Chứng minh một số luật trong lập luận theo xác suất khoảng

Mục lục
1. Giới thiệu lập luận theo xác suất............................................................................................2
1.1. Giới thiệu.........................................................................................................................2
1.2. Hướng tiếp cận không gian xác suất của Nilsson...........................................................2
1.3. Hướng tiếp cận logic xác suất của Subrahmanian..........................................................3
2. Một mô hình không gian xác suất cho lập luận theo xác suất...............................................3
2.1. Thế giới có thể có (possible worlds)...............................................................................3
2.2. Xác suất mệnh đề dựa trên các thế giới có thể có...........................................................4
2.3. Lập luận theo xác suất đơn trị - hướng tiếp cận không gian xác suất của Nilsson........4
2.4. Lập luận theo xác suất khoảng – hướng tiếp cận không gian xác suất của Nilsson......6
3. Chứng minh một số luật trong lập luận theo xác suất khoảng...............................................7
3.1. Luật 1...............................................................................................................................7
3.2. Luật 2...............................................................................................................................9
3.3. Luật 3.............................................................................................................................10
3.4. Luật 4.............................................................................................................................12
Tài liệu tham khảo....................................................................................................................15
Chứng minh một số luật trong
lập luận theo xác suất khoảng
1. Giới thiệu lập luận theo xác suất
1.1. Giới thiệu
Xác suất đóng một vai trò quan trọng trong việc chúng ta nhìn nhận và hiểu biết về
thế giới, và trong cái cách mà chúng ta lập luận về chính thế giới chúng ta đang tồn
tại. Thông tin xác suất thường được sử dụng trong các quyết định được đưa ra một
cách tự động (không có sự can thiệp của con người) bởi các chương trình máy tính.
Do đó, các hệ thống lập luận tự động hóa cần biết cách lập luận như thế nào với
thông tin xác suất.
Lý thuyết xác suất là lý thuyết được chấp nhận rộng rãi nhất cho việc lập luận về sự
may rủi và sự không chắc chắn. Bởi vì các chương trình logic là một công thức tự
nhiên để thiết kế các hệ chuyên gia dựa trên quy tắc, nên việc chúng cần có khả năng
lập luận với thông tin xác suất là rất quan trọng.
Chúng ta cũng cần phải thiết kế một mô hình trong đó thông tin xác suất có thể được

diễn đạt một cách dễ dàng.
Xác suất sự thật của một mệnh đề được cho bởi một số thực trong khoảng đơn vị [0,
1]. Tuy nhiên, không giống như logic thông thường, xác suất sự thật (được đo bởi
một số thực) của một mệnh đề phức hợp không được diễn đạt một cách chung chung
như là một hàm xác suất chân lý của các thành phần của nó, nhưng thay vào đó là các
khoảng đóng của các giá trị chân lý.
1.2. Hướng tiếp cận không gian xác suất của Nilsson
Không gian xác suất của Nilsson là một sự phát sinh ngữ nghĩa của logic bình thường
để có được một logic xác suất.
Ở đây chúng ta quan tâm hai ý tưởng thiết yếu: xác suất sự thật của một mệnh đề
được xác định bởi một phân phối xác suất trên những lớp các thế giới có thể có được
định nghĩa thích hợp; và tại cùng một thời điểm, xác suất sự thật này của một mệnh
đề (phức hợp) được cho luôn có thể được định nghĩa một cách tương đối đối với bất
kỳ tập mệnh đề nào, không nhất thiết phải là các thành phần của nó.
2
Ví dụ. Cho các biểu thức logic sau: {<A, 0.5>, <(A→B)∧C, 0.9>, <B∨A∨C, 0.9>}.
Làm cách nào để tính được xác suất sự thật của mệnh đề (B→C)→A?
1.3. Hướng tiếp cận logic xác suất của Subrahmanian
Hướng tiếp cận của Subrahmanian đề cập đến ba điểm:
 Sự đề xuất một ngôn ngữ lập trình logic và chương trình logic xác suất.
 Sự mô tả ngữ nghĩa của một ngôn ngữ lập trình logic, chương trình logic xác
suất.
 Các mối quan hệ giữa lý thuyết xác suất, lý thuyết mô hình, lý thuyết điểm bất
động và lý thuyết chứng minh cho những ngôn ngữ như thế.
Ví dụ. Cho một cơ sở tri thức sau:
→A[0.5, 1]; →B[0, 1]; →C[0, 1]; →D[0.9, 1]; →E[0, 1]; →G[1, 1]; →H[0, 1]; A[1,
1]→C[0.85, 0.95]; C[0.8, 1]→B[1, 1]; G[1, 1]∧D[0.85, 1]→C[0.8, 0.95]; H[1,
1]∧E[0.75, 1]→C[0.85, 1];
Làm cách nào để tính được xác suất của C?
2. Một mô hình không gian xác suất cho lập

luận theo xác suất
Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu một mô hình không gian xác suất cho việc lập
luật theo xác suất, từ đó sẽ áp dụng mô hình này để chứng minh một số luật trong số
28 luật nền tảng của lập luận theo xác suất khoảng.
2.1. Thế giới có thể có (possible worlds)
Các thế giới có thể có có thể được xem như là không gian xác suất.
Ví dụ. Cho các biểu thức logic sau: {<A, 0.5>, <(A∧B), 0.9>, <A→C, 0.6>}, trong
đó <A, 0.5> được hiểu là xác suất của A là 0.5.
Σ = {S1=A, S2=(A∧B), S3= A→C} là tập các mệnh đề.
£ = {A, B, C} là tập các biến định đề / nguyên tử trong Σ.
Có 2
3
vector ba-thành-phần boolean biểu diễn từ (0, 0, 0) đến (1, 1, 1). Mỗi bộ ba-
thành-phần được gọi là thế giới có thể có cho các mệnh đề trong Σ.
Θ
1
=(A, B, C); Θ
2
=(A, -B, C); Θ
3
=(A, B, -C); Θ
4
=(-A, B, C); Θ
5
=(-A, -B, C);
Θ
6
=(-A, B, -C); Θ
7
=(A, -B, -C); Θ

8
=(-A, -B, -C).
3
Ma trận V biểu diễn các vector chân trị của các mệnh đề trong Σ:
Θ
1
Θ
2
Θ
3
Θ
4
Θ
5
Θ
6
Θ
7
Θ
8
S
1
1 1 1 0 0 0 1 0
S
2
1 0 1 0 0 0 0 0
S
3
1 1 0 1 1 1 0 1
Trong trường hợp này chúng ta có 5 vector chân trị Σ-consistent khác nhau cho các

mệnh đề trong Σ, mà chúng là các cột của ma trận U sau đây:
w
1
w
2
w
3
w
4
w
5
S
1
1 1 1 0 1
S
2
1 0 1 0 0
S
3
1 1 0 1 0
Θ
4
, Θ
5
, Θ
6
và Θ
8
được gọi là Σ-tương-đương. Mỗi lớp Σ-tương-đương sẽ tương ứng
với một vector Σ-consistent.

Không gian xác suất Ω = {w
1
, w
2
, w
3
, w
4
, w
5
}.
Chúng ta nói rằng w
i
|= s nếu s thỏa thế giới có thể có w
i
. Ví dụ, S2 thỏa trong w
1
và
w
3
.
2.2. Xác suất mệnh đề dựa trên các thế giới có thể có
Không gian xác suất của các thế giới có thể có Ω = {w
1
, w
2
, w
3
, w
4

, w
5
}.
Phân phối xác suất π(.) sao cho Σ
i
π(w
i
) = 1.
Các phân phối xác suất mở rộng π(.) cho các mệnh đề:
π(S) = Σ
i
{π(w
i
) | w
i
|= s}
Ví dụ, π(S
3
) = π(w
1
) + π(w
2
) + π(w
4
).
2.3. Lập luận theo xác suất đơn trị - hướng tiếp cận
không gian xác suất của Nilsson
Thuật toán (SVPR)
Cho một cơ sở tri thức: B = {<S
i

, p
i
> | i = 1..m}. Giả sử S = S
m
.
Bước 1. Xác định ma trận chân trị.
4
Bước 2. Xác định ma trận thế giới có thể có U
m,k
.
 Đặt U* là ma trận thu được từ U bằng cách loại bỏ hàng cuối cùng u tương
ứng với S và thêm vào hàng đầu tiên gồm các giá trị 1.
 Đặt p* là vector (1, p
1
, p
2
, p
3
, …, p
m-1
).
Bước 3. Xác định khoảng chân trị [a, b] cho phép nối S bằng cách giải các bài toán
quy hoạch tuyến tính sau:
 LP1: a = max
π
(u, π)
 LP2: b = min
π
(u, π)
trong đó U*π = p*.

Ví dụ. Cho các biểu thức logic sau: {<A, 0.8>, <(A∧B), 0.4>, <A→C, 0.6>}.
Làm cách nào để tính xác suất π(C→(A∨B))?
Định nghĩa:
Σ’ = {S1=A, S2=(A∧B), S3=A→C, S4=C→(A∨B)}.
£’ = {A, B, C}.
Bước 1. Xác định ma trận chân trị V’.
Θ
1
Θ
2
Θ
3
Θ
4
Θ
5
Θ
6
Θ
7
Θ
8
S
1
1 1 1 0 0 0 1 0
S
2
1 0 1 0 0 0 0 0
S
3

1 1 0 1 1 1 0 1
S
4
1 1 1 1 0 1 1 1
Bước 2. Ma trận thế giới có thể có U’.
w
1
w
2
w
3
w
4
w
5
w
6
S
1
1 1 1 0 0 1
S
2
1 0 1 0 0 0
S
3
1 1 0 1 1 0
S
4
1 1 1 1 0 1
Θ

4
, Θ
6
và Θ
8
là Σ-tương-đương.
Không gian xác suất Ω = {w
1
, w
2
, w
3
, w
4
, w
5
, w
6
}.
5
Bước 3. Xác định phân phối xác suất π(.) sao cho Σ
i
π(w
i
) = Σ
i
π
i
= 1 và
Đối với S

1
π
1
+ π
2
+ π
3
+ π
6
= 0.8
Đối với S
2
π
1
+ π
3
= 0.4
Đối với S
3
π
1
+ π
2
+ π
4
+ π
5
= 0.6
Bước 4. Xác định xác suất π(S
4

) = π
1
+ π
2
+ π
3
+ π
4
+ π
6
.
Ví dụ, π
1
= 0.2, π
2
= 0.2, π
3
= 0.2, π
4
= 0.1, π
5
= 0.1, π
6
= 0.2.
Do đó, π(S
4
) = π
1
+ π
2

+ π
3
+ π
4
+ π
6
= 0.9.
Quả thật, π(S
4
) phải được chứa trong một khoảng [a, b]. Và chúng ta phải xác định
khoảng này.
2.4. Lập luận theo xác suất khoảng – hướng tiếp cận
không gian xác suất của Nilsson
Thuật toán (IVPR)
Thuật toán này hầu như giống như thuật toán SVPR.
Cho một cơ sở tri thức: B = {<S
i
, I
i
=[a
i
, b
i
]> | i = 1..m}. Giả sử S = S
m
.
Đặt a* là vector (1, a
1
, a
2

, a
3
, …, a
m
).
Đặt b* là vector (1, b
1
, b
2
, b
3
, …, b
m
).
Bước 1. Xác định ma trận chân trị.
Bước 2. Xác định ma trận thế giới có thể có U
m,k
sau đó là U*.
Bước 3. Xác định khoảng chân trị I=[a, b] cho phép nối S bằng cách giải các bài toán
quy hoạch tuyến tính sau:
 LP1: a = max
π
(u, π)
 LP2: b = min
π
(u, π)
trong đó a* ≤ U*π ≤ b*.
Ví dụ. Cho các biểu thức logic {<A, [0.7, 1]>; <(A∧B), [0.3, 0.6]>; <A→C, [0.2,
0.8]>}, trong đó <A, [0.7, 1]> hiểu là xác suất của A nằm trong khoảng [0.7, 1].
Làm cách nào để tính xác suất khoảng π(C→(A∨B))?

Áp dụng thuật toán IVPR, hầu như tương tự như ví dụ trên ta sẽ tính được xác suất
khoảng này.
6