một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
,,
I . ĐẶT VẤN ĐỀ
Đất nước ta đang trong thời kì công nghiệp, hóa hiện đại hóa đất nước.
Nhiệm vụ của ngành giáo dục là đào tạo những con người lao động mới có đủ
tài năng, trí tuệ để tiếp thu những thành tựu khoa học kĩ thuật và công nghệ
tiên tiến của thế giới áp dụng vào việc phát triển kinh tế của đất nước. Từng
bước đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp. Để làm được điều đó thì
ngành giáo dục nói chung và mỗi người giáo viên nói riêng phải từng bước đổi
mới phương pháp giảng dạy,không ngừng học hỏi để nâng cao trình độ chuyên
môn nghiệp vụ của bản thân .
Muốn công nghiệp hóa, hiện đại hóa thành công thì phải không ngừng đào tạo
nhân lực , bồi dưỡng nhân tài. Do đó việc bồi dưỡng nhân tài là một nhiệm vụ
rất quan trọng của ngành giáo dục và của mỗi người giáo viên. Bồi dưỡng nhân
tài phải được thực hiện sớm từ bậc tiểu học, trung học cơ sở . Việc bồi dưỡng
nhân tài ở bậc trung học cơ sở được thể hiện ở bồi dưỡng học sinh giỏi, trong
đó có bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán .
Là giáo viên giảng dạy môn Toán THCS , tôi có nhiều năm tham gia vào
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán và rút ra một số kinh nghiệm . Sau
đây tôi xin trình bày một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán để
quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp cùng tham khảo .
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có hiệu quả theo tôi phải làm được những
công việc sau :
- Đầu năm phân loại đối tượng học sinh, chọn những em học khá Toán trở
lên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán .
- Chuẩn bị tài liệu , sách tham khảo , sách nâng cao môn Toán.
- Soạn nội dung bồi giỏi , trong nội dung bồi giỏi phải hệ thống, phân loại
được từng dạng Toán ở khối được phân công bồi .
- Lên kế hoạch bồi giỏi theo từng tuần .

Bản thân tôi nhiều năm được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 và đã
đạt được một số kết quả nhất định. Sau đây tôi xin lấy một số ví dụ cụ thể khi
bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 7 .
1. Tài liệu : Nâng cao và phát triển Toán 7 , Nâng cao và các chuyên đề Toán
7 , Bồi dưỡng Toán 7 , Toán phát triển
2. Kế hoạch bồi giỏi : Dạy từ 2 – 3 buổi trong một tuần bắt đầu từ 15/9
3. Một số dạng Toán cơ bản lớp 7 :
- Dạng toán tính toán .
- Dạng toán tìm x , tìm x, y là số nguyên
- Dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau .
- Dạng toán về đồ thị hàm số y = ax .
- Dạng toán về chia hết .
- Dạng toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
- Dạng toán tìm giá nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên .
- Dạng toán về đa thức , giá trị của biểu thức đại số .
- Dạng toán về chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng
nhau , hai góc bằng nhau , hai đoạn thẳng vuông góc .
- Dạng toán về tính số đo góc , tính độ dài đoạn thẳng .
-
Ngoài những công việc trên thì việc giảng dạy là quan trọng nhất . Khi giảng
dạy phải dạy cho học sinh theo từng dạng toán , theo từng chuyên đề . ở mỗi
dạng toán phải nêu bật cho học sinh cách làm và khai thác bài toán ở nhiều
khía cạnh khác nhau.
Ví dụ 1 : Tính A = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ + 3

2007

+Phân tích đề bài
- Biểu thức A là tổng các lũy thừa cơ số 3 có số mũ từ 0 đến 2007
- Để tính biểu thức A ta xét biểu thức 3A hoặc – 3A sau đó tính 3A – A hoặc
A – 3A ta sẽ tìm được giá trị của biểu thức A .
+ Lời giải :
Ta có 3A = 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ + 3
2008

Xét 3A – A = 3
2008
– 1
2A = 3
2008
– 1
A =
2
13
2008
−
+ Tổng quát cách giải :
Để tính A = 1 + a + a
2

+ a
3
+ + a
n

Xét aA – A từ đó tính A
+ Khai thác : Từ bài toán trên ta có các bài toán tương tự sau
Bài 1 : Tính
a) B = 2
2
+ 2
4
+ 2
6
+ + 2
2008
b) C =
3
1
+
2
3
1
+
3
3
1
+ +
2007
3

1
c) D =
2006642
200732
3 3331
3 3331
+++++
+++++
Bài 2 : So sánh
A = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ + 3
2007
và B = 3
2008
– 1
Bài 3 : Tìm x biết
x + 3x + 3
2
x + 3
3
x + 3
4
x + + 3
2007
x = 3

2008
– 1
Ví dụ 2 : Tìm x biết :
12 −x
+ 3 = 7 (1)
+ Phân tích đề bài
- Ta thấy x nằm trong dấu giá trị tuyệt đối , để tìm x ta phải bỏ được dấu giá
trị tuyệt đối .
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét biểu thức 2x – 1 khi nào âm , khi nào
không âm . Hoặc vận dụng tính chất
a
=
a−

+ Lời giải :
Cách 1 :
12 −x
+ 3 = 7

12 −x
= 4
 2x – 1 = 4 hoặc 2x – 1 = - 4
 x = 2,5 hoặc x = - 1,5
Cách 2 : Nếu 2x – 1
≥
0 suy ra x
≥
0,5 thì (1) có dạng :
2x – 1 + 3 = 7

⇔
x = 2,5 ( thỏa mãn x
≥
0,5 )
Nếu 2x – 1 < 0 suy ra x < 0,5 thì (1) có dạng :
-( 2x – 1 ) + 3 = 7
- 2x = 3
x = - 1,5 ( thỏa mãn x < 0,5)
Vậy x = 2,5 hoặc x = - 1,5
Tổng quát cách giải :
Dạng toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối chia thành một số dạng sau:
Dạng 1:
)(xA
= a (a
≥
0 )

⇒
A(x) =
±
a
Dạng 2:
)(xA
=
)(xB

⇒
A(x) =
±
B(x)

Dạng 3:
)(xA
±

)(xB

±

)(xC
=
)(xD

±

Cách giải:Lập bảng xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối.
Dạng 4:
)(xA
+
)(yB
+
)(zC
≤
0

⇒
A(x) =0
và B(y) =0
và C(z) =0
+ Khai thác : Từ bài toán (1) ta có bài toán tương tự sau.
a)

12 −x
+ 3x = 7
b)
12 −x
+3 = 7x
c)
12 −x
+3x = 7x
Ví dụ 3 : Tìm x , biết :
1+x
= 10x (2)
+ Phân tích:
- Ta có thể giải bài toán như ví dụ 2.
- Hoặc ta xét vế phải từ đó bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở vế trái.
+ Lời giải.
- Nếu x< 0 thì 10x < 0 khi đó không có giá trị nào của x thỏa mãn (2).
- Nếu x
≥
0 thì 10x
≥
0 và x+1 > 0 nên (2) có dạng :
x + 1 = 10x

⇒
x =
9
1
( thỏa mãn x
≥
0 )

Vậy x =
9
1
+ Khai thác : Từ cách giải của bài toán trên ta có thể giải các bài toán khó
hơn sau:
Tìm x , biết:
a)
1+x
+
2+x
+
3+x
+
9+x
= 10x
b)
100
1
+x
+
100
2
+x
+
100
3
+x
+ +
100
99

+x
= 100x
c)
1+x
+
3+x
+
2
3+x
+
3
3+x
+ +
2007
3+x
= ( 3
2008
+ 2007
)x
Ví dụ 4 : Cho tỉ lệ thức
b
a
=
d
c
( giả thiết các biểu thức đều có nghĩa ) . Chứng
minh
a)
b
ba +

=
d
dc +
b)
2






+
+
dc
ba
=
22
22
dc
ba
+
+
+ Phân tích đề bài :
Ta thấy tử và mẫu của các tỉ số có a + b , c + d . Để giải bài toán này ta có thể
sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau hoặc biến đổi VT , VP
của đẳng thức .
+ Lời giải :
a) Cách 1 : Từ tỉ lệ thức
b
a

=
d
c
->
c
a
=
dc
ba
d
b
+
+
=
->
d
dc
b
ba +
=
+
Cách 2 : Từ tỉ lệ thức
b
a
=
d
c
->
b
a

+ 1 =
d
c
+ 1 hay
d
dc
b
ba +
=
+
Cách 3 : Đặt
b
a
=
d
c
= t -> a = bt , c = dt
Ta có
1
)1(
+=
+
=
+
=
+
t
b
tb
b

bbt
b
ba
( 1 )

1
)1(
+=
+
=
+
=
+
t
d
td
d
ddt
d
dc
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
d
dc
b
ba +
=
+
Cách 4 : Từ
b

a
=
d
c
-> ad = bc -> ad + bd = bc + bd hay ( a + b)d =
( c+d )b ->
d
dc
b
ba +
=
+
b) Cách 1 : Từ tỉ lệ thức
b
a
=
d
c
->
c
a
=
dc
ba
d
b
+
+
=
->

2
2
2
2
2






+
+
==
dc
ba
d
b
c
a

(1)
Mà
22
22
2
2
2
2
dc

ba
d
b
c
a
+
+
==
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2






+
+
dc
ba
=
22
22
dc
ba
+
+
Cách 2 : Đặt
b

a
=
d
c
= t -> a = bt , c = dt
Ta có
2






+
+
dc
ba
=
2






+
+
ddt
bbt
=

2
2
d
b
(3)

22
22
dc
ba
+
+
=
( )
( )
2
2
2
2
ddt
bbt
+
+
=
2
2
d
b
(4)
Từ (3) và (4) suy ra

2






+
+
dc
ba
=
22
22
dc
ba
+
+
+Khai thác : Từ kết quả của bài toán trên ta có các bài toán tương tự sau
Bài 1 : Cho tỉ lệ thức
b
a
=
d
c
. Chứng minh
a)
20072007







+
=






+
d
dc
b
ba
b )
dc
d
b
ba
+
+
.
= 1
c)
20082008
20082008
2008

dc
ba
dc
ba
+
+
=






+
+
Bài 2 : Cho tỉ lệ thức
b
a
=
d
c
và a + b = c + d . Tính giá trị của biểu thức
nn
nn
dc
ba
+
+
Ví dụ 5 : Cho x , y là các số nguyên . Chứng minh 2x + y
5295  yx +⇔

+ Phân tích : Để giải bài toán này ta sử dụng tính chất chia hết của một tổng
hoặc một hiệu.
+ Lời giải :
Xét A = 3( 2x + y ) + ( 9x + 2y ) = 15x + 5y = 5( 3x + y )
5
Nếu 2x + y
5
thì 3( 2x + y )
5
mà A
5
nên 9x + 2y
5
Nếu 9x + 2y
5
mà A
5
suy ra 3( 2x + y )
5
mà ( 3 ; 5 ) = 1 nên 2x + y
5
Nhận xét cách giải : Để giải bài toán này ta phải lập được một biểu thức chia
hết cho 5 và trong biểu thức A phải chứa hai biểu thức 2x + y và 9x + 2y . Sau
đó sử dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu để chứng minh .
+ Khai thác : Từ bài toán trên ta có các bài toán có cách giải tương tự sau:
Cho a , b là các số nguyên . Chứng minh
a) a + 3b

2
⇔

a + b

2
b) 5a + 2b

13
⇔
a + 3b

13
c) 2a – b

4
⇔
5a + b

4
III. KẾT LUẬN
Qua nhiều năm thực hiện công tác bồi giỏi môn Toán 7 tôi thấy đa số học
sinh nắm được cách làm các dạng toán cơ bản . Kết quả là tỉ lệ học sinh đỗ
HSG Toán 7 cấp huyện hàng năm đạt cao và ổn định . Đội tuyển HSG Toán 7
nhiều năm đạt giải nhất nhì đồng đội .
Do trong khuôn khổ của một chuyên đề , tôi không thể trình bày hết được các
dạng Toán bồi giỏi của môn toán 7 và không tránh khỏi những sai sót . Kính
mong được sự đóng góp ý kiến , chỉ bảo của quý thày cô và các bạn đồng
nghiệp để bản thân ngày càng có nhiều kinh nghiệm hơn nữa trong công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi .
Canh Tân, ngày 20 tháng 5 năm 2007
Người viết

Vũ Doãn Chinh