Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định

S
Ở
GIÁO D
Ụ
C VÀ
Đ
ÀO T
Ạ
O
T
Ỉ
NH NAM
ĐỊ
NH

ĐỀ
KH
Ả
O SÁT CH
Ấ
T L
ƯỢ
NG H
Ọ
C KÌ I
N
ă
m h
ọ
c 2014 – 2015
Môn: TOÁN, L

ớ
p 12

Th
ờ
i gian làm bài: 120 phút.

Đề
khảo sát này gồm 01 trang.


Câu 1
(
2,0

ñ
i
ể
m
): Cho hàm s
ố

2 1
1
x
y
x
−
=
+

.
1.

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

ñồ
th
ị
(
C
) c
ủ
a hàm s
ố

ñ
ã cho.
2.

Tìm
m

ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng
: 1
d y mx m
= + −
c
ắ
t
ñồ
th
ị
(
C
) t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Câu 2
(
2,0
ñ
i

ể
m
):
1. Tìm giá trị
l
ớn nh
ất và giá tr
ị
nhỏ
nhấ
t c
ủa hàm s
ố
2
(2 8)
x
y e x x
= + − trên
ño
ạ
n
[
]
2; 2−
.
2. Tìm m
ñể
ñồ th
ị hàm s
ố

4 2
2( 1) 2y x m x m
= − + + +
có 3
ñi
ểm c
ực tr
ị A
, B
, C
sao cho
tam giác ABC
có di
ệ
n tích b
ằ
ng 32.
Câu 3 (
1,0 ñ
iể
m): Gi
ả
i phươ
ng trình
2
4sin sin 2 3cos
x x x+ = −
.
Câu 4 ( 2,0 ñiểm): Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi, AB = BC = BD = a,
m

ặt bên SAB
là tam giác ñều và n
ằm trong mặ
t phẳng vuông góc v
ới ñ
áy ABCD. G
ọi H
, M
l
ần l
ượ
t là trung ñ
i
ểm c
ạnh
AB
và SD
.
1.
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
S
.ABCD
theo
a
.
2.

Tính kho
ảng cách giữ
a hai ñườ
ng thẳng
SB và CM
theo a
.
Câu 5
(1,0 ñiểm): Trong mặ
t phẳng với hệ tọ
a ñộ Oxy, cho hai ñường thẳ
ng
1 2
,d d
lần lượ
t
có ph
ương trình là
1
2 1 0
:
x y
d
+ − =
;
2
3 4 4 0
:
x y
d

+ − =
. L
ập phương tình ñường tròn (
T)
có tâm
I thu
ộc
1
d
, có bán kính
5
R
=
và (
T
) c
ắ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng
2
d
t
ạ
i hai
ñ
i
ể

m
A
,
B
sao cho
4
AB =
.
Câu 6
(1,0
ñ
i
ể
m):
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3
2
(2 2) 2 1 3
( , )
5 5 6
x x y y
x y
y xy x y


+ − = +

∈

− + = −


ℝ
.
Câu 7
(1,0
ñ
i
ể
m): Cho hai s
ố
d
ươ
ng x, y th
ỏ
a mãn
2 2
1x y+ =
. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c

ủ
a bi
ể
u
th
ứ
c
1 1
( 1)(1 ) ( 1)(1 )
P x y
y x
= + + + + + .
Hế
t


Thí sinh không
ñược sử dụng tài liệ
u. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………………….; Số báo danh:………………………………
ĐỀ
CHÍNH TH
Ứ
C
20


Đ
ÁP ÁN, BI
Ể

U
Đ
I
Ể
M MÔN TOÁN – L
Ớ
P 12
(
Đ
áp án, bi
ể
u
ñ
i
ể
m g
ồ
m 03 trang)

Câu

Đ
áp án
Đ
i
ể
m

Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số ñã cho.

•
TX
Đ
:
{
}
\ 1
D
= −
ℝ
,
2
3
,
( 1)
y
x
=
+
;

0,25
•
Tìm ñúng tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang;
0,25
•
Lập ñúng, ñủ các thông tin của bảng biến thiên;
0,25

Câu
1.1
•
Vẽ ñồ thị ñúng dạng, ñúng tiệm cận, ñúng giao với các trục tọa ñộ. 0,25
Tìm m ñể ñường thẳng
: 1
d y mx m
= + −
cắt ñồ thị ( C ) tại hai ñiểm phân biệt.

•
Hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình
2 1
1
1
x
mx m
x
−
= + −
+
;

0,25
•

2
(2 3) 0mx m x m⇔ + − + =

, (1) và
1x ≠ −
;
0,25
•

⇔
pt (1) có hai nghiệm phân biệt, khác -1
⇔
(
0; 0; ( 1) 0
m g
≠ ∆ > − ≠
),
g
(
x
) là VT(1);
0,25



Câu
1.2
•

⇔
…
3
4

m
<
và
0
m
≠
.
0,25
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

2
(2 8)
x
y e x x
= + −

trên
ñ
o
ạ
n
[
]
2; 2
−
.


•
TX
Đ
:
D
=
ℝ
, hàm s
ố
liên t
ụ
c trên
ñ
o
ạ
n [-2; 2],
2
,

(2 5 7)
x
y e x x
= + −
;
0,25
•
7
,
0 1; [ 2; 2]
2
y x x
= ⇔ = = − ∉ −
;

0,25
•
Tính
ñ
úng
2
( 2) 2
y e
−
− = −
;
2
(1) 5 ; (2) 2
y e y e
= − =

;
0,25
•
K
ế
t lu
ậ
n
2
[ ] [ ]
2;2 2;2
max 2 ; min 5 .y e y e
− −
= = −

0,25
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố

4 2
2( 1) 2
y x m x m
= − + + +
có 3

ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A, B, C sao cho
tam giác ABC có di
ệ
n tích b
ằ
ng 32.

•
TX
Đ
:
3
,
, 4 4( 1)
D y x m x
= = − +
ℝ
; Hàm s
ố
có 3 c
ự
c tr
ị

khi và ch
ỉ
khi
,
0
y
=
có 3
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t …
1m⇔ > −
;

0,25
•
T
ọ
a
ñộ
các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

là
2 2
(0; 2), ( 1; 1), ( 1; 1)
A m B m m m C m m m
+ + − − + − + − − +
;

0,25
•
Di
ệ
n tích tam giác ABC là
( )
5
2
1 1
. ( , ) .2 1.( 2 1) 1
2 2
S BC d A BC m m m m
= = + + + = +
;

0,25


Câu

2.1

Câu

2.2
•
ycbt
5
( 1) 32 1 2 1 4 3m m m m⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
, Th
ỏa mãn ñk.
0,25
Giải phương trình
2
4sin sin 2 3cos
x x x
+ = −
.

•
pt
2
3 cos sin 2(1 2sin )
x x x
⇔ + = −
;

0,25



Câu
3
•

3 1
cos sin os2
2 2
x x c x
⇔ + =
;
0,25
•
… cos( ) os2
6
x c x
π
⇔ − =
;
0,25
•
Nghiệm pt là
2
; 2 .
18 3 6
x k x k
π π π

π
= + = − +

0,25
1. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD theo a.



•
Có
,( ) ( ) ( )
SH AB SAB ABCD SH ABCD
⊥ ⊥
⇒
⊥
;


0,25
•
Tính ñượ
c
3
2
a
SH

=
;

0,25
•
Tính
ñượ
c di
ệ
n tích h.thoi
ABCD
là
2
3
2
a
;

0,25






Câu
4.1

•
Th
ể
tích kh
ố
i chóp là
2 3
1 1 3 3
. . .
3 3 2 2 4
ABCD
a a a
V S SH
= = =
.

0,25

2.

Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
ñườ
ng th
ẳ
ng SB và CM theo a.


•
G
ọ
i
O
là trung
ñ
i
ể
m
BD
, có
MO//SB
⇒
(MOC)
là mp ch
ứ

a
CM
và song song v
ớ
i
SB
( , ) ( ,( )) ( ,( ))
d SB CM d B MOC d D OMC
= =
⇒
;
0,25
•
G
ọ
i I là trung
ñ
i
ể
m
HD
,
G
là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a

HD
và
AO
, ta có
( )
MI ABCD
⊥
và
4
GD GI
=

( ,( )) 4 ( ,( ))
d D OMC d I OMC
⇒
=
;
0,25
•
Trong (
ABCD
), k
ẻ

,( )
IJ AO J AO
⊥ ∈
; trong (
MIJ
), k

ẻ

,( )
IK MJ K MJ
⊥ ∈
,
ch
ứ
ng minh
ñượ
c
( )
IK MOC
⊥
( ,( ))
d I MOC IK
⇒
=
;

0,25








Câu

4.2
•
Có
1 1 3
;
4 8 2 4
a a
I J OD IM SH
= = = =
, tam giác
MIJ
vuông t
ạ
i
I
2 2 2 2
1 1 1 208
39

52
3
a
IK
IK IJ IM a
⇒
= + = =
⇒
=
,
V

ậ
y
39
( , ) 4 .
13
a
d SB CM IK
= =




0,25
L
ậ
p ph
ươ
ng tình
ñườ
ng tròn (T)…

•
Có
1
( ; 1 2 )
I d I t t
∈
⇒
−
;

0,25
•
G
ọ
i H là trung
ñ
i
ể
m AB, có IH vuông góc v
ớ
i AB,
1
5; 2 1
2
IA R AH AB IH
= = = =
⇒
=


0,25
•

3 4(1 2 ) 4
( , ) 1 1 1
2
9 16
t t
d I d t
+ − −

⇒
= ⇔ = ⇔ = ±
+


0,25





Câu
5
•
Với
1 (1; 1)
t I
=
⇒
−
, phương trình (
T
) là
2 2
( 1) ( 1) 5
x y
− + + =
,
V
ới

1 ( 1; 3)
t I
= −
⇒
−
, phương trình (
T
) là
2 2
( 1) ( 3) 5
x y
+ + − =
.

0,25



Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3
(2 2) 2 1 3 (1)
2
5 5 6 (2)
x x y y

y xy x y
+ − = +
− + = −







S

D

C

A

B

H

G
I

O
K

J
M

•

Đ
k
1
2
x
≥
,
3 3 3
(1) (2 1 3) 2 1 3 ( 2 1) 3 2 1 3
x x y y x x y y
⇔ − + − = + ⇔ − + − = +
;

0,25
•
Xét hàm s
ố

3
( ) 3
f t t t
= +
trên
ℝ
, có
2
,
( ) 3 3 0 ( )

f t t t f t
= + > ∀
⇒

ñồ
ng bi
ế
n trên
ℝ
,
pt(1) tr
ở
thành
( ) ( 2 1) 2 1
f y f x y x
= − ⇔ = −
;

0,25
•
pt(2)
( 5)( 1) 0 5; 1
y y x y y x
⇔ + − + = ⇔ = − = −
;
0,25

Câu
6
•
V
ớ
i
5 2 1 5,
y x
= −
⇒
− = −
Vô nghi
ệ
m;
V
ớ
i
2
1
1 2 1 1 2 2
2 1 ( 1)
x
y x x x x
x x
≥
= −
⇒
− = − ⇔ ⇔ = +
− = −




,
V
ớ
i
2 2 1 2
x y
= +
⇒ = +
. Nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
là
(2 2;1 2)
( ; )
x y
+ +
=
.



0,25
Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn
2 2

1
x y
+ =
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
th
ức
1 1
( 1)(1 ) ( 1)(1 )
P x y
y x
= + + + + +
.

•
Đặt
2
1
2
t
x y t xy
−
+ = ⇒ =
,
Bi
ế
n
ñổ
i
2 2
2

x y x y
P x y
xy
+ + +
= = + + +


2
2( 1) 2
2 2
1 1
t
t t
t t
+
= + + = + +
− −




0,25
•
Có
2
2 2 2
1
( ) 4 4 2
2
t

x y xy t t
−
+ ≥
⇒
≥
⇒
≤
;
L
ạ
i có
2 2
0 , 1 , 1
x y x x y y x y
< <
⇒
> >
⇒
+ >
. V
ậ
y
1 2
t
< ≤
.


0,25
•

Xét hàm s
ố

2
( ) 2
1
f t t
t
= + +
−
trên n
ử
a kho
ả
ng
(1; 2]
có
2
2
,
( ) 1 0, (1; 2]
( 1)
f t t
t
= − < ∀ ∈
−
, suy ra hàm s
ố
ngh
ị

ch bi
ế
n trên
(1; 2]
.


0,25










Câu
7
•
Có
( 2) 4 3 2
f
= +

K
ết luận:
(1; 2]
4 3 2

min ( )
min
P f t
+
= =
.


0,25

Chú ý:
-
Các cách giải ñúng khác ñều ñược cho ñiểm tối ña theo mỗi câu, biểu ñiểm chi tiết của mỗi
câu
ñó ñược chia theo các bước giải tương ñương;
- Điểm của bài khảo sát là tổng ñiểm của các câu, không làm tròn số./.







Xi
n

cảm
ơ
n
Raf

ae
L

F
u
ji

(
le
e
k
u
y
n
g
p
yo
u
n
g
ja
n
1
9@gma
il.
c
o
m
)
đ

ã
g
ửi
t
ới

www
.
la
i
sa
c
.p
ag
e.
t
l

www.DeThiThuDaiHoc.com