Phương Trình,Bất Phương Trình ,Hệ Phương Trình,Biến Đổi Đồng Nhất,Tam Thức Bậc Hai và Định lý Vi-et, Số Học,Hàm Số,Tổ Hợp

Phương Trình,Bất Phương Trình ,Hệ Phương Trình,Biến Đổi Đồng Nhất,Tam Thức Bậc Hai
và Định lý Vi-et, Số Học,Hàm Số,Tổ Hợp
Câu I

3x + 1 + 2 − x = 1

1) Giải phương trình

1 1 9

x + y + x + y = 2

2) Giải hệ phương trình 
 1 + 3  x + 1  = xy + 1


4 2 
y
xy




Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
Chứng minh rằng
a
b
c
3
ab
bc

ca
+
+
= +
+
+
b + c b + c a + c 4 ( a + b )( b + c ) ( b + c )( c + a ) ( c + a )( a + b )

2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc − (10d + e ) chia hết
cho 101?
Câu I

 x 3 + y 3 = 1 + y − x + xy
1) Giải hệ phương trình 
7 xy + x − y = 7

2) Giải phương trình x + 3 + 1 − x 2 = 3 x + 1 + 1 − x
Câu II Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) : 5 x 2 + 8 y 2 = 20412
Câu IVGiả dụ dãy số thực có thứ tự x1 ≤ x 2 ≤ x3 ≤ .... ≤ x192 Thỏa mãn điều kiện

 x1 + x 2 + x3 + ...... + x n = 0

 x1 + x 2 + x3 + ...... + x192 = 2013

Câu I. 1) Giải phương trình

Chứng minh rằng

x192 − x1 ≥

x + 9 + 2012 x + 6 = 2012 +

2013
96

( x + 9)( x + 6)

x 2 + y 2 + 2 y = 4
2)Giải hệ phương trình 
2 x + y + xy = 4
Câu II. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn đẳng thức:


( x + y + 1)( xy + x + y ) = 5 + 2( x + y )

Tìm Min,Max của C(X)

Câu I.

 ( x − 1) y 2 + x + y = 3

1) Giải hệ phương trình 
2
 ( y − 2) x + y = x + 1 .


2) Giải phương trình

x+

3
x2 + 7
=
.
x
2( x + 1)

Câu II. 1) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên ( x, y, z ) thỏa mãn
đẳng thức x 4 + y 4 = 7 z 4 + 5.
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn đẳng thức ( x + 1) 4 − ( x − 1)4 = y 3 .
1) Giải phương trình

(

x+3 − x

)(

)

1− x +1 = 1.


x2 + y 2 = 2x2 y 2

2) Giải hệ phương trình  x + y 1 + xy = 4 x 2 y 2 .
)(
)
(


Câu II. 1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt
quá a và ký hiệu2 là [ a ] . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , biểu thức

1 1
n + 3 n −
+  không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên
27 3 



dương.


Câu IV. Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1,
phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A ( x ≠ 1) , luôn tồn tại a, b cũng thuộc A sao cho
x = a + b ( a có thể bằng b ). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất
2
 2
3 x + 8 y + 12 xy = 23
Câu IGiải hệ phương trình  2
 x + y 2 = 2.


1) Giải phương trình 2 x + 1 + 3 4 x 2 − 2 x + 1 = 3 + 8 x 3 + 1.
Câu II Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

(1 + x )(1 + y ) + 4 xy + 2( x + y )(1 + xy ) = 25.
2

2

1) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt
quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n ngun dương ta ln có.
 3
7
n 2 + n + 1
+
+ ...

=n
n( n + 1) 
1.2 2.3

Câu IGiải phương trình

x + 3 + 3x + 1 = 4
5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26
3 x + ( 2 x + y )( x − y ) = 11.

1) Giải hệ phương trình 
Câu IV

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 , a 2 ,..., a 2010 , ta
đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay
sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các số được đánh
dấu là a 2 = −4, a 3 = 4, a 4 = −1, a5 = 2 ).
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả
các số được đánh dấu là một số dương.
Câu I.1) Giải phương trình

x2 − x + 2 = 2 x2 − x +1

 x 2 − y 2 + xy = 1

2) Giải hệ phương trình 
3 x + y = y 2 + 3


Câu II.1) Tìm chữ số tận cùng của chữ số 1313 + 6 6 + 2009 2009
Câu I.1) Giải phương trình
2) Chứng minh rằng
dương

14 x + 35 + 6 x + 1 = 84 + x 2 + 36 x + 35
1
3
2n − 1
n2
+
+ ... +
=
Với mọi n nguyên
4 + 14 4 + 34
4 + (2n − 1) 4 4n 2 + 1


Câu II.
1) Tìm chữ số nguyên dương n sao cho tất cả các số
n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 Đều là nguyên tố

2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp
M = { (16,2), (4,32), (6,62), (78,8)} bằng cặp số (a + c, b + d)

trong đó cặp số (c, d) cũng thuộc M. Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận
được tập hợp các cặp số M 1 = { (2018,702), (844,2104), (1056,2176), (2240,912)} hay không?


Câu 1:

.Câu 2:


2) Trên quãng đường AB dài 210 km, tại cùng một thời điểm, một xe máy khởi hành
từ A đi về B và một ô tô khởi hành từ B đi về A. Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp 4
giờ nữa thì đến B và ơ tơ đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng xe máy và ô
tô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và của ô
tô.
Câu 3 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = − x và đường
thẳng
(d) : y = mx − n − 2 (m là tham số).
Chứng minh rằng khi m thay đổi, (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x, x .
Tìmmđể|x−x|=
Câu 3 :
Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d) y=mx - m2 + 3 (m là tham số ). Tính tất cả các
giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1; x2 . Với
giá trị nào của m thỡ x1; x2 là độ dài cạnh góc vng của tam giác vng có độ dài cạnh
huyền bằng

Câu 1 Cho

a=

5
.
2

1
2

2+

1.Chứng minh rằng

1
2
−
8 8

4a 2 + 2a − 2 = 0

2. Tính giá trị của biểu thức

S = a2 + a4 + a +1

Câu 2
1.Giải hệ phương trình

2 xy
 2
2

x + y + x + y = 1

 x + y = x2 − y

2. Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức :


a 3 b + ab 3 + 2a 2 b 2 + 2a + 2b + 1 = 0
Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ.
Câu 3 Tìm tất cả các số ngun tố p có dạng
cho

a4 + b4 + c4

p = a2 + b2 + c2

với a, b, c là các số nguyên dương sao

chia hết cho p

Câu 5 Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu) ,trong đó có 655 viên bi màu
đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và 45 viên bi còn lại là viên bi màu vàng hoặc màu trắng
( mỗi màu ít nhất 1 viên). Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì .Chứng minh rằng trong số các viên bi lấy
ra luôn có ít nhất 45 viên bi cùng màu .Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì thì kết quả bài tốn cịn
đúng khơng ?
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :

(x +

1+ x2

)( y +

)

1+ y2 = 1

Chứng minh x+y=0
Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn xy ≠

 23 2 xy

vào x, y P = 


2 2
3
x y − 4

+

2 và xy ≠ − 2 . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc

xy − 3 2  2 xy
xy
.
−
3
 xy + 3 2 xy − 3 2
2 xy + 2 2 

Câu 2
1) Cho phương trình x 2 + bx + c = 0 , trong đó cá tham số b và c thoả mãn
đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho
2
x1 = x 2 + x 2

x y z
 3 + 12 − 4 = 1

Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình: 
Hãy tính giá trị của A = x + y + z
 x + y + z =1
10 5 3

Câu 3

Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện:
i)
ii)

ap + 1 chia hết cho q.
aq + 1 chia hết cho p.

Chứng minh a >

pq
2( p + q )

Câu 5

Một hình vng có độ dài bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình
chữ nhật bất kỳ khơng có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật
này.
1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02.
2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.


 3  4 x 4 + 1  x 3 − x (4 x − 1) − 4    x 2 + 29 x + 78 
−  x − 2 ÷ 7
÷ ÷ 
÷
x + 1  x + 6 x 6 − x − 6    3 x 2 + 12 x − 36 
2 

Câu 1: A = 

1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Câu 2:
Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1 ,(d2): y = m2x + m – 2
Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m

Với m là tham số

2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định.

Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ

 x + 1 = y + z (1)


2
 xy + z − 7 z + 10 = 0(2)

1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2
1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn a − b = 1 − b 2 − 1 − a 2

Câu 1:

a2 + b2 = 1

Chứng minh rằng
2.Chứng minh rằng số

2009 2 + 2009 2.2010 2 + 2010 2 là số nguyên dương

Câu 2:
Giả sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau
Phương trình x 2 − 2cx − 5d = 0 có 2 nghiêm a và b
ii)
Phương trình x 2 − 2ax − 5b = 0 có 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng:
i)

1. a – c = c – b = d - a
2. a + b + c + d = 30
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt

S = m 2 n 2 − 4m + 4n

Chứng minh rằng:
1. Nếu m>n thì

( mn

2

−2

)

2

< n2S < m2n4

2. Nếu S là số chính phương thì m=n
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số

2 ;2;

1
2

.Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :

1.


Mỗi lần chơi ta xố hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xố hai số

mới

a+b

a−b

đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng ln có ba số
2
.Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng khơng đồng thời có ba số

1
2 2

2

và

; 2 ;1 + 2 .

Câu 1: (2điểm)Cho biểu thức
A=

3
3

 3 x2 − 4
x2  3
 +  x + 2 x .
: 2 +
( x ≠ 8; x ≠ −8; x ≠ 0)

3
2+3 x 
2+3 x  
x − 2  3 x 2 + 23 x

 


8− x

Chứng minh A không phụ thuộc biến số
Câu 2 : ( 2 điểm)
Cho phương trình bậc 2 : x2-2(m+1)x+4m-m2 =0 ( tham số m)
1-Chứng minh PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2-Gọi x1;x2 là 2 nghiệm của phương trình .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = x1 − x 2

Câu 3: ( 2 điểm)
 x 2 + y 2 + 2( x + y + xy ) = 0

 2
x + y 2 + 4x − 2 y + 4 = 0


Giải hệ phương trình
Câu 1 ( 2,0 điểm )



Cho biểu thức P = 



x

 3+ x

+

2x   x − 1
2
−
÷: 
9− x ÷  x −3 x
x
 


÷.
÷


1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
2) Tìm giá trị của x để P = −

4
3

Câu 2 ( 2,0 điểm )
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 + 4x + 1 = y4.
 x 2 + xy + y 2 = 3


2) Giải hệ phương trình:  3
.
 x + 3(y − x) = 1


Câu 2: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. với a là số nguyên dương, biết: f(5) - f(4)
= 2012 . Chứng minh: f(7) - f(2) là hợp số
Câu 6: Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý sao cho khi 3 điểm bất kỳ thì tồn tại 2 điểm
mà khoảng cách


giữa 2 điểm đó ln bé hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một đường trịn có bán kính bằng 1
chứa ít nhất 1007 điểm( kể cả biên
2
Bài 1. (2,0 điểm) Cho phương trình: x − 2 ( m + 2 ) x + 6m + 1 = 0 với x là ẩn, m là tham số.

a/ Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b/ Tìm điều kiện của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
Bài 2. (3,0 điểm)a/ Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a − ab − 6b = 0 .
Tính giá trị của biểu thức: P =

a+b
.
a + ab + b

 x 2 − 3y = 2

b/ Giải hệ phương trình:  2
9y − 8x = 8


Bài 1 (2 điểm).
3
1) Cho a = 2 + 3 +

1
3

2+ 3

. Chứng minh a là nghiệm của phương trình a 3 − 3a − 4 = 0.

2) Tìm các số tự nhiên n để n3 − 4n 2 − 2n + 15 là số nguyên tố.
Bài 2 (2 điểm).

1) Giải phương trình

x + 10 − x = 4.

 x 2 − 2 y 2 − xy + 2 y − x = 0

.
2) Giải hệ phương trình  2
2
 x − y + 6 x + 12 = 0

3 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2 x 2 − xy + 3x − 2 y − 5 = 0 .
2
4 Chứng minh rằng: x +

Bài 5 (1 điểm).
hết
cho

5 6
− + 5 > 0, ∀ x ≠ 0
x2 x

Cho các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 2051. Chứng minh rằng tích abc chia
3
nhưng
khơng
chia
hết
cho
12

Câu 1 (7,0 điểm).a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

( x + 1 + 1)(5 − x) = 2 x.

 x 2 − 2 xy + x − 2 y + 3 = 0
 2
2
 y − x + 2 xy + 2 x − 2 = 0.

Câu 2 (3,0 điểm).Tìm các số tự nhiên

x và y thoả mãn 2 x + 1 = y 2 .

Bài I (2điểm)Với a ≠ ±b giải phương trình: (a4 – b4)x2 – 2(a3 – b3)x + a2 – b2 = 0


 x - y - xy = 2 + 3 2


1) Giải hệ phương trình: 

2
2
x + y = 6


Bài II(2,0điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 – 9n – 3 chia hết cho n – 11
Bài IV(1,5điểm)Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn: xyz = x2 – 2z + 2
Bài V(1,0điểm)Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì ln chọn được 27 số mà tổng
của
chúng
chia
hết
cho
27
Câu 1 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) của hàm số:
y = x 2 − (2m 2 + 1) x + m − 1 và đường thẳng (D): y = 3x +

m

; trong đó m là tham số.
2

a) Cho m = 1 , tìm hồnh độ các giao điểm của (P) và (D).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (P) và (D) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có
hồnh độ khơng âm.
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình:

5x
= 5x + 9 − 3 .
5x + 4

b) Cho hai số x, y liên hêê với nhau bởi đẳng thức x 2 + 2 xy + 7( x + y ) + 2 y 2 + 10 = 0 . Tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 1 .
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương x1 , x2 ,K , xn , n thỏa mãn:
x1 + x2 + L + xn = 5n − 4 và

1 1
1
+ + L + = 1 Câu 5 (1,0 điểm). Trong một hơêp có 2010 viên sỏi.
x1 x2
xn

Có hai người tham gia trị chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên sỏi và nhiều
nhất là 20 viên sỏi. Người nào bốc viên sỏi cuối cùng sẽ thua cêc. Hãy tìm thêt chơi để
đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuôêc
(1)
Câu 1 (3,0 điểm). Cho phương trình : x 4 − mx 3 + (m + 1) x 2 − m(m + 1) x + (m + 1) 2 = 0
(trong đó x là ẩn, m là tham số)

1. Giải phương trình (1) với m = −2.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình (1) có bốn nghiệm đơi một
phân biệt.
Câu 2 (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp hai số nguyên ( x; y) thỏa mãn x 4 − x3 + 1 = y 2
Câu 5 (1,0 điểm). Cho đa giác lồi A1 A2 K A100 . Tại mỗi đỉnh Ak ( k = 1, 2,...,100 ), người ta ghi
một số thực ak sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2
hoặc 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên
mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác


nhau.
Câu 1: a) Giải phương trình: x2+2x+3= 2 x 2 x + 3

b) Giải hệ phương trình:

x( x − 2)(2 x − y ) = 6

2
( x − 3) + 2 y = 10

Câu 2: a) Cho a,b,c là các số thực khác 0, thoả mãn: ab+bc+ca=0
Tính tổng: T =

bc ca ab
+ +
a 2 b2 c 2

b) Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thoả mãn: 3x2+6y2+z2+3y2z2-18x=6
Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F =

b) Tìm các giá trị a, b sao cho:

1− 4 x
2x
− 2
2x +1 x +1

a 2 + 1 b2 + 1 1
.
= (ab + 1)
a −1 b −1 2

Câu 5: Lấy 2011 điểm thuộc miền trong của tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 2015 điểm,
trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác ban đầu là 1cm2.
Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2015 điểm đã cho có diện tích khơng
vượt q
Câu

1
cm2
4024

6)Giải phương trình

Câu7)Giải

3x 2 − 5 x + 6 = 2 x x 2 + x − 3

hệ phương trình sau:

1
 4
 2x + y + 3x − y = 2

4x + 12y = 7 ( 2x + y ) ( 3x − y )


Bài 2: (2.5 điểm)
Cho phương trình x2 – 2x + m = 0 (1), với m là tham số.
1) Tìm tất cả giá trị ngun của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 thoã x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
và 1 + x1 + 1 + x 2 = 1+ 3 .
2) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệmx1,x2 sao cho N=(x12+x2)
(x22+x1) là một số chính phương.

Bài 2: (3 điểm)
a) Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.


Chứng minh rằng phương trình cx 2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương phân
biệt.
b) Giải phương trình :

2− x
x+4
−2
+1 = 0
x+4
2− x

c) Chứng minh rằng có duy nhất bộ số thực (x ; y ; z) thỏa mãn điều kiện :

x − 2008 + y − 2009 + z − 2010 + 3012 =

1
( x + y + z)
2

Bài 4: (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (a ; b) nghiệm đúng điều kiện :

(a − 1) 2 ( a 2 + 9) = 4b 2 + 20b + 25 .
Bài 5: (1 điểm)
Người ta gọi “Hình vng (V) ngoại tiếp tứ giác lồi ABCD”
khi tứ giác ABCD nằm trong (V) và trên mỗi cạnh của (V)
có chứa đúng một đỉnh của tứ giác ABCD (Hình 1).
Giả sử tứ giác lồi ABCD có hai hình vng ngoại tiếp
khác nhau. Chứng minh rằng tứ giác này có vơ số hình
vng ngoại tiếp nó.
Bài 1: (3 điểm)
a) Khơng sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức :

3 − 3 − 13 − 4 3 = 1 .




x +1 + y = 5
( x + 2 x + 1) y = 36


b) Giải hệ phương trình : 

2

Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trình: x 4 − 2mx 2 + 2m − 1 = 0 .
Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm x1, x2 , x3, x4 sao cho:

x1 < x2 < x3 < x4 và x4 − x1 = 3 ( x3 − x2 ) .
Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau
đồng thời được thỏa mãn:


(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số
hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vng có độ dài ba cạnh là các số ngun. Chứng minh rằng có
thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên




 2001
2
1
1
+
.
Bài 1(1,0 điểm) Cho biểu thức: M = 
2

2
3   2 x +1 
 2 x −1   x + 1
÷ 1+ 
÷
1 + 
3 
3  

 


Tìm x để biểu thức có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M và tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 2(2,0 điểm)
1.Giải phương trình : x − 1 + x − 4 = 3.
2.Tìm m để phương trình x2 + (2m +3)x +3m + 11 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 khác 0
thoả mãn

1 1
1
−
=
x1 x 2 2

Bài 5 (2,0 điểm)
x + y = z

1. Giải hệ phương trình nghiệm nguyên: 

3

3
2
x + y = z

.

 x − y − xy = −1

Câu 1: Giải hệ phương trình: 

2
2
 x y − xy = 2

Câu 2:
1) Thu gọn biểu thức: A =

45 + 27 2 + 45 − 27 2
5+3 2 − 5−3 2

−

3+ 2 + 3− 2
3+ 2 − 3− 2

 ax + by = 5
(a,b nguyên dương và a khác b)
bx + ay = 5

Câu 4: 1) Cho hệ pt: 

Tìm a,b để hệ có nghiệm (x;y) với x,y là các số nguyên dương.
 x 2 − 3xy + 3 y 2 − z 2 = 31

2) Chứng minh không tồn tại cá số nguyên x, y, z thỏa mãn hệ:  2
2
 x + xy + 8 z = 100


Câu 1 : (4 điểm)


1) Giải hệ phương trình :

 1
 x +1 + y = 1


 2 + 5y = 3
 x +1


2) Giải phương trình: (2x2 - x)2 + 2x2 – x – 12 = 0
Câu 2 : (3 điểm)
Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2+ 4m – 3 = 0 (x là ẩn số)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) thỏa |x1| = 2|x2|
Câu 3 : (2 điểm)
Thu gọn biểu thức:

A=

7+ 5 + 7− 5
7 + 2 11

− 3− 2 2

Câu 5 : (3 điểm)
a) Cho phương trình: 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 (x là ẩn số và m, n là các số nguyên).
Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số ngun.
Chứng minh rằng: m2 + n2 là hợp số.
b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .
Tính P = a2010 + b2010
Câu 1( 2,0 điểm)

2x 2 + 4
1
1
−
−
Cho biểu thức: T =
3
1− x
1+ x 1− x
1. Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T
2. Tìm giá trị lớn nhất của T .
Câu 2 ( 2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm)

 2 x 2 − xy = 1

 2
2
4 x + 4 xy − y = 7

1. Tìm các số nguyên a để phương trình: x2- (3+2a)x + 40 - a = 0 có nghiệm
nguyên. Hãy tìm các nghiệm ngun đó.


a≥0


b≥0
2. Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện: 
19a + 6b + 9c = 12


Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
x 2 − 2(a + 1) x + a 2 + 6abc + 1 = 0
x 2 − 2(b + 1) x + b 2 + 19abc + 1 = 0

Câu 1. ( 2,0 điểm )
Giả sử x, y, z là các số thực thay đổi sao cho x3 + y3 + z3 ≠ 0
Chứng minh:

xyz − ( x + y + z ) 1
= ⇔ x+ y+z =0
2( x 3 + y 3 + z 3 ) 6

Câu 2: ( 2,5 điểm )
1. Giải phương trình:

x −2 − x −3 = x −4

 x 2 − 2 xy − 6 y + 4 = 0

2. Giải hệ phương trình:  2
5 y − 2 xy + 5 = 0


Câu 4: ( 1,0 điểm ) : Với mỗi số tự nhiên n, đặt T = 2n + 3n + 5n + 6n. Chứng minh rằng T
không là lập phương của một số nguyên
Bài 1 a. Giải phương trình:

3

x − 2 − 3 2x − 3 = 1 .


1
1
 x+ − y + =1
y
x
b. Giải hệ phương trình: 
.
( xy + 1)( x + y ) = 5 xy


Bài 2 Số đo 2 cạnh góc vng của một tam giác vng là nghiệm phương trình bậc
hai:

(m - 2)x2 – 2(m - 1)x + m = 0 . Hãy xác định giá trị của m để số đo
đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác là

2
5

Bài 3 Cho a, b, c là 3 số khác khơng. Tính giá trị biểu thức: P = x2010 + y2010 + z2010
Biết rằng x, y, z thoả mãn điều kiện:

x2 + y 2 + z 2 x2 y 2 z 2
=
+
+ .
a 2 + b2 + c2 a 2 b2 c2

Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

x
y
+
1− x
1− y

Với các số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1
Câu IV: (2,0 điểm)


 x + y − xy = 3


1/ Giải hệ phương trình: 

 x +1 + y +1 = 4


Câu 2 ( 2,0 điểm)
Cho phương trình x2 +mx+1=0 ( m là tham số)
a) Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm
2
x12 x2
b) Tim m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 Thỏa mãn 2 + 2 > 7
x2 x1

2 x 2 + 2 xy − 5 x − y + 2 = 0

Câu 3 ( 2,0 điểm)a) Giải hệ phương trình  2
2
4 x + y + 2 x = 3


b)Giải phương trình
Câu 5 (1,0điểm)

x + 1 + x + 16 = x + 4 + x + 9

Cho x.y.z là các số không âm thỏa mãn x + y + z =

3
.Tìm giá trị nhỏ nhất
2

S = x3 + y 3 + z 3 + x 2 y 2 z 2
Câu 1 ( 2.0 điểm)
a) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a2+ b2= 2.Chứng minh rằng:
a 4 + 8b 2 + b 4 + 8a 2 = 6
Câu 2 ( 2,0 điểm)
Cho phương trình x2 -4x+m2+3m=0 ( m là tham số)
c) Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm
d) Tim m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 Thỏa mãn điều kiện
A = x12 + 4 x2 + 2 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất
Câu 3 ( 2,0 điểm)
Giải phương trình x 4 + x 2 + 2012 = 2012
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình

x2 − x + 1 + x2 − 9 x + 9 = 2 x

 x2 + y 2 = 2
b) Giải hệ phương trình: 
 xy ( x + y ) = 3 x − y


Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình:

(

2x + 3 + 2

)(

)

x + 6 − x +1 = 5 .

 x3 y + 2 y = 3

b) Giải hệ phương trình:  3
 y (3 x − 2) = 1


Câu 2 (2,0 điểm).
Cho hai số nguyên x, y . Chứng minh rằng: ( x − y )( x − 2 y )( x − 3 y )( x − 4 y ) + y 4 + 2 khơng
phải là số chính phương.
Câu 5 (2,0 điểm).
Trên mặt phẳng cho bảy điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Gọi h là đội dài lớn
nhất của các đoạn thẳng nối hai trong bảy điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một
tam giác có các đỉnh là ba trong bảy điểm đã cho thỏa mãn diện tích của nó nhỏ hơn
h 2 (4π − 3 3)
24


1)

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = 4 . Tính

giá trị của biểu thức:
A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) − abc
Câu II ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình

4 − x2 + 6 = 2 2 + x + 3 2 − x .

 x2 + y2 = 5

2) Giải hệ phương trình 
.
2
2
 xy ( x − y ) = 6


Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 2( x − y ) .
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 1+ p + p 2 + p 3 + p 4 là số hữu tỷ
Bài 1: (1.5đ) Giải hệ phương trình
1
=3
y
.
( x +1) y = 2 x

{

x+ y+

Bài 2: (1.5đ) Cho phương trình x4+(1−m)x2+2m−2=0 (m là tham số)
1.Tìm các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
2.Trong trường hợp pt có 4 nghiệm phân biệt là x1, x2, x3, x4, hãy tìm các giá trị của m sao

cho

x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 x3 x4 x2 x3 x4
+
+
+
= 2013 .
2 x4
2 x3
2 x2
2 x1
3 Tìm số tự nhiên có 3 chữ số n = 100a + 10b + c sao cho biểu thức
nhất.
Bài 3:

a) Giải phương trình

x − 1 + 4x + 1 = 4

4xy 2 − 2x 2 y = x − 2y

b) Giải hệ phương trình  3
2x − x − 8y + 3 = 0

Câu 1:a. Giải hệ phương trình:

b. Giải phương trình

n
đạt giá trị nhỏ

a+b+c


Câu 2:
a. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức
b. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn
Chứng minh rằng
Câu 3:Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện

là số hữu tỉ và

số nguyên tố.
Câu 5:
Từ một đa giác đều 15 đỉnh, ta chọn ra 7 đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có 3 đỉnh trong số các đỉnh đã ch ọn là 3
đỉnh của một tam giác cân

là


x + y = a + b

2) Cho trước a, b ∈ R ; gọi x, y là hai số thực thỏa mãn 

3
3
3
3
x + y = a + b

Chứng minh rằng: x 2011 + y 2011 = a 2011 + b 2011 .
Câu 2 (2,0 điểm)Cho phương trình: x 3 + ax 2 + bx − 1 = 0 (1)
1) Tìm các số hữu tỷ a và b để phương trình (1) có nghiệm x = 2 − 3 .


2) Với giá trị a, b tìm được ở trên; gọi x1; x2 ; x3 là ba nghiệm của phương trình (1). Tính giá
trị của biểu thức S =

1 1 1
+ 5+ 5.
x15 x2 x3

Câu 3 (2,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 + 5 x 2 y 2 + 60 = 37 xy .


2)

Giải

hệ

phương

trình:

Bài 4 (1,0 điểm).
Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

1
1
+
.
abc 1 − 2( ab + bc + ca )

 x3 − x = x 2 y − y


4
 2 ( x + 1) − 5 x + y + 2 = 0



Câu 1 (2,0 điểm).
Giải phương trình:

x3 + x 2 + 3x + 3 + 2 x = x 2 + 3 + 2 x 2 + 2 x .

Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương ( x ; y ; z ) thỏa mãn: 3( xy + yz + zx ) = 4 xyz .
Câu 5 (1,0 điểm).
Hai bạn Vĩnh và Phúc được cho 2012 chiếc kẹo. Họ chia kẹo cho nhau theo quy tắc: luân phiên nhau, mỗi
người ở một lần chỉ được lấy ít nhất là 1 chiếc kẹo và nhiều nhất là 4 chiếc kẹo. Vĩnh là người được lấy
đầu tiên. Người nào lấy được chiếc kẹo cuối cùng thì người đó thắng cuộc. Hỏi ai là người có thể ln
thắng cuộc?
Bài 1: (2 điểm)
Cho A =

a)

2012 2 + 20122.20132 + 20132

. Chứng minh A là một số tự nhiên.

 2 1 x
x + y2 + y = 3
Giải hệ phương trình 

b)
x + 1 + x = 3

y y

Bài 2: (2 điểm)
a) Cho Parbol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m +2)x – m + 6. Tìm m để đường thẳng (d) cắt
Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ dương.
Giải phương trình: 5 + x + 2 (4 − x)(2x − 2) = 4( 4 − x +

2x − 2)

Bài 5: (1 điểm)
Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng
một trận).
a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội thi đấu đúng 4 trận) ln tìm được ba đội bóng đơi một chưa
thi đấu với nhau.
b) Khẳng định trên cịn đúng khơng nếu các đội đã thi đấu 5 trận
Câu 6. (1,5 điểm)
Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số M = a 2 + ab + b 2 (a, b ∈ N* )là 0.

a) Chứng minh rằng M chia hết cho 20.
b)
Tìm
Câu 1 (3,0 điểm).

chữ

 xy = x + y + 1

a) Giải hệ phương trình:  yz = y + z + 5
 zx = z + x + 2

b) Giải phương trình:

số

( x,

y, z ∈ ¡

hàng

chục

)

x 2 + 3x + 2 + x 2 − 1 + 6 = 3 x + 1 + 2 x + 2 + 2 x − 1 ,

( x∈¡ ) .

của M.


Câu 2 (2,0 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì 2 ( 12013 + 22013 + ... + n 2013 ) chia hết cho n ( n + 1) .
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thỏa mãn điều kiện p 2 − 2q 2 = 1 .
Câu 5 (1,0 điểm). Hỏi có hay khơng 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b,
c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

2
2
Câu I: Cho phương trình: x − 4mx + m − 2m + 1 = 0(1) với m là tham số.

a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1; x 2 phân biệt. Chứng minh rằng: khi đó x1; x 2 không thể
trái dấu nhau.
b) Tìm m sao cho:

x1 − x 2 = 1

3x 2 + 2y + 1 = 2z ( x + 2 )
 2

Câu II: Giải hệ phương trình: 3y + 2z + 1 = 2x ( y + 2 )
 2
3z + 2x + 1 = 2y ( z + 2 )

3
3
Caâu III: Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y ≤ x − y

a) Chứng minh rằng: y ≤ x ≤ 1
b) Chứng minh rằng: x 3 + y3 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1
Caâu IV: Cho M = a2 + 3a + 1 với a là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.
Tìm a sao cho M
chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5
Câu VI: Trong một kỳ thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí
sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:
a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều
giải được.
Có
một
bài
toán
mà
có
ít
nhất
40
thí
sinh
giải
được

Câu 5. (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương
đồng
thời
Bài 1. (2.0 điểm)

x2 + y 2 + z 2

( x; y; z ) thỏa
là

mãn

x + y 2013
là số hữu tỷ,
y + z 2013
số


x
x −3
7 x + 10 
x +7
−
−
a) Cho A = 
. Tìm x sao cho A < 2 .
÷:
x − 2 x + 2 x + 4 x x −8  x + 2 x + 4


nguyên