TÀI LIỆU ÔN THI VAO LỚP 10 HAY

đề cơng ôn thi vào lớp 10 THPT
Phần i: Lý thuyết
A. Đại số :
Câu 1 : Nêu định nghĩa căn bậc hai số học của một số a 0
+ áp dụng tính :
81
;
16,009,0 +
;
09,0
;
36
49
;
64,0
+ Nếu viết :
2
a
= a thì đúng hay sai ? vì sao ?
+ Tìm số tự nhiên A biết rằng căn bậc hai số học của nó bằng chính số đó
*
xx
2
=
khi.*
xx
2
=
khi
Câu 2 : Nêu điều kiện để
A

có nghĩa:
áp dụng tìm x để các căn thức bậc hai sau có nghĩa:
a.
x5
; b.
x51
; c.
1x
2
+
; d.
2
x1

e.
x
; f.
12x2x
2
+
g.
10x6x
2
+
Câu 3: trình bày quy tắc khai phơng một tích; nhân các căn thức bậc hai?
áp dụng tính: a.
25.36
;
121.81.16
;

225.4.7

b.
50.90
;
)9).(16(
;
2
a4
c.
2
.
50
;
3
.
27,0
;
83 +
.
83
Câu 4: nêu quy tắc khai phơng một thơng; chia hai căn thức bậc hai?
áp dụng tính: a.
64
25
;
25.0
16.0
;
256

225
;
9
4


b.
27
3
;
2
08,0
;
23
2412
+
+
Câu 5: viết công thức tổng quát: đa một thừa số ra ngoài dấu căn? đa một thừa số vào trong dấu căn?
khử mẫu của biểu thức dới dấu căn? trục căn thức ở mẫu?
áp dụng tính:
a. tính:
3
+
27
= ? ;
80
+
45
= ?
b. so sánh: 3

3
và
24
; 5
2
và 3
5
c. tính: :
32
+
2
1
-
23
1

= ?
Câu 6:Nêu định nghĩa và các tính chất của hàm số bậc nhất?
áp dụng :
a)Các hàm số sau có phải là hàm số bậc nhất không ? tại sao ?
y=2x+3 (1); y=-x (2) ; y=2-3x (3) ; y=
1x +
(4) ; y=2x+3- 2x (5); y=x(x+5)-x
2
(6)
b)Trong các hàm số bậc nhất ở phần a,Hàm số nào đồng biến , nghịch biến tại sao?
Câu 7:Cho hai đờng thẳng : y=ax+b (d) ;y=mx+n (p)
Khi nào hai đờng thẳng đã cho cắt nhau? song song ? Trùng nhau ? Trong mỗi trờng hợp đó lấy ví dụ và
vẽ đò thị minh hoạ
Câu 8:Khi nào hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng ?

áp dụng :các cặp phơng trình sau có tơng đơng không ? vì sao?
a) 2x-6=0 và x
2
=9 ; b) x
2
- 4x +4 =0 và 4x-8 =0 ; c) x
2
+2x +2=0 và x
2
+2x +14=0
Câu9 :Cho phơng trình bậc hai ẩn x: ax
2
+bx +c=0 (a0)
Chứng minh rằng:Nếu a , c trái dấu thì phơng trình chắc chắn có hai nghiệm phân biệt trái dấu
B. hình học
Câu 1:Cho hình vẽ :
C
H
B
A
Điền tiếp vào chỗ () để đợc kết quả đúng
AB
2
= ; AH
2
=
AC
2
= ; CB
2

=
AB.AC=.;
2
AH
1
=.
SinC = == CosC = ==
tgB = == CotgB = ==
Câu2: Cho hình vẽ tính độ dài đoạn thẳng AB bằng cách
hoàn chỉnh lời giải bài toán sau:
Ta có H là trung điểm của dây AB =>

Xét tam giác AOH có H=90
0
, OH

AB (chứng minh trên)
áp dụng định lý Pitago ta có : AO
2
=
thay số ta đợc :.
=> AB=
Câu 3:Cho hình vẽ:Viết công thức tính số đo các góc
trong các hình vẽ dới đây:
Phần ii : bài tập
A. Đại Số:
Bài 1 : Tính :
a.
0025,0
;

09,0
;
0036,0
;
8100
c.
2
9
;
2
)5(
;
2
)7(
;
4
)12(

b.
42
5.2
;
121.64
;
49
36
d.
925
;
169 +

;
2
)43(
;
9
5
1

Bài 2 : Đa thừa số ở trong ra ngoài dấu căn.
a.
72
;
162
;
54
;
48
;
75
b.
48.32
;
44.128
;
14.21
;
Bài 3 : Tính
a.
28
+

7
; b.
50
+
32
-
162
c.
20
-
125.10
+
48
Bài 4 : Khử mẫu của biểu thức dới dấu căn
4
5
;
3
2
;
2
3
;
7
1
;
1x
5
+
(với x > -1)

Bài 5 : Tính a.
3
2
+
2
3
; b.
7
1
+
7
9
+
28
25

Bài 6 : Trục căn thức ở mẫu
3
5
B
H
A
O
C
D
S
B
A
M
D

K
F
B
A
x
B
A
B
A
D
H
P
a.
2
1
;
7
3
;
11
11
;
9
2
b.
15
1
+
;
15

3

;
27
12
+

;
12
714


;
31
515


Bài 7 : Tính: a.
15
1
+
+
15
1

; b.
23
3
+
-

23
3


B ài 8 : Thực hiện phép tính:
22823.)1
+
2872783.)2
+
)83)(83.)(3
+
3:)753125272.)(4
+
2).5083182.)(5
+
)343)(532.)(6

22
)32()32.)(7
++

13
1
13
1
.)8

+
+
27

12
27
12
.)9

+
+
+


57
1
:)
31
515
21
714
.(10

+
+



15
15
35
35
35
35

.)11

+
+

+
+
+


48533523802.)12


13.
( )
75:182123

14.
( )
3.108475548
+
15.
( )( )
531252
+
16.
2
3
72
2

1
2 ++

17.
( )
132322 +
18.
( )
200732625625 ++

B ài 9: Tính:
A=
2524
1

32
1
21
1
+
++
+
+
+
B =
1009999100
1

4334
1

.
3223
1
2112
1
+
++
+
+
+
+
+
C=
22222222
100
1
99
1
1
5
1
4
1
1
4
1
3
1
1
3

1
2
1
1
++++++++++++
Dạng toán : Rút gọn
Bài 10 : Cho 2 biểu thức : A=
24057 +
; B =
24057
Tính : 1). A.B 2.) A
2
+B
2
3.) A-B
Bài 11 : Viết các biểu thức sau thành bình phơng một tổng hoặc hiệu.
a) a
2
+ 2ab + b
2
b) x
2
+ 4x + 4
c) 8 + 2
15
d) 10- 2
21
e) 14 + 6
5
g) 8-

28
h)11+
282
i)29-
216
Bài 12 : Tính :
a)
( ) ( )
22
2323
++
b)
( ) ( )
22
3232
+
c)
( )
( )
2
2
3535 ++
d)
1528 +
-
1528
e)
(
)
625 +

+
1528
g)
83
5
223
5
324324
+


++
Bài 13
*
: Giải phơng trình:
21212 =++ xxxx
Bài 14 : Cho các số x 0 : y 0 hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1)
2
)( xx =
;
( )
2
yy =
từ đó suy ra x-y= (
x
)
2
- (
y

)
2
=(
x
+
y
) (
x
-
y
)
2)
yyxx +
=.
3)
1xx
=
4)x - 1=
5)
12 ++ xx
=
6)
44 + xx
=
7)
yyxx
=
8)
xyyx
=

9)x + y + 2
xy
=
Bài 15 : Rút gọn các biểu thức sau :
1) A=
xy
xyyx +
2) B =
nm
mnnm
nm
nm
+
++



Bài 16 : Cho biểu thức : A=
xx
xx
x
x




2
1
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Rút gọn A

c) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3+
8
d) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị nguyên
Bài 17 : Cho biểu thức A =
2
44
)4(3
16
2

+
+


x
xx
x
x
-
2
4
+

x
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài 18 : Cho biểu thức : B =
62

3
62
3
+



+
a
a
a
a
1) Tìm a để B có nghĩa
2) Rút gọn B
3) Tìm a để B < 1
4) Tìm a để B = 4
Bài 19 : Cho biểu thức : P =
3
3
1
2
32
1926
+

+


+
+

x
x
x
x
xx
xxx
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = 7- 4
3
c) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính GTNN đó.
Bài 20 : Cho biểu thức: M=








+

+



13
23
1:
91
8
13
1
13
1
a
a
a
a
aa
a
a) Rút gọn M
b) Tìm a để M =
5
1
1
Bài 21 : Cho biểu thức: E=

+
+











1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
a) Rút gọn biểu thức E

b) Tìm x để E =
15
c) Tính giá trị của biểu thức E khi x = 3+
22
Bài 22 : Cho M =








+

+

+








+
+
+

1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm a để M = 7
c) Tìm a để M > 6
Bài 23 : Cho biểu thức: A=








+
+

+


+

+








+

6m5m
2m
m3
2m
2m
3m
:
m1
m
1
a) Tìm m để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm m để A nhận giá trị âm
Bài 24 : Rút gọn các biểu thức sau :

a) U=
yx
yx
yx
xyyx
+

+

++ 2
b) V=
ba
abba
bab
a
aba
b

+



.
Bài 25: Cho biểu thức : R
2 3 6
2 3 6 2 3 6
a b ab
ab a b ab a b

+

=
ữ
ữ
+ + + +


a) Rút gọn R
b) Chứng minh rằng nếu R =
81
81

+
b
b
thì khi đó
a
b
là một số nguyên chia hết cho 3.
Bài 26 : Cho biểu thức: B=
x2
1
6xx
5
3x
2x
2

+
+

+
+
a. Rút gọn B
b. Tìm giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên
c.Tính giá trị của B biết x =
32
2
+
Bài 27 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
c. Tìm x khi K=
2
1
d. Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 28 : Cho biểu thức: G=
2

1x2x
.
1x2x
2x
1x
2x
2
+








++
+



1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G
3. Tính số trị của G khi x = 0,16
4. Tìm gía trị lớn nhất của G
5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 29 : Cho biểu thức: P=
2

1x
:
x1
1
1xx
x
1xx
2x










+
++
+

+
Với x 0 ; x 1
a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1
Bài 30 : cho biểu thức Q=

+









+


+
+
a
1
1.
a1
1a
a22
1
a22
1
2
2
a. Tìm a dể Q tồn tại

b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 31: Cho biểu thức :
A=
x
x
xxyxy
x
yxy
x


+
+
1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
Bài 32:Xét biểu thức: P=
( )

+
+








+
+

+
+ 4a
5a2
1:
a16
2a4
4a
a
4a
a3
(Với a 0 ; a 16)
1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
dạng toán: phơng trình bậc hai
Giải các phơng trình sau bằng cách điền tiếp vào chỗ ( )
1) Giải phơng trình: 3x

2
-27x = 0 3x(x-) = 0 3x= 0 (1) hoặc (2)
Giải(1) x=
Giải(2) x=
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm
2) Giải các phơng trình: 5x
2
- 45 = 0 x
2
- = 0 x
2
= 9 x
1,2
=
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm
3)Giải phơng trình: 2x
2
-2007x +2005= 0
(a= ;b= ;c=)
Ta có:a+b+c== 0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ;
??:Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình bày ngắn gọn chính xác.
4) Giải phơng trình: 2x
2
+7x -5= 0
(a= ;b= ;c=)
Ta có: =.= >0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm . ;
5) Giải phơng trình: x

4
- 7x
2
+10 = 0(*)
Đặt x
2
= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
- 7y +10 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.= >0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==
Với y
1
=; y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
1
==> x
2
= <=>
y

2
==> x
2
= <=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;
6) Giải phơng trình:
06x5x =+
(*)
Đặt
x

= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
+5y -6 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.= >0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==
Với y
1
=;. thoả mãn điều kiện của bài toán => y
1
=(loại)
y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x

2
= y
Nên y
2
==>
x
= <=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2x
2
- 50 = 0 d)54x
2
= 27x g)y+
y
= 0 6=0
b)
2
4
53
2
2
=
+
x
x
e) y+
y
=0
c) y-

2 0y
=
f)5
y
+4=0
Bài 2: Giải các phơng trình
a) 3x
2
-17x - 20 = 0
b) 2x
2
- 2007x + 2005 = 0
c) x
2
+ x + 1 = 0
d) x
2
- 4x + 4= 0
e) x
2
+ 3x - 1 = 0
f) x
2
- x +
22
= 0
Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ
1) x
4
- 5x

2
- 6 = 0
2) x
4
+ 7x
2
- 8 = 0
3) x
4
+ 9x
2
+ 2 = 0
4)
1
1
2
1
2
2
+
+=

x
x
x
5)
2
1
1
=

+
+
+
x
x
x
x
6)
( ) ( )
03222
2
2
2
=++ xxxx
7)
( )
( )
0845yy8y5y
2
2
=++
8)
( )
6555
22
=
yy
9)
0224
22

=++
xx
Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x
2
+ mx - m
2
-12 = 0 (1)
có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn lại
Giải: Để phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2 thì:
5.2
2
+m.2 -m
2
-12=0
8+m.2 -m
2
=0
m
2
-2m - 8 = 0(*)
Giải (*)Ta có: '= = > 0 =>
'
=
=> phơng trình (*) có hai nghiệm m
1
== ; m
2
==

+)Với m
1
= phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x
1
+x
2
=-
5
m
.
Mà x
1
=2 ; m
1
= Nên 2 + x
2
=-
5
4
x
2
=.=
+)Với m
2
= phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2.

lúc đó theo Vi-et ta có: x
1
+x
2
=-
5
m
.
Mà x
1
=2 ; m
2
= Nên 2 + x
2
= x
2
=.=
Vậy

Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) b
2
x
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7 . Tìm nghiệm còn lại
c) (b-1)x
2

+ (b+1)
2
.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5 : Cho các phơng trình ẩn x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép:
a) x
2
+ 5x + k = 0 c) x
2
- (2k+3) + 4k + 2 = 0
b) x
2
+ kx + 2 = 0 d) (k-1) x
2
+ kx + 1 = 0
Bài 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm.
Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt
Chứng minh rằng phơng trình: (m-3)x
2
+ m x +1= 0
có nghiệm với mọi giá trị của m
Giải: phơng trình: (m-3)x
2
+ m x +1= 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m = lúc đó phơng trình(*) trở thành:
3x+1=0 x=
=> m = thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.(1)
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: === m
2

- 4m + 12
= m
2
- 2(.).m +( )
2
- +12 = ( - .)
2
+.
Nhận thấy: ( m - .)
2
0 Với mọi m 3 ( m - .)
2
+ 8 .>0 Với mọi m 3
Hay >0 Với mọi m 3 => phơng trình(*) có hai nghiệm Với mọi m 3 (2)
Từ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với mọi m
Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
a)x
2
+(m+1)x+m=0 b) x
2
-mx + m - 4 = 0
c) -3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x
2
+ 4x - m
2
+ 4m - 9 = 0
e) (m+1)x

2
+ x - m = 0
Tìm m để phơng trình bậc hai: x
2
+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Giải: phơng trình bậc hai: x
2
+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0
30-5m < 0 .<=> m > 6
Vậy m.
Chú ý:Trong dạng toán này Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta
không phải xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.
a) x
2
+ 2x + m - 1 = 0 b) x
2
+ mx + 7 = 0
c)-3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) 3x
2
- 2(2m+1)x+ m
2
-2 5 = 0
e) (m
2
+ 4 m +4)x
2

+ mx - 1 = 0
Bài 10 : Cho phơng trình : (m+3)x
2
- m(m+5)x + 2m
2
= 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
Giải và biện luận phơng trình: (m-3)x
2
+ 2(m-2) x +m = 0 (ẩn x , tham số m)
Giải: phơng trình: (m-3)x
2
+ 2(m-2)x +m = 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m = lúc đó phơng trình(*) trở thành:
.x+1=0 x=
=> m = thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: '== = -m +4
-Khi '>0 hay -m+4 >0 m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc
lúc đó phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x
1
=
3m
m4)2m(

+
;.

-Khi '=0 hay -m+4 =0 m= 4
m <4
m3
lúc đó phơng trình(*) có nghiệm kép x
1
=.=
3m
)2m(


=2 (do m= 4)
-Khi '>0 hay -m+4 <0 . kết hợp vơí điều kiện ta đợc.
lúc đó phơng trình(*) vô nghiệm
Vậy m = thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.





Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx
2
- 2(m-2) x + m - 3 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình
Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là
a) 3 và 5 b) 3-
5
và 3 +
5

c) 3-
2
và 3 +
2
d)
223
1

và
223
1
+
e)
ba
+
1
và
ba

1
với a b
Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1-
5
và 1 +
5
Giải: Đặt x
1
=3-
5
và x

2
= 3 +
5
Ta có: x
1
+x
2
=+= 6
x
1
.x
2
=(.).( )=.= 4
áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình: .= 0
Vậy phơng trình cần lập là:
Bài 13 : Cho phơng trình : x
2
+ 5x - b = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
và y
2

thoả mãn :
y
1
= x
1
2
+ 1 và y
2
= x
2
2
+ 1
Bài 14:Cho phơng trình : x
2
- 2010
2005
x +1 = 0
Có 2 nghiệm x
1
và x
2
.Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn :
y
2
= x
1

2
+ 1 và y
1
= x
2
2
+ 1
Bài 15: Giải hệ phơng trình :
a)



=
=+
35y.x
5yx
b)



=
=
60y.x
11yx
c)



=
=+

12y.x
25yx
22
Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phơng trình
a) 5x
2
- 7x - 1 = 0
Giải: có : a.c = .=-5 < 0 => phơng trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b) 5x
2
- 7x + 2 = 0
Giải: phơng trình: 5x
2
- 7x+2 = 0
(a= ; b=.; c=.)
Ta có : =.= 9 > 0
áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
.





=
=
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng
c) x
2
+ 11x + 5 = 0
Giải: phơng trình: x

2
+11x+5 = 0
(a= ; b=.; c=.)
Ta có : =.= . > 0
áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
.





=
=
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
d) 5x
2
+ x + 2 = 0
Giải: phơng trình: 5x
2
+ x +2 = 0
(a= ; b=.; c=.)
Ta có : =.= < 0
=> phơng trình vô nghiệm
Bài 16 : Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của
các phơng trình sau :
1) 3x
2
+ 5x - 1 = 0 3) 5x
2
- 14x + 1 = 0

2) 7x
2
-3x + 1= 0 4) 2x
2
- 4x - 3 = 0
5) 4x
2
- 3x +2 = 0 6) x
2
+5x +1 = 0
Cho phơng trình : x
2
- 2x + m-3 = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình có
hai nghiệm cùng dấu dơng ?
Giải : phơng trình : x
2
- 2x + m-3 = 0 (*)
(a= ; b=.; c=.)
Để phơng trình(*)có hai nghiệm cùng dấu dơng thì:
.
0x.x
0xx
0'
21
21

>
>+
>
hay
.
.
)3 (
)2 (
)1 (






Giải(1): 4-m > 0 .<=>
Giải(2): 2 > 0 luôn đúng
Giải(3): . > 0 .<=>
Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:
Vậy m
Bài 17 : Cho phơng trình : x
2
- 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình
1) có 2 nghiệm trái dấu
2) có 2 nghiệm cùng dấu
3) Có ít nhất 1 nghiệm dơng
4) Có 2 nghiệm cùng dấu dơng
5) Có 2 nghiệm cùng âm
Bài 18 : Tìm giá trị của m để phơng trình:
a) x

2
- 2mx + (m-1)
2
= 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng
b) 2x
2
- 2(m+1) x + m = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng âm
c) x
2
- 2x + 2m -30 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 19 : Cho phơng trình : 5x
2
- 6x - 8 = 0
Không giải ph ơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau(x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình)
1) S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2

2) A = x
1
2

+ x
2
2
; B =
21
x
1
x
1
+
; C =
1
2
2
1
x
x
x
x
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E = x
1
(1-x
2

) + x
2
(1-x
1
) ; F = x
1
3
- x
2
3
Bài 20 : Cho phơng trình : x
2
- 8x + n = 0 (1) n là tham số
a) Giải phơng trình với n = 1
b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn
1) x
1
- x
2
= 2 ; 3) 2x
1
+ 3x
2
= 36
2) x

1
= 3x
2
; 4) x
1
2
+ x
2
2
= 50
Bài 21 : Cho phơng trình : 3x
2
- 4x + m = 0
Tìm để phơng trình có nghiệm x
1
; x
2

thỏa mãn
a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia
b) Hiệu hai nghiệm bằng 1
Bài 22 : Cho phơng trình x
2
- 2(m-2)x - 6m = 0 (ẩn x)
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
= 5, tìm nghiệm còn lại
c) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
d) Gọi x

1
; x
2
là nghiệm của phơng trình. Hãy tính A = x
1
2
+ x
1
2
theo m
từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
dạng toán về tìm giá trị lớn, nhất nhỏ nhất của một biểu thức nghiệm
Ví dụ 1: Cho phơng trình x
2
+ 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Hãy m để biểu thức A= x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó
Giải: a) phơng trình: x
2

+ 2(m-3)x + 2m -15= 0 (ẩn x)
(a= ;b==>b'=;c=.)
Ta có : '=
= m
2
-8m+24
= m
2
-2m( )+(.)
2
-+24
=( )
2
+
Nhận thấy: ( )
2
0 với mọi giá trị của m
=> ( )
2
+ > 0 với mọi giá trị của m
Hay '> 0 với mọi giá trị của m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Theo a) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
.





=

=
(I)
Lại có: A= x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
= x
1
x
2

(+)
Thay (I)vào A ta đợc :
A= -2(m-3)( )
=. = - 4m
2
+ 42m - 90
-A = 4m
2
- 42m - 90
= (2m)
2
-2.2m( )+(.)

2
-- 90
=(-)
2
-
Nhận thấy: ( )
2
0 với mọi giá trị của m
<=> ( )
2
- với mọi giá trị của m
Hay -4A với mọi giá trị của m A với mọi giá trị của m
Dấu "=" xảy ra khi =0 m=
Vậy giá trị
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
- 2(3m+1)x + 9m
2
-17= 0 (1) (ẩn x)
Hãy m để biểu thức A= x
1
+ x
2

đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x
1
, x
2

là nghiệm của

phơng trình (1) )
Giải: phơng trình x
2
- 2(3m+1)x + 9m
2
-17= 0 (1) (ẩn x)
(a= ;b==>b'=;c=.)
Ta có : '=
= 6m+18
Để hpơng trình (1)có nghiệm thì ' 0 hay m
Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x
1
+ x
2

=
mà m .=> 6m. 6m+ Hay A.
Dấu "=" xảy ra khi m =
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là khi m=
Bài 23 : Cho phơng trình x
2
+ (m+1)x + m = 0 (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m
b) Hãy tính x
2
1
x
2

+ x

2
2
x
1
theo m
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :E = x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
d) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Bài 24 : Cho phơng trình: x
2
+ mx + m - 2 = 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng Phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2(x
2
1

+ x
2
2
) - x
1

(x
1
-x
2
)- x
2
(x
2
+x
1
)
Bài 25 : Cho phơng trình: x
2
- (k+1)x + k = 0 (1) ẩn x tham số k
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính biểu thức
A = x
2
1
x
2

+ x
2
2
x

1
+2007 theo m. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 26 Cho phơng trình: : x
2
+ 2mx + m
2
+ 4m + 8 = 0 (1) (ẩn x)
a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghiệm
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của :A=x
1
+x
2
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của :B=x
1
+x
2
+x
1
.x
2
+2007
Bài 27 *: Cho phơng trình: x
2
- (m+1)x + m
2
-2m + 2 = 0 (ẩn x)
a) Tìm giá trị của m để phơng trình vô nghiệm
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m
d) Tìm m để A = x

2
1
+ x
2
2
đạt giá trị lớn nhất
e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức B = x
1
+ x
2
Bài 28 : Cho phơng trình : 2x
2
+ 2(m+1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (ẩn x)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
b) Tìm giá trị lớn nhất của A = x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2

Bài 29 : Cho phơng trình: x
2

- (k-3)x + 2k + 1 = 0 (1) (ẩn x)
a) Với giá trị nào của k thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm hãy tính P = x
1
+ x
2
; S = x
1
. x
2
c) Viết hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc lập với k
Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc lập với m của mỗi phơng trình sau
a) x
2
- (2m+5)x + m + 3 = 0 b) x
2
-2(m-3)x - 2(m-1) = 0
c) x
2
+ (m-1) x+ m
2
+ 5m = 0 d) (m-1)x

2
- 2mx + m + 1 = 0
Bài 31 : Cho phơng trình: x
2
- (2m-1)x+ m
2
- m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó
b) Tính A = 2x
1
x
2
+ x
1
+ x
2
theo m
c) Tìm m để A 3
Bài 32 : Cho hai phơng trình : x
2
- 7x + 6 = 0
x
2
+ (m+1)x + 24 = 0
Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung
Bài 33 : Cho hai phơng trình : x
2
+ x + m = 0 và x
2
+ mx + 1 = 0

a)Với giá trị nào của m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó.
b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
2x
2
- (3m+2) x + 12 = 0
4x
2
- (9m-2)x + 36 = 0
Bài 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng
x
2
+(3m+2n)x - 4 = 0
x
2
+ (2m-3n)x + 2n = 0
Bài 36 : Cho hai phơng trình x
2
+ p
1
x + q
1
= 0 và x
2
+ p
2
x + q
2
= 0
Biết rằng: p

1
p
2
= 2(q
1
+ q
2
) . CMR: ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Bài 37 : Chứng minh rằng hai phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
và a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2)
Có ít nhất một nghiệm chung thì (ac
1
- a
1
c)
2
= (ab
1
- a

1
b) (bc
1
-b
1
c)
Một số bài toán tổng hợp về phơng trình bậc hai:
Bài 38: Cho phơng trình: x
2
- 2(m+1) x +m-4 = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi m=1
b)CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình(1).CMR A= x
1
(1-x
2
)+ x
2
(1-x
1
) không phụ thuộc vào m.
d)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x
1
2
+x
2

2
Bài 39: Cho phơng trình: x
2
- (k+1) x +k = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi k = 2004
b)CMR phơng trình luôn có nghiệm
c)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình .Tính B= x
1
2
+ x
2
2
- 16 x
1
.x
2
theo k.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B.
d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
=5
e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép .Tìm nghiệm đó

Bài 40:Cho phơng trình: x
2
- (a-1) x - a
2
+a - 2 = 0 (1)
1) CMR phơng trình (1)luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi a.
2)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình .Tính S= x
1
2
+ x
2
2
theo a.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S.
3)lập hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2
độc lập với a.
4)Tìm a để nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
1
x

1
+
2
x
1
nhận giá trị dơng
Bài 41:Cho phơng trình ẩn x : (m+1)x
2
+ 5 x +m
2
- 1= 0
a) Giải phơng trình với m =-1
b)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4.
Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x
2
- 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1)
1.Giải phơng trình khi a=1
2. CMR phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a khác -1.
3. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
4. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia.
5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và
nghiệm kia nhỏ hơn 1.
Bài 43:Cho phơng trình ẩn x : x
2
+ p x +q = 0(1)

a)Không giải phơng trình tính theo p,q biểu thức
A=
2
2
2
1
)3x2(2
1
)3x2(2
1
+
+
+
theo p ,q
b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm là 1 và 2
c)lập 1 phơng trình bậc hai có nghiệm là
1x
1x
1
1

+
và
1x
1x
2
2

+
d)Giả sử p+q = 1 .CMR phơng trình (1)và phơng trình ở câu (c) có nghiệm chung .

e)CMR nếu phơng trình (1) và phơng trình: x
2
+ n x +m = 0 có nghiệm chung thì
(n+p)
2
+(m- p)(mq-np) = 0.
Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x
2
+ 2m x +2m-1 = 0 (1)
1)CMR phơng trình (1)luôn có nghiệm với mọi m
2)Giả sử x
1
,x
2
là các nghiệm của phơng trình (1)
a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2
là độc lập với m.
b. Tìm m để x
1
- x
2
=6.
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A== x
1
2
x
2

+ x
2
2
x
1
3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3.
4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1<x<3
giải bài toán bằng cách lập hệ pt và phơng trình
I. dạng toán chuyển động.
Bài 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h
thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và
thời gian dự định lúc đầu
Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều nhau, gặp
nhau ở vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không đổi nhng ngời đi chậm xuất
phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc ở mỗi ngời.
Bài 3 : Quãng đờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 4 : một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km. Vì có việc gấp phải đến B trớc dự định là 45
phút nên ngời ấy phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km. Hãy tính vận tốc dự định của ngời đó.
Bài 5 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Lúc từ B về A, ngời đó có công việc bận cần
đi theo con đờng khác dễ đi nhng dài hơn lúc đi là 5 km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h. Nên thời gian về ít
hơn thời gian đi là 40 phút. Tính quãng đờng lúc đi.
Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30 một ngời đi xe máy cũng đi từ A
đến B và đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc của xe máy gấp
2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 7 : Hai ngời cùng khởi hành lúc 7 giờ từ hai tỉnh A và B cách nhau 44 km và đi ngợc chiều nhau họ
gặp nhau lúc 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời. biết rằng vận tốc ngời đi từ A hơn vận tốc ngời đi
từ B là 3 km/h.
Bài 8 : Từ hai địa điểm cách nhau 126 km. Có một ngời đi bộ và một ngời đi ô tô cùng khởi hành lúc 6

giờ 30 phút. Nếu đi ngợc chiều nhau họ sẽ gặp nhau lúc 10 giờ, nếu đi cùng chiều(ô tô đi về phía ngời đi
bộ) thì ô tô đuổi kịp ngời đi bộ lúc 11 giờ. Tính vận tốc ngời đi bộ và của ô tô.
Bài 9 : Hai tỉnh A và B cách nhau 150 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngợc chiều nhau, gặp
nhau ở C cách A 90 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ A 50 phút thì hai
xe gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 10 : Một ô tô dự định đi 120 km trong một thời gian dự định trên nửa quãng đờng đầu. Ô tô đi với
vận tốc dự định. Xong do xe bị hỏng lên phải nghỉ 3 phút để sửa. Để đến nơi đúng giờ. xe phải tăng vận
tốc thêm 2km/h trên nửa quãng đờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên quãng đờng.
Bài 11 : Một ô tô đi dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian dự định sau khi đợc 1
giờ. Ô tô bị chặn bởi một xe lửa 10 phút, do đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận tốc 6 km/ giờ. Tính
vận tốc ô tô lúc đầu.
Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm 1 đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một ngời đi từ A
đến B hết 40 phút, còn đi từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về. vận
tốc xuống dốc đi bằng vận tốc xuống dốc về). Tính vận tốc xuống dốc và vận tốc lên dốc.
Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB. Thời
gian đi AB là 4 giờ 20, thời gian về BA là 4 giờ. Tính quãng đờng AC, CB. Biết vận tốc xuống dốc là 15
km/h, vận tốc lên dốc là 10 km/h (Vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về, vận tốc xuống dốc
lúc đi bằng vận tốc xuống dốc lúc về).
Bài 14 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến A đuổi
theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền. Biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền là
12 km một giờ.
Bài 15 : Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km, rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi nhiều hơn thời
gian ngợc dòng là 2 giờ, vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngợc dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc của ca nô
lúc xuôi dòng và lúc ngợc dòng.
Bài 16 : Một ca nô đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến sớm 2 giờ,
nếu ca nô giảm vận tốc 3 km/h thì đến chậm 3 giờ. Tính thời gian dự định và vận tốc dự định.
Bài 17 : Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tính vận tốc thực
cuả ca nô. Biết tổng thời gian ca nô xuôi và ngợc hết 8 giờ 20 phút và vận tốc của dòng nớc là 4 km/h.
Bài 18 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 7 giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km. Một lần
khác ca nô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và

vận tốc của dòng nớc.
Bài 19 : Trên một khúc sông một ca nô xuôi dòng hết 4 giờ và chạy ngợc dòng hết 5 giờ. Biết vận tốc
của dòng nớc là 2 km/h. Tính chiều dài khúc sông và vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng.
Bài 20 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II
chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp. Tính chiều dài khúc
sông, biết hai cô nô đến nơi cùng một lúc.
Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau. Sau 1 giờ 40
phút 2 ca nô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô. Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca
nô ngợc dòng là 9 km/h. Và vận tốc dòng nớc là 3 km/h
Bài 22 : Hai bến sông A, B cách nhau 40 km, cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi
từ bến A với vận tốc 3 km/h sau khi đến B ca nô trở bến A ngay và gặp bè trôi
đợc 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 23. Một ôtô đi từ A và cần tới B lúc 10 giờ khi còn cách B 40 km.
Ngời lái xe thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì đến B lúc 10 giờ 10 phút. Ngời đó đã
tăng vận tốc thêm 10 kkm/h do đó đến B lúc 10 giờ kém 10 phút . Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
Bài 24. Một ôtô đi từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc về vận tốc tăng 10km/h . Do đó thời
gian về ít hơn thôừi gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 25. Một ca nô đi xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng trở lại 27 kmhết 3 giờ 30 phút . Biết vận tốc thực
của ca nô là 20 km/h. Tính vận tốc dòng nớc.
Bài 26. Hai ngời cùng đi quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc . Vận tốc ngời thứ nhất
ít hơn vận tốc của ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngời thứ hai là 4 giờ . Tính vận tốc
và thời gian đi quang đờng AB của mỗi ngời.
Bài 27 . Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời
ấy đi vòng con đờng khác dài hown con đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h .
Tính vận tốc lúc đi .Biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút.
Bài 28.Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một từ A đến B . Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên họ
đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút . tính vận tốc mỗi ngời , biết rằng quãng đờng AB dài 30 km. Sử dụng
tính chất.
Bài 29 . Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B , cùng một lúc đó có một ngời đi bộ từ bến A dọc theo bờ
sông hớng đến B. Sau khi đi dợc 24km ca nô quay lại và gặp ngời đó tại một địa điểm cách bến A 8km .

Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của ngời đi bộ và vận tốc dòng nớc đều bằng
4km/h.
II. Dạng toán chung - riêng
Bài 1 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, họ cùng
làm với nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật,
năng suất tăng gấp đôi lên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình
thì bao ngày xong công việc trên (với năng suất bình thờng).
Bài 2 : An và Bình cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm trong 5 giờ
và Bình làm trong 6 giờ thì cả hai ngời làm đợc
4
3
công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình làm công việc
đó thì trong mấy giờ xong.
Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10
phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì đầy
15
2
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao nhiêu lâu mới đầy
bể.
Bài 4 : Hai vòi nớc nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì đầy bể.
Hỏi nếu vòi thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 5 : Hai lớp 9A và 9B cùng tu sửa khu vờng thực nghiệm của nhà trờng trong 4 ngày xong. Nếu mỗi
lớp tu sửa một mình muốn hành thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày. Hỏi
mỗi lớp làm một mình thì trong bao lâu hoàn thành công việc.
Bài 6 : Hai tổ sản xuất nhận chung một công việc.Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành
3
2
công
việc . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong công việc trớc tổ 2 là 5 giờ. Hỏi mỗi tổ làm một mình thì
trong bao lâu xong công việc.

Bài 7 : Hai tổ cùng đợc giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ 1
làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi tổ cần làm
trong bao lâu mới hoàn thành công việc.
Bài 8: Hai ngời làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50. Sau khi làm đợc 5 giờ. Ngời thứ nhất
phải điều đi làm việc khác, nên ngời kia làm tiếp 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu làm một mình
mỗi ngời làm trong bao lâu thì xong.
Bài 9 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc, nếu làm riêng mỗi ngời nửa công việc thì tổng cộng số giờ
làm việc là 12h30. Nếu hai ngời làm chung thì hai ngời chỉ làm trong 6 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi
ngời làm riêng thì mất bao lâu xong việc.
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể thì sau
5
4
4
giờ đẩy bể, môĩ giờ lợng nớc của vòi 1 chảy bằng
2
1
1
lợng nớc ở vòi 2. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 11 : Hai ngời thợ dự định cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 thì xong nhng trong thực tế
ngời 1 làm trong 5 giờ và ngời 2 tăng năng xuất lên gấp đôi và làm trong 3 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc
4
3
công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong bao lâu xong công việc.
Bài 12 : Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3
giờ, ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm công việc đó một mình thì
trong bao lâu xong công việc.
III. tăng năng xuất :
Bài 1 : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi ngời
còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ lúc đầu (năng suất mỗi ngời nh nhau).
Bài 2 : Hai đội thuỷ lợi gồm 5 ngời đào đắp một con mơng. Đội 1 đào đợc 45 m

3
đất, đội hai đào đợc
40 m
3
. Biết mỗi công nhân đội 2 đào đợc nhiều hơn ccông nhân đội 1 là 1m
3
. Tính số đất mỗi công nhân
đội 1 đào đợc.
Bài 3 : Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày đợc 52 ha.
Vì vậy đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4 ha nữa. Tính diện tích
thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định.
Bài 4 : Một tổ dệt khăn mặt, mỗi ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế mỗi ngày đã dệt
thêm đợc 60 chiếc, cho nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trớc 3 ngày mà còn dệt thêm đợc 1200
khăn mặt so vơí kế hoạch . Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu.
Bài 5 : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong 1 thời gian quy định thì mỗi giờ phải
bơm 10 m
3
. Sau khi bơm đợc
3
1
dung tích của bể chứa, ngời công nhân vận hành cho máy bơm với công
suất lớn hơn, mỗi giờ bơm đợc 15 m
3
do đó bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định. Tính
dung tích bể chứa.
Bài 6 : Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Thời gian làm theo
năng suất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm theo năng suất giảm đi 20 sản
phẩm mỗi ngày ( tăng, giảm so với năng suất dự kiến). Tính năng suất dự kến theo kế hoạch.
Bài 7 : trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ một vợt mức 15%, tổ
hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao

nhiêu chi tiết máy.
Bài 8 : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ 1 sản
xuất vợt mức 15%, tổ 2 sản xuất vợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy.
Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài9 . Một tàu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày đánh bắt đợc 30 tấn cá . Nhng thực tế mỗi ngày
đánh bắt thêm đợc 8 tấn nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm đợc 2 ngày mà còn đánh bắt vợt
mức 20 tấn . Hỏi số tấn cá dự định đánh bắt theo kế hoạch là bao nhiêu?
Bài 10. Trong một buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam và nữ đã trồng đợc tất cả 180 cây. Biết rằng
số cây các bạn nam trồng đợc bằng số cây các bạn nữ trồng và mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ
là 5 cây.Tính số học sinh nam và nữ.
IV. Toán hình học :
Bài 1 : Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau2m. Tìm các
cạnh góc vuông của tam giác.
Bài 2 : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m, ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất
của vờn) rộng 2m. Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m
2
. Tính các kích thớc của vờn.
Bài 3 : Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 13/12 cạnh còn lại
bằng 15m. Tính cạnh huyền.
Bài 4 : Tìm hai cạnh của tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13 cm, hiệu hai cạnh góc vuông là 7 cm.
Bài 5 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m và chiều dài tăng
thêm 3 m thì diện tích sẽ tăng thêm 195 m
2
. Tính các kích thớc của miếng đất.
Bài 6 : Tìm các kích thớc của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 120m, diện tíc bằng 875m
2

Bài 7 : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m
2
. Tính cạnh đáy của hình tam giác biết rằng nếu tăng

cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.
Bài 8 : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10 m . Thì
diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m
2
. Tính chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 9 : Một tam giác vuông có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m. Tính mỗi cạnh góc vuông.
Bài 10 : tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết hiệu của chúng bằng 4 m và diện tích tam
giác bằng 48 m
2
.
Bài 11. Tính độ dài các cạnh của một tam giác vuông , biết rằng chúng là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Bài12 . Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 34m , đờng cao 13 m.
Bài13. Một tam giác vuông có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm. Tính độ
dài các cạnh của tam giác vuông đó.
Bài14. Tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuôngcó cạnh huyền bằng 10. Và một trong các cạnh
góc vuông bằng trung bình cộng của cạnh kia và cạnh huyền.
Bài15. Một sân tam giác có diện tích 180 m
2
.Tính cạnh đáy của tam giác biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m
và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.S
hệ ph ơng trình
Bài 1
a)



=
=
42
22

yx
yx
b)



=
=+
20510
152
yx
yx
c)



=
=+
432
3
yx
yx
d)



=+
=+
975
432

yx
yx
e)



=++
=+
0386
243
yx
yx
f)







=+
=
8
3
2
4
1
32
y
x

y
x
Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :
a)







=
=+
8
311
8
511
yx
yx
b)







=

+

=


01
2y
1
x
3
2
2y
2
x
1
c)







=

+
+
=


+
1

2
3
2
20
1
2
1
2
4
yxyx
yxyx
Bài 3 : Cho hệ phơng trình
( )



=
=+
7
53
yx
yxm
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình



=+

=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm
Bài 5 : Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên.
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình:



=
=+
8050)4(

16)4(2
yxm
ymx
(I)
b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài 7* : Giải phơng trình sau :
a)
558 =++ xx
b)
482
22
=++ xx
hàm số
b ài 1 : Trong hệ trục toạ độ ,gọi (P) là đồ thị của hàm số y=ax
2.
a)Tìm a biết đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2;4)
b)vẽ đồ thị hàm số vừa tìm đợc ở câu a)
Bài 2:Cho hai hàm số y=2x
2
và y=3x-1
a) Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ
b)Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên bằng phơng pháp đồ thị ,rồi kiểm tra lại bằng
phơng pháp đại số
Bài 3:Cho hàm số y=x
2
có đồ thị là (P)và y=2x+m có đồ thị là (d)
a)Viết phơng trình hoành độ của hai đồ thị hàm số
b)Tìm giá trị của m để (P)và (d) tiếp xúc nhau ? Vẽ hình minh hoạ
c) Tìm giá trị của m để (P)và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ?
d) Tìm giá trị của m để (P)và (d) không cắt nhau nhau ?

Bài 4:cho parabol(P) có phơng trình:
2
x
2
1
y =
.Tìm a,b trong đờng thẳng y=ax +b (d)
Biết(d) đi qua A(-2;-2) và tiếp xúc vơí parabol(P)
B:phần thứ hai : hình học
I_chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 1 : Chứng minh rằng các tứ giác trong các hình vẽ dới đây nội tiếp đợc một đờng tròn.
O
P
Q
E
F
x
G
H
O
A
K
M
N
A
D
C
B
A
D

C
B
A
Bài 2 : Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở bên ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đ-
ờng tròn (O). M là một điểm tuỳ ý trên dây BC (MB ; M C) đờng thẳng vuông góc với OM tại M cắt
AB, AC lần lợt ở D và E. CMR
a. Tứ giác ODBM và tứ giác ABOC nội tiếp một đờng tròn.
b. M là trung điểm của DE.
Bài 3 : Cho đờng tròn (O) một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó . Trên dây AB lấy hai điểm
E và H. Các đờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt tại C và D. CMR tứ giác EHCD nội tiếp một đ-
ờng tròn.
Bài 4 : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O). Gọi S là điểm chính giữa của cung nhỏ CD.đ-
ờng thẳng AD cắt BS ở E. đờng thẳng BC cắt AS ở F CMR
a. Tứ giác AFEB nội tiếp một đờng tròn.
b. ED.EA= ES.EB
c. DC song song với EF.
Bài 5 : Cho ABC nhọn các đờng phân giác trong của góc

B
và góc

C
gặp nhau ở S . các đờng phân
giác ngoài

B
và

C
gặp nhau ở E

a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn.
b> Gọi M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE. CMR tứ giác ABMC nội tiếp
Bài 6: cho đờng tròn (0) và một điểm A ở ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp
xúc với đờng tròn (0) ở B và C gọi M là một điểm tuỳ ý trên đờng tròn
( MB ; MC ).Từ M kẻ MH vuông góc với BC, MK vuông góc với AC, MI vuông góc với AB
a> chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK
c> chứng minh MI.MK= MH
2

Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB .M là một điểm trên đờng tròn(MA; M B).
C là một điểm trên cạnh AB (CA; C0;CB) đờng vuông góc MC tại M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B
với đờng tròn (0) tại E va F chứng minh
a> Tứ giác BCMF nội tiếp một đớng tròn
b> Tam giác ECF vuông tại C
Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB và CC cắt nhau tại H
a)chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp . Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCBC.
b)Tia AO cắt đờng tròn (O) ở D, cắt BC ở I. CMR tứ giác BIDC nội tiếp,
từ đó suy ra AO BC
c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M của BC
Bài 9 : cho (O; R) hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.
AE cắt OC ở F, DE cắt AB ở N.
a. Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng tròn đó
b. Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy
Bài 10 : cho hai đờng tròn (O
1
) ; (O
2
) cắt nhau tại E và F ; O
1

O
2
cắt (O
1
) tại A, C ; cắt (O
2
) tại B, D (sắp
xếp theo thứ tự A, B, C, D) và cắt EF tại H. P là một điểm trên tia đối của tia EH. CP cắt (O
1
) tại M ; BP
cắt (O
2
) tại N ; AM cắt DN tại I chứng minh rằng :
a. Tứ giác MPNI nội tiếp
b. HA. HC = HB. HD
c. Tứ giác BNMC nội tiếp
d. H ; I ; P thẳng hàng và tứ giác ANMD nội tiếp.
II-Chứng minh đại lợng a.b=c.d
(a,b,c,d là độ dài các đoạn thẳng)
Bài 1 : cho điểm A ở ngoài đờng tròn (O) từ A kẻ tiếp tuyến AT tới đờng tròn và các cát tuyến AEF ;
APQ. CMR : AT
2
= AE . AF = AP. AQ.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O.Gọi I là giao điểm hai đờng chéo AC và BD.CMR
:IA.ID = IB .IC .
Bài 3 :
Cho BAC vuông ở A,đờng cao AH, gọi P,Q theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC.
a. Chứng minh rằng : tứ giác BPQC nội tiếp một đờng tròn
b. Chứng minh rằng : AP. AB = AQ. AC
c. Gọi O và O thứ tự là trung điểm của BH và HC. Gọi I là giao điẻm của PQ và AH.

d. CMR : OI
2
= OH. OO
Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau.Trên cung nhỏ BC lấy điểm
M.Gọi dao điểm của AM và CD là K.
CMR :AM.AK =AD
2
= BD
2
= 2R
2
Bài 5 : Cho đoạn thẳng AB , kẻ Bx AB . Trên Bx lấy một điểm O sao cho BO =
2
AB
. Tia AO cắt đờng
tròn (O ; OB) ở D và E ( D nằm giữa A và O). đờng tròn (A ; AD) cắt AB ở C
a. Tìm vị trí tơng đối của (A ; AC) với đờng tròn ( O ; OE)
b. Chứng minh rằng : DE
2
= AD. AE
c. AC
2
= BC. AB.
Bài 6 : cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Gọi K là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC . AK cắt
BC ở I và cắt đờng tròn (O) ở P. Kẻ đờng kính PQ. Gọi E và F thứ tự là giao điểm của BK và CK với đ-
ờng thẳng AQ. Chứng minh rằng
a. PC
2
= PI. PA
b. 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn.

Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) (AC>AB) gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, P
là giao điểm của AB và CD, tiếp tuyến của đờng tròn tại C cắt tiếp tuyến tại D và cắt AD thứ tự tại E và Q.
a. Chứng minh rằng : DE // BC
b. Chứng minh : DP. DC = DA. DQ
c. Chứng minh : DE // PQ
d. Gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh
CFCQCE
111
+=
III. Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn
Bài 1 : Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và hai tia tiếp tuyến Ax, By của nó. Một đờng thẳng d
tiếp xúc với nửa đờng tròn (O) tại C (c A, B) cắt Ax, By lần lợt tại E, F
a. Chứng minh OE vuông góc với OF
b. Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB.
c. Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OEF. Từ đó chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn
ngoại tiếp tam giác OEF.
Bài 2 : Cho đờng tròn (O), đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn tại A vẽ đờng tròn (I) đờng kính OA.
a. Chứng minh hai đờng tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau.
b. Qua A vẽ một cát tuyến cắt đờng tròn (I) và đờng tròn (O) lần lợt ở M và C. CMR : MA= MC
c. Đờng thẳng OM cắt d tại B. Chứng minh rằng : BC là tiếp tuyến của (O).
Bài 4 : cho nửa đờng tròn đờng kính AB và C ; D là hai điểm trên đó (C nằm giữa A và D). AC và AD cắt
tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn lần lợt tại E và F.
a. Chứng minh ABD = AEF ; ABC = AEB
b. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp một đờng tròn
c. Gọi I là trung điểm của FB.Chứng minh rằngDI là tiếp tuyến của nửa đờng tròn.
d. Giả sử CD cắt Bx ở G, phân giác của CGE cắt AE và AF thứ tự tại M và N. Chứng minh tam tiác
AMN cân.
Bài 5 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O) và E là điểm chính giữa cung AB. Hai dây EC, ED
cắt AB thứ tự tại P và Q các dây AD và EC kéo dài cắt nhau ở I. Các dây BC và ED kéo dài cắt nhau ở K.
Chứng minh rằng

a. Tứ giác CDIK nội tiếp
b. Tứ giác CDPQ nội tiếp
c. IK song song với AB
d. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQP tiếp xúc với EA tại A
Bài 6 : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I là trung điểm của AB, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, cắt
CI tại H
a. Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác ABC.
b. Gọi B là điểm đối xứng với B qua AC. Chứng minh rằng B cũng thuộc đờng tròn (O).
c. Chứng minh ngợc lại rằng : nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác
AHC tiếp xúc với AB.
Bài 7 : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và một dây cung thay đổi MN=R
2
(M nằm ở giữa
cung AN) AM cắt BN ở C ; AN cắt BM ở D.
a. Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp một đờng tròn tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN.
b. Chứng minh rằng CD vuông góc với AB.
c. Chứng minh rằng OM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN
d. Chứng minh rằng CD =AB và CD song song với một đờng thẳng cố định.
Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự là A, B, C. Vẽ hai nửa đờng tròn đờng kính AB và BC ( vẽ
cùng một phía của AC). trên đờng thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho góc ADC = 90
0
.gọi
giao điểm của DA và DC với 2 nửa đờng trònl à E và F .Chứng minh rằng
a. EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn
b. Tứ giác AEFC nội tiếp một đờng tròn
c. Xác định vị trí của điểm B trên đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF là hình vuông.
Bài 9 : Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC nội tiếp trong đờng tròn (O,R) H là giao điểm của các đờng
cao AM ; BN ; CP còn Q là điểm đối xứng của H qua trung điểm E của cạnh BC. Chứng minh các
góc PNB = BNM = CBQ
1. Chứng minh rằng : Q thuộc đờng tròn tâm (O)

2. Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng này cắt đờng thẳng BC ở K. Chứng minh
rằng xy là tiếp tuyến của đờng tròn (O) và AK
2
= KB. BC
3. Gọi I là điểm đối xứng của O qua BC, tính HI theo R.
IV.Chứng minh hai đờng thẳng song song
hoặc vuông góc
Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AH cắt đờng tròn (O) ở D, kẻ đờng kính
AOE
a. Chứng minh rằng : DE song song với BC.
b. Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của
BC.
c. Tính bán kính của đờng tròn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm
Bài 2 :
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, gọi S là trung điểm của AO, vẽ đờng tròn tâm S đi qua A.
a. Chứng minh rằng các đờng tròn (O) và (S) tiếp xúc với nhau tại A
b. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đờng tròn (S) tại M và đờng tròn (O) tại P
Chứng minh rằng : 1. SM // OP
2. M là trung điểm của AP và OM //BP
Bài 3 : Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B, vẽ một đờng thẳng qua A cắt đờng
tròn (O) ở C cắt đờng tròn (O) ở D (A nằm giữa C và D), vẽ một đờng thẳng qua B cắt đờng tròn (O) ở E,
cắt đờng tròn (O) với F (B nằm giữa E, F). hai đờng thẳng CD và EF không cắt nhau ở bên trong hai đ-
ờng tròn. Chứng minh rằng CE // DE.
Bài 4 : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M
thuộc nửa đờng tròn này kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt
nhau ở N. Chứng minh rằng
a. MN // AC
b. CD. MN= CM. BD
Bài 5 :
Tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) các đờng phân giác trong của các góc B, C lần lợt cắt đờng

tròn tại E, F. Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt tại H, I.
a) Chứng minh các tam giác FKB và EAK cân
b) Chứng minh tứ giác FIKN nội tiếp. Từ đó suy ra IK // AC
c) Có nhận xét gì về tứ giác AIKH ?
Bài 6 : cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O;R) hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T.
a. Chứng minh rằng OT// AB
b. Chứng minh rằng : ba điểm O,C,T thẳng hàng
c. tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R
Bài 7: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh rằng :
a) Khoảng cách từ O tới AB bằng nửa độ dài CD.
b) Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuông góc với AD.
Bài 8:
Cho đờng tròn đờng kính BC. Một điểm P ở ngoài đờng tròn có hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngoài
đờng tròn. Giao của PB, với PC với đờng tròn lần lợt là M, N, giao của AN với đờng tròn là E. Chứng
minh rằng :
a) Bốn điểm A, B, N, P nằm trên một đờng tròn
b) EM vuông góc với BC.
Bài 9:
Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong một đờng tròn (O), ngoài ra ACB = 45
0
. Các đờng cao AH,
BH của tam giác cắt đờng tròn lần lợt tại P, Q. Hai đờng thẳng AQ và BP giao nhau tại S.
a) Chứng minh PQ là đờng kính của đờng tròn (O).
b) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là hình bình hành
c) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là bằng nhau
d) Nếu tam giác ABC có góc B tù thì các kết quả trên còn đúng hay không ? chứng minh các điều
đó.
Bài 10 : Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng phân giác trong của các góc B,và C lần lợt cắt đ-
ờng tròn tại E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lợt tại H; I .CMR:
a) MN//AC.

b) CD.MN = CM.BD
B ài 11 :Trong đờng tròn (O) cho 12 dây cung AC và BD vuông góc với nhau tại I .CMR
a)Khoảng cách từ O tơí AB bằng nửa độ dài CD
b)Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuong góc với AD.
Bài 12: Cho đờng tròn đờng kính BC.Một điểm P nằm ngoài đờng tròn có hình chiếu trên BC là một điểm
trên A ở ngoài đờng tròn .Giao điểm của PB và PC với đờng tròn lần lợt là M&N .Gọi giao điểm của AN
với đờng tròn là E .CMR:
a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm trên đờng tròn.
b)EN vuông góc với BC.
Bài 13:Tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O),ngoài ra góc ACB =45
0
. Các đờng cao
AH,BH của tam giác cắt đờn tròn lần lợt tại P,Q .Hai đờng thẳng AQ ,BP giao nhau tại S. CMR:
a)PQ là đờng kính của đờng tròn(O).
b) ACBS là hình bình hành
c)Các

ASH và APQ là bằng nhau:
d) Nếu

ABC có góc B tù thì các kết quả trên còn đúng hay không?Chứng minh điều đó.
v. chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài 1cho hai đờng tròn tâm O và Ocắt nhau tại Avà B. từ B kẻ các đờng kính BOC và BOD
a. chứng minh rằng: ba điểm C,A,D thẳng hàng. suy ra CD = 2OO
b. gọi M là trung điểm của dây cung chung AB. CMR ba điêmt O,M,O thẳng hàng
c. biết OO= 5cm ; OB= 3cm ; OB= 4cm . tính AB,AC và diện tích OBO
Bài 3:
Cho hai điểm A, B cố định trên đờng tròn (O). Các điểm C, D di động trên đờng tròn sao cho AD//BC và
C, D ở về cùng một phía với dây AB ; M là giao điểm của AC, BD các tiếp tuyến với đờng tròn tại A và D
cắt nhau tại I. Chứng minh

a. Ba điểm I, O, M thẳng hàng
b. Chứng minh bốn điểm A, B, M, P cùng thuộc một đờng tròn
c. Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC là hình số.
Bài 4: Cho M là một điểm di động trên nửa đờng tròn đờng kính AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung
AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) tại K.
Các tia AH, BM cắt nhau tại S.
a. Chứng minh tam giác ABS cân.Từ đó chứng minh S nằm trên một đờng tròn cố định.
b. Chứng minh KS là tiếp tuyến của đờng tròn (B, BA)
c. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đờng tròn (B, BA) tại N. Chứng minh rằng M, N, A thẳng hàng.
Bài 5 :
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đờng tròn ở E. Kẻ đờng kính
AOF.
a. Chứng minh tam giác BCEF là hình thang cân
b. Chứng minh BAE = CAF
c. Gọi I là trung điểm của BC. chứng minh H, I, F thẳng hàng.
VI. phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy
Bài 1:
Hai đờng tròn (O) ; (O) cắt nhau tại A và B. Đờng thẳng vuông góc với AB tại B cắt các đờng tròn (O) và
(O) lần lợt tại C, D. Các đờng thẳng CA, DA cắt (O), (O) theo thứ tự tại E, F. Chứng minh
a) Tứ giác CFED nội tiếp
b) AB là phân giác góc FBE
c) Các đờng thẳng CF, DE, AB nội tiếp.
Bài 2:
Từ một điểm C ở ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA. Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB. Các đờng
thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M và N.
a) Chứng minh rằng IN, IM và AB đồng quy tại một điểm D.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M và N đi qua trung điểm E của CD
Bài 3: Cho hai đờng tròn (O, R) và (O , R) tiếp xúc ngoài tại A(R>R). Đờng nối tâm OO cắt đờng tròn
(O) và (O) theo thứ tự tại B và C(B và C khác A). EF là dây cung của đờng tròn (O) vuông góc với BC tại
trung điểm I của BC, BC cắt đờng tròn (O) tại D.

VII. toán tổng hợp và toán khác
Bài 1: cho hình vuông ABCD có cạnh 4 cm. điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3 cm . vẽ đờng tròn
tâm O có đờng kính BM đờng tròn nay cắt AC ở E ( khác A )
2. tính bán kính đờng tròn (O)
3. CMR: DC là tiềp tuyến của đờng tròn (O)
4. CMR: tam giác BEM là tam giác vuông cân
5. tiếp tuyến Bx của đờng tròn (O) cắt DC ở K . CMR: M,E,K là ba điểm thẳng hàng
Bài 2: cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và(O) cắt nhau tại hia điểm Avà B . đờng thẳng vuông góc với
AB kẻ qua B cắt đờng tròn (O) và (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C và D Lấy điểm M trên xung nhỏ CB
với đờng tròn tâm (O) . Gọi giao điểm thứ hai của 2 đờng thẳng CMvới đờng tròn tâm (O) là N và giao
điểm của hai đờng thẳng CM và DN là P
a. tam giàc AMN là tam giác gì ? tại sao?
b. CMR: tứ giác ACPD nội tiếp . từ dó suy ra P luôn thuộc đờng tròn
c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O) là Q tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao ?
d. Gọi giao điểm của AP và CD là E CMR: khi M di động trên cung nhỏ BC thì tâm đờng tròn ngoại
tiềp tam giác CED luôn thuộc 1 đờng thẳng cố định
Bài 3: cho nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. M là điểm bất kì
trên cung AK. Trên tia BM lấy điểm N sao cho BN =AM
a. chứng minh rằng: tam giác AMK = tam giác BNK
b. tam giac MNK vuông cân và MK là tia phân giác góc AMN
c. khi M chuyển động trên cung AK thì đờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một
điểm cố định
Bài 4: cho đờng tròn (O) đờng kính AB. I và K thuộc AB sao cho OI= OK M thuộc (O). MO,MI ,MK cắt
(O) lần lợt tại E,C,D . đờng thẳng CD cắ AB tại F . EI cắt DE tại N. MI cắt EF tại H
a. CMR: FA.FB = FC.FD b. M? thì MI =IH
c. CM: tứ giác ENCH nội tiếp d. CMR: EF là tiếp tuyến của tâm (O)
Bài 5.Cho đờng tròn tâm O ,dây AB , C nằm ngoài (O) , C thuộc tia AB . P là điểm nằm chính giữa cung
lớn AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB tại D ,tia CP cắt đờng ròn tại I , AB cắt QI tại K.
1. Chứng minh rằng tứ giác PDKI nội tiếp .
2. Chứng minh QB

2
= QK.QI
3. Chứng minh CI.CP = CK.CD
4. Chứng minh IC là phân giác góc ngoài đỉnh I của tam giác AIB.
5. chứng minh CK.CD = CA.CB.
Bài 6. Cho (O;R) tiếp xúc ngoài (O'; r) (R > r) tại C. AC,BC là hai đờng kính của (O) và (O'). DE là dây
của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB; đờng thẳng DC cắt (O') tại F .Chứng minh rằng:
1. Tứ giác AEBD là hình gì?
2 . 3 điểm B,E,F thẳng hàng .
3. Tứ giác MDBF nội tiếp .
4. DB cắt (O') tại G . Chứng minh DF,EG,AD đồng quy.
5.DE = 2 MF. và MF là tiếp tuyến (O').
Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,P là điểm chính giữa cung AB không chứa C và D . Hai dây PC
,PD cắt dây AB tại E,F ; các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC, PD kéo dài ncắt nhau tại K.
1. So sánh hai góc CID và CKD .
2. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp .
3. Chứng minh IK song song với AB.
4. Chứng minh AP là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm A,F,D.