chương 4 giới hạn dãy số hàm số

GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. Lý thuyết
+ Nếu
n n
u v
<
với mọi n, lim v
n
= 0 thì lim u
n
= 0
+ lim u
n
= L →
n
lim u L
=
+ lim u
n
= L →
3
3
n
lim u L=
+ lim u
n
= L, u
n
> 0 với mọi n → L > 0 và
n
lim u L=

+ Với q < 0 thì
( )
n
2 n
1 1
1 1 1 1
u (1 q ) u
S lim u u q u q u q lim
1 q 1 q
−
= + + + + = =
− −
+
n
n
1
lim u lim 0
u
= +∞ ⇒ =
+
1
lim 0
n
=
+ lim q
n
= 0 nếu
q 1
<
+

k
1
lim 0
n
=
với mọi k > 0
+ lim n
k
= +∞ với mọi k > 0
+ lim q
n
= +∞ nếu q > 1
+ lim u
n
= L thì lim (k.u
n
) = k.L
+ lim u
n
= L, lim v
n
= M thì lim (u
n
+ v
n
) = L + M
+ lim u
n
= L, lim v
n

= M thì lim (u
n
.v
n
) = L.M
+ lim u
n
= L, lim v
n
= M ≠ 0 thì lim (u
n
/ v
n
) = L / M
B. Bài Tập
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a.
2n 1
lim
n 1
+
+
b.
2
2
3n 4n 1
lim
2n 3n 7
− + +
− +

c.
3
3
n 4
lim
5n n
+
+
d.
3
n(2n 1)(3n 2)
lim
2n 1
+ +
+
e.
2
n 1
lim
n 2
+
−
f.
3
n(n 1)
lim
(n 4)
+
+
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:

a.
n 1
lim
n 1
+
+
b.
3
3
n n 2
lim
n 2
+ +
+
c.
3
2 3
2
n n 1 n n
lim
n n 1 3
+ + +
+ +
d.
2
n 4
lim
n 2
+
−

e.
3 23
2
n 3n 2
lim
n 4n 5
+ +
− +
Bài 3. Tìm các giới hạn sau:
a. lim(
n 1 n+ −
) b.
2 2
lim( n 5n 1 n n)+ + − −
c.
2 2
lim( 3n 2n 3n 4n 8)
+ − − +
d.
2
lim( n 4n n 1)
− − −
e.
2
lim(n n 3)
− +
f.
3
2 3
lim( n n n)

− +
g.
3 3
lim( n n 1)− +
h.
3 2 23
lim( n 3n 1 n 4n)
− + − +
Bài 4. Tìm các giới hạn sau:
a.
n
n
1 4
lim
1 4
−
+
b.
n n 1
n 2 n
3 4
lim
3 4
+
+
−
+
c.
n n n
n n n

3 4 5
lim
3 4 5
− +
+ −
Bài 5. Tìm các giới hạn sau:
a.
sin n
lim
n 1
π
+
b.
2
sin10n cos10n
lim
n 2n
+
+
Bài 6. Tìm các giới hạn sau:
a.
2
1 3 5 (2n 1)
lim
3n 4
+ + + + +
+
b.
2
1 2 3 n

lim
n 3
+ + + +
−
c.
1 1 1
lim[ ]
1.2 2.3 n(n 1)
+ + +
+
d.
2 2 2 2
1 2 3 n
lim
n(n 1)(n 2)
+ + + +
+ +
Bài 7. Tính các giới hạn sau:
a.
n
n
1 1 1
lim[1 ( 1) ]
3 9 3
− + − + −
b. lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3
n
)
Bài 8: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số
a. 1,1111 b. 2,3333 c. 0,2222

d. 0,212121…. e. 0,23111
GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. Lý thuyết:
+
0
0
x x
lim x x
→
=
+
x
1
lim 0
x
→±∞
=
+
k
x
1
lim 0
x
→±∞
=
với k > 0
+
k
x
lim x

→+∞
= +∞
với k > 0
+
( ) ( ) ( )
0
0 0
x x
x x x x
lim f x L lim f x lim f x L
− +
→
→ →
= ⇔ = =
+
o o
x x x x
lim[cf(x)] c lim f (x)
→ →
=
+
[ ]
o o o
x x x x x x
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
→ → →
+ = +
+
[ ]
o o o

x x x x x x
lim f (x)g(x) lim f (x). lim g(x)
→ → →
=
+
o
o
o
x x
x x
x x
lim f (x)
f (x)
lim
g(x) lim g(x)
→
→
→
=
nếu
o
x x
lim g(x) 0
→
≠
B. Bài tập:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a.
2
x 3

x 9
lim
x 3
→
−
−
b.
2
2
x
2x 9
lim
x 4
→+∞
−
+
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
a.
( )
2
x 2
lim 2x 3x 5
→
− − +
b.
x 1
5x 2
lim
x 1
→

+
+
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
a.
3
x
lim (x 2x)
→+∞
+
b.
3
x
lim (x 2x)
→−∞
−
c.
2
2
x
5x 3x 1
lim
2x 3
→+∞
+ +
+
d.
4 2
4
x
x 5x 1

lim
2x 3
→−∞
+ +
+
e.
2
3
x
3x 1
lim
2x 5
→+∞
+
+
f.
2
3
x
3x 1
lim
2x 5
→−∞
+
+
g.
2
x
x 2x 2
lim

x 1
→+∞
+ +
+
h.
2
x
lim x 2x
→+∞
+
i.
2
x
4x 1
lim
3x 1
→−∞
+
−
j.
4
2
x
3x x 5x
lim
2x 4x 5
→+∞
+ −
+ −
k.

2
2
x
x 3 4x
lim
4x 1 x
→−∞
+ +
+ −
l.
2 2
x
9x 1 4x 2x
lim
x 1
→+∞
+ − +
+
Bài 4. Tìm các giới hạn sau:
a.
2
x 3
5x 3
lim
x 6x 9
→
−
− +
b.
x 3

x 2
lim
x 3
−
→
+
−
c.
2
x 2
x 5x 2
lim
x 2
+
→
+ +
−
Bài 5. Cho hàm số:
2
2x 3x 1, x 2
f (x)
3x 7, x 2

+ − ≥
=

+ <

Tìm các giới hạn sau:
a.

x 1
limf(x)
→
b.
x 3
limf (x)
→
c.
x 2
limf (x)
→
Bài 6. Cho hàm số:
2
1 2x , x 1
f (x)
5x 4, x 1

− <
=

+ ≥

Tìm các giới hạn sau:
a.
x 0
limf(x)
→
b.
x 3
limf (x)

→
c.
x 1
limf (x)
→
Bài 7. Tìm các giới hạn sau
a.
2
x 3
x 2x 15
lim
x 3
→
+ −
−
b.
2
2
x 1
x 2x 3
lim
x 1
→
+ −
−
c.
2
2
x 2
x 3x 2

lim
x x 6
→
− +
+ −
d.
4 4
x a
x a
lim
x a
→
−
−
e.
5
3
x 1
x 1
lim
x 1
→−
+
+
f.
( )
6 5
2
x 1
4x 5x x

lim
1 x
→
− +
−
Bài 8. Tìm các giới hạn sau:
a.
x 1
x 1
lim
x 1
→
−
−
b.
2
x 3
x 1 2
lim
x 9
→
+ −
−
c.
2
x 2
2x 5 7 x
lim
x 2x
→

+ − +
−
d.
3
x 2
4x 2
lim
x 2
→−
+
+
Bài 9. Tìm các giới hạn sau:
a.
3
x 0
1 1 x
lim
3x
→
− −
b.
x 2
x x 2
lim
4x 1 3
→
− +
+ −
c.
3

2
x 1
x 1
lim
x 3 2
→−
+
+ −
d.
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
→
+ −
−
e.
3
x 0
1 x 1 x
lim
x
→
+ − −
f.
x 0
x 1 x 4 3
lim
x

→
+ + + −
g.
x 0
x 9 x 16 7
lim
x
→
+ + + −
h.
( )
3
2
3
2
x 1
x 2 x 1
lim
x 1
→
− +
−
Bài 10: Tìm các giới hạn sau
a.
2
x
lim ( 4x 2x 2x)
→+∞
+ −
b.

2
x
lim (2x 1 4x 4x 3)
→+∞
− − − −
c.
2 2
x
lim ( x x 1 x x 1)
→+∞
− + − + +
d.
3
3
x
lim ( x 1 x)
→+∞
+ −
e.
3
2 3
x
lim[x ( x 1 x)]
→+∞
+ −
f.
3 2 33 3
x
lim ( x 5x x 8x)
→+∞

+ − +
Bài 11: Tìm các giới hạn sau
a.
3
x 1
1 3
lim( )
1 x 1 x
→
−
− −
b.
2
x 1
2 1
lim( )
x 1 x 1
→
−
− −
c.
2 2
x 1
1 1
lim( )
x 3x 2 x 5x 6
→
−
− + − +
HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x
o
.
a. f(x) =
2
x 25
khi x 5
x 5
9 khi x 5

−
≠

−


=

tại x
o
= 5 b.
( )
x 5
khi x 5
2x 1 3
f x
3
khi x 5
2
−


>


− −
=


≤


tại x
o
= 5
c.
1 2x 3
khi x 2
f (x)
2 x
1 khi x 2

− −
≠

=

−

=


tại x
o
= 2 d.
3
3x 2 2
khi x 2
x 2
f (x)
3
khi x 2
4

+ −
≠


−
=


=


tại x
o
= 2
e.
4 2
x x 1 khi x 1
f (x)

3x 2 khi x 1

+ − ≤ −
=

+ > −

tại x
o
= –1 f.
( )
2
x khi x 0
f x
1 x khi x 0

<

=

− ≥


tại x
o
= 0
Bài 2: Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R
a.
2
x 2x 3

khi x 1
f (x)
x 1
4 khi x 1

+ −
≠

=
−


=

b.
3
3
x x 2
khi x 1
x 1
f (x)
4
khi x 1
3

+ +
≠ −


+

=


= −


Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục trên R
a.
2
x khi x 1
f (x)
2ax 3 khi x 1

<
=

− ≥

b.
2 2
a x khi x 2
f (x)
(1 a)x khi x 2

≤
=

− >

Bài 4: Cho hàm số f(x) =

3 2
x 2x 5 khi x 0
4x 1 khi x 0

+ − ≥

− <

Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định.
Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục tại x
o
.
a. f(x) =
2
x 2 2
khi x 2
x 4
a khi x 2

+ −
≠


−

=

tại x
o
= 2 b.

1 x 1 x
khi x 1
x 1
f (x)
4 x
a khi 1
x 2

− − +
<


−
=

−

+ ≥

+

tại x
o
= 1
Bài 6: Chứng minh rằng phương trình x³

+ 3x² + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0; 1)
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình x³ – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 8: Chứng minh rằng phương trình x
5

– 3x
4
+ 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong
khoảng (–2; 5)
Bài 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ax² + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax² + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d) cos x + m cos 2x = 0
Bài 10: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt
a) x² – 3x + 1 = 0 b) x³ + 6x² + 9x + 1 = 0