Sang kiến kinh nghiêm 2015 môn toán lớp 9

CNG HềA X HI CH NGHA VIT NAM
c lp - T do - Hnh phỳc
N NGH XẫT, CễNG NHN SNG KIN
Nm: 2015
Kớnh gi: - S GD&T Hi Phũng
- S Khoa hc v Cụng ngh Hi Phũng
H v tờn: Bựi Vn Dng
Chc v, n v cụng tỏc: T trng t KHTN - Trng THCS Kin Bỏi
Tờn sỏng kin: Nõng cao kt qu hc tp cho hc sinh thụng qua vic phỏt hin
v phõn dng khi gii toỏn v phng trỡnh bc hai v h thc Vi - ột
Lnh vc ỏp dng sỏng kin: Ging dy b mụn toỏn 9, bi dng HSG toỏn 9 v ụn
thi vo lp 10 THPT cho hc sinh lp 9 trng THCS Kin Bỏi.
1. Túm tt tỡnh trng gii phỏp ó bit:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán của trờng THCS nói chung và lớp
9 nói riêng, tôi nhận thấy: Phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơng
trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai là vô cùng phong
phú. Hơn nữa, trong một vài năm trở lại đây, trong các đề thi vào lớp 10 THPT, vào
các trờng chuyên, lớp chọn các bài toán về phơng trình bậc hai có sử dụng định lý Vi-
et xuất hiện khá phổ biến.
Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Vi-et là rất ít (1 tiết lý
thuyết, 1 tiết luyện tập), vì thế nhiều học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài
toán có liên quan đến định lý Vi-et. Chúng ta cũng thấy rằng, để giải các bài toán có
liên quan đến định lý Vi-et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số, thông
qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phơng trình bậc hai.
Trớc thực tế đó, nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khả
năng giải quyết đợc các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả
năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu ti:
Nõng cao kt qu hc tp cho hc sinh thụng qua vic phỏt hin v phõn
dng khi gii toỏn v phng trỡnh bc hai v h thc Vi - ột
Qua nghiờn cu ny tụi mun
đóng góp thêm một số kinh nghiệm hớng dẫn

học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi - ét
m cỏc
em hay gp phi trong quỏ trỡnh gii bi tp hoc trong thi c, kim tra Cng qua
nghiờn cu ny tụi mun giỳp GV toỏn 9 cú thờm cỏi nhỡn mi sõu sc hn, chỳ ý
n vic rốn luyn k nng thc hnh gii toỏn v phng trỡnh bc hai v h thc
-1-
Vi-et cho hc sinh t ú khai thỏc hiu qu v o sõu suy ngh t duy lụgic ca
hc sinh giỳp cỏc em phỏt trin kh nng tim tng trong chớnh bn thõn cỏc em.
Gii phỏp ca tụi l a ra nhng dng toỏn gii thiu, hc sinh phỏt
hin v cỏc em s ch ng hn trong vic tip thu tri thc.
Qua nhiu nm ging dy b mụn toỏn v tham kho ý kin ca cỏc ng
nghip nhiu nm kinh nghim, tụi nhn thy: Trong quỏ trỡnh hng dn hc sinh
gii toỏn i s v phng trỡnh bc hai thỡ hc sinh rt lỳng tỳng khi vn dng cỏc
khỏi nim, nh lý, bt ng thc, cỏc cụng thc toỏn hc.
S vn dng lớ thuyt vo vic gii cỏc bi tp c th ca hc sinh cha linh
hot. Khi gp mt bi toỏn ũi hi phi vn dng v cú s t duy thỡ hc sinh khụng
xỏc nh c phng hng gii bi toỏn dn n li gii sai hoc khụng lm
c bi.
Mt vn cn chỳ ý na l k nng gii toỏn v tớnh toỏn c bn ca mt
s hc sinh cũn rt yu.
giỳp hc sinh cú th lm tt cỏc bi tp v phng trỡnh bc hai v ng
dng ca h thc Vi - ột trong chng IV i s 9 thỡ ngi thy phi nm c cỏc
u, khuyt im m hc sinh thng mc phi, t ú cú phng ỏn
Nõng cao kt
qu hc tp cho hc sinh thụng qua vic phỏt hin v phõn dng khi gii toỏn v
phng trỡnh bc hai v h thc Vi - ột
l iu ht sc cn thit.
2. Túm tt ni dung gii phỏp ngh cụng nhn sỏng kin:
Thay cho vic hc sinh hc tp mt cỏch th ng theo phng phỏp hc
thuc lý thuyt v lm cỏc bi tp theo th t, tụi ó suy ngh v th nghim vic h

thng li kit thc v cỏch gii cỏc bi toỏn theo tng dng toỏn vo ging dy.
Trong quỏ trỡnh hc, hc sinh ó t c kt qu tin b rừ rt.
Trong gi hc Toỏn, tt c cỏc phng tin dy hc nh: phng tin trc
quan nh tranh, nh, vt tht, u cú th gõy hng thỳ cho hc sinh trong hc
tp, nú úng vai trũ quan trng trong vic thit lp mi quan h gia ngụn ng v ý
ngha, giỳp hc sinh liờn tng c ý ngha ca ngụn ng thnh cỏc bi toỏn dng
toỏn d dng.
Vi cỏc ch gn gi, sỏt thc vi cuc sng thng ngy ca b sỏch
giỏo khoa Toỏn 9 giỏo viờn cú th gii thiu phng phỏp hc tp phự hp.
Một số DNG TON V ứng dụng của định lí viét
DNG TON 1:
Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0, (a

0)
Dạng TON 2:
Tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai
-2-
Dạng TON 3:
ứng dụng định lý Viét vào việc tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.
Dạng TON 4:
ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai.
Dạng TON 5.
ứng dụng định lí Viét vào so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai
với một số cho trớc
Dạng TON 6:
ứng dụng định lí Viét vào lập phơng trình bậc hai.
Dạng TON 7:
ứng dụng định lí Viét vào giải các bài toán : Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của

PT bậc hai, sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
Dạng TON 8:
ứng dụng định lí Viét vào giải các bài toán cực trị liên quan đến biểu thức giữa các
nghiệm của PT bậc hai.
C QUAN N V
P DNG SNG KIN
(Ký tờn, úng du)
Hi Phũng, ngy 20 thỏng 03 nm 2015
Ngi vit n
Bựi Vn Dng
-3-
-4-
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỦY NGUYÊN
TRƯỜNG THCS KIỀN BÁI
BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Nâng cao kết quả học tập cho học sinh
thông qua việc phát hiện và phân dạng khi giải toán
về phương trình bậc hai và hệ thức Vi - ét


Tác giả: Bùi Văn Dương
Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán
Chức vụ: Tổ trưởng tổ KHTN
Nơi công tác: Trường THCS Kiền Bái - Thủy Nguyên
Ngày 20 tháng 03 năm 2015
THễNG TIN CHUNG V SNG KIN
1. Tờn sỏng kin: Nõng cao kt qu hc tp cho hc sinh thụng qua vic phỏt hin
v phõn dng khi gii toỏn v phng trỡnh bc hai v h thc Vi - ột
2. Lnh vc ỏp dng sỏng kin: Ging dy b mụn toỏn 9 - THCS, ễn thi HSG toỏn
9, ễn thi vo lp 10 THPT

3.Tỏc gi:
H v tờn: Bựi Vn Dng
Ngy/thỏng/nm sinh: 02 / 06 / 1977
Chc v, n v cụng tỏc: T trng t KHTN - Trng THCS Kin Bỏi -
Thy Nguyờn - Hi phũng.
in thoi: D: 0934638689. C nh: 0313874510
4. ng tỏc gi (nu cú):
H v tờn:
Ngy/thỏng/nm sinh:
Chc v, n v cụng tỏc:
in thoi: D: C nh:
5. n v ỏp dng sỏng kin:
Tờn n v: Trng THCS Kin Bỏi
a ch: Xó Kin Bỏi - Huyn Thy Nguyờn - Tp Hi Phũng.
in thoi: 0313874510
I. Mụ t gii phỏp ó bit:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán của trờng THCS nói chung và lớp
9 nói riêng, tôi nhận thấy: Phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơng
trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai là vô cùng phong
phú. Hơn nữa, trong một vài năm trở lại đây, trong các đề thi vào lớp 10 THPT, vào
các trờng chuyên, lớp chọn các bài toán về phơng trình bậc hai có sử dụng định lý Vi-
et xuất hiện khá phổ biến.
Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Vi-et là rất ít (1 tiết lý
thuyết, 1 tiết luyện tập), vì thế nhiều học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài
toán có liên quan đến định lý Vi-et. Chúng ta cũng thấy rằng, để giải các bài toán có
liên quan đến định lý Vi-et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số, thông
qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phơng trình bậc hai.
Trớc thực tế đó, nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khả
năng giải quyết đợc các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả
năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu ti:

Nõng cao kt qu hc tp cho hc sinh thụng qua vic phỏt hin v phõn
dng khi gii toỏn v phng trỡnh bc hai v h thc Vi - ột
-5-
Qua nghiờn cu ny tụi mun
đóng góp thêm một số kinh nghiệm hớng dẫn
học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi - ét
m cỏc
em hay gp phi trong quỏ trỡnh gii bi tp hoc trong thi c, kim tra Cng qua
nghiờn cu ny tụi mun giỳp GV toỏn 9 cú thờm cỏi nhỡn mi sõu sc hn, chỳ ý
n vic rốn luyn k nng thc hnh gii toỏn v phng trỡnh bc hai v h thc
Vi-et cho hc sinh t ú khai thỏc hiu qu v o sõu suy ngh t duy lụgic ca
hc sinh giỳp cỏc em phỏt trin kh nng tim tng trong chớnh bn thõn cỏc em.
Gii phỏp ca tụi l a ra nhng dng toỏn gii thiu, hc sinh phỏt
hin v cỏc em s ch ng hn trong vic tip thu tri thc.
Nghiờn cu c tin hnh trờn hai nhúm ca lp 9A
3
v 9A
4
trng Trung
hc c s Kin Bỏi. Lp 9A
3
l lp thc nghim, lp 9A
4
l lp i chng. Lp thc
nghim ó thc hin gii phỏp thay th khi dy cỏc tit lý thuyt, tit luyn tp v cỏc
tit ụn tp v phng trỡnh bc hai v h thc Vi - ột. Kt qu cho thy tỏc ng ó
cú nh hng rừ rt n kt qu ca hc sinh: Lp thc nghim ó t kt qu cao
hn so vi lp i chng. im kim tra u ra ca lp thc nghim cú giỏ tr trung
bỡnh l 8.46, im kim tra u ra ca lp i chng l 6.73. Kt qu kim tra cho
thy cú s khỏc bit ln gia im trung bỡnh ca lp thc nghim v lp i chng.

iu ú chng minh c vic Nõng cao kt qu hc tp cho hc sinh thụng qua
vic phỏt hin v phõn dng khi gii toỏn v phng trỡnh bc hai v h thc Vi -
ột

trong dy hc lm nõng cao kt qu ca hc sinh .
Qua nhiu nm ging dy b mụn toỏn v tham kho ý kin ca cỏc ng
nghip nhiu nm kinh nghim, tụi nhn thy: Trong quỏ trỡnh hng dn hc sinh
gii toỏn i s v phng trỡnh bc hai thỡ hc sinh rt lỳng tỳng khi vn dng cỏc
khỏi nim, nh lý, bt ng thc, cỏc cụng thc toỏn hc.
S vn dng lớ thuyt vo vic gii cỏc bi tp c th ca hc sinh cha linh
hot. Khi gp mt bi toỏn ũi hi phi vn dng v cú s t duy thỡ hc sinh khụng
xỏc nh c phng hng gii bi toỏn dn n li gii sai hoc khụng lm
c bi.
Mt vn cn chỳ ý na l k nng gii toỏn v tớnh toỏn c bn ca mt
s hc sinh cũn rt yu.
giỳp hc sinh cú th lm tt cỏc bi tp v phng trỡnh bc hai v ng
dng ca h thc Vi - ột trong chng IV i s 9 thỡ ngi thy phi nm c cỏc
u, khuyt im m hc sinh thng mc phi, t ú cú phng ỏn
Nõng cao kt
qu hc tp cho hc sinh thụng qua vic phỏt hin v phõn dng khi gii toỏn v
phng trỡnh bc hai v h thc Vi - ột
l iu ht sc cn thit.
II. Ni dung gii phỏp ngh cụng nhn sỏng kin
II.0. Ni dung gii phỏp m tỏc gi xut
-6-
Thay cho vic hc sinh hc tp mt cỏch th ng theo phng phỏp
hc thuc lý thuyt v lm cỏc bi tp theo th t, tụi ó suy ngh v th nghim vic
h thng li kit thc v cỏch gii cỏc bi toỏn theo tng dng toỏn vo ging dy.
Trong quỏ trỡnh hc, hc sinh ó t c kt qu tin b rừ rt.
Trong gi hc Toỏn, tt c cỏc phng tin dy hc nh: phng tin trc

quan nh tranh, nh, vt tht, u cú th gõy hng thỳ cho hc sinh trong hc
tp, nú úng vai trũ quan trng trong vic thit lp mi quan h gia ngụn ng v ý
ngha, giỳp hc sinh liờn tng c ý ngha ca ngụn ng thnh cỏc bi toỏn dng
toỏn d dng.
Vi cỏc ch gn gi, sỏt thc vi cuc sng thng ngy ca b sỏch
giỏo khoa Toỏn 9 giỏo viờn cú th gii thiu phng phỏp hc tp phự hp.
Vớ d:
Một số DNG TON V ứng dụng của định lí viét
DNG TON 1:
Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0, (a

0)
I - Phơng pháp giải
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) (*)
1. Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
a
c
xx
==
21
;1
2. Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
a
c

xx

==
21
;1
3. Nếu
nmxx
+=+
21
;
nmxx
21
=
và
0

thì phơng trình có nghiệm:
x
1
= m; x
2
= n hoặc x
1
= n; x
2
= m
II - Một số ví dụ
1. Dạng dặc biệt
VD: Giải phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a.

2
x 5x 6 0
+ =
(1) b.
2
2x 7x 5 0
+ + =
(2)
H ớng dẫn:
a) ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c = 1 + 5 - 6 = 0 nên phơng trình có hai
nghiệm phân biệt. áp dụng hệ thức Viét có: x
1
= 1; x
2
= - 6
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là: 1 và -6
b) Tơng tự, phơng trình (2) có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm: x
1
=
7
2

; x
2
=
5
2

2. Cho phơng trình có một hệ số cha biết, cho trớc một nghiệm, tìm
nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phơng trình.

VD:
a) Cho phơng trình:
2
x 2px 5 0
+ =
có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
-7-
b) Cho phơng trình:
2
x 5x q 0
+ + =
có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai
c) Cho phơng trình:
2
x 7x q 0
+ =
biết hiệu hai nghiệm bằng 11, tìm q và 2 nghiệm
của phơng trình.
d) Tìm q và nghiệm của phơng trình:
2
x qx 50 0
+ =
biết phơng trình có hai nghiệm
và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
H ớng dẫn:
a) Thay x
1
= 2 vào phơng trình ban đầu ta đợc: 4 - 4p + 5 = 0 => p =
1
4

Từ
1 2 2
1
5 5
x x 5 x
x 2
= => = =

b) Thay x
1
= 5 vào phơng trình ban đầu ta đợc :25 + 25 + q = 0 => q = - 50
Từ
1 2 2
1
50 50
x x 50 x 10
x 5

= => = = =

c) Vì vai trò của x
1
, x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử x
1
- x
2
= 11 và theo vi-et ta có:
x

1
+ x
2
= 7.
Từ đó ta giải hệ
1 2 1
1 2 2
x x 11 x 9
x x 7 x 2
= =



+ = =

=> q = x
1
x
2
= - 18
d) Vì vai trò của x
1
, x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử x
1
=2x
2
và theo vi-et ta có:
x

1
x
2
= 50 <=> 2x
2
2
= 25 <=> x
2
= 5 hoặc x
2
= -5
Với x
2
= 5 thì x
1
= 10
Với x
2
= -5 thì x
1
= -10
3. Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc 3 hoặc bậc 4
(dạng đặc biệt).
Để giải đợc, phải đa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm đợc nghiệm.
VD1 Nhẩm nghiệm của phơng trình
0155
23
=+ xxx
H ớng dẫn
PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 -5 - 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1.

Ta đa PT về dạng: (x -1)(5x
2
+ 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x
2
+ 6x + 1 = 0
Kết quả phơng trình (4) có 3 nghiệm: x
1
= 1; x
2
= -1; x
3
=
5
1
VD2: Giải phơng trình :
+
4
x
(x +1)(5x
2
- 6x - 6 ) = 0
H ớng dẫn: Phơng trình trên có dạng
+
4
x
5x
2
(x +1) - 6( x+ 1)
2
= 0 (1)

-8-
Nhận thấy x = -1 không là nghiệm của phơng trình (1) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)
2
ta
đợc:
2
2
1








+x
x
+ 5
1
2
+x
x
- 6 = 0
Đặt
1
2
+x
x
=X ta đợc

2
X
+ 5
X
- 6 = 0
Dễ dàng nhận đợc
1
X
= 1 ;
2X
= -6
Sau đó giải tiếp tìm đợc x
Dạng TON 2:
Tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai
I. Phơng pháp giải
- Đối với các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức
nghiệm đã cho thành các biểu thức tổng hai nghiệm S = x
1
+ x
2
và tích hai nghiệm
P = x
1
x
2
, để áp dụng hệ thức Vi-et rồi tính giá trị của biểu thức.
II. Một số ví dụ
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện
1 2
(x x )

+
và
1 2
x x
VD 1: a)
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x (x 2x x x ) 2x x (x x ) 2x x
+ = + + = +
b)
3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x (x x )(x x x x ) (x x ) (x x ) 3x x

+ = + + = + +

c)
2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x (x ) (x ) (x x ) 2x x (x x ) 2x x 2x x

+ = + = + = +

d)
1 2
1 2 1 2
x x
1 1
x x x x

+
+ =
VD 2:
1 2
x x ?
=
Ta biết:
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(x x ) (x x ) 4x x x x (x x ) 4x x
= + => = +
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a)
2 2
1 2
x x

( =
1 2 1 2
(x x )(x x )
+ =
)
b)
3 3
1 2
x x

( =
2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

(x x )(x x x x ) (x x ) (x x ) x x

+ + = + =

)
c)
4 4
1 2
x x

(=
2 2 2 2
1 2 1 2
(x x )(x x )
+ =
)
d)
6 6
1 2
x x

(=
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
(x ) (x ) (x x )(x x x x )
+ = + + =
)
2. Không giải phơng trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm:
VD1: Cho phơng trình: x
2

- 8x

+ 15 = 0. Không giải phơng trình, hãy tính:
-9-
a)
2 2
1 2
x x
+
( = 34) b)
1 2
1 1
x x
+
( =
8
15
)
c)
1 2
2 1
x x
x x
+
( =
34
15
) d)
2
1 2

(x x )
+
( = 46)
VD2: Cho phơng trình: 2x
2
- 3x

+ 1 = 0. Không giải phơng trình, hãy tính:
a)
1 2
1 1
x x
+
( =3) b)
1 2
1 2
1 x 1 x
x x

+
( = 1) c)
2 1
1 2
x x
x 1 x 1
+
+ +
(=
5
6

)
VD 3: Giả sử x
1
và x
2
là các nghiệm của phơng trình bậc hai 3x
2
- mx + 2m -1 = 0.
Tính theo m giá trị của biểu thức A =
3
1
1
x
+
3
2
1
x
Hớng dẫn: Theo định lý viét ta có:
1 2
1 2
m
x x
3
2m 1
x .x
3

+ =

=


S =
3
1
1
x
+
3
2
1
x
=
3
2
3
1
3
1
3
2
.xx
xx +
=
( ) ( )

3
2
3
1
2121
3
21
.
3
xx
xxxxxx ++
S =
3
3
m 2m 1 m
3. .
3 3 3
2m 1
3



ữ



ữ

=
( )

( )
2
2
m m 18m 9
2m 1
+
+

VD4: Không giải phơng trình , hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và
nhỏ của phơng trình bậc hai : x
2
-
0
16
5
1
4
85
=+x
(*)
H ớng dẫn: Phơng trình (*) có
16
1
16
21
4
16
85
==

0

Phơng trình (*) có 2 nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
. Không mất tính tổng quát. Giả sử x
1


x
2
.
áp dụng định lý viét, ta có S = x
1
+ x
2
=
4
85
và P = x
1
. x
2
=
16
21
ta có
3

2
3
1
xx
= (x
1
- x
2
)
( )
21
2
2
2
1
xxxx ++
= (x
1
- x
2
)
( )
[ ]
21
2
21
xxxx +
Do x
1

x
2
nên
x
1
- x
2
=
( )
2
21
xx
=
21
2
2
2
1
2 xxxx +
=
( )
21
2
21
4 xxxx +
Vậy
3
2
3

1
xx
=
( )
psps
22
.4
=







16
21
16
85
.
16
84
16
85
=
16
64
.
4
1

= 1
VD5: Cho phơng trình
035
2
=+ xx
. Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2

-10-
Tính giá trị của biểu thức A =
12
21
+ xx
H ớng dẫn : ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 vế nghiệm x
1
, x
2
.Nh vậy nếu để ý kỹ ta thấy
( )
2
11
22 = xx
Có x
1
+ x
2
= 5; x
1

. x
2
= 3

x
1

0

, x
2

0
Vì x
1
là nghiệm của phơng trình
035
2
=+ xx
nên
035
1
2
1
=+ xx


144
11
2

1
+=+ xxx



( )
12
1
2
1
+= xx


( )
2
1
2x
=
1
1
+x


1
1
+x
=
2
1
x

Khi đó A =
11
21
++ xx

122
212121
2
+++++= xxxxxxA

2
A
= 5+2 - 2
1135 =++

A = 1 ( vì A
0

VD 6: Cho phơng trình
012
2
= xx
, có 2 nghiệm x
1
, x
2
(
( )
0
2

x
tính giá trị của các
biểu thức :
A=
8832
2
2
1
3
2
4
1
+++ xxxx
B =
2
4
21
2
1
5
1
8
2
3
13 xxxxx ++
H ớng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức trên ta có:
12
1
2
1

+=
xx
;
12
2
2
2
+=
xx
( )
251.214
22
3
2
+=++=
xxx
( ) ( )
51214.1.1.2.28
11
4
1
+=+++=
xxx
512
2
4
2
+=
xx
( )

1
2
111
4
11
5
1
512512 xxxxxxx
+=+==
=
( )
122951212
111
+=++
xxx
Ta có : A =
8832
2
2
1
3
2
4
1
+++
xxxx

404)(18
41818
8836410512

88)12(3)25(2512
21
21
2121
2121
=++=
++=
++++++=
++++++=
xx
xx
xxxx
xxxx
B =
2
4
21
2
1
5
1
8
2
3
13 xxxxx ++
=
( )
2
2
21

2
11
2
1
812
2
3
13512 xxxxxx ++++
=
144
2
3
169
2
2
21
2
1
+++ xxxx
=
12
2
3
13
21
+ xx
Vì phơng trình có ac = -1

0 nên
1

x
,
2
x
trái dấu mà
00
12
xx
Khi đó
-11-
B = 3
( )
12
2
3
1
21
++ xx
B = 3
( )
2
1
.3
2
3
13
2121
+=++ xxxx
= 3.2 -
0

11
2
1
=
3. Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình.
Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình .
Để làm đợc các bài tập kiểu này ta phải tìm S, P trong từng phơng trình rồi xem xét,
thay thế 1 cách hợp lý (thờng thì phải thay thế nhiều lần) ta sẽ tách đợc giá trị của
biểu thức đó.
VD 1: Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình :
01
2
=++ pxx
b,c là hai nghiệm của phơng trình :
02
2
=++ qxx
Chứng minh hệ thức
( ) ( )
6. = pqcbab
H ớng dẫn: Vì a,b là hai nghiệm của phơng trình :
01
2
=++ pxx
b,c là hai nghiệm của phơng trình :
02
2
=++ qxx
nên theo định lý
Viét ta có :

=
=+
1ab
pba
;



=
=+
2bc
qcb
Ta có
( ) ( )
cbab .
=
acbcabb +
2

=
( )
bcabacbcabb ++++ 2
2
= b
( ) ( ) ( )
bcabbacba ++++ 2
=

( )( ) ( )
bcabcbba +++ 2
=
( )( ) ( )
6212 =+ pqqp
( Điều phải chứng minh)
Bài tập áp dụng :
1) Cho phơng trình :
022
2
= xx
;
1 2
x ;x
là hai nghiệm. Không giải phơng trình.
hãy tính:
a.
3
2
3
1
xx +
b.
21
xx
c.
11
1
2
2

2
2
1
+
+
+ x
x
x
x
d.
1221
xxxx +
2) Cho phơng trình :
0135
2
= xx
Không giải phơng trình , hãy tìm giá trị của mỗi
biểu thức: A=
2
21
3
22
2
1
3
1
3232 xxxxxx +
B =
11
1

2
1
2
2
1
2
1
+
++
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
-









21

11
xx
3) Cho phơng trình
07
2
=+++ mmxx
Không tính nghiệm
1
x
và
2
x
theo m, hãy tính .
-12-
A =
2
2
2
1
xx +
B =
11
1
2
2
2
2
1
+
+

+ x
x
x
x
C =
2
212
2
1
2
221
2
1
434
xxxx
xxxx
+
+
Dạng TON 3:
ứng dụng định lý Viét vào việc tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.
I. Phơng pháp giải
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v =p thì u và v là nghiệm của ph-
ơng trình .
0
2
=+ PSxx
(*) . Điều kiện để phơng trình (*) có nghiệm là
04
2
= PS

hay
PS 4
2

.
Đó chính là điều kiện tồn tại hai số u và v mà tổng u + v = S và u .v =P . Nh vậy khi
biết tổng hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua tích giải phơng trình bậc hai.
II. Một số ví dụ
VD1: Tìm 2 số a, b biết
a) a+b = 10 và ab = 32 b) a+b = 5 và a
2
+b
2
= 13
c) a - b = 2 và ab = 80 d) a
2
+b
2
= 29 và ab = 10
Hớng dẫn:
ở VD này, dễ dàng phát hiện ra để tìm a và b trớc hết ta phải xác định đợc
a.b (phần a) ; a+b (ở phần b;c).
a) Các số a,b cần tìm (nếu có) là nghiệm của phơng trình x
2
-10x+ 32 = 0.
Có S
2

P4
(hay

0
)
b) . Có
( )
abbaba 2
22
2
++=+
ab2135
2
+=

2ab = 12

ab =6
Nên a,b là nghiệm của phơng trình :
065
2
=+ xx
Giải phơng trình này ta đợc
2;3
21
== xx
. Vậy a = 3 và b = 2 hoặc a = 2 và b = 3.
c) có a - b = 2

a+ (-b) = 2
a.b =80

a.(-b) = -80

a và - b là nghiệm của phơng trình
0802
2
= xx
. Giải phơng trình đợc
8;10
21
== xx
. vậy a= 10 và b= 8 hoặc a = -8 và b = -10.
d) Có



=
=+
10
29
22
ab
ba





=
=+
10
102)(

2
ab
abba




=
=+
10
49)(
2
ab
ba

a+b = 7 và ab = 10 hoặc a+b =-7 và ab = 10
* Nếu a+b = 7 và ab = 10

a,b là 2 nghiệm của phơng trình
0107
2
=+ xx
giải phơng trình đợc
5;2
21
== xx
-13-

a = -2 và b = -5 hoặc a = -5 và b = -2.
VD2: Tính hai cạnh của 1 hình chữ nhật cho biết chu vi bằng 4a và diện tích bằng b

2

( a,b

0 cho trớc).
H ớng dẫn: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật (
ayx 2;0

) .
Theo giả thiết ta có: x+y= 2a; x.y=
2
b
. Do đó x,y là nghiệm của phơng trình
02
22
=+ baXX
(1)
Có
( ) ( )
bababa +==

.
22
. Vì a,b
0

a+b
0

* Nếu a

b




0
Phơng trình (1) có nghiệm là :
22
1
baaX +=

;
22
2
baaX =
Vì P
0

. S
0



0
12
XX
. Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là:

=
+=
22
22
baay
baax
hoặc





+=
=
22
22
baay
baax
* Nếu a = b



= 0 (1) có nghiệm kép là
axx ==
21
. Khi đó hình chữ nhật là hình
vuông cạnh a.

* Nếu a

b




0

(1) vô nghiệm , khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn đầu
bài.
VD3: Giải các hệ phơng trình sau:
a.



=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
b.





=++

=+
=++
14
7
6
222
zyx
zxyzxy
zyx
Nhận xét : Để giải hệ phơng trình trên ( phần a) ta biến đổi để tìm đợc x+y và xy sau
đó đa về phơng trình bậc 2 đã biết cách giải.
a)



=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx


( )
( )



=+

=++
7
5
2
xyyx
xyyx


(I)
( )
( )



=+++
=++
012)(
5
2
yxyx
xyyx
Đặt



=
+=
xyp
yxS
ta có (I)

=+
=+
012
5
2
SS
PS






==
=+
4;3
5
SS
PS

=+
=



=+
=
5
4
5
3
PS
S
PS
S

=
=



=
=
)2(
9
4
)1(
2
3
P
S
P
S

* Giải (1) : Theo định lý Vi- ét, x,y là nghiệm của phơng trình
023
2
=+ tt

1;2
21
== tt
Vậy (1) có 2 nghiệm (1;2) ; (2;1)
-14-

* Giải (2): Theo định lý Vi-ét, x,y là nghiệm của phơng trình
094
2
=++ tt
vì phơng
trình
094
2
=++ tt
có
0

nên trờng hợp này vô nghiệm.
Vậy các nghiệm của hệ phơng trình đã cho là ( x;y) = ( 2;1) và (1;2)
b) Có :





=++
=+
=++
14
7
6
222
zyx
zxyzxy
zyx

( )





=++++
=+
=++
14)(2
7
6
2
xzyzxyzyx
zxyzxy
zyx






=+
=+
=++
)3(9)(
)2(7
)1(6

zxy
zxyzxy
zyx






=+
=+
=++
)3(9)(
)2(7
)1(6)(
zxy
zxyzxy
yzx
Từ (1) và (3) theo định lí Viét

y và x+z là các nghiệm của phơng trình:

096
2
=+ tt

( )
03
2
=t

t = 3
từ (1) (2) và (3)






=
+
=
)6(2.
)5(
)4(3
zx
zx
y
Từ (5) và (6) Theo định lí Viet

x và z là các nghiệm của phơng trình
023
2
=+ tt


2;1
21
== tt
Vậy hệ phơng trình đã cho có các nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1).

* Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phơng trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích
hợp ta đã đa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ
nhất là x+z) , số thứ là y và ta giải đợc hệ nhờ định lí Viet.
Bài tập áp dụng:
1)Tìm 2 số biết : 2) Tìm 2 số x,y biết:
a. Tổng là 18 và tích là 45 a. x y = 9 và x.y = 90
b. Tổng là 4 và tích là -12 b.
625
22
=+ yx
và x+y = 35
c. Tổng là -10 và tích là 16 c.
164
22
=+ yx
và x-y = 2
d.Tổng là 2+
3
và tích là 2
3
d.
208
22
=+ yx
và x.y = 96
e.Tổng là 4
7
và tích là -17 e.
52
22

=++ xyyx
và x+y = 8
Dạng TON 4:
ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai.
I. Phơng pháp giải :
Xét phơng trình bậc hai:
0
2
=++ cbxax
(a
)0
. Có
acb 4
2
=
P=
a
c
xx =
21
; S =
a
b
xx =+
21
-15-
* Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một
số cho trớc hoặc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai mà không cần giải
phơng trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét .
1. Phơng trình có 2 nghiệm dơng

0
0
0
S
P
2. Phơng trình có 2 nghiệm âm










0
0
0
S
P

3. Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu: P
0
* Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm
không âm. Thờng có 2 cách giải:
Cách 1: - Có P

0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm dơng 1 nghiệm không âm)
Hoặc P = 0 Trờng hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0
Hoặc:








0
0
0
S
P
Thì hai nghiệm đều dơng.
Cách 2: Trớc hết phải có
0

khi đó phơng trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu
0S
(Trờng hợp này tồn tại nghiệm dơng)
Hoặc S = 0 (Trờng hợp này tồn tại nghiệm không âm)

Hoặc
0,0 PS
(Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S.
II. Một số ví dụ
VD1: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm cùng dấu .
Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?
H ớng dẫn:
a. Phơng trình (1) có 2 nghiệm
21
, xx
cùng dấu khi và chỉ khi






0
0
P





+
045
045
2

m
mm

















5
4
4
9
2
5
2
m
m
5 3
5 3

2 2
5 3
2 2
2 2
4
4
5
5
m
m
m
m
m

4
1
5
4
m
m

<






Mặt khác: S = x
1
+ x
2
= 2m > 0 (Do m nhận giá trị dơng) nên PT có 2 nghiệm dơng.
-16-
b. PT (2) có hai nghiệm x
1
; x
2

cùng dấu khi và chỉ khi
2
0
0
( 12)
0 12 0 12
0
0 3
0
m
a m
m m
m m m
m
P
m



=







>

>


>

Mặt khác: S = x
1
+ x
2
=
1 0
b m
a m

= = <
nên PT có hai nghiệm cùng âm.
VD2: Cho phơng trình (m + 1)x
2
+ 2(m + 4)x + m + 1 = 0
Tìm m để phơng trình có:
a. Một nghiệm
b. Hai nghiệm cùng dấu phân biệt
c. Hai nghiệm âm phân biệt
H ớng dẫn:
a. PT đã cho có một nghiệm khi và chỉ khi
' 2 2
0 1 0
1
1
0 1 0

1
5
3(2 5) 0
0 ( 4) ( 1) 0
2
a m
m
m
a m
m
m
m
m m
= + =
=


=




+

=



+ =
= + + =





b. PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi
'
0
1
1
0 3(2 5) 0
5
0 1
2
1 0
1
a
m
m
m
m
P m
m

> + >

>

> +



= >
+

c. Để PT có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
'
1
5
0
1
2
0
5

1
1
2
1 0
0
1
4
0
2( 4)
0
1
1
m
a
m
m
m m
m
P
m
m
S
m
m
m

>




>


> >
+

= >
>

+

<

<

+


<
>

+

* Qua ví dụ này, nhấn mạnh cho HS hiểu đợc dạng ax
2
+ bx + c = 0 có 1 nghiệm
nghĩa là nh thế nào?
VD3: Cho phơng trình (m - 4)x
2
- 2(m - 2)x + m -1 = 0
Tìm m để phơng trình
a. Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
-17-
b. Có 2 nghiệm trái dấu và có giá trị tuyệt đối bằng nhau
H ớng dẫn:
HS đã biết điều kiện để phơng trình dạng ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có hai nghiệm trái
dấu là S < 0. Tuy nhiên ở đây còn liên quan đến GTTĐ của các nghiệm, vì vậy ta phải
có thêm ĐK về tích các nghiệm nũa.
a. PT đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn khi và chỉ khi
4
0
1 4
1
0 0 2 4

2 4
4
0
2( 2)
0
4
m
a
m
m
P m
m
m
S
m
m






< <



< < < <

< <

<



<



b. PT đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ khi và chỉ khi
4
0 4
2( 2)
0 0 2 4 1
4
0 1
1
0
4
m
a m
m
S m m
m
P m
m
m

< < < < =



= =



=



* Ta xét các khả năng sau:
TH1: Nếu m 4 = 0

m = 4 thì phơng đã cho trở thành - 4x + 3 = 0

3
0
4
x = >
Vậy m = 4 là một giá trị thoả mãn
TH2: Nếu m 4

0

m

4 phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có 3 khả
năng xảy ra để phơng trình có một nghiệm dơng
i) PT có 2 nghiệm trái dấu. Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = ac < 0
1
0 1 4
4
m
m
m

< < <

ii) PT có nghiệm kép dơng. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
'
'
0 0
0
2
0
0
4
m
m
m
b
m

a

= =


=



>
>




iii) PT có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dơng. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
-18-
'
0 0
0 1 1
0 2( 2)
0
4
m
P m m
S m
m

> >


= = =


>


>



Kết hợp lại ta có: Với
1 4m

hoặc m = 0 thì phơng trình có một nghiệm dơng.
Bài tập áp dụng:
BT1: Cho phơng trình x
2
-2(m + 1)x + m
2
- 4m + 5 = 0
Tìm m để phơng trình:
a. Có nghiệm
b. Có hai nghiệm phân biệt đều dơng
BT2: Cho phơng trình (m -1)x
2
- 2(m - 3)x + m - 4 = 0. Tìm m để phơng có
a. Hai nghiệm trái dấu

b. Hai nghiệm dơng
c. Hai nghiệm âm
BT3: Cho phơng trình mx
2
- 2(m - 3)x + m + 4 = 0. Tìm m để phơng trình
a. Có đúng một nghiệm dơng
b. Có đúng một nghiệm không dơng
Dạng TON 5.
ứng dụng định lí Viét vào so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai
với một số cho trớc
I. Phơng pháp giải:
ở dạng này các bài toán thờng gặp là: Tìm điều kiện của tham số để so sánh
nghiệm với một số cho trớc.
Để giải các bài tập kiểu này ta thờng thực hiện các bớc sau:
B1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
B2: Từ điều kiện đầu bài tìm ra đợc biểu thức về mối liên hệ giữa các nghiệm của ph-
ơng trình
B3: Thay tổng, tích giữa các nghiệm vào biểu thức
B4: Tìm giá trị của tham số, rồi kết luận.
II. Một số ví dụ:
Vd1: Tìm m để phơng trình x
2
- mx + m = 0 có nghiệm x
1
; x
2

thoả mãn
1 2
2x x <

H ớng dẫn: Phơng trình đã cho có nghiệm x
1
; x
2
khi và chỉ khi
0
0 ( 4) 0
4
m
m m
m






Ta có:
1 2
1 2
1 2
2 (1)
2
2 (2)
x x
x x
x x
= <

<

< <

-19-
TH1: x = -2 là một gnhiệm của PT đã cho nên ta có: (-2)
2
- m(-2) + m = 0

4 + 3m = 0

4
3
m

=
Ta tính nghiệm còn lại nhờ vào định lí Viét nh sau:
1 2 2 2 1
4 2
. ( 2) 2
3 3
c
x x m x x x
a

= = = = > =
. Vậy
4
3
m

=
là giá trị cần tìm
TH2:
1 2 1 2
2 ( 2)( 2) 0x x x x< < + + <

1 2 1 2
2( ) 4 0x x x x + + + <
4
2 4 0
3
m m m

+ + < <
Kết hợp cả hai trờng hợp và đối chiếu với điều kiện có nghiệm thì
4
3
m


là các giá
trị cần tìm.
VD2: Với giá trị nào của m thì phơng trình x
2
+ x + m = 0 có hai nghiệm đều lớn
hơn m
H ớng dẫn :
Cách 1:
PT đã cho có 2 nghiệm thoả mãn
1 2

m x x<
khi và chỉ khi
1 1 2
2 1 2
0 0
0 ( )( ) 0
0 ( ) ( ) 0
x m x m x m
x m x m x m



> >


> + >

1 2 1 2
1 4 0
( ) 0
m
x x m x x




+ >


2

1
1
4
4
2
2 0 2
0
1 2 0
1
2
m
m
m
m m m
m
m
m








<


+ > <

>


>



<



Cách 2: Từ việc tìm m để phơng trình có hai nghiệm đều lớn hơn m ta đa về tìm m
để PT có nghiệm đều dơng
Bằng cách: Đặt t = x - m

x = t + m. PT đã cho viết đợc dới dạng là
(t + m)
2
+ t + 2m = 0

t
2
+ (2m+1)t + m
2
+ 2m = 0 (*)
VD3: Cho phơng trình
( ) ( )
0122.4
2

=+ mxmxm
. Tìm m để phơng trình có 2
nghiệm
21
; xx
thoả mãn :
21
0 xx
và
21
xx
.
Hớng dẫn: Vì
0
1
x
nên
11
xx =
do vậy
21
xx


21
xx
hay
0
21
+= xxS

. Do đó ph-
ơng trình đã cho có hai nghiệm
21
; xx
thoả mãn điều kiện bài toán khi và chỉ khi.
-20-





21
21
0
xx
xx

0
0
0
0
s
p
a

( ) ( )( )
( )

















0
4

22
0
4
1
0142
04
2
m
m
m
m
mmm
m













42
41
0
4

m
m
m
m


2
4

m
Vậy giá trị cần tìm của m là: 2
4m
Bài tập áp dụng:
1. Tìm m để phơng trình
02
2
=+ mxmx
có nghiệm thoả mãn
21
2
1
xx
2. Theo phơng trình :
( ) ( )
0112
2
=++ mxmx
a.Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.
b. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
3. Tìm m để phơng trình

( )
0122
2
=+ xmmx
. Có hai nghiệm phân biệt và nghịch
đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1.
Dạng TON 6:
ứng dụng định lí Viét vào lập phơng trình bậc hai.
I.Phơng pháp giải:
Ta cần lập phơng trình bậc hai nhận các số
21
; xx
là các nghiệm. Điều này dựa trên
định lý Nếu
Sxx =+
21
và
Pxx =
21
.
thì
21
, xx
là các nghiệm của phơng trình
0
2
=+ PSxx
.
II. Một số ví dụ:
1. Lập P.T bậc hai khi biết 2 nghiệm x

1
, x
2
.
VD: Cho x
1
= 3; x
2
= 2 , lập một phơng trình bậc hai chứa hai nghiệm trên.
Hớng dẫn: Theo vi-et ta có:
1 2
1 2
S x x 5
P x x 6
= + =


= =

khi đó x
1
; x
2
là nghiệm của P.T có dạng:
X
2
- SX + P = 0 <=> X
2
-5X + 6 = 0
* Bài tập áp dụng:

Lập phơng trình bậc hai chứa hai nghiệm :
a) x
1
= 8; x
2
= -3 b) x
1
= 3a; x
2
= a
c) x
1
= 36; x
2
= -104 d) x
1
=
1 2+
; x
2
=
1 2
* Nh vậy với bài toán lập phơng trình bậc hai khi đã biết trớc hai nghiệm của nó ta
chỉ cần áp dụng định lí Viét đảo song cũng cần lu ý điều kiện để có hai nghiệm là
PS 4
2

.
-21-
2. Lập P.T bậc hai khi có 2 nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một

phơng trình cho trớc.
VD1: Cho phơng trình
0
2
=++ qpxx
(1) có hai nghiệm
1
x
và
2
x
không phải phơng
trình hãy lập phơng trình bậc hai theo y mà các nghiệm số của nó là :
1
1
1
1
1

+
=
x
x
y
;
1
1
2
2
2

+
=
x
x
y
Hớng dẫn:
Theo Viét ta có
pxx =+
21
;
qxx =
21
.
21
yyS +=
=
1
1
1
1

+
x
x
+
1
1
2
2

+
x
x
=
( )
1
22
2121
21
++

xxxx
xx
=
2
22
++

qp
q
1 2
P y .y
=
=
( )
( )
1.
1.
2121

2121
++
+++
xxxx
xxxx
=
1
1
++
+
pq
pq
Với
PS 4
2

thì
21
, yy
là hai nghiệm của phơng trình
0
1
1
.
1
22
2
=
++
+

+
++


pq
pq
y
qp
q
y



( ) ( ) ( )
01121
2
=++++ pqyqyqp
Vì
qp 4
2

( do phơng trình (1) có hai nghiệm nên
0
1
1
.4
1
22
=
++

+

++

pq
pq
qp
q

hay
pS 4
2

VD2: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm
4.
21
=xx
và
+
1
1
1
x
x
4
7
1
2
2
2

2


=

a
a
x
x
Hớng dẫn:
Để lập đợc phơng trình bậc hai trớc hết ta cần tìm
21
xx +
.Thật vậy ta có
4.
21
=xx
và
+
1
1
1
x
x
( ) ( )
1.1

1
21
221121

2
2

+
=
xx
xxxxxx
x
x
=
( )
( )
1
2
2121
2121
++
+
xxxx
xxxx
=
( )
( )
21
21
5
4.2
xx
xx
+

+
=
( )
( )
4
7
5
8
2
2
21
21


=
+
+
a
a
xx
xx



( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )

7.54.8
2
21
2
21
+=+ axxaxx

21
xx +
=
1
2
+a
Với điều kiện
PS 4
2




4.4)1(
22
+a


( )
041).41(
22
+++ aa

03
2
a



3
2
a


3a
hoặc
3a
Khi đó
21
, xx
là các nghiệm của phơng trình :
( )
041
2
22
=++ XaX
-22-
* Nh vậy để lập phơng trình bậc 2 biết các nghiệm của nó thoả mãn một
điều kiện nào đó ( có thể là 2 số cho trớc hoặc liên quan tới các nghiệm của 1 ph-
ơng trình hoặc 2 phơng trình nào đó) Ta cần:
B1: Tính tổng S và tích P của chúng

B2: Lập phơng trình dạng :
0
2
=+ PSXX
( Điều kiện để có 2 nghiệm là
04
2
PS
).
Bài tập áp dụng:
1) Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm :
a.
3
1
và
2
1
b. 1+
3
và 1-
3
c.
23
và
23
1
+
d.
ba +
và

ba
e. a+b
m
và a- b
m
f. m-
1
2
+m
và m+
1
2
+m
2) Gọi
21
, xx
là các nghiệm của phơng trình
0653
2
=+ xx
. Không tính
21
, xx

hãy lập phơng trình bậc hai ẩn y mà nghiệm là.
2
11
1
x
xy +=

;
1
22
1
x
xy +=
3) Cho phơng trình
012
2
=+ mxx
, có 2 nghiệm
21
, xx
hãy tìm 1 phơng trình
bậc hai có hai nghiệm là:
1
11
3
x
xX =
;
2
22
3
x
xX =
4) Gọi
21
, xx
là các nghiệm của phơng trình

0156
2
=++ xx
. Không tính
21
, xx

hãy lập phơng trình bậc hai ẩn số y mà nghiệm là.
1
1
1
1
1

+
=
x
x
y
;
1
1
2
2
2

+
=
x
x

y
5) Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của PT x
2
- 7x + 3 = 0
a. Lập PT bậc hai có 2 nghiệm 2x
1
- x
2
và 2x
2
- x
1
b. Tính giá trị của A =
1221
22 xxxx +
(Đề thi tuyển sinh vào trờng THPT NK - ĐHQG, năm học: 2000 - 2001)
Dạng TON 7:
I. Phơng pháp giải:
Để làm các bài toán dạng này ta lần lợt theo các bớc sau:
1. Đặt điều kiện cho tham số để P.T đã cho có hai nghiệm x
1
, x
2
, ( thờng là
a

0 và
0
)
2. áp dụng vi-et viết tổng S và tích P của hai nghiệm theo tham số.
-23-
ứng dụng định lí Viét vào giải các bài toán : Tìm hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm của PT bậc hai, sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
3. Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x
1
, x
2
. Từ đó đa ra hệ
thức liên hệ giữa x
1
và x
2
.
II. Một số ví dụ:
VD1: Cho phơng trình
2
x (m 2)x (2m 1) 0
+ + =
có hai nghiệm x
1
, x
2
. Hãy lập hệ thức
liên hệ giữa x
1
, x

2
không phụ thuộc vào m.
* Hớng dẫn: Dễ thấy

= (m+2)
2
-4(2m -1) = m
2
4m +8 = (m-2)
2
+4 > 0
Do đó phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

Theo Vi-et ta có:
Từ (1) và (2) ta có:
1 2
1 2 1 2 1 2
x x 1
x x 2 2(x x ) x x 5 0
2
+
+ = + =
( hệ thức cần lập)
VD2: Cho phơng trình
2
(m 1)x 2mx m 4 0
+ =

có hai nghiệm x
1
, x
2
. Chứng ming
rằng biểu thức A =
1 2 1 2
3(x x ) 2x x 8+ +
không phụ thuộc vào m.
* Hớng dẫn: Để phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
' 2
m 1
m 1 0 m 1
m 1
4
5m 4 0
m
0 m (m 1)(m 4) 0
5

Theo vi-et ta có:
1 2
1 2
2m
x x
m 1
m 4
x x
m 1

+ =






=


thay vào A ta có:
A =

1 2 1 2
3(x x ) 2x x 8+ +
=
2m m 4 6m 2m 8 8(m 1) 0
3. 2. 8 0
m 1 m 1 m 1 m 1
+
+ = = =

Vởy A = 0 với mọi
m 0

và
4
m
5

. Chứng tỏ A không phụ thuộc vào m.
Bài tập áp dụng:
1) Cho phơng trình
2
x (4m 1)x 2(m 4) 0
+ + + =
có hai nghiệm x
1
, x
2
. Hãy lập hệ thức
liên hệ giữa x
1

, x
2
không phụ thuộc vào m.
Dạng TON 8:
ứng dụng định lí Viét vào giải các bài toán cực trị liên quan đến biểu thức giữa
các nghiệm của PT bậc hai.
I. Phơng pháp giải
Để giải các biểu thức thuộc dạng này ta phải hớng dẫn HS:
B1: Tìm điều kiện để PT bậc hai có nghiệm
-24-
B2; Sử dụng định lí Viét biểu diễn tổng, tích hai nghiệm theo tham số, rổi thay vào
biểu thức cần tìm sau đó tìm GTLN, GTNN của biểu thức ấy.
II. Một sô ví dụ:
VD1: Cho phơng trình
2
x 2(m 1)x m 0+ =
. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình,
tìm m để A =
2
1
2
2
xx
+
-6x
1

x
2
có giá trị nhỏ nhất.
* Hớng dẫn:
Theo vi-et :
1 2
1 2
x x 2(m 1)
x x m
+ =


=

Theo đề bài: A =
2
1
2
2
xx
+
-6x
1
x
2
=
2
1 2 1 2
(x x ) 8x x
+

=
2 2 2
(2m 1) 8m 4m 12m 1 (2m 3) 8 8 + = + =
Suy ra: MinA = -8 <=> 2m 3 = 0 <=> m =
3
2
VD2: Cho phơng trình
2
x mx m 1 0
+ =
. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình,
tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức. B =
1 2
2 2
1 2 1 2
2x x 3
x x 2(x x 1)
+
+ + +
* Hớng dẫn:
Theo vi-et :
1 2
1 2
x x m
x x m 1

+ =


=


* Ta có: B =
1 2
2 2
1 2 1 2
2x x 3
x x 2(x x 1)
+
+ + +
1 2
2 2 2
1 2
2x x 3
2(m 1) 3 2m 1
(x x ) 2 m 2 m 2
+
+ +
= = =
+ + + +
=
2 2 2
2 2
m 2 (m 2m 1) (m 1)
1
m 2 m 2

+ +
=
+ +

1 => MaxB = 1 <=> m = 1.
* Cách khác, ta có: B =
2 2 2 2
2
2 2 2
1 1 1 1
m 2m 1 m (m 4m 4) (m 2)
(m 2) 1
2 2 2 2
m 2 m 2 2(m 2) 2
+ + + + +
+
= =
+ + +
1
2

=> MinB =
1
2

<=> m = -2.
Bài tập áp dụng:
-25-