Hiệu ứng radio điện trong siêu mạng hợp phần
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (586.52 KB, 59 trang )
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1: SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN
TRONG BÁN DẪN KHỐI 3
1.1.Siêumạnghợpphần. 3
1.1.1.Tổngquanvềsiêumạnghợpphần. 3
1.1.2.Hàmsóngvàphổnănglượngcủađiệntửtrongsiêumạnghợpphần. 4
1.2.Lýthuyếtlượngtửvềhiệuứngradio–điệntrongbándẫnkhối 5
CHƯƠNG 2: HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
7
2.1.Hamiltoniancủahệđiệntử–phononvàphươngtrìnhđộnglượngtửcủađiện
tửtrongsiêumạnghợpphần. 7
2.1.1.Hamiltoniancủahệđiệntử–phonontrongsiêumạnghợpphần 7
2.1.2.Phươngtrìnhđộnglượngtửcủađiệntửtrongsiêumạnghợpphần 8
2.2.Biểuthứcmậtđộdòngtoànphần 24
2.3.Biểuthứcgiảitíchchocườngđộdòngđiện 38
CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHO SIÊU MẠNG HỢP
PHẦN GaAs - Al0,7Ga0,3As 45
3.1.SựphụthuộccủathànhphầnE
0x
củađiệntrườngvàotầnsốcủabứcxạlaser.46
3.2.SựphụthuộccủathànhphầnE
0x
củađiệntrườngvàotầnsốcủasóngđiệntừ
phâncựcphẳng. 47
KẾT LUẬN 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
PHỤ LỤC 51
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Trang
Bảng3.1:Tham số vật liệu được sử dụng trong quá trình tính toán…………… 45
DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình3.1: Sự phụ thuộc của thành phần E
0x
của điện trường vào tần số Ω của bức
xạ laser ở nhiệt độ T=350 K……… …………………………………………….46
Hình3.2: Sự phụ thuộc của thành phần E
0x
của điện trường vào tần số
của sóng
điện từ phân cực phẳng ở nhiệt độ T=350 K……………… ……………………47
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Trongsựpháttriểnkinhtế-xãhội,nghiêncứukhoahọcluônđóngvaitròquan
trọng.Nghiêncứukhoahọcnóichung,trongđó,cókhoahọccơbảnnóiriêngđã
tạo ratoàn bộ công nghệ hiệncó, làm thay đổi bộ mặt xã hội loài người. Trong
những năm gần đây, những nghiên cứu về các hệ vật lý bán dẫn thấp chiều đã
khôngngừngpháttriểnvàthuđượcnhiềuthànhtựuđángkể.Hệbándẫnthấpchiều
làmộttrạngtháiđộcđáocủavậtliệu,chophépchếtạorấtnhiềuloạisảnphẩmvới
nhữngtíchchấthoàntoànmớirấtcầnthiếtchonhữngngànhcôngnghệcao.Lớp
vậtliệunàyhiệnđanglàđốitượngnghiêncứucủarấtnhiềucáccôngtrìnhkhoa
học.
Việc nghiên cứu kĩhơn các hệ hai chiều vídụnhư: siêumạngphatạp,siêu
mạnghợpphần,hốlượngtử…ngàycàngnhậnđượcsựquantâm.Trongcácvật
liệukểtrên,hầuhếtcáctínhchấtcủađiệntửthayđổi,xuấthiệncáctínhchấtkhác
biệtsovớivậtliệukhối.Tabiếtrằngởbándẫnkhối, cácđiệntửcóthểchuyển
độngtrongtoànmạngtinhthể(cấutrúc3chiều)thìởcáchệthấpchiềubaogồm
cấutrúchaichiều,chuyểnđộngcủađiệntửsẽbịgiớihạnnghiêmngặtdọctheomột
(hoặchai,ba)hướngtọađộnàođó.Phổnănglượngcủacáchạttảitrởnênbịgián
đoạntheophươngnày.Sựlượngtửhóaphổnănglượngcủahạttảidẫnđếnsựthay
đổicơbảncácđạilượngcủavậtliệunhư:hàmphânbố,mậtđộtrạngthái,mậtđộ
dòng,tươngtácđiệntử-phonon…Nhưvậy,sựchuyểnđổitừhệcấutrúc3chiều
sang2chiều,1chiềuhay0chiềuđãlàmthayđổiđángkểnhữngtínhchấtcủahệ.
Nhưđãnói,việctìmhiểuvànghiêncứucáctínhchấtcủahệthấpchiềuđang
nhậnđượcrấtnhiềusựquantâmcủarấtnhiềungười.Sựbấtđẳnghướngcủatrường
điệntừgâynênmộtsốhiệuứngđángchúý,trongđócóhiệuứngradiođiện.Trong
luận văn này, tôi xin trình bày các kết quả nghiên cứu của mình đối với đề tài:
“Hiệu ứng radio điện trong siêu mạng hợp phần”.
2
2. Phương pháp nghiên cứu.
Trongđềtàinghiêncứucủamình,tôiđãsửdụngcácphươngphápvàtrình
tựtiếnhànhnhưsau:
- Đốivớibàitoánvềhiệuứngradiođiệntrongsiêumạnghợpphần,tôisửdụng
phươngphápphươngtrìnhđộnglượngtử.Đâylàphươngphápđượcsửdụngrộng
rãikhinghiêncứucáchệbándẫnthấpchiều,đạthiệuquảcaovàchocáckếtquảcó
ýnghĩakhoahọcnhấtđịnh.
- SửdụngchươngtrìnhMatlabđểđưaratínhtoánsốvàđồthịsựphụthuộccủa
điện trường vào tần số bức xạ laser, tầnsố sóng điệntừ phân cực phẳng và các
thôngsốvớisiêumạnghợpphầnGaAs/Al
0,3
Ga
0,7
As.
3. Bố cục trình bày luận văn.
Luậnvănngoàiphầnmởđầu,kếtluận,tàiliệuthamkhảovàphụlục,đượctrình
bàygồm3chươngchính:
Chương1:Siêumạnghợpphầnvàhiệuứngradio–điệntrongbándẫnkhối.
Chương2:Hiệuứngradio–điệntrongsiêumạnghợpphần.
Chương3:TínhtoánsốvàvẽđồthịchosiêumạnghợpphầnGaAs-Al
0,7
Ga
0,3
As.
Cáckếtquảchínhcủaluậnvănchứađựngtrongchương2vàchương3,trong
đóđánglưuýchúngtađãthuđượcbiểuthứcgiảitíchcủatrườngđiệntừtrongsiêu
mạnghợpphần.Cáckếtquảthuđượcđãchứngtỏcườngđộđiệntrườngphụthuộc
phứctạpvàkhôngtuyếntínhvàotầnsốbứcxạlaser,tầnsốsóngđiệntừphâncực
phẳngvàcácthamsốcủasiêumạnghợpphần.Đồngthờiluậnvăncũngđãthực
hiệnviệctínhsốvàvẽđồthịchosiêumạnghợpphầnGaAs/Al
0,3
Ga
0,7
Asđểlàmrõ
hơnhiệuứngradio–điệntrongsiêumạnghợpphần.Cáckếtquảthuđượctrong
luậnvănlàmớivàcógiátrịkhoahọc,gópphầnvàopháttriểnlýthuyếtvềhiệuứng
radio–điệntrongbándẫnthấpchiềunóichungvàtrongsiêumạnghợpphầnnói
riêng.
3
CHƯƠNG 1
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
VÀ HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Siêu mạng hợp phần.
1.1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần.
Siêumạnghợpphầnđượctạothànhtừmộtcấutrúctuầnhoàncáchốlượng
tử,trongđó,khoảngcáchgiữacáchốlượngtửđủnhỏđểcóthểxảyrahiệuứng
đườnghầm.Dođó,đốivớicácđiệntử,cóthểxemcáclớpmỏngnhưlàthếphụbổ
sungvàothếmạngtinhthểcủasiêumạng.Thếphụnàycũngtuầnhoànnhưngvới
chukỳlớnhơnnhiềusovớihằngsốmạng.Thếphụtuầnhoànnàyđượchìnhthành
dosựchênhlệchnănglượnggiữacáccậnđiểmđáyvùngdẫncủahaibándẫntạo
nênsiêumạng.Sựcómặtcủathếsiêumạngđãlàmthayđổicơbảnphổnănglượng
củađiệntửvàdođósiêumạngcómộtsốtínhchấtđángchúýmàbándẫnkhối
thôngthườngkhôngcó.
Hệđiệntửtrongsiêumạnghợpphầnlàhệđiệntửchuẩnhaichiều.Cáctính
chấtvậtlýcủasiêumạngđượcxácđịnhbởiphổđiệntửcủachúngthôngquaviệc
giảiphươngtrìnhSchrödingervớithếnăngbaogồmthếtuầnhoàncủamạngtinh
thểvàthếphụtuầnhoàntrongsiêumạng.ViệcgiảiphươngtrìnhSchrödingertổng
quátlàrấtkhó,vìchukỳcủasiêumạnglớnhơnnhiềusovớihằngsốmạngtinhthể
nhưngbiênđộcủathếsiêumạnglạinhỏhơnnhiềusovớibiênđộcủathếmạngtinhthể
nênảnhhưởngcủathếtuầnhoàncủasiêumạngchỉthểhiệnởmépvùngnănglượng.Tại
đó,quyluậttánsắccủađiệntửcóthểcoilàdạngbậchai,phổnănglượngcủađiệntử
trongsiêumạngbándẫncóthểxácđịnhbằngphươngphápgầnđúngkhốilượnghiệu
dụngđốivớicácvùngnănglượngđẳnghướngkhôngsuybiến.
4
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp
phần.
PhươngtrìnhSchrödingercódạng:
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
2 *
r U r r E r
m
vớim*làkhốilượnghiệudụngcủađiệntử.
Hàmsóngcủađiệntửtrongminivùngnlàtổhợpcủahàmsóngtheomặt
phẳng(Oxy)códạngsóngphẳngvàtheophươngcủatrụcsiêumạng.
d
N
x y Z n
n,
j=1
x y d
p
1
ψ (r) = exp{i(p x + p y)} exp(ip jz) (z - jd)
L L N
với:
z
p p p
:Vectơsóngcủađiệntử.
n=1,2,3 :Chỉsốlượngtửcủaphổnănglượngtheophươngz
x
L
:Độdàichuẩntheophươngx
y
L
:Độdàichuẩntheophươngy
d:chukìsiêumạng.
N
d
:sốchukìsiêumạng.
n
( )z
:Hàmsóngcủađiệntửtronghốthếbiệtlập
Dựavàotínhchấttuầnhoàncủa
( )U r
màcácsiêumạngcóthểcómột,hai
hoặcbachiều.Đốivớihệđiệntửchuẩnhaichiều,cấutrúcvùngnănglượngcóthể
tìmđượcbằngcáchgiảiphươngtrìnhSchrödinger.Trongđó,tađưavàothếtuần
hoànmộtchiềucódạnghìnhchữnhật.
Thếtuầnhoàncủasiêumạngảnhhưởngrấtíttớisựchuyểnđộngcủađiệntử
theophươngvuônggócvớitrụcsiêumạng(trụcz).Chuyểnđộngcủađiệntửtheo
phươngzsẽtươngứngvớichuyểnđộngtrongmộttrườngthếtuầnhoànvớichukỳ
bằngchukỳdcủasiêumạng.
5
Phổnănglượngcủađiệntử:
2 2 2 2 2
,
2
cos
2 2
n
z
n p
p n
p d
n
m m d
Trongđó
p
:Hìnhchiếucủa
p
trênmặtphẳng(x,y)
m*:Khốilượnghiệudụngcủađiệntử
n=1,2,3 :Chỉsốlượngtửcủaphổnănglượngtheophươngz
d:Chukìsiêumạng.
n
:Độrộngcủaminivùngn
1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối
Takhảosáthệhạttảicủabándẫnkhốiđặttrong:
+Mộttrườngsóngđiệntừphâncựcphẳngvớicácvectosóng:
( ) ; ( ) ,
i t i t
E t E e e H t n E t
Trongđó:
Với:
1
lànănglượngtrungbìnhcủahạttải.
n
làvectơsóngcủaphoton.
+Mộtđiệntrườngkhôngđổi
0
E
(cótácdụngđịnhhướngchuyểnđộngcủahạttải
theo
0
E
)
+Mộttrườngbứcxạlaser:
sin
F t F t
đượcxemnhư1trườngsóngđiệntừ
caotầnphâncựctuyếntính.
Trongđó
1
Với:τlàthờigianhồiphục.
6
Dướitácdụngcủa2trườngbứcxạcótầnsố
và
sẽlàmchochuyểnđộng
địnhhướngcủahạttảitheo
0
E
bịbấtđẳnghướng.Kếtquảlàxuấthiệncácđiện
trường
0 0 0
, ,
x y z
E E E
trongđiềukiệnmạchhở.Đóchínhlàhiệuứngradio–điện.
Phươngtrìnhđộnglượngtửchođiệntửtrongbándẫnkhối:
0
, ,
,
H
f p t f p t
eE t eE p h t
t p
2
2 , , ,
l p q p
q l
M q J a q f p q t f p t l
(1)
trongđó
H
eH
mc
,
H t
h t
H
,
2
eF
a
m
,
2
2
p
p
m
Xéttrườnghợptánxạđiệntử-phononquang,tatìmbiểuthứcmậtđộdòng
toànphầnvàxéttrongđiềukiệnmạchhở,thuđượcbiểuthứctrườngradio–điện.
2 2 2 2
0 W
2 2
2 2
1 1
1
1
F F F
x zx zx
F
F
E E A
0 W
y zy F zy
E E A
0 w
1
1 *
z zz F zz
F
E E
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
*
1 1
F F F
xx xx
F
A
(2)
trongđó:
0 0
2
3
il il i l
a a
,
3
il il
,
1/2
F
F
2 2
/
e F m
,
0
a
a
a
w
/
e
E en c
;
làhệsốhấpthụ.
Biểuthức(2)chothấytrườngradiođiệntrongbándẫnkhốiphụthuộcvàotần
sốvàcườngđộcủabứcxạlaser,tầnsốcủasóngđiệntừphâncựcthẳng.
7
CHƯƠNG 2
HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
2.1 Hamiltonian của hệ điện tử – phonon và phương trình động lượng tử
của điện tử trong siêu mạng hợp phần.
2.1.1 Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong siêu mạng hợp phần
XétHamiltoniancủahệđiệntử-phonontrongsiêumạnghợpphầnkhicómặtsóng
điệntừdướidạnghìnhthứcluậnlượngtửhóalầnthứhai:
0
H H U
(1)
Trongđó:
0
, ,
,
( )
n p n p q q q
n p q
e
H p A t a a b b
n
c
(2)
'
', ,
,
'
, , ,
n p q n p
n n
z
q q q
n n p q
U C I q a a b b
(3)
Với:
,
n p
a
,
,
n p
a
:Toántửsinh,hủyđiệntửởtrạngthái
,n p
, '
, ', ' ', ' , , '
, , =
n n
n p n p n p n p p p
a a a a
(4)
,
', ' , ', '
, , 0
n p
n p n p n p
a a a a
(5)
q
b
,
q
b
:Toántửsinhhủyphononởtrạngthái
q
' ', , '
, , =
q q q q q q
b b b b
(6)
'
, , =0
q
q q q
b b b b
(7)
p
:Xunglượngcủađiệntửtrongmặtphẳngvuônggócvớitrụccủasiêumạng
hợpphần.
8
q
:Tầnsốcủaphononquang.
( )A t
:Thếvectorcủatrườngbứcxạlaserthỏamãn
0
0
1
( ) sin os
A t
cF
F t F t A t c t
c t
'
,n n
z
I q
:Thừasốdạngcủađiệntửtrongsiêumạnghợpphần.
, ,
'
,
. .
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
z
n n
i zN d N d
iq z
L
z n n
n n
I q z z e dz z z e dz
,n p
:Nănglượngcủađiệntửtrongsiêumạnghợpphần.
2
2
0
2
00
2
1 1
L
q
O
e
C
q V
:Hằngsốtươngtácđiệntử–phononquang.
trongđó:
e:Điệntíchhiệudụngcủađiệntử
0
:Hằngsốđiện
O
V
:Thểtíchchuẩnhóa(chọn
1
O
V
)
0L
:Nănglượngcủaphononquang
0
χ
làhằngsốđiệnmôitĩnh
χ
hằngsốđiệnmôicaotần
2 2 2
x y
q q q
2.1.2 Phương trình động lượng tử của điện tử trong siêu mạng hợp
phần
Gọi
, , ,
( )
n p n p n p
t
n t a a
làsốđiệntửtrungbìnhtạithờiđiểmt.
Phươngtrìnhđộnglượngtửchođiệntửtrongsiêumạnghợpphầncódạng:
9
, ,
0
, , , ,
, ,
n p n p
n p n p n p n p
t t
n t n t
i a a H i a a H U
t t
(8)
Talầnlượttínhcácsốhạngtrongbiểuthức(8)
Sốhạngthứnhất:
' '
'
'
1 '
, ,
', ',
',
,
n
n p n p
t
n p n p
n p
t
e
sh a a p A t a a
c
Tacó:
' '
'
'
'
, ,
', ',
',
,
n
n p n p
n p n p
n p
e
a a p A t a a
c
' '
'
'
'
, ,
', ',
',
,
n
n p n p
n p n p
n p
e
p A t a a a a
c
' ' ' '
'
'
'
, , , ,
', ', ', ',
',
n
n p n p n p n p
n p n p n p n p
n p
e
p A t a a a a a a a a
c
' '
' ' ' '
'
'
'
, ,
, ,
', , ', ,
',
n
n p n p
n n n n
n p p p n p p p
n p
e
p A t a a a a
c
'
' ' '
'
'
'
, ,
,
', ', ,
',
n
n p n p
n n
n p n p p p
n p
e
p A t a a a a
c
'
' '
'
'
'
,
,
', ,
',
,
0
n
n p
n n
n p p p
n p
e
p A t a a
c
Vậy:
1
0
t
sh
(9)
Sốhạngthứhai:
2
, ,
, 0
n p n p q q q
t
q
t
sh a a b b
(10)
Sốhạngthứba:
10
1 2
, ' '
2
1
1 2
,
3
, ,
, , ,
,
n p q
n p
n n z
n p n p q q q
t
n n p q
t
sh a a C I q a a b b
Tacó:
1 2
, ' '
2
1
1 2
,
, ,
, , ,
,
n p q
n p
n n z
n p n p q q q
n n p q
a a C I q a a b b
1 2
, ' '
2
1
1 2
,
, ,
, , ,
,
n p q
n p
n n z
q n p n p q q
n n p q
C I q a a a a b b
1 2
, ' ' , ' '
2 2
1 1
1 2
, ,
, , , ,
, , ,
n p q n p q
n p n p
n n z
q n p n p n p n p q q
n n p q
C I q a a a a a a a a b b
1 2 2 1
' , '
2
1
1 2
,
, ,
, , ' , , '
, , ,
n p q
n p
n n z n n n n
q n p p p q n p p p q q
n n p q
C I q a a a a b b
1 2 1 2
,
1 2
1 2
,
, ,
, ,
n p q
n p p
n n z n n z
q n p q q q n p q q
n q n q
C I q a a b b C I q a a b b
Chuyển
2 1 1
; 'n n n n
tasuyra:
'
,
3 '
,
',
n p p
nn z
q n p q q
t
t
n q
sh C I q a a b b
',
'
, ,
',
n p q
nn z
q n p q q
t
n q
C I q a a b b
' '
, ,
'
, ,
',
n p p n p p
nn z
q n p q n p q
t t
n q
C I q a a b a a b
', ',
, ,
n p q n p q
n p q n p q
t t
a a b a a b
'
',
,
*
'
, ,
',
n p p
n p p
nn z
q n p q n p q
t
t
n q
C I q a a b a a b
', , ',
*
,
n p q n p n p q
n p q q
t t
a a b a a b
(11)
Thay(9),(10),(11)vào(8)tađược:
11
'
',
,
*
,
'
, ,
',
( )
n p p
n p p
n p
m
nn z
q n p q n p q
t
t
n q
n t
i C I q a a b a a b
t
', , ',
*
,
n p q n p n p q
n p q q
t t
a a b a a b
*
'
, , ', , ', , , ,
',
nn z
q n p n p p q n p p n p q
n q
C I q F t F t
*
, , ', , ', , , ,n p n p q q n p q n p q
F t F t
, , ', ,
*
'
', , , ,
',
n p n p p q
nn z
q n p p n p q
n q
C I q F t F t
*
, , ', , ', , , ,n p n p q q n p q n p q
F t F t
(12)
Với:
1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , ,n p n p q n p n p q
t
F t a a b
(13)
Xây dựng biểu thức tính
1 2
1 2
, , , ,n p n p q
F t
Phươngtrìnhđộnglượngtửcho
1 2
1 2
, , , ,n p n p q
F t
:
1 2
1 2
1 1 2
2
, , , ,
, ,
,
n p n p q
n p n p q
t
F t
i a a b H
t
1 2
1 2
1 1 2
2
, , , ,
0
, ,
,
n p n p q
n p n p q
t
F t
i a a b H U
t
(14)
Talầnlượttínhcácsốhạngcủa(14)
Sốhạngthứnhất:
1 1 2 2
1
, , , ,
,
,
n
n p n p q n p n p
t
n p
t
e
sh a a b p A t a a
c
1 1 2 2
, , , ,
,
,
n
n p n p q n p n p
n p
t
e
p A t a a b a a
c
12
1 1 2 2
, , , ,
,
,
n
n p n p q n p n p
t
n p
e
p A t a a b a a
c
1 1 2 2 1 1 2 2
, , , , , , , ,
,
n
n p n p q n p n p n p n p n p n p q
t
n p
e
p A t a a b a a a a a a b
c
2
1 1 2 2 2
1
1 1 1 2 2
,
, , , , ,
,
,
, , , , ,
n n n
n p p p n p n p n p q
n p
n n
n p p p n p n p n p q
t
e
p A t a a a a b
c
a a a a b
2 1
1 1 2 2 2 1
, ,
, , , , , ,
,
n n n n n
n p n p q p p n p n p q p p
t
n p
e
p A t a a b a a b
c
2 1
1 1 2 2
2 1
, ,
n n
n p n p q
t
e e
p A t p A t a a b
c c
Tacó:
2 2
2 2 2
* * 2
,
cos
2 2
n
n z
n p
p
n
p d
m m d
Dođó:
2 1
2 2 1 1
2 1 2 1
, ,
n n
n p n p
e e e
p A t p A t p p A t
c c m c
Suyra:
2 2 1 1 1 1 2 2
1 2 1
, , , ,n p n p n p n p q
t
t
e
sh p p A t a a b
m c
2 2 1 1 1 1 2 2
2 1
, , , , , ,n p n p n p n p q
e
p p A t F t
m c
(15)
Số hạng thứ hai:
1 1 2 2 1 1 1
1 1
2
, ,
,
,
n p n p q q q q
t
m q
t
sh a a b b b
1 1 1 2 2 1 1
1
, ,
,
q n p n p q q q
q
t
a a b b b
1 1 1 2 2 1 1 1 1
1
, ,q n p n p q q q q q q
t
q
a a b b b b b b
1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1
1
, , ,q n p n p q q q q q q q q
t
q
a a b b b b b b
13
1 1 2 2
, , , ,q n p n p q
F t
(16)
Số hạng thứ ba:
3 4
,
1 1 2 2 1 1 1
4 3
3 4 1
,
3
, ,
, ,
,
n p q
n p
n n z
n p n p q q q q
t
n n p q
t
sh a a b C I q a a b b
3 4
,
1 1 1 2 2 1 1
4 3
3 4 1
,
1
, ,
, ,
,
n p q
n p
n n z
q n p n p q q q
t
n n p q
C I q a a b a a b b
Xét:
,
1 1 2 2 1 1
4 3
,
, ,
,
n p q
n p
n p n p q q q
a a b a a b b
, ,
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
4 3 4 3
, ,
, , , ,
n p q n p q
n p n p
n p n p q q q n p n p q q q
a a a a b b b a a a a b b b
2 4
,
1 1 2 2 2 1 1
4 3
,
,
, , ,
n p q
n p
n n
n p p p q n p q q q
a a a a b b b
,
1 1 2 2 1 1
4 3
,
, ,
n p q
n p
n p n p q q q
a a a a b b b
2 4
,
1 1 2 2 2 1 1
4 3
,
,
, , ,
n p q
n p
n n
n p p p q n p q q q
a a a a b b b
1 3
,
1 1 1 1 1
4 3
,
,
, ,
n p q
n p
n n
p p n p q q q
a a a b b b
2 4 2 4
,
1 1 1 1 2 2 2 1 1
2
3 4
,
, ,
, , , ,
n p q
n p
n n n n
n p q q q p p q n p q q q p p q
a a b b b a a b b b
2 4 1 3
,
1 1 1 1 2 2 2 1 1
1
3 4
,
, ,
, , , ,
n p q
n p
n n n n
n p q q q p p q n p q q q p q
a a b b b a a b b b
2 4 1 3
,
1 1 1 1 2 2 2 1 1
1
3 4
,
, ,
, , , ,
n p q
n p
n n n n
n p q q q p p q n p q q q p q
a a b b b a a b b b
Khiđó:
2 3
1 1 1 1 1
3 2
1
2 3 1
,
3 1
,
, ,
q
n p
n n z
q n p q q q
t
t
n n q
sh C I q a a b b b
2 4
,
1 2 2 1 1
4
1
1 4 1
1
,
, ,
n p q
n n z
q n p q q q
t
n n q
C I q a a b b b
(17)
Thay(15),(16),(17)vào(14)tađược:
1 2
1 2
2 2 1 1 1 1 2 2
, , , ,
2 1
, , , , , ,
n p n p q
n p n p q n p n p q
F t
e
i p p A t F t
t m c
14
2 3
1 1 1 1 1
3 2
1
2 3 1
,
1
,
, ,
q
n p
n n z
q n p q q q
t
n n q
C I q a a b b b
1 4
,
1 2 2 1 1
4
1
1 4 1
1
,
, ,
n p q
n n z
q n p q q q
t
n n q
C I q a a b b b
(18)
Đểgiải(18),trướchếttađigiảiphươngtrìnhviphânthuầnnhất:
, , , ,
1 2
1 2
, , , ,
2 2 1 1
1 1 2 2
0
0
2 1
, ,
n p n p q
n p n p q
n p n p q
F t
e
i p p A t F t
t m c
(19)
Sửdụngđiềukiệnđoạnnhiệt
, , , ,
1 1 2 2
0
ln 0
n p n p q
t
F t
,tadễdàngtínhđượcnghiệm
củaphươngtrìnhthuầnnhất(19)trêncódạng:
, , , ,
2 2 1 1
1 2
1 2
0
2 1 1
, ,
i
exp
n p n p q
t
n p n p q
e
F t p p A t dt
m c
(20)
Khiđó,nghiệmcủaphươngtrình(18)códạng:
1 2 1 2
1 2 1 2
0
, , , , , , , ,n p n p q n p n p q
F t M t F t
(21)
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
0
, , , , , , , ,
0
, , , ,
n p n p q n p n p q
n p n p q
F t F t
M t
i i F t i M t
t t t
(22)
Thay(20),(21)và(22)vào(18),rồiđồngnhấtcáchệsốtađượckếtquảsau:
2 2 1 1
2 1 1
, ,
( ) i
exp *
t
n p n p q
M t i e
p p A t dt
t m c
*
2 3
1 1 1 1 1
3 2
1
2 3 1
,
1
,
, ,
q
n p
n n z
q n p q q q
t
n n q
C I q a a b b b
1 4
,
1 2 2 1 1
4
1
1 4 1
1
,
, ,
n p q
n n z
q n p q q q
t
n n q
C I q a a b b b
15
1 4
,
1 2 2 1 1
4
1
1 4 1
1
,
, ,
i
( )
n p q
t
n n z
q n p q q q
t
n n q
M t C I q a a b b b
2 3
1 1 1 1 1
3 2
1
2 3 1
,
1
,
, ,
*
q
n p
n n z
q n p q q q
t
n n q
C I q a a b b b
1
2 2 1 1
2 1 2 1
, ,
i
*exp
t
n p n p q
e
p p A t dt dt
m c
(23)
Thay(20),(23)vào(21)tađượcdạngcủabiểuthứchàmtrunggian:
1 4
,
1 1 2 2 1 2 2 1 1
4
1
2
1 4 1
1
, , , , ,
, ,
i
n p q
t
n n z
n p n p q q n p q q q
t
n n q
F t C I q a a b b b
2 3
1 1 1 1 1
3 2
1
2
2 3 1
,
1
,
, ,
*
q
n p
n n z
q n p q q m q
t
n n q
C I q a a b b b
1 1 2 2
2
2 1 2 1 1 2
*
, ,
*exp
t
n p n p q
t
i ie
t t p p A t dt dt
m c
(24)
Thay(24)vào(12)rồibiếnđổichỉsốtathuđược:
,
'
2
',
1
*
n p
nn z
q
n q
n t
C I q
t
,
2
2 '
,
*
n p
t
n n z
q n p q q q
t
dt C I q a a b b b
2
',
'
',
*
q
n p
n n z
q n p q q q q
t
C I q a a b b b
2
2 1 1
*
', ,
*exp
t
n p q n p q
t
i ie
t t q A t dt
m c
',
2
'
,
n p q
n n z
q n p q q q q
t
C I q a a b b b
2
,
'
,
*
n p
n n z
q n p q q q
t
C I q a a b b b
16
2
2 1 1
*
, ',
*exp
t
n p n p q q
t
i ie
t t q A t dt
m c
2
'
', ',
n n z
q n p q n p q q q q
t
C I q a a b b b
,
1 1
2
'
,
*
n p
n n z
q n p q q q
t
C I q a a b b b
2
2 1 1
*
, ',
*exp
t
n p n p q q
t
i ie
t t q A t dt
m c
4 1
2
'
, ,
n n z
q n p n p q q q
t
C I q a a b b b
',
2
' 1
',
*
n p q
n n z
q n p q q q q
t
C I q a a b b b
2
2 1 1
*
', ,
*exp
t
n p q n p q
t
i ie
t t q A t dt
m c
2
,
'
2
',
1
*
n p
nn z
q
n q
n t
C I q
t
,
2 2
',
2
, ',
* *
n p q
n p
t
n p q q q n p q q q q
t t
dt a a b b b a a b b b
2
2 1 1
*
', ,
*exp
t
n p q n p q
t
i ie
t t q A t dt
m c
',
2
2
,
', ,
*
n p q
n p
n p q q q q n p q q q
t
t
a a b b b a a b b b
2
2 1 1
*
, ',
*exp
t
n p n p q q
t
i ie
t t q A t dt
m c
,
2
2
', ', ,
*
n p
n p q n p q q q q n p q q q
t
t
a a b b b a a b b b
2
2 1 1
*
, ',
*exp
t
n p n p q q
t
i ie
t t q A t dt
m c
17
',
2
2
, , ',
*
n p q
n p n p q q q n p q q q q
t
t
a a b b b a a b b b
2
2 1 1
*
', ,
*exp
t
n p q n p q
t
i ie
t t q A t dt
m c
(25)
Toántửsốhạtcủađiệntử:
2
2
, , ,
( )
n p n p n p
t
n t a a
và
2
2
', ', ',
( )
n p q n p q n p q
t
n t a a
Toántửsốhạtcủaphonon:
2
q q q
t
N b b
và
2
1
q q q
t
N b b
Chuyểnkíhiệu:
, ,
( ) ( )
n p n p
n t f t
.
Dotínhđốixứngnêntasửdụng
q q
và
q q
;bỏquasốhạngchứa
2
q q
t
b b
và
2
q q
t
b b
của(25)trongquátrìnhbiếnđổi. Khiđóphươngtrình(25)đượcviếtlại
dướidạng:
',
2
,
' 2 2 2
2
,
',
1
1 *
q
n p
t
n p
nn z
q n p q q
n q
f t
C I q dt n t N n t N
t
2
2 1 1
*
', ,
*exp
t
n p q n p q
t
i ie
t t q A t dt
m c
,
2 2
',
1 *
n p
q n p q q
n t N n t N
2
2 1 1
*
, ',
*exp
t
n p n p q q
t
i ie
t t q A t dt
m c
2 2
', ,
1 *
n p q q n p q
n t N n t N
2
2 1 1
*
, ',
*exp
t
n p n p q q
t
i ie
t t q A t dt
m c
2 2
, ',
1 *
n p q n p q q
n t N n t N
18
2
2 1 1
*
', ,
*exp
t
n p q n p q
t
i ie
t t q A t dt
m c
',
2
' 2 2 2
2
,
',
1
1 *
q
n p
t
nn z
q n p q q
n q
C I q dt f t N f t N
2
2 1 1
*
', ,
*exp
t
n p q n p q
t
i ie
t t q A t dt
m c
,
2 2
',
1 *
n p
q n p q q
f t N f t N
2
2 1 1
*
, ',
*exp
t
n p n p q q
t
i ie
t t q A t dt
m c
2 2
', ,
1 *
n p q q n p q
f t N f t N
2
2 1 1
*
, ',
*exp
t
n p n p q q
t
i ie
t t q A t dt
m c
2 2
, ',
1 *
n p q n p q q
f t N f t N
2
2 1 1
*
', ,
*exp
t
n p q n p q
t
i ie
t t q A t dt
m c
(26)
Thay thế véctơ của trường bức xạ:
0
os
cF
A t c t
vào các biểu thức
2
1 1
( )
t
t
q A t dt
tađược:
2
0
1 1 2
2
( ) sin sin
t
t
q F c
q A t dt t t
(27)
Thay(27)vào(26)tađược:
',
2
,
' 2 2 2
2
,
',
1
1 *
q
n p
t
n p
nn z
q n p q q
n q
f t
C I q dt f t N f t N
t
0
2 2
* 2
', ,
*exp sin sin
n p q n p q
q F c
i ie
t t t t
m c
19
,
2 2
',
1 *
n p
q n p q q
f t N f t N
0
2 2
* 2
, ',
*exp sin sin
n p n p q q
q F c
i ie
t t t t
m c
2 2
', ,
1 *
n p q q n p q
f t N f t N
0
2 2
* 2
, ',
*exp sin sin
n p n p q q
q F c
i ie
t t t t
m c
2 2
, ',
1 *
n p q n p q q
f t N f t N
0
2 2
* 2
', ,
*exp sin sin
n p q n p q
q F c
i ie
t t t t
m c
(28)
Ápdụngkhaitriển:
exp sin
ik
k
k
iz J z e
(với
k
J z
làhàmBessel)
Đặt:
0 0
* * 2
ecq F ecq F
m m
Tacó:
0
2
* 2
exp sin sin
q F cie
t t
m c
2
,
exp ( ) ( )
s l
s l
J J i s l t is t t
(29)
Thay(29)vào(28)vàthêmthừasố
2
( )t t
e
với
0
tađược:
2
,
' 2
2
,
', ,
1
exp ( ) ( )
n p
nn z s l
q
s l
n m q
f t
C I q J J i s l t is t t
t
',
2 2 2
,
* 1 *
q
n p
t
n p q q
dt f t N f t N
2
', ,
*exp
n p q n p q
i
s i t t
20
,
2 2
',
1 *
n p
q n p q q
f t N f t N
2
', ,
*exp
n p q n p q
i
s i t t
2 2
', ,
1 *
n p q q n p q
f t N f t N
2
, ',
*exp
n p n p q q
i
s i t t
2 2
, ',
1 *
n p q n p q q
f t N f t N
2
, ',
*exp
n p n p q q
i
s i t t
(30)
ÁpdụngcôngthứcchuyểnphổFouriercho(30)vàbiếnđổi,tathuđược:
,
1
( )
2
i t
n p
f e d
t
2
'
2
,
',
1
exp ( ) *
m
nn z s l
q
s l
n q
C I q J J i s l t
2 2
',
2
,
1
* 1 *
2
q
n p
t
i t i t
n p q q
dt f e N f e N
2
', ,
*exp
n p q n p q
i
s i t t
2 2
',
,
1 *
q
n p
i t i t
n p q q
f e N f e N
2
', ,
*exp
n p q n p q
i
s i t t
2 2
', ,
1 *
i t i t
n p q q n p q
f e N f e N
2
, ',
*exp
n p n p q q
i
s i t t
21
2 2
, ',
1 *
i t i t
n p q n p q q
f e N f e N
2
, ',
*exp
n p n p q q
i
s i t t d
(31)
Đổithứtựlấytíchtrongvếphảicủa(31)vàlấy
s l
tacó
2
2
'
31
2
',
1 1
exp ( ) *
2
l
i t
nn z
q
l
n q
VP C I q J i s l t e
', ',
, ,
', , ', ,
1 1
*
q q
n p n p
n p q q n p q q
n p q n p q n p q n p q
f N f N f N f N
l i l i
', , ', ,
, ', , ',
1 1
n p q q n p q n p q q n p q
n p n p q q n p n p q q
f N f N f N f N
l i l i
(32)
Xét:
31
, ,
1
2
i t
n p n p
VT i f i f e d
(33)
Sosánh(32)và(33)tasuyra:
2
2
'
2
,
',
1
*
l
nn z
n p q
l
n q
i f C I q J
', ',
, ,
', , ', ,
1 1
*
q q
n p n p
n p q q n p q q
n p q n p q n p q n p q
f N f N f N f N
l i l i
', , ', ,
, ', , ',
1 1
n p q q n p q n p q q n p q
n p n p q q n p n p q q
f N f N f N f N
l i l i
(34)
Thựchiệnbướcchuyểnđổi
q q
,
l l
chosốhạngthứ(2)vàthứ(4)ở
biểuthức(34)
q q
và
l l
được:
22
2
2
'
2
,
',
1
*
l
nn z
n p q
l
n q
i f C I q J
', ',
, ,
', , ', ,
1 1
*
q q
n p n p
n p q q n p q q
n p q n p q n p q n p q
f N f N f N f N
l i l i
', , ', ,
, ', , ',
1 1
n p q q n p q n p q q n p q
n p n p q q n p n p q q
f N f N f N f N
l i l i
(35)
Đặt:
1
1
', ,
1
2
', ,
n p q n p q
n p q n p q
l i
l i
(36)
Ápdụngđẳngthức:
1 1 1
( ) 2 ( )i x i x
x i x x i x i
rồithựchiệnphépbiếnđổiFourierngượctathuđược:
2
,
2
'
2
,
',
( )
2
*
l
n p
nn z
m q
l
n q
f t
C I q J
t
',
, ', ,
* 1
q
n p
q n p q n p q n p q
f t N f t N l
',
, ', ,
1
q
n p
q n p q n p q n p q
f t N f t N l
(37)
PhươngtrìnhđộnglượngtửBoltzmannchođiệntử:
0
, , , ,
0
*
,
n p n p n p n p
H
f t f t f t f t f
p
eE t eE p h t
t r
m
p
(38)
Trongđó:
*
;
H
H t
eH
h t
m c H t
0
f
:làhàmphânbốcânbằnghạttải
:thờigianphụchồimomentxunglượngcủađiệntử
23
Từ(37)và(38)tacó:
, ,
0
*
,
n p n p
H
f t f t
p
eE t eE p h t
m r
p
2
0
,
2
'
2
',
2
*
l
n p
nn z
q
l
n q
f t f
C I q J
',
, ', ,
* 1
q
n p
q n p q n p q n p q
f t N f t N l
',
, ', ,
1
q
n p
q n p q n p q n p q
f t N f t N l
(39)
Tagiảiphươngtrình(39)bằngphươngphápxấpxỉgầnđúnglặp:
, ,n p n p
f t f
;
' '
, ,
n p q n p q
f t f
Khiđó:
0
, , ,
0
*
,
n p n p n p
H
f t f t f t f
p
eE t eE p h t
r
m
p
2
2
'
2
',
2
*
l
nn z
q q
l
n q
C I q J N
',
, ', ,
*
q
n p
n p n p q n p q
f f l
',
, ', ,
q
n p
n p n p q n p q
f f l
(40)
Tatìmhàmphânbốhạttảiđượctìmdướidạngtổhợptuyếntínhcủacácphầnđối
xứngvàphảnđốixứng:
0 1
,
( ) ,
n p
f t f f p t
(41)
Xéttrongtrườnghợpkhíđiệntửkhôngsuybiếntacó:
,
*
0 0
,
exp
n p
o
n p
B
f f n
k T
(42)
