Khóa luận tốt nghiệp toán Nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
===ỈOEDG3===
Đổ THỊ HƯỜNG
NHÚNG CHÌM NỬA NHÓM VÀO NHÓM
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • •
• •
Chuyên ngành: Đại số
Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN HUY HƯNG
HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian thực hiện khóa luận, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo
viên hướng dẫn, các giáo viên trong khoa Toán và được phía nhà trường tạo
điều kiện thuận lợi, tôi đã có một quá trình nghiên cứu tìm hiểu và học tập nghiêm túc để
hoàn thành khóa luận. Kết quả đạt được không chỉ do nỗ lực cá nhân tôi mà còn có sự giúp
đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè.
Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2. Đặc biệt là thày giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp này.
Trong quá trình thực hiện và trình bày khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót và
hạn chế. Do vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét của quý thầy cô và
các bạn để đề tài của tôi hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Đề tài chưa được công
bố trong bất cứ chương trình nghiên cứu khoa học nào.
Hà Nội, ngày tháng năm
Sinh viên
Khóa luận tôt
nghiệp
r

Đỗ Thị Hường
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN LỜI CAM
ĐOAN
Khóa luận tôt
nghiệp
r
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết nửa nhóm là một phần tương đối trẻ của toán học. Như một hướng
tách biệt của đại số với mục tiêu riêng của nó. Việc xác định rõ các bài toán và
phương pháp nghiên cứu của lý thuyết nửa nhóm được hình thành cách đây
khoảng 70 năm. Một ừong các động cơ chính đối với sự tồn tại một lý thuyết
toán học nào đó là những ví dụ thú vị và sự tự nhiên.
Khi nghiên cứu về lý thuyết nửa nhóm nó sẽ giúp ta tìm hiểu được thông tin
càn thiết về các tính chất của những nhóm chứa trong nửa nhóm đó. Ngày nay lý
thuyết nửa nhóm có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu một số ngành cơ
bản như: toán học, vật lý
Lý thuyết nhóm và lý thuyết nhóm có những sự liên hệ và tương phản với
nhau rất thú vị, và vấn đề này đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Xuất phát
từ điều này, tôi quyết định chọn đề tài: “Nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm” để
nghiên cứu. Nó cũng là một phần ừong sự liên hệ và tương phản của nhóm và
nửa nhỏm. Tôi hi vọng sẽ đưa ra được một số kết quả làm phong phú thêm các
kết quả trong lĩnh vực này.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kết quả của sự nhúng chìm nửa nhóm vào nhỏm.
3. ĐỔỈ tượng nghiên cứu
- Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm
- Tính nhúng được của nửa nhóm bất kì ừong nhóm
4. Phạm vỉ nghiên cứu

Tính nhúng được của một nửa nhóm trong một nhóm
Khóa luận tôt
nghiệp
r
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 4
5. Nhiệm yụ nghiên cứu
- Các khái niệm cơ bản và định lý có liên quan.
- Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm
- Nhóm tự do trên một nửa nhóm
- Bài toán tổng quát về nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm
- Các điều kiện Ptắc
- Xây dựng nhóm các thương
6. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: các tài liệu lý thuyết nửa nhóm đại
cương, tài liệu dịch, luận văn.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC Cơ SỞ
1.1. Nửa nhóm giao hoán giản ước được
1.1.1. Định nghĩa. Nửa nhóm s được gọi là NỬA NHÓM GIAO HOÁN nếu
phép toán trên s có tính chất giao hoán. Khi đó các phép toán trên s thường
được ký hiệu theo lối cộng.
Nếu s là vị nhóm với phép toán cộng thì đơn vị của s thường được gọi là
PHẦN TỬ KHÔNG và ký hiệu bởi 0 .
Giả sử (s,+) là một nửa nhóm không có đơn vị, khi đó s được nhúng
vị nhóm s° =Su|t| trong đó t là một ký hiệu không thuộc s thoả mãn điều
kiện X+t = t+x = X với mọi X eS°. Khi đó, t ừở thành phần tử đơn vị của
s.
Giả sử s là nhóm và A,B là các tập con khác rỗng của s. Ký hiệu A+B = |
a+b|aeA,beB|.
Khóa luận tôt
nghiệp

r
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 5
Tập con khác rỗng T của nửa nhóm s là NỬA NHÓM CON của s , nếu bản
thân T là nửa nhóm với phép toán của Scảm sinh trên T, nghĩa là a,b eT kéo theo
a+beT.
Giả sử |s
a
|a GIj là một họ các nửa nhóm con của nửa nhóm s sao cho
Pl khác rỗng.Thế thì T := Pl là một nửa nhóm con của s và là nửa
nhóm con nhỏ nhất của s chứa trong các S
a
,a e I .
Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm s. Khi đó giao của
tất cả các nửa nhóm con của s chứa B được gọi là NỬA NHÓM CON NHỎ NHẤT
Khóa luận tôt
nghiệp
r
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 6
của s sinh bởi B và được ký hiệu là (B). Rõ ràng (B) chứa tất cả các phần
n
tử dạng y>. =bj +b
2
H— trong đó bị eB,Vi = l,2, ,n.
Tập con khác rỗng I của nửa nhóm S được gọi là MỘT IĐÊAN của s nếu
I=)S+I,VseS, trong đó s+I:={s+a|aelj.
Giao của một họ tuỳ ý các iđêan của nửa nhóm s là một iđêan của s, nếu
giao này khác rỗng.
Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhỏm s. Thế thì Bu(B+S) là
iđêan của s và là iđêan nhỏ nhất của s chứa B. Nếu s là một vị nhóm thì
Bc(B+s)nên B+s là iđêan của s sinh bởi B.

Giả sử I là một iđêan của s sao cho I^s, thế thì I được gọi là ỈĐÊAN NGUYÊN TỐ
của s nếu x + yel kéo theo xel hoặc y el,(x,y eS). Như vậy
một iđêan thực sự I của nửa nhóm s là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu phàn bù
S\I của I trong s là một nửa nhóm con của s.
1.1.2. Định nghĩa. Giả sử (s,+) là một vị nhóm giao hoán có đơn vị là 0.
Khi đó, phàn tử seS được gọi là KHẢ NGHỊCH nếu tồn tại xeS sao cho s + x = 0.
Tập họp G tất cả các phần tử khả nghịch của s tạo thảnh một nhóm con của s
và là nhóm con lớn nhất của s chứa 0 .
n
Một tổng hữu hạn ^Sj các phần tử thuộc s là khả nghịch nếu và chỉ i=l
nếu mỗi phàn tử Sị khả nghịch. Như vậy S\G là một iđêan nguyên tố của s nếu
G^S.
Nếu H là một nhóm con tuỳ ý của s chứa 0, thế thì cũng như trong
trường hợp các nhóm H cảm sinh một phân hoạch s thành các lớp ghép rời
nhau S+H. Thực tế, nếu quan hệ p trên s được xác định bởi apb nếu
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 7
a=b+h,heH nào đó, thế thì p là một quan hệ tương đương trên s và S+H là một
p - lớp tương đương chứa s e s.
1.1.3. Định nghĩa. Giả sử s là một nửa nhóm. Phần tử seS được gọi là
GIẢN ƯỚC ĐƯỢC nếu s+a = s+b kéo theo a = b(a,beS).
Giả sử c là tập hợp tất cả các phần tử giản ước được của s và c^(|).
Thế thì c là nửa nhóm con của s. Khi đó, một tổng hữu hạn y^Sj các phần
i=l
tử thuộc c nếu và chỉ nếu mỗi Sj eC và tò đó s\c là một iđêan nguyên tố của s
nếu s*c. Trong trường hợp s=c, ta nói s là MỘT NỬA NHÓM GIẢN ƯỚC ĐƯỢC.
Một kết quả quan trọng trong Lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu rằng
nhóm giản ước được hữu hạn là một nhóm. Hiển nhiên, một nửa nhóm con của
một nhóm là giản ước được. Định lý 1.1.5 sau đây khẳng định kết quả ngược

lại.
1.1.4. Định lý. Giả sử (>S,+)/à một nửa nhóm giao hoán và c là nửa nhóm
con của s sao cho mỗi phần tử thuộc c giản ước được trong s, thế thì tồn tại
một phép nhúng f từ s vào một vị nhóm giao hoán T sao cho các điều kiện sau
đây thỏa mãn:
(1) Với mỗi ceC,/(c) có một khả nghịch trong T (mà ta sẽ kỷ hiệu là
-f(c)>■
T = ịf(s')—f(c)\seS,ceC}. Hơn nửa vị nhóm T được xác định
bởi các tỉnh chất (1) và (2) sai khác đẳng cẩu nửa nhóm.
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 8
Nầi s là nửa nhóm giản ước được và s—C thì T là một nhóm.
CHỨNG MINH. Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự như cách
xây dựng vành các số nguyên từ tập hợp tất cả các số nguyên không âm.
Giả sử A = SxC và ~ là quan hệ trên A xác định bởi nếu Sj + c
2
= s
2
+Cj. Vì c
giản ước được nên ~ là quan hệ tương đương trên A. Ký hiệu [s,c] là lớp tương
đương chứa (s,c) và T là tập tất cả các lớp tương đương [s,c] với seS,ceC. Thế
thì, T cùng với phép toán cho bởi
[s
1
,c
1
] + [s
2
,c

2
] = [s
1
+s
2
,c
1
+c
2
]
là một vị nhóm đối với đơn vị là (c,c) với mọi ceC. Hơn nữa, ánh xạ f :S—»T
xác định bởi f(s) = [s+c,c] là một phép nhúng từ s vào T. Nếu ceC, thế thì f(c)
= [2c,c] có nghịch đảo [c,2 c] trong T, và một phàn tử [s,c] tuỳ ý thuộc T được
viết dưới dạng [s+c,c]+[c,2c]=f (s)-f (c). Rõ ràng T được xác định (Bởi các
tính chất (1) và (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa là nếu g:S—»T Là một
phép nhúng từ s vào một vị nhóm giao hoánT sao cho hai điều kiện (1 ) và (2 )
được thoả mãn thì tồn tại một đẳng cấu nửa nhóm j: T —» T’ sao cho JOF = G,
nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
Hơn nữa, nếu s = c thì một phần tử tuỳ ý [r,c] của T có nghịch đảo [c,r]
ừong T nên T là một nhóm. Điều này kết thúc phép chứng minh. □
1.1.5. Định nghĩa . Vị nhóm thương được xây dựng trong phép chứng
minh Định lý 1.1.4 được gọi là VỊ NHÓM THƯƠNG CỦA s THEO c.
T’
Khóa luận tôt
nghiệp
r
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 9
Vì f là đơn cấu nên ta có thể đồng nhất f (s) với s, và như vậy mỗi
phần tử của T được viết dưới dạng s - c để thay thế cho f (s) - f (c). Nếu s
giản ước được, thế thì nhóm T trong Định lý 1.1.5 được gọi là nhóm thương

của s và nếu không kể đến sự sai khác đẳng cấu thì T chính là nhóm aben nhỏ
nhất mà s có thể được nhúng vào.
1.2. Nửa nhóm giao hoán sắp thứ tự được.
Trong mục này chúng ta xác định lớp các nửa nhóm giao hoán thừa nhận
một quan hệ thứ tự toàn phàn tương thích với phép toán nửa nhóm.
1.2.1. Định nghĩa, (i) Một quan hệ hai ngôi p trên nửa nhóm (S,+) được gọi
là TƯƠNG THÍCH với phép toán nửa nhóm nếu apb kéo theo(a + x)p(b+x) đối
với a,b,xeS.
(ii) Một quan hệ hai ngôi p ừên một tập hợp s tuỳ ý được gọi là MỘT THỨ TỰ
BỘ PHẬN nếu nó phản xạ, bắc cầu, phản xứng và thứ tự bộ phận p được
gọi là THỨ TỰ TOÀN PHẦN ttên s nếu đối với các phần tử phân biệt a,b e
S, hoặc apb hoặc bpa.
Một quan hệ thứ tự bộ phận được ký hiệu bởi < và ký hiệu a > b hoặc
b < a được sử dụng để chỉ b < a và b ^ a.
(iii) Nửa nhóm s gọi là SẲP THỨ TỰ BỘ PHẬN ĐƯỢC (TƯƠNG ỨNG, SẮP THỨ
TỰ TOÀN PHẦN ĐƯỢC) dưới quan hệ < nếu < là một thứ tự bộ phận
( tương ứng, thứ tự toàn phàn) trên s và < tương thích với phép toán
nửa nhóm trên s.
Chú ý. Giả sử (S, +) là một vị nhóm giao hoán với đơn vị
là phần tử 0. Nếu {S
a
}
as
i là một họ các vị nhóm con của s
chứa 0 thoả mãn điều kiện: Mỗi
Khóa luận tôt
nghiệp
r
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 10
n

phần tử của s biểu diễn được dưới dạng ^s
a
với eS^, đối với mỗi i
i=l
n n
(trong đó (Xi e I, i = 1, 2, 3, , n), và nếu mỗi đẳng thức = ^t
c
. kéo
i=l i=l
ứieo = S
Qj
, (với mỗi i = 1, 2, 3, , n), tìiế tìiì s được giọi là TỔNG TRỰC TIẾP
YẾU của họ {S
a
}
ae
i, ký hiệu s = ^
w
s
a
. Từ định nghĩa suy ra rằng nếu
ael
s = y
w
S
n
M s = ỵ s
a
và s„ nTSn = {ọ) đối với mỗi ae I, nhưng 2
ael ael Ịía

điều kiện trên không đảm bảo s là tổng trực tiếp yếu của họ {S
a
}
aeĩ
. Trong
trường họp I hữu hạn, I = {1 , 2 , , n} thì ta viết
s = Si © © s
n
hay S = .ểSi
1.3. Tương đẳng trên các nửa nhóm giao hoán
Nếu s là một nửa nhóm thì các đồng cấu được xác định trên s và các ảnh
đồng cấu của s đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định cấu trúc của s.
Một phương pháp thuận tiện và tương đương với việc xét các đồng cấu trên s
là thông qua khái niệm tương đẳng trên s, được định nghĩa như sau.
1.3.1. Định nghĩa. Một TƯƠNG ĐẲNG trên s là một quan hệ tương đương
ừên s mà nó tương thích với phép toán nửa nhỏm.
Cụ thể hơn, một quan hệ hai ngôi P ữên nửa nhóm (giao hoán) s được
gọi là một quan hệ tương đẳng nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i) p là một tương đương trên S;
(ii)p ổn định, nghĩa là nếu (a, b) ep thì (a + b, b+c) G p với mọi c e s.
Định lý sau đây phát biểu về mối quan hệ cơ bản giữa các đồng cấu và
tương đẳng. Phép chứng minh Định lý 2.2.2 theo đúng lối chuẩn tắc.
1.3.2. Định lý. Giả sử(
1
S',+) là một nửa nhóm giao hoán .
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 11
(1) Nếu p là một tương đẳng trên s, thể thì đối với s eS, ký hiệu p- lớp tương
đương chứa s là [

5
] và s/ Ị[j]|j GiSỊ. Khi đó s/ là một nửa nhóm giao
hoán dưới phép toán [ữ] + [z?] = [ữ+z?], và ánh xạ f: s ~>^j/
ỵ
ác định bởi
f{s) = [í] là một đồng cẩu từ s lên sỵ; hơn nữa /(-Si) = /(«*
2
)
n
^
u vc
* chỉ nầi (íp
5
,
2
)e/?.
(2) Đảo lại, nếu h: S—>T là một đằng cẩu từ s lên T. Định nghĩa quan hệ p
trên s bởi apb nếu h(a)= h(b). Thế thì p là một tương đẳng trên s và các
nửa
nhóm y và T đẳng cấu với nhau dưới ảnh xạ [í] \—>h(s), trong đó [
5
] là p -
/ r
lớp tương đương chứa s.
1.3.3. Định nghĩa. Nửa nhóm xác định ừong định lý 1.3.2 được gọi là
nửa nhóm thương của s theo tương đẳng p.
Định lý 1.3.2 chứng tỏ rằng, với sự sai khác đẳng cấu, các nửa nhóm
thương đó biểu diễn tất cả các ảnh đồng cấu của s.
1.3.4. Chú ý. Nếu Pi và p
2

là các tương đẳng, thế thì Pi < p
2
nếu apib
kéo theo ap
2
b đối với a, beS. Xét Pi và p
2
như các tập con của s, quan
hệ Pi < p
2
đúng nếu và chỉ nếu Pi được chứa trong p
2
. Như vậy, < là
một thứ tự bộ phận ừên tập các tương đẳng ừên s. Một dạng tương
đương khác của quan hệ
Pi < P2 là khẳng đinh rằng ánh xa tư nhiên [s]i I—> [s]
2
của §/ lên §/ hoàn
/ Pi / P2
toàn được xác định (và khi đó nó là một đồng cấu). Tương
đẳng lớn nhất trên s là s X s (tương đẳng phổ dụng, mà
dưới quan hệ ấy, hai phần tử tuỳ ý của s luôn luôn có
quan hệ với nhau) và tương đẳng bé nhất trên s là tương
đẳng
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 12
đồng nhất hay tương đẳng bằng nhau I = {(s, s) |s G s}. Giao của một họ tuỳ ý
các tương đẳng trên s là một tương đẳng tuỳ ý ừên S; Từ đó, họ tuỳ ý {Pojasi
các tương đẳng trên s có cả cận trên bé nhất (được ký hiệu bởi lub(p

a
) và một
cận dưới lớn nhất (được ký hiệu bởi glb(p
a
)). Quan hệ p=glh(p
a
) được mô tả dễ
dàng: apb nếu và chỉ nếu ap
a
b, Vael. Để mô tả lub(p
a
), chúng ta chú ý rằng với
tập con tuỳ ý 5 của s, s sinh ra một tương đẳng trên s, đó là giao của tất cả các
tương đương đẳng ừên s chứa 5. Chúng ta chuyển sang mô tả tương đẳng này:
vì lub(p
a
) là tương đẳng được sinh bởi a elp
a
nên lub(p
a
) được mô tả như sau.
Tương đẳng p được sinh ra bởi ổ được xây dựng theo 3 bước.
1. Đặt Po = ổuổ
_ 1
ui, trong đó ỡ'
1
= {(b,a)(a,b) GỠ } và i là tương đẳng
đồng nhất trên s. Thế thì Po chứa ổ và đồng thời phản xạ và đối xứng .
Rõ ràng Po chứa Ô sinh ra một tương đẳng trên s.
2. Đặt Pj = p

0
u{( a+c,b+c)|(a,b)ep
0
, ceS}. Thế thì Pi phản xạ, đối xứng và
tương thích và phép toán trên s. Nếu s là một vị nhóm, thế thì
p
1
= {(a+c,b+c)(a,b)Gp
0
,ceS} phản xạ, đối xứng và tương
thích với phép toán trên s. Neu s là một vị nhóm, thế thì p
T
= {(a+c, b+c)(a,b) e
Po, c G S}, vì Po được chứa trong tập hợp này.
Cũng rõ ràng Po và Pi sinh ra cùng một tương đẳng trên s.
3. Giả sử p=j(a,b)|3a
0
,a
l
5
,a
t
eS sao cho a=a
0
,b=a
t
,(a
i
,a
i+

1
)ep,i=0,l, ,t-lj.
Thế thì p là tương đẳng ừên s được sinh ra bởi 5.
Trong trường hợp 5= u p
a
là hợp của một họ các tương đẳng trên s,
thế thì 5 =p
0
= Pi và chỉ cần áp dụng bước thứ 3 đối với 8 để nhận được
lub(pa).
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 13
1.3.5. Định nghĩa, i) Một tương đẳng p trên s được gọi là HỮU HẠN SINH
nếu tồn tại một tập con hữu hạn 5 của SxS sao cho p là tương đẳng sinh
bởi 5.
(ii) Nửa nhóm s được gọi là NỬA NHÓM NOETHER nếu mỗi tương đẳng
trên s là hữu hạn sinh.
Như thường lệ, mỗi tương đẳng trên s hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu s thoả
mãn điều kiện a.c. C trên các tương đẳng, nghĩa là nếu và chỉ nếu mỗi tập tăng
ngặt Pi < p
2
< các tương đẳng ừên s đều hữu hạn.
1.3.6. Định lý . Giả thiết rằng T là một nửa nhóm con của nửa nhóm s.
Định nghĩa một quan hệ p trên s bởi apb, nếu a+ t = b + t với t E.T nào
đó.
Thế thì 5 là một tương đẳng trên s và [í] giản ước được trong S/ß đối với mỗi t
e7\ Nếu ỗ là một tương đẳng trên s sao cho ảnh đồng cẩu của T trong
bao gồm các phần tử giản ước được của , thế thì ô > p.
CHỨNG MINH. Rõ ràng p phản xạ và đối xứng. Nếu apb và bpc thì tồn tại tj,t

2
e
T sao cho a + tj = b + tjvä b + = c +1
2
. Vì T là nửa nhóm con của s
và tj^eTnen tj+ t
2
eT. Khi đó a+(t
1
+t
2
)=c+(t
1
+t
2
) nên apc. Vậy p
bắc cầu. Hơn nữa, a+t^b+tj kéo theo a+s+t^b+s+tị đối với mỗi s e s
nên p là một tương đẳng trên s. Neu [a] + [t] = [b] + [t] đối với a,beS và
tjeT nào đó, thế thì a +1 + t
x
= b +1 + t
x
với tj eT nào đó. Từ đó apbvà
do đó [a]=[b] . Như vậy, [t] giản ước được đối với mỗi t eT. Khẳng định
rằng p C ỗ đối với 5 như đã được mô tả là rõ ràng. □
1.3.7. Định nghĩa. Trong trường họp T = s, tương đẳng P được xác định
trên s như trong định lý 1.3.6 gọi là TƯƠNG ĐẲNG GIẢN ƯỚC ĐƯỢC ữên s.
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 14

Đối với nửa nhóm con T của s sao cho mỗi phần tử của T giản ước
trong s, vị nhóm thương của s theo T đã được định nghĩa. Đối với một
nửa nhóm con T
tổng quát, vị nhóm của s theo T được định nghĩa là vị nhóm thương của , theo
nhóm con {[t]|teT}, trong đó p là tương đẳng được xác định
trong Định lý 1.3.6.
Kết quả tiếp theo cơ bản đã được trình bày trong. Chúng ta phát biểu lại
nó ở đây theo ngôn ngữ tương đẳng.
1.3.8. Định lý. Giả thiết rằng s là một vị nhóm và H là một nhổm con
của s chứa 0. Đổi với a,b G s, định nghĩa a p b nghĩa là a+h=b đối với
h^H nào đó. Thế thì p là một tương đẳng trên s, [ữ] = a + H, và nếu H
là nhóm tất cả các phần tử khả nghịch của s, thế thì [0] là phần tử
nghịch đảo duy nhất của s/p.
1.3.9. Chú ý . Chú ý rằng nếu s là một nhóm, thế thì các tương đẳng
duy nhất trên s xuất hiện như trong Định lý 1.3.8, nghĩa là tương đẳng
tương ứng một nhóm con của s. Để thấy điều đó, giả sử p* là một tương
đẳng trên nhóm s
và H = {s eS|(s,o) ep*}. Thế thì H là một nhóm con của s, đối với
ap*0 , bp* 0 kéo theo(a+b)p*b và do đó (a +b)p*0 ; cũng như vậy
(a-a)p-(O-a) nên Op* (-a). Như vậy H là nhóm con của s và ap*bnếu và
chỉ nếu (a-b)p*0nếu và chỉ nếu (a-b)eHnếuvà chỉ nếu aeb+H.
1.3.10. Định lý. Giả thiết rằng s là một nửa nhóm cộng tính (giao hoán)
và M là một nửa nhóm nhân các sổ nguyên dương. Đối với a, b&s,
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 15
được định nghĩa apb nếu ma=mb với m&M nào đó. Thể thì p là một
tương đẳng trên
s, và nếu m[a] = mịbị đối với [ứ],[ỉ>] G s/j và m eMnào đó, thế thì [ữ] = ịbị.
CHỨNG MINH. Tính phản xạ và đối xứng của p được suy ra trực tiếp từ định

nghĩa. Nếu n^a = n^b và m
2
a = m
2
c, thế thì m^a = nựĩ^c và
m^rr^ epdo đó pbắc cầu. Hơn nữa, n^a = n^b kéo tìieo rằng m
1
(a+x) =
m
2
(b+x) đối với xe s, từ đó p là một tương đẳng trên s. Đẳng thức m[a] = m[b]
nghĩa là nma = nmb với neM nào đó. Vì nm G M nên tò đó suy ra apb hay
[»]=[•>]■
1.3.11. Định nghĩa. Ta gọi một phép toán hai ngôi trên tập s, một ánh xạ
từ SxS vào s, ừong đó SxS là tập tất cả các cặp có thứ tự các phần tử
thuộc s. Nếu ánh xạ đó được kí hiệu bởi dấu (.) thì ảnh trong s của phần
tử (a, b) € SxS được kí hiệu bởi a.b. Ta gọi phỏng nhóm là một hệ
thống S(.) gồm một tập s khác rỗng và một phép toán hai ngôi (.) trên
nó.
1.3.12. Định lý. (Định lý về đồng cấu cảm sinh) Giả sử q\,ẹ
2
là các đồng
cấu từ phỏng nhóm s tương ứng lên các phỏng nhóm Si và s
2
sao cho ỌỊỌỌ\
1
CỊ
1
. Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất 0 từ phỏng nhóm
Si và s

2
sao cho
=
•
CHỨNG MINH. Giả sử £ S và a là một phàn tử thuộc phỏng nhóm s sao cho AQ\
= . Đặt A
L
Ỡ= AỌ^ .Nếu BẠ\=A
Í
(B^S), thì
(|A,B) G (F\0(F\
X
CỊ (P
2
CKFO
x
, từ đó CUP
2
= B(P
2
; thành thử 6 là một ánh
xạ( đơn ừị). Hiển nhiên <PỊỠ — <P
2
-Ta chứng tỏ 0 là đồng cấu:
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 16
[(aflXfc%)] 0 = í(ab)ạ\] e = (ạb)<p
2
= 0aọ

2
){bọ
2
) = V{a(f\)0\
[(bọ^ỡị Tính duy nhất của 9 là hiển nhiên; thật vậy, nếu 0 thỏa mãn hệ thức
(F\Ỡ = Ọ
2
thì bắt buộc phải xác định G như đã làm ở trên.
1.4. Nửa nhóm thuận nghịch
1.4.1. Định nghĩa. Ta gọi nửa nhóm s là nửa nhóm thuận nghịch phải
nếu giao của hai iđêan chính trái bất kỳ của s là khác rỗng, tức là
SADSB^0 với mọi a, b £ S .
1.4.2. Định nghĩa. Tương tự với định nghĩa nửa nhóm thuận nghịch
phải. Nửa nhóm s là nửa nhóm thuận nghịch trái nếu giao của hai iđêan
chính phải bất kỳ của s là khác rỗng, tức là aS r\bS ^0 với mọi a, b £
s .
1.5. Nửa nhóm tự do
1.5.1. Định nghĩa. Giả sử X là một tập tùy ý và giả sử gôm tât cả các
dãy hữu hạn các phần tử thuộc X. Nếu (X
1
,X
2
, ,X
M
),(Y
L
,Y
2
, ,Y
N

) là các
phần tử
thuộc , thì ta định nghĩa tích của chúng băng cách ghép chúng lại :
(x
í
,x
2
, ,x
m
)(y
1
,y
2
, ,y
n
) = (x
í
,x
2
, ,x
m
,y
l
,y
2
, ,y
n
).Khiâỏ 3
X
trở thành một nửa

nhóm mà ta gọi là nửa nhóm tự do trên tập X. Các phần tử thuộc
ta sẽ gọi là các từ. Nếu ta đồng nhất phần tử X G X với dãy (x) độ dài
Hí
băng 1 , thì theo định nghĩa của tích trong ta được (X
L
,X
2
, ,X
M
) = (X
Ĩ
)(X
2
)
(X
M
)=X
L
X
2
X
M
. Vậy X là tập sinh của nửa nhóm
(TỊ
, hơn nữa rõ ràng nó là tập sinh duy nhât không chứa phân tử nào thừa.
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 17
Người ta thường làm việc với X tiện hơn với -Đơn vị 1 ghép vào có thể
xem là “tò rỗng”.

Bây giờ giả thiết rằng ta muốn đặt một số “hệ thức xác định” lên các
phần tử thuộc X, chẳng hạn: XỊX2 = XẠ , = ^4 ^X2 •
Giả sử các hệ thức đó là U
Ằ
— V
Ằ
(ẤE A), trong đó đối với mỗi phàn Ằ
thuộc tập chỉ số A thì
U
2’
V
Ầ, là các phần tử thuộc • Giả sử
p°={(ụ
Ẫ
,v
Ẫ
)\Âe A},
P là tương đẳng trên -^X sinh bởi quan hệ P
Ữ
và p
#
là đồng cấu tự nhiên
từ SỴ lên / P. Khi đó tập {xp
#
I X e X} sinh ra nửa nhóm thương
^X / H và Ux p = Vj, p VỚI mọi ẢEA tức là phân tử thuôc tập sinh của
^X / P thực sự thỏa mãn các hệ thức xác định. Ta gọi Ỉ Ọ \Ầ nửa nhóm sinh bởi
tập X và cho bởi các hệ thức xác định Ux, = V\ (Ầ e A) (thực ra nó sinh bởi tập
Xp
#

).
Nếu Ọ\Ầ một đẳng cấu từ nửa nhóm lên một nửa nhóm s thì s cũng được
gọi là một nửa nhóm tự do (trên tập X
ọ
).
1.5.2. Bổ đề. Giả sử X là nửa nhóm tự do ừên tập X. Giả sử s là một nửa
nhóm tùy ý và ỌỮ là một ánh xạ bất kỳ từ X vào s. Khi đóỌQ có thể mở rộng
một cách duy nhất tới đồng cấu ộ? từ vào s.
1.5.3. Định lý. Giả sử M là một tập và Ụ:M ->s là một ánh xạ một - một từ
M lên một tập sinh của nửa nhóm s. Thế thì s là nửa nhóm tự do trên M ỊẦ khi
và chỉ khi đối với một nửa nhóm tùy ý T và đối với ánh xạ V:M —>Ttồn tại
đồng cấu <P:S —>T sao cho ỤỌ — V.
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 18
CHỨNG MINH. Giả thiết rằng s là một nửa nhóm tự do trên
MJLI. Vì /ilà ánh xạ một - một nên ánh xạ v:M —>Txác
định một ánh xạ //~
1v
:M/Ẩ—>T.
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 19
Theo bổ đề 1.5.2 thì ỊẨ~
LV
có thể mở rộng (một cách duy nhất) tới một đồng
cấu ộ?nào đó từ s tới T. Thế thì ỤỌ — V.
Đảo lại, giả thiết rằng mỗi ánh xạ tò tập MJU tới nửa nhóm T có thể mở
rộng tới một đồng cấu từ s vào T. Ta lấy T là nửa nhóm tự do trên tập
X - MỤ và chọn V:M —>3

X
sao cho ^ trùng với ánh xạ đồng nhất từ X
vào ^X • Khi đó theo bổ đề 1.5.2 thì ánh xạ V~
L
Ụ:X ->s có thể mở rộng tới
đồng cấu từ -^X vào s. Do đó tồn tại đồng cấu <P'S —>3
X
,Ụ/:3Ỵ —>S là mở
rộng của ánh xạ từ X lên chính nó, nên cái thu hẹp của những ánh xạ (PXỰ :S
—> £, LỰCP: trên X trùng với ánh xạ đồng nhất của X lên
chính nó. Vì X sinh ra cả s và nên ỌY/,Y/(P là các ánh xạ đồng nhất trên
s và trên tương ứng. Do s và đẳng cấu. Vậy s là một nửa
nhóm tự do trên XỤ/, tức là trên X =MJU.
Khóa luận tốt
nghiệp
Đỗ Thị Hường - K36 CN Toán 20
CHƯƠNG 2. NHÚNG CHÌM NỬA NHÓM VÀO NHÓM
2.1. Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong
nhóm Định lý 2.1.1. (Định lý Ore) Cho s là nửa nhóm giao hoán giản
ước được. Khi đó s được nhúng vào một nhóm G qua đồng cấu cp : s
—» G sao cho G = (p(s).(cp(s) ) '
1
CHỨNG MINH: Cho s là nửa nhóm, ta có s
1
là s nếu s là một vị nhóm hoặc là
s u {l
s
} nếu s là nửa nhỏm. Do với mọi nửa nhóm s thì tồn tại vị nhóm s
1
ỊD s

nên không giảm tính tổng quát ta giả thiết s là vị nhỏm.
© Trên SxS, ta xác định quan hệ ơ như sau (x,y) ơ(z,t) <=> x.t = z.y. Dễ thấy
rằng ơ thỏa mãn tính phản xứng, đối xứng và bắc cầu nên ơ là một quan hệ
tương đương. Ta thấy ơ cũng là quan hệ đồng dư, thật vậy:
ÍXơy
\ZƠT =>xzơyt Hơn nữa, với mọi
(x,y), (z,t), (x ,y), (z ,t) € SxS sao cho
\A.,y)uyc,t) ^ A .1—4, .y
> x.t.x .t = z.y.z .y => (x.x ,y.y )ơ(z.z ,t.t )
=> ơ là một quan hệ đồng dư.
Đặt G = SxS/ơ, ta có : (l
s
.x).y = (l
s
.y).x , V x,y e s ( do s có tính giao hoán)
=> (l
s
.x, l
s
.y) ơ(x,y) [(l
s
.x, l
B
.y)]
ơ
= [(x,y)]
a
. Hơn nữa ta có

Ta có s giao hoán nên V x,y € s thì x.y = y.x => l

s
.(
x
>y) = (x,y).l
s
nên theo định
nghĩa ơ ta có (l
s
,l
s
) ơ(xy,xy) [(l
s
,l
s
)]a= [(xy,xy)]
a
Va € G => 3 x,y € s : a =
[(x,y)]
ơ
=> [(y,x)]
ơ
€ G và
[(x,y)]a . [(y,x)]
ơ
= [(xy,yx)]
ơ
= [(xy,xy)]
ơ
= [(1
S!

1
S
)]
Ơ
Tương tự và
[(y,x)]
ơ
. [(x,y)]
a
= [(l
s
,l
s
)]ơ => (y,x) là phần tử nghịch đảo của a => G là một
nhóm.
© Xét tương ứng cp ! s —^ G
=
SxS/ơ , s —> cp(s) = [(s,l
s
)]
ơ
. Ta ứiấy cp là ánh
xạ,đồng cấu và đơn ánh,ứiật vậy
• (p là ánh xạ : s = Si => cp(s) = (p(si)
[(s>ls)]ơ
=
[(Sl>ls)]ơ
(s,l
s
) ơ (Si.ls)

^ s . ls — 1 s * s 1 s = Si
(giảthiết)
• (p là đồng cấu : cp(s.t) = [(St,l
s
)]
ơ
= [(s,l
s
)]
a
. [(t,l
s
)]
ơ
= (p(s).(p(t)
• <p là đơn ánh : cp(s) = cp(t) => [(s,l
s
)]a = [(t,l
s
)]a (s,ls) ơ (t,l
s
) S.l
s
= l
s
.t =^> s = t
Vậy s nhúng được trong nhóm G.
© Hiển nhiên cp(s) cz G và do G là một nhóm nên [(cp(s) ] '
1
c G = > cp(s).

[(cp(s) ] '
1
c G , V [(x,y)]
ơ
e G ta có : [(x,y)]
ơ
= [(x. l
s
, l
s
.y)]
ơ
= [(x.l
s
, ls-y)]a =
tp(x). [(tp(y)]'
1
€ cp(s). [(cp(s)]-
1
Cho ae s,với s là nửa nhóm, đặt aS = {a.s / ste s }
+ s là nửa nhóm thỏa mãn điều kiện Ore nếu V a,b e s : aS n bS # 0 + s là nửa
nhóm giản ước được và thỏa mãn điều kiện Ore nên s nhúng được vào nhóm
G. Thật vậy :
Cho X là một tập hợp, TG Px = {T : X—»X / T là ánh xạ bộ phận}
Nếu T : dom T —> im T là song ánh thì T được gọi là song ánh bộ phận. Kí
hiệu Ix := tập tất cả các song ánh bộ phận của X
NHẬN XÉT: Ix = nửa nhóm ngược với phép toán họp thành ánh xạ, thay X = s
thì điều kiện Ore được thỏa mãn.
Định lý 2.1.2. (Định lý Đuybray) Nửa nhóm s với luật giản ước nhúng chìm
được vào nhóm các thương bên trái khi và chỉ khi nó thuận nghịch phải.

CHỨNG MINH: Giả sử G là nhóm các thương bên trái của nửa nhóm s và a,b e s.
Khi đó phàn tử ab'
1
e Gcó thể được biểu diễn dưới dạng ab'
1
= x
_1
y đối với
x,y nào đó thuộc s. Từ đó xa = yb e Sa n Sb, tức là s thuận nghịch phải Đảo lại,
giả sử s thuận nghịch phải thì s có thể nhúng chìm được vào một nhóm G. Giả
sử Gi là tập tất cả các phần tử thuộc G có dạng a
_
1
b, trong đó a,b e s. Ta chứng
tỏ Gi là một nhóm con nhóm con của G, từ đó suy ra Gi là nhóm các thương
bên trái của s. Nếu a
_1
b e Gi thì (a
4
b)
1
= b *a € Gi tức là Gi đóng kín với phép
lấy nghịch đảo. Giả sử a
_1
b và dạng c
_1
d là các phàn tử tùy ý thuộc Gi (với
a,b,c,d e S). Theo giả thiết, tồn tại x,ye s sao cho x.b = y.c . Khi đó bc'
1
= x

_1
y
€ G và vì vậy a
_
1
b. c
_1
d = a^x^yd = (xay^yd). Vì xa, yd € s nên a
_
1
b. c
_1
d G
Gi . Do đó Gi là một nhóm con của G.
Định lý 2.1.3. Giả sử s là nửa nhóm thuận nghịch phải với luật giản ước và giả
sử G ( o ) , G (o) là hai nhóm các thương bên trái của s. Khi đó tồn tại một
đẳng cấu từ G lên G giữ nguyên các phàn tử thuộc s bất động.
CHỨNG MINH. Trong nhóm G có đẳng thức a
_1
b = c
_1
d (với a,b,c,d € S) khi và
chỉ khi mỗi một trong các đẳng thức xa = yc , xb = yd (x,y € s ) kéo theo đẳng
thức kia. Ngoài ra (a
_
1
b) (c
_
1
d) = (xa) '

1
(yd), trong đó x,y là các phần tử thuộc
s mà xb = yc. Nhưng chính những điều kiện đó đối với các đẳng thức và các
tích cũng thỏa mãn trong G, tức là ánh xạ a
_1
b —» a
_1
ob là đẳng cấu từ G lên G
giữ nguyên các phàn tử thuộc s bất động.
Nếu s là nửa nhóm giao hoán với luật giản ước thì Sa n Sb # 0 ( a,be S) vì
nó chứa ab (=ba). Nhóm các thương (bên trái) của s cũng giao hoán. Dễ thấy
rằng a
_1
b = c
_1
d (a,b,c,d € S) khi và chỉ khi ad = bc , ngoài ra
(a
_
1
b) (c
1
d) = (ac) "
1
(bd).
2.2. Tính nhúng được của nửa nhóm bất kì trong nhóm
2.2.1. Nhóm tự do trên một nửa nhóm
Bổ đề 2.2.2.1, (a) Nếu (S,JJ,) là nửa nhóm tự do trên tập M thì là nửa
nhóm tự do ừên M, trong đó |i’: M—>S’, khi và chỉ khi (S’,|i’) tương đương
với (S,|i)
(b) Nếu (G,v) là nhóm tự do trên tập M, thì (G’,v’) là nhóm tự do trên M,

ừong đó v’: M—>G’, khi và chỉ khi (G’,v’) tương đương với (G,v).
CHỨNG MINH. Các mệnh đề (a) và (b) chứng minh tương tự nhau, vì thế ta chỉ
chứng minh mệnh đề thứ nhất.
Như đã nhận xét điều kiện đủ là đúng. Bây giờ giả thiết rằng (S,n) và
(S’,fi’) là các nửa nhóm tự do ừên M. Dựa trên định lý 1.13.12, tồn tại các
đồng cấu : S—>S’ và tp’: S’—»s sao cho |X(p = JJ,’ và Do đó Jjxptp’ =
và Jj.’cpcp’ = Ịi’. Vậy (pcp’ và (p’cp cảm sinh ra các phép biến đổi đồng nhất
lần lượt ừên Mụ, và Mụ,’. Do đó (p là một đẳng cấu tò nửa nhóm s lên S’ và
(p’ là đẳng cấu ngược với nó. Từ đẳng thức ỊX(p = JJ,’ bây giờ suy ra rằng
(S,JJ,) và (S’,|i’) tương đương. Điều đó chứng tỏ điều kiện cần đúng và ta hoàn
thành chứng minh bổ đề.
Bổ đề 2.2.I.2. Nếu (G,y) là một nhóm tự do trên nửa nhóm s, thì S-nhóm
(G’,y’) là một nhóm tự do trên nửa nhóm s khi và chỉ khi nó tương đương với