dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng
thì đòi hỏi mỗi giáo viên phải đầu tư thời gian cho nghiên cứu bài dạy, tham
khảo thêm nhiều tài liệu đặc biệt là tài liệu nâng cao, tài liệu phát triển, tài liệu
bồi dưỡng. Cần tham khảo, học hỏi đồng nghiệp để rút ra kinh nghiệm cho bản
thân.
2-Đối với học sinh:
20
Cần phải coi trọng môn học, nắm vững lí thuyết và các kiến thức cơ bản,
làm tốt các bài tập cơ bản, đọc tham khảo các tài liệu tìm ra các bài tập áp dụng
rồi cùng giải.
Học hỏi bạn bè, điều chưa hiểu mạnh dạn hỏi giáo viên.
Một số tài liệu tham khảo ngoài sách giáo khoa và sách bài tập như là:
Sách toán cơ bản và nâng cao NXB GD
Sách bồi dưỡng toán NXBGD
Sách phát triển toán NXBGD
Sách nâng cao và các chuyên đề NXBGD
3-Đối với nhà trường và phòng giáo dục
Cần phải bổ xung thêm các tài liệu theo các chuyên đề để học sinh và giáo

viên sử dụng đặc biệt trong giai đoạn thay sách giáo khoa này tạo cho thầy cô và
các em có điều kiện hơn để nghiên cứu và học tập.
Cần thường xuyên cho các thầy cô giáo học tập các lớp tập huấn, học tập
các chuyên đề để được cập nhật thường xuyên chủ trương, đường lối, chính sách
mới của Đảng, nhà nước về giáo dục cũng như được cập nhật kịp thời các
phương giáp giảng dạy mới. Cũng là điều kiện để các giáo viên ở các trường
được trao đổi, học tập lẫn nhau.
Trên đây là SKKN của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của
người khác. Mong các cấp xem xét và giúp đỡ tôi để tôi hoàn thiện mình hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thuần Hưng, ngày 16 tháng 01 năm 2014
NGƯỜI VIẾT
Đào Quang Hiểu
21
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán cơ bản và nâng cao toán 8 NXBGD
2. Toán bồi dưỡng 8 NXBGD
3. Sách giáo khoa toán 8 NXBGD
4. Sách bài tập toán 8 NXBGD
5. Sách nâng cao và các chuyên đê toán 8 NXBGD
6. Bài tập toán nâng cao 8 NXBGD
7. Tuyển chọn 400 bài toán 8 NXB Đà nẵng
8. Thông tin toán học trên mạng internet
9. Thông tin từ các bạn đồng nghiệp
22
MỤC LỤC
Tên mục Trang
A- Đặt vấn đề 2
B- Giải quyết vấn đề 2
I. Vị trí của sáng kiến 2

II Nội dung chính của sáng kiến 3
III. Kết quả 11
IV. Hạn chế 11
V. Hướng tiếp tục nghiên cứu 12
VI Điều kiện áp dụng sáng kiến
12
VII. Đề xuất 12
C. Kết luận 14
Tư liệu tham khảo
15
23