Khóa luận tốt nghiệp toán Hàm tử Hom và dãy khớp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁN
TÀO THI DUYÊN
HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •
Chuyên ngành: Đại số
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Sau một thòi gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn
sinh viên, khóa luận của em đã hoàn thành. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đõ của các thầy cô
ữong khoa toán, các thầy cô trong tổ đại số đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian em làm
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 1 K36B-Sưphạm Toán
khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô giáo, TS. Nguyễn Thị Kiều
Nga - người đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thòi gian cũng như kiến thức, tài liệu, nên
khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận đươc sự đóng góp ý kiến của các
thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014

Sinh viên Tào Thị Duyên
LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình thực hiện khóa luận ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận được sự chỉ
bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Kiều Nga. Em xin cam đoan khóa luận này
là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014

Sinh viên Tào
Thị Duyên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng ưong toán học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát
triển của toán học hiện đại. Vói nhu càu học hỏi của sinh viên khoa toán và nhiều người khác quan
tâm đến toán học nói chung và đại số nói riêng thì việc nghiên cứu môn đại số cần có sự hiểu biết
một cách sâu sắc về các cấu trúc đại số.
Các cấu trúc đại số bao gồm nhóm, vành, trường, môđun, .Trong đó “môđun” là một trong
những khái niệm quan trọng nhất của đại số hiện đại. Một trong những ứng dụng quan ttọng khi
nghiên cứu lý thuyết môđun là xét dãy các R - đồng cấu mà thỏa mãn tính chất ảnh của đồng cấu
vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra, khi đó ta có dãy khớp.
Qua quá trình học tập và nghiên cứu, em thấy dãy khớp có ứng dụng rất rộng rãi. Trong đại
số, dãy khớp và các tính chất của nó được sử dụng nhiều khi nghiên cứu về tích Tenxơ, hàm tử
Hom, Trong Tôpô đại số, giải tích hàm thì nghiên cứu dãy khớp tôpô, dãy khớp ngắn của ánh xạ
tuyến tính giữa các không gian như không gian Frechet, Ngoài ra, dãy khớp còn có ứng dụng
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 2 K36B-Sưphạm Toán
trong nhiều ngành khác. Vì vậy em chọn đề tài “Hàm tử Hom và dãy khớp” để thực hiện khóa luận
tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiền cứu
Bước đàu làm quen vói công tác nghiên cứu khoa học đồng thời muốn đi sâu, tìm tòi, nghiên
cứu về dãy khớp, hàm tử Hom và dãy khớp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sử dụng kiến thức môđun và dãy khớp để nghiên cứu hàm tử Hom và dãy khớp.
4. Phương pháp ngỉên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng họp và đánh giá.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phàn Mở đàu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,nội dung của khóa luận được chia làm hai
chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Nội dung chủ yếu của chương này là trang bị những kiến thức cơ bản về môđun.
Chương 2: Hàm tử Hom và dãy khớp.

Ở chương này đưa ra một số định lý, hệ quả có tính chất quan trọng, một số nhận xét khái
quát về dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp chẻ ra, hàm tử Hom, hàm tử Hom và dãy khớp và một
số bài tập ứng dụng.
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 3 K36B-Sưphạm Toán
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BI
1.1. Môđun, mô đun con, môđun thương
1.1.1. Môđun
1.1.1.1. Định nghĩa
Cho R

là vành giao hoán có đơn vị 1. M

là một nhóm cộng Abel. M

gọi là
một môđun trái trên R

hay R

- môđun trái nếu tồn tại ánh xạ ( gọi là tích vô hướng
trên R)
f:RxM —>M (a,x) I—>
thỏa mãn các điều kiện sau:
ịa+J3)x = ax+J3x
a(x+y) = ax+ay {aP)x = aị

K

fĩx) l.x = x

Với mọi a,p&R

và mọi x,yeM.
Tương tự, một môđun phải trên R

hay R -

môđun phải là một nhóm Abel cộng
cùng với một ánh xạ
f :M xR—>M
(x,a) I—>
ứiỏa mãn các điều kiện sau:
xịa + p} = xa + xfi (x + y)a = xa + ya
^ — ( xa) p x.l-
x
Với mọi a,P&R

và mọi x,y eM .
Nhận xét:

Nếu R

là vành giao hoán thì khái niệm R

- môđun trái trùng với khái
niệm R

- môđun phải.
Sau đây ta chỉ xét R

- môđun trái và gọi chúng là R -

môđun.
I.I.I.2. Tính chất
ChoM

làR -

môđun, với mọi a,p&R,

mọi X,ỵ

eM

ta có:
a) Q’,Ũ.Q
M
0
M
b) a.(-x) - (~a).x — —ax
c) {a—b)x = ax — bx
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 4 K36B-Sư phạm Toán
d) a{x — y) = ax — ay
I.I.I.3. Ví du về môđun
■
Vídụl
Mỗi không gian vectơ trên một trường K

là một môđun trên K

và ngược lại.
Nhận xét'.

Khái niệm môđun là khái niệm tổng quát của không gian vectơ. Ví
dụ 2
Mỗi nhóm Abel cộng M

đều là

z -

môđun Thật
vậy, mọiX&M,n

eZ Ta đặt
n>0 n-
0 n <
0
Do đó nx&M.
Do đó ánh xạ
z M
(n,x) 1-^
xác định và thỏa mãn 4 điều kiện của môđun.
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 5 K36B-Sư phạm Toán
Nhận xét

: Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết nhóm Abel.
Ví dụ 3

Giả sửX

là vành bất kỳ với đơn vị 1 vài? là vành giao hoán củaX

chứa 1. Khi đó,
với mọi a

€ R

và mọi X e X .
RxX^>X (ia,x

) h->
xác định, thỏa mãn 4 điều kiện của môđun. Do đó, mọi vành giao hoán có đơn vị là
một môđun trên chính nó.
Nhận xét:

Lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết vành.
Ví dụ 4
Cho R

là vành giao hoán có đơn vị, /?[jc]là vành đa thức ẩn X. Với
phép cộng hai đa thức thông thường và phép nhân đa thức với các vô hướng xác định
bởi
/ (x) = a

0

+

aiX +

+a

n

x

n

af(x) = aa

0

+ ac^x

+ + aa

n

x

n
Vói mọi -R.
Khi đó R[x\

là R -

môđun.
Ví dụ 5:
Cho R

là vành có đợn vị.
Kí hiệu: Rn ={(ai,a2,-;an)\ai£R },n^N*.
Trên R

n



xác định hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau:
u^ = (”'+hu ,an + bn)
^ (ữlỉ ữ2v,,,íứn) (ữữlỉ CLữ 25 ••••? dữ rì)
với mọi aeR\(ai,.:;a

n

)>{bi,—;bn)eR

n



’

Khi đó, R

n

là nhóm cộng Abel và thỏa mãn
4 điều kiện của R - môđun. Vì thế R

n



ìầR -

môđun.
1.1.2. Môđun con
1.1.2.1. Định nghĩa
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 6 K36B-Sưphạm Toán
Cho MỉầR-

môđun, N

c= M ,N

gọi là môđun con của M

nếu N

là R

- môđun

với hai phép toán cảm sinh.
1.1.2.2. Điều kiện tương đương
Cho M

làR

- môđun, N ^ 0 , N . Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
i) NỉầR-

môđun con của M
ii) Vói mọi a&R,

mọi jt,}>eAfthì x+y&N, ax&N.
iii) Với mọi a,p&R,

mọi x,ỵ G. N

thì ax + /3y

G N
1.1.2.3. Ví du về môđun con Vídụl
Cho M ỉầR-

môđun tìủ M

có ít nhất 2 môđun con là M

và môđun {0}. Ví dụ 2
■
Nếu M

là một nhóm Abel cộng, xem như một T' - môđun thì các môđun con của
nó là các nhóm con của nhóm cộng Abel M.
Ví dụ 3
Cho R

là vành giao hoán có đơn vị 1 thì mọi idean của R

đều là môđun con của
R.
1.1.2.4. Tính chất
Giao của một họ bất kì các môđun con của M

là một môđun con của M. Nhân xét

:
Họp của một họ bất kì các môđun con của M

nói chung không
là môđun con của M.
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 7 K36B-Sưphạm Toán
- Nếu MỉầR-

môđun, yNi)

đều là các môđun con củaM

thỏa mãn
Vỉ, j el , 3 k el sao cho N i c Nk và Nj c Nk thì u là một môđun con của M.

1.1.2.5. Tồng của một họ môđun con
Cho M

là R

- môđun, ^ Ni

) là một họ các môđun con của M.

Khi
đó, môđun sinh bỏi|J được gọi là tổng của một họ các môđun con
(W'L-
Kí hiệu: £iV,.
ỉ'e/
Nhân xét:
- Ta có ^NịlầR -

môđun con của M

và đó là môđun con bé nhất
ie/
của M

chứa các môđun con ; e I.

- Nếu I =

{ 1 , 2 n } thì ta viết là ^Nị
i =1
Đặc biệt:

+) Nếu Ni ^ N2 thì N1 + N2 = {N1 u N2) ={Ni) = N1
+) Nếu N

là môđun con của M

thì /at' '
1
W\ = ÌM)=M
+) Ar+{o} = (Nu{o}) = (jv)=;v
1.1.3. Môđun thưoug
I.I.3.I. Xây dựng môđun thương
Giả sử M

là một R

- môđun và N

là một môđun con của nó. Khi đó,
Mỵ^j = ịx +

N\XGM} là một nhóm Abel cộng với phép cộng trong
được định nghĩa như sau:
(x + N) + (y + N) = x + y + N

Trên xác định
phép nhân vô hướng như sau:
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 8 K36B-Sưphạm Toán
Với mọi a&R,

mọi X + N

e thì
a(x + N) = ax + N.
Khi đó, Mỵ/

là R

- môđun.
Thật vậy, vói mọi cc,J3gR,

mọi X + N,y+N

tacó
/ 'ĩ<ĩ\

—ry(x + V) + N = ax + ay + N
-~ + N + ay + N
'" + N)
{a + 0)(x + N) = {a + Ị3)x + N =ax + Ịĩx + N
= ax + N + fix + N = a(x + N) + /3(x

+ N)
+) ' fírì

+ N = aĩfi(x + N)]
+) l.(x + N) = l.x + N = x + N
gọi là môđun thương của môđun M

theo môđun con N.

I.I.3.2. Định nghĩa
Cho N

là một môđun con của một R

- môđun M.

Khi đó, R

môđun
được xây dựng như trên gọi là môđun thương của M

theo N.

Phần tử X +
N

của thường được ký hiệu là X

và được gọi là ảnh của X

trong
'V
V-
Nhận xét:
Nếu p

là một môđun con của M

chứa N thì R -

môđun thương là
một môđun con của ■
I.I.3.3. Ví dụ về môđun thương Ví dụ 1
Cho M

là R

- môđun, tồn tại các môđun con {0} và M.

Do đó tồn tại các môđun
thương
M
/
M
={X + M\X<EM} = {M\X<EM} = {M}
^/ịóị
=
{{0} + -* Ie Af I = {jc IJC e Af } = M
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 9 K36B-Sưphạm Toán
Ví dụ 2
Cho R

là vành có đơn vị thì R

là R -

môđun. Ả

là idean của R

thì A Là R

- môđun
con của R.

Khi đó, tồn tại môđun thương
R
/
A
= {X + A\X&R)
Ví dụ 3
Q là z - môđun, z là nhóm cộng của Q nên z là môđun con của 0. Khi đó, tồn tại
môđun ứiương ^ Q chỉ gồm các
phần lẻ của các số hữu tỉ.
1.2. Môđun sinh bởi một tập, môđun hữu hạn sinh
1.2.1. Định nghĩa
Cho M

là R -

môđun, - M,

giao của tất cả các môđun con của M
chứa s

là một môđun con của M

chứa s

(đó là môđun con nhỏ
nhất của M

chứa tập hợp con s

đã cho). Môđun này được gọi
là môđun con sinh bởi tập s

và kí hiệu là (5)
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 10 K36B-Sưphạm Toán
(S) = P| ( với Ma là các môđun con của M

chứa S)
- Nếu (5) = M thì s là tập sinh của M hay M được sinh bởi s.
- Nếu ịS) — M

và s

hữu hạn thì M

gọi là môđun hữu hạn sinh.
Đặc biệt:
- Neu M

= (s) = ({«}) = (a)

thì M

gọi là môđun xyclic.
-Nếu 5=0 thì (0) = {o).
-Nếu 5=Mứù (M)=M.
r «u 1
- Nếu s ^0thì l'v-eÄ,flie5 .
1.2.2. Điều kiện tương đương với môđun hữu hạn sinh
R -

môđun M

hữu hạn sinh khi và chỉ khi đối với mỗi tập 1 ’ €/}
các môđun con của M

thỏa mãn M =^Aị

đều tồn tại một tập con hữu
/e/
hạn/o c= I

sao cho M =

SA-
h
Chứng minh
=>) Giả sử M

là hữu hạn sinh. M

= U^R + U

2

R

+ + u

n

R.

Vì M

=
ie/
nên mỗi phần tử Uịỉầ

tổng hữu hạn của các phần tử thuộc A.

nên tồn tại một tập
con hữu hạn /o c I

để
WI5W2»""íMb ^ ỵ4<=M.
/0
Vậy M - .
/0
<=) Xét tập hợp các môđun con dạng ịaR

I a

ẽMỊ . Khi đó, theo giả thiết, tồn tại tập
hữu hạn {ai,a2>—,fl„} sao cho M = a^R + a

2

R + + a

n

R.

Điều này chứng tỏ M
là hữu hạn sinh.
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 11 K36B-Sư phạm Toán
1.3. Đồng cấu môđun
1.3.1. Định nghĩa
Cho M, N

là các R -

môđun, ánh xạ / :M

—»iV gọi là đồng cấu
môđun (hay R

- đồng cấu hoặc ánh xạ tuyến tính) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
Với mọi aeR,

mọi a,b

eM
f{a + b) = f(a) + f{b) f(aa) = af(a)
- Nếu một đồng cấu môđun đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứng
được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu môđun.
- Cho M, N

là các R -

môđun, M

là môđun con của N,

khi đó ánh xạ
f \M —>N a }
là một đồng cấu thì nó được gọi là đồng cấu bao hàm.
Đặc biệt
f:M -+M
a

1-^
là một đồng cấu gọi là đồng cấu đồng nhất.
- Nếu '^ = {0} thì/được gọi là đồng cấu không, thường được
viết là 0.
- Kí hiệu:
Kerf =

{XGM \ f(x)

= 0} = /_1(0)gọi là hạt nhân của/.

Im/ = {/(x) IX

} = f(M

)gọi là ảnh của/.
Cơker/ = ^/Jmf

ỖPĨ là đối hạt nhân của/.
Coimf — M/g ự

gọi là đối ảnh của/.
1.3.2. Điều kiện tương đương
Cho M, N

là R

- môđun, ánh xạ /: M

—» N

là R -

đồng cấu môđun
khi và chỉ khi f(ax + Ị3y)

= af(x) + /3f(y\ya,Ị3&R,\/x,y&M

.
1.3.3. Ví dụ về đồng cấu môđun Ví dụ
1

Cho M

là R -

môđun, ánh xạ đồng nhất
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 12 K36B-Sư phạm Toán
id

:M ->M
X l->
là một tự đẳng cấu của M.
Ví dụ 2
■
Cho M

là R -

môđun, N

là môđun con của M.

Ánh xạ
X
là toàn cấu môđun.
Ví dụ 3
Cho M

làR -

môđun, a<=R.

Khi đó ánh xạ
• M —>M
là một tự đồng cấu của M.
1.3.4. Tính chất Tính
chất 1
Cho/: L —»Ảf và g:M

—» là những đồng cấu môđun, thì hợp
thành g

° của chúng cũng là một đồng cấu môđun .
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 13 K36B-Sư phạm Toán
Tính chất

2
Cho /: M

—»N là R

- đồng cấu. A

là môđun con của M, B

là môđun con của N.


Khi đó:

/(A) = {/(*) IX

E Àị

là môđun con của N
f~

l



(B) = {xeM \

/(x)

e B

}là môđun con củaM
Đặc biệt:
Kerf

- {x e M \ f(x) - 0} -

/_1(0) là môđun con của M

Im/ = {/
(jc) I Jt e M

} = /(M) là môđun con của N Tính chất 3
f

là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf

=

{o}
/ là một toàn cấu khi và chỉ khi Im/ = N Tính chất 4
Cho M, N

là các R -

môđun, là R

-

đồng cấumôđun.
Khi
đó, các điều kiện sau tương đương
ì)f = 9
ii) Im/ = N
iii) Kerf=M
Tính chất 5

(Định lý cơ bản)
Cho /: M

—»AHà R -

đồng cấu, Ker/ là môđun con của M

và
p:M

—» M/g rị

là toàn cấu chính tắc. Khi đó, tồn tại duy nhất R -

đồng cấu /: ^ r
sao cho f.p

= f

tức biểu đồ sau giao hoán:
Hệ quả 1
Tính chất 6

(Định lý cơ bản tổng quát)
Cho f :M —>Nỉầ R

- đồng cấu, A là môđun con của M, B

là
N
Hệ quả
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 14 K36B-Sưphạm Toán
môđun con của N

sao cho f(A)

cổ-P

A

'-M

— » v à P

B

:N

— » l à
các toàn cấu chính tắc. Khi đó, tồn tại duy nhất R -

đồng cấu
Hệ quả 3
Cho A

là R -

môđun con của B

và B

là R -

môđun con của c. Khi đó
c/
C/-1A

B ~ B
A
Hệ quả 4
Cho B,

c là các R -

môđun con của A.

Khi đó, 7 ~ c/

n

£

Tính chất

7
Cho M, N, K

là các R -

môđun./ :M

—và g:N —>K

là các R

đồng
cấu. Khi đó, h = g°

là đồng cấu tầm thường nếu và chỉ nếu
Kerg.
M ________í______► N
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 15 K36B-Sưphạm Toán
' 4 / —
ỵ\ f
N
/
CHƯƠNG 2. HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP
2.1. Dãy khớp
2.1.1. Định nghĩa dãy khớp
Dãy các môđun và các R

- đồng cấu
: Mn >Mn-l — >Mn-2

>••••(*)
được gọi là dãy khớp nếu Im/ = Kerf

pVỚi mọi n.
2.1.2.Dãy khớp ngắn
2.1.2.1. Định nghĩa
Một dãy khớp bất kì dạng 0 >x

—>y—ẵ—>z >0 được
gọi là một dãy khớp ngắn.
2.1.2.2. Điều kiện tương đương của dãy khớp ngắn
Dãy khớp với 5 môđun 0—2—>X

— —
ẵ
— » z — > 0 ( * ) là dãy khớp
ngắn khi và chỉ khi / là đơn cấu, g

là toàn cấu, Im/ = Kerg . Chứne minh
Vì (*) là dãy khớp nên ta có ” ^ T—
f



- ^rọ\\mg = Kerh
flmẹ? = {0}\Kerf

={

0}
Lai có í =>\

suy ra / là đơn cấu và g

1:
[Kerh = z [ Img - Z
2.I.2.3. Ví dụ Ví
dụ 1
Cho M

là R

- môđun, N

là môđun con của M.

Đơn cấu
i:N

—» M v p:M

Yà
là toàn câu chính tăc.
A4

I n(x) = x + N} = N =Kerp

Ta
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 16 K36B-Sư phạm Toán
Lại có, i

là đơn cấu, p

là toàn cấu. Do đó ta có dãy khớp ngắn
0 >N—^M —^
M
/
N
>0
Ví dụ 2
Cho h: X

—»yià R

- đồng cấu. Cokexh

= là đối hạt nhân.
Xét dãy các R

- môđun và các đồng cấu
0—íữ-^Kerh—‘-^X—P-^Y/ĩmh~
ỈL_>0
(*ì-

Trong đó :
ỉ

: Kerh

—» X
v
p:Y^Y/ỉmh
+) Kerp -ysY

sao cho p(ỵ) = y +

Im/ỉ = Im/ỉ, vì thế y

G Kerp

’■

TrT1
h



Kerp = ỉmh

(3)
+) do p

là toàn cấu, suy ra Imp

= = Kery/

(4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra (*) là dãy khớp.
2.1.3. Tính chất của dãy khớp
Tính chất 1
Trong một dãy khớp tùy ý A

—1—>B

—-

—>c—^—>D

(*) của các
R

- đồng cấu, các phát biểu sau tương đương

a) / là một toàn cấu
b) g

là đồng cấu tầm thường
c) h

là đơn cấu Chứng minh
a b) Theo định nghĩa, / là một toàn cấu khi và chỉ khi Im/ = B.

Mặt khác, g

là
đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Kerg = B.

Vì (*) là dãy khớp nên ta có Im/ =
Kerg.

Do đó a <=> b.
b c) g

là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Im g = 0. Ta có /ỉ là đơn cấu khi và chỉ
khi Kerh

= 0 .Vì (*) là dãy khớp nên ta có Img = Kerh.

Do đó b c.
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 17 K36B-Sư phạm Toán
Hệ quả 1
Trong một dãy khớp tùy ý A

—
Í



—^B

—i—»c—^—>D

—t—>E

những đồng cấu
của các R -

môđun, c = 0 nếu và chỉ nếu/là một toàn cấu và k

là một đơn cấu.
Chứng minh
=>) Với c = 0 ta có g

và h

là những đồng cấu tầm thường. Do đó theo tính chất 1 thì f
là một toàn cấu và k

là một đơn cấu.
<=) Vì / là một toàn cấu, k

là một đơn cấu nên theo tính chất 1 ta có g

và h

là những
đồng cấu tầm thường nên Im g =0,Kerh =c.

Vì dãy là khớp nên ta có Img = Kerh
=>c = 0.
Hệ quả 2
Nếu dãy 0 >c >0 những môđun trên R

là khớp thì ta có c = 0.
Chứng minh
Giả sử dãy 0 >c

>0 (1) là khớp.
Do đó 0———^0—ẵ—»c—-—^0—-—^0. Ta có g

là đồng cấu tầm thường
nên / là toàn cấu, h

là đồng cấu tầm thường, suy ra k

là
đơn cấu. Do đó, c = 0 (theo hệ quả 1)
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 18 K36B-Sư phạm Toán
Hệ quả 3
Trong một dãy khớp tùy ý
A— » c —

ẵ
— » D — ^—>E— những đồng cấu của
những môđun ừên R.

Các phát biểu sau là tương đương:
a) g

là một đẳng cấu
b) / và h

là những đồng cấu tầm thường
c) d

là một toàn cấu và k

là một đơn cấu.
Chứng minh
a ^ b) Vì g

là một đẳng cấu suy ra g

vừa là đơn cấu, g

vừa là toàn cấu. Theo tính
chất 1, f và h

là những đồng cấu tàm thường. Do đó, aob.
b <=> c) Ta có / là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi d

là toàn cấu, h

là đồng
cấu tàm thường, điều này tương đương
%

là đơn cấu. Do đó, b c.
Hệ quả 4
Nếu dãy 0—»c—“—ỳD

—-—^0 những đồng cấu của R -

môđun là khớp thì g

là
một đẳng cấu.
Thật vậy, ta có Im/ = /(0) = 0. Do dãy trên khớp nên Im/ = Kerg

, suy ra Kerg =

0. Do đó, g

là đơn cấu. Img = Kerh = D

, suyra, g

là
toàn cấu. Vậy g

là đẳng cấu.
Tính chất 2

Cho biểu đồ nhữnp đồng cấu của "híĩ-ng môđun trên R
A

_____L

_____► B ______í

____► c ► D
thỏa mãn điều kiện hai dòng là khớp, ba hình vuông là giao hoán, a

là một toàn cấu, Y
là một đơn cấu thì ta có:
p r Ỏ
y r r ì
▼
ị I t
Ạ’ ► R’ ;—► r’ ► D’
/' 8 ti
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 19 K36B-Sư phạm Toán
à)

Im/? = g'_1(Imf) tí) Kerỵ

=
g{KerỊ3)
Do đó, nếu ỵỉầ

toàn cấu thì p

cũng là toàn cấu, nếu p

là một đơn cấu thì
g

là đơn cấu.
Chứng minh
Vì ba hình vuông là giao hoán nên ta có ba đẳng thức sau:
p°

°
Ỵ o o
8° °
a) Giả sử b'

e Im/? là tùy ý cho trước. Khi đó, tồn tại một phần tử b

€ B

với Ị3{tí) — b

'.
Do tính giao hoán của hình vuông thứ hai ta có
1 r~/I’\l,=Tmr=>£'eg'_1[lni7'].
Vì b

'là một phần tử tùy ý của Im/? nênlmyỡ c g'~

l

[ìmỵ

] (1)
Đảo lại, giả sử b' &g'~

l



Im/]. Khi đó,c' - g'{b')

Gỉmỵ.

Do đó, tồn tại một phần tử c

€
c

với ỵ(c) = c'.
Vì dòng dưới là khớp nên h'(c')

= 0. Do tính giao hoán của hình vuông thứ ba ta có:
ổ[h(c)] = h'[ỵ(c)] = h'(c

r

)

= 0.
Vì ổ

là đơn cấu, suy ra h(c)

= 0. Suy ra
rjr



‘-h =

Img (vì dòng trên là khớp).
Theo định nghĩa của Img, tồn tại một phàn tử b

e B

với g(b)=c.

Xét phần tử b' - /
3{b)

trong môđun B'.
Vì g'[b'

-J3(b)] = g’№ - g’[№] = c'-c' =

0
suy ra
b' - p{b)

G Kerg'

= Im/'.
Do đó, tồn tại một phần tử a'

GA' với f\a')=b'-/3{b).

Vì «là toàn cấu nên tồn tại một
phàn tử a

€ A

vói a(a) = a

'. Bây giờ, ta xét phàn tử f(a) + b

của môđun B.

Do tính
giao hoán của hình vuông một nên ta có: +

= J3[f(a

.)] + m = f'[a(a)] + m =
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 20 K36B-Sư phạm Toán
f\a') + m
=b'-m+m=b'
=>b'

e Im/?. Vì b'

là một phàn tử tùy ý của g'_1[Im/] nên ta được g,_1[Im^]<=Im yỡ
(2)
Từ (1) và (2) suy ra Im/? = ].
b) Giả sử ce Kerỵ ỵ(c)

= 0. Do tính giao hoán của hình vuông thứ 3 ta có ỏ[h(c)] =
h'[ỵ(c

)] = h'(

0) = 0 .
Vì ổ

là đơn cấu suy ra h(c

) = 0. Do đó
c

G Kerh

= Img (do dòng trên khớp).
Theo định nghĩa của Img, tồn tại một phần tử b eBvởig(b) = c.

Xét phần tử b'

=
Ị3(b) E B

'. Do tính giao hoán của hình vuông thứ 2 ta được
g\b')

= g'[№] = ỵ[g(b)] = ỵ(c) =

0 =>b'


G Kerg'

= Im/'(vì dòng dưới khớp).
Vậy tồn tại một phần tử a'

e A

với f'(á) - b'.

Vì a

là toàn cấu nên tồn tại một phần tử
a

€ Avới a(a) - a'.
Tiếp theo, xét phần tử b

-/(«)e5. Do tính giao hoán của hình vuông thứ nhất ta có
J3[b

- f(a)] = J3(b

) -J3[f(a)] = J3(b

) - f ’[a(a)] = b'-b’ =

0.
r

cz
KerỊ3.

Mặt khác ta có:
g[b-f(a)] = g(b)-g[f(a)] = c-0 = c.
=>CE g\Kerfĩ\.
Vì c

là phần tử tùy ý của Kerỵ

suy ra
Kerỵ cz g\Kerp\

(3)
Đảo lại, giả sử CG g[Kerj3].

Khi đó, tồn tại một phần tử b

eKerP

với
g(b) = c.

Do tính giao hoán của hình vuông thứ 2 ta có: r(c) = r[g(b)] =
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 21 K36B-Sư phạm Toán
g'[m]

= g\

0) = 0 => c <E Kerỵ.

Vì c

là một phần tử tùy ý của g[KerỊ3\

nên
g[Kerj3] c= Kerỵ. (4)
Từ (3) và (4) suy ra g\Kerp\

= Kerỵ.

Như vậy ta có điều phải chứngmiiứi. Hệ
quả
Cho biểu đồ những đồng cấu của những môđun 0 ► A
— ► B - ► c ► 0
thỏa mãn điều kiện hai dòng la khớp và hai hình vuông là giao hoán thì hai phát
biểu sau là đúng:
a) Nếu a

và ỵlầ

những đơn cấu thì Ị3

là đơn cấu
b) Nếu a

và ỵlầ

những toàn cấu thì /?là toàn cấu
Do đó đồng cấu /?là một đẳng cấu nếu a

và ỵỉầ

đẳng cấu
2.2. Dãy khớp chẻ ra
2.2.1. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun
2.2.1.1. Tích trực tiếp
Cho Mị

là các R

- môđun, ỉ'e/. Trên tậpỊ^M, = {(xi)

ieI

1Xi

G M,Ị
í'e/
xác định hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau:
a

(xi)
ieI
= {ax
i
)
ieI
vói (*L’ừiLeỊỊ^ae*
ie/
Khi đó, là R

-

môđun và gọi là tích trực tiếp của họ các môđun
r
y T
1
r Ỷ
0 ► A’ — ►
B’ 7—► C’ ► 0
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 22 K36B-Sư phạm Toán
(M,)M
Khil= {l,2, ,n} thì i — M1
X
M2
X
—■
x
Mn
iel

2.2.1.2. Tồng trực tiếp
Cho họ các môđun • Dãy(jc,-)ie/»jcieMigỌÌ là có giá trị hữu
hạn nếu X. =

0 hầu hết.
Kí hiệu: ®Mi là tâp các dãy (jCj). có giá hữu han. Khi đó ©Mi cùng
í'e/ isl
vói hai phép toán cộng và nhân vô hướng được xác định ở trên lập thành một R -
môđun và môđun này được gọi là tổng trực tiếp của họ các môđun {iiíi}jef.
Nhân xét:
- Tổng trực tiếp của họ các môđun {Mi}

J là môđun con của tích trực tiếp YỊMÌ
- Nếu I là hữu hạn thì khái niệm tổng trực tiếp trùng với tích trực
tiếp.
Định lý
ChoM, N, L

là các R

- môđun. Các đồng cấu / :M

—»iV và g:N

—» L. Nếu h = g°
là một đẳng cấu, thì ba phát biểu sau là đúng:
i) / là một đơn cấu
ii) g

là một toàn cấu

iii) Y = Im/ © Kerg
2.2.I.3. Hạng tử trực tiếp
Cho MlầR-

môđun, N

là môđun con của M.

Ta nói N

là một hạng tử trực tiếp của M
khi và chỉ khi tồn tại môđun con p

của M

sao cho
AT

ÉB p.

Khi đó, ta cũng nói p

là
môđun con phụ của N

trong M.
Nhận xét:
- Nếu M

là không gian vectơ hữu hạn chiều thì mọi không gian vectơ con của M

đều có
một không gian con phụ.
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 23 K36B-Sư phạm Toán
■'
L
+ j = 0 , j = l , n
Đặc biệt M -N@P<^>M -N + P,NniP-0
2.2.2. Dãy khớp chẻ ra
2.2.2.I. Định nghĩa
Ta nói rằng một dãy khớp >x

—»y—

s



-^>z

» là chẻ
ra tại môđun Y

nếu và chỉ nếu môđun con A =

Im/ = Kerg

của môđun Y
là một hạng tử trực tiếp của Y.

Tức tồn tại BczY

sao cho
Y = ĩmf®B = Kerg®B = A®B.
Nếu dãy khớp chẻ ra tại mỗi môđun không nằm ở hai đầu của nó thì
ta nói rằng nó chẻ ra.
Xét dãy khớp ngắn 0—^—>A

—1—>B

—ẩ—»c—>0 (1) Ta sẽ chứng minh (1)
chẻ ra tại A

và c nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại môđun B.

Chứng minh
Ta có, lmợ? = ẹ?(0) = 01à/? - môđun con củaA vàA = 0© A -\mọ® A.

Do đó dãy
khớp chẻ ra tại A.
Ta có Kerh = ĩmg =c

mà c = c©0^>c = Kerh

©0 = Img ©0 . Do đó dãy khớp
chẻ ra tại c. Vậy dãy khớp ưên chẻ ra nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại R -

môđun B.
2.2.2.2. Ví du

Cho M

và N

là những R -

môđun. Xét dãy các R -

môđun:
0 >M —® N—
E
—>N >0
Trong đó
i:M —>M ®N

p:M@N^N
yà / \ m

I—>ựn,n)
ỉ

là đơn cấu, p

là toàn cấu.
Ta có lmi = j(ra,0)| VmeẢfỊ=M
' - _oỊ = {fWx50)|meM|^ Imỉ' = Kerp.

Suy ra
(1) là dãy khớp ngắn. Lại c ó M ©N =

Imỉ' © N.

Suy ra dãy khớp (1) chẻ ra tại M

©
.
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 24 K36B-Sư phạm Toán
2.2.2.3. Định lý
Nếu một dãy khớp >x

—^>Y

—^—»z » (*)
những đồng cấu của những môđun trên R

chẻ ra tại môđun Y

thì
Y = ĩmf (&ĩmg.
Chứng minh
Vì dãy khớp (*) chẻ ra tại Y

nên f

© B.

Đặt Tm/ ta có
Y

= A®B

= A + B,An\B = {

0}. Ta chứng minh B

= Im^ .
Xét ánh xạ thu hẹp của ánh xạ g

vào môđun B

là ánh xạ
h = g |B:5—>z
g(x)
Do g

là đồng cấu môđun nên Mà R

- đồng cấu môđun.
Mặt khác, Kerg =ĩmf = A,AnB = {0}=>xeKerh^>xeB

(1). Lại có
X

GKerh

=^>h{x

):= g(x) = 0^ieKerg

. Mà Kerg

= Im/ = A

=>XGA (2)
Từ (1) và (2) suy ra X

G A

n B -

{0} => Kerh -

{0}. Suy ra h

là đơn cấu. Suy ra B =


Im/ỉ (**).
Ta chứng minh ĩmh =

Img .Thật yậy ĩmh

(= Img (1)
Vói mọi ^vì.Vy e7}, tồn tại một phần tử -7 sao cho
g(y) = z.
Vì ỵGY,Y = A + B^3aGA,ÒGB để ỵ = a + b.
Ta có: g(y) = g(a + b) = g(a) + g(b).VÌ ae A = lmf = Kerg.

Suy ra g(a) =

0. Vì b&B^> g(b) = h{b). Vậy z = g(y) = h(b)

= ĩmh. Suy ra Img czĩmh

(2)
Từ (1) và (2) ta có ĩmh

= Img .Vậy B = ĩmh

=Im g

=>z? = Img túc
Y = Im/ ® Img.
2.2.2A. Các hệ quả Hệ quả 1
Nếu dãy khớp ngắn 0—
Ĩ



—>A

—1—>B

—
§



—>C

—ỉíí—»0 (*) chẻ ra thì B =
A©C.
Chứng minh
r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
SV: Tào Thị Duyên 25 K36B-Sư phạm Toán