Đề thi HSG Toán 8 (2009-2010)

PHÒNG GD&ĐT LONG ĐIỀN ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC : 2009-2010 MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : ( 4 điểm)
Cho phân thức :
2
3
2 8
4
x x
M
x x
− −
=
−
1/ Tìm điều kiện xác định của M.
2/ Rút gọn M.
3/ Với giá trị nào của x thì giá trị của M ( sau khi rút gọn) bằng 0.
Bài 2 : ( 6 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau :
2
/ 3(3 1) 9 6 1a x x x− = − +
2 3
2 1 2 1
/
1 1 1
x
b
x x x x
−
= +

− + + +
1 4
/ 2
2 2
x x
c
− +
≥ −
2
/ 3 2 1 0d x x x
− + + − =
Bài 3 : ( 4 điểm) Trên quãng đường AB dài 72 km, hai người cùng khởi hành một lúc từ A đến B.
Vận tốc của người thứ nhất là 12 km/h, vận tốc của người thứ hai là 15 km/h. Hỏi sau lúc khởi hành
bao lâu thì người thứ nhất còn cách B một quãng đường gấp đôi quãng đường người thứ hai cách
B?
Bài 4 : ( 4 điểm) Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB= 5 cm và CD = 15 cm, độ dài hai
đường chéo là AC = 16cm và BD = 12cm. Từ A kẻ đường thằng song song với BD cắt CD tại E.
1/ Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A.
2/ Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 5 : ( 2 điểm)
1/ Chứng minh rằng 2009
2009
+ 2011
2010
chia hết cho 2010.
2/ Rút gọn biểu thức sau với n là số tự nhiên ( n ≥ 2) :
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 3 1 4 1 1
. .

2 3 4
n
A
n
− − − −
=
PHÒNG GD&ĐT LONG ĐIỀN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN CHỌN
NĂM HỌC : 2009-2010 HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : ( 4 điểm)
Cho phân thức :
2
3
2 8
4
x x
M
x x
− −
=
−
1/ Biểu thức M tồn tại khi
( )
( ) ( )
3 2
4 0 4 0(0,5)
2 2 0(0,5) 0 2(0,5)
x x x x

x x x x hay x
− ≠ ⇔ − ≠
⇔ − + ≠ ⇔ ≠ ≠ ±
2/ Rút gọn M :
2
3
2 8
4
x x
M
x x
− −
=
−
2
3
2 1 9
4
x x
x x
− + −
=
−
(0,5 đ)
( )
( )
2
2
2
1 3

4
x
x x
− −
=
−
(0,25đ)
( ) ( )
( ) ( )
1 3 1 3
2 2
x x
x x x
− − − +
=
− +
(0,25đ)
( ) ( )
( ) ( )
4 2
2 2
x x
x x x
− +
=
− +
(0,25đ)
( )
4
2

x
x x
−
=
−
(0,25đ)
3/ Giá trị của biểu thức M bằng 0 khi
4 0 4x hay x
− = =
(1 đ)
Bài 2 : ( 6 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau :
2
/ 3(3 1) 9 6 1a x x x
− = − +
2 3
2 1 2 1
/
1 1 1
x
b
x x x x
−
= +
− + + +
(1)
2
3(3 1) (3 1)x x⇔ − = −
Điều kiện xác định là
1x
≠ −

(0,25đ)
2
3(3 1) (3 1) 0x x⇔ − − − =
(0,25đ) (1)
2
2( 1) 1 2 1x x x x
⇔ + = − + + −
(0,25đ)
(3 1)(3 3 1) 0x x⇔ − − + =
(0,25đ)
2
1 2 1 2 2 0x x x x
⇔ − + + − − − =
(3 1)(4 3 ) 0x x
⇔ − − =
(0,25đ)
2
2 0x x
⇔ − − =
(3 1) 0 (4 3 ) 0x hay x
⇔ − = − =
(0,25đ)
2
2 2 0x x x
⇔ − + − =
(0,25đ)
1 4
3 3
x hay x
⇔ = =

(0,25đ)
( 1)( 2) 0x x
⇔ + − =
(0,25đ)
Vậy phương trình có hai nghiệm
( 1) 0 ( 2) 0x hay x
⇔ + = − =

1
à 1
3
x v x
= =
(0,25đ)
1x
⇔ =−
(loại) hay
2x
=
(nhận) (0,25đ)
Vậy nghiệm của phương trình là
2x
=
(0,25đ)
1 4
/ 2
2 2
x x
c
− +

≥ −
1 4 4x x
⇔ − ≥ + −
(0,25đ)
0 1x
⇔ ≥
(0,5đ)
Vậy BPT trên vô nghiệm(0,25đ)
2
/ 3 2 1 0d x x x
− + + − =
(1)
* Nếu
1x
≥
thì
1 1x x
− = −
(0,25đ) . Khi đó PT (1)
2
3 2 1 0x x x
⇔ − + + − =
2
2 1 0x x
⇔ − + =
2
( 1) 0x
⇔ − =
(0,25đ)
1 0x

⇔ − =
1x
⇔ =
(nhận) (0,25đ)
* Nếu x < 1 thì
1 1x x
− = −
(0,25đ). Khi đó PT (1)
2
3 2 1 0x x x
⇔ − + + − =
2
4 3 0x x
⇔ − + =
2
4 4 1 0x x
⇔ − + − =
(0,25đ)
2
( 2) 1 0x
⇔ − − =
(0,25đ)
( 2 1)( 2 1) 0x x
⇔ − − − + =

( 3)( 1) 0x x
⇔ − − =
(0,25đ)
3x
⇔ =

(loại) hay
1x
=
(loại)
Vậy phương trình (1) có nghiệm là
1x
=
(0,25đ)
Bài 3 : ( 4 điểm)
Gọi thời gian cần xác định là x (giờ , x > 0) (0,5đ)
Quãng đường người thứ nhất đi được là 12x(km) (0,5đ)
Quãng đường người thứ hai đi được là 15x (km) (0,5đ)
Quãng đường người thứ nhất còn cách B là 72 – 12x (km) (0,5đ)
Quãng đường người thứ hai còn cách B là 72 – 15x (km) (0,5đ)
Theo đề bài ta có phương trình :
72 – 12x = 2(72 – 15x) (0,5đ)
72 – 12x = 144 – 30x
18x = 72
x = 4 ( thỏa) (0,5đ)
Vậy thời gian cần tìm là 4 giờ. (0,5đ)
Bài 4 : ( 4 điểm) Vẽ hình đúng 0,5 đ
1/ ta có AB//DE và AE//BD, suy ra
Tứ giác ABDE là HBH
=> AB=DE= 5cm; AE=BD= 12cm
=> EC = 15 + 5 = 20cm
Xét ∆AEC có :
AE
2
+ AC
2

= 12
2
+ 16
2
= 400
EC
2
= 20
2
= 400
Suy ra AE
2
+ AC
2
= EC
2
. Vậy ∆AEC vuông tại A ( định lý đảo Pitago) ( 1,5đ)
2/ Xét hai ∆AED và ∆ABC có ED=AB và có hai đường cao ứng với hai đáy ED, AB bằng nhau
( cùng bằng đường cao của hình thang ABCD) => S
∆AED
= S
∆ABC
=> S
∆AED
+ S
∆ADC
= S
∆ABC
+ S
∆ADC

=> S
∆AEC
= S
ABCD
Mà S
∆AEC
=
1
2
AE.AC =
1
2
12.16 = 96 (cm
2
)
Vậy S
ABCD
= 96cm
2
(2đ)
Bài 5 : ( 2 điểm)
1/ 2009
2009
+ 2011
2010
= (2009
2009
+ 1) + (2011
2010
– 1)

= (2009 + 1)(2009
2008
- …) + (2011 – 1)(2011
2009
+ …)
= 2010(2009
2008
- …) + 2010(2011
2009
+ …) chia hết cho 2010.(1đ)
2/
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 3 1 4 1 1
. .
2 3 4
n
A
n
− − − −
=
2 2 2 2
1.3 2.4 3.5 ( 1)( 1)
. .
2 3 4
n n
A
n
− +
=

1.2.3 ( 1) 3.4.5 ( 1)
.
2.3.4 ( 1) 2.3.4
n n n
A
n n n
− +
=
−
1 1 1
.
2 2
n n
A
n n
+ +
= =
(1đ)
Người ra đề: Nguyễn Xuân Tiến
A
D
B
C
E