Hệ thống kiến thức toán 9

BNG TỌM TÀÕT CẠC KIÃÚN THỈÏC TRONG CHỈÅNG TRÇNH TOẠN 9
I/Âải Säú:
Cáu 1:
Âënh nghéa càn báûc hai. våïi giạ trë no
ca A thç
A
cọ nghéa.
ÂN:
Våïi säú dỉång a, säú
a
âỉåüc gi l càn báûc hai
säú hc ca a.
*/ a < b ⇔
a b<
*/
A

chè cọ nghéa khi A ≥ 0
Ạp dủng: Våïi giạ trë no ca x âãø
xx 5;43 −−
cọ nghéa.
Cáu 2:
Chỉïng minh âënh lê:
Våïi mi säú thỉûc a thç
aa =
2
- Ta cọ
0≥a
theo âënh nghéa giạ trë tuût âäúi.
- Nãúu a ≥ 0 thç
aa =

, do âọ
2
2
aa =
, Nãúu a <
0 thç
aa −=
, do âọ
( )
2
2
2
aaa =−=
- Tỉì
aa =
2
, theo âënh nghéa GTTÂ ta suy ra:
aa =
2
våïi a ≥ 0 v
aa −=
2
våïi a < 0.
Ạp dủng: Tênh
( ) ( )
22
3232 −++
Cáu 3:
Âënh lê:
Våïi hai säú a, b (a ≥ 0; b ≥ 0)

thç
. .a b a b=

*/ Våïi A, B l cạc biãøu thỉïc våïi A ≥ 0; B ≥ 0

BABA =
;
2 2
( )A A A= =
Cáu 4:
Âënh lê:
Våïi hai säú a, b (a ≥ 0; b > 0)
thç
a a
b
b
=
*/ Våïi A, B l cạc biãøu thỉïc A ≥ 0; B > 0:
Ta cọ
B
A
B
A
=

Cáu 5:
a/ Quy tàõc khai phỉång mäüt têch:
Mún
khai phỉång mäüt têch ca cạc säú khäng ám, ta cọ thãø
khai phỉång tỉìng thỉìa säú räưi nhán cạc kãút qu våïi

nhau.
Ạp dủng: Tênh:
25.64
;
5,2.90
;
22
108117 −
;
32.72
;
390.6,3
;
810.5,2
Cáu 5:
b/ Quy tàõc khai phỉång mäüt thỉång:
Mún khai phỉång mäüt thỉång
a
b
, trong âọ säú a khäng
ám v säú b dỉång, ta cọ thãø khai phỉång láưn lỉåüt säú a
v säú b, räưi láúy kãút qu thỉï nháút chia cho kãút qu thỉï
hai.
Ạp dủng: Tênh:
225
256
;
9
194
;

( )
16
19
2
a−
Cáu6:
a/ Quy tàõc nhán cạc càn thỉïc báûc hai:
Mún nhán cạc càn báûc hai ca cạc säú khäng ám ta cọ
thãø nhán cạc säú dỉåïi dáúu càn våïi nhau räưi khai phỉång
kãút qu âọ.
Ạp dủng: Tênh:
2.200
;
aa 3.12
Cáu6:
b/ Quy tàõc chia hai càn thỉïc báûc hai:
Mún chia hai càn thỉïc báûc hai ca säú a khäng ám cho
càn báûc hai ca säú b dỉång, ta cọ thãø chia säú a cho säú b
räưi khai phỉång kãút qu âọ.
Ạp dủng: Tênh:
3
27
:
2
50
;
111
999
;
735

15
( )
( )
0
3
108
;15:5335 ≠+ a
a
a
Cáu 7:
a/Âỉa thỉìa säú ra ngoi, vo trong dáúu
càn:
*/ Våïi hai biãøu thỉïc A, B m B ≥ 0, ta cọ:

{
2 ; ( , 0)
; ( 0; 0)
.
A B A B
A B A B
A B A B
≥
− < ≥
= =
*/ Våïi A, B ≥ 0 ta cọ:
2
A B A B=
Våïi A < 0, B ≥ 0 ta cọ:
2
A B A B= −

b/ Khỉí máùu biãøu thỉïc láúy càn: A ≥ 0; B > 0

A AB
B B
=
c/ Trủc càn thỉïc:
A A B
B
B
=

(B > 0)

2
( )C C A B
A B
A B
=
−
±
m
;
(A ≥ 0; A ≠ B
2
)

( )C C A B
A B
A B
=

−
±
m
;
(A, B ≥ 0; A ≠ B)
Cáu 8:
Thãú no l táûp xạc âënh ca hm säú?
Táûp xạc âënh ca hm säú y = f(x) l táûp táút c cạc giạ
trë ca x sao cho biãøu thỉïc f(x) cọ nghéa.
Cáu 9:
Âënh nghéa v nãu tênh cháút ca hm
säú báûc nháút:
-Âënh nghéa:
Hm säú báûc nháút l hm säú âỉåüc cho
båíi cäng thỉïc y = ax + b. trong âọ a,b l cạc säú cho
trỉåïc v a ≠ 0.
-
Tênh cháút:

Hm säú báûc nháút xạc âënh våïi mi giạ trë
x thüc R. v cọ tênh cháút sau:

a/ Âäưng biãún trãn R, khi a > 0
b/ Nghëch biãún trãn R, khi a < 0.
Ạp dủng: Tçm TXÂ v tênh cháút ca cạc hm säú sau:
a/ y = 3x + 5; b/ y = -x - 1; c/ y = 7 - 2x; d/ y = 2 + x
Cáu 10:
Âäư thë ca hm säú y = ax + b (a ≠ 0)
l mäüt âỉåìng thàóng:
- Càõt trủc tung tải âiãøm cọ tung âäü bàòng b

- Song song våïi âỉåìng thàóng y = ax, nãúu b ≠ 0; trng
våïi âỉåìng thàóng y = ax, nãúu b = 0
Cáu 12:
Âënh nghéa phỉång trçnh báûc hai mäüt
áøn:
p.trçnh báûc hai mäüt áøn l phỉång trçnh cọ dảng: ax
2
+ bx + c = 0 trong âọ a, b, c l cạc hãû säú â cho.(a ≠ 0).
viãút ctn ca p.trçnh ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠ 0)
Trang 1 Giụp än táûp toạn 9. GV: Nguùn V n Bạà
BNG TỌM TÀÕT CẠC KIÃÚN THỈÏC TRONG CHỈÅNG TRÇNH TOẠN 9
*/ Cạch v âäư thë hm säú y = ax + b (a ≠ 0)
+/ Cho x = 0 ⇒ y = b ; A(0; b)
Cho y = 0 ⇒ x =
b
a
−
; B(
b
a
−
; 0)
+/ Biãøu diãùn A v B trãn mp toả âäü
+/ V âỉåìng thàóng âi qua hai âiãøm A, B ta âỉåüc
âäư thë ca hm säú y = ax + b (a ≠ 0)
Cáu 11: Cạc vë trê ca hai âỉåìng thàóng:
Cho âỉåìng thàóng

(d)
: y = ax + b (a ≠ 0)

(d’)
: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)
+/ (d) // (d’) ⇔ a = a’ v b ≠ b’
+/ (d) ≡ (d’) ⇔ a = a’ v b = b’
+/ (d) càõt (d’) ⇔ a ≠ a’
+/ (d) càõt (d’) tải mäüt âiãøm trãn trủc tung
khi v chè khi: a ≠ a’ v b = b’
*/ Phỉång trçnh báûc nháút hai áøn x, y l hãû thỉïc dảng
ax + by = c. trong âọ a, b, c l cạc säú â biãút (a ≠ 0
hồûc b ≠ 0)
*/
Cho hai phỉång trçnh báûc nháút hai áøn ax + by = c
v a’x + b’y = c’. Khi âọ, ta co hãû hai phỉång trçnh báûc
nháút hai áøn: (I)
{
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =
+ =
Nãúu hai phỉång trçnh áúy cọ nghiãûm chung (x
0
; y
0
)
thç
(x

0
; y
0
) âỉåüc gi l mäüt nghiãûm ca hã
û (I).
Nãúu chụng khäng cọ nghiãûm

chung thç ta nọi hãû (I)
vä nghiãûm
Gii hãû phỉång trçnh l tçm táút c cạc nghiãûm (
tçm
táûp nghiãûm
) ca nọ.

*/ Âënh nghéa hai hãû phỉång trçnh tỉång
âỉång: Hai hãû phỉång trçnh âỉåüc gi l tỉång âỉång
våïi nhau nãúu chụng cọ cng táûp nghiãûm.
+Hai hãû phỉång trçnh vä nghiãûm thç tỉång âỉång.
+Hai hãû phỉång trçnh cọ vä säú nghiãûm thç chỉa chàõc
tỉång âỉång.
*/ Cạc phỉång phạp gii hãû phỉång trçnh:
+Phỉång phạp thãú (Quy tàõc thãú)
+Phỉång phạp cäüng (Quy tàõc cäüng)
*/ Cạch gii bi toạn bàòng cạch láûp hãû
phỉång trçnh: Tỉång tỉû våïi cạch gii bi toạn bàòng
cạch láûp phỉång trçnh â hc åí låïp 8
Cáu 3:
Quan hãû ⊥ giỉỵa âỉåìng kênh v dáy
cung.
Âënh lê:

Trong mäüt âỉåìng trn, âỉåìng kênh vng
gọc våïi mäüt dáy thç âi qua trung âiãøm ca dáy áúy.
Âënh lê:
Trong mäüt âỉåìng trn, âỉåìng kênh âi qua
trung âiãøm ca mäüt dáy khäng âi qua tám thç vng
gọc våïi dáy áúy.
*/ Liãn hãû giỉỵa dáy v khong cạch tỉì tám
âãún dáy
Âënh lê:
Trong mäüt âỉåìng trn:
Hai dáy bàòng nhau
thç cạch âãưu tám. Hai dáy cạch âãưu tám thç bàòng nhau.
Âënh lê:
Trong hai dáy ca mäüt âỉåìng trn:
Dáy no
låïn hån thç dáy âọ gáưn tám hån. Dáy no gáưn tám hån
thç dáy âọ låïn hån.
Cáu 4:
V cạc vë trê tỉång âäúi giỉỵa âỉåìng
thàóng v âỉåìng trn, nãu cạc hãû thỉïc:
(
d:
khong cạch tỉì
O
âãún
a(OI);
R:
Bạn kênh âỉåìng trn
O
)

∆ = b
2
- 4ac.
- Nãúu ∆ < 0: P.trçnh vä nghiãûm
- Nãúu ∆ = 0: Pt cọ nghiãûm kẹp: x
1
= x
2
=
a
b
2
−
- Nãúu ∆ > 0: Pt cọ 2 nghiãûm phán biãût:
x
1
=
a
b
2
∆+−
; x
2
=
a
b
2
∆−−
Cáu 13:
Phạt biãøu v chỉïng minh hãû thỉïc

viẹt:

Nãúu phỉång trçnh báûc hai ax
2
+ bx + c = 0 cọ hai
nghiãûm x
1
, x
2
thç täøng v têch hai nghiãûm âọ l:
S = x
1
+ x
2
=
a
b−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
Chỉïng Minh:
S = x
1
+ x
2
=

a
b
a
b
a
b
aa
b
aa
b
−
=
−
+
−
=








∆
−
−
+









∆
+
−
222222
P = x
1
.x
2
=
( )
a
c
a
acbb
aa
b
=
−−
=









∆
−






−
2
22
2
2
4
4
22
*/ Cho phỉång trçnh ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
(1). Cọ hai nghiãûm x
1
; x
2
♥/ Pt (1) cọ chỉïa tham säú m
+/ Pt (1) cọ hai nghiãûm trại dáúu khi x
1
.x

2
< 0
+/ Pt (1) cọ hai nghiãûm cng dáúu khi x
1
.x
2
> 0
+/ Pt (1) cọ hai nghiãûm cng dáúu dỉång khi x
1
.x
2
>
0 v x
1
+x
2
> 0. Cng dáúu ám khi x
1
.x
2
> 0 v x
1
+x
2
<
0
+/ Pt (1) cọ hai nghiãûm âäúi nhau khi x
1
+ x
2

= 0.
+/ Pt (1) cọ hai nghiãûm nghëch âo khi x
1
.x
2
= 1.
Sau âọ sỉí dủng hãû thỉïc Vi-ẹt âãø tçm ra âiãưu
kiãûn ca tham säú m
II/ HÇNH HC:
Cáu 1:
Âënh nghéa âỉåìng trn:
Táûp håüp cạc âiãøm
cạch O cho trỉåïc mäüt khong cạch khäng âäøi R > 0
âỉåüc gi l âỉåìng trn tám O bạn kênh R.
Cáu 2:
Cạc cạch xạc âënh mäüt âỉåìng trn:
- Mäüt âiãøm O cho trỉåïc v mäüt säú thỉûc R > 0 cho
trỉåïc xạc âënh mäüt âỉåìng trn tám O bạn kênh R.
- Mäüt âoản thàóng AB cho trỉåïc xạc âënh âỉåüc mäüt
âỉåìng trn âỉåìng kênh AB.
- Ba âiãøm khäng thàóng hng xạc âënh âỉåüc mäüt
âỉåìng trn âi qua 3 âiãøm âọ.
Cáu 6:
Cạc vë trê tỉång âäúi giỉỵa hai âỉåìng
trn:
(O;R) v (O’;r) våïi R > r v d = OO’.
1/ Hai âỉåìng trn åí ngoi nhau:
2/ Hai âỉåìng trn tiãúp xục nhau:
Trang 2 Giụp än táûp toạn 9. GV: Nguùn V n Bạà
a/ Âỉåìng thàóng v âỉåìng

trn khäng giao nhau:
d > R
a/ ÅÍ ngoi nhau:
d > R + r
a/ Âỉåìng trn låïn âỉûng
âỉåìng trn nh:
d < R - r
I
R
d
a
O
O '
R
A'
A
r
O
A'
O'
A
O
O'
R
A
r
O
O'
A
O

C
H
B
A
BNG TỌM TÀÕT CẠC KIÃÚN THỈÏC TRONG CHỈÅNG TRÇNH TOẠN 9
Cáu 5:
Âënh nghéa tiãúp tuún ca mäüt âỉåìng
trn:
mäüt âỉåìng thàóng âỉåüc gi l mäüt tiãúp tuún ca
mäüt âỉåìng trn nãúu nọ chè cọ mäüt âiãøm chung våïi
âỉåìng trn âọ.

*/ Âënh lê:
Nãúu mäüt âỉåìng thàóng l tiãúp tuún
ca mäüt âỉåìng trn thç nọ vng gọc våïi bạn kênh âi
qua tiãúp âiãøm.

*/ Dáúu hiãûu nháûn biãút tiãúp tuún: Nãúu mäüt
âỉåìng thàóng âi qua mäüt âiãøm ca âỉåìng trn v vng
gọc våïi bạn kênh âi qua âiãøm âọ thç âỉåìng thàóng áúy l
mäüt tiãúp tuún ca âỉåìng trn.

*/ Âënh lê hai tiãúp tuún càõt nhau tải mäüt
âiãøm:
Nãúu hai tiãúp tuún ca mäüt âỉåìng trn càõt nhau
tải mäüt âiãøm thç:
Âiãøm âọ cạch âãưu hai tiãúp âiãøm. Tia
k tỉì âiãøm âọ âi qua tám l tia phán giạc ca gọc tảo
båíi hai tiãúp tuún. Tia k tỉì tám âi qua âiãøm âọ l tia
phán giạc ca gọc tảo båíi hai bạn kênh âi qua cạc tiãúp

âiãøm.
3/ Hai âỉåìng trn càõt nhau:
R - r < d < R + r
*/ Tênh cháút âỉåìng näúi tám:
a/ Nãúu hai âỉåìng trn càõt nhau thç hai giao âiãøm âäúi
xỉïng våïi nhau qua âỉåìng näúi tám, tỉïc l âỉåìng näúi
tám l âỉåìng trung trỉûc ca dáy chung.
b/ Nãúu hai âỉåìng trn tiãúp xục nhau thç tiãúp âiãøm
nàòm trãn âỉåìng näúi tám.
Cáu 7:
Gọc åí tám l gọc cọ âènh trng våïi
tám ca âỉåìng trn.
*/ Âënh nghéa:
- Säú âo ca cung nh bàòng säú âo ca gọc åí tám chàõn
cung âọ.
- Säú âo ca cung låïn bàòng hiãûu giỉỵa 360
0
v säú âo ca
cung nh
(cọ chung hai mụt våïi cung låïn).
- Säú âo ca nỉía âỉåìng trn bàòng 180
0
.
*/ Trong mäüt âỉåìng trn hay trong hai âỉåìng
trn bàòng nhau:
-Hai cung âỉåüc gi l bàòng nhau nãúu chụng cọ säú âo
bàòng nhau.
-Trong hai cung, cung no cọ säú âo låïn hån âỉåüc gi
l cung låïn hån.
*/ Âënh lê: Nãúu C l mäüt âiãøm nàòm trãn cung AB

thç:
sâAB = sâAC + sâCB
Cáu 8:
Liãn hãû giỉỵa cung v dáy:
Âënh lê 1: Våïi hai cung nh trong mäüt âỉåìng trn
hay trong hai âỉåìng trn bàòng nhau:
a/ Hai cung bàòng nhau càng hai dáy bàòng nhau.
b/ Hai dáy bàòng nhau càng hai cung bàòng nhau.
Âënh lê 2: Våïi hai cung nh trong mäüt âỉåìng trn
hay trong hai âỉåìng trn bàòng nhau:
a/ Cung låïn hån càng dáy låïn hån
b/ Dáy låïn hån càng cung låïn hån.
Cáu 9:
Âënh nghéa gọc näüi tiãúp: Gọc näüi tiãúp l
gọc cọ âènh nàòm trãn âỉåìng trn v cảnh chỉïa hai dáy
cung ca âỉåìng trn âọ.
- Cung nàòm bãn trong gọc âỉåüc gi l cung bë chàõn.
*/ Âënh lê vãư gọc näüi tiãúp v cung bë chàõn:
Trong mäüt âỉåìng trn, säú âo ca gọc näüi tiãúp bàòng
nỉía säú âo ca cung bë chàõn.
*/
Cạc hãû qu: Trong mäüt âỉåìng trn:
a/ Cạc gọc näüi tiãúp bàòng nhau chàõn cạc cung bàòng
nhau.
b/ Cạc gọc näüi tiãúp cng chàõn mäüt cung hồûc
chàõn cạc cung bàòng nhau thç bàòng nhau.
c/ Gọc näüi tiãúp (nh hån hồûc bàòng 90
0
) cọ säú âo
bàòng nỉía säú âo ca gọc åí tám cng chàõn mäüt cung.

d/ Gọc näüi tiãúp chàõn nỉía â. trn l gọc vng
.
Cáu 10:
Âënh lê vãư gọc tảo båíi mäüt tia tiãúp
tuún v mäüt dáy cung:
Säú âo ca g
ọc tảo båíi tia
tiãúp tuún v dáy cung bàòng nỉía säú âo ca cung bë
Nãúu mäüt tỉï giạc cọ täøng säú âo hai gọc âäúi diãûn bàòng
180
0
thç tỉï giạc âọ näüi tiãúp âỉåüc âỉåìng trn.
Cáu 13:
Cäng thỉïc tênh:
•
Âäü di âỉåìng trn:
C = 2πR.
•
Âäü di cung trn:
l =
180
Rn
π
•
Diãûn têch hçnh trn:
S = πR
2
•
Diãûn têch hçnh quảt trn:
S

q
=
2360
2
lRnR
=
π
(Trong âọ: R l bạn kênh (O); n l säú âo ca cung)
Cáu 14:
Cäng thỉïc tênh diãûn têch xung quanh,
diãûn têch ton pháưn v thãø têch:
*/ Hçnh trủ:
S
xq
= 2πRh
S
tp
= 2πRh + 2πR
2
V = S.h = πR
2
h
*/ Hçnh nọn:
S
xq
= πRl
S
tp
= πRl + πR
2

V =
1
3
πR
2
h
Hçnh nọn củt:
S
xq
= π(R
1
+ R
2
)l
V =
1
3
πh(R
1
2
+ R
2
2
+ R
1
R
2
)
*/ Hçnh cáưu:
S = 4πR

2
= πd
2

V =
4
3
πR
3
Cáu 15:
Hãû thỉïc giỉỵa cảnh v âỉåìng cao
trong tam giạc vng:
a/
AB
2
= BC.BH ; AC
2
= BC.CH
b/
AH
2
= BH.CH
Trang 3 Giụp än táûp toạn 9. GV: Nguùn V n Bạà
c/ Â.thàóng càõt Â.trn:
d < R
b/ Â.thàóng tx våïi Â.trn:
d = R
a/ Tiãúp xục ngoi:
d = R + r
b/ Tiãúp xục trong:

d = R - r
R: bạn kênh âạy
h: chiãưu cao
R: bạn kênh âạy
h: chiãưu cao
l: âäü di âỉåìng sinh
R
1
; R
2
: hai âạy hçnh nọn
củt
R: bạn kênh hçnh cáưu.
d: âỉåìng kênh
I
R
d
a
O
d
A'
O'
R
A
r
O
I
R
d
a

O
C
B
A
C
B
A
BNG TỌM TÀÕT CẠC KIÃÚN THỈÏC TRONG CHỈÅNG TRÇNH TOẠN 9
chàõn.
Cáu 11:
Phạt biãøu âënh lê gọc cọ âènh bãn
trong, bãn ngoi âỉåìng trn:

a/ Säú âo ca gọc cọ âènh åí bãn trong âỉåìng trn
bàòng nỉía täøng säú âo hai cung bë chàõn.
b/

Säú âo gọc cọ âènh åí bãn ngoi âỉåìng trn bàòng
nỉía hiãûu säú âo hai cung bë chàõn.
Cáu 12:
Âënh lê vãư tỉï giạc näüi tiãúp âỉåìng
trn:
Trong mäüt tỉï giạc näüi tiãúp: Täøng säú âo hai gọc
âäúi diãûn bàòng hai gọc vng.
c/
AB.AC = AH.BC
d/
2 2 2
1 1 1
AH A B AC

= +
Cáu 16: Tè säú lỉåüng giạc ca gọc nhn
sin
AC
B
BC
=
;
sin
AB
C
BC
=
cos
AB
B
BC
=
;
BC
AC
C =cos
AC
tgB
AB
=
;
AB
tgC
AC

=
;
AB
cotgB
AC
=
;
AC
cotgC
AB
=
*/ Tè säú lỉåüng giạc ca hai gọc phủ nhau:
sinB = cosC; cosB = sinC; tgB = cotgC; cotgC = tgB

Cáu 17:
Hãû thỉïc vãư cảnh v gọc trong tam
giạc vng:
Trang 4 Giụp än táûp toạn 9. GV: Nguùn V n Bạà
*/
AB = BC.sinC = BC.cosB
AC = BC.sinB = BC.cosC
*/
AB = AC.tgC = AC.cotgB
AC = AB.tgB = AB.cotgC