chương 3 dãy số cấp số cộng cấp số nhân

CHƯƠNG III. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
I. Phương pháp chứng minh qui nạp
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ≥ 1 bằng phương pháp qui nạp, ta tiến hành
theo 2 bước
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ p (gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh
rằng nó cũng đúng với n = k + 1
II. Dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn.
Thường viết dưới dạng khai triển: u
1
, u
2
, , u
n
,
Trong đó u
1
là số hạng đầu và u
n
là số hạng tổng quát.
III. Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3 , …, m} với m nguyên dương được gọi là dãy số hữu
hạn.
Dạng khai triển: u
1
, u
2
, u
3
,…,u

m
. Trong đó u
1
là số hạng đầu, u
m
số hạng cuối.
Ví dụ: –5, –2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn
IV. Cách cho một dãy số
1. Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số.
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
a. Cho số hạng đầu hay vài số hạng đầu
b. Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng hoặc vài số hạng đứng trước nó.
V. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
1. Dãy số tăng và dãy số giảm
Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u
n+1
> u
n
với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u
n+1
< u
n
với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (u

n
) với u
n
= 2n là dãy số tăng vì
u
n+1
– u
n
= 2(n + 1) – 2n = 2 > 0 nên u
n+1
> u
n
.
Chú ý: dãy số có thể không tăng và không giảm
2. Dãy số bị chặn
Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: u
n
≤ M, với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: m ≤ u
n
, với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Ví dụ: Dãy số (u
n

) với u
n
=
2
n
n 1+
bị chặn vì: 0 <
2
n
n 1+
≤ 1/2 với mọi số nguyên dương n.
VI. Cấp số cộng
1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng
đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với số không đổi d. Số d gọi là công sai của cấp số cộng.
Công thức truy hồi: u
n+1
= u
n
+ d với mọi số nguyên dương n.
Nếu d = 0 thì cấp số cộng là dãy số không đổi.
2. Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (u
n
) có số hạng đầu u
1
và công sai d thì số hạng tổng quát u
n
được xác
định bởi công thức: u
n
= u

1
+ (n – 1)d với n ≥ 2.
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng:
k 1 k 1
k
u u
u
2
− +
+
=
với k ≥ 2
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: S
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ … + u
n
=
1 n
n(u u )
2
+
=
1
n[2u (n 1)d]

2
+ −

VII. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn
đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (u
n
) là cấp số nhân với công bội q, ta có u
n+1
= u
n
q, với mọi số nguyên dương n.
2. Số hạng tổng quát: u
n
= u
1
q
n–1
với n ≥ 2
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân: (u
k
)² = u
k–1
.u
k+1
, với k ≥ 2
Trang 1
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:
Cho cấp số nhân (u

n
) với công bội q ≠ 1. S
n
= u
1
+ u
2
+ … + u
n
=
n
1
u (1 q )
1 q
−
−
Nếu q = 1 thì S
n
= n.u
1
.
BÀI TẬP
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 1.2 + 2.5 + 3.8 + … + n(3n – 1) = n²(n + 1) với mọi số nguyên dương n.
Với n = 1, vế trái = 2 = vế phải. Hệ thức đã cho đúng.
Đặt S
n
= 1.2 + 2.5 + 3.8 + … + n(3n – 1)
Giả sử hệ thức đã cho đúng với n = k ≥ 1, tức là S
k
= 1.2 + 2.5 + … + k(3k – 1) = k²(k + 1)

Ta chứng minh hệ thức đã cho cũng đúng với n = k + 1
Ta có: S
k+1
= S
k
+ (k + 1)[3(k + 1) – 1] = k²(k + 1) + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)(k² + 3k + 2) = (k + 1)²(k + 2)
Vậy hệ thức đã cho đúng mọi n nguyên dương
Ví dụ 2. Cho dãy số: (u
n
) với u
n
= 9 – 5n.
a. Viết 5 số hạng đầu của dãy,
b. Chứng minh dãy số u
n
là cấp số cộng. Chỉ rõ u
1
và d.
c. Tính tổng của 100 số hạng đầu
Hướng dẫn giải
a. u
1
= 4, u
2
= –1, u
3
= –6, u
4
= –11, u
5

= –16.
b. Xét hiệu u
n+1
– u
n
= 9 – 5(n + 1) – 9 + 5n = –5 là một hằng số
Do đó dãy số (u
n
) là cấp số cộng với u
1
= 4 và công sai d = –5.
c. S
100
= 100[2.4 + (100 – 1)(–5)]/2 = –24350
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số nguyên dương n
a. 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) =
n(3n 1)
2
+
b. 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3
c. 1² + 3² + 5² + … + (2n – 1)² =
n(3n 1)
2
+
d. 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ =
2 2
n (n 1)
4
+
e. 2

n+2
> 2n + 5
Bài 2. Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
a. u
1
= 2, u
n+1
= (2u
n
+ 1) / 5 b) u
1
= 15, u
2
= 9, u
n+2
= u
n+1
– u
n
.
c. u
1
= 0,
n 1
2
n
2
u

u 1
+
=
+
d) u
1
= 1, u
2
= 1, u
n+2
= u
n+1
+ u
n
.
Bài 3. Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng giảm của các dãy số (u
n
) biết
a. u
n
= 2
n+1
– 2n b. u
n
= 2.3
n–1
– 7 c. u
n
= (1 – 1/n)²
Bài 4. Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u

n
), dự đoán công thức số hạng tổng quát u
n
và chứng minh công
thức đó bằng qui nạp.
a) u
1
= 1, u
n+1
= 2u
n
+ 3 b) u
1
= 2,
2
n 1 n
u u 2
+
= +
c) u
1
= 3, u
n+1
= 2u
n
. d)
n
1 n 1
u 15
u ,u

4 2
+
+
= =
ĐS: a) u
n
= 2
n+1
– 3 b)
n
u 2n 1= +
c) u
n
= 3.2
n–1
d)
n
n 1
1
u 1
2
+
= +
Bài 5. Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u
n
) sau đây
a)
n
n 1
u

n 2
+
=
−
b)
n
n
( 1)
u
n 1
−
=
+
c)
2
n
2
n n 1
u
n 1
+ +
=
+
d)
2
n
u n cos(nπ)= +
Bài 6. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (u
n
) sau

a)
n
2n
u
n 2
=
+
b)
n
1
u
n(n 1)
=
+
c)
2
n
2
n 2n
u
n n 1
+
=
+ +
d)
n
n
π
u ( 1) cos( )
2n

= −
Trang 2
Bài 7. Trong các dãy số (u
n
) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai
của nó.
a. u
n
= 12n – 11 b. u
n
= n(3n – 2) c. u
n
= 3 – n d. u
n
= (n + 1)² – n²
Bài 8. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u
n
), biết:
a.
1 5
4
u 2u 0
S 14
+ =


=

b. u
4

= 10; u
7
= 19 c.
1 5 3
1 6
u u u 10
u u 17
+ − =


+ =

d.
3
14
u 15
u 18
= −


=

e.
7 3
2 7
u u 8
u u 75
− =



=

f.
7 15
2 2
4 12
u u 60
u u 1170
+ =



+ =


g.
1 3 5
1 2 3
u u u 12 0
u u u 8
+ + + =


=

Bài 9. Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.
Bài 10. Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng.
Bài 11. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương
của chúng là 293.
Bài 12. Ba cạnh một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng. Tìm ba

cạnh đó.
Bài 13. Ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó.
Bài 14. Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành cấp số cộng có công sai d = 3°. Tìm số đo của
các góc đó.
Bài 15. Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm
số đo các góc đó.
Bài 16. Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập thành cấp số cộng,
biết
a) x = b² + bc + c², y = c² + ca + a², z = a² + ab + b²
b) x = a² – bc, y = b² – ca, z = c² – ab
Bài 17. Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, biết
a) a = 10 – 3x, b = 2x² + 3, c = 7 – 4x
b) a = x + 1, b = 3x – 2, c = x² – 1
Bài 18. Tìm các nghiệm số của phương trình: x³ – 15x² + 71x – 105 = 0, biết rằng các nghiệm số phân biệt
và tạo thành một cấp số cộng.
Bài 19. Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2
cây, hàng thứ ba có 3 cây, …. Hỏi có bao nhiêu hàng?
Bài 20. Trong các dãy số (u
n
) sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội và số hạng đầu nếu có.
a. u
n
= 3.(–2)
2n+1
. b. u
n
= (–1)
n
.3
3n+1

. c. u
1
= 2 và u
n+1
= 2(u
n
)² d. u
n
=
2
2n 1+
Bài 21. Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân, biết
a)
4 2
5 3
u u 72
u u 144
− =


− =

b)
1 3 5
1 7
u u u 65
u u 325
− + =



+ =

c)
3 5
2 6
u u 90
u u 240
+ =


− =

d)
1 2 3
1 2 3
u u u 14
u u u 64
+ + =


=

e)
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
u u u u 30
u u u u 340
+ + + =




+ + + =


f)
1 2 3
1 2 3
u u u 21
1 1 1 7
u u u 12
+ + =



+ + =


Bài 22. Giữa số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân.
Bài 23. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216.
Bài 24. Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng
cuối là 486.
Bài 25. Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là
889.
Bài 26. Tìm 4 góc của một tứ giác, biết các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ
hai.
Bài 27. Độ dài các cạnh của ΔABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng ΔABC có hai góc không
quá 60°.
Bài 28. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất
35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560.

Trang 3
Bài 29. Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng
các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó.
Bài 30. Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là 148/9, đồng thời, theo thứ
tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Bài 31. Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành
một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân.
Bài 32. Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số hạng
kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24.
Bài 33. Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)², ab + 5, (a +
1)² lập thành một cấp số nhân.
Bài 34. Chứng minh rằng nếu 3 số
2 1 2
, ,
y x y y z− −
lập thành một cấp số cộng thì 3 số x, y, z lập thành một
cấp số nhân.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Bài 1. Chứng minh S
n
= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) / 4
Bài 2. Dãy số (u
n
) xác định bởi công thức:
1
n 1 n
u 1
u 3u 1
+
=




= −


với n ≥ 1. Chứng minh dãy số tăng bằng
phương pháp quy nạp.
Bài 3. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
n
1 n 1
u 15
u ,u
4 2
+
+
= =
a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với mọi ta có
n
n 1
1
u 1
2
+
= +
với n thuộc N*.
b) Chứng minh rằng dãy số (u
n

) là dãy giảm và bị chặn.
Bài 4. Xét tính tăng, giảm của dãy số sau
a) u
n
= 2
–n
. b)
n
n
n
3 n 1
u
4
+
=
Bài 5. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và
n 1 n
u u 1
+
= +
với mọi n thuộc N*. Chứng minh u
n
= 2 với
mọi n thuộc N*. Có nhận xét gì về dãy số này?
Bài 6. Cấp số cộng:
a) Cho một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu tiên bằng –6 và tổng các bình phương của chúng bằng 30.

Hãy tìm cấp số cộng đó.
b) Cho phương trình x
4
– (3m + 4)x² + (m + 1)² = 0. Định m dể phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập
thành một cấp số cộng.
c) Cho các số a, b, c thỏa mãn
1 1 1
, ,
a b a c b c+ + +
tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng a², b², c² cũng
tạo thành một cấp số cộng.
d) Nếu số thứ p, thứ q và thứ r của một cấp số cộng lần lượt là a, b, c. Chứng minh rằng:
(q – r)a + (r – p)b + (p – q)c = 0
e) Cho biết tổng n số hạng của một cấp số cộng là S
n
= n(5n – 3). Tìm số hạng thứ p của cấp số cộng đó.
f) Cho hai cấp số cộng lần lượt có tổng n số hạng là S
n
= 7n + 1 và T
n
= 4n + 7. Tìm tỉ số u
11
/ v
11
của 2 số
hạng thứ 11 của hai cấp số đó.
Bài 7. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số nhân, biết số hạng thứ hai là 16 và tổng ba số hạng đầu bằng
56.
Bài 8. Một cấp số nhân (u
n

) có 5 số hạng, biết công bội q = 1/4, và u
1
+ u
4
= 24. Tìm các số hạng của cấp số
nhân này.
Bài 9. Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Đồng thời x – 1, y + 2, x – 3y
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Bài 10. Cho 3 số có tổng bằng 28 lập thành cấp số nhân. Tìm cấp số nhân đó biết nếu số thứ nhất giảm 4 thì
ta được 3 số lập thành cấp số cộng.
Bài 11. Tìm hai số a và b biết ba số: 1, a + 8, b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số 1, a, b theo
thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Trang 4
Bài 12. Ba số có tổng là 217 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ
2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là
280?
Bài 13. Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn
hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số ấy?
Bài 14. Cho dãy số (u
n
) với
n n
n
n n
2 5
u
2 5
−
=
+

. Tính S
10
=
1 2 10
1 1 1

u 1 u 1 u 1
+ + +
− − −
.
Bài 15. Cho dãy số (u
n
), tổng n số hạng đầu tiên của nó là S
n
=
2
7n 3n
2
−
a) Tính u
1
, u
2
, u
3
.
b) Chứng minh dãy số trên là một cấp số cộng và xác định số hạng tổng quát của nó.
BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG 3
Dạng 1. Chứng minh quy nạp
Bài 1. Chứng minh bằng quy nạp.

a.
2
1 1 1 n 2
(1 )(1 ) [1 ]
4 9 2(n 1)
(n 1)
+
− − − =
+
+
với n thuộc N*
b.
n n 1
n 1
2 4
2 2
1 1 1 1 1 2

1 x x 1
1 x 1 x
1 x 1 x
+
+
+ + + + = +
+ −
+ +
+ −
với mọi n thuộc N*, x ≠ 1 & x ≠ –1
c. 3
3n+3

– 26n – 27 chia hết cho 169 với mọi n thuộc N*
d.
5 4 3
n n n n
5 2 3 30
+ + −
luôn là số nguyên với mọi n thuộc N*
e.
1 1 1 n

1.4 4.7 (3n 2)(3n 1) 3n 1
+ + + =
− + +
với mọi n thuộc N*
f.
π 2π nπ nπ (n 1)π
sin sin sin 2sin sin
3 3 3 6 6
+
+ + + =
với mọi n thuộc N*
g.
n 1
2 2 2 n 1 2
( 1) n(n 1)
1 2 3 ( 1) n
2
+
+
− +

− + − + − =
với mọi n thuộc N*
h.
n
2
4 (2n)!
n 1
(n!)
<
+
với mọi n > 1, n thuộc N
i.
2 2 2
x x x x 1+ + + < +
(n dấu căn) với mọi n thuộc N*
Bài 2. Cho n số dương x
1
, x
2
, , x
n
. Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2:
(1 + x
1
)(1 + x
2
) (1 + x
n
) > 1 + x
1

+ x
2
+ + x
n
.
Bài 3. Gọi a là một nghiệm của phương trình: x² – 3x + 1 = 0. Chứng minh rằng
n
n
n
1
u a
a
= +
là số nguyên
với mọi n thuộc N*.
HD. a² + 1 = 3a <=> a + 1/a = 3 <=> u
k+1
= u
1
.u
k
– u
k–1
.
Bài 4. Giả sử cos α là số hữu tỉ. Chứng minh rằng với mọi n thuộc N* cos nα cũng là số hữu tỉ.
HD. cos [(n + 1)α] = cos (nα) cos α – sin (nα) sin α
Dạng 2. Dãy số
1. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:

n
2
2n 5
u
n 1
+
=
+
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy.
b) Tìm n sao cho u
n
= 1/5
2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
n
=
2
n 1 n+ −
a) Viết 4 số hạng đầu của dãy.
b) Chứng minh mọi số hạng của dãy số đều khác nhau.
Trang 5
3. Cho dãy số (u
n
) có u
n
=
nπ
cos
3

với mọi n thuộc N*.
a. Viết 6 số hạng đầu của dãy.
b. Chứng minh dãy số chỉ nhận hữu hạn giá trị.
4. Cho dãy số (u
n
) xác định như sau: u
n
là số dư khi chia n cho 6.
a) Xác định 7 số hạng đầu của dãy
b) Nếu u
m
= u
n
, chứng minh rằng: |m – n| chia hết cho 6
5. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 5 và u
n+1
= 3u
n
với mọi n thuộc N*. Chứng minh u
n
= 5.3
n–1
.
6. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u

1
= 1 và u
n+1
= 3u
n
+ 2n với mọi n thuộc N*. Chứng minh rằng
n 1
n
5 1
u .3 n
2 2
−
= − −
7. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1 và
n 1 n
1
u 3u n
2
+
= + −
với mọi n thuộc N*. Chứng minh rằng
n 1
n
1
u .(3 n)
2

−
= +
8. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a)
n
2014 n
u
n
−
=
b)
n
n!
u
n 1
=
+
c)
n
n
( 1)
u
n 2014
−
=
+
9. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1

= 3 và
n 1 n
5
u u
3
+
=
với mọi n thuộc N*.
a) Chứng minh rằng dãy số tăng b) Tìm n để u
n
> 10 000
10. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1 và
n 1 n
2
u u 1
3
+
= +
với mọi n thuộc N*.
a) Chứng minh dãy số bị chặn trên bởi 3 b) Chứng minh dãy số tăng
11. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 3 và
2

n
n 1
n
2 u
u
2u
+
+
=
với mọi n thuộc N*. Chứng minh dãy số giảm.
12. Xét tính bị chặn của các dãy số sau đây:
a)
n 1
n
3n ( 1)
u
2(n 1)
+
+ −
=
+
b)
n
2
2n 3
u
2n 1
+
=
+

c)
n
n
u
2n 1 2n 1
=
+ + −
d) u
n
= 2sin (n + 1) – 3cos n e)
n
1 1 1 1
u
n 1 n 2 n 3 2n
= + + + +
+ + +
f)
n
1 1 1
u
n( n 1) n( n 2) n ( n n)
= + + +
+ + +
g)
2 2 2
n
sin 1 sin 2 sin n
u
1.2 2.3 n(n 1)
= + + +

+
13. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1, u
2
= 2 và
n
n 2 n 1
2
n
u
u u
1 u
+ +
= +
+
với mọi n thuộc N*.
a) Bằng quy nạp chứng minh rằng:
n 1 n
n
1
u u
u
+
= +
với mọi n thuộc N*. Từ đó suy ra dãy số tăng.
b) Đặt
n

n
u
v
n
=
với mọi n thuộc N*. Chứng minh dãy số (v
n
) bị chặn.
14. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1, u
2
= 2 và
n 1
n 2
n
1 u
u
u
+
+
+
=
với mọi n thuộc N*. Chứng minh rằng:
u
n+5
= u
n

với mọi n thuộc N* (tức dãy số tuần hoàn).
15. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1, và u
m+n
= u
m
+ u
n
+ m.n với mọi m, n thuộc N*. Chứng minh rằng:
u
n
= n(n + 1) / 2.
16. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1/2014 và u
n+1
= (1 + 1/n)u
n
+ 1/n với mọi n thuộc N*.
a. Chứng minh u
n
= n/2014 + n – 1 với mọi n nguyên dương
Trang 6
b. Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số
17. Cho dãy số (u

n
) xác định bởi: u
1
= 1, u
2
= –7 và u
n+2
= 5u
n+1
+ 6u
n
với mọi n thuộc N*. Chứng minh rằng:
n n
n
1 13
u .6 ( 1)
7 7
= − − −
với mọi n thuộc N*
Dạng 3. Cấp số cộng.
1. Cho cấp số cộng: 2, 5, 8, 11, … Tìm số hang đầu u
1
, công sai d, số hạng u
n
, tổng n số hạng đầu tiên S
n
.
2. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng u
n
của các cấp số cộng biết

a)
7
15
u 27
u 59
=


=

b)
9 2
13 6
u 5u
u 2u 5
=


= +

c)
5
10
u 10
S 5
=


=


d) Tổng S
n
= 3n + n² e)
20 10 5
S S S
5 3 2
= =
f)
20 10
15 5
S 2S
S 3S
=


=

3. Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2 và tổng các bình phương của ba số đó bằng 14/9.
Xác định ba số đó và công sai? ĐS: (1; 2/3; 1/3) và (1/3; 2/3; 1)
4. Cho cấp số cộng (u
n
) thỏa: u
4
+ u
8
+ u
12
+ u
16
= 16. Tính tổng 19 số hạng đầu S

19
. ĐS: 76.
5. Cho một cấp số cộng thỏa:
2
n
2
m
S n
S
m
=
với m ≠ n và m, n thuộc N*. Tính tỉ số u
2007
/ u
1945
.
HD. Chứng minh d = 2u
1
. Suy ra tỉ số 4013/3889
6. Tìm số tự nhiên n biết:
a) (2n + 1) + (2n + 2) + … + 3n = 2265.
b)
n 1 n 2 1

n n n
− −
+ + +
= 2014.
7. Cho dãy số (u
n

) xác định bởi: u
n+2
= 3.u
n+1
– u
n
+ 3 với mọi n thuộc N*. Chứng minh rằng dãy số (v
n
) ssao
cho v
n+1
= 2.u
n+1
– u
n
là một cấp số cộng. Xác định v
1
và công sai d của (v
n
)?
8. Cho dãy số (u
n
) thỏa mãn: u
n
– u
n+1
+ 3 = 1 / [n(n + 1)] với mọi n thuộc N*
a) Chứng minh rằng dãy số (v
n
) sao cho

n n
1
v u
n
= −
với mọi n thuộc N* là một cấp số cộng
b) Từ đó, tìm số hạng tổng quát của dãy (u
n
) biết u
1
= 2.
9. Chứng minh rằng trong ΔABC: cot A, cot B, cot C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khia
a², b², c² theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
10. Cho cấp số cộng (u
n
). Chứng minh các hệ thức sau:
a) u
n–k
+ u
n+k
= 2u
n
với 1 ≤ k < n
b) S
6n
= 3(S
4n
– S
2n
)

c) (q – r)u
p
+ (r – p)u
q
+ (p – q)u
r
= 0
d) u
1
+ u
n
= u
k
+ u
n–k+1
.
e) S
n+3
+ 3S
n+1
= 3S
n+2
+ S
n
.
f)
1 2 2 3 n n 1 1 n 1
1 1 1 n

u u u u u u u u

+ +
+ + + =
với mọi n thuộc N*
11. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng:
(i) a² + 2bc = c² + 2ab; (ii) 8b³ – a³ – c³ = 6abc
12. Cho các số a, b và a+b khác 0 sao cho
1 1 1
, ,
a a b b+
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính tỉ số a² / b²
Dạng 4. Cấp số nhân.
1. Cho cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, … Tính số hạng đầu u
1
, công bội q, số hạng u
n
, tổng n số hang đầu S
n
.
2. Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân (u
n
) biết:
a)
7
10
u 5
u 135
= −


=


b)
10
15 7
u 32 2
u 16u

=


=


c)
4 2
5 3
u u 54
u u 108
− =


− =

d)
2 4 6
3 5
u u u 91
u u 30
+ + =



+ =

Trang 7
3. Cho a, b > 0. Hãy chèn 5 số vào giữa hai số
b a
,
a b
sao cho dãy trên là một cấp số nhân?
4. Tìm x, y biết rằng
a) x, y, 12 lập thành một cấp số nhân và x, y, 9 lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó?
ĐS: (3; 6) và (27; 18)
b) 1, x², y² lập thành một cấp số cộng và 2, x + 2, y – 3 lập thành một cấp số nhân theo thứ tự đó
5. Tìm x biết rằng ba số cos (x – π/4), sin x, cos (x + π/4) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân?
6. Cho cấp số nhân x, y, z. Tìm x, y, z biết:
a) xyz = 64 và x³ + y³ + z³ = 584
b)
1 1 1
14
x y z
+ + =
và xy + yz + zx = –7/108
c) x < y < z, xyz = 216 và x + y + z = 19
7. Tính các tổng sau:
a) A = 1 + 2014 + 2014² + … + 2014
n
.
b) B =
n
n

1 1 1 ( 1)

2 4 8
2
−
− + − + +
với n thuộc N*
c) C = 1 + 2.3 + 3.3² + … + 2015.3
2014
.
d) D =
2 2 2 n 2
2 n
1 1 1
(x ) (x ) (x )
x
x x
+ + + + + +
với x ≠ –1, 0, 1
e) E = x + 2x² + 3x³ + + nx
n
.
8. Cho ΔABC có sin A, sin B, sin C theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và C – A = 60°. Tính góc B?
9. Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x² – x + A = 0 và x
3
, x

4
là hai nghiệm của phương trình:
x² – 4x + B = 0. Tính A, B biết rằng x
1
, x
2
, x
3
, x
4
lập thành một cấp số nhân tăng?
10. Cho cấp số cộng (u
n
) và cấp số nhân (v
n
) thỏa mãn: u
1
= v
1
= 2, u
2
= v
2
, v
3
= u
3
+ 4. Xác định cấp số
cộng và cấp số nhân đó.
10. Cho cấp số cộng dương (u

n
) và cấp số nhân dương(v
n
) thỏa mãn: u
1
= v
1
và u
2
= v
2
. Chứng minh v
n
≥ u
n

với mọi n thuộc N*.
11. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 2, u
n+1
= 3 + 4u
n
.
a) Đặt v
n
= u
n

+ 1. Chứng minh rằng dãy số (v
n
) là một cấp số nhân? Tìm công thức của v
n
?
b) Tìm công thức tổng quát của u
n
?
12. Chứng minh rằng
a) Nếu x, y, z lập thành một cấp số nhân thì xy, y², zy cũng lập thành một cấp số nhân.
b) Nếu bốn số dương x, y, z, t lập thành một cấp số nhân thì ba số xy, yz, zt cũng lập thành một cấp số nhân.
13. Cho cấp số nhân (a
n
) có công bội q ≠ 1. Chứng minh rằng
a) Dãy số
n
1
( )
a
là cấp số nhân và tính công bội của nó?
b) Dãy số (v
n
) sao cho v
n
= a
n+2
/ a
n
là cấp số nhân và tính công bội của nó?
14. Cho (u

n
) là một cấp số nhân với công bội q. Chứng minh rằng
a) u
1
u
n
= u
k
u
n–k+1
với 1 ≤ k < n
b) S
m
+ q
m
.S
n
= S
n
+ q
n
.S
m
, với mọi m, n thuộc N*.
15. Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh rằng
a) (x + y + z)(x – y + z) = x² + y² + z²
b) x² + 4z² – 4xy + 8yz = (x– 2y– 2z)²
c)
( x y z)( x z y) x y z+ + + − = + +
với x, y, z là 3 số dương

Trang 8