Giao an Tu chon Toan 8 Chu de nang cao

Chủ đề nâng cao T8 TRỊNH MINH CƯỜNG
Chuyên đề: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
CÁC BÀI TOÁN
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
− + − +
− + + −
+ + − −
− + + +
− − − −
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)
II- Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức
hiệu của hai bình phương: A
2

– B
2
= (A – B)(A + B)
Năm học 2008 – 2009 THCS Ngọc
Phụng
16
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− + − + −
+ + + − +
− + + − + −
− − + − − + +
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
9, 6 486 81 10, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4
15, 2 4 16, 2

x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
− − + − −
− + − + +
+ + + + + +
− −
2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1


x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
− + −
+ + + + +
+ + + − + −
− + + + + + +
Chủ đề nâng cao T8 TRỊNH MINH CƯỜNG
CÁC BÀI TOÁN
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung

CÁC BÀI TOÁN
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
III- Phương pháp đổi biến
CÁC BÀI TOÁN
Bài 1:Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử
Năm học 2008 – 2009 THCS Ngọc
Phụng
17
( )
2
2 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
+ − − − +
+ +
+ +
+ +

+ + +
1
7 2 7 5
5 4 5
8 7 5 4
5 10 5
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ + − −
+ − + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + + −

+ + + + + + + + + −
+ + + + − + + + + +
−
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
+ + + + +
− + + − − + + + +
− + − + − + + + + +
Chủ đề nâng cao T8 TRỊNH MINH CƯỜNG
IV- Phương pháp xét giá trị riêng
Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức,
rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x bởi y thì P =
2 2
( ) ( ) 0y y z y z y− + − =
Như vậy P chứa thừa số x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói
đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã
chúa thùa số x – y thì cũng chúa thừa số y – z, z – x. Vậy P phải có dạng
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có
bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có

bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng
hạn x = 2, y = 1, z = 0
ta được k = -1
Vậy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)
CÁC BÀI TOÁN
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + − + + − + + − + + − + − + −
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= − + − + − −
, với 2m = a+ b + c.
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Năm học 2008 – 2009 THCS Ngọc
Phụng
18
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + − +
+ + + + + + +
2 2 2
2 2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b

− + − + −
+ − + + − + + − + + − + − + −
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x
− + − + − = − − −
Chủ đề nâng cao T8 TRỊNH MINH CƯỜNG
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b
g G a b a b
= + + + + −
= + − +
= + − + + −
= + − + + − + + −
= − + − + − + −

= − + − + −
= −
2 2 2 2
4 4 4
) ( ) ( ).
) ( ) ( ) ( ).
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
+ − + −
= − + − + −
V-Phưong pháp hệ số bất định
CÁC BÀI TOÁN
Bài 1: Phân tích các đa thức thành nhân tử
4 3 2
4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= − + − +
= + + + +

= + + + + +
= − + − +
= − +
Năm học 2008 – 2009 THCS Ngọc
Phụng
19
Chủ đề nâng cao T8 TRỊNH MINH CƯỜNG
Chuyên đề 3: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC
I. Mục tiêu.
Học xong chủ đề này học sinh xác định được thành thạo các đa thức thương
Học sinh có khả năng xác định được đa thức khi biết một điều kiện nào đấy
II.Thời lượng
7 tiết
III. Nội dung
* Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng:
1) Định lí BêZu:
Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị
của f(x) tại x = a):
)()()()( afxqaxxf +−=
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.
Áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
Thực hiện như sau:
Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là
nghiệm của f(x) không.
Bước 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có:
)()()( xpaxxf −=
Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a.
Bước 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích
được. Sau đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí.

Dạng 1: Tìm đa thức thương bằng phương pháp đồng nhất hệ
số(phương pháp hệ số bất định), phương pháp giá trị riêng , thực hiện
phép chia đa thức.
*Phương pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử
cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau.
Năm học 2008 – 2009 THCS Ngọc
Phụng
20
Chủ đề nâng cao T8 TRỊNH MINH CƯỜNG
Ví dụ:
32)(
2
−+= bxaxxP
;
pxxxQ −−= 4)(
2
.
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:
a = 1(hệ số của lũy thừa 2)
2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)
- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)
*Phương pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg
Q(x)
Gọi thương và dư trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lượt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có:
)()().()( xNxMxQxP +=
(Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì :
α

=x
(
α
là hằng số). Sau đó ta đi giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm
các hệ số của các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thương, đa thức chia,
đa thức bị chia, số dư).
Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)
Gọi thương của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:
)().1(263
232
xQxaxaxxa +=−−+
.
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược:



=
−=
⇒=++−⇒=−++−
3
2
060263
22
a
a
aaaaa
Với a = -2 thì
4104)(,4664
223
+−=+−−= xxxQxxxA

Với a = 3 thì
69)(,6699
223
−=−−+= xxQxxxA
*Phương pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (như SGK)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho đa thức
2 3 2
( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= + − − ∈
. Xác định a sao cho A(x)
chia hết cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức
4 3
( ) 2 4P x x x x= − − −
thành nhân tử, biết rằng một
nhân tử có dạng:
2
2x dx+ +
Bµi 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức :
bxaxx +++ 2
23
chia hết cho đa
thức:
1
2
++ xx
. Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.
Bµi 4: Xác định giá trị k để đa thức:
kxxxxxf +++−=
234

219)(
chia hết cho
đa thức:
2)(
2
−−= xxxg
.
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức:
152)(
23
++= kkkf
chia
hết cho nhị thức:
3)( += kkg
.
Năm học 2008 – 2009 THCS Ngọc
Phụng
21
Chủ đề nâng cao T8 TRỊNH MINH CƯỜNG
Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức:
baxxxxxf +++−=
234
33)(
chia
hết cho đa thức:
43)(
2
+−= xxxg
.
Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức:

cbxaxxxP +++=
24
)(
Chia hết cho
3
)3( −x
.
b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức:
2376)(
234
+++−= xaxxxxQ
chia hết cho đa thức
bxxxM +−=
2
)(
.
c) Xác định a, b để
axxxxP +−+= 85)(
23
chia hết cho
bxxxM ++=
2
)(
.
Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức:
(Để học tốt Đại số 8)
Bài 9: Xác định hằng số a sao cho:
a)
axx +− 710
2

chia hết cho
32 −x
.
b)
12
2
++ axx
chia cho
3−x
dư 4.
c)
95
45
−+ xax
chia hết cho
1−x
.
Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho:
a)
baxx ++
24
chia hết cho
1
2
+− xx
.
b)
505
23
−++ xbxax

chia hết cho
103
2
++ xx
.
c)
1
24
++ bxax
chia hết cho
2
)1( −x
.
d)
4
4
+x
chia hết cho
baxx ++
2
.
Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho
baxx ++
3
chia cho
1+x
thì dư 7,
chia cho
3−x
thì dư -5.

Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho
cbxax ++
23
chia hết cho
2+x
, chia
cho
1
2
−x
thì dư
5+x
.
(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)
Bài 13: Cho đa thức:
baxxxxxP ++−+=
234
)(
và
2)(
2
−+= xxxQ
. Xác định
a, b để P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức
1)(
34
++= bxaxxP
chia hết cho đa
thức

2
)1()( −= xxQ
Bài 15: Cho các đa thức
237)(
234
+++−= xaxxxxP
và
bxxxQ +−=
2
)(
. Xác
định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).
(23 chuyên đề toán sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n
+ 1 điểm
1321
,,,,
+n
CCCC 
ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
)())(())(()()(
21212110 nn
CxCxCxbCxCxbCxbbxP −−−++−−+−+= 
Năm học 2008 – 2009 THCS Ngọc
Phụng
22
))()((
23

cxbxaxcbxaxx
−−−=−+−
Chủ đề nâng cao T8 TRỊNH MINH CƯỜNG
Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị
1321
,,,,
+n
CCCC 
vào
biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số
n
bbbb ,,,,
210

.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết:
9)2(,7)1(,25)0( −=== PPP
.
Giải
Đặt
)1()(
210
−++= xxbxbbxP
(1)
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được:
11.2.2.18259
18257
25
22

11
0
=⇔+−=−
−=⇔+=
=
bb
bb
b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
2519)()1(1825)(
2
+−=⇔−+−= xxxPxxxxP
.
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết:
1)3(,4)2(,12)1(,10)0( ==== PPPP
Hướng dẫn: Đặt
)2)(1()1()(
3210
−−+−++= xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho
)3(),2(),1( −−− xxx

đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: Đặt
)3)(2)(1()2)(1()1()(
3210
−−−+−−+−+= xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:

)1(),12)(1()1()(
0)1(
++=−−
=−
xxxxPxP
P
a) Xác định P(x).
b) Suy ra giá trị của tổng
)(),12)(1(5.3.23.2.1
*
NnnnnS ∈+++++= 
.
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

36)2(5.3.2)1()2(
6)1(3.2.1)0()1(
0)0(0)1()0(
,0)2(0)2()1(
=⇔=−
=⇔=−
=⇔=−−
=−⇔=−−−
PPP
PPP
PPP
PPP

Đặt
)2)(1()1()1()1()1()1()(
43210

−−++−++++++= xxxxbxxxbxxbxbbxP
(2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:

2
1
)4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30
31.2.3.2.3.336
,31.2.6
,00
0
44
33
22
11
0
=⇔−−−−+−−−+−−=
=⇔+=
=⇔=
=⇔=
=
bb
bb
bb
bb
b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

)2()1(
2

1
)2)(1()1(
2
1
)1()1(3)1(3)(
2
++=−−++−+++= xxxxxxxxxxxxxP
Năm học 2008 – 2009 THCS Ngọc
Phụng
23
Chủ đề nâng cao T8 TRỊNH MINH CƯỜNG
(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)
Bài 5: cho đa thức
)0,,(,)(
2
≠++= cbacbxaxxP
. Cho biết
0632
=++
cba
1) Tính a, b, c theo
)1(,
2
1
),0( PPP







.
2) Chứng minh rằng:
)1(,
2
1
),0( PPP






không thể cùng âm hoặc cùng
dương.
Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:
1985)2(
85)1(
19)0(
=
=
=
P
P
P
Năm học 2008 – 2009 THCS Ngọc
Phụng
24