SKKN Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Phần A: đặt vấn đề
I. lí do:
Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và
học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày một nâng cao. Muốn đáp ứng
được yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: Phải dạy và học thế
nào để đạt hiệu quả cao nhất.
Cùng với các môn học khác, môn toán là môn học giữ vai trò rất quan trọng.
Thông qua môn toán học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó có cư sở
thuận lợi để học các môn học khác, cũng như ứng dụng các kiến thức đ• học vào
thực tiễn. Dạy toán tức là dạy phưưng pháp suy luận. Học toán là rèn luyện khả
năng tư duy logic. Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích. Nó giúp các em
nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy, hình thành kĩ
năng kĩ xảo.
Đối với học sinh bậc trung học cư sở hiện nay thì nhiều phần trong môn
đại số là rất khó. Một trong các phần đó là phần bất đẳng thức. Các bài toán về
bất đẳng thức thường khó nhưng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú,
có nhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt tư duy sáng tạo, kĩ năng suy luận. Để
giải tốt loại toán này cần vận dụng rất nhiều kiến thức một cách linh hoạt. Trong
sách giáo khoa không đề cập nhiều đến dạng toán này, tuy nhiên trong các đề thi
học sinh giỏi, thi vào trung học phổ thông thì lại thường xuyên có loại toán này.
Bên cạnh đó nếu học tốt các bất đẳng thức sẽ giúp học sinh học tốt hưn các phần
khác. Qua tìm hiểu thực tế tôi thấy học sinh rất “sợ” dạng bài chứng minh bất
đẳng thức. Trước thực trạng như vậy chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở
phải làm thế nào để tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các bài toán về
bất đẳng thức.
Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin được trình bày một số ý kiến nhỏ mà qua
thực tế giảng dạy tôi thấy đ• làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải các
bài toán về bất đẳng thức, làm cho các em say mê, hứng thú học toán hưn.
II. Cơ sở lí luận và thực tiễn:
Bất đẳng thức là một vấn đề lớn trong chưưng trình toán phổ thông. Vấn đề này

được đưa vào một cách xuyên suốt từ lớp một trở lên. Nhưng ở các lớp dưới bất
đẳng thức chưa được trình bày một cách cụ thể mà thường được thể hiện dưới
dạng “ẩn”. Cụ thể là:
- ở lớp một, lớp hai, lớp ba thể hiện dưới dạng bài tập :
Điền dấu < , > , = thích hợp vào ô trống: 4 2 . . .
- ở lớp bốn, lớp năm còn có thêm dạng:
tìm số tự nhiên x biết rằng: 34 < x < 38
Trang 1
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
- lp sỏu, lp by bt ng thc th hin di dng: so sỏnh lu tha, so
sỏnh phõn s, so sỏnh hai s hu t. Trong hỡnh hc 7 thỡ cú bt ng thc tam
giỏc.
- n lp tỏm, SGK mi chớnh thc dnh riờng mt mc trỡnh by nh
ngha v mt vi tớnh cht ca bt ng thc, thng ch dng n gin ngn
gn. Cng t ú lng bi tp v bt ng thc cng nhiu v khú hn, chng
hn: chng minh biu thc luụn dng hay luụn õm, tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr
nh nht ca mt biu thc . . . Do va mi c lm quen v cha i sõu
nghiờn cu v nú, SGK cng khụng nờu ra cỏc phng phỏp chng minh bt
ng thc nờn khi gii bi tp hc sinh thng mc sai lm v nhiu khi khụng
bit bt u t õu. Vỡ th, hc sinh rt s cỏc bi tp chng minh bt ng thc.
Do ú giỏo viờn v hc sinh rt vt v trong vic nghiờn cu, su tm v tuyn
chn cỏc bi tp ca dng toỏn ny.
Trong nhng nm trc khi dy ụn thi, bi dng HSG thỡ phn bt ng thc
tụi ch hng dn cỏc em qua cỏc bi tp c th m khụng tng hp, phõn dng
cho cỏc em. Vi cỏch lm nh vy, tụi thy khi phi lm cỏc bi tp khỏc tng
t cỏc em rt lỳng tỳng khi tỡm li gii, mc dự vn cú mt s em lm c.
Vi mong mun khc phc tỡnh trng ny mt trong nhng bin phỏp tụi th
nghim thy hiu qu hn ú l: a ra phng phỏp gii ri ỏp dng. Cỏch lm
ú to cho cỏc em hiu v ghi nh cú h thng, t ú s d dng hn khi gii bi
tp v bt ng thc.

III . i tng, phng phỏp ngnhim v
1. i tng v phng phỏp nghiờn cu
*i tng nghiờn cu : hc sinh THCS
*Phng phỏp nghiờn cu :
+ iu tra, thc nghim, kho sỏt kt qu hc tp ca hc sinh.
+ Thc nghim ging dy bi dng hc sinh gii lp 8, 9.
+ Trao i trong cỏc nhúm chuyờn mụn.
+ iu tra, ỏnh giỏ kt qu ca hc sinh sau khi thc nghim ti.
2. Nhim v ca ti
- a ra nhng kin thc c bn nht v bt ng thc.
- xut mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.
- Rốn cho hc sinh k nng phõn tớch tỡm li gii bi toỏn chng minh bt ng
thc.
- Rốn cho hc sinh bit la chn phng phỏp gii hp lớ cho mi bi toỏn.
Mun vy phi rốn kh nng phõn tớch, xem xột bi toỏn di nhiu gúc khỏc
nhau, cng nh tớnh c thự ca mi bi toỏn, t ú m la chn cỏch gii phự
hp. Nú giỳp phỏt huy kh nng t duy sỏng to, linh hot, to c lũng say
mờ, t tin v khụng ngi ngựng khi gp bi ton v bt ng thc.

Trang
2
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
IV.nội dung đề tài
I : Các kiến thức cần nắm vững.
II : Một số phưưng pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức.
III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng.
IV :
Phần B: nội dung
i: các kiến thức cần nắm vững

1-Định nghĩa:
Hai số a và b bất kỳ:
a > b a - b > 0
a < b a - b < 0
Chú ý: với dấu “ ” cũng tưưng tự.
2 . Tính chất:
2.1 a > b b < a
2.2 nếu a > b và b > c thì a > c
2.3 nếu a > b, c bất kỳ thì a + c > b + c
3. Hệ quả:
a + c > b + c a > b
a + c > b a > b - c
a > b; c > 0 ac > bc
a > b; c < 0 ac < bc
4. Một số kiến thức bổ sung :
4.1 a > b; c > d a + c > b + d
4.2 a > b; c < d a – c > b - d
4.3 a > b 0; c > d 0 ac > bd
4.4 Nếu a > b và a.b > 0 thì
4.5 a > b > 0 a n > b n ( n N*)
4.6 a > b a n > b n (n N*, n lẻ )
an > bn (n N*, n chẵn )
4.7 So sánh hai lũy thừa cùng cư số
m > n, m; n N*
Nếu a > 1 thì am > an

Trang
3
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Nếu a = 1 thì am = an

Nếu 0 < a < 1 thì am < an
4.8 a2 0 a ;- a2 0 a dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.9 dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.10 - dấu “ = “ xảy ra a = 0
4.11 dấu “=”xảy ra ab 0
dấu “=” xảy ra ab 0 và
4.12 a2 +b2 2ab a ,b
4.13

4.16 2(a2+b2) (a+b)2 a,b
4.17 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2
4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm: Dấu”=” xảy ra
Mở rộng đối với n số không âm :
.
Dấu “=’ xảy ra
4.19 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Đối với bốn số bất kì:

Mở rộng đối với 2n số bất kì :

Dấu “=” xảy ra
II: một số phưưng pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng
Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A >
B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tưưng tự
1. Dùng định nghĩa.
Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0
*Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 4ab với mọi a, b R
Hướng dẫn:
Xét hiệu: (a + b)2- 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab
= a2 - 2ab + b2
= (a - b)2

Vì (a – b)2 0 với mọi a, b R nên (a + b)2 4ab với mọi a, b R
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Trang
4
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Vậy (a + b)2 4ab với mọi a, b R
*Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi a, b ta có :

Hướng dẫn:
Xét hiệu : a4 +b4 – a3b - ab3 = a3 (a-b) - b3( a-b)
= (a-b) (a3- b3)
= (a –b)2(a2 +b2 +ab)
= (a-b)2
Dấu “=” xảy ra khi a = b.
Vậy a4 + b4 a3b + ab3
2. Dùng các phép biến đổi tưưng đưưng
Muốn chứng minh A > B ta biến đổi
A > B (1) A > B … A > B (2)
Trong đó (1) là bất đẳng thức cần chứng minh.
(2) là bất đẳng thức đ• có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức).
*Ví dụ 3:
Cho các số dưưng a và b thỏa m•n điều kiện: a + b = 1.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:

ab +a+b+1 9ab (vì ab > 0)
a+b+1 8ab
2 8ab (vì a + b =1)
1 4ab

(a+b)2 4ab (vì a + b =1)
(a-b)2 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tưưng đưưng .
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
*Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng:
(1)
Hướng dẫn:
Do a > 0; b > 0 nên ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho
(1)
( Do )

(2)

Trang
5
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Ta thấy (2) đúng với mọi a, b > 0.
Do đó (1) đúng
Dấu “=” xảy ra a = b
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
*Ví dụ 5: Cho các số a, b > 0.
Chứng minh rằng: (1)
Hướng dẫn:
Vì a > 0; b > 0
Cả hai vế của (1) không âm, bình phưưng hai vế ta được

Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng
Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì
Dấu “=” xảy ra a = b
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức

- Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho thành
điều phải chứng minh.
- Sử dụng tính chất bắc cầu
Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > … > M > B.
Từ đó suy ra A > B.
Chú ý: Một số bước trung gian có thể xảy ra dấu “=” hoặc
*Ví dụ 6: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2
Hướng dẫn
Từ các bất đẳng thức:
a2 – 2ab +b2 với mọi a, b (1)
a2 – 2ac +c2 với mọi a, c (1)
b2 – 2bc +c2 với mọi b, c (3)
Do a + b + c = 1
(4)
Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4) ta được

*Ví dụ 7 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng
Hướng dẫn:
Vì a > 0 , b > 0 nên
Với hai số dưưng a, b và hai số dưưng ta có:
(Theo Côsi)
Vì các vế của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dưưng, nhân từng vế ta được:
= 4

Trang
6
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b
Vậy với a, b > 0 thì
*Ví dụ 8: Cho 0 < a, b, c, d < 1.

Chứng minh rằng: (1- a).(1- b).(1- c).(1- d) >1- a- b- c- d (1)
Hướng dẫn:
Ta có (1- a)(1- b) = 1- a - b + ab
Do a > 0; b > 0 nên ab > 0 từ đó suy ra: (1 - a)(1 - b)>1- a - b (1)
Do c <1 nên 1- c > 0 nhân cả hai vế của (1) với 1- c ta được :
(1- a)(1- b)(1- c) >(1- a- b)(1- c)=1- a - b - c + ac + bc
Do a, b, c > 0 nên ac + bc > 0 vì vậy 1- a- b - c + ac + bc > 1- a- b- c
Do đó (1- a)(1- b)(1- c) > 1- a- b - c (2)
Nhân hai vế của (2) với 1- d > 0 ta được :
(1- a)(1- b)(1- c)(1- d) > (1- a- b - c)(1- d)
Mà 1- a- b- c- d + ad + bd + cd > 1-a-b-c-d
(vì ad + bd + cd > 0)
Vậy (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) >1- a - b - c - d
*Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) với mọi a, b, c
Hướng dẫn
áp dụng ví dụ 1

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
*Ví dụ 10: Chứng minh bất đẳng thức:
<1
Hướng dẫn
Ta có:

suy ra
4. Sử dụng một số bất đẳng thứcđ• biết
Xuất phát từ các bất đẳng thức đ• biết như bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức
Bunhiacôpxki, … để chứng minh bất đẳng thức đ• cho.

Trang
7

mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức đ• cho cần xét đến điều kiện.
* Ví dụ 12: Cho a, b là 2 số dưưng. Chứng minh (a + b) .(ab + 1) ³ 4ab.
* Hướng dẫn:
Vì a > 0, b > 0 ị ab > 0
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp số dưưng (a, b) và (ab;1) ta có:

Vì 2 của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dưưng nên ta có

Vậy (a + b) . (ab + 1) ³ 4ab
Dấu "=" xảy ra khi
* Ví dụ 13: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki chứng minh:
a - Cho x, y ẻ R thoả m•n x2 + y2 = 1. Chứng minh:
b- Cho x, y ẻ R thoả m•n x + 2y = 2. Chứng minh:
Hướng dẫn:
a) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
(x + y)2 = (1 . x + 1 . y)2 Ê (12 + 12) . (x2 + y2)
Û (x + y) 2Ê 2(x2 + y2)
Û (x + y)2Ê 2 ( Vì x2 + y2 = 1)
Đó là điều phải chứng minh:
b) Từ đầu bài x + 2y = 2 suy ra (x + 2y)2 = 4
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
4 = (x + 2y)2 = (1x + 2y)2 Ê (12 + 22)(x2 + y2) = 5(x2 + y2)
Vậy (Điều phải chứng minh)
Đẳng thức xảy ra khi
* Ví dụ 14:
Chứng minh:
Với a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC; p = (a + b + c) / 2.
Hướng dẫn:
Do P là nửa chu vi của tam giác ABC nên.

p – a > 0; p - b > 0; p - c > 0
áp dụng bất đẳng thức ta có:

Trang
8
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có:
Vậy
Đó là điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
5. Dùng phản chứng:
Muốn chứng minh A > B (1)
Ta giả sử A B, từ đó ta chỉ ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc một tính chất
đúng nào đó. Do đó điều giả sử trên là sai.
Vậy bất đẳng thức (1) đúng.
*Ví dụ 15: Cho x2 + y2 Ê 2.
Chứng minh rằng: x + y Ê 2
Hướng dẫn:
Giả sử x + y > 2 ị x2 + y2 + 2xy > 4
Mà x2 + y2 ³ 2xy ị 2(x2 + y2) ³ x2 + y2 + 2xy > 4
ị x2 + y2 > 2 (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy giả sử trên là sai.
Do đó nếu x2 + y2 Ê 2 thì x + y Ê 2.
6. Dùng bất đẳng thức trong tam giác.
Tam giác ABC bất kỳ luôn có BC – AC < AB < BC + AC
*Ví dụ 16:
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) Ê a3 + b3 + c3 + 3abc.
Hướng dẫn:
Vì a, b, c có vai trò như nhau, không giảm tính tổng quát.
Giả sử: a ³ b ³ c > 0

Xét hiệu 3abc + a3 + b3 + c3 - a2 (b + c) - a2(b + c) - b2(c + a) - c2(a + b)
= 3abc + a3 + b3 + c3 - a2b - a2c - b2c - b2a - c2a - c2b
= a2(a - b) + b2(b - a) + c(2ab + a2 - b2) + c (c2 - bc + ab - ac)
= (a - b) (a2 + b2) - c(a - b)2 + c(c - a)(c - b)
= (a - b)2(a + b - c) + c(b - c)(a - c) ³ 0
(Vì: a ³ b; a + b > c; a ³ c; b ³ c; c > 0)
Vậy bất đẳng thức đ• cho đ• được chứng minh.

Trang
9
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
*Ví dụ 17:
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
a3 + b3 + c3 + 2abc < a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) (1)
Hướng dẫn:
Ta có:
(1) Û [a3 - a2 (b + c)] + [b3 + c3 - b2c - c2b] + [2abc - b2a - c2a] < 0
Û a2 (a - b - c) + (b - c) (b2 - c2) - a(b - c)2 < 0
Û a2 (a - b - c) + (b - c)2 (b + c - a) < 0
Û (a - b - c) [a2 - (b - c)2] < 0
Û (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) < 0 (2)
Vì b + c > a ; a + b > c ; a + c > b nên (2) đúng.
Vậy chứng tỏ (1) đúng (Điều phải chứng minh)
7. Phưưng pháp quy nạp
áp dụng với các bài tập tổng quát
Ta thử vào bất đẳng thức với giá trị nhỏ nhất theo dữ kiện của bài.
Giả sử bất đẳng thức đúng với k.
Chứng minh bất đẳng thức đúng với k + 1.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

*Ví dụ 18:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dưưng n > 1.
Ta đều có:

Hướng dẫn:
Đặt:
Xét n = 2 ta có:
Bất đẳng thức đúng khi n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 2
Nghĩa là:
Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Thật vậy với n = k + 1 ta có:

Trang
10
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Do đó Vậy bất đẳng thức đ• được chứng minh.
*Ví dụ 19:
Chứng minh rằng: 2n > n2 (1) ("n ẻ N, n ³ 5)
Hướng dẫn:
+ Với n = 5 bất đẳng thức (1) đúng vì 25 > 52
+ Giả sử bài toán đúng với n = k; k ³ 5
Tức là ta có: 2k > k2
Ta phải đi chứng minh: 2k+1> (k+1)2
Thật vậy: Ta có 2k > k2
ị 2k+1 > 2k2 (2)
Ta đi chứng minh: 2k2 > (k+1)2
Xét hiệu: 2k2 - (k+1)2 = k2 - 2k - 1 = k(k - 2) - 1
Do k ³ 5 ịk - 2 ³ 3 ị k(k - 2) ³ 15 ị k (k - 2) - 1 > 0
ị 2k2 > (k+1)2 (3)

Từ (2), (3) ị2k+1>(k+1)2
Vậy bất đẳng thức (1) đúng "n ³ 5, n ẻ N.
8. Phưưng pháp xét khoảng.
Ta xét các khoảng và chỉ ra bất đẳng thức luôn đúng trong các khoảng đó của
biến.
*Ví dụ 20:
Chứng minh rằng:
f(a) = 2003a4 - 2001a + 2002 > 0 " a
Hướng dẫn:
+ Xét: a < 1: f(a) = 2003a4 + 2001(1 - a) + 1 > 0
(Vì: 2003a4 ³ 0 " a; 2001(1 - a) > 0 " a<1; 1 > 0
+ Xét a ³ 1: f(a) = 2a4 + 2001a(a3 - 1) + 2002 > 0 " a
(Vì: 2a4 ³ 0 " a' 2001a(a3 - 1) ³ 0 " a ³ 1; 2002 > 0).
Vậy f(a)= 2003a4 - 2001a + 2002 > 0 "a.
9. Phưưng pháp đặt biến phụ
Ta đặt một biểu thức nào đó có liên quan đến biến của bất đẳng thức đ• cho
bằng một biến mới.
Sau đó chứng minh bất đẳng thức theo biến mới là đúng.
Kết luận bất đẳng thức đ• cho là đúng.
*Ví dụ 21:
Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng a 2 + b2 + c2
Hướng dẫn:

Trang
11
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
t a = +x, b = +y, c = +z. Vỡ a + b + c = 1 nờn x + y + z = 0.
a 2+ b2+c2= ( +x)2+( +y)2+( +z)2

Du ''='' x = y = z = 0

+Ta cng cú bi tỏn tng quỏt
Cho

Nhn xột chung:
Trờn õy l mt s phng phỏp ph bin dựng chng minh bt ng thc
ngoi ta cựng cũn mt s phng phỏp khỏc nhng ớt dựng hn.
hc tt v bt ng thc hc sinh cn nm vng cỏc phng phỏp c bn tu
theo c thự tng bi c th m vn dng linh hot cỏc phng phỏp ú.
Cn lu ý rng mt bi toỏn cú th vn dng nhiu cỏch chng minh.
chng III
mt s bi toỏn chng minh bt ng thc
Trong phn ny tụi trỡnh by theo hng sau:
1. Nờu cỏc bi toỏn c th, hng dn hc sinh phõn tớch, tng hp, suy lun v
i n ỏp dng theo tng dng c c th phn II.
2. Vi tng bi toỏn, la chn cỏc phng phỏp gii ngn gn, hp vi kh nng
ca hc sinh.
3. i vo gii tng dng c th v ỏnh giỏ kt qu.
Bi s 1:
Cho a, b, c > 0 chng minh rng:
+ Cỏch 1: La chn phng phỏp dựng nh ngha:
Hng dn:
Xột hiu

Trang
12
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
(Vì: ab > 0; bc > 0; ac > 0) do a, b, c > 0
Từ đó suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi A = 0
Û a - b = b - c = a - c = 0

Û a = b = c
Phưưng pháp này đưn giản nhưng chỉ áp dụng được với các bài toán dễ.
+ Cách 2 : Lựa chọn phưưng pháp bất đẳng thức Côsi, kết hợp với tính chất của
bất đẳng thức.
Hướng dẫn:
ở đây bất đẳng thức cần chứng minh là tích của hai tổng không âm vì a, b, c > 0.
Do vậy chúng ta có thể kết hợp với tính chất của bất đẳng thức:

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dưưng a, b, c và 3 số dưưng
Ta có:

Nhân từng vế của (1) và (2) ta có:
Điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Nhận xét:
+ Học sinh phải biết suy đoán và tổng hợp các kiến thức cư bản và các bất đẳng
thức đặc biệt để áp dụng. Dùng phưưng pháp này ngắn gọn, nhưng phải lý luận
chặt chẽ đối với từng bài toán, tránh mắc phải sai lầm.
+ Mở rộng từ bài toán trên với 3 số a, b, c dưưng ta có bài toán tổng quát sau:
Cho a1, a2, a3 an là n số dưưng thì ta có:
Bài số 2:
Cho a, b, c là cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức tam giác.
Vì là 3 cạnh của 1 tam giác nên.
(a + b) > c Û (a + b) c > c2 (1)
(a + c) > b Û (a + c) b > b2 (2)
(b + c) > a Û (b + c) a > a2 (3)
Cộng từ vế của (1); (2); (3) ta có:
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac). Điều phải chứng minh.

Bài số 3:

Trang
13
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Cho hàm số f(x) = (x + 3) (5 - x) với -3 Ê x Ê 5
Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất
* Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Chú ý:
1. Tổng của hai số không âm mà không đổi thì tích hai số lớn nhất khi hai số
bằng nhau.
2. Tích của hai số không âm là một số không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi
hai số bằng nhau.
Hướng dẫn:
Nhận xét: Với - 3 Ê x Ê 5 thì
(x + 3) và (x - 5) đều là hai số không âm.
Vậy áp dụng vào bài toán cụ thể trên ta có tổng hai số (x + 3) + (5 - x) = 8 là
một hằng số thì tích (x + 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi.
x + 3 = 5 - x
2x = 2

Vậy với x = 1 thì f(x) = (x - 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là:
fmax = 16.
Bài số 4:
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2.
Gọi S là diện tích của tam giác.
H•y chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc ³
Hướng dẫn:
Bài toán đặt ra là tam giác ABC có chu vi bằng 2 nghĩa là a + b + c = 2. Suy ra:
Max (a; b; c) < 1.

Suy ra 1 - a > 0; 1 - b > 0; 1 - c > 0
Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dưưng
1 - a; 1 - b; 1 - c.
Mà: a + b + c = 2
Trong bất đẳng thức (1) thì dấu bằng xảy ra khi a = b = c =

Trang
14
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) = 1 + ab + ac + bc - (a + b + c) - abc
Mà a + b + c = 2; Do đó ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = Hay ABC là tam giác đều có cạnh là
Bài số 5:
Giả sử: x + y + z = a; xy + yz + zx = b
Chứng minh rằng:
Max {x; y; z - min {x; y; z Ê
Hướng dẫn:
Đây là bài toán mà khi giải cần phải suy luận, phán đoán, tổng hợp các dạng mà
chọn ta thấy rằng 3 số x, y, z đóng vai trò như nhau.
Nên có thể giả sử: x y z
Ta nhận thấy a2 - 3b = (x + y + z)2 - 3(xy + yz + zx)
= x2 + y2 + z2 - (xy + yz + zx) ³ 0.
Khi có bất đẳng thức cần chứng minh có dạng tưưng đưưng sau:
Û 9(z - x)2 Ê 16(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz)
Û 9(z - x)2 Ê 8[(x - y)2 + (z - y)2 + (z - x)2]
Û (z - x)2 Ê 8[(x - y)2 + (z - y)2 ] (1)
Đến đây áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 d•y số (x - y); (y - z)
và 1; 1. Ta có:
2.[(x - y)2 + (y - z)2] ³ (x - z)2 (2)
Từ (2) suy ra (1) hiển nhiên đúng. Đó là điều phải chứng minh.

Nhận xét:
- Nhìn vào bài toán học sinh tưởng rằng rất khó và rất phức tạp. Nhưng chỉ cần
nhìn nhận rằng vai trò của x, y, z là đối xứng thì mấu chốt của bài toán đ• được
tháo gỡ.
- Đi đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Học sinh phải phân tích và tìm
được hai d•y số x - y; y - z và 1; 1 thì mới áp dụng và đi đến kết quả được.
Bài số 6:
Cho 3 số dưưng a, b, c. H•y chứng minh.
Hướng dẫn:

Trang
15
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Nhìn vào bài toán này học sinh có thể áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi nhưng sẽ
phức tạp và sẽ không đi đến lời giải được. Vậy ở đây chúng ta giải như sau:
Vì a; b; c > 0 nên:


Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có:
Đó là điều phải chứng minh: Dấu "=" Û a = b = c
Bài số 7:
Chứng minh rằng nếu n ³ 3 , n là số tự nhiên. Thì
Hướng dẫn:
Nhìn vào bài toán học sinh cảm nhận rất khó, chưa biết áp dụng cách giải nào.
Nhưng ở đây ta biến đổi bất đẳng thức đ• cho về dạng đưn giản hưn:
Vì 2 vế đều dưưng luỹ thừa cả hai vế bậc n(n + 1) ta có:
nn + 1 > (n + 1)n Û n > (1 + )n (1)
áp dụng phưưng pháp quy nạp:
- Với n = 3 thì (1) có dạng:
Vậy (1) đúng với n = 3.

- Giả sử (1) đúng khi n = k > 3 tức là k > (2)
- Phải chứng minh đúng với n = k +1
Ta có k >
Do đó (1) đúng với n = k + 1.
Vậy nếu n ³ 3, n là số tự nhiên. Thì
Bài số 8: Giải phưưng trình: x2 + y2 + z2 = x(y + z)
Hướng dẫn:
Ta chứng minh: x2 + y2 + z2 ³ xy + xz(1)
Bất đẳng thức (1) Û 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2xz ³ 0
Û (x – y)2 + (y - z)2 + y2 + z2 ³ 0 (2)
Xảy ra dấu "=" Û x = y = z = 0
Vậy x = y = z = 0 là nghiệm của phưưng trình.
Bài số 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ẵx - 2006ẵ+ẵx - 2007ẵ
Hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức ẵaẵ + ẵbẵ ³ ẵa + bẵ

Trang
16
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Ta có:A = ẵx - 2006ẵ + ẵx - 2007ẵ
= ẵx - 2006ẵ + ẵ2007 - xẵ³ ẵx - 2006 + 2007 - xẵ = 1
ị A ³ 1
Dấu "=" xảy ra Û (x - 2006)(2007 - x) ³ 0
Û 2006 Ê x Ê 2007
Vậy Min A = 1 Û 2006 Ê x Ê 2007
Bài số 10: Cho x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của A = ẵ3x + 4yẵ
Hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki.
(3x + 4y)2 Ê (32 + 42)(x2 + y2) = 25 . 1 = 25

ị ẵ3x + 4yẵ Ê 5
Max A = 5 Û x2 + y2 = 1
Max A = 5 Û (x, y) =
Bài số 11:
Chứng minh: Trong một tam giác ABC ta có ha + hb + hc ³ 9r trong đó ha, hb,
hc là 3 chiều cao của tam giác còn r là bán kính đường tròn nội tiếp.
Hướng dẫn:
Trong mọi tam giác ta luôn có (dùng công thức tính diện tích
tam giác).
áp dụng bất đẳng thức:
Ta có:
ị ha + hb + hc ³ 9 r (Điều phải chứng minh)
Dấu "=" xảy ra Û D ABC đều.
Bài số 12:
Cho tam giác ABC vẽ 3 phân giác AA', BB’, CC' gọi a1, b1, c1 tưưng ứng là các
khoảng cách từ A' đến AB, B' đến BC và C' đến AC gọi. ha, bb, hc là 3 chiều
cao của tam giác kẻ từ A, B, C.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Kẻ AH ^ BC, A'K ^ AB
ị AH = ha, A'K = a1
Trong D AA'B có BA'. ha = c.a1 = 2SAA'B
ị
Do AA' là phân giác của ABC nên ta có:

Trang
17
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Tưưng tự:
Như vậy:

Các bài tập tự luyện tập:
Bài số 1: Chứng minh rằng:
Bài số 2: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh:
a) abc ³ (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)
b) a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 3abc Ê a3 + b3 + c3.
Bài số 3: Cho phưưng trình: (x2 + 4)(y2 + 9) = 24xy (1).
Tìm nghiệm nguyên dưưng x, y của phưưng trình.
Bài số 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x - 3)(x - 4)(x - 7).
Bài số 5: Tìm giá trị lớn nhất của biết x, y là các số hữu tỷ khác 0 và
cùng dấu, đồng thời thoả m•n: x3 + y2 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0.
Bài số 6: Cho a, b, c là các số dưưng. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài số 7: Chứng tỏ
Bài số 8: Chứng minh rằng với mọi m, n không âm ta luôn có
mn.( m + n) m3 + n3
Bài số 9: Cho hai số dưưng a và b.
Chứng minh rằng a4 + b4 ab.(a2 + b2)
Bài số 10: Cho tam giác ABC, O là điểm tuỳ ý trong tam giác. Các tia AO, BO,
CO cắt các cạnh tam giác ABC thứ tự A', B', C'. Tìm vị trí O để:
iv. kết quả thực hiện:

Trang
18
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Khi ging dy mt s phng phỏp chng minh bt ng thc, tụi thy khi mi
bc vo loi bi tp ny, hc sinh rt lỳng tỳng. Rt nhiu em khụng xỏc nh
c hng gii hoc khụng nh cỏch gii khi gp cỏc bi tp tng t. Nhng
em khỏ hn thỡ gii thng thiu sút, khụng cht ch v hay mc sai lm. Sau
mt thi gian ging dy tụi th nghim vi cỏc i tng khỏc nhau, trc v
sau khi ỏp dng kinh nghim thu c kt qu nh sau:

1. Hc sinh i tr:
Tng s hc sinh: 40 em
Qua kho sỏt thc t t t l nh sau:
Gii Khỏ TB Yu
Trc khi ỏp dng 5% 15% 40% 40%
Sau khi ỏp dng 15% 20% 50% 15%
2. Bi dng hc sinh gii:
T nm hc 2001 2002 n nay tụi thng ph trỏch vic bi dng hc sinh
gii Toỏn 8, Toỏn 9. Nm no cng cú hc sinh gii cp Huyn, cú nm 2 em i
thi thỡ t c 2 vi s im khỏ cao.
t c kt qu nh vy u tiờn phi cú s n lc ca chớnh bn thõn cỏc
em. Bờn cnh ú thy phi tng cng a ra cỏc bi tp cỏc em tỡm tũi,
khỏm phỏ t ú mi tng hp li cỏc em nm sõu sc vn .
V. phm vi ỏp dng ca ti:
Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc c ỏp dng trong cỏc tit dy
bi dng hc sinh gii cỏc khi 8, 9 v ụn tp cho cỏc em lp 9 thi vo THPT.
Phn C: Kt lun
Trờn õy, tụi tng hp li mt s phng phỏp chng minh bt ng thc. ú
l cụng c cn thit chng minh bt ng thc. Mi phng phỏp cú mt u
th riờng ca nú, chn phng phỏp no ũi hi tớnh linh hot v kh nng nhỡn
nhn tng quỏt, kh nng khai thỏc, kh nng phõn tớch c im cỏc yu t
trong bi toỏn ú. õy khụng phi l kh nng t cú ca mi ngi m phi tri
qua quỏ trỡnh ren luyn lõu di cựng vi kin thc c trang b mt cỏch cú h
thng, lụgic.
Qua nghiờn cu ti v thc t ging dy tụi thy hc sinh tip thu bi tt hn,
cú hng thỳ gii cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc v mt s dng toỏn cú
liờn quan.
Vỡ dng toỏn ny c ỏnh giỏ l khú do ú khi hng dn hc sinh giỏo viờn
cng cn chỳ ý iu ny hiu qu ca ti cng nh vic ging dy c
cao hn.

Mc dự bn thõn cú nhiu c gng song khụng th trỏnh khi nhng thiu sút.
Rt mong nhn c s úng gúp ý kin xõy dng ca ng nghip ti
c hon thin.
Tụi xin chõn thnh cm n!

Trang
19
mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc


Trang
20