CAÙC COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN

CÁC CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CƠ BẢN
I.
CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ:
1. Hai cung đối nhau: -x và x
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
2. Hai cung bù nhau:
x
π
−
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π

π
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Hai cung phụ nhau:
2
x
π
−
và x
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
π π
π π
   
− = − =
 ÷  ÷
   
   
− = − =
 ÷  ÷
   
4. Hai cung hơn kém nhau Pi:
x

π
+
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5. Các hằng đẳng thức trong lượng giác
2 2
2
2
1
. sin cos 1 . 1 tan
cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin
a x x b x

x
c x d x x
x
+ = + =
+ = =
6. Các công thức cộng:
.cos( ) cos .cos sin .sin
.cos( ) cos .cos sin .sin
.sin( ) sin .cos sin .cos
.sin( ) sin .cos sin .cos
a x y x y x y
b x y x y x y
c x y x y y x
d x y x y y x
− = +
+ = −
− = −
+ = +

tan tan
.tan( )
1 tan tan
tan tan
.tan( )
1 tan tan
x y
e x y
x y
x y
f x y

x y
+
+ =
−
−
− =
+
7. Công thức nhân đôi:
sin 2 2sin cos
: sin 2sin cos
2 2
x x x
nx nx
TQ nx
=
=

2 2 2 2
2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tan
tan 2
1 tan
x x x x x
x
x
x
= − = − = −
=
−

8. Công thức nhân 3 :
3
3
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
x x x
x x x
= −
= −
2
2
(3 tan ) tan
tan 3
1 3tan
x x
x
x
−
=
−
9. Công thức hạ bậc:
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos 2
cos
2
x

x
x
x
−
=
+
=
3
3
3sin sin 3
sin
4
3cos cos3
cos
4
x x
x
x x
x
−
=
+
=
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1

sin .sin cos( ) cos( )
2
x y x y x y
x y x y x y
= − + +
= − − +
[ ]
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
1
cos sin sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x x x y x y
= − + +
= + − −
1
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y

x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
cot cot
sin sin
sin( )
cot cot
cos cos
x y
x y
x y
x y

x y
x y
x y
x y
x y
y x
x y
x y
+
+ =
−
− =
+
+ =
−
− =
12. Công thức rút gọn:
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x x
x x x x
π π
π π
+ = + = −
− = − = − +
2
cot tan
sin 2

cot tan 2 cot 2
x x
x
x x x
+ =
− =
13.Công thức tính sinx, cosx, tanx theo tanx/2: nếu đạt t =
tan(x/2) thì
2
2
sin
1
t
x
t
=
+

2
2
1
cos
1
t
t
−
=
+
2
2

tan
1
t
x
t
=
−
II.
BÀI TẬP
A.
HÀM SỐ LƯNG GIÁC
câu1. Tính các giá trò lượng giác còn lại:
a. Cho
0 0
1
sin & 90 180
4
x x= < <
b. Cho
1 3
cos & 2
3 2
x x
π
π
= < <
c. Cho
3
tan 2 &
2

x x
π
π
= < <
d. Cho
1
cot & 0
3 2
x x
π
= − − < <
câu2. Chứng minh rằng
a)
cos 1
tan
1 sin
x
x
x cox
+ =
+
b)
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
x x
x x x
+
+ =
+
c)

1 1
(1 tan )(1 tan ) 2 tan
cos cos
x x x
x x
+ + + − =
d)
2 3
3
sin cos
1 tan tan tan
cos
x x
x x x
x
+
+ + + =
e)
1 cos 1 cos 4 cot
1 cos 1 cos sin
x x x
x x x
+ −
− =
− +
f)
2
2
sin sin cos
sin cos

sin cos
tan 1
x x x
x x
x x
x
+
− = +
−
−
câu3. Đơn giản các biểu thức:
2
(1 sin ) tan (1 sin )A x x x= + −
2 2
sin (1 cot ) cos (1 tan )B x x x x= + + +
2 2
(tan cot ) (tan cot )C x x x x= + − −
2 2 2
(1 sin ) cot 1 cotD x x x= − + −
2
2
1 cos (1 cos )
(1 )
sin
sin
x x
E
x
x
+ −

= −

8 6 2 4 2 2 2 2
sin sin cos sin cos sin cos cosF x x x x x x x x= + + + +
câu4. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x:
a.
6 6 4 4
2(sin cos ) 3(sin cos )A x x x x= + − +
b.
6 6 4 4 2
sin cos 2sin cos sinB x x x x x= + − − +
c.
2 2 2 2 2
sin tan 2sin tan cosC x x x x x= + − +
d.
2
1 cos 1 cos
sin (1 )(1 )
1 cos 1 cos
x x
D x
x x
− +
= + +
+ −
e.
2 2 2 2
2 2
tan cos cot sin
sin cos

x x x x
E
x x
− −
= +
2
f.
2
2
tan cot 1
.
cot
1 tan
x x
F
x
x
−
=
−
câu5. Tính các biểu thức sau
a. Cho sinx=2/3. Tính
cot tan
cot tan
x x
A
x x
−
=
+

b. Cho tanx=3. Tính
3 3
sin cos 4sin cos
&
2sin cos sin 3cos
x x x x
B C
x x x x
+ +
= =
+ +
c. Cho cotx= - 3 . Tính
2 2
2 2
sin 2sin cos 2 cos
2sin 3sin cos 4cos
x x x x
D
x x x x
+ −
=
− +
câu6. Tính các giá trò biểu thức
a.
0 0 0 0
cos10 cos 20 cos160 cos180A = + + + +
b.
2 0 2 0 2 0 2 0
sin 15 sin 25 sin 65 sin 75B = + + +
c.

2 0 2 0 2 0
sin 10 sin 20 sin 180C = + + +
d.
0 0
0
0 0
sin( 234 ) cos 216
tan 36
sin144 cos 216
D
− −
=
−
câu7. Rút gọn biểu thức
a.
3
sin( ) cos( ) cot(2 ) tan( )
2 2
A x x x x
π π
π π
= + − − + − + −
b.
3
cot( 2 ) cos( ) cos( 2 ) 2sin( )
2
B x x x x
π
π π π
= − − + + − −

c.
0 0 0 0 0
cos(270 ) 2sin( 450 ) cos( 900 ) 2sin(720 ) cot(540 )C x x x x x= − − − + + + − −
câu8. Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
a)
sin cos
2 2
A B C+
=
b)
tan(2 ) tanA B C A+ + =
c)
3
sin cos
2
A B C
C
+ +
=
d)
tan cot( )
2 2
A B C
B
−
= +
B.
CÔNG THỨC CỘNG:
a. Cho sinx=5/13 và (
π

/2<x<
π
), cosy=3/5 và (0<y<
π
/2). Tính sin(x+y), cos(x+y),tan(x+y) và cot(x+y)
b. Cho sinx=
1
5
và siny =
10
1
. Tính x+y
câu2. Cho a+b =
π
/4. Tính A =(1+tana).(1+tanb)
câu3. Tính giá trò các biểu thức:
a.
00
00
25tan20tan1
25tan20tan
−
+
=A
b.
0000
40tan20tan340tan20tan ++=C
c.
0000
0000

11sin19sin11cos19cos
20sin10cos10sin20cos
−
+
=C
câu4. Chứng minh:
a.
Sinx+cosx=
)
4
sin(2
π
+x
b.
Sin(a+b).sin(a-b) =sin
2
a-sin
2
b =cos
2
b-cos
2
a
c.
3sin4)
3
sin().
3
sin(4
2

−=−+ xxx
ππ
d.
xxx sin2)
4
sin()
4
sin( =−−+
ππ
câu5. Rút gọn biểu thức:
a.
cos( ) cos( )
cos( )cos( )
x y x y
A
x y x y
+ + −
=
+ −
b.
tan tan tan tan
tan( ) tan( )
a b a b
B
a b a b
+ −
= −
+ −
3
c.

sin( ).sin( )
sin sin
x y x y
C
x y
+ −
=
+
d.
sin( ) cos( )
4 4
sin( ) cos( )
4 4
x x
D
x x
π π
π π
+ − +
=
+ + +
câu6. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x
a.
A= cosx+ cos(x+
2
3
π
)+ cos(x+
4
3

π
)
b.
B= sinx + sin(x+
2
3
π
) + sin(x+
4
3
π
)
c.
C= cos
2
x + cos
2
(x+
2
3
π
) + cos
2
(x+
4
3
π
)
d.
D= sin

2
x + sin
2
(x+
2
3
π
) + sin
2
(x+
4
3
π
)
câu7. Cho tam giác ABC chứng minh:
a. cosB.cosC – sinB.sinC + cosA = 0
b. tanA + tanB + + tanC = tanA.tanB.tanC ( với ABC có 3 góc nhọn )
c. tan
2
A
tan
2
B
+tan
2
B
tan
2
C
+tan

2
A
tan
2
C
= 1
d. cot
2
A
+ cot
2
B
+ cot
2
C
= cot
2
A
. cot
2
B
. cot
2
C
e. cotA.cotB + cotB.cotC + cotA.cotC = 1
C.
CÔNG THỨC NHÂN:
câu1. Tính giá trò biểu thức:
a.
8

cos
4
cos
8
sin
πππ
=A
b.
8
tan
8
tan1
2
π
π
−
=B
c.
000
70sin50sin10sin=C
d.
0000
78sin66sin42sin6sin=D
e.
0000
80cos60cos40cos20cos16=E
câu2. Tính các giá trò biểu thức:
a. cho tan
2
x

= - 2. Tính
3sin 4cos
cot 3 tan
x x
A
x x
+
=
+
b. cho sinx = -4/5, và
3
2
2
x
π
π
< <
. Tính cos(x/2) và sin(x/2)
c. cho tanx = 1/15. Tính
sin 2
1 tan 2
x
B
x
=
+
d. cho sinx + cosx =
7
2
và 0 < x <

6
π
. Tính tan(x/2)
e. cho tan(x/2) = -1/2. Tính
2sin 2 cos 2
tan 2 cos 2
x x
C
x x
−
=
+

câu3. Chứng minh:
a. cotx – tanx = 2cot2x b. sin
4
x + cos
4
x =
3 1
cos 4
4 4
x+
c. . 4sinx.sin(60
0
– x).sin(60
0
+ x) = sin3x d. 4cosx.cos(60
0
– x).cos(60

0
+ x) = cos3x
4
e. . tanx.tan(60
0
– x).tan(60
0
+ x) = tan3x f. 3 – 4cos2x + cos4x = 8sin
4
x
g. cos
3
x.sinx – sin
3
x.cosx =
sin 4
4
x
h. 2(sinx + cosx +1)
2
. (sinx + cosx – 1 )
2
= 1 – cos4x
câu4. Đơn giản biểu thức
A = sin8x + 2cos
2
(4x +
4
π
) B =

3 3
cos cos3 sin sin 3
cos sin
x x x x
x x
− +
+
C = cos
4
x – sin
4
(x +
π
)
2
1 sin 2sin ( )
4 2
4cos
2
x
x
D
x
π
+ − −
=
2 4
2 2
sin 2 4cos
4 sin 2 4sin

x x
E
x x
+
=
− −
F = sin(
2
π
- x).sin(
π
- x) cos2x
D.
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
câu1. Biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích các biểu thức sau:
a. sin(
π
/5).sin(
π
/8) b. 2sina.sin2a.sin3a
c. Sin10
0
+ Sin11
0
+ Sin16
0
+ Sin15
0
d. Sinx+sin2x+sin3x+sin4x
e. Cosx+cos2x+cos3x+cos4x f. 1-cosx+sinx

g. 2cos2a -
3
h. 1+2sina-cos2a
i. 9sina+6cosa-3sin2a+cos2a-8 j. Sin
2
3a-cos
2
4a-sin
2
5a+cos
2
6a
k. 1+2cosx
câu2. Tính các giá trò biểu thức:
a.
A = cos85
0
+ cos35
0
– cos25
0
b.
B =
9
7
cos
9
5
cos
9

cos
πππ
++
c.
C =
5
8
cos
5
6
cos
5
4
cos
5
2
cos
ππππ
+++
d.
D = sin10
0

. sin30
0

. sin50
0

. sin70

0

e.
E = sin20
0

. sin40
0

. sin80
0

f.
F =
0
0
70sin4
sin10
1
−
g.
G = cos
2
x – sin(30
0
+x). sin(30
0
-x)
h.
H = cos10

0
. cos30
0
. cos50
0
. cos70
0
i.
D =
xx
xx
4cos6cos
4cos6cos
+
−
câu3. Chứng minh đẳng thức:
a.
x
xxx
xxx
3tan
5cos3coscos
5sin3sinsin
=
++
++
b.
xxx 4cos
8
3

8
5
sincos
66
+=+
c.
câu4. Cho tam giác ABC chứng minh :
a.
sinA + sinB + sinC =
2
cos
2
cos
2
cos4
CBA
b.
cosA + cos B + cosC = 1 +
2
sin
2
sin
2
sin4
CBA
c.
sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
d.
sin
2

A + sin
2
B + sin
2
C = 2(1+ cosA.cosB.cosC)
e.
cos2A + cos2B + cos2C = -1 – 4cosA.cosB.cosC
f.
tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
5
E.
NHẬN DẠNG TAM GIÁC:
câu1. Chứng minh tam giác ABC vuông nếu:
2 2 2
sin B sin C
a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2
cos B cos C
+
= = + + + =
+
câu2. Chứng minh tam giác ABC can nếu :
2
C sin B
a / sin A 2sin B.cos C; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2 tan B tan A.tan B; d / 2cos A
2 sin C
= + = + = =
câu3. Chứng minh tam giác ABC đều nếu :
1 3
a / cos A.cos B.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cos C
8 2

= + + = + + + + =
câu4. Chứng minh tam giác ABC can hoặc vuông nếu :
( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ -
câu5. Nhận dạng tam giác biết :
2 2 2
sin A
a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C
cos B
+ + = + + = =
câu6. Tìm các góc của tam giác ABC biết:
a.
0
60
1
sin .sin
2
B C
B C

− =



=


b.
0
120
3 1
sin .cos
4
B C
B C

+ =


+
=


III.
ÔN TẬP CHƯƠNG
câu1. Tính giá trò các biểu thức A = sina.cosa và B = cos
4
a + sin
4
a theo t biết t = sina + cosa
câu2. Tính sin(15
π

- a) biết
a. sina = 4/5 và (
π
/2) < a <
π
b. tana = 1/15
câu3. Tính
0 0
1 3
sin10 cos10
A = −
và
2 6
1 cos cos cos
7 7 7
B
π π π
= + + + +
câu4. Chứng minh các đẳng thức:
a.
3 – 4coss2x + cos4x = 8sin
4
x
b.
1
tan ( 1) tan
2 cos
x
x
x

+ =
c.
2 4
1 1 1 1
sin .cos cos 2 cos 4 cos 6
16 32 16 32
x x x x x= + − −
d.
2
cot 2 1
cos8 .cot 4 sin8
2cot 2
x
x x x
x
−
− =
e.
2
6
6 2
1 3 tan
tan 1
cot cos
x
x
x x
− = +
f.
1 sin 2 cos 2

tan 4
cos 4 sin 2 cos 2
x x
x
x x x
−
− =
+
câu5. Chứng minh
1
cot cot
sin 2
a
a
a
= −
và áp dụng tính
1 1 1

sin sin 2
sin 2
n
T
a a
a
= + + +
câu6. Cho sina.cosa =
3
4
và 0 < a < 45

0
. Tính
tan cot
tan cot
a a
A
a a
−
+
câu7. Biến đổi thành tích
2
3 2
1
sin 4 1 2cos 2
3
tan tan 3 tan 3
A x x
B x x x
= + −
= − − +
câu8. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c
a. A= sina.sin( b – c ) + sinb.sin( c – a ) + sinc.sin( a – b )
6
b. B = cos(a + b).sin( a – b ) + cos( b+ c).sin( b – c ) + cos(c + a).sin( c – a )
7