tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn toán

WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net

?
LUYỆN THI VÀO LỚP 10
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 1
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Chuyên đề 1:
Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử
A. biến đổi đẳng thức
I. Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng
(a b)
2
= a
2
2ab + b
2
a
2
- b
2
= (a + b)(a - b)
(a b)
3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2
b

3
a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
)
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab +b
2
)
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a - b - c)
2

= a
2
+ b
2
+ c
2
- 2ab - 2ac + 2bc
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
), mọi n là số tự nhiên
a
n
+ b
n
= (a + b)(a
n-1
- a
n-2
b + - ab
n-2

+ b
n-1
), mọi n lẻ
II. Bài tập
Bài 1
So sánh hai số A và B biết: A = 2004.2006 và B = 2005
2
Giải
Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 2005
2
- 1 < 2005
2
=B. Vậy A < B.
Bài 2
So sánh hai số A và B biết: A = (2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1) và B = 2
32
Giải
Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2

8
+ 1)(2
16
+ 1) = 2
32
-1 < 2
32
= B. Vậy A < B.
Bài 3
So sánh hai số A và B biết: A =(3 + 1)(3
2
+1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+1) và B =3
32
-1
Giải
Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(3
2
+1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+1) = 3

32
- 1 = B. Vậy A < B.
Bài 4
Chứng minh rằng: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m

= (m
2
+ m + 1)
2
, với mọi m.
Giải
VT: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m

= m
4
+ m
2
+ 1 + 2m

3
- 2m
2
- 2m + 4m
2
+ 4m = m
4
+ 2m
3
+ 3m
2
+ 4m +
1.
VP: (m
2
+ m + 1)
2
= m
4
+ m
2
+ 1 +2m
3
+ 2m
2
+ 2m = m
4
+ 2m
3
+ 3m

2
+ 2m +1.
Bài 5
Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab -ac -bc).
Giải
Ta có a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) thay vào VT
VT = (a + b)
3
- 3ab(a + b) + c
3
-3abc = [(a + b)
3

+ c
3
] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b)
2
+ c
2
- c(a + b)
-3ab] = (a + b +c)(a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc) = VP.
Bài 6
Cho ab = 1. Chứng minh rằng: a
5
+ b
5
= (a
3
+ b
3
)(a

2
+ b
2
) - (a + b)
Giải
(a
3
+ b
3
)(a
2
+ b
2
) - (a + b) = a
5
+ a
3
b
2
+ a
2
b
3
+ b
5
- (a - b)= a
5
+ b
5
+a

2
b
2
(a + b) - (a - b) = a
5
+ b
5
Bài 7
Cho a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc = 0. Chứng minh rằng: a = b = c
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 2
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Hỡng dẫn
Từ: a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc = 0 2a
2
+ 2b
2
+ 2c

2
- 2ab - 2ac - 2bc = 0 (a - b)
2
+(a - c)
2
+ (b - c)
2
=
0 a = b = c.(đpcm)
Bài 8
Cho a, b, c đôi một khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = 1. CMR
+ + +
=
+ + +
2 2 2
2 2 2
(a b) (b c) (c a)
1
(1 a )(1 b )(1 c )
Hỡng dẫn
Ta có: 1 + a
2
= ab + bc + ca +a
2
= b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b).
Tơng tự: 1 + b
2
= (b + a)(b + c).
1 + c
2

= (c +a)(c + b). Thay vào trên suy ra (đpcm).
Bài 9
Cho a > b > 0, thoả mãn: 3a
2
+ 3b
2
=10ab. Chứng minh rằng:

=
+
a b 1
a b 2
.
Giải
Đặt P =
ba
ba
+

thì P > 0 nên P =
2
P
.
Ta có P
2
=
+ +
= = =
+ + + +
2 2 2 2

2 2 2 2
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 1
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4
. Vậy P = 1/2.
Bài 10
Cho a + b + c = 1 và
+ + =
1 1 1
0
a b c
. Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
=1.
Giải
Từ: a + b + c = 1 a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + ac + bc) = 1 a
2
+ b
2
+ c
2

= 1- 2(ab + ac + bc) .
Mặt khác:
+ +
+ + = = + + =
1 1 1 ab ac bc
0 0 ab ac bc 0
a b c abc
. Vậy: a
2
+ b
2
+ c
2
=1.
Bài 11
Cho
+ + =
1 1 1
2
a b c
(1)
và a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
+ + =
2 2 2
1 1 1
2
a b c
Giải
(1)

+ +
+ + + + + = + + + =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c
2( ) 4 2( ) 4
a b c ab ac bc a b c abc
.
Thay a + b + c = abc vào ta có
+ + + = + + =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4 2
a b c a b c
.
Bài 12
Cho
+ + =
x y z
1
a b c
(1)
, và
+ + =
a b c
1
x y z
(2)
. CMR:
= + + =
2 2 2

2 2 2
x y z
A 1
a b c
Giải
+ +
+ + + + + = = + + =
2 2 2
2 2 2
x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz
2( ) 1 A 1 2( ) 1 2( )
a b c ab ac bc ab ac bc abc
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 3
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
(2)
:
+ +
=
cxy bxz ayz
0
xyz
. Vậy A = 1.
Bài 13
Cho
+ + =
1 1 1
0
a b c
.

(1)
Chứng minh rằng:
+ + =
3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Giải .
(1)

= + = + + + = + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( 3 ( ) [ 3 ( )]
a b c a b c bc b c a b c bc a
Vậy
+ + =
3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Bài 14
Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
=14. Chứng minh rằng: a
4

+ b
4
+ c
4
= 98.
Giải
Từ: a + b + c = 0 a = -(b + c) a
2
= (b + c)
2
a
2
= b
2
+ c
2
+2bc
a
2
- b
2
- c
2
= 2bc (a
2
- b
2
- c
2
)

2
= 4b
2
c
2
a
4
+ b
4
+ c
4
- 2a
2
b
2
- 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
= 4b
2
c
2
a
4
+ b

4
+ c
4
= 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
2(a
4
+ b
4
+ c
4
) = a
4
+ b
4
+ c
4
+

2a

2
b
2
- 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
2(a
4
+ b
4
+ c
4
) = (a
2
+
b
2
+ c
2
)
2
= 14
2
=196.
Vậy a

4
+ b
4
+ c
4
= 98.
Bài 15
Cho xyz = 1, Chứng minh rằng:
+ + =
+ + + + + +
1 1 1
1.
1 x xy 1 y yz 1 z zx
Giải
Ta có:
+ + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
1 1 1 z x 1
1 x xy 1 y yz 1 z zx z xz xyz x yx xyz 1 z zx
=
+ +
+ + = + = +
+ + + + + + + + + + + + + +
z x 1 z 1 x z 1 xz
z xz 1 x yx 1 1 z zx 1 x xz x xy 1 1 x xz xz xyz z
+ + +
= + = =
+ + + + + +
z 1 xz z 1 xz
1.

1 x xz xz 1 z 1 x xz
B. Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1
Phân tích tam thức bậc hai x
2
- 6x + 8 thành nhân tử.
Giải
Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình phơng.
x
2
- 6x + 8 =(x - 3)
2
- 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).
Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân
tử chung.
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4).
Bài 2
Phân tích đa thức x
3
+ 3x
2
- 4 thành nhân tử.
Giải
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 4
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net

Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm đa thức chứa nhân tử x - 1 ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất
hiện nhân tử x - 1.
C
1
: x
3
+ 3x
2
- 4 =x
3
-x
2
+4x
2
- 4=x
2
(x - 1)+4(x
2
-1)=(x-1)(x
2
+ 4x + 4)=(x-1)(x+2)
2
.
C
2
: x
3
+3x
2
- 4 =x

3
-1+3x
2
- 3 = (x-1)(x
2
+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x
2
+ 4x + 4).
Bài 3
Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử.
Giải
(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x
2
+8x+7)(x
2
+8x +15) +15
Đặt: t = x
2
+8x+7 x
2
+8x+15 = t + 8 ta có: t(t + 8) +15 = t
2
+ 8t +15 =(t + 4)
2
- 1 = (t + 4 + 1)(t + 4
- 1) = (t + 5)(t + 3).
Vậy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x
2
+ 8x + 12)(x
2

+ 8x + 10) = (x
2
+ 6x + 2x + 12)(x
2
+ 8x
+10) = (x + 6)(x + 2)(x
2
+ 8x + 10).
BTVN.
Bài 1
Cho x > y > 0 và 2x
2
+ 2y
2
= 5xy, Tính:
x y
P
x y
+
=

. (tơng tự bài 9)
Bài 2
Cho x + y + z = 0, Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz. (tơng tự bài 13)

Bài 3
Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
+ c
4
=
2
1
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
. (tơng tự bài 14)
Bài 4
Cho a, b, c khác không và a + b + c = 0.
Chứng minh rằng:
+ + =
+ + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0.
a b c b c a a c b
Từ: a + b + c = 0 a = - (b + c) a
2

= (b + c)
2
a
2
=b
2
+ c
2
+ 2bc b
2
+ c
2
- a
2
= - 2bc
Bài 5
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a/ 4x
2
- 3x - 1
b/ x
3
+ 6x
2
+ 11x +6
c/ (x-y)
3
+ (y-z)
3
+ (z-x)

3
Hỡng dẫn: x + y + z = 0 x
3
+ y
3

+ z
3
= 3xyz
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 5
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Chuyên đề 2:
Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
A. Bất đẳng thức
I. Một số tính chất của bất đẳng thức
1/ a > b và b > c a > c (t/c bắc cầu)
2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế cùng một số)
3/ a > b
> >


< <

ac bc nếu c 0
ac bc nếu c 0
(t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng)
4/ a > b và c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều)
5/
> >

>

> >

a b 0
ac bd
c d 0
(t/c nhân hai bất đẳng thức dơng cùng chiều)
6/ a > b > 0

>


>


n n
n n
a b
a b
(n nguyên dơng)
7/
+
>
+ + +
a a
a,b, c R
a b a b c
8/

+
+
> > >
+
a c a a c c
a,b,c,d R
b d b b d d
9/ Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì ta có:
*/ a > 0, b > 0, c > 0.
*/ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b
*/ Nếu a > b > c thì A > B > C
II. Bài tập
Bài 1
Cho 5 số a, b, c, d, e bất kỳ. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
a( b + c + d + e)
(1)
.
Giải
(1)
4a
2

+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2
- 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
(a - 2b)
2
+ (a - 2c)
2
+ (a - 2d)
2
+ (a - 2e)
2
0. (đpcm)
Bài 2
Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a
2
+ b
2
1/2, b/ a
3
+ b
3
1/4, c/ a
4
+ b

4
1/8
Giải
a/ Từ (a - b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab 2(a
2
+ b
2
) a
2
+ b
2
+ 2ab = (a + b)
2
= 1.
Vậy a
2
+ b
2
1/2.
b/ Ta có a
3
+ b
3
= (a + b)(a

2
- ab + b
2
) = a
2
- ab + b
2

2(a
3
+ b
3
) = 2a
2
- 2ab + 2b
2
= (a - b)
2
+ a
2
+ b
2
a
2
+ b
2

mà a
2
+ b

2
1/2 2(a
3
+ b
3
) 1/2 a
3
+ b
3
1/4. (đpcm)
c/ Từ (a
2
- b
2
)
2
0 a
4
+ b
4
2a
2
b
2
2(a
4
+ b
4
) a
4

+ b
4
+ 2a
2
b
2
= (a
2
+ b
2
)
2
a
4
+ b
4

1
2
(a
2
+ b
2
)
2 (1)
.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 6
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Mặt khác: (a - b)

2
0 a
2
+ b
2
2ab 2(a
2
+ b
2
) a
2
+ b
2
+ 2ab = (a + b)
2
= 1
a
2
+ b
2
1/2 (a
2
+ b
2
)
2
1/4 thay vào
(1)
ta có a
4

+ b
4

1
8
.
Bài 3
Cho a,b > 0, và a + b = 1. Chứng minh rằng:
a/
+ +
1 1
(1 )(1 ) 9
a b
; b/
+
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
Giải
a/
+ + + + +
+ + +
1 1 a 1 b 1 ab a b 1 2
(1 )(1 ) 9 ( )( ) 9 9 1 9
a b a b ab ab

1 4ab (a + b)
2
4ab đúng (đpcm).
b/

+
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
3(a + 1 + b +1) 4(a + 1)(b + 1) 9 4(ab + a + b + 1)
9 4ab + 8 1 4ab (a + b)
2
4ab đúng (đpcm)
Bài 4
Cho a, b, c R
+
. Chứng minh rằng:
< + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Giải

>

+ + +


>

+ + +


>

+ + +

a a
a b a b c
b b
b c a b c
c c
c a a b c

+ + >
+ + +
a b c
1
a b b c c a
.
Mặt khác:
+

< <

+ + + +

+

< <

+ + + +

+

< <

+ + + +

a c a a c
a b c a b a b c
b a b b a
b c a b c a b c
c b c b c
c a b c a a b c

+ + <
+ + +
a b c
2
a b b c c a
.
Vậy:
< + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Bài 5
Cho a, b, c, d R
+
. CMR:
< + + + <
+ + + + + + + +

a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
Giải
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 7
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net


< <

+ + + + + +


< <

+ + + + + +


< <

+ + + + + +


< <
+ + + + + +
a a a
a b c d a b c a c
c c c
1

a b c d c d a c a
b b b 2
a b c d b c d b d
d d d
a b c d d a b d b

< + + + <
+ + + + + + + +
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
Bài 6
Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Giải
*/ CM: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
, nhân cả hai vế với 2 ta có:
2ab + 2bc + 2ca 2a
2
+ 2b

2
+ 2c
2
(a-b)
2
+ (a-c)
2
+ (b-c)
2
0, đúng (đpcm)
*/ CM: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca), Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên ta có:
a < b + c a
2
< ab + ac
b < a + c b
2
< ab + bc
c < a + b c
2
< ac + bc
a
2
+ b
2

+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
Vậy: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
Bài 7
Chứng minh rằng:

+
4
2 ab
ab
a b
với a > 0, b > 0.
Giải
( )
+
+ +
2
4 4 4 4
4
2 1 2 ab
a b 0 a b 2 ab ab
a b ab a b
.

III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân)
*/ Với 2 số thực a, b không âm ta có:
+

a b
ab
2
, dấu bằng xảy ra a = b.
*/ Với 3 số thực a, b, c không âm ta có:
+ +

3
a b c
abc
3
, dấu bằng xảy ra a = b = c.
*/ Với n số thực a
1
, a
2
, a
n
không âm ta có:
+ + +

1 2 n
n
1 2 n
a a a
a a a

n
, dấu bằng xảy ra a
1
= a
2
= = a
n
.
IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
*/ với 4 số thực a, b, c, d ta có:
(ab + cd)
2
(a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
), dấu bằng xảy ra
=
a c
b d
.
*/ Với 6 số thực a, b, c, d, e, f ta có:
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 8
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
(ab + cd + ef)

2
(a
2
+ c
2
+ e
2
)(b
2
+ d
2
+ f
2
), dấu bằng xảy ra
= =
a c e
b d f
.
*/ với n cặp số thực a
1
, a
2
, a
n
, b
1
, b
2
, b
n

ta có:
(a
1
b
1
+a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
n
)(b
1
2
+ b
2
2

+ + b
n
n
).
Dấu bằng xảy ra
= = =
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
.
Bài 8
Cho x, y, z là các số dơng, Chứng minh rằng:
a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/
+
+
1 1 4
x y x y
.
c/
+ +
+ +
1 1 1 9
x y z x y z
.
Giải
a/

+


+


+


x y 2 xy
y z 2 yz
z x 2 xz
(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/
+ + +
+
1 1 4 1 1
(x y)( ) 4
x y x y x y
mà

+


+


x y 2 xy
1 1 2
x y

xy

+ +
1 1
(x y)( ) 4
x y
.
c/
+ + + + + +
+ +
1 1 1 9 1 1 1
(x y z)( ) 9
x y z x y z x y z
. (làm tơng tự)
B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1
Tìm giá trị lớn nhất của: P =
+
+
2
2
2x 4x 5
x 2x 2
Giải
Ta có:
P =
+ + +
= = + = +
+ + + +
2 2

2 2 2 2
2x 4x 5 2(x 2x 2) 1 1 1
2 2
x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1
P lớn nhất
+
+
2
1
2
(x 1) 1
lớn nhất, muốn vậy (x

- 1)
2
+ 1 phải nhỏ nhất
mà (x

- 1)
2
+ 1 1 (x

- 1)
2
+ 1 nhỏ nhất bằng 1 x = 1. Khi đó P = 3
Vậy P
max
= 3 x = 1.
Bài 2
Cho x

2
+ y
2
= 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = x + y
Giải
Từ (x - y)
2
0 x
2
+ y
2
2xy 2(x
2
+ y
2
) x
2
+ 2xy + y
2
= (x + y)
2
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 9
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
VËy 2 ≥ (x

+ y)
2
⇔
− ≤ + ≤

2 x y 2
⇒
P
max
=
2
⇔ x = y =
2
2
; P
min
= -
2
⇔ x = y = -
2
2
Bµi 3
Cho x, y > 0 vµ x + y = 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P =
− −
2 2
1 1
(1 )(1 )
x y
Gi¶i
P =
− − − + − + + +
− − = = =
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 (x 1)(y 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) xy(x 1)(y 1)

(1 )(1 )
x y x y x y x y
=
+ + + + + + +
= = = +
2 2
xy(x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x y xy 1 2
1
x y xy xy xy
. (thay x - 1 = - y, y - 1 = - x) ⇒ ta cã P
nhá nhÊt ⇔
xy
2
nhá nhÊt ⇔ xy lín nhÊt.
Mµ xy = x(1 - x) = - x
2
+ x = -(x - 1/2)
2
+ 1/4 ≤ 1/4 ⇒ xy lín nhÊt = 1/4 khi x = 1/2 ⇒ y = 1/2
VËy P
min
=
+ =
2
1 9
1 1
.
2 2
khi x = y = 1/2.
Bµi 4

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P =
+
+
2 2
4
(x 1)
x 1
Gi¶i
P =
+ + +
= = +
+ + +
2 2 4 2 2
4 4 4
(x 1) x 2x 1 2x
1
x 1 x 1 x 1
Do (x
2
- 1)
2
≥ 0 ⇒ x
4
+ 1 ≥ 2x
2
⇒
≤
+
2
4

2x
1
x 1
⇒ P ≤ 2 ⇒ P
max
= 2 ⇔ x = ± 1.
Do 2x
2
≥ 0, x
4
+ 1 ≥ 1 ⇒
≥
+
2
4
2x
0
x 1
⇒ P ≥ 1 ⇒ P
min
= 1 ⇔
=
+
2
4
2x
0
x 1
⇔ x = 0.
Bµi 5

Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña; P =
+ +
(x a)(x b)
x
, víi x > 0.
Gi¶i
Ta cã:
P =
+ + + + +
= = = + + ⇒ ≥ + +
2
(x a)(x b) x ax bx ab ab
a b x P a b 2 ab
x x x
.
VËy P
min
=
+ +
a b 2 ab
, dÊu b»n x¶y ra ⇔
= ⇔ =
ab
x x ab
x
.
Bµi 6
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P =
+ + + − +
2 2

1 4x 4x 4x 12x 9
Gi¶i
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 10
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Ta cã:
P =
( ) ( )
+ + + − + = + + − = + + −
2 2
2 2
1 4x 4x 4x 12x 9 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x
≥(1 + 2x) + (3 - 2x) = 4
¸p dông a + b = a + b ⇔ ab ≥ 0. VËy P
min
= 4 ⇔ (1 + 2x)(3 - 2x) ≥ 0 ⇔
⇔ -1/2 ≤ x ≤ 3/2.
BTVN
Bµi 1
a/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: P = 5 - 8x - x
2
.
b/ T×m gi¸ tÞ nhá nhÊt cña: P = 4x
2
- 4x + 11.
c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = x - 5 + x- 10.
Hìng dÉn
Ta cã: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x≥ (x - 5) + (10 - x) = 5
¸p dông a + b = a + b ⇔ ab ≥ 0. VËy P
min

= 5 ⇔ (x - 5)(10 - x) ≥ 0 ⇔
⇔ 5 ≤ x ≤ 10.
Bµi 2
Cho x, y ∈ R, Chøng minh r»ng: x
2
+ y
2
+ 1 ≥ xy + x + y.
Bµi 3
Cho a, b, c, d ∈ R
+
.
Ch÷ng minh r»ng :
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
a b b c c d d a
2 3
a b c b c d c d a d a b
.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 11
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Chuyên đề 3:
Biến đổi căn thức
A/ Biến đổi căn thức
I/ Kiến thức cơ bản
*/

= =

<

2
A nếu A 0
A A
A nếu A 0
*/
= =
1 2 n 1 2 n
ab a. b (a 0,b 0) / a a a a a a
*/
= >
a a
(a 0,b 0)
b
b
*/
=
2
a b a b (b 0)
Trục căn thức ở mẫu
*/
=
a a b
b
b
, (b > 0).
*/

+
= =

+
m m( a b) m m( a b)
,
a b a b
a b a b
II/ Bài tập
Bài 1
Tính giá trị các biểu thức sau:
a/ A =

6 48 2 27 4 75
b/ B =
+
1
48 2 75 108 147
7
Giải
a/ Ta có: A =
= = =
6 48 2 27 4 75 6 16.3 2 9.3 4 25.3 24 3 6 3 20 3 2 3
b/ Ta có: B =
+ = + =
1 1
48 2 75 108 147 4 3 2.5 3 6 3 .7 3 3
7 7
Bài 2
Trục căn thức ở mẫu:

a/ A =
+
+
1 1
5 2 5 2
b/ B =
+ + +
4
3 5 2 2 5
c/ C =
+ +
3 3
2
2 2 2 4
Giải
a/ A =
+
+ = + =
+
1 1 5 2 5 2 2 5
3 3 3
5 2 5 2
b/ B =
+ + + +
= = =
+ + +
+ + +
2
4 4(3 5 2 2 5 ) 3 5 2 2 5
(3 5) (2 2 5) 3 5

3 5 2 2 5

+ + +
= =
2
(3 5)(3 5 2 2 5 ) 4 (3 5) (2 2 5)
4 4
c/ Đặt
=
3
2 a
C =

= = = = =
+ + + +
+ +
3 2
3 3
4 3 2 2 3
3 3
2 a a a(a 1) a a
4 2
a a a a a 1 a 1 2 1
2 2 2 4
Bài 3
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 12
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Rút gọn biểu thức chứa căn:
a/ A =

+
15 6 6 33 12 6
b/ B =
+
8 2 15 8 2 15
c/ C =
+
4 7 4 7
d/ D =
+ + + +
4 10 2 5 4 10 2 5
e/ E =
+ +
4 4
49 20 6 49 20 6
f/ F =
+ + + +
+ + + +
1 1 1 1

1 5 5 9 9 13 2001 2005
Giải
a/ A =
+ = + + + =
15 6 6 33 12 6 9 6 6 6 9 12 6 24
= + + = + + =
2 2
(3 6) (3 2 6) 3 6 2 6 3 3 6.
b/ B =
+ = + + + =

8 2 15 8 2 15 5 2 15 3 5 2 15 3
+ = + =
2 2
( 5 3) ( 5 3) 5 3 ( 5 3) 2 3.
c/ C =
+ + + +
+ = =
8 2 7 8 2 7 7 2 7 1 7 2 7 1
4 7 4 7
2 2 2 2
+ +
= = =
2 2
( 7 1) ( 7 1) 7 1 7 1
2.
2 2
2 2
d/ Do D > 0 nên D =
2
D
D
2
=

+ + + + = + + + +
ữ

2
4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 (4 10 2 5 )(4 10 2 5)
= + = + + = + = + = +

2
8 2 6 2 5 8 2 5 2 5 1 8 2 ( 5 1) 8 2 5 2 6 2 5
Vậy: D =
+ = + = +
2
6 2 5 ( 5 1) 5 1
e/ Ta có:
+ = + + = + = + = +
2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)

= + = = =
2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)
Vậy E =
+ + =
3 2 3 2 2 3.
f/ F =

+ + + + =
5 1 9 5 13 9 2005 2001 2005 1

4 4 4 4 4
.
Bài 4
Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A =
+ +
x 4 x 4 x 4 x 4
b/ B =

+
2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 13
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
c/ C =
+ +
2 2
2x 1 2 x x 2x 1 2 x x
Giải
a/ A =
+ + = + + + +
x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4
= + + = + +
2 2
( x 4 2) ( x 4 2) x 4 2 x 4 2
Nếu
x 4 2 x 4 4 x 8
thì A =
+x 4 2
+
= x 4 2 2. x 4
.
Nếu
< < < < < <
0 x 4 2 0 x 4 4 0 x 8
thì A =
+
x 4 2

-
+ =
x 4 2 4
.
Vậy: A =




< <


2. x 4 nếu x 8
4 nếu 0 x 8
.
b/ B =
+ = + +
2 2 2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 1
-
+
2 2
x 1 2 x 1 1
-
+ = +
2 2 2 2 2 2
( x 1 1) ( x 1 1) x 1 1 x 1 1
Nếu

2 2

x 1 1 0 x 2 x 2 x 2
thì B = 2.
Nếu
< < < <
2 2
x 1 1 0 x 2 2 x 2
thì B = 2.

2
x 1
.
Vậy: B =




< <


2
2 nếu x 2 x 2
2. x 1 nếu 2 x 2
.
c/ C =
+ +
2 2
2x 1 2 x x 2x 1 2 x x
=
+ + + +
2 2

x 1 2 x x x x 1 2 x x x
=
+ + = + + =
2 2
( x 1 x) ( x 1 x) x 1 x x x 1 2 x.
Bài 5
Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa và rút gọn:
a/
+ +



2
x 2 x 1 x 2 x 1 1
(1 )
x 1
x 4(x 1)
b/


+
3
1 1 x x
x x 1 x x 1 1 x
c/
+
+ +
2
1 x 1
:

x x x x x x
d/
+ +

+ +
2 x x 1 x 2
( ) :
x x 1 x 1 x x 1
e/
+
+ +
+ +
x 2 x 1 x 1
( ) :
2
x x 1 x x 1 1 x
Giải
a/ ĐK:
> >
>




+ > >


2 2
x 1 x 1
x 1

x 2
x 4x 4 0 (x 2) 0
.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 14
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
A =
− − + + − − − + − + −
− =
− −
− − −
2 2
2 2
x 2 x 1 x 2 x 1 1 ( x 1 1) ( x 1 1) x 2
(1 ) .
x 1 x 1
x 4(x 1) (x 2)
−
=
−
−
2
2 x 2
.
x 1
(x 2)
.
NÕu x > 2 ⇒ A =
=
−

2
x 1
NÕu 1< x < 2 ⇒ A =
=
−
2
1 x
VËy: A =

>


−


< <

 −
2
nÕu x 2
x 1
2
nÕu 1 x 2
1 x
b/ §K:
≠

⇔ >

− ≥


x 1
x 1
x 1 0
.
B =
− − − + − −
− − = − −
+ − − − − −
3
1 1 x x x x 1 x x 1 x( x 1)
1 1
x x 1 x x 1 1 x 1 x
=
− − + = − −
2 x 1 x x 2 x 1
.
c/
≥


− ≠
>


⇔
 
≠
+ + ≠




+ ≠

2
x 0
x x 0
x 0
x 1
x x x x 0
x 1 0
.
§Æt
= ⇒ =
2
x a x a
⇒ C =
+ + + + +
= =
− + − +
− + +
3 2 2
4 3
2
1 x 1 1 a a a a(a a 1)
:
a a a 1 a(a 1)(a 1)
x x x x x x
=
+ +

= =
+ + + − − −
2
2 2
a a 1 1 1
(a 1)(a a 1)(a 1) a 1 x 1
.
d/ §K:
≥

≥


− ≠ ⇔
 
≠


− ≠

x 0
x 0
x 1 0
x 1
x x 1 0
.
§Æt
= ⇒ =
2
x a x a

⇒ D =
+ + + + +
− = −
− − +
− − + +
2 2
3
2 x x 1 x 2 2a a 1 a a 1
( ) : ( )( )
a 1 a 1 a 2
x x 1 x 1 x x 1
=
+ − + + + + +
= = =
− + + + − + +
+
2 2
2
a(a 2) (a a 1) a a 1 a 1 1 1
.
(a 1)(a a 1) a 2 (a 1)(a 2) a 2
x 2
.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 15
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
e/ ĐK:

x 0
x 0
x x 1 0
x 1
1 x 0
Đặt
= =
2
x a x a

E =
+ +
+ + = +
+ +
+ +
2
3 2
x 2 x 1 x 1 a 2 a 1 2
( ) : ( )
2 a 1 a a 1 a 1 a 1
x x 1 x x 1 1 x

=
+ + + + +
= = =
+ + + + + +
+ +
2 2 2
2 2 2
a 2 a(a 1) (a a 1) 2 a 2a 1 2 2 2
(a 1)(a a 1) a 1 (a 1)(a a 1) a 1 a a 1
x x 1
.
Bài 6
Chứng minh rằng các biểu thức sau là một số nguyên.
a/ A =
+ + +
4 5 3 5 48 10 7 4 3
b/ B =
+ + +
( 3 1) 6 2 2 3 2 12 18 128
c/ C =
+ +

2 3 5 13 48
6 2
Giải
a/ Ta có:
+ = + + = + =
2
7 4 3 (2 3) 10 7 4 3 10(2 3) 20 10 3
+ = = =

+ = =
2
48 10 7 4 3 48 20 10 3 28 10 3 (5 3)
5 48 10 7 4 3 5(5 3) 25 5 3
Vậy A =
+ =
4 5 3
.
b/ Ta có:
= =
2
18 128 18 8 2 (4 2)
+ + = + + = + = +
2
2 12 18 128 2 12 4 2 4 2 3 ( 3 1)
+ + = + = + = + = +6 2 2 3 ( 3 1) 6 2 4 2 3 6 2( 3 1) 4 2 3 3 1
Vậy: B =
+ = =
( 3 1)( 3 1) 3 1 2
.
c/ Ta có:
+ = + = + + = + + = +
2
13 48 13 4 3 12 4 3 1 (2 3 1) 13 4 3 2 3 1
+ = = = + =
2
5 13 48 5 2 3 1 4 2 3 ( 3 1) 5 13 48 3 1
+ + = + + = + + + =3 5 13 48 3 3 1 2 3 2 3 5 13 48
+ = + = + =
2

2 2 3 8 4 3 ( 6 2) C 1.
BTVN
Bài 1
Rút gọn biểu thức chứa căn.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 16
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
a/ A =
+ − − − −
4 15 4 15 2 3 5
b/ B =
− − −
5 3 29 12 5
c/ C =
+ − −
−
(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
9 3 11 2
d/ D =
+ + +
+ + +
1 1 1

2 3 3 4 1998 1999
Bµi 2
Trôc c¨n thøc ë mÉu.
a/ A =
− +
3 3
6

2 2 2 4
b/ B =
+ +
3 3
2
4 2 2
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 17
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Chuyên đề 4
Phơng trình bậc nhất - Đồ thị hàm số bậc nhất - Hệ phơng trình bậc
nhất
I/ Phơng trình bậc nhất
ĐN: Là phơng trình có dạng: ax + b = 0, trong đó a, b là các số thực, x là ẩn.
Cách giải:
Phơng trình ax = -b.
Nếu a 0 x = -b/a
Nếu a = 0 0x = -b
Nếu b = 0 PT vô số nghiệm
Nếu b 0 PT vô nghiệm
II/ Bài tập
Bài 1
Giải và biện luận các phơng trình sau:
a/ mx + 2(x - m) = (m + 1)
2
+ 3 (1) b/ 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1) (2)
c/ m
2
(x + 1) = x + m (3) d/

+ =

x m x 3
2
x 2 x
(4)
Giải
a/ (1) (m + 2)x = m
2
+ 4m + 4 (m + 2)x = (m + 2)
2
Nếu m + 2 0 m -2 phơng trình có nghiệm: x = m + 2.
Nếu m + 2 = 0 m = -2 0x = 0 0 phơng trình có vô số nghiệm x R.
b/ (2) (3m + 1)x = 5m + 1
Nếu 3m + 1 0 m -1/3 phơng trình có nghiệm:
+
=
+
5m 1
x
3m 1
Nếu 3m + 1 = 0 m = -1/3 phơng trình có dạng: 0x = -2/3 PTVN.
c/ (3) (m
2
- 1)x = m - m
2
(m
2
- 1)x = m(1 - m).
Nếu m

2
- 1 0 phơng trình có nghiệm:
=
+
m
x
m 1
Nếu m
2
- 1 = 0 m = 1.
Nếu m = 1 PT có dạng: 0x = 0 PT có VSN
Nếu m = -1 PT có dạng: 0x = -2 PTVN
d/ ĐK: x 0 và x 2.
(4) x(x - m) + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 2) (m + 1)x = 6
Nếu m + 1 = 0 m = -1 (4) có dạng: 0x = 6 PTVN
Nếu m + 1 0 m -1 (4)
=
+
6
x 0
m 1
(Do ĐK m 2

+
6
2 m 2
m 1
)
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 18

WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Kết luận: Nếu m -1 m 2 phơng trình có nghiệm:
=
+
6
x
m 1
Nếu m = -1 m = 2 phơng trình vô nghiệm.
Bài 2
Cho phơng trình: (m + 1)
2
x + 1 - m = (7m - 5)x. (1)
a/ Tìm m để phơng trình vô nghiệm b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
Giải
(1) ( m
2
- 5m + 6)x = m - 1 (m - 2)(m + 3)x = m - 1.
a/ Phơng trình vô nghiệm
+ =

= =



(m 2)(m 3) 0
m 2 m 3.
m 1 0
b/ phơng trình có nghiệm (m - 2)(m + 3) 0 m 2 m -3.
III/ Hệ phơng trình bậc nhất
Bài 3

Cho hệ phơng rình:
+ =


+ =

2x my 1 (1)
mx 2y 1 (2)
.
a/ Giải hệ khi m = 1
b/ Giải và biện luận hệ phơng trình
c/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên
d/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng
Giải
a/ khi m = 1 ta có hệ
+ = + = = =



+ = + = + = =

2x y 1 4x 2y 2 3x 1 x 1 3
x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1 y 1 3
b/ Từ (1) và (2) 2x + my = mx + 2y (m - 2)(x - y) = 0.
Nếu m = 2 hệ vô số nghiệm
Nếu m 2 x = y thay vào phơng trình (1) ta có: (m + 2)x = 1.
Nếu m = -2 hệ vô nghiệm
Nếu m -2 hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2)
c/ khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2). Nghiệm này là số nguyên 1/(m
+ 2) là số nguyên

+ = =



+ = =

m 2 1 m 1
m 2 1 m 3
.
d/ / khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2). Nghiệm này là số nguyên dơng
1/(m + 2) là số nguyên dơng m + 2 là ớc số nguyên dơng của 1 m + 2 = 1 m = -1.
Bài 4
Cho hệ phơng rình:
=


= +

(m 1)x my 3m 1 (1)
2x y m 5 (2)
a/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = xy đạt giá trị lớn nhất.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 19
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Giải

Từ (2) y = 2x - m - 5 thay vào (1) (m - 1)x - 2mx + m
2
+ 5m = 3m -1
(m + 1)x = m
2
+ 2m + 1 (m + 1)x = (m + 1)
2
.
Hệ có nghiệm duy nhất m -1, khi đó: x = m + 1, y = m - 3.
a/ S = x
2
+ y
2
= (m+1)
2
+ (m-3)
2
= 2m
2
- 4m + 10 = 2(m - 1)
2
+ 8. S
min
= 8 m = 1.
b/ P = xy = (m + 1)(m - 3) = m
2
-2m -3 = (m - 1)
2
- 4. P
min

= -4 m = 1.
Bài 5
Giải hệ phơng trình:
+

+ =



+

+ =


x y 2x y
7 (1)
7 17
4x y y 7
15 (2)
5 19
Giải
(1) 17(x - y) + 7(2x + y) = 7.7.17 31x - 10y =833.
(2) 19(4x + y) + 5(y - 7) = 19.5.15 19x + 6y = 365.
Vậy hệ phơng trình
= = =



+ = + = =

31x 10y 833 93x 30y 2499 x 23
19x 6y 365 95x 30y 1825 y 12
.
Bài 6
Giải hệ phơng trình:
+ + =


+ + =


+ + =

x y z 1 (1)
x 2y 4z 8 (2)
x 3y 9z 27 (3)
Giải
Hệ:
+ + = + + = + + = =


+ + = + = + = =


+ + = + = = =

x y z 1 x y z 1 x y z 1 x 6
x 2y 4z 8 y 3z 7 y 3z 7 y 11
x 3y 9z 27 y 5z 19 2z 12 z 6
IV/ Đồ thị hàm số bậc nhất

Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là đờng thẳng đi qua hai điểm A(0;b) và B(-b/a; 0).
Bài 7
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = 2x - 1 b/ y =
x 1
c/ y =
+
2
2 x 2x 1
d/ y =
+ + x 1 x 2
e/
+ =x y 1
BTVN
Bài 1 Giải và biện luận các phơng trình sau:
a/ m
2
x = 9x + m
2
- 4m + 3 b/
+
+ =
+
x m x 2
2
x 1 x
Bài 2 Cho hệ phơng trình:
+ =

=

x my 2
mx 2y 1
.
a/ Giải hệ khi m = 2
b/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên
c/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 20
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Bài 3 Vẽ đồ thị các hàm số: a/ y = 2x - x + 3 b/ y = x - 1 - x + 2
Bài 4 Giải hệ phơng trình:
+ + =


+ + =


+ + =

x 2y 3z 11
2x 3y z 2
3x y 2z 3
Hỡng dẫn Cộng 3 phơng trình ta có: x + y + z = 2. x = -2, y = -1, z = 5.
Bài 5 Giải hệ phơng trình:

+ =

+

=



=
+


3
z 2 (1)
2x y
2y 3z 4 (2)
2 3
y (3)
2x y 2
Hỡng dẫn Đặt t =
+
1
2x y
thay vào (1) và (3) ta có:
+ =



=


3t z 2

3
2t y
2
2z + 3y = -1/2 (4).
Từ (2) và (4) ta đực: x = 1/4, y = 1/2, z = -1.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 21
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Chuyên đề 5
Phơng trình bậc 2, định lý viét - Phơng trình bậc cao
I/ Phơng trình bậc 2
ĐN: Phơng trình bậc 2 là phơng rình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0. (a 0)
Trong đó: a, b, c là các số thực, x là ẩn.
Cách giải:
Tính biệt thức = b
2
- 4ac
Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm.
Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép: x = -b/2a.
Nếu > 0 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
+
= =
1 2
b b
x ; x
4a 4a
Chú ý: Nếu b = 2b
'

thì có thể tính

'
= b
'2
- ac
Nếu

'
< 0

phơng trình vô nghiệm.
Nếu

'
= 0

phơng trình có nghiệm kép: x = -b
'
/a.
Nếu

'
> 0

phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
+
= =
' ' ' '
1 2

b b
x ; x
2a 2a
II/ Định lý Viét
Nếu phơng trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt hoặc không thì ta có:
S = x
1
+ x
2
= -b/a; P = x
1
x
2
= c/a.
Chú ý:
Nếu phơng trình bậc 2 có a + b + c = 0 thì x
1
= 1; x
2
= c/a.
Nếu phơng trình bậc 2 có a - b + c = 0 thì x
1
=-1; x
2
= -c/a.
III/ Bài tập
Bài 1
Cho phơng trình: x
2
- 4x + m + 1 = 0.

a/ Giải phng trình khi m = 2
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
3
+ x
2
3
= 34
Giải
a/ Khi m = 2 PT x
2
- 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 x
1
= 1, x

2
= 3.
b/
'
= 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm 3 - m 0 m 3.
c/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3.
Khi đó: x
1
2
+ x
2
2
= 10 (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = 2
d/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3.
x
1
3
+ x
2
3

= 34 (x
1
+ x
2
)[(x
1
+ x
2
)
2
-3x
1
x
2
] =34 4[16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10 m = 9
Bài 2
Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 22
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1

2
+ x
2
2
10
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
sao cho P = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
a/
'
= m
2
- 2m + 1 + m + 3 = m
2
- m + 4 = (m- 1/2)
2
+ 15/4 > 0 với mọi m thì phơng trình luôn có
nghiệm.
b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5 m = 1. Khi đó phơng trình có dạng: x
2
- 4 = 0 x = 2

x = -2.
c/ x
1
2
+ x
2
2
10 (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
10 [2(m - 1)]
2
+ 2(m + 3) 10
4m
2
-8m + 4 + 2m + 6 10 4m
2
- 6m 0 m(2m - 3) 0 m 3/2 m 0.
d/ P = x
1
2
+ x
2

2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= [2(m - 1)]
2
+ 2(m + 3) = 4m
2
- 6m + 10 =
(2m - 3/2)
2
+ 31/4 P
min
= 31/4 m = 3/4.
Bài 3
Cho phơng trình: x
2
- 2mx + 2m -1 = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn 2x
1
2
+ 2x
2
2
- 5x
1
x
2
= 27.
c/ Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
= x
2
2

Giải
a/
'
= m
2
- 2m + 1 = (m + 1)
2
0 với mọi m phơng trình luôn có nghiệm.

b/ 2x
1
2
+ 2x
2
2
- 5x
1
x
2
= 27 2[(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
] - 5x
1
x
2
= 27 2(x
1
+ x
2
)
2

- 9x
1
x
2
= 27 8m
2
- 9(2m
+ 1) = 27 8m
2
- 18m - 18 = 0 4m
2
- 9m - 9 = 0
m = 3 m = -3/4.
c/ Giả sử phơng trình có 2 nghiệm: x
1
= 2x
2
ta có:
x
1
+ x
2
= 3x
2
=2m x
2
=2m/3 (1) và x
1
x
2

= 2x
2
2
= 2m - 1x
2
2
= (2m - 1)/2 (2).
Từ (1) và (2) 4m
2
/9 = (2m - 1)/2 8m
2
- 18m + 9 = 0 m = 3/4 m = 3/2
d/ Ta có: x = m + m + 1 = 2m + 1 x = m - m - 1 = -1
Nếu x
1
= 2m + 1, x
2
= -1 thì ta có: 2m + 1 = 1 m = 0
Nếu x
1
= -1, x
2
= 2m + 1 thì ta có: -1 = (2m + 1)
2
vô lý. Vậy m = 0.
Bài 4
Cho phơng trình: (m - 1)x
2
+ 2(m - 1)x - m = 0.
a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này

b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng
Giải
a/ Phơng rình có nghiệm kép m 1 và
'
= 0 m
2
- 2m + 1 + m
2
- m = 0
2m
2
- 3m + 1 = 0 (m - 1)(2m - 1) = 0 m = 1 m = 1/2
Vậy m = 1/2 thì phơng trình có nghiệm kép: x = 1.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 23
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
b/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu



>

<
<




> >


>
<



<



<
>



'
1 2
m 1
m 1
m 1
m 1/ 2
m 0

0 (m 1)(2m 1) 0
m 1
m 0
x x 0 m
0
m 1
m 1
.
c/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm





>

>



>


< <
<

>

>

< <



+ <

<


'
1 2
1 2
m 1
m 1
(m 1)(2m 1) 0
m 1
0
m
0 m 1/ 2
m 1/ 2
0
x x 0
m 1
0 m 1
2(m 1)
x x 0
0
m 1
.

d/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng



>






>
<




>

< <

>
>


>


+ >

>



'
1 2
1 2
m 1
m 1
m 1
(m 1)(2m 1) 0
m 1/ 2
0
m
0 m 1
0
x x 0
m 1
2 0
2(m 1)
x x 0
0
m 1
Loại
Vậy không tồn tại m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng.
Bài 5
Cho phơng trình: x
2
- (2m - 3)x + m
2

- 3m = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm khi m thay đổi.
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 1 < x
1
< x
2
< 6.
Giải
a/ = 4m
2
- 12m + 9 - 4m
2
+ 12m = 9 > 0 phơng trình luôn có 2 nghiệm.
b/ x
1
=

=
2m 3 3
m 3
2
; x
2
=
+
=

2m 3 3
m
2
Với mọi m ta luôn có: m - 3 < m 1 < m - 3 < m < 6 4 < m < 6.
Bài 6
Cho phơng trình: 3x
2
- mx + 2 = 0. Tìm m để pt có 2 nghiệm thoả mãn: 3x
1
x
2
= 2x
2
- 2.
Giải
ĐK:



=





=
=
=

=
=
=


+ =
+ =
=



2
1 2 2
2
2
1 2
1 2
1
1 2
1 2
m 24 0
m 2 6 m 2 6
m 2 6 m 2 6
3x x 2x 2
2 2x 2
x 2
x x 2 / 3
x x 2 / 3
x 1/ 3

x x m / 3
x x m / 3
m 7
Bài 7
Gọi a, b là nghiệm của phơng trình: x
2
+ px + 1 = 0
c, d là nghiệm của phơgn trình: x
2
+ qx + 1 = 0
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
Trang 24
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net
a/ Chứng minh rằng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)
2
b/ Chứng minh rằng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q
2
- p
2
Giải
Theo định lý Viét ta có:
+ = + =


= =

a b p c d q
ab 1 cd 1
.
a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a

2
- ad - ac + cd)(b
2
- bc - bd + cd) =
[a
2
- a(c + d) + cd][b
2
- b(c + d) + cd] = (a
2
+ aq + 1)(b
2
+ bq + 1) =
a
2
b
2
+ a
2
bq + a
2
+ab
2
q + abq
2
+ aq + b
2
+ bq + 1 =
1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)
2

- 2ab] + q
2
+ 1 =
2 + q(a + b) - pq + p
2
- 2 + q
2
+ 1 = p
2
- 2pq + q
2
= (p - q)
2
= VP.
b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c
2
][ab + d(a + b) + d
2
] = (1 + cp + c
2
)(1- dp + d
2
) =
1- dp + d
2
+ cp - cdp
2
+ cd
2
p + c

2
- c
2
dp + c
2
d
2
=
= 1- dp + d
2
+ cp - p
2
+ dp + c
2
- cp + 1 = (c + d)
2
- 2cd - p
2
+ 2 = q
2
- p
2
= VP.
IV/ Phơng trình bậc cao
Bài 8
Giải các phơng trình sau:
a/ x
3
- 2x
2

- x + 2 = 0
b/ x
4
- 3x
3
+ 6x
2
+ 3x + 1 = 0
c/ x
4
+ 2x
3
- 6x
2
+ 2x + 1 = 0
d/ (x
2
- 3x + 1)(x
2
- 3x + 2) = 2
e/ (x + 9)(x + 10) (x + 11) - 8x = 0
f/ (x + 2)
2
+ (x + 3)
3
+ (x + 4)
4
= 2
Giải
a/ Nhẩm thấy x = 2 là nghiệm phân tích VT làm xuất hiện x - 2

x
3
- 2x
2
- x + 2 = 0 x
2
(x- 2)- (x- 2) = 0 (x- 2)(x
2
- 1) = 0 x = 0 x = 1.
Cách khác:
x
3
- 2x
2
- x + 2 = 0 x
3
- 8 - (2x
2
- 8) - (x - 2) = 0 (x - 2)(x
2
+ 2x + 4 - 2x - 4 - 1) (x - 2)(x
2
- 1) =
0 x = 0 x = 1.
b/ Do x = 0 không phải là nghiệm chia cả hai vế cho x
2
0 ta có:

+ + = + =
ữ ữ

2 2
2 2
3 1 1 1
x 3x 6 0 x 3 x 6 0
x x x x
Đặt:
= + = +
2 2
2
1 1
x t x t 2
x x
, thay vào phơng trình ta có:
t
2
- 3t - 4 = 0 (t + 1)(t - 4) = 0 t = -1 t = 4.
Với : t = -1


=


= + =

+
=


1

2
2
1 5
x
1
2
x 1 x x 1 0
x
1 5
x
2
.
Với : t = 4

=
= =


= +

1
2
2
x 2 5
1
x 4 x 4x 1 0
x
x 2 5
.
WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net

Trang 25