Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán

__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
CẤU TRÚC ĐỀ THI MÔN TOÁN
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm).
Câu Nội dung kiến thức Điểm
I
 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
 Các bào toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm
số: Chiều biến thiên của hàm số; cực trị; tiếp tuyến; tiệm cận (đứng và
ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất
cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đương
thẳng)
3.0
II
 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
 Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
 Bài toán tổng hợp.
3.0
III
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón
tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón
tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
1.0
II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm).
Thí sinh học chỉ được chọn một trong hai phần sau: (phần 1 hoặc phần 2)
1). Theo chương trình chuản:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
VI.a
Phương pháp tọa độ trong không gian:
+ Xác định tọa độ của điểm, vectơ
+ Mặt cầu.

+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
+ Tính góc; khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.
2.0
V.a
 Số phức: Mô đun của số phức, các phép toán trên số phức.
Căn bậc hai của số phức âm. Phương trình bậc hai với hệ số thực
và có biệt thức Δ âm.
 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối
nón tròn xoay.
2.0
2). Theo chương trình nâng cao:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
VI.b
Phương pháp tọa độ trong không gian:
+ Xác định tọa độ của điểm, vectơ
+ Mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
+ Tính góc; khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; Khoảng
cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng,
mặt cầu.
2.0
V.b  Số phức: Mô đun của số phức, các phép toán trên số phức.
Căn bậc hai của số phức âm. Phương trình bậc hai với hệ số phức.
Dạng
lượng giác của số phức.
 Đồ thị của hàm số phân thức hữu tỉ dạng:
qpx
cbxax
y

+
++
=
2
và các
yếu tố liên quan.
 Sự tiếp xúc của hai đường cong.
2.0
1
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
 Hệ phương trình mũ và lôgarit.
 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối
nón tròn xoay.
Hết
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT:
Cung/góc
GTLG
( )
0
0
0
( )
0
6
30
π
( )
0
4

45
π
( )
0
3
60
π
( )
0
2
90
π
( )
0
2
3
120
π
( )
0
3
4
135
π
( )
0
5
6
150
π

( )
0
180
π
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1

2
−
2
2
−
3
2
−
1−
tan
0
3
3
1
3
P
3−
1−
3
3
−
0
cot
P
3
1
3
3
0
3

3
−
1−
3−
P
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1. Công thức cộng:
cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −o
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +o
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +o
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −o
tan tan
tan( ) ,( , ; )
1 tan tan 2
a b
a b a b k k
a b
π
π
+
+ = ≠ + ∈
−
o ¢
tan tan
tan( ) ,( , ; )
1 tan tan 2
a b
a b a b k k
a b
π

π
−
− = ≠ + ∈
+
o ¢
2. Công thức nhân đôi:
sin 2 2sin cosa a a=o
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= − = − = −o
2
2tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
o
3. Công thức hạ bậc:
2
1 cos 2
cos
2
a
a
+
=o

2

2
2 tan
tan
1 tan
a
a
a
=
−
o
2
1 cos2
sin
2
a
a
−
=o
4. Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − + +o
[ ]
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − − +o
[ ]

1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= − + +o
[ ]
1
cos sin sin( ) sin( )
2
a b a b a b= − − − +o
6. Các hằng đẳng thức lượng giác:
2 2
sin cos 1a a+ =o
2
2
1
1 tan ( , )
cos 2
a a k k
a
π
π
+ = ≠ + ∈o ¢
5 Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =o
cos cos 2sin .sin

2 2
a b a b
a b
+ −
− = −o
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =o
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =o
sin( )
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
+
+ =o
sin( )
tan tan
cos cos
a b
a b

a b
−
− =o
2
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
2 2
2
1
1 cot ( , ) 4
sin
a a k k b ac
a
π
+ = ≠ ∈ −o ¢
tan .cot 1,( , )
2
k
a a a k
π
= ≠ ∈o ¢
III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
Phương trình
sin x a
=
Phương trình
cos x a=
2
sin sin ,( )
2
x k

x a k
x k
α π
α
π α π
= +

= = ⇔ ∈

= − +

o ¢
sin 2
sin ,( )
sin 2
x acr a k
x a k
x acr a k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

o ¢
cos cos 2 ,( )x a x k k
α α π
= = ⇔ = ± + ∈o ¢

cos cos 2 ,( )x a x acr a k k
π
= ⇔ = ± + ∈o ¢
Phương trình
tan ( : , )
2
x a Dk x k k
π
π
= ≠ + ∈¢
Phương trình
cot ( : , )x a Dk x k k
π
= ≠ ∈¢
tan tan ,( )x a x k k
α α π
= = ⇔ = + ∈o ¢
tan tan ,( )x a x acr a k k
π
= ⇔ = + ∈o ¢
cot cot ,( )x a x k k
α α π
= = ⇔ = + ∈o ¢
cot cot ,( )x a x acr a k k
π
= ⇔ = + ∈o ¢
IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1. Phương trình dạng: asinx + bcosx = c.
( )
2 2 2 2 2 2

2 2
a sin cos sin cos
sin
a b c
x b x c x x
a b a b a b
c
x
a b
α
+ = ⇔ + =
+ + +
⇔ + =
+
; Trong đó:
2 2
2 2
os
sin =
a
c
a b
b
a b
α
α

=

+





+

2. Phương trình dạng: asin
2
x + bsinx.cosx + ccos
2
x = d.
Phương pháp:
+ Kiểm tra với cos x = 0 có phải là nghiệm của phương trình không?
+ Nếu
cos 0x
≠
, chia 2 vế của phương trình cho cos
2
x , ta được: atan
2
x + btanx + c = d(1 + tan
2
x)
IV. MỘT SỐ CÔNG THỨC HAY DÙNG:
sin cos 2 sin 2 os
4 4
x x x c x
π π
   
+ = + = −

 ÷  ÷
   
o
2 2 2 2
cos4 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2x x x x x= − = − = −o
( )
2
sin cos 1 sin 2x x x± = ±o
3 3
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
x x x x x
 
+ = + −
 ÷
 
o
3 3
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
x x x x x
 
− = − +
 ÷
 
o
4 4 2
1

sin cos 1 sin 2
2
x x x+ = −o
4 4 2 2
sin cos sin cosx x x x− = −o
6 6 2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x+ = −o
BẢNG ĐẠO HÀM
( )
'
1
.x x
α α
α
−
=o
'
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 
o
( )
'

1
2
x
x
=o
( )
'
sin cosx x=o
( )
'
cos sinx x= −o
( )
'
2
1
tan
os
x
c x
=o
( )
'
1
.( )'.u u u
α α
α
−
=o
'
2

1 'u
u u
 
= −
 ÷
 
o
( )
'
'
2
u
u
u
=o
( )
'
sin '.cosu u u=o
( )
'
cos '.sinu u u= −o
( )
'
2
'
tan
os
u
u
c u

=o
3
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
( )
'
2
1
cot
sin
x
x
= −o
( )
'
2
'
cot
sin
u
u
u
= −o
( )
'
x x
e e=o
( )
'
.ln
x x

a a a=o
( )
'
1
ln x
x
=o
( )
'
1
log
.ln
a
x
x a
=o
( )
'
. '
u u
e e u=o
( )
'
.ln . '
u u
a a a u=o
( )
'
'
ln

u
u
u
=o
( )
'
'
log
.ln
a
u
u
u a
=o
( )
'
' 'u v u v± = ±o
( )
'
. '. '.u v u v v u= +o
( )
'
. . 'k v k u=o
'
2
'. '.u u v v u
v v
−
 
=

 ÷
 
o
( )
2
a
. .
'
x b
y
cx d
a d c b
y
cx d
+
=
+
−
⇒ =
+
o
PHẦN GIẢI TÍCH
4
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Chương I: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3; BẬC 4.
1. Các bước khảo sát hàm số:
+ Tập xác định:
D = ¡
.

+ Tính đạo hàm
'y
, giải phương trình
' 0y =
và tìm các điểm cực trị của hàm số.
+ Tính các giới hạn
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
.
+ Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số.
+ Vẽ đồ thị: ( Tìm các điểm đặc biệt, tâm đối xứng của đồ thị, các giao điểm với truc Ox, trục Oy)
2. Các dạng đồ thị:
Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4
Có điểm cực đại và cực tiểu Có điểm cực đại và cực tiểu
0a >
0a <
0a >
0a <

y
x


y
x

y
x

O

y
x
O
Không có cực trị Không có cực trị
0a >
0a <
0a >
0a <
y
x
O
y
x

O
y
x

O
y
x

O
3. Các ví dụ:
Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4
5
O
O

__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số:
3 2
3 4y x x= + −
.
Giải
* Tập xác định:
D = ¡
.
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)y x x x x= + = +
.
* Cho
0 4
' 0 3 ( 2) 0
2 0
x y
y x x
x y
= ⇒ = −

= ⇔ + = ⇔

= − ⇒ =

* Giới hạn:
lim ; lim
x x

y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
* Bảng biến thiên:
x
−∞
– 2 0
+∞
y’ + 0 – 0 +
0
+∞
y

−∞
– 4
* Nhận xét:
+ Hàm số đồng biến trên
( ; 2)−∞ −
và
(0; )+∞
,
nghịch biến trên
( 2;0)−
.
+ Hàm số đạt cực đại tại:
2 0
cd
x y= − ⇒ =
.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại:

0 4
ct
x y= ⇒ = −
.
*Đồ thị:
+ Đồ thị nhận điểm
( 1; 2)I − −
làm tâm đối
xứng.
+ Cho
1 0x y= ⇒ =
.
+ Cho
3 4x y= − ⇒ = −
.

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số:
4 2
2 3y x x= − −
.
Giải
* Tập xác định:
D = ¡
.
* Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = −
.
* Cho

2
1 4
' 0 4 ( 1) 0
0 3
x y
y x x
x y
= ± ⇒ = −

= ⇔ − = ⇔

= ⇒ = −

* Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
* Bảng biến thiên:
x
−∞
– 1 0 1
+∞
y’ – 0 + 0 – 0 +

+∞
– 3
+∞
y

– 4 – 4
* Nhận xét:
+ Hàm số đồng biến trên
( 1;0)−
và
(1; )+∞
,
nghịch biến trên
( ; 1)−∞ −
và
(0;1)
.
+ Hàm số đạt cực đại tại:
0 3
cd
x y= ⇒ = −
.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại:
1 4
ct
x y= ± ⇒ = −
.
*Đồ thị:
+ Cho
2 5x y= − ⇒ =
.
+ Cho
2 5x y= ⇒ =
.

II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
;
ax b d
y x
cx d c
+
 
= ≠ −
 ÷
+
 
Các bước khảo sát Ví dụ
* Tập xác định:
\
d
D
c
 
= −
 
 
¡
.
* Tính đạo hàm:
( )
2
'
ad bc
y
cx d

−
=
+
.
* Giới hạn; các đường tiệm cận:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số:
1
1
x
y
x
+
=
−
.
Giải
* Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡
.
6
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
lim ?; lim ?
d d
x x
c c
y y
+ −
→− →−

= = ⇒
Tiệm cận đứng:
d
x
c
= −
lim ; lim
x x
a a
y y
c c
→−∞ →+∞
= = ⇒
Tiệm cận ngang:
a
y
c
=
.
* Bảng biến thiên:
+TH:
' 0y >
x
−∞

/d c−

+∞
y’ + +

+∞

a
c
y
a
c

−∞
+TH:
' 0y <
x
−∞

/d c−

+∞
y’ – –

a
c

+∞

y
−∞

a
c
* Đồ thị:

+ Tìm các điểm đặc biệt với trục Ox, Oy.
' 0y >
' 0y <
 : Chú ý:
+ Đồ thị nhận điểm
;
a d
I
c c
 
− −
 ÷
 
làm tâm đối
xứng.
* Tính đạo hàm:
( )
2
2
' 0,
1
y x D
x
= − < ∀ ∈
−
.
* Giới hạn; các đường tiệm cận:
+Ta có:
1 1
1 1

lim ; lim
1 1
x x
x x
x x
+ −
→ →
+ +
= +∞ = −∞
− −
o

⇒
Tiệm cận đứng:
1x
=
+
1
lim 1
1
x
x
x
→±∞
+
= ⇒
−
o
Tiệm cận ngang:
1y =

.
* Bảng biến thiên:
x
−∞

1

+∞
y’ – –

1

+∞


y
−∞

1
* Nhận xét:
+ Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng
( ;1) (1; )−∞ ∪ +∞
.
+ Hàm số không có cực trị.
* Đồ thị:
+ Cho
0 1x y= ⇒ = −
+ Cho
0 1y x= ⇒ = −
BÀI TẬP

Bài tập 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
3 2
3 1y x x= + −
5.
3 2
2 3y x x= −
9.
3 2
3 1y x x= − + −
2.
3 2
3 1y x x= − +
6.
3 2
6 9y x x x= − +
10.
3
3 2y x x= − + −
7
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
3.
3 2
3y x x= +
7.
3 2
3y x x= − +
11.
3 2
3 2y x x= − − +

4.
3 2
3 2y x x= − +
8.
3 2
2 3 1y x x= − + +
12.
3 2
3 4y x x= − + −
Bài tập 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
4 2
2 1y x x= − −
4.
4 2
2 4 1y x x= − −
7.
4
2
3
2 2
x
y x= − −
2.
2 4
2y x x= −
5.
4 2
2 2y x x= − −
8.

4 2
4y x x= − +
3.
4 2
1
2 1
4
y x x= − + +
6.
4 2
2 1y x x= − +
Bài tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
1
2
x
y
x
−
=
+
4.
2 3
1
x
y
x
−
=
+

7.
3 5
2 2
x
y
x
+
=
+
10.
2 1
2
x
y
x
− +
=
+
2.
1
2
x
y
x
−
=
−
5.
3
1

x
y
x
+
=
−
8.
3 2
1
x
y
x
−
=
+
11.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
3.
2 1
1
x
y
x

−
=
+
6.
3 1
1
x
y
x
+
=
−
9.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
12.
2
1
x
y
x
+
=
+

13.
1
2
x
y
x
+
=
−

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐÉN KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI TOÁN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp Ví dụ
+ Tìm tập xác định.
+ Tính đạo hàm
' '( )y f x=
. Tìm các điểm
i
x
( i = 1,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định.
+ Sắp xếp các điểm
i
x
theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên.
+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến
nghịch biến ( Hàm số đồng biến trên khoảng
mà
'( ) 0f x >

và ngược lại)
Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm
số:
3 2
1 1
2 2
3 2
y x x x= − − +
.
Giải
* Tập xác định:
D = ¡
.
* Đạo hàm:
2
1
' 2; ' 0
2
x
y x x y
x
= −

= − − = ⇔

=

.
* Bảng biến thiên:
x

−∞
– 1 2
+∞
y’ + 0 – 0 +

+∞
y

−∞

* Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 1)−∞ −
và
(2; )+∞
và nghịch biến trên
( 1;2)−
.
Bài tập: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:
3
3 1y x x= − +
(TN THPT 2007 – lần 2).
BÀI TOÁN 2: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định .
1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc 2:
2
( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠
có
2
4b ac∆ = −

. Khi đó:
8
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
- Nếu
0
∆ <
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi
x
∈
¡
.
- Nếu
0
∆ =
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi
x
∈
¡
trừ tại
2
b
x
a
= −
.
- Nếu
0
∆ >
, giả sử f(x) có 2 nghiệm
1 2 1 2

, ( )x x x x<
ta có bảng xét dấu:
x
−∞
1
x

2
x

+∞

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
2. Định giá trị của m:
Đối với hàm bậc 3
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
Đối với hàm nhất biến:
;
ax b d
y x
cx d c
+
 
= ≠ −
 ÷
+
 
+ Tập xác định:
D = ¡

.
+ Đạo hàm:
2
' 3 2y ax bx c= + +
+TXĐ:
\
d
D
c
 
= −
 
 
¡
.Đạo hàm:
( )
2
. .
'
a d b c
y
cx d
−
=
+
.
+ y đồng biến trên D
' 0 ,
0
0

y x D
a
⇔ ≥ ∀ ∈
>

⇔

∆ ≤

+ y nghịch biến trên D
' 0 ,
0
0
y x D
a
⇔ ≤ ∀ ∈
<

⇔

∆ ≤

+ y đồng biến trên
từng khoảng D
' 0 ,
. . 0
y x D
a d b c
⇔ ≥ ∀ ∈
⇔ − ≥

+ y nghịch biến trên
từng khoảng D
' 0 ,
. . 0
y x D
a d b c
⇔ ≤ ∀ ∈
⇔ − ≤
Ví dụ: Định m để hàm số:
3 2
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m= + + + − +
đồng biến trên tập xác định.
Giải
* Tập xác định:
D = ¡
.
* Đạo hàm:
2
' 2 6y x mx m= − + +

Ta có:
2 2
' 1.( 6) 6m m m m∆ = − + = − −
* Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì:
2
1
0

0
2 3
3
0
6 0
a
a
m
m m

= − >
>


⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
∆ ≤


− − ≤

Ví dụ: Định m để hàm số:
(2 1) 3m x
y
x m
− +
=
+
.
đồng biến trên tập xác định.

Giải
* Tập xác định:
{ }
\D m= −¡
.
* Ta có:
( ) ( )
2
2 2
(2 1) 3 2 3
'
m m m m
y
x m x m
− − − −
= =
+ +
.
* Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì:
2
1
' 0 2 3 0
3
2
m
y m m
m
≤ −



≥ ⇔ − − ≥ ⇔

≥

BÀI TẬP
1. Cho hàm số:
3 2
( 2) ( 1) 2 (1)y x m x m x= + + − − −
. Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác
định của nó.
2. Cho hàm số:
3 2
2 3 2 1 (1)y x x mx= + − +
. Định m để hàm số (1) đ.biến trên tập xác định của nó.
3. Cho hàm số:
2 3 2
1
( 1) ( 1) 2 1 (1)
3
y m x m x x= − + − − +
. Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập
xác định của nó.
BÀI TOÁN 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b] .
Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên đoạn
[ ]
;a b
Phương pháp Ví dụ
* Tính đạo hàm

'.y
* Giải pt:
' 0y =
, tìm các nghiệm
1 2
, ( ; )x x a b∈
.
* Tính các giá trị
1 2
( ); ( ); ( ) ( )y a y x y x y b
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
3 2
3 2y x x= − +
trên đoạn
[ ]
1;1−
Giải
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)y x x x x= − = −

9
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
* Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong
các số ở trên. Khi đó:
[ ] [ ]
; ;
max min
a b a b
y M y m= =

* Cho
0 ( )
' 0 3 ( 2) 0
2 ( )
x N
y x x
x L
=

= ⇔ − = ⇔

=

* Ta có:
( 1) 4; (0) 2; (1) 0y y y− = = =
* Vậy:
[ ]
1;1
max 4y
−
=
đạt được tại
1x
= −

[ ]
1;1
min 0y
−
=

đạt được tại
1x
=
BÀI TẬP
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
3 1y x x= − +
trên đoạn
[ ]
0;2
(TN THPT 2007)
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2
2 1y x x= − +
trên đoạn
[ ]
0;2
(TN THPT 2008 – lần 1)
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
2 6 1y x x= − +
trên đoạn
[ ]
1;1−
(TN THPT 2008 – lần
2)
4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
1
2 3 7

3
y x x x= − + −
trên đoạn
[ ]
0;2
5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln(1 2x)y x= − −
trên đoạn
[ ]
2;0−
(TN THPT 2009)
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
(3 )
x
y x e= −
trên đoạn
[ ]
3;3−
7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2x
y x e= −
trên đoạn
[ ]
1;0−
8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
3 ln xy x x= + −
trên đoạn
[ ]

1;2
(TN THPT 2013)
9. Tìm các giá trị của tham số m để GTNN của hàm số
2
( )
1
x m m
f x
x
− +
=
+
trên đoạn

[ ]
0;1
bằng
2−
. (TN THPT 2012).
10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
( ) 2 5f x x x= − +
trên đoạn
[ ]
0;3
(TN BT năm 2012).
11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
9
2
y x

x
= +
+
trên đoạn
[ ]
1;2−
(TN Bổ túc 2013)
Giải:
1. + Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)y x x x x= − = −

+ Cho
0 ( )
' 0 3 ( 2) 0
2 ( )
x N
y x x
x N
=

= ⇔ − = ⇔

=

+ Ta có:
(0) 1; (2) 3y y= = −
Vậy:
[ ]
0;2

max 2y =
đạt được tại
0x
=

[ ]
0;2
min 3y = −
đạt được tại
2x
=
2. + Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = −

+ Cho
2
0 ( )
' 0 4 ( 1) 0 1 ( )
1( )
x N
y x x x N
x L
=


= ⇔ − = ⇔ =


= −


+ Ta có:
(0) 1; (1) 0; (2) 9y y y= = =
Vậy:
[ ]
0;2
max 9y =
đạt được tại
2x
=

[ ]
0;2
min 1y =
đạt được tại
0x
=
3. + Đạo hàm:
2
' 6 12 6 ( 2)y x x x x= − = −

+ Cho
0 ( )
' 0 6 ( 2) 0
2 ( )
x N
y x x
x L
=


= ⇔ − = ⇔

=

+ Ta có:
( 1) 7; (0) 1; (1) 3y y y− = − = = −
Vậy:
[ ]
1;1
max 1y
−
=
đạt được tại
0x
=

[ ]
1;1
min 7y
−
= −
đạt được tại
1x
= −
4. + Đạo hàm:
2
' 4 3y x x= − +

+ Cho
2

1 ( )
' 0 4 3 0
3 ( )
x N
y x x
x L
=

= ⇔ − + = ⇔

=

+ Ta có:
17 19
(0) 7; (1) ; (2)
3 3
y y y
− −
= − = =
Vậy:
[ ]
0;2
17
max
3
y
−
=
đạt được tại
1x

=

[ ]
0;2
min 7y = −
đạt được tại
0x
=
10
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán

BÀI TOÁN 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số
( )y f x=
có đồ thị (C) tại điểm
0 0 0
( ; ) ( )M x y C∈
và
có hệ số góc
0
'( )k f x=
là:
0 0 0 0
( ) '( )( )y y k x x f x x x− = − = −
Các dạng toán thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị của ham số (C).
1). Tại điểm có hoành độ
0
x
( tung độ
0

y
) cho trước.
* Cách giải: + Thay
0
x
vào đồ thị (C) và rút ra
0
y
0 0
( ; )M x y⇒
+ Thay
0
y
vào đồ thị (C) và rút ra
0
x
0 0
( ; )M x y⇒
* Lưu ý: + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Ta có:
0 0
0x y= ⇒
+ Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. Ta có:
0 0
0y x= ⇒
2). Có hệ số góc k cho trước:
* Phương pháp: Giải pt:
'( )f x k=
tìm nghiệm
0
x

… từ đó rút ra
0
y
.
3). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d):
y ax b= +
.
* Phương pháp: Vì tiếp tuyến // d
k a
⇒ =
, từ pt:
'( )f x a=
ta tìm
0
x
, rồi thay
0
x
vào
đồ
thị của hàm số để rút ra
0
y
.
4). Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d):
y ax b= +
.
* Phương pháp: Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên
1
. 1k a k

a
= − ⇒ = −
, từ pt:

1
'( )f x
a
= −
ta tìm
0
x
, rồi thay
0
x
vào đồ thị của hàm số để rút ra
0
y
.
Ví dụ 1:Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C).
1. Tại điểm có hoành độ bằng –1. 2. Tại điểm có tung độ bằng 2.
3. Tại giao điẻm của đồ thị với trục hoành. 4. Tại giao điẻm của đồ thị với trục tung.

Giải
Ta có:
'
2 2
1 1.2 1.( 1) 3
'
2 ( 2) ( 2)
x
y
x x x
− − −
 
= = =
 ÷
+ + +
 
1. Theo y/cầu b.toán, ta có:
0 0
1 1
1 2
1 2
x y
− −
= − ⇒ = = −
− +
. Hệ số góc:
2
3
'( 1) 3
( 1 2)

k y= − = =
− +

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
2 3( 1)y x+ = +
hay
3 1y x= +
.
2. Theo y/cầu bài toán, ta có:
0
0 0
0
1
2 2 5
2
x
y x
x
−
= ⇔ = ⇒ = −
+
. Hệ số góc:
2
3 1
'( 5)
3
( 5 2)
k y
= − = =
− +

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1
2 ( 5)
3
y x− = +
hay
11
3 3
x
y = +
.
3. Theo y/cầu bài toán, ta có:
0
0 0
0
1
0 0 1
2
x
y x
x
−
= ⇔ = ⇒ =
+
. Hệ số góc:
2
3 1
'(1)
3

(1 2)
k y= = =
+

11
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1
( 1)
3
y x= −
hay
1
3 3
x
y = −
.
4. Theo y/cầu b.toán, ta có:
0 0
0 1 1
0
0 2 2
x y
−
= ⇒ = = −
+
. Hệ số góc:
2
3 3
'(0)

(0 2) 4
k y= = =
+

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1 3
( 0)
2 4
y x+ = −
hay
3 1
4 2
y x= −
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ
thị (C).
1. Tại điểm có hệ số góc bằng –2.
2. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d):
1
2
y x= −
.

3. Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d):
9
1
2
y x= +
.
Giải
* Ta có:
2
2
'
( 1)
y
x
−
=
−
.
1. Theo yêu cầu bài toán, ta có:
0
2
0 0
2
0
0
0
2
'( ) 2 2 ( 1) 1
2
( 1)

x
k y x x
x
x
=

−
= = − ⇔ = − ⇔ − = ⇒

=
−

+ Với
0 0
0 0x y= ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
0 2( 0)y x− = − −
hay
2y x= −
+ Với
0 0
2 4x y= ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
4 2( 2)y x− = − −
hay
2 8y x= − +
2. Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d):
1
2
y x= −

nên hệ số góc:
0
1
'( )
2
k y x= = −
Ta có:
0
2
0 0
2
0
0
1
1 2 1
'( ) ( 1) 4
3
2 ( 1) 2
x
y x x
x
x
= −

−
= − ⇔ = − ⇔ − = ⇒

=
−


+ Với
0 0
1 1x y= − ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
1
1 ( 1)
2
y x− = − +
hay
1
2 2
x
y = − +
+ Với
0 0
3 3x y= ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
1
3 ( 3)
2
y x− = − −
hay
9
2 2
x
y = − +
3. Vì tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d):
9
1
2

y x= +
nên hệ số góc:
0
2
'( )
9
k y x= = −
Ta có:
0
2
0 0
2
0
0
2
2 2 2
'( ) ( 1) 9
4
9 ( 1) 9
x
k y x x
x
x
= −

−
= = − ⇔ = − ⇔ − = ⇒

=
−


+ Với
0 0
4
2
3
x y= − ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
4 2
( 2)
3 9
y x− = − +
hay
2 8
9 9
y x= − +
+ Với
0 0
3 3x y= ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
2
3 ( 3)
9
y x− = − −
hay
2 32
9 9
y x= − +
BÀI TẬP
1. Viết PTTT với đồ thị hàm số

2 3
1
x
y
x
+
=
+
tại điểm có hoành độ
0
3x = −
(TN THPT 2006).
2. Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007).
3. Cho HS
3 2
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ bằng –2 .(TN THPT
2008).
12
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
4. Cho HS

2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5
(TN THPT 2009).
5. Cho HS
4 2
1 3
3
4 2
y x x= − +
có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm hoành độ bằng 2.
6. Cho HS
2 3
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó song song voái
đường thẳng
3y x= − +
.

BÀI TOÁN 5: Dùng đồ thị (C): y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x;m)
=0 .
* Phương pháp:
+ Biến đôi và đưa phương trình về dạng:
( ) ( )f x f m=
(1).
+ Đặt:
( ) ( )y f x C=

( ) ( )y f m d=
: là đường thẳng song song với trục Ox.
+ Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị, ta
có:
Hàm số bậc ba:
3 2
y ax bx cx d= + + +
Hàm số bậc bốn:
4 2
y ax bx c= + +
Đồ thị Biện luận Đồ thị Biện luận
y

x

O
*
cd
ct
m y
m y

>

⇒

<

(1) có 1
nghiệm.
*
cd
ct
m y
m y
=

⇒

=

(1) có 2
nghiệm.
*
ct cd
y m y< < ⇒
(1) có
3 nghiệm.
*
ct
m y< ⇒
(1) vô nghiệm

*
ct
m y= ⇒
(1) có 2 nghiệm
*
ct cd
y m y< < ⇒
(1) có 4
nghiệm
*
cd
m y= ⇒
(1) có 3 nghiệm
*
cd
m y> ⇒
(1) có 2 nhiệm
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số:
3
3y x x= −
. Dựa vào đồ thị
(C), hãy biện luận theo m số nghiệm của
phương trình:

3
3 1 0x x m− + − =
.
Giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của

hàm số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị:

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số:
4 2
2 1y x x= − −
. Dựa vào đồ thị (C), hãy
biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

4 2
2 1 0x x m− − + =
.
Giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị:

*Ptrình:
4 2 4 2
2 1 0 2 1 2 (1)x x m x x m
− − + = ⇔ − − = −

13
y = m – 1
y = m – 2
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
*Ptrình:
3 3
3 1 0 3 1 (1)x x m x x m

− + − = ⇔ − = −
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm
của đồ thị (C) với đường thẳng
1y m= −
.
Dựa vào đồ thị (C), ta có:
+ Nếu
1 2 3
1 2 1
m m
m m
− > >
 
⇔
 
− < − < −
 
thì phương
trình (1) có 1 nghiệm.
+ Nếu
1 2 3
1 2 1
m m
m m
− = =
 
⇔
 
− = − = −
 

thì phương
trình (1) có 2 nghiệm.
+ Nếu
2 1 2 1 3m m
− < − < ⇔ − < <
thì
phương trình (1) có 3 nghiệm.
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ
thị (C) với đường thẳng
2y m= −
. Dựa vào đồ thị
(C), ta có:
+ Nếu
2 2m
− < −
thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu
2 2 0m m
− = − ⇔ =
thì phương trình (1) có
2 nghiệm.
+ Nếu
2 2 1 0 1m m
− < − < − ⇔ < <
thì phương
trình (1) có 4 nghiệm.
+ Nếu
2 1 1m m
− = − ⇔ =
thì phương trình (1) có

3 nghiệm.
+ Nếu
2 1 1m m
− > − ⇔ >
thì phương trình (1) có
2 nghiệm.
Chú ý: Phương trên chỉ áp dụng cho trường hợp hàm số bậc ba hoặc bậc bốn có cả điểm cực đại
và cực tiểu.
Ví dụ: Cho hàm số:
3 2
3 2y x x= − + −
, gọi đồ thị
của hàm số là (C).
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2). Tìm các giá trị của tham số m để phương
trình
3 2
3 3 0x x m− + + =
có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị:


2). Tìm các gí trị của m để ……

3 2 3 2
3 3 0 3 2 1 (1)x x m x x m− + + = ⇔ − + − = +

* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ
thị (C) với đường thẳng
1y m= +
. Để phương
trình có 3 nghiệm phân biệt thì:
2 1 2 3 1m m− < + < ⇔ − < <
Ví dụ: Cho hàm số:
4 2
1
2
4
y x x= − +
, gọi đồ
thị của hàm số là (C).
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2). Tìm các giá trị của tham số m để phương
trình
4 2
1
2 2 1 0
4
x x m− + − + =
có 4 nghiệm
phân biệt.
Giải
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị:

2). Tìm các gí trị của m để ……
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của
đồ thị (C) với đường thẳng
2 1y m= −
. Để
phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì:
1 5
0 2 1 4
2 2
m m< − < ⇔ < <
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của
phương trình
3 2
2 3 1x x m+ − =
( TN THPT năm 2008 – lần 1).
Bài 2. Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + −
có đồ thị (C). Tìm giá trị m để phương trình
3 2
6 9 0x x x m− + − =
có 3 nghiệm phân biệt.
14
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Bài 3. Cho hàm số
4 2

2y x x= − +
có đồ thị (C). Tìm giá trị m để phương trình
4 2
2 2 0x x m− + − =

có 4 nghiệm phân biệt.
BÀI TOÁN 6: Định m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ( Đối với HS bâc ba
3 2
y ax bx cx d= + + +
)
Phương pháp Ví dụ:
* Dấu của y’ là dấu của:
2
3 2 0ax bx c+ + =
.
* Hàm số có cực đại, cực tiểu
' 0y =
có 2 nghiệm
phân biệt:
'
0
0
y
a ≠


∆ >

Ví dụ: Định m để hàm số
3 2

( 1) 2y x m x x= + − + −

có cực đại, cực tiểu.
Giải
Tính đạo hàm:
2
' 3 2( 1) 1y x m x= + − +
Ta có:
2 2
' ( 1) 3.1 2 2m m m∆ = − − = − −
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì:
2
1 0
1 3
' 2 2 0
1 3
a
m
m m
m

= ≠
< −

⇔


∆ = − − >
> +




BÀI TẬP
1). Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) (3 4 1)
3
y x m x m m x m= + − + − + +
. Xác định m để :
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu (Đáp số:
0 1m
< <
)
b. Hàm số luôn đồng biến trên
¡
. (Đáp số:
0m
≤
hoặc
1m
≥
)
2). Cho hàm số
3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2). Cho hàm số
3 2
3 (2 2) 2y mx x m x= − + − −

. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
4). Cho hàm số
4 2
2( 1)y x m x m= − − +
. Xác định m để hàm số có 3 cực trị
5). Cho hàm số:
2
( ) 2 12f x x x= − +
. Giải bất phương trình:
'( ) 0f x ≤
. (TN THPT 2010)
BÀI TOÁN 7: Định m để hàm số nhận điểm
0
x
làm điểm cực đại (cực tiểu).
Phương pháp Ví dụ:
*Điểm
0
x
là điểm cực đại
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=

⇔


<

*Điểm
0
x
là điểm cực tiểu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=

⇔

>

Ví dụ: Định m để hàm số
3 2 2
( 1) (3 4 ) 9
3
m
y x m x m m x m= + − + − + −
nhận điểm
0
1x =
làm điểm cực đại.
Giải
Ta có:

2 2
' 2( 1) 3 4y mx m x m m= + − + −
Để hàm số nhận điểm
0
1x =
làm điểm cực đại thì:
2
2
1
'(1) 0
3 2 0
2
3
''(1) 0
1
3
4 2 0
2
m m
y
m m
m
y
m
m

= ∨ = −

=


− − =


⇔ ⇔ ⇒ = −
  
<
− <



<


BÀI TẬP
1). Cho hàm số
3 2
( 3) 5y x m x mx= − + + +
. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại
0
2x =
2). Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại
0
1x =
3). Cho hàm số

3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại
0
2x =
15
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
4). Xác định giá trị của tham số m để hàm số
3 2
2 1y x x mx= − + +
đạt cực tiểu tại
1x
=
. (TN
2011)
BÀI TOÁN 8: Chứng minh hàm số y = f(x,m) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m
Phương pháp Ví dụ
*Chứng tỏ f’(x,m) luôn có nghiệm và đổi
dấu khi x đi qua các nghiệm đó.
+ Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y’ = 0 có
'
0
y
m∆ > ∀
.
+ Với hàm số bậc bốn, tùy theo yêu cầu
của bài toán để tìm giá trị của m sao cho
y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có ba nghiệm).
Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị hàm số:
3 2

2 1y x mx x= − − +
luôn có một điểm cực đại và một điểm
cực tiểu với mọi giá trị của m.
Giải
+ Tập xác định:
D = ¡
.
+ Đạo hàm :
2
' 3 2 2y x mx= − −
+ Ta có:
2 2
' 3.( 2) 6 0,m m m∆ = − − = + > ∀ ∈¡
. Suy ra, y’ = 0
có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu
với 2 nghiệm
1 2
;x x
) khi x đi qua hai nghiệm đó.
* Vậy, hàm số đã cho luôn có một điểm cực đại và một cực
tiểu với mọi m.
ĐỀ THI TN THPT CÁC NĂM (PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ).
Bài 1: (Đề thi TN THPT 2003)
Cho hàm số
2
54
2
−
−+−
=

x
xx
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Xác định m để đồ thị hàm số
2
54)4(
22
−+
−−−−−−
=
mx
mmxmx
y
có các tiệm cận trùng với
các tiệm cận tương ứng của hàm số ở trên.
Bài 2: (Đề thi TNBT 2004)
Cho hàm số
323
43 mmxxy +−=
có đồ thị (C
m
); (m là tham số).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
1
) khi m = 1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C
1
) tại điểm có hoành độ

1
=
x
.
3. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C
m
) đối xứng nhau qua đường thẳng
xy =
.
Bài 3. (Đề thi TNTHPT 2004)
Cho hàm số
23
3
1
xxy −=
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm
)0;3(A
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng
3,0,0 === xxy
quay quanh trục Ox.
Bài 4: (Đề thi TNTHPT 2005)
Cho hàm số
1
12
+
+
=
x

x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C)
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
)3;1(−A
Bài 5: (Đề thi TNTHPT phân ban 2006)
Cho hàm số
23
3xxy +−=
có đồ thị (C).
16
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Dựa vào đò thị (C), biện luận theo m nghiệm của phương trình
03
23
=−+− mxx
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Bài 6: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2006)
Cho hàm số
xxxy 96
23
+−=
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).
3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng
mmxy +−=

2
đi qua trung điểm của đoạn
thẳng nối hai diểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 7: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2006)
Cho hàm số
23
3xxy +=
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng
1,2 −=−= xx
.
Bài 8: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007)
Cho hàm số
32
43
−
+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm
)7;1(−M
.
Bài 9: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007)
Cho hàm số
12

2
1
−
−+=
x
xy
có đồ thị (H).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm
)3;0(A
.
Bài 10: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007)
Cho hàm số
12
24
+−= xxy
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 11: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007) lần 2.
Cho hàm số
23
3
+−= xxy
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm
)4;2(A
Bài 12: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007) lần 2.
Cho hàm số

2
1
+
−
=
x
x
y
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 13: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007) lần 2.
Cho hàm số
23
3
−+−= xxy
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C).
Bài 14: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008).
Cho hàm số
13
23
+−= xxy
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
3
=
x

.
Bài 15: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008)
Cho hàm số
24
2xxy −=
17
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
2
−=
x
.
Bài 16: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008)
Cho hàm số
132
23
−+= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
mxx =−+ 132
23

Bài 17: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008) lần 2.
Cho hàm số
1
12
−
−
=

x
x
y
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
)3;2(A
Bài 18: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008) lần 2.
Cho hàm số
1
23
+
−
=
x
x
y
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng –2
Bài 19: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008) lần 2.
Cho hàm số
23
3xxy −=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
03
23
=−− mxx
có ba nghiệm phân biệt.

Bài 20: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2009)
Cho hàm số
43
23
+−= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
4=y
.
Bài 21: (Đề thi TN THPT 2009)
Cho hàm số
2
12
−
+
=
x
x
y
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5
Bài 22: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2010)
Cho hàm số
2
13
+
+
=
x

x
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
1
−=
x
.
Bài 23: (Đề thi TN THPT 2010)
Cho hàm số
5
2
3
4
1
23
+−= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
06
23
=+− mxx
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 24: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2011)
Cho hàm số
362
3
−−= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
Bài 25: (Đề thi TN THPT 2011)
Cho hàm số
12
12
−
+
=
x
x
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
2+= xy
.
18
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Bài 26: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2012)
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 5.
Bài 27: (Đề thi TN THPT 2012)
Cho hàm số
4 2
1
( ) 2
4
y f x x x= = −
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
0
. biết
0
''( ) 1= −f x
Bài 28: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2013)
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − + +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Bài 29: (Đề thi TN THPT 2013)
Cho hàm số
3
3 1y x x= − −
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9.


Hết Chương I
Chương II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ

LÔGARITH
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
( 0; , )a m n≠ ∈¢
0 .
* 1( 0) * . * ( ) * ( . ) .
1
* * *
m n m n m n m n m m m
m
m m
n m n
n n m
a a a a a a a a b a b
a a a
a a
a a b b
+
− −
= ≠ = = =
 
= = =
 ÷
 
2. Căn bậc n:
* Định nghĩa: Cho số thực b và số nguyên dương
2n
≥
Số a được gọi là căn bậc n của số b, nếu :
n
a b=

* Kí hiệu:
n
a b=
* Tính chất:
( , 0 ; , )a b m n
+
> ∈¢
.
n n n
a b ab=o

n
n
n
a a
b
b
=o
19
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
+ Nếu n lẻ, và
b
∈
¡
: tồn tại duy nhất
n
b
+ Nếu n chẳn:  b < 0 : không tồn tại căn bạc n của b.
 b = 0 :
0 0

n
=
 b > 0 : tồn tại 2 căn bạc n của b là:

;
n n
b b−
( )
m
n m
n
a a=o

.
.
n
m n m
a a=o
m
n m
n
a a=o

.n m m
a a=o
3. Lũy thừa với với số mũ thực:
( 0; , )a
α β
> ∈¡
.a a a

α β α β
+
=o
( )
. .a b a b
α
α α
=o

a
a
a
α
α β
β
−
=o

a a
b b
α
α
α
 
=
 ÷
 
o

( )

.
a a
β
α α β
=o
4. lôgarith.
a. Định ngĩa: Cho a, b > 0 ,
0a ≠
, ta có:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
b. Công thức: Cho
0; 1, , 0.a a M N> ≠ >
log 1 0
a
=o

log ( . ) log log
a a a
M N M N= +o

log 1
a
a =o

log log log

a a a
M
M N
N
= −o
log
M
a
a M=o

log log
M
a a
b M b=o
log
a
M
a M=o

1
log log
a
a
b b
α
α
=o
1
log
log

a
b
b
a
=o
c. Công thức đổi cơ số: Cho
, , 0; 1, 1a b c a c> ≠ ≠
. Ta luôn có:
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
d. So sánh lôgarit: Cho
0; 1a a> ≠
+ Nếu
1 : log log
a a
a M N M N> > ⇔ >
+ Nếu
0 1 : log log
a a
a M N M N< < > ⇔ <
e. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên: Số
1

lim 1 2,718281828459045
n
x
e
n
→+∞
 
= + ≈
 ÷
 
* Lôgarit thập phân:
10
log log lgx x x
= =
* Lôgarit tự nhiên:
log ln
e
x x
=
5. Giải PT, BPT mũ và Lôgarit.
Phương trình mũ Phương trình lôgarit
a. Phương trình mũ cơ bản:
Dạng:
, ( 0, 1)
x
a b a a= > ≠
+ với b > 0, ta có:
log
x
a

a b x b
= ⇔ =
+ với b < 0, suy ra: phương trình vô nghiệm
b. Phương pháp giải PT mũ thường gặp:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ
( , 0)
x
t a t= >
+ Lôgarit hóa.
a. Phương trình lôgarit cơ bản:
Dạng:
log , ( 0, 1)
a
x b a a= > ≠
Ta có:
log
b
a
x b x a
= ⇔ =
b. Phương pháp giải PT lôgarit thường gặp:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ (không cần đặt điều kiện cho ẩn
phụ)
+ Mũ hóa.
* Chú ý: Cần nắm thật vững hai phương pháp (pp đưa về cùng cơ số và pp đặt ẩn phụ để giải PT,
BTP
20
o

Nếu
1a
>
thì
a a
α β
α β
> ⇔ >
o
Nếu
0 1a
< <
thì
a a
α β
α β
> ⇔ <
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
mũ và lôgarit). Còn pp thứ 3 tương đối khó,chỉ nên tham khảo thêm.
6. Một số phương trình (Bất phương trình) mũ và lôgarit thường gặp:
a. Các dạng cơ bản:
0; 1a a> ≠
1a
>
0 1a
< <
* Phương trình mũ:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x

a a f x g x= ⇔ =
* Phương trình lôgarit:
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>


= ⇔ >


=

* Bất phương trình mũ:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x> ⇔ >
* Bất phương trình lôgarit:
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
g x
f x g x
f x g x

>

> ⇔

>

* Bất phương trình mũ:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x> ⇔ <
*Bất phương trình
lôgarit:

log ( ) log ( )
( ) 0
( ) ( )
a a
f x g x
f x
f x g x
>
>

⇔

<


b. Vận dụng:

Dạng toán Ví dụ
Dạng 1: Phương trình mũ bậc 2.
2
. . 0 (1).
x
x
m a n a p+ + =
Phương pháp:
+ Đặt
,( 0).
x
t a t= >
Ta được pt:
2
. . 0mt n t p+ + =
+ Giải pthương trình trên tìm nghiệm t (đk: t
> 0)
+ Giải phương trình:
log
x
a
t a x t= ⇔ =
.
+ Kết luận nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ: Giải phương trình:
2 +1
3 4.3 1 0
x x
− + =
Giải:

Ta có:
2 +1 2
3 4.3 1 0 3.3 4.3 1 0
x x x x
− + = ⇔ − + =
Đặt:
3 ( 0)
x
t t= >
, ta được phương trình:
2
1
3. 4. 1 0
1
3
t
t t
t
=


− + = ⇔

=

+ Với
3
1 3 1 log 1 0
x
t x= ⇔ = ⇔ = =

+ Với
3
1 1 1
3 log 1
3 3 3
x
t x= ⇔ = ⇔ = = −
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x = 0; x = –1.
Dạng 2:
. . 0 : . 0
x
x x
x
n
m a n a p hay m a p
a
−
+ + = + + =
Phương pháp:
+ Đặt
,( 0).
x
t a t= >
Khi đó:
1 1
x
x
a
a t
−

= =
+ Thay vào pt đã cho, giải tìm t (t > 0). Rồi
tìm x.
+ Kết luận nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình:
1
6 6 5 0
x x−
− − =
.
Giải:
Ta có:
1
6
6 6 5 0 6 5 0
6
x x x
x
−
− − = ⇔ − − =
Đặt:
6 ( 0)
x
t t= >
, ta được phương trình:
2
6 ( )
6
5 0 5 6 0
1 ( )

t nhan
t t t
t loai
t
=

− − = ⇔ − − = ⇔

= −

+ Với
6
6 6 6 log 6 1
x
t x= ⇔ = ⇔ = =
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm: x = 1.
Dạng 3: BPT mũ
( ) ( )
(1).,(0 1).
f x g x
a a a≤ < ≠
Phương pháp:
+ Nếu 0 < a < 1: thì pt (1)
( ) ( )f x g x⇔ ≥
(BPT đổi chiều).
+ Nếu a > 1: thì pt (1)
( ) ( )f x g x⇔ ≤
- Đối với BPT:
( )f x
a c≤

.
+ Nếu 0 < a < 1, ta có
( ) log
a
f x c≥
(BPT đổi
chiều).
Ví dụ: Giải bất phương trình:
2
3
1
2
4
x x−
≤
Giải:
Ta có:
2 2
3 3 2 2
1
2 2 2 3 2
4
x x x x
x x
− − −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ −

2
3 2 0 1 2x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:

[ ]
1;2
21
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
+ Nếu a > 1, ta có
( ) log
a
f x c≤
.
Dạng 4: Biến đổi đưa phương trình về dạng:

log ( ) log ( )
a a
f x g x=
(lô ga rít hóa
2 vế)
Phương pháp:
+ Dùng các công thức tính toán, cộng, trừ
lôgarit để biến đổi.
+ Cần chú ý đến điều kiện của các biểu thức
dưới dấu lôgarit.
Ví dụ: Giải phương trình:
3 9
log (9 ) log 5x x+ =
.
Giải:
Điều kiện:
0
0
9 0

x
x
x
>

⇒ >

>

. Khi đó:
2
2
3 9 3 3
3
log (9 ) log 5 log 3 log log 5x x x x+ = ⇔ + + =
3 3 3
1 3
2 log log 5 log 3
2 2
x x x⇔ + + = ⇔ =

2
3
log 2 3 9.x x⇔ = ⇒ = =
Vậy PT đã cho có nghiệm: x = 9.
Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu
lôgarit
2
.log ( ) .log ( ) 0
a a

m f x n f x p+ + =
Phương pháp:
+ ĐK: f(x) > 0.
+ Đặt
log ( )
a
t f x=
, ta được:
2
. . 0mt n t p+ + =
. Giải phương trình tìm t.
+Giải pt:
log ( ) ( )
t
a
f x t f x a= ⇔ =
để tìm x.
+ Kết luận nghiệm của PT.
Vídụ: Giải PT:
2
2 2
4log 3log 10 0x x− − =
.
Giải:
ĐK: x > 0.
Đặt
2
logt x=
, ta được:
2

4 3 10 0t t− − =
.
Giải pt ta tìm được:
5
2;
4
t t= = −
*Với
2
2 log 2 4t x x= ⇔ = ⇔ =
*Với
5
4
2
5 5
log 2
4 4
t x x
−
= − ⇔ = − ⇔ =
Dạng 6: Bất phương trình lôgarit.
log ( ) log ( ),(0 1).
a a
f x g x a< < ≠
Phương pháp:
+ ĐK:
( ) 0
( ) 0
f x
g x

>


>

+ Nếu
0 1x
< <
,ta có:
( ) ( )f x g x>
(BPT đổi
chiều).
+ Nếu
a 1
>
, ta có:
( ) ( )f x g x<
- Đối với BPT:
log ( )
a
f x c<
.
+ Nếu
0 1x
< <
,ta có:
( )
c
f x a>
(BPT đổi

chiều).
+ Nếu
1a
>
, ta có:
( ) .
c
f x a<
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau.
a).
2 2
log log (3 1).x x≥ −
b).
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2).x x− > +
Giải:
a). ĐK:
0
1
3 1 0
3
x
x
x
>

⇔ >

− >


. Khi đó:
2 2
1
log log (3 1) 3 1
2
x x x x x≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≤
.
Kết hợp với ĐK, ta được tập nghiệm là:
1 1
;
3 2
T
 
=


 
b). ĐK:
2 1 0
1
2 0
2
x
x
x
− >

⇔ >


+ >

. Khi đó:
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2) 2 1 2 3x x x x x− > + ⇔ − < + ⇔ <
.
Kết hợp với ĐK, ta được tập nghiệm là:
1
;3
2
T
 
=
 ÷
 
BÀI TẬP
Bài tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính:
a).
4
0,75
3
1 1
16 8
− −
   
+
 ÷  ÷
   
b).

2 3 5 5
2 .8
−
c).
2
1,5
3
(0,04) .(0,125)
−
−
d).
2 3 3 1 2 3
(4 4 ).2
− −
−
22
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
e).
5
4
2
3
5
4
5 0,2
−
−
−
 
 

+
 ÷
 ÷
 
 
f).
3 3
1 2 2 2
3 :9
+
g).
9 2 6 4
7 7 5 5
8 :8 3 .3−
h).
2 7
2 7 1 7
10
2 .5
+
+ +
i).
3 2 1 2. 4 2
8 .4 .2
+ − − −
j).
10
2 2log 7
10
+

k).
3 81
2log 2 4log 2
9
+
l).
9
log 27
3
m).
2
log 32
4
n).
2
1 log 3
8
−
o).
49
log 15
7
p).
5 20
2 5 1 5
6
4 .9
+
+ +
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a).
2
3 2
2 4
x x− +
=
b).
3 1 2
(0.5) .(0.5) 2
x x− −
=
c).
2 1 2
3 3 108
x x−
+ =
d).
1 1
2 2 2 28
x x x+ −
+ + =
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

2 2
1 1
1
2 1 1
2 6 7
). 3.9 3 2 0
). 2 9.2 2 0

). 9 36.3 3 0
). 4 10.2 24
). 5 5 250
).2 2 17 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
a
b
c
d
e
f
+
+ −
−
− +
+ +
− − =
− + =
− + =
− =
+ =
+ − =

2 1
6 3

3
1 3
1
1
). 3 9.3 6 0
). 3. 2 0
). 3 3 12 0
). 5 5 26
). 2 2 3 0
).6 6 5 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
i
j e e
k
l
m
n
+
−
− −
−
−
− + =
− + =
+ − =

+ =
+ − =
− − =

( ) ( )
1 3
3 1
1
). 3 5.3 12
1 1
). 128 0
4 8
). 2 3 2 3 14
). 3 3 2 0 ( 2013)
x x
x x
x x
x x
o
q
r
s tn
+ −
−
−
− =
   
− − =
 ÷  ÷
   

− + + =
− + =
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

4 4
2 2
4 2
3 9
3 3 3
). log (5 2 ) log ( 3)
). log ( 1) 1 log
). log log (4 ) 5
). log (9 ) log 5
). log ( 2) log ( 2) log 5
a x x
b x x
c x x
d x x
e x x
− = +
+ = +
+ =
+ =
+ + − =

2 2 2
2 2
2 2
6 1
6

4 4
).log ( 2) log ( 3) log 12
). log ( 2) log ( 3) 1
).log log ( 1) 1
). log ( 4) log ( 1) 1
). log ( 3) log ( 1) 2
f x x
g x x
h x x
i x x
j x x
− + − =
− + − =
+ − =
− − + =
+ − − =
2 3 4
1 4
4
3 3 3
1 4
4
).log (log (log )) 0
). log (3 1) log (2 3 )
).log (9 1) log (2.3 1) log 2
). log ( 5) 2log ( 1) 0
x x
x x
x x
k x

l
m
n e e
=
+ = −
+ − − =
+ + − =

2
2
2
4 4
2 3
2 2
2
2 2
1
). log 1
log
). log 2log 1 0
). log log 4 0
). log 3log 10 0
o x
x
p x x
q x x
r x x
= +
− + =
+ − =

− − =
Bài tập 5: Giải các bất phương trình sau:

2
2
2
2
2 1 3 2
2 3 2
3
3
1
1
1 2 5
). 7 ).
7 5 2
1 1
). 2 ). 9
4 3
1
). 5
25
x x x
x x
x x
x x
x
x
a d
b e

c
− − +
− +
−
−
+
     
< >
 ÷  ÷  ÷
     
 
≤ ≥
 ÷
 
 
<
 ÷
 

2 2 2 2
2 1 1
1 1 2
2 1
). 7 2 5.7 2
). 2 3 3 2
). 9 3 2 0
). 49 6.7 7 0
). 5 5 4
x x x x
x x x x

x x
x x
x x
f
g
h
i
j
+ − −
− − +
+
− ≤ −
− > −
− + ≥
− − <
> +

23
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Bài tập 6: Giải các bất phương trình sau:

2 2
2 2
1
2
2
1
2
1 1
3 3

2 2
2 2
1
2
2
a). log log (3 1)
). 2log ( 1) log (5 ) 1 0
). log ( 2) log (3 ) 0
). log (2 4) 1
). log (2 1) log ( 2)
). log log (3 1)
). 2log ( 1) log (5 ) 1 0
). log ( 2) log (3 ) 4
x x
b x x
c x x
d x
e x x
f x x
g x x
h x x
≥ −
− − − − ≤
+ + − ≥
+ ≥
− > +
≥ −
− − − − ≤
+ + − ≥

2
1 2
2
1 5 1
5 5
3 5
1
2
2
3 1
2
2 2
4 4
2
3 3
). log ( 6 5) 2log (2 ) 0
). log log ( 2) log 3
). log (2 15) 0
1
). log log 1
16
). log ( 2 ) log ( 4)
). log 2 5log 2 4 0
x
i x x x
j x x
k
l x
m x x x
n x x

+
− + + − ≥
− − <
− >
 
 
+ >
 
 ÷
 
 
− > +
− + <
Hết chương II
Chương III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
1. Định nghĩa nguyên hàm:
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi
.x K∈
2. Bảng nguyên hàm:
Hàm số sơ cấp Nguyên hàm bổ sung
1
,( 1; )
1
dx x C
x
x dx C
α
α
α α

α
+
= +
= + ≠ − ∈
+
∫
∫
o
o ¡
2
1 1 1
2
dx C dx x C
x x
x
= − + = +
∫ ∫
o o
24
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
1
1 1
( ) . ( )
1
1
1 1
ln
1
os( ) sin( )
1

sin( ) os( )
sin
tan ln os
cos
os
cot ln sin
sin
ax b ax b
ax b dx ax b C
a
e dx e C
a
dx ax b C
ax b a
c ax b dx ax b C
a
ax b dx c ax b C
a
x
xdx dx c x C
x
c x
xdx dx x C
x
α α
α
+
+ +
+ = + +
+

= +
= + +
+
+ = + +
+ = − + +
= = − +
= = +
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
o
o
o
o
o
o
o
2 2
2
2
2
2
cos sin
sin cos
1
(1 tan ) tan

cos
1
(1 cot ) cot
sin
xdx x C a b
xdx x C
x dx dx x C
x
x dx dx x C
x
= + +
= − +
+ = = +
+ = = − +
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
o
o
o
o
1
ln
ln
x x
x
x
dx x C
x

e dx e C
a
a dx C
a
= +
= +
= +
∫
∫
∫
o
o
o
3. Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn
[ ]
;a b
.
Hiệu: F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) .Kí hiệu:
( )
b
a
f x dx
∫
Công thức:
( ) ( ) ( ) ( )
b

b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
4. Các bài toán đổi biến số:
Bài toán Ví dụ
Bài toán 1:
[ ]
( ) . '( )
b
a
f u x u x dx
∫
Phương pháp: + Đặt
( ) '( )t u x dt u x dx= ⇒ =
+ Đổi cận:
x a t
x b t
α
β
= =
 
⇒
 
= =
 
+ Thế:
[ ]
( ) . '( ) ( )

b
a
f u x u x dx f t dt
β
α
=
∫ ∫
Ví dụ: Tính
2
sin
0
. os
x
I e c xdx
π
=
∫
Giải
Đặt
sin ost x dt c xdx= ⇒ =
Đổi cận:
0 0
1
2
x t
x t
π
= ⇒ =




= ⇒ =

1
1
1 0
0
0
1
t t
I e dt e e e e⇒ = = = − = −
∫
Bài toán 2:
( ). '( )
b
a
u x u x dx
∫
Phương pháp: + Đặt
2
( ) ( )t u x t u x= ⇒ =
2 '( )tdt u x dx⇒ =
+ Đổi cận:
1
1
t
x a
x b t
α
β

=
=


⇒


= =


+ Thế:
Ví dụ: Tính
1
2
0
1I x x dx= +
∫
Giải
Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx= + ⇒ = + ⇒ =

tdt xdx
⇒ =
Đổi cận:
0 1
1 2
x t
x t
= ⇒ =



= ⇒ =

25