Khóa luận tốt nghiệp toán Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và áp dụng Maple trong tính toán

NGUYỄN THÀNH ĐẠT
MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN
ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP
DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN
KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC
• • • •
Chuyên ngành: Giải tích
NGUYỄN THÀNH ĐẠT
MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN
ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP
DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • •
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
’KHÒATOÁN’
HÀ NỘI -
Em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo đã quan tâm, dìu dắt
chúng em trưởng thành như ngày hôm nay. Trong suốt quá trình học tập tại khoa
Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 em đã tiếp thu được nhiều tri thức, kinh
nghiệm, phương pháp học tập và được làm quen với nghiên cứu khoa học. Đó là
một hành trang cần thiết cho em bước vào đời.
Em xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS. Khuất
Văn Ninh - người đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian qua để em
có thể hoàn thành được khóa luận này. Thầy là một tấm gương về sự nghiêm túc
trong công việc, hiểu biết về toán học và sự đam mê nghiên cứu khoa học. Nhờ đó
em đã có ý thức và trách nhiệm để hoàn thành khóa luận của mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thành Đạt

LỜI CẢM ƠN
Em xin cam đoan khóa luận là quá trình nghiên cứu của em dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh.
Các kết quả có trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không
trùng với kết quả của các tác gỉả khác.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác
giả đã nêu ừong mục tài liệu tham khảo.
Sinh viên
Nguyễn Thành Đạt
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI NÓI ĐẦU
Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác,
toán học chia thảnh toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Trong đó, Giải tích
số là một môn học quan trọng ừong toán học ứng dụng, môn học này thâm nhập
sâu vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học công nghệ, kĩ thuật và kinh tế.
Rất nhiều bài toán vật lý thường được giải bằng phương pháp phương trình
vi phân đều có thể giải một cách hiệu quả hơn bằng cách sử dụng phương trình
tích phân. Những bài toán như vậy xuất hiện rất nhiều trong những lĩnh vực ứng
dụng và những phương pháp được sử dụng trong khóa luận này sẽ rất hữu ích
trong toán học ứng dụng, vật lý toán và cơ lý thuyết.
Được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh cùng
với niềm yêu thích bộ môn “Giải tích số”, em đã lựa chọn đề tài cho khóa luận
tốt nghiệp của em là:
“ Một sổ phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và áp dụng Maple
trong tính toán”
Do bước đàu làm quen với nghiên cứu khoa học và sự hiểu biết còn hạn
chế của bản thân nên khóa luận này chắc chắn không ừánh khỏi những sai sót.

Em rất mong sự góp ý và cảm thông của các thầy cô giáo và bạn đọc để khóa
luận được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thành Đạt
Chương 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Không gian metrỉc
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp X =£0 cùng với một
ánh xạd:XxX —» K. thỏa mãn các tiên đề sau:
1) d(x, y) > 0,d(x, j) = 0 X = y, v ớ i m ọ i x , y g X ;
2) d(x,y) = d(y, X), với mọi x,y GX;
3) d(x,y)<d(x,z)+d(z,y), vớimọi x,y,zeX;
Ánh xạ D được gọi là metric trên X. số D(X,Y)ĐUỢc gọi là khoảng cách giữa hai
điểm X và Y. Các phần tử của X gọi là các điểm. Các tiên đề 1), 2),
3) được gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric ký hiệu là: M = (X,D).
Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm x
n
, n = 1,2, trong không gian metrỉc M =(X,d) gọi là
hội tụ tới điểm X
ữ
<=x khỉ n—>00, nếu
(Vs>0)(3n
0
gN n
0
) d(x
n
,x
0
)< s
Kỉ hiệu: li

mx
n -
x
0 hay X JC
0
khi n—> 00.
n->00
Điểm X
Ữ
còn gọi là giới hạn của dãy (*„) trong không gian M.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm ') trong không gian metric gọi
là dãy cơ bản trong M nếu
(Vf>0)(3n
0
eN I>n
0
) d{x
n
,x
m
)<s
Nói cách khác, ta có
Um d(x
n
,x
m
) = 0.
n,m—>00
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 1 . 4 . Một không gian metrìc M =(X,d) gọi là không gian đầy
(hay đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ tới một phần tử

trong X.
1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tỉnh định
chuẩn) là không gian tuyến tỉnh X trên trường p (P là trường sổ thực M. hoặc
trường sổ phức c) cùng với một ánh xạ từ X vào tập sổ thực M., kỉ hiệu
là I • I và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:
1) | | jf || > 0 với m ọ i X G X ;
2) 1*1 = 0 o x = ỡ (0 là kí hiệu phần tử không của X);
3) U|.||*| với mọi ~x và mọi sổ ~P\
4) ||x +j|| <||x|| + ||j|| VỚI MỌI X,Y GX;
Số 1*1 gọi là chuẩn của vector jc; Kí hiệu không gian định chuẩn là X\ Các tiên
đề 1), 2), 3), 4) là hệ tiên đề chuẩn.
Định lí 1.2.1. Cho X là một không gian định chuẩn. Với mọi X, y e X, đặt
d(x,y) = \\x-y\\
Khi đó d là một metric ừên X.
• Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.3. Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn X gọi là một dãy cơ
bản nếu
n,m—>cc
11
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 2 . 4 . Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = ||x — yll^. Khi đó X là một không gian
định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
• Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.2.5. Cho hai không gian tuyến tỉnh X và Y trên trường p (P là trường
số thực K. hoặc trường số phức c). A là ánh xạ tuyến tỉnh từ không gian X vào
không gian Y nếu thỏa mãn:
1) AỤt + y) = Ax + Ay với mọi X, y e X;

2) Aax - aAx với mọi x&X,aeP;
A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A
được gọi là toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử
thuần nhất.
Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tỉnh A từ
không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng sổ c > 0 sao cho
||i4jc||<c||jc||,VjceX.
1.3. Nguyên lí ánh xạ co
Định nghĩa 1.3.1. Cho hai không gian metrỉc M
1
=(X,d
ỉ
) và M
2
- (X,d
2
). Ảnh xạ A
ánh xạ không gian Mj vào không gian M.2 gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại sổ a, 0 <
a < 1 sao cho
D
2
(Ax, Ax') < AD
X
(-X, y), \/X,X' e X.
Định lí 1.3.1. (Nguyên lí Banach về ánh xạ co)
Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metrỉc đầy M = (X, d) vào chỉnh nó
đều tồn tại duy nhất phần tử X* e X sao cho Ax* = X*. Phần tử X* được gọi là
điểm bất động của ánh xạ co A.
Chứng minh

Lấy một điểm bất kì Jt
0
e X, đặt x
n
= Ax
n
_
x
, n = 1,2, thì d(x
2
x
1
) = d(Ax
1
,Ax
0
)
< adi^Xo) < ad(Ax
0
,x
0
)
d
(
x
n
+
i,
x
n) = D(AX

N
,AX
N
_j) < ADIX^X^) < A
N
D(AX
0
,X
0
) Từ
đó suy ra với VneN N ta có:
p~
l
d(
x
n
+P
’
x
n) ^ (Wl’Vi)
7=0
<^а
п+
Ч(Ах
0
,Ах
0
)
j=0
= d(Ax

0
,x
0
)J^a
n+j
J=0
j=0 n
n
= d(Ax
0
,x
0
)~
l-a
Do lima" =0 (0<a<l) nên limd(jc ,JC
B
) = 0, VpeN hay dãy (*
и
)”
=0
Л-*» n—>
^
là một dãy cơ bản ừong không gian metric đầy M. Do đó tồn tại giới hạn của
dãy (X
N
) trong không gian M, kí hiệu: lim;t
n
= X*.
n-*»
Với mọi neN ta có:

d(Ax\ X) < d(Ax\x
n+l
) + d(x
n+l
,x)
= d(Ax*,Ax
n
) + d(x
n+l
,x*)
<ad(x*,x
n
) + d(x
n+l
,x*)—>'0 (n—»oo).
Điều này chứng tỏ D(AX*,X*) - 0 hay AX - X .
Giả sử tồn tại * ^ X thỏa mãn * 4v* =Y* thì ta có:
Avì<ad(x\y)
=> Ạ-A)D(X,Y)<0 => d(jc*,/) = 0
(do 1 - a > 0)
* *
d(x
3
x
2
) = d(Ax
2
,Ax
l
) < ad(x

2
,x^) <
-
Vậy tồn tại duy nhất X* EX sao cho AX* =X*. □
1.4. Không gian C
M
Định nghĩa 1.4.1. Tập hợp các hàm số thực xác định và liên tục trên một đoạn
[a,b] với khoảng cách giữa hai phần tửx(t) vày(t) là
p(x, y) = max |*(f) - j(í)|
a<t<b ' '
l à k h ô n g g i a n C [ a b ] -
Không gian C[a b] là không gian định chuẩn với chuẩn xác định
■llrll = maxbt(í)| (1.1)
Định lí 1.4.1. Không gian C[ab] là không gian Banach với chuẩn (1.1).
Chứng minh
Giả sử K(0L là dãy cơ bản bất kì ừong C
[A
b]
, nghĩa là
(Vf>0)(Vn
0
eN I>N
0
):\\X
N
-X
M
\\<£
Suy ra Vm,n>n
0

.
a<t<b
Do đó |*„(í)
—
VM,N>N
0
, VTG[A,B]. (1-2)
Như vậy với mỗi T cố định thuộc [A,B] thì {*„(í)}°°
=1
là dãy cơ bản trong M .
Vì M là một không gian đầy nên dãy {*„(0}°°
=1
hội tụ trong M .
Đặt X(T) = Um^ (í) cho T thayđổi ừên [A,B] thì ta có hàm số XỊT) xác đinh
ĩl—>GO *
L
'
ữên [a,b].
Từ (1.2) cho M —» 00 ta có:
ì (yt eĩa,b])\x
n
(t)-x(t)\< £
d(x
3
x
2
) = d(Ax
2
,Ax
l

) < ad(x
2
,x^) <
-
Hay max be, (f)-jc(f) \<£.
a<t<b "
1
Tức là dãy {*„(*)} hội tụ đều tới XỊT).
Vậy XỊT) liên tục ừên C
[A
b]
, X(T) G C
[A B]
và {*„(í)}”
=1
hội tụ tới X(T)
ữong C
[A
b]
. Nói cách khác C
[A B ]
là không gian Banach với chuẩn (1.1). □
1.5. Không gian L
p
[a,b]
Giả sử E là một tập nào đấy, F là một ơ - đại số các tập con của E, Ụ là
một độ đo trên F. Ta kí hiệu L
P
[E,FU] là tập tất cả các hàm XỊT) đo được theo
độ đo ỊX trên tập E sao cho

Ị\x(t)\
P
dju < +00
E
Tập LP[E,FỈ] là không gian tuyến tính trên trường số thực к với các phép toán
thông thường cộng hai hàm số và nhân một số thực với hàm số.
Thật vậy, với mọi XỊT), YỊT) - LP[E,ỊĨ\ ta có:
=*ị\xự) + yự)\
p
dp<2
p
E
= > x ự ) + y { $ ) e L
p
[ E
t
Ị Ĩ \ .
• x ( t ) G L
p
[ E , f i ] và VẢ: e M ta có: \ k x ( t ) \
p
= \ k \
p
|jc(í)|
p
, Ví e E .
^ j|fcc(í)|
p
d/л- \k\
p

|jc(í)|
P
d/л< +00
E
=> k x ( t ) e L
p
[ E , j ũ \.
Dễ dàng kiểm tra được hai phép toán trên thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính nên
không gian L
P
[E, JU] trở thảnh không gian tuyến tính thực.
Với mỗi hàm số X(T) G L
P
[E,ỊŨ\ ta đặt
• |JC(Í) + J(Í)|
P
^
Ị|x(í)|
p
+|jơ)|
p
],
VíeE
1
.
]
( ỳỉ
||*ơ)|| = \\x{t)\
p
dự

\E V
Dễ dàng kiểm tra công thức (1.3) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn. Do đó, L
P
[E, JU]
trở thành không gian định chuẩn với chuẩn (1.3).
Nếu E = [A,B] và/7 = 2 thì ta có không gian L^E, FJ\.
b
Hàm X(T) thuộc L^E, ỊJ\ khi và chỉ khi
J
|*(0| DT < +00.
a
Với mỗi hàm số xịt) thuộc L^E, Ịj\ ta đặt
f b
||*(0||= \\x{t)\
2
dt
\a
Bất đẳng thức tích phân Holder
Giả sử XỊT), Y(T) là hai hàm Ị1 - đo được ừên tập E,P\ẦQ là hai số thực
,
1

1
. . . . . .
sao cho P> 1, —r — -1. Khi đó ta nhận được bât đăng thức tích phân Holder P
Q . v e ,
1
ị\x(t)y(t)\dLi< ị\x(t)\
p
dụrí ị\y(t)\

q
dự
q
E VÌÉ /VỈ )
nếu các tích phân ừong bất đẳng thức (1.5) đều hữu hạn.
1.6. Phương trình toán tử tích phân
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào chính
nó.
Phương trình dạng: AX = F (1.6)
trong đó / cho trước, / e X, được gọi là phương trình loại I.
Phương trình dạng: Jt = ẴAX + F (1.7)
(1.
(1.
-
trong đó, / cho trước, /eX, tham số Ằ thuộc trường số thực R (hoặc trường số
phức c), được gọi là phương trình loại II, đôi khi còn được gọi là phương trình
Fredholm loại II.
• Nếu A là toán tử tích phân tuyến tính thì phương trình (1.6), (1.7) là
phương trình tích phân tuyến tính.
• Nếu A là toán tử tích phân nhưng không giả thuyết tuyến tính thì
phương trình (1.6), (1.7) là phương trình tích phân phi tuyến tính.
Ta thường xét X là không gian C
[A B ]
hoặc L^Ạ,B\.
Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
2.1. Phương pháp cầu phương
2.1.1. Phương pháp giải
Xét phương trình tích phân tuyến tính dưới dạng Fredholm : tìm hàm X
- X(í); t e [a,b] thỏa mãn phương trình

Trong đó
F
k
= F{t
k
)
;
T
K
=A + K.H; H = -——; K = 0,1,2, ,«; N
A
k
: Các hệ số trong công thức (2.3) được xác định tùy theo công thức
cầu phương cụ thể.
-
Khi đó, các giá trị XỊ - X(TỊ); Ỉ - 0,1,2được xác định nhờ các hệ phương trình
tương ứng.
Đối với phương trình tích phân loại I:
^AJKQXJ =FI', I = 0,1,2, ,«. (2.4)
j=0
Đối với phương trình tích phân loại II:
x
i ~^ĩs
A
j
k
ii
x
j
=

fi ’
i
=0,1,2,(2.5)
J=0
Trong đó k
ịị
=k(x
i
,x
J
Ỵ
t
fi=f(x
i
); ỉ, 7 = 0,1, 2, ,n.
x^xitị); ỉ' = 0,1,2,.„,n.
Sai số của phương pháp này tùy thuộc vào sai số của công thức lấy tích phân
(2.3).
Đầu tiên từ phương trình tích phân (2.2) ta thay T - TỊ {Ỉ - 0ta được:
i = 0, ,n; (2.6)
Sau đó áp dụng công thức cầu phương (2.3) ta được hệ phương trình đại số
tuyến tính:
x
(0 = A^AjkiXi'SjWSj) + /(tị) ỉ = 0; (2.7)
j=0
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.7) ta được nghiệm của phương trình
tích phân loại II cho dưới dạng bảng số:
{*(*,.); i = 0, ,n}
Một số công thức tính gần đúng tích phân
Phụ thuộc vào cách chọn các công thức lấy tích phân (2.3) ta có thể có các hệ

số AJ,TJ như sau:
• Vói công thức hình thang
b — a , , h
-
h = ; A
0
=A
n
= A = h (j = 1,21).
N 2
tj—a + j.h ; 7 =0,1,2,
• Với công thức Simpson
2
A
2
=A
4
= = A
2m
_
2
=Ỷ, tj
—a + j.h\ j
=0,1,2, 2m.
2.1.2. Ví du
Ví dụ 2.1. Giải phương trình sau bằng phương pháp càu phương, sử dụng
công thức Simpson với 2M = 2
1
í 2 ^
■ -\x(s)ds = t

2
+ t + l (I)
Đáp án
Áp dụng công thức Simpson với 2m=2, ta có:
2m=2; [ữ,z?l = [0,ll; /ỉ = — = 0,5.
L J L J
2 m
TỊ=A + IJV, ỉ'= 0,1,2.
Do đó í
n
= 0 ; t = 0 +1.— = —; í, = 0 + 2.— = 1;
u 1
2 2 2
„ „ ^ 1 „ 4/ỉ 2
3 6
;
A
~ 3 3’
Với / = / = 0,1,2 ta thay vào (I) ta có hệ phương trình sau:
b
X (tị) + À Ị k (tị, s)x(s)ds = f (tị) i = Q, ,n;
a
-
Áp dụng công thức simpson vào tính gần đúng tích phân với
:
í,; ' -
X(T;), ta có hệ phương trĩnh đại số tuyến túứi sau:
(
1
C

0 +
—.0
+ 5 3
ta
riV
1
K, + ftan| —
+ S
1 J
13 y
x(s)ds
+ -
+ 1
•
0
f J2
A
*
2
+
J
t a n
l
3

+
5
JC(s)ế/s =1
2
+1 +

0
1
JC
0
+ j tan(5)jc(í)í/5 =
0
0
x
i
+\tmịị
0 V
J
X
2+ j
tan
í
0 V
H*
(s)
4
•
x(s)ds =
—
+ S
~
1 2 f5Ì 1 Í*')
<»
X +—tan
—
jc

n
+ —tan
0
3
—
X + —tan
—
1
6
l3j
^6,
^ 6 13 J
1 2 (1} 1 x
0
+ — tan(0)x
0
+ — tan — x
ỉ

+ — tan(l)x
2
= 0 63 \2 J 6
x
2=
—
2
4
1 /
'2
N

2
'T
1
Í
5
Ì
X, + —tan
2
6 l
,3, *
0
+ —tan
3
^6,
JCj
+
—
tan
,3,
*
2
2 (1^ X, +
—tan —
X
1
+ — tan(l)jc
2

3 Uy

'5V
\
Í-"
,3,