Bảng tóm tắt kiến thức tích phân cơ bản

Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án

GV: Nguyễn Trần Quang Vinh
1
BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

ĐẠO HÀM
NGUYÊN HÀM
1.
 
/
1x 

1.
dx x C


1.
kdx kx C


2.
 
/
1
.xx





2.
1
1
x
x dx C








2.
1
1 ( )
()
1
ax b
ax b dx C
a





   



3.
 
/
1
lnx
x


3.
1
lndx x C
x



3.
1
ln
dx
ax b C
ax b a
  



4.
 
/
xx
ee

4.
xx
e dx e C


4.
( ) ( )
1
ax b ax b
e dx e C
a




5.
 
/
.ln
xx
a a a

5.
ln
x
x
a
a dx C
a




5.
()
()
1
ln
mx n
mx n
a
a dx C
ma


  


6.
 
/
sin cosxx
(SIN THÌ CÓ)
6.
sin cosxdx x C  


6.
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C

a
    


7.
 
/
cos sinxx
(CÓ THÌ KHÔNG SIN)
7.
cos sinxdx x C


7.
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
   


8.
 
/
2
1
tan
cos
x
x


8.
2
tan
cos
dx
xC
x



8.
2
1
tan( )
cos ( )
dx
ax b C
a
ax b
  



9.
 
/
2
1
cot

sin
x
x



9.
2
cot
sin
dx
xC
x
  


9.
2
1
cot( )
sin ( )
dx
ax b C
a
ax b
   



CÔNG THỨC HẠ BẬC
2
1 cos2
sin
2





2
1 cos2
cos
2





2
1 cos2
tan
1 cos2







CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
 
   
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b

 
    
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b

 
   
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b

Cos nhân cos bằng ½ cos cộng cos
Sin nhân sin bằng -½ cos trừ cos
Sin nhân cos bằng ½ sin cộng sin
Vòng tròn ma thuật

Hằng đẳng thức
 
2
22
2a b a ab b   

 
2
22
2a b a ab b   

 
3
3 2 2 3
33a b a a b ab b    

 
3
3 2 2 3
33a b a a b ab b    

Công thức lũy thừa
1.
1
n
n
a
a



2.
.
m n m n
a a a



3.
m
mn
n
a
a
a



4.
(
.
) ( )
m n n m m n
a a a

5.
( . ) .
n n n
a b a b

6.
a
b
n
n
n
a
b





7.
m
n
m
n
aa



Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án

GV: Nguyễn Trần Quang Vinh
2
TÍCH PHÂN
Định nghĩa tích phân:
Cho
 

fx
là hàm số liên tục trên đoạn
 
;ab
. Giả sử
 
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
 
fx
trên đoạn
 
;ab
. Khi đó:
       
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  


Chuyên đề 1. Các phương pháp
tính tích phân
Ta có 3 phương pháp tính tích phân cơ bản:
1) Tính trực tiếp bằng định nghĩa
2) Đổi biến số
3) từng phần.
Sau đây chúng ta sẽ đi vào nghiên cứu từng phương
pháp.

PP 1. Tính bằng định nghĩa.
Nhận dạng:
- Biểu thức là tổng, hiệu của các hàm cơ bản.
- Biểu thức là dạng tích (nhân phân phối đưa về
các dạng cơ bản)
- Biểu thức có dạng
A B A B
x x x
  



Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1:
. ( ) . ( )
bb
aa
k f x dx k f x dx

.
Tính chất 2:
 
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx  
  
.
Tính chất 3:
, ( )( ) ( ) ( )

b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b   
  
.
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
a/
 
1
3
0
4I x x dx


b/
4
32
2
1
42x x x
I dx
x




c/
 
1
2

2
0
1 I x x dx

(TN-2010)
Lời giải
a/
 
 
1
11
5
3 4 3 4
00
0
6
44
55
x
I x x dx x x dx x

       





b/




   




3
44
3 2 2
2
2 2 2 2
11
4 2 2
4
x x x x x x
I dx dx
x x x x


   
   
       
   
   

4
11
4
22
1

1
2
4 1 8 2ln 5 2ln 4x dx x x x
x
c/
 
1
2
2
0
1 I x x dx

   
11
2 2 4 3 2
00
2 1 2x x x dx x x x dx    

1
5 4 3
0
5 2 3
x x x

  



1
30



PP 2. Đổi biến số
1. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 (Đặt
 
t u x
) :
Bước 1: (Đổi biến) Đặt
( ) ( ) .t u x dt u x dx

  

Bước 2: (Đổi cận) :
()
()
x b t u b
x a t u a


  

  

Bước 3: Thay tất cả theo biến t, tính ra kết quả.
   
b
a
I f x dx g t dt






Ví dụ 1. Tính tích phân sau:
1
2
3
0
3
.
1
x
I dx
x




Lời giải
Đặt
32
1 2 .t x dt x dx   

0,25
Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án

GV: Nguyễn Trần Quang Vinh
3
Đổi cận
12

01
xt
xt
  


  


0,25
Suy ra I
2
2
1
1
ln
dt
t
t



0,25
Vậy I
ln2.

0,25

Ví dụ 2. Tính
 

ln2
2
0
1 .
xx
I e e dx


Lời giải
CÁCH 1: ĐỔI BIẾN
Đặt
1.
xx
t e dt e dx   

0,25
Đổi cận
ln2 1
00
xt
xt
  


  


0,25
Suy ra I
1

1
3
2
0
0
3
t
t dt


0,25
Vậy I
1
.
3


0,25
CÁCH 2: TRỰC TIẾP
 
ln2
2
0
1
xx
I e e dx

 
ln2
2

0
21
x x x
e e e dx  


0,25
 
ln2
32
0
2
x x x
e e e dx


0,25
ln2
3
2
0
3
x
xx
e
ee

  





0,25
Vậy I
1
.
3


0,25
Ví dụ 3. Tính
1
0
3 1 .I x dx


Lời giải
Đặt
2
3 1 3 1 2 3 .t x t x tdt dx      

0,25
Đổi cận
12
01
xt
xt
  



  


0,25
Suy ra I
2
2
3
2
1
1
22
3 3 3
t
t dt


0,25
Vậy I
14
.
9


0,25
Ví dụ 4. Tính:
1
4 5ln
.
e

x
I dx
x




Lời giải
Đặt
2
5
4 5ln 4 5ln 2 .t x t x tdt dx
x
      

0,25
Đổi cận
3
12
x e t
xt
  


  


0,25
Suy ra I
3

3
3
2
2
2
22
5 5 3
t
t dt


0,25
Vậy I
38
.
15


0,25
Ví dụ 5. Tính tích phân sau:
3
0
.
1
x
I dx
x




Lời giải
Đặt
2
1 1 2 .t x t x tdt dx      

Đổi cận
32
01
xt
xt
  


  


0,25
Suy ra I
 
2
2
1
21t dt


0,25

2
3

1
2
3
t
t






0,25
Vậy I
8
.
3


0,25
Ví dụ 6. (D-2009) Tính tích phân:
3
1
1
.
1
x
I dx
e





Lời giải
Đặt
.
xx
t e dt e dx  

Đổi cận
3
3
1
x t e
x t e

  


  



0,25
Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án

GV: Nguyễn Trần Quang Vinh
4
Suy ra I

 

 
3 3 3
3
1
11
1
e e e
x
xx
e e e
e dx dt dt dt
t t t t
ee
   


   

0,25

33
ln 1 ln
ee
ee
tt  

0,25
Vậy I
 
2

ln 1 2.ee   

0,25
2. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 (Đặt
()x u t
)
Bước 1: Đặt
( ) ( ) .x u t dx u t dt

  

Bước 2: Đổi cận :
x b t
x a t






Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích
phân theo biến t ta được

 
()
b
a
I f x dx g t dt





(tiếp tục tính
tích phân mới)
 Chú ý:
 Nếu hàm số có dạng
22
-ax
thì đặt x = a.sint
 Nếu hàm số có dạng
22
-xa
thì đặt x =
sin
a
t

 Nếu hàm số có dạng
22
1
ax
thì ta đặt x = a.tant
Ví dụ 1. Tính tích phân sau: I =
1
2
0
1
.
1
dx

x


Lời giải
Đặt
x tan ,
22
tt


   


.

 
2
2
1
1 tan
cos
dx dt t dt
t
  
.
Đổi cận
1
4
00
xt

xt


  



  


Khi đó I =
 
2
44
4
2
0
00
1 tan
1 tan
t dt
dt t
t






=

4



PP 3. tích phân từng phần
Công thức
.
bb
b
a
aa
udv u v vdu


Tính
()
b
a
I f x dx

theo các bước sau:
Bước 1: Đặt
'( )
()
()
()
du u x dx
u u x
v v x dx
dv v x dx

















.(trên đạo – dưới nguyên)
Bước 2: Khi đó:
   
  
( ) .
b b b
b
a
a a a
I f x dx udv u v vdu

Bước 3: Tính tiếp
b
a

vdu

để được kết quả.
NGUYÊN TẮC ĐẶT U TRONG TÍCH PHÂN TỪNG
PHẦN THEO THỨ TỰ ƯU TIÊN
lnx
 Đa thức 
x
e
(hoặc
x
a
) 
sinx
(hoặc
cosx
)
Nhất “Lô” Nhì “Đa” Tam “Em” Tứ “Giác”
Nhận dạng
Dạng nguyên hàm
Đặt u
Đặt dv
()
ax b
P x e dx



()u P x

ax b
dv e dx



 
( )cosP x ax b dx


()u P x

 
cosdv ax b dx

 
( )sinP x ax b dx


()u P x

 
sindv ax b dx

 
( )lnP x ax b dx


 
lnu ax b

()dv P x dx

 
ln
2
x
dx
x





lnux

1
dv dx
x



Đặc biệt
 
( ) 2 1
x
P x e dx

thì cũng đặt
()u P x
và

 
2 1 .
x
dv e dx

( )cos2P x xdx

thì cũng đặt
()u P x
và
cos2dv xdx
(
1
sin 2
2
vx
).
Chú ý dạng tích phân từng phần lập (xem Ví dụ 1,
b)
Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án

GV: Nguyễn Trần Quang Vinh
5
Ví dụ 1. Tính: a/
2
0
cosI x xdx




Lời giải
a/ Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x







Ta có:


  

22
2
0
00
cos sin sinI x xdx x x xdx


    
   
       
   
   

2
0
sin 0sin0 cos cos cos0 1
2 2 2 2 2
x

b/
2
0
cos .
x
I e xdx



(từng phần lập)
Đặt
cos sin
xx
u e du e dx
dv xdx v x








.

Khi đó
2
0
cos
x
I e x dx



 
2
2
2
0
0
sin sin
xx
e x e xdx e J



   


Với
2
0
sin
x
J e xdx





Đặt
sin cos
xx
u e du e dx
dv xdx v x





  


.
Khi đó
   
2
22
00
0
cos cos cos
x x x
J e x e xdx e x I


     



Suy ra
 
2
22
0
cos 1
x
I e e x I e I


     

Vậy
2
1
1.
2
Ie







Ví dụ 2. (TN-2013) Tính tích phân sau
 
2

0
1 cos .I x xdx




Lời giải
Đặt
1
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
  






0,25
Do đó I
 
2
2
0
0
1 sin sinx x xdx


  



0,25

2
0
1 cos
2
x


  

0,25
Vậy I
.
2



0,25
Ví dụ 3. Tính tích phân sau:
 
1
0
1
x
I e xdx


Lời giải
Đặt
 
1
x
x
ux
du dx
dv e dx
v x e














0,25
Do đó I
   
1
1
0

0
xx
x x e x e dx   


0,25

1
2
0
1
1 1 1
2
x
x
e e e e
e


        






0,25
Vậy I
3
2



0,25
Ví dụ 4. Tinh tích phân sau:
2
3
1
.
lnx
I dx
x



Lời giải
Đặt
3
2
ln
1
2
dx
ux
du
x
dx
dv
v
x
x
















0,25
Khi đó I
2
2
22
1
1
ln
22
x dx
xx
  


0,25

2
2
1
ln2 1
8
4x
  

0,25
Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án

GV: Nguyễn Trần Quang Vinh
6
Vậy I
3 2 ln 2
16



0,25
Ví dụ 5. (Khối D - 2012): Tính tích phân sau:
 
4
0
. 1 2 .I x sin x dx




Lời giải
I
  

   
  
2
4 4 4
4
0 0 0
2
sin2 sin2
2
x
xdx x xdx x xdx





2
4
0
sin2
32
x xdx

0,25
Đặt
1

sin2
cos2
2
du dx
ux
dv xdx
vx













0,25
Khi đó



  

44
4
0

00
11
sin2 cos2 cos2
22
x xdx x x xdx




4
0
1
cos2
2
xdx
4
0
11
sin2 .
44
x



0,25

Vậy I
2
1
32 4


  

0,25
Chuyên đề 2. Tích phân có chứa
dấu giá trị tuyệt đối
* Định lí: Nếu f(x) liên tục và không đổi dấu trên
 
;ab

thì:
( ) ( )
bb
aa
f x dx f x dx

.
Phương pháp tính tich phân:
()
b
a
f x dx


 Giải pt
 
0fx
, tìm các nghiệm
0
x

nằm
trong
 
;ab

 Sau đó chia thành các khoảng nhỏ để tính.
0
0
( ) ( ) ( )
x
bb
a a x
f x dx f x dx f x dx
  

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: a)
3
0
2 xdx

b/
2
2
0
I x x dx

(Khối D -
2003)
Lời giải
a/

3
0
2 xdx


Ta có:
 
2 0 2 0;3xx    

khi đó
    
  
3 2 3
0 0 2
2 (2 ) (2 )xdx x dx x dx


   
    
   
   
   
23
22
02
5
22
2 2 2
xx
xx

b/
2
2
0
I x x dx

(Khối D - 2003)
Ta có
2
00x x x   
hoặc
1x 
thuộc
 
0;2

   
2 1 2
2 2 2
0 0 1
x x dx x x dx x x dx    
  
12
3 2 3 2
01
1.
3 2 3 2
x x x x
   

    
   
   
   

Chuyên đề 3. Tích phân hàm phân
thức
2
Ax B
dx
ax bx c






Dạng 1.
ax b
dx
cx d






PP: Chia đa thức
ax b a A
cx d c cx d





Dạng 2.
  
12
1
dx
a x x x x





Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án

GV: Nguyễn Trần Quang Vinh
7
PP: Biến đổi
  
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
()a x x x x a x x x x x x



    


Dạng 3.
2
Ax B
dx
ax bx c






PP: Giải pt:
2
0ax bx c  

* Nếu có hai nghiệm x
1

và x
2
thì
2
12
Ax B C D
x x x x
ax bx c





sau đó dùng đồng nhất
thức để tìm C và D.
* Nếu có 1 nghiệm kép x
0
thì
2 2 2
0
00
()
( ) ( )
Ax B Ax B C D
xx
ax bx c a x x x x

  

   
sau đó
dùng đồng nhất thức để tìm C và D.
Chú ý: nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì áp dụng
phép chia đa thức sau đó áp dụng dạng 2 hoặc dạng
3.
Ví dụ 1. Tính tích phân sau:
3
2
21
.
1
x
dx

x




Lời giải
 
33
3
2
22
2 1 1
2 2 ln 1 2 ln2.
11
x
dx dx x x
xx


      





Ví dụ 2. Tính tích phân sau:
 
3
1
1

.
1
dx
xx


Lời giải
 
33
11
1 1 1
11
dx dx
x x x x






33
33
11
11
1 1 3
ln ln 1 ln
12
dx dx x x
xx
      




Ví dụ 3. Tính
1
2
0
1
.
1
xx
I dx
x





Lời giải
Ta có
2
11
11
xx
x
xx




Nên

  

  
1 1 1
2
0 0 0
11
11
xx
I dx xdx dx
xx

 
    
1
2
1
0
0
1
ln 1 ln2.
22
x
x

Ví dụ 4. Tính tích phân sau:
 
4

2
3
4
dt
t 


Lời giải
 
 

    







4
44
2
3
33
1 1 1
l
1
n 2 ln 2
2 2 4
4

4
dt
dt t t
tt
t




4
3
12
ln
42
15
ln
43
t
t


Chuyên đề 4. Ứng dụng của tích
phân tính diện tích, thể tích.

Trước khi học bài này các em hãy xem lại các
phương pháp tính tích phân và tích phân có chứa dấu
giá trị tuyệt đối.
Dạng 1. Hình phẳng giới hạn bởi một
đường cong và trục hoành.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi:

()
0
; ,( )
y f x
y
x a x b a b






  


 Diện tích của hình phẳng (H) là:
()
b
a
S f x dx


 Giải pt
 
0fx
, tìm các nghiệm
0
x

nằm
trong
 
;ab

 Sau đó chia thành các khoảng nhỏ để tính.
0
0
( ) ( ) ( )
x
bb
a a x
S f x dx f x dx f x dx  
  

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số
2
43y x x  
, trục hoành và
hai đường thẳng
0, 2xx
.
Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án

GV: Nguyễn Trần Quang Vinh
8
Lời giải
pt:
 

 
2
1 0;2
4 3 0
3 0;2
x
xx
x


   




.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2 1 2
2 2 2
0 0 1
4 3 4 3 4 3S x x dx x x dx x x dx        
  


   
12
22
01
4 3 4 3x x dx x x dx     


12
33
22
01
42
2 3 2 3 2.
3 3 3 3
xx
x x x x
   
         
   
   
   
(đvdt).
Dạng 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
()y f x
và
()y g x

 Diện tích của hình phẳng (H) là:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx


 Tìm a, b bằng cách giải pt:
( ) ( ) 0f x g x
,
tìm các nghiệm,
 Nghiệm nhỏ nhất là a, nghiệm lớn nhất là
b.
 Sau đó chia ra thành các đoạn nhỏ để tính.
   
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
bb
a a x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx     
  

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị của hai hàm số :
2
( ) 4f x x x  
và
32
( ) 3 2g x x x x  
.
Lời giải
pt:
32
1

( ) ( ) 0 4 4 0 1
4
x
f x g x x x x x
x



        




.
()fx
có đồ thị (C
1
);
()gx
có đồ thị (C
2
)
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
4
32
1
44S x x x dx

   


14
3 2 3 2
11
4 4 4 4x x x dx x x x dx

       


   

14
3 2 3 2
11
4 4 4 4x x x dx x x x dx

       



14
4 3 2 4 3 2
11
4 4 253
44
4 3 2 4 3 2 12
x x x x x x
xx


   
         
   
   
   

Dạng 3. Thể tích khối tròn xoay quay
quanh Ox:
Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số:
()y f x
, trục Ox và 2 đường thẳng
; ( )x a x b a b  
quay xung quanh Ox tạo thành
khối tròn xoay có thể tích là:
2
()
b
a
V f x dx




Ví dụ 1. Gọi D là hình phẳng được giới hạn
bởi các đường:
2
1yx
và trục hoành.
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình
phẳng D quanh trục hoành.

Lời giải
Ta có
 
11
2 2 2 4 2
11
( 1) ( 2 1)
b
a
V f x dx x dx x x dx
  

     
  

1
53
1
1 2 16
5 3 15
x x x




    


(đvtt)
Nguyên hàm – tích phân hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án

GV: Nguyễn Trần Quang Vinh
9