Một số kinh nghiệm trong giảng dạy toán lớp 9 (13).DOC

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán

A. Đặt vấn đề.
1. lý do chọn đề tài.
Trong chơng trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh đợc
làm quen với phơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phơng trình bậc
hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng trong việc giải toán.
Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trờng T.H.C.S tôi nhận thấy các em
vận dụng hệ thức Viét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và sử
dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính
ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán.
Đứng trớc vấn đề đó, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài: Một số ứng
dụng của định lý Viét trong việc giải toán với mong muốn giúp cho học sinh
nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng,
năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh.
2. đối tợng và phạm vi nghiên cứu.
Trong đề tài này, tôi chỉ đa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lý
Viét trong việc giải một số bài toán thờng gặp ở cấp T.H.C.S. Do đó chỉ đề cập
đến một số loại bài toán đó là:
a) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số
để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra
b) ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập phơng trình bậc hai một
ẩn, tìm hệ số của phơng trình bậc hai một ẩn.
c) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh.
d) áp dụng định lý Viét giải phơng trình và hệ phơng trình.
e) Định lý Viét với bài toán cực trị.
h
-1-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
B. nội dung.

Định lý Viét:
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì:
* Hệ quả: (trờng hợp đặc biệt)
a) Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phơng
trình có một nghiệm là: x
1
= 1 còn nghiệm kia là: x
2
=
b) Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phơng
trình có một nghiệm là: x
1
= - 1 còn nghiệm kia là: x
2
=

* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:
thì u, v là hai nghiệm của phơng trình: x
2
Sx + P = 0.

điều kiện để có hai số u, v là: S
2
4P 0.
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Viét trong giải
một số dạng toán.
h
-2-







=
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
a
c
a
c

=
=+
Pvu
Svu
.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
I. ứng dụng của định lý viét trong giải toán tìm điều kiện
của tham số để bài toán thoả m n các yêu cầu đặt ra.ã
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình
mx
2
- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện
1
2
2
2
1
=+
xx
Bài giải:
Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép):
m 0 ; ' 0

' = (m - 2)
2
- m(m - 3) = - m + 4
' 0 m 4.
Với 0 m 4, theo định lý Viét, các nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình
có liên hệ:
x
1
+ x
2
=
m
m )2(2
; x
1
.x
2
=
m
m 3
Do đó: 1 =
2
2
2
1
xx

+
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
2
2
)2(4
m
m
-
m
m )3(2
m
2
= 4m
2
- 16m + 16 - 2m
2
+ 6m
m
2
- 10m + 16 = 0

m = 2 hoặc m = 8
Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0 m 4
Vậy với m = 2 thì
2
2
2
1
xx
+
= 1
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
- 2(m - 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0. Tìm m để
phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
phân biệt thoả mãn
5
11
21
21
xx
xx
+
=+

Bài giải:

Ta phải có:







+
=+

>+=
(3)
(2)
(1)
5
xx
x
1
x
1
0.xx
03)2m(m2))(m(
21
21
21
22'

h
-3-

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
(1) ' = m
2
- 4m + 4 - m
2
- 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m <
6
7
(2) m
2
+ 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3
(3)
0).5)((
5.
2121
21
21
21
=+
+
=
+
xxxx
xx
xx
xx
Trờng hợp: x
1
+ x
2

= 0 x
1
= - x
2
m = 2 không thoả mãn điều
kiện (1)
Trờng hợp: 5 - x
1
.x
2
= 0 x
1
.x
2
= 5
Cho ta: m
2
+ 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0



=
=

K)Đ mãn(thoả 4m
(loại) 2m
Vậy với m = - 4 phơng trình đã cho có 2 nghiệm x
1
, x
2

phân biệt thoả
mãn
5
x
x
1
x
1
21
21
x+
=+
Ví dụ 3: Cho phơng trình: mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham
số).
a) Xác định m để các nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình thoả mãn
x
1
+ 4x
2
= 3
b) Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2

mà không phụ thuộc vào m
Bài giải:
a) Ta phải có:














+=

=+

=
+
=+
0)4()1(('
0
34
4
.
)1(2

2
21
21
21
mmm
m
xx
m
m
xx
m
m
xx
Từ (1) và (3) tính đợc:
m
m
x
m
m
x
3
85
;
3
2
12
+
=

=

Thay vào (2) đợc
m
m
m
mm 4
9
)85)(2(
2

=
+
2m
2
- 17m + 8=0
Giải phơng trình 2m
2
- 17m + 8 = 0 đợc m = 8; m =
2
1
thoả mãn điều kiện (4).
h
-4-
(1)
(2)
(3)
(4)
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Vậy với m = 8 hoặc m = thì các nghiệm của phơng trình thoả mãn
x
1

+ 4x
2
= 3.
b) Theo hệ thức Viét:
x
1
+ x
2
= 2 +
m
2
x
1
+ x
2
= 1 -
m
4
(*)
Thay
m
2
= x
1
+ x
2
- 2 vào (*) đợc x
1
x
2

= 1 - 2(x
1
+ x
2
- 2)
Vậy x
1
.x
2
= 5 - 2(x
1
+ x
2
)
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một
nghiệm chung:
x
2
+ 2x + m = 0 (1)
x
2
+ mx + 2 = 0 (2)
Bài giải:
Gọi x
0
là nghiệm chung nào đó của 2 phơng trình khi đó ta có
02
0
2
0

=++
mxx

02
0
2
0
=++
mxx
Trừ theo từng vế hai phơng trình ta đợc (m - 2)x
0
= m - 2
Nếu m = 2 cả hai phơng trình là x
2
+ 2x + 2 = 0 vô nghiệm
Nếu m 2 thì x
0
= 1 từ đó m = - 3
Với m = - 3: (1) là x
2
+ 2x 3 = 0; có nghiệm x
1
= 1 và x
2
= - 3
Và (2) là x
2
- 3x + 2 = 0; có nghiệp x
3
= 1 và x

4
= 2
Rõ ràng với m = - 3 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1.
2. Bài tập:
Bài 1: Cho phơng trình x
2
- (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)
Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x
1
= 2x
2
.
h
-5-
2
1
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Bài 2: Cho phơng trình mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm,
nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình thoả mãn: x
1
+ 4x

2
= 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 3:
a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm
chung. Tìm nghiệm chung đó?
x
2
- (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)
x
2
- (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của ph-
ơng trình (2) và ngợc lại.
II. ứng dụng của định lý viét trong bài toán lập ph-
ơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phơng trình bậc hai
một ẩn số:
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho x
1
=
2
13 +
; x
2
=

31
1
+
Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: x
1
; x
2
Ta có: x
1
=
2
13 +
; x
2
=
31
1
+
=
( )( )
2
1331

=

+
3131
Nên x
1
.x

2
=
2
13 +
.
31
1
+
=
2
1
x
1
+ x
2
=
2
13 +
+
31
1
+
=
3
Vậy phơng trình bậc hai có 2 nghiệm: x
1
; x
2
là x
2

-
3
x+
2
1
= 0
Hay 2x
2
- 2
3
x + 1 = 0
h
-6-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Ví dụ 2: Cho phơng trình: x
2
+ 5x - 1 = 0 (1)
Không giải phơng trình (1), hãy lập một phơng trình bậc hai có các
nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phơng trình (1)
Cách giải:
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình đã cho theo hệ thức viét, ta có:
x
1
+ x
2
= -5; x

1
.x
2
= - 1
Gọi y
1
; y
2
là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta có:
y
1
+ y
2
=
44
21
xx +
y
1
y
2
=
44
21
xx .
Ta có:
44
21
xx
+

= (x
1
2

+ x
2
2
)
2
- 2x
1
2
.x
2
2
= 729 2 = 727
44
21
xx
.
= (x
1
.x
2
)
4
= (- 1)
4
= 1
Vậy phơng trình cần lập là: y

2
- 727y + 1 = 0
Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phơng trình: x
2
+ px + q = 0 sao cho
hai nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình thoả mãn hệ:



=
=
35xx
5xx
3
2
3
1
21
Các giải:
Điều kiện = p
2
- 4q 0 (*) ta có:
x
1
+ x
2

= -p; x
1
.x
2
= q. Từ điều kiện:



=
=
35xx
5xx
3
2
3
1
1 2

( )
( )
( )



=++
=
35xx
xx
21
21

2
221
2
1
2
25
xxxx

( )
( )
( )



=++
=+
35xx
5x4xxx
21
2121
2121
2
2
25
2
xxxx

=
=
7qp
25p
2
1
q
4
Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6
Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)
h
-7-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
2) Bài tập:
Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là
3
+
2
và
23
1
+
Bài 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện:
Có tích hai nghiệm: x
1
.x
2
= 4 và

1
1
1
x
x
+
1
2
2
x
x
=
4
7
2
2


k
k
Bài 3: Xác định có số m, n của phơng trình: x
2
+ mx + n = 0
Sao cho các nghiệm của phơng trình làm m và n.
Iii. ứng dụng của định lý viét trong giải toán chứng minh.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phơng trình: x
2
+ px + 1 = 0 và b, c là
nghiệm của phơng trình x

2
+ qx + 2 = 0
Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.
Hớng dẫn học sinh giải. Đây không phải là một bài toán chứng minh
đẳng thức thông thờng, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các
nghiệm của 2 phơng trình và hệ số của các phơng trình đó. Vì vậy đòi hỏi
chúng ta phải nắm vững định lý Viét và vận dụng định lý Viét vào trong quá
trình biến đổi vế của đẳng thức, để suy ra hai vế bằng nhau.
Cách giải:
a,b là nghiệm của phơng trình: x
2
+ px + 1 = 0
b,c là nghiệm của phơng trình: x
2
+ qx + 2 = 0. Theo định lý viét ta có:





=
=+
1a.b
p -ba
và

=
=+
2b.c
q -cb
Do đó: (b a)(b c) = b
2
+ ac - 3 (1)
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b
2
+ ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b
2
+ ac +3 6 = b
2
+ ac - 3 (2)
h
-8-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)
Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:
a + b + c = - 2 (1); a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn

0;
3
4
khi biểu diễn
trên trục số:
Cách giải:
Bình phơng hai vế của (1) đợc:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1
bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a
2
+ 2a + 1
Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phơng trình:
X
2
+ (a + 2)X + (a
2
+ 2a + 1) = 0 (*)
Để (*) có nghiệm thì ta phải có:

= (a+2)
2
- 4(a
2
+2a+1) 0
a(3a + 4) 0 -
3
4
a 0
Chứng minh tơng tự ta đợc: -
3
4
b 0; -
3
4
c 0
2. Bài tập:
Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x
2
+ px + 1 = 0.
Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y
2
+ qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)
2
Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ()
200
dới dạng thập phân, ta đợc
chữ số liền trớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
iii. áp dụng định lý viét giải phơng trình và hệ phơng trình.

1. Các ví dụ:
h
-9-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Ví dụ 1: Giải phơng trình:






+

1
5
x
x
x






+

+
1
5
x

x
x
=6
Hớng dẫn:
ĐKXĐ: {xR x - 1}
Đặt:





+

+=
+

=
1
5
1
5
.
x
x
x
x
x
xu

=
=+
?.
?


u
u
Tính: u, v, rồi từ đó tính x.
Bài giải:
ĐKXĐ: {x R x - 1}
Đặt:





+

+=
+

=
1
5
1
5

.
x
x
x
x
x
xu

(*)













+

+

+

=






+

++






+

=+
1
5
.
1
5

1
5

1
5
.
x
x
x
x
x
xu
x
x
x
x
x
xu






=
=+
6.
5


u
u
u, v là nghiệm của phơng trình: x

2
- 5x + 6 = 0
= 25 24 = 1
x
1
=
2
15 +
= 3
x
2
=
2
15
= 2
u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3
Nếu:



=
=
2
3

u
thì (*) trở thành: x
2
- 2x + 3 = 0
' = 1 3 = - 2 < 0

Phơng trình vô nghiệm:
Nếu:



=
=
3
2

u
thì (*) trở thành: x
2
- 3x + 2 = 0
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 2
Vậy phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
= 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ phơng trình:
h
-10-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
a)

=
=+
31xy
11yx
b)





=+
=++
12y
2
x
2
xy
7yxyx
Bài giải:
a) x,y là nghiệm của phơng trình: x
2
- 11x +31 = 0
=(-11)
2
- 4.1.31 = 121 124 = - 3 < 0
Phơng trình vô nghiệm

Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P
Ta có hệ:





=
=+
12S.P
7PS
Khi đó S và P là hai nghiệm của phơng trình: t
2
7t + 12 = 0.
Giải phơng trình này đợc t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:
u
2
- 4u + 3 = 0
u = 1 và u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:
v
2
3v + 4 = 0
Phơng trình này vô nghiệm vì = 9 - 16 = - 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là:
(x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
2. Bài tập:

Bài 1: Giải phơng trình: x
3
+ 9x
2
+ 18 + 28 = 0
Bài2: Giải các hệ phơng trình sau:
a)



=+
=+
4yx
9yx
22
b)



=+
=+
17yx
3yx
44
h
-11-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
V. Định lý viét với bài toán cực trị:
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Gọi x

1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình:
x
2
- (2m - 1)x + m 2 = 0
Tìm m để
2
2
2
1
xx
+
có giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Xét: = 4m
2
- 4m + 1 - 4m + 8 = 4m
2
- 8m + 9 = 4(m - 1)
2
+ 5 > 0
Nên phơng trình đã cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lý Viét ta có: x
1
+ x
2
= 2m - 1; x
1

.x
2
= m - 2

2
2
2
1
xx
+
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= (2m - 1)
2
- 2(m - 2)
=4m
2
- 6m + 5 = (2m -
2
3
)
2

+
4
11

4
11
Dấu = xảy ra khi m =
4
3
Vậy Min(x
1
2
+ x
2
2
) =
4
11
khi m =
4
3
Ví dụ 2: Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình:
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2

+ 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2

Cách giải:
Để phơng trình đã cho có nghiệm thì:
' = (m + 1)
2
- 2(m
2
+ 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) 0
- 5 m - 1 (*)
Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x
1
+ x
2
= - m - 1
x
1
.x
2
=
2
34

2
++ mm
Do đó: A =
2
78
2
++ mm

h
-12-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Ta có: m
2
+ 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì:
(m + 1)(m + 7) 0.
Suy ra: A =
2
78
2
+ mm
=
2
)4(9
2
+ m

2
9
Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)
2

= 0 hay m = - 4
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là:
2
9
khi m = - 4, giá trị này thoả mãn điều
kiện (*).
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
A=(x
4
+ 1) (y
4
+ 1), biết x, y 0; x + y =
Cách giải:
A = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) = x
4
+ y
4
+ y
4
x
4
+ 1
Ta có: x + y = x
2
+ y
2

= 10 - 2xy
x
4
+ y
4
+ 2y
2
x
2
= 100 - 40xy + 4x
2
y
2
x
4
+ y
4
= 100 - 40xy + 2x
2
y
2
Đặt : xy = t thì x
4
+ y
4
= 100 - 40t + 2t
2
Do đó A = 100 - 40t + 2t
2
+ t

4
+ 1 = t
4
+ 2t
2
40t + 101
a) Tìm giá trị nhỏ nhất:
A = t
4
- 8t
2
+ 16 + 10t
2
- 40t + 40 + 45
= (t
2
- 4)
2
+ 10(t - 2)
2
+ 45 45
Min(A) = 45 t = 2, khi đó xy = 2; x + y = nên x và y là nghiệm của
phơng trình X
2
- X + 2 = 0.
Tức là x =
2
210 +
; y =
2

210
hoặc x =
2
210
; y =
2
210 +
b) Tìm giá trị lớn nhất:
Ta có: 0 xy
2
2






+ yx
=
2
2
10

=






2
5
0 t






2
5
(1)
h
-13-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Viết A dới dạng: A = t(t
3
+ 2t - 40) + 101.
Do (1) nên t
3

8
125

; 2t 5 t
3
+ 2t - 40
8
125
+ 5 - 40 < 0 còn t 0
nên A 101
Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y = hoặc x = ; y = 0
2. Bài tập:
Bài 1: Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình.
x
2
+ 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0
Tìm m để
2
2
2
1
xx
+
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
- m + (m - 2)
2
= 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x
1
x
2
+ 2x
1
+ 2x
2
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số).
Tìm m sao cho 2 nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình thoả mãn 10x
1
x
2
+
2
2
2
1
xx
+
đạt
giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
C. Kết luận.

ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi
hỏi ngời học phải có tính sáng tạo, có t duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết
một cách linh hoạt. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, ngời giáo viên
cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu
sâu bản chất và cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú
trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em. Cần th-
ờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy
sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.
Nghiên cứu đề tài ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán
không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp
cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. Mặc dù đã rất cố gắng khi
thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót về cấu trúc, ngôn ngữ và
h
-14-
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
kiến thức khoa học. Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng
nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Ngày 25 - 4 - 2006.


h
-15-