Khóa luận tốt nghiệp toán Tìm hiểu về bài toán tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II KHOA
TOÁN ***** ^ *****
NGUYỄN THỊ THÚY
TÌM HIẺU VỀ BÀI TOẬN TÌM PHÂN PHốI CỦA
HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học
Th.s.Nguyễn Trung Dũng
HÀ NỘI, 5/2014
Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luân này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và thầy cô giáo
trong tổ toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong suốt
thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Nguyễn Trung Dũng
- người đã giúp em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng
với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục
tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của
riêng em và nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên
Nguyễn Thị Thúy
Mục lục
Phân phối của tích
và thương ■

16
19 19
suất rời rac 23
2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác
suất liên tuc 25
2.4 PHÉP RTẾN ĐổT TUYẾN

TÍNH CỦA VECTO NGẪU
Nguyễn Thị Thúy
1 MÔT số KIẾN THỨC Cơ SỞ 1
1.1 MÔT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GĂP 1
1

.

1.1
Một số định nghĩa 1
1.1.2 Phân phối xác suất của một số biến ngâu nhiên
thường găp 1
1.2
HÀM STNH
MỒM
EN 3
1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen 3
1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên
thường gặp 4
2 CẮC PHƯƠNG PHÁP TÌM PHÂN PHỎT CỦA HẰM
CẤC BIẾN NGẤU NHIÊN
2.1 

PHƯƠNG PHÁP PHẤN PHỐI XẮC SUẤT
2.1.1 Mô tả phương pháp
2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min
9
. . . . 9
. . . . 9

■ ■ 10
2.1.3 Phân phối của tống và hiệu hai biến ngẫu nhiên

13

2.1.4
2.2.1 Mô tả phương pháp
2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
2.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI
2
3
2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác
NHTẺ
N
3
2
Lời nói đầu
Ngày nay "Lý thuyết xác suất" đã không còn là một lĩnh vực toán
học mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trong nền
toán học thế giới. Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ vì nó
là một ngành toán học chặt chẽ về lý thuyết mà nó còn có ứng dụng
rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhân
văn. Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê, môt khoa học về các

phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin
định lượng.
V ớ i đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình bày một số phương pháp t ì m
p h â n p h ố i x á c s u ấ t c ủ a h à m c á c
b i ế n n g ẫ u n h i ê n . K h ó a l u ậ n g ồ m
2
c h ư ơ n g :
Chương 1. Một số kiến thức cơ sở
Trong chương này, trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp và
hàm sinh mômen của nó.
Chương 2. Các phương pháp tìm phân phối của hàm các biến ngẫu
nhiên
Trong chương này, trình bày một số phương pháp để tìm phân phối
xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên.
Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu
bổ ích cho những ai quan tâm về phân phối của hàm các
biến ngẫu nhiên.
V
Chương 1 MỘT số KIẾN THỨC
cơ SỞ
1.1MỘT số PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP
1.1.1 Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Hàm số F
X
(X) = P {tư € : X (cư) < X}
:
X ẽ M,
được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.
Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên X = (Xi,X

2
). Hàm số F
XL
,X
2
(X I,X
2
)
xác định bởi F
XL
,X
2
{X 1,X
2
) = P [X
1
< XI,X
2
< X
2
], V(x i

:

x

2
) G K

2

đ ược gọi
là h àm phân phối xá c suất đ ồ n g thời c ủa

vectơ ngẫu nhiên X.
Từ phân phối xác suất đồng thời của XI, X
2
, ta có thể tìm phân phối của
XI hoặc X
2
. Khi đó phân phối của XỊ và X2 được gọi là phân phối biên
duyên.
1.1.2 Phân phối xác suất của một số biến ngẫu nhiên thường gặp
a. Phân phối nhị thức
Định nghĩa 1.3 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức
với tham số (N,P), N G N*,
0
< P <
1
, nếu
P(X = k) = c
k
n
.p
k
.{ 1 -
P
Ỵ-\ k = ÕTrâ.
Kí hiệu X ~ B(N,P).
Đặc biệt, nếu n=l thì ta nói X CÓ phân phối Becnuli.

b. Phân phối Poisson
Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson
với tham số À(À >
0
), nếu
P(X = k) =
e
—^~, k=0, 1, 2,
V
Kí hiệu X ~ POI(Ằ).
c. Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)
Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với
tha m số (ịi

:

ơ

2

) với —oo < ịi < + o o

:

ơ

2

> 0 nếu hàm mậ t độ có
dạng

t (

J

(x — ịi)
2
ì
Wl)=
vè'“T V
Kí hiệu X ~ N(FI,Ơ
2
).
Trường hợp đặc biệt, nếu ỊI = 0,cr
2
= 1 thì X được gọi là có phân phối
chuẩn tắc, kí hiệu X N(0,1).
Chú ý Nếu X ~ iV(0,1) thì

ỉ x { x) = - = ^ và $ ( x ) = F
x
{ x )= ị —L= e ^ d t.
VZ7r J v27T
— 00
d. Phân phối mũ
Định nghĩa 1.6 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với
tham số À(À >
0
) nếu hàm mật độ xác suất có dạng
f \ _

Ị




Mx)=
\
0
Kí
hiệu là

X ~ Exp(X).
V
e. Phân phối đều
Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên
đoạn [a,
6
] nếu hàm mật độ xác suất có dạng
Kí hiệu là X ~ U(A, B).
f. Phân phối Gamma
Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma
với các tham số r > 0, A > 0 nếu hàm mật độ xác suất có dạng
Kí hiệu là X ~ G{r, A).
1.2 HÀM SINH MÔMEN
1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen
Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X. Hàm sinh mômen của X kí
hi ệ u là m x{t) đ ư ợc xác định b ởi

MX{T) = E(e

t x

) nếu tồn tại h >
0

sao cho MX{T) tồn tại với mọi \T\ < H.
Nhận xét: Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp
r của X, có thể được tính từ MX{T).
Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm E
X
ta có
V
{  ,x ệ[a,b].
X > 0
\
0
X <

0.
V
V
Với t=0 ta có mj(0) = 1.
Từ điều kiện tồn tại của MỴ{T) ta đạo hàm 2 vế của (1.1) đối với T
ta được
m'
x
(t) — E(X) + tE(X
2
) H

ỉ - +

(

.

)

Cho T — 0 ta được M'X(0) = E(X).
Đạo hàm 2 vế của (1.2) đối với T ta được
m"
x
(t) = É{X
2
) + tE{X
3
) +
Cho T = 0 ta được M"
X
(0) = E(X
2
).
Tiếp tục quá trình này ta
được mỉ>( 0) = E ( X' ) .
Định lý 1.1

Cho biến ngẫu nhiên Xcó hàmsinh mômen là mx
(

t).Kh i

đó biến ngẫu nhiên Y =

aX +

b vớ ia,

blà hằng số thực có
hàm sinh
mômen là
m
Y
{t) =

e
t b
mx(at ).
Chứng minh.
Ta có

m
Y
(t) =

E(e
tY

) =

E(e^
a X + b

^) = e
t b
E{e
atx

) =

e
t b
m
x
{at) . m
Định lý 1.2

Cho Xi, ,X

n



là cá c biến ngẫu nhiên độc lập với các
hàm sinh mômen tương ứng là rrix {t)i i = 1,2, ,71.

Dặt
n
z = CLịXị vớ i các aị, ,a
n
là cá c hằng s ố thực. Khi đó
i
=



n
m
z
(t) = ỊỊ

m
X i
{ait) .
1=1
Chứng minh.
Ta có

m
z
{t) = E{e
t z
) = Ể(e

s
' ) = n

Ee
t a ị X i
= ỊỊ

m
X i

{
a
it)- u
V
i=

 i =


1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp
a. Biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức
Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối nhị thức B(N,P) thì
m
x(í) =
(pe* + Q)
N
,Q =
1
- P.
V
Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Becnuli .5(1, P) thì M
X
{T) =
(PÉ + Q),Q = L- P.
Thật vậy, ta có
n
M
X
(T) =£(
e

“H^eX‘pV
k
=0 n
= £ C«Vp) V“* = (pe‘ + q)
n
, q = 1 - p.
K

=0
b. Biến ngẫu nhiên có phân phối Poỉson
Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Poisson POI(X) thì
m
x
(t) = e
x{et

-

1}

.
Thật vậy, ta có

.

\
k
e~
x
tk

m
x
(t) = E(é
x
) = Y^e
k=0
1 (\ é)
k
k\
k
=0
A(e‘-1)
c. Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0,1) thì
/ \

t- m
x
ụ) = e


.
+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn N(ỊÍ,Ơ
2
) thì
RN
X
(T) = Ê
V
=

e~
x
e
x & t
= e
2.2
_
Thật vậy,
+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0,1) thì
+ 00
mx(t) =

E(e
tx

) =

[ ___e
t x
e^~ dx

2
—
—
— + X tuân theo phân phối chuẩn N(FẤ,Ơ
2
) thì
—
— + 00
— rMí) = £(e‘*) =

— 00
— F
1

i!K =
^v
-*
3
À
8
-M
2
, = / .

e e
2
e
2
"
2
e
2

eơ
2
g
2ơ
2
DX
— J V27ĨƠ

2
— 00 + 00
— =

[ .}

ẹ-M
x
-^
t +
ri]
2
e^+^ dx
— J V2ĩTơ
2
— 00
— + 00
— r

[ -^
= e
- M
x
-^
t
+^ĩdx
— J V2ĩTơ
2
— 00
2 Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

3Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối mũ Exp( X) thì
i (*-/*)
=e

x



e

2

ơ

D X
= e

í/i+





2
— Thật vậy, ta có
— + 00
— m
x
{t) = E{e
t x

) = Ị e
ị x
xe~
X x
dx
— 0
—
—
+ 00
+00
— =

J Xe-
{ x
~
t ) x
dx = —

J í
—
0
0
— A
— X — t
e. Biến ngẫu nhiên có phân phối đều
— Nếu biến ngẫu nhiên
theo phân phối
thì
—
m

*
(í) =
í(r^)
(eí
-
e
“
)
-
— Thật vậy, ta có
— b
— a
— ỉ. Biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma
— Nếu biến ngẫu nhiên
theo phân phối Gamma G(R, X)
— Thật vậy, ta có
— + 00
— m
x
{t) =E(e
t x
)= Ị é
x
^ụ^x
x
-
l
e~
r x
dx

— 0
— + 00
— =
í
e~
(r
~
f)a!
_

r

X
X
~
L
DX
— J r(A) ’
— 0
— trong đó
e-
{ x
~
t ) x
d(X - t)x
— + 00
— r(À) = J X
X
~
L

E~
X
DX = (-
1

)

a



(A- l)(A-
2
) l.
— 0
— Bằng cách tính tích phân từng phần À lần ta thu được
— =Grh) •
— Chương 2
— CÁC PHƯỢNG PHÁP TÌM
PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUAT
2.1.1 Mô tả phương pháp
— Cho XỊ,X
N
là các biến ngẫu nhiên và , •), <72 ("j • • •

J •)>•••

)

,

•) là các hàm đo được trên M
n
. Khi đó hàm phân phối xác suất
đồn g thời c ủ a các b i ến ngẫu n hiên

Yi
:
.
:
Yk

đư ợ c xác đ ị n h bởi
— F
Y l
, . ,Y
h
{yi ,y,"-,yk) = p [Y i<yi
ì

ì
Yk<yk\
— p \_9l ^-yiT iỹk
^ỉ/ả:] ■
— trong đó

Yj = g
á
(X

u
,X
n
)
:
j = 1,2
— Phương pháp này được gọi là phương pháp dựa trên phân phối
xác suất.
— Đặc biệt, nếu K = 1 thì FỴ (Y) = P[Y < Y] = P[G(X
1
, ,X
N
) < Y].
— Ví dụ 2.1. Cho biến ngẫu nhiên X ~ iV(0, l).Tìm phân phối xác
suất của biến ngẫu nhiên Y = G(X) = X
2
.
— Giải Theo định nghĩa ta có
— F
Y
(y) = P[Y <y] = p [ x
2
< y ]
— = P[ -y/ỹ < X < y/ỹ]
— = Fx{y/ỹ) - F
x
{-y/ỹ),y >

.
1

7
— l/AVỹ) = MVỹ)ị(Vỹ) = ^h(ựỹ)
— _ __Ị__ -1L 2ựỹự2Tĩ
— ị F A-VĨ) = M- V - y)ị(- V - y) =
2 _*

2ựỹự2ĩĩ
— Suy ra

Mv) = ^(F
Y
(y)) = ^=e
—
—
— e


y

với

y >
0.
— Kỉ)'*
— e

,y > 0
— Vậy /y(y) = < r(-)

^

— ( 0 , y < 0 .
— Sau đây là một số ứng dụng của phương pháp
này.
2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min
— Giả sử XỊ,X
N
là các biến ngẫu nhiên xác định
trên cùng không gian xác suất (íỉ, A, P). Ta kí hiệu
— YỊ = MINỊXI, , X
N
],Y
N
= MAXỊXI,X
N
]. Khi đó YỊ,Y
N
cũng là các biến ngẫu nhiên.
— Ta có hàm phân phối xác suất của YỊ, Y
N
có dạng
— F
Y l
(y) = PlYi<y] = l-PlY
i
>y] = l-
PlX
í
>y, ,X„>y],
— à F
Y n

(y) = p [Y
n
< y] = p [Xị < y,. ,
x
n
< y].
V à
— Định lý 2.1 Nếu Xị, , X
n
là các bi ến ngẫu nhi ên độc lập và
có các hàm phâ n phố i xác suất tương ứng là F
X i
{-), Y
n
=
Max[ X
u
,X
n
] thì
— n
— Fy, = U
F
^(y)-
—
1=1
— Nếu Xi, ,X
n
có cùng hàm phân phối xác suấ t là Fỵ(- ) thì
— FrÁv) = [Fx{y)T.

— Chứng minh.
— F
Y n
{y) = P[Y
n
<y] = P[X  < y, ,x
n
< y\ (do x
u
,x
n
độc
lập)
—
—
— = n[ F
x
(y)r
1
f
x
[y).
— Định lý 2.2
— Nếu Xị, ,

X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lâ p và có h àm
phân phối xác suất tương ứng là PxX'), = MỉnịXị, , x
n

] thì
— n
— FYÁV) =
1
- n [! - (!/)]•
— i= l
— N ế u

X ị , X
n
l à c á c

biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm
phân phối xác suất là F x ( .)

thì
— F r M = l - [ l -Fx { v ) ] ’ -
— Chứng minh.
— Nếu XỊ, , X
N
là các biến ngẫu nhiên độc lâp và có hàm phân phối xác
suất tương ứng là F
X
.(-), YỊ = MIN[XI, ,

X
N
] thì
— Fr
t

(v) = P[Yi < v\ = 1 - P[Yi > v\ = 1 - F[Í1 > V, >
í/].
— = 1 - IỊ

P[Xị > y] (do Xi, ,x
n
độc lập)
— i = 1
71
— = 1 - n [1 -
— i = 1
— Nếu X i , X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân
phối
xác suất là Fx(.) thì
— n
— FY M = 1 - n [1 - F
X
(Y )] = 1 - [1 - F
X
{Y ) Ỵ. .
— i = 1
— Hệ quả 2.2 Nếu Xi, , X
n
là các biến ngẫu nhiên liên tục, độc lâp và có
cùng hàm mật độ xác suất là f x { ' )

và hàm phân phối xác suất
— là Fỵ(-) thì

— Ĩ Y M = ^í
1
-
F
x {y)Y ~
l
Ỉ x^-
— YÍ dụ
2
.
2
. Giả sử tuổi thọ của một bóng đèn thắp sáng là một biến ngẫu
nhiên có phân phối mũ với trung bình là 100 giờ. Thắp sáng đồng thời 10
bóng. Tìm phân phối xác suất của bóng đèn tắt đầu tiên và tính kì vọng của
nó.
— Giải
— Giả sử XỊ là tuối thọ của bóng đèn thứ 1,1 = l;n thì YI=MIN [XI, , X
N
] là
bóng đèn có tuổi thọ ngắn nhất (hay là bóng đèn tắt đầu tiên).
— Giả sử XI, ,

X
N
là các biến ngẫu nhiên độc lập, và
X ,

~

E M

AO vôi A, = ^
— , y > 0 , y < 0
— Vậy YỊ ~ EXP(X), X = —, do đó EYI = —
= 10.
— IU A
2.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên
— Định lý 2.3

Giả sứ X và Y là 2 biến ngẫu nhiên li ên tục
có hàm mật độ xác suất đồng thời Ĩxy{%i ỳ)- Đặt
z
=

X + Y
và V = X — Y thì
—
— và fy ( v)=
Ị
fxỵ {x,x - v ) dx = Ị f x,
Y
{v + y,y)dy . (2)
— 00
— Ch ứng minh .
— Ta có

F
z
{z) = P[Z <z]= P[X + Y < z\
— 
—

J J
fx, y(x,y)d x dy =/ /
fx, y{x,y)dy \ dx
—
— Bằng cách thay y = u — X

vào biểu thức ở trên ta được
—
— fz{z) =[F
z
{z)] = Ị fxỵ{x, z -
x)d x.
Theo Hệ quả 2.2 thì
—
— — 00 — — 00
—+ 00
— 00
—
—
— —

0
0
L
-
0
0
—+ 00
— D
o

đó
—+ 00
— 00
— Tương tự, bằng cách thay X = u — y

ta cũng có
— + 00 z
— Fz{z) =J Ị fx,Y(u- y,y)dĩ
— 00 L- oc
— + 00
— và f z {z) = [.F
z
{z ) \ =
J
ỉxỵ {z - y,y ) dy
—
—
— + 0C r 
—
F
v (v) = J Ị f x ,Y (u + y, y)d'i
— 00 L- oc
— + 00
— fv( v ) = Y [*(„)] = J ỉ xỵ{v + y , y)dy.
— 00
— Vậy ta có (2).
và
— Hệ quả 2.3

Nếu X

và Y

là 2 biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập và
— z = X + Y thì
— 
00

+00
f z { z

) = ỉx+y{z ) =
J
f

Y

{ z - x ) f x ( x ) dx =

Ị
f x { z - y ) f

Y

{ y ) d y.
— 00

—00
— (3)
— Chứng minh.

— F
z
(z) = p [Z < z] = p [X + Y < z]
— + 00 +00
—
J P [ X + Y < z \ x =
x]fx(x)dx =
Ị P [ x + Y < z ] f x { x ) d
— -00 —00 + 00
— I FY(Z —

x)fx{x)dx. Do đó
— + 00
—
J
F
y
(z —

x)fx{x)dữ
— lí- oc -I
—
+
00

+00
— =
J
J- [F
y

{z - x)]fx(x)dx =
Ị
f
Y
{z - x)fx(x)dx.
— 00

—00
— Chứng minh tương tự, ta cũng có
— + 00
— fz{z ) =

J
fx{z- y)f
Y
{y)d y.
— 00
— Vậy ta có (3).
— Chú ý: Công thức được cho trong phương trình (3) thường
được gọi là công thức chập. Trong giải tích toán, hàm FZ(-) được gọi
là tích chập của các hàm /x(-) và /y(-).
— Ví dụ 2.3. Giả sử X

và Y

là
2
biến ngẫu nhiên độc lập và có các hàm mật
độ xác suất FX{X)
=

FY{Y) = I(ỮI){
X
)- Chứng minh rằng
1 < z = X + Y <2.
— Giải. Ta có
— + 00
— fz(z ) =

fx+y(z) =

J f
Y
(z- x)fx(x)d.
— — 00
+ 00
— =
J I (
0,1) (2 - íc)/(
0>
i)(íc)díc
— 00 + 00
— = / [A0,*)(
a;
)
/
(0
>
l)(
2:
)

+/
(*-l,l)(
a;
)
/
[l,2)(
2:
)]
da;
—
—
— = */(
0
,
1
) (
2
) +
(
2
- *)J[
1
,
2
)(*)-
— Vậy 0 < z = X + y < 2.
2.1.4 Phân phối của tích và thương
— Định lý 2.4

Giả sử X và Y là các b iến n gẫu n hiên liên tục có

hàm
— X
— mật độ xác su ất fX Y (*£) y)•

Giả sử z — XY và u = —

thì
— +00 +00
—
ỉ z ( z ) =
I ị \
f x
-
r
(*-
x )
d x =
/
ị ỹ \
f x
'
r
(»’
y
)
ẽ v
'

(4)
— 00 —00

— + 00
— fu {u) = Ị \y\fx,
Y
{uy , y)dy.
— 00
— Chứn g minh. Ta có
— Fz ( z ) = P[ Z < z] = P [ XY < z]
— = Ị Ị fx,y(x,y)dxdy
— xy<z
— 0 -00 +00 ẩr
— -ỉ / ĩxỵ { x y)d y\ dx + / /
ĨX , Y{X y)d y
— —00 - 0 —00
X
(5)
Và
d x .