Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch với nhiều tài sản rủi ro


ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






NGUYỄN VĂN TRÁNG








ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ
CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN
RỦI RO












LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC








HàNội–Năm2014






ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







NGUYỄN VĂN TRÁNG







ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI
PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN RỦI RO



Chuyênngành:Lýthuyếtxácsuấtvàthốngkêtoánhọc

Mãsố:60460106




LUẬNVĂNTHẠCSĨKHOAHỌC



NGƯỜIHƯỚNGDẪNKHOAHỌC:

NCVCC.TS.NguyễnHồngHải



HàNội–Năm2014


MỤC LỤC



LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN 
TÀI CHÍNH 5

1.1. Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính 5
1.1.1.Cấutrúccủathịtrườngtàichính 5
1.1.2.Môhìnhđộngcủagiácácloạicổphiếuvàtráiphiếu 8
1.1.3.Bàitoánphânbổvốnđầutư,tínhchấtkhôngcơlợivàtínhđầyđủ
củamộtthịtrườngtàichính 10

1.2. Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính 14
1.2.1. Quátrìnhngẫunhiênvớithờigianliêntục 14
1.2.2. QuátrìnhchuyểnđộngBrown 16
1.2.3. Martingalevớithờigianliêntục 17
1.2.4. ViphânngẫunhiênItôvàcôngthứcItô 19


CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI
PHÍ GIAO DỊCH………………………21

2.1. Mô hình 21
2.1.1. Thịtrườngvốn 21
2.1.2. Bàitoáncủanhàđầutư. 21

2.2. Chính sách tối ưu trong trường hợp không có chi phí giao dịch 23

2.3. Các trường hợp riêng. 25
2.3.1. Trườnghợpchỉcóchiphígiaodịchtỉlệ. 25

2.3.2. Trườnghợpchỉcóchiphígiaodịchcốđịnh. 32

2.4. Trường hợp có cả chi phí cố định và chi phí tỉ lệ 38





2.5. Chi phí cố định và phí tỉ lệ với lợi suất tài sản tương quan 63

2.6. Phân tích các chính sách tối ưu 69
2.6.1. Cácgiớihạntốiưu. 70
2.6.2. Tầnsốgiaodịch 74
2.6.3. Lượngtiềntrungbìnhđầutưvàocổphiếu. 81

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỞ RỘNG 88

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89




















LuậnvănThạcsĩKhoahọc
Trang1

LỜI NÓI ĐẦU


Thịtrườngtàichínhlàsảnphẩmtấtyếucủanềnkinhtếthịtrường,đólànơi
diễnracáchoạtđộngmuabánnhữngsảnphẩmpháthànhbởinhữngcơsởtài
chínhnhư:cáccôngty,nhà xưởng,ngânhàng,nhànước…Sựxuất hiệnvà
tồntạicủathịtrườngnàyxuấtpháttừyêucầukháchquancủaviệcgiảiquyết
mâu thuẫn giữa nhucầuvàkhả năngcungứng vốntrong nềnkinh tế phát
triển.Trongnềnkinhtếluôntồntạihaitrạngtháitráingượcnhaugiữamột
bênlànhucầuvàmộtbênlàkhảnăngvềvốn.Mâuthuẫnnàybanđầuđược
giải quyết thôngqua hoạt độngcủa ngân hàng với vaitrò trung giantrong
quanhệvaymượngiữangườicóvốnvàngườicầnvốn.Khikinhtếhànghóa
pháttriểncao,nhiềuhìnhthứchuyđộngvốnmớilinhhoạthơnnảysinhvà
pháttriển,gópphầntốthơnvàoviệcgiảiquyếtcânđốigiữacungvàcầuvề
cácnguồnlựctàichínhtrongxãhội,làmxuấthiệncáchìnhthứchuyđộng
vốnnhưtráiphiếu,cổphiếucủacácdoanhnghiệp,tráiphiếuchínhphủ…-
Đólànhữngloạigiấytờcógiátrị,gọichunglàcácloạichứngkhoán.Vàtừ
đóxuấthiệnnhucầumuabán,chuyểnnhượnggiữacácchủsởhữucủacác
loạichứngkhoánkhácnhau.Điềunàylàmxuấthiệnmộtloạithịtrườngđể
tổnghòacácmốiquanhệcungcầuvềvốntrongnềnkinhtếlàthịtrườngtài

chính. Thịtrườngtàichính phát triển góp phầnthúc đẩy mạnh mẽ sự phát
triểnkinhtếcủamộtquốcgia.
Toánhọctàichính(Financialmathematics)rađờihơn100nămnay,nhưng
đặcbiệtpháttriểntrongthờigiangầnđâyvàngàycàngtỏrahữuíchtrong
thựctiễnđờisốngkinhtếcủacácquốcgia.Nólàmộtngànhứngdụngtoán
họcđể nghiên cứuthịtrường tàichính nhằmphântích mộtcáchkhoa học
nhữngsựkiệntăngtrưởng,rủiro,lạmphát,khủnghoảngtàichính,bảohiểm,
…vốnlànhữngvấnđềtàichínhcótínhthờisự.Trongnhữngnămgầnđây
ngànhtàichínhđãthựcsựtrởthànhmộtngànhcôngnghiệpthenchốtcótác
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang2




dụngđiềuchỉnhvàthúcđẩymọihoạtđộngcủangànhkinhtếvàđãtrởthành
nơihộitụcủacácýtưởngxuấtpháttừcáclĩnhvựctrithứcvàứngdụngthực
tếkhácnhau.Hiệnnaychúngtađangchứngkiếnmộtsựcộngtácchặtchẽ
giữacácnhàtoánhọc,các nhàkinhtếvàcácnhà tàichínhtrongviệcứng
dụngcácthànhtựutoánhọchiệnđạivàoviệcnghiêncứucácmôhìnhkinh
tế,phântíchvàthấuhiểucácquyluậtchiphốicáchoạtđộngkinhtế,từđócó
những hànhđộng vàquyếtsáchhợp vớiquy luật.Mộtsố mô hìnhtoántài
chính nổi tiếng như: “Mô hình vềđịnh giá các tài sản vốn” của W.Sharpe
(1964),môhìnhMarkowitz,môhìnhBlack–Scholes,môhìnhkhuếchtán…
TạiViệtNam,nềncông nghiệptàichínhđãcónhiềuthànhtựuvàviệcra
đờicủathịtrườngchứngkhoánđòihỏicácnhàquảnlýphảicónhữnghiểu
biết sâu sắc về các hoạt động cũng như các quy luật chi phối thị trường
đó.Toánhọctàichínhsẽlàcôngcụkhôngthểthiếuđểcácchuyêngiakinhtế
vàtàichínhđiềuhànhhữuhiệumọihoạtđộngcủathịtrườngnày.

Trướcđây,cácnhàtoánhọcnghiêncứucácmôhìnhtheokiểughépgiávà
chiphígiaodịchvàolàmmột.Tứclàchiphígiaodịchđãbịtínhlẫnvàogiá.
Tuynhiênchiphígiaodịchcótínhcốđịnhvàđãbiếtcòngiácótínhngẫu
nhiênnênđiềunàydẫnđếnviệcghépnhữngthôngtinđãbiếtvàocáichưa
biếtlàmthôngtinbịđánhmất.Bâygiờchiphígiaodịchđượcbiếttrướcnên
cầntáchriêngchúngra.Luậnvănnàylàmvềmộtmôhìnhcótínhđếnchiphí
giaodịchnhưvậy.Đâylàmộtmôhìnhgiúptađưarakếtquảsâusắcvàxác
thựcchobàitoántàichínhcótínhđếnchiphígiaodịch.
Vớiviệcnghiêncứunhưvậycấutrúcluậnvănnhưsau:
Chương I :Kiến thức cơ sở về toán tài chính
Chươngnàynhằmtrìnhbàynhữngkháiniệmcơbảnvềthịtrườngtàichính,
cácbộphậntạonênthịtrườngtàichínhvàlýthuyếthiệnđạivềtoánhọcngày
nayđượcápdụngtrongthịtrườngtàichính.Ngoàiracòngiớithiệumộtsố
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang3




môhìnhvàbàitoáncơbảntrongtàichínhcũngnhưnhữngkiếnthứccơsởvề
xácsuấtđượcdùngtrongtoántàichínhnhư:quátrìnhWiener,Mactingalvà
tíchphânItô.
Chương II :Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch
Chươngnàydành cho việc xâydựng một môhìnhtoántàichính đểgiải
quyếtbàitoánđầutưvàtiêuthụtốiưuvớithờigianliêntụcchomộtnhàđầu
tư phải chịu cả hai loại chi phí giao dịch là: chi phí giao dịch cố định
(Constant Absolute Risk Aversion(CARA)) và chi phí giao dịch tỉ lệ
(ConstantRelativeRiskAversion(CRRA))trongviệcgiaodịch(n+1)tàisản
baogồmmộttàisảnkhôngrủiro(gọilàtráiphiếu(Bond))vàntàisảnrủiro

(gọilàcổphiếu(Stoke))
( 1)
n

.Vớimụcđíchsosánh,trướctiênchúngtasẽ
trìnhbàymộtsốkếtquảvềchínhsáchđầutưtốiưutrongtrườnghợpkhông
cóchiphigiaodịch.Tiếpđếntaxéttrườnghợpchỉcómộtloạichiphígiao
dịchlàchiphígiaodịchtỉlệhoặcchiphígiaodịchcốđịnh.Saucùngchúng
tatrìnhbàycáckếtquảvềchínhsáchđầutưtốiưutrongtrườnghợpcócảchi
phí giaodịchcốđịnhvàchiphítỉlệđểtừđóđưaranhữngphântíchtổng
quannhấtchocácchínhsáchtốiưutrongđầutư.
Trongnghiêncứunày,kếtquảđầutiênmàchúngtatìmrađượclàchính
sáchgiaodịchtốiưutrongtrườnghợpnhiềuloạitàisảnrủirophảichịucác
chiphígiaodịchcốđịnhvàlợisuấtcủacáctàisảnrủirokhôngtươngquan
(lợisuấttàisảnkhôngtươngquannênchúngtacóthểtáchnhữngtínhtoán
vềcácloạitàisảnrủirothànhphéptínhchomỗiloạitàisảnriêngbiệt).Khi
đóchínhsáchđầutưtốiưuvớimỗitàisảnrủirođólànhàđầutưgiữlượng
vốnđầutưvàotàisảngiữahaimứccốđịnhđólàhaihằngsốmàtacóthể
tínhtoánbằngmộtcôngthứcrõràng.Khilượngvốnnàyđạtđếnmộttrong
haingưỡngnhàđầutưsẽgiaodịchđểđạtmụctiêutốiưu.
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang4




Đónggópthứhaicủanghiêncứunàyđólàchúngtasẽtiếnhànhphântích
tổngquanchiếnlượckinhdoanhtốiưu.Chúngtacungcấpđượcmộtcách
thứcđơngiảnđểtínhtoáncácgiớihạncủamiềnkhônggiaodịchvàgiớihạn

mụctiêu.Chúngtasẽphântíchnhữngảnhhưởngcủasựáccảmrủiro,phí
rủirovàtínhdễbiếnđộngtrênmiềnkhônggiaodịch,lượngtiềnmụctiêuvà
tầnsốgiaodịch.Chúngtacũngrútrađượcdạngđóngcủasựphânbổổnđịnh
củalượngtiềnđầutưvàotàisảnrủirođồngthờitacũngkiểmtrađượclượng
tiềntrungbìnhổnđịnhđầutưvàotàisản.
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
NCVCC.TSNguyễnHồngHải.Emxinđượcbàytỏlòngbiếtơnchânthành
vàsâusắctớingườithầycủamình!
Em xinchânthànhcảmơncácthầycôgiáođãgiảngdạy vàgiúpđỡem
trongquátrìnhhọctậpvànghiêncứutạikhoaToán-TintrườngĐạihọcKhoa
HọcTựNhiên-ĐạihọcQuốcGiaHàNội!
Xincảmơngiađìnhvàbạnbènhữngngườiđãđộngviênvàgiúpđỡem
trongsuốtthờigianqua!
Dothờigiannghiêncứuvàtrìnhđộcònhạnchếnênluậnvănkhôngtránh
khỏinhữnghạnchếvàthiếusót,kínhmongcácthầycôgiáovàcácbạnchỉ
dẫnvàgópýđểluậnvănđượchoànthiệnhơn.Xinchânthànhcảmơn!
Hà Nội,năm 2014
Tác giả
Nguyễn Văn Tráng

LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang5




CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN
TÀI CHÍNH

1.1. Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính
Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về thị
trườngtàichínhcũngnhưcáckiếnthứcxácsuấtcơsởcầnthiếtcho việc
thiếtlậpmôhìnhtoántàichínhchúngtasẽxâydựngvànghiêncứutrong
luậnvănnày.
1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính
Thịtrườngtàichínhlàthịtrườngmàởđódiễnracáchoạtđộngmuabán,
traođổi,chuyểnnhượngquyềnsửdụngcáctàisảntàichínhthôngquanhững
phươngthứcgiaodịchvàcôngcụtàichínhnhấtđịnh.
Cấutrúccơbảncủathịtrườngtàichínhbaogồmcácbộphậnsauđây:
1) Các cá nhân:nhữngcánhânhoạtđộngriênglẻ,cácbànộitrợ…
2) Các hãng:cáchãngkinhdoanh,cáccôngty,cácliêndoanh…
3) Thị trường các chứng từ có giá trị:thịtrườngvốn,thịtrườngtiềntệ…
4) Các cấu trúc trung gian:cácnhàbăng,cácngânhàngcôngthương,
ngânhàngđầutư,cáccôngtybảohiểm…

Bốnbộphậnđóliênkếtchặtchẽvớinhautrongđóthịtrườngcácchứngtừ
cógiátrịđóngvaitròthenchốt.Tahãylàmrõhơnhoạtđộngcủacácbộphận
nóitrên:
1) Các cá nhân:tronghoạtđộngtàichínhcủahọcómộtvấnđềtrungtâm
đólàcácvấnđềvềtíchlũyvốnvàtiêudùng.Gắnliềnvớivấnđềnàycóbài
toántối ưuvềtiêudùngvàtích lũy(bàitoánvềphânbổđầutư).Dựatrên
nguyênlýcủaVonNeumann–Morgensternvềsựhoạtđộnghợplýcủacác
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang6





cánhântrongcácđiềukiệnbấtđịnhngườitađãtìmcáchtốtnhấtđểxácđịnh
việcphânbổvốn,xácđịnhquanhệgiữatíchlũyvàtiêudùngsaochohàmlợi
íchđạtcựcđại.
2) Các hãng:đólàmộttổchứccóđấtđai,nhàmáy,côngxưởngvàcác
loạitàisảncógiátrịkhácnhưchợ,cácphátminh…Hoạtđộngcủacáchãng
làtổchức,điềuhànhcáchoạtđộngsảnxuất,kinhdoanhđểđạtlợinhuậncao
nhất.
3) Các cấu trúc trung gian(cấutrúcvềcácphươngdiệntàichính):đólà
cácngânhàngcôngthương,ngânhàngtíndụng,cáchãngbảohiểm…
4) Thị trường các chứng từ có giá trị:đólàtậphợpcácthịtrườngcótổ
chứcđểmuabán,traođổinhữngchứngtừ(cáchợpđồng)đãđượctiêuchuẩn
hóanhư:tráiphiếu(bonds),cổphiếu(stocks),quyềnlựachọn(options),các
hợpđồngtrongtươnglai(futures)…Nhưsaunàytasẽthấythịtrườngtrái
phiếuvàthịtrườngcácquyềnlựachọnlàhaithịtrườngquantrọngnhất.
Dựatrêncácthịtrườngnàycáchãngcóthểtăngvốncủahọđểpháttriển
sảnxuấtkinhdoanh,cáccánhâncócơhộivàphươngtiệnđểhoạtđộngtài
chính.
Ngoàicácchứcnănghoạtđộngcủanó,thịtrườngcácchứngtừcógiátrị
đóngmộtvaitròquantrọngtrongviệccungcấpcácthôngtinvềgiácổphiếu,
lãisuất,cácchỉsốtàichính…cóthểsửdụngđượctrongcáclĩnhvựckinhtế,
cáccánhâncóthểsửdụngcácthôngtinđóđểthựcthicácquyếtđịnhvềcác
dựánđầutưvềphươngdiệntàichính.
Ngườitaquantâmđếncáchoạtđộngtrongthịtrườngcácchứngtừcógiá
trị.Vìvậytacũngnêntìmhiểuvềcácloạichứngtừđó.
a) Trái phiếu:đólàmộtloạihợpđồngdàihạnđượcpháthànhbởichính
phủ,cácngânhàng,cáccôngtytíndụngvàcácthểchếtàichínhkhác với
mụctiêulàtíchlũyvốn.
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang7





Nhưthườnglệcáctráiphiếucóliênquanđếncácloạichứngtừcógiátrị
dàihạncólãisuấtxácđịnhhoặclãisuấtthayđổi.Mộtvídụvềtráiphiếuđó
làtínphiếukhobạc.ỞcácnướcphươngTâycòncócácloạitráiphiếusau
đây:tráiphiếukhobạc,tráiphiếucủacáchãnglớn,zerocouponbonds,…
b) Cổ phiếu:đólàmộtloạichứngtừcókỳhạnđượcpháthànhbởicác
hãngnhằmtíchlũyvốn.Giácủamộtloạicổphiếuđượcxácđịnhnhưtrạng
tháihiệnhànhcủathịtrườngvốncũngnhưhoạtđộngsảnxuấttươngứngcủa
hãng.
Ngườisởhữucổphiếunóichungcóquyềnthamgiavàocáchoạtđộngcủa
hãngtheonguyêntắc“sốphiếubầu=sốtiếngnói”vàđượchưởngcổtức.
c) Quyền lựa chọn hoặc hợp đồng về quyền lựa chọn:đólàmộtloại
chứngtừcógiátrịmàngườisởhữunócóquyềnmuahoặcbánmộttàisản
nàođấy(vídụ:cổphầncủamộtcôngty)theocácđiềukhoảnđãghitrên
hợpđồng.
Quyềnlựachọnđượcchialàmhailoại:loạiChâuÂuvàloạiChâuMỹ.
- QuyềnlựachọnloạichâuÂucóthờihạnkếtthúcxácđịnh(gọilàthờihạn
đáohạn).
- QuyềnlựachọnloạichâuMỹchophépngườisởhữucóquyềnmuahoặc
bántạithờiđiểmbấtkỳtrướchoặcngaytạithờihạnđáohạn.Hiệnnayquyền
lựachọnloạiChâuMỹchiếmđaphầntrongcácloạihợpđồngvềquyềnlựa
chọn.
CầnlưuýrằngkhôngphảiquyềnlựachọnloạiChâuÂuchỉcóởChâuÂu
và loại Châu Mỹ chỉ có ở Châu Mỹ. Hơn nữa mỗi quyền lựa chọn Châu
Âu,ChâuMỹlạichialàmhailoại:
- Quyềnlựachọnmua(calloption):chophépngườisởhữu nó mua một
loạitàisảnnàođấy.

LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang8




- Quyềnlựachọnbán(putoption):chophépngườisởhữubánmộtloạitài
sảnnàođấy(cổphiếuhoặctráiphiếu…).
- Warrantlàmộtloạichứngtừcógiátrịđượcpháthànhbởicáchãngvề
mộtloạicổphầnđặcbiệtnàođấyđểthayđổicáihiệncó.Ngườisởhữu
hợpđồngnàycóthểmuamộtsốcáctàisảnnàođấyđãthỏathuậntrước
vớimộtgiátrịnhấtđịnhtạithờiđiểmbấtkỳtrướcmộtthờiđiểmxácđịnh.
- Hợpđồngtươnglai(future)vềviệcmuahoặcbánmộttàisảnnàođấytại
mộtthờiđiểmnhấtđịnhtrongtươnglaitheomộtgiáđãthỏathuận.
- Voucher:đólàđiềukhoảnvềtiềntệcủanhànướcchophépngườisởhữu
cóquyềnmuamộtcổphầntùyýtheoquyđịnhcủanhànước.

1.1.2.Mô hình động của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu.
XétmộttàisảntàichínhS,giácủanótạimỗithờiđiểmtđượckíhiệulà

(

)
hoặc

.Giá()biếnđổiphụthuộcvàonhiềuyếutốngẫunhiênnhư
cácbiếnđộnggiácảcácsảnphẩmkhác,cácxuhướngtăngtrưởnghoặcsuy
thoáicủanềnkinhtếthếgiới,cácdiễnbiếnvề nhucầutiêudùngtrongvà
ngoàinước,tiềmlựcsảnxuất,cácdiễnbiếnchínhtrị,cácchínhsáchcủanhà

nước,cácdiễnbiếntâmlýnhàđầutư…Tagomcácyếutốngẫunhiênđócủa
tấtcảcácsảnphẩmtàichínhtrênthịtrườngvàomộttậphợpcơbảnkíhiệu
làΩmàmỗiphầntửωcủanóbiểuthịmộtyếutốngẫunhiênnàođó.Mỗisự
kiện xảy ra trongthị trường là mộttậphợp nàođó gồm mộtsốcácyếutố
ngẫunhiên.Đểđolườngmộtcáchđịnhlượngkhảnăngxảyracácsựkiệnđó
tadùngmộtloạithướcđolàđộđoxácsuất.Độđođóchỉđođượccácsự
kiệnthuộcvềmộtlớpℱ nàođócácsựkiện(ℱsẽđượcxácđịnhnhưmộtσ-
đạisố),mỗisựkiệnAthuộcvềlớpnày(A

ℱ)đượcgọilàmộtbiếncốngẫu
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang9




nhiênvàgiátrịđolườngkhảnăngxảyracủasựkiệnAđóchínhlàxácsuất
P(A). 
Vậytacókhônggianxácsuất(Ω,
ℱ
,P)màmỗitàisảntàichínhS(t)làmột
quátrìnhngẫunhiênxácđịnhtrênđó:vớimỗit, S(t)cònphụthuộcvàocác
yếutốngẫunhiênω: S=S(t,ω)
Vàonăm1900trongluậnántiếnsĩ“Théoriedelaspeculation”củamình,
L.Bachelierđãchỉrarằngsựthayđổicủagiámỗiloạichứngkhoáncódạng:
∆

=
(

+∆
)
− 
(

)
≈0(√∆)
Đếnnăm1923,N.WienerđãxâydựngquátrìnhWienercótínhchất:

(

∆
− 

)

=∆
Nhưvậyvềtrungbình∆

≈(
√
∆)vàsauđóAlberEinsteinđãnhậnxét
rằnghiệuquảđãđượcnhậnxétbởiBacheliertỏrahợplýnếugiátrị

chịu
tácđộngcủanhântốngẫunhiênWienerlàtổnghợpcủavôsốtácnhânkinh
tếvôcùngnhỏbénhưmôhìnhdướiđây:


=

(

)
+ 
(

)

(

)
.(1)
Năm1965,P.SamuelsontheosángkiếncủaL.Savageđãnhậnxétrằngnếu
giáchứngkhoántuântheomôhình(1)thìnócóthểâmvàđiềuđólàkhông
phùhợpvớithựctế.VìvậyôngđãđềxuấtmôhìnhchuyểnđộngBrownhình
họcđểmôtảđộnghọccủagiá:


=

 −



+ 

hoặc
 
 2
t

t
t
dS
adt bdW
S
 
.
Khiđó

≥0,∀vàgiasốcủaln
(


)
làmộtchuyểnđộngBrowncódịch
chuyển. Một ví dụ về mô hình (2) chính là giá của tài khoản ngân hàng
=
{


,≥0
}
:


=

 ℎặ 

=


exp
(

)
,
làlãisuấtkhôngđổi.Đólàmộttrườnghợpđặcbiệtcủa(2)với=0.
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang10




Đốivớitrườnghợpthờigianrờirạc,J.Cox,R.A.Ross,M.Rubinsteinđãđưa
ra mô hìnhdiđộng ngẫu nhiênrờirạcđể mô tả độnghọccủadãy giá các
chứngkhoán:


=

(
1+ 

)
ℎặ 

=

(

1+ 

)
…(1 +

)
trong đó
{


}
  là dãy Bernoulli với  
{


=
}
=;
{


=
}
=1 − ,
trongđó à làcácgiátrịứngvớicáctrườnghợpkhigiáchứngkhoánlên
vàxuống.
Hiện nay người ta đã xét nhiều mô hình tổng quát nhưng phức tạp hơn
nhiều,kểcảcácmôhìnhkhuếchtáncóbướcnhảy.
Mộttrongcácmôhìnhđơngiảnthuộcloạicácmôhìnhnóitrênlàmôhình
về giá của mộttài khoản ngân hàng(bank account) với lãi suất không đổi

hoặcthayđổi=
{


,0≤≤
}
.Giá

()tạithờiđiểmđượcxácđịnh
bởi:


(

)
=exp−
(

)



,

(

)
=1
Cấu trúc giá 


(

)
 phụ thuộc vào quá trình lãi suất (), quá trình này
thườngđượcgiảthiếtcócấutrúckhuếchtánsauđây:

(

)
= 
(
,

)
+ 
(
,

)



Một trongcácquá trìnhlãisuấtđượcđưarabởi Vasicek(1977) chính là
quátrìnhOrnstein–Uhlenbeck:


=
(
−


)
+ 

,  là hằng số

1.1.3.Bài toán phân bổ vốn đầu tư, tính chất không cơ lợi và tính đầy đủ
của một thị trường tài chính:
a)Chiến lược phân bổ vốn đầu tư:
Xétk+1quátrìnhngẫunhiên

(),

(),… 

(),đólàcácquátrìnhgiá
của+1loạichứngkhoánkhácnhau.
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang11




Taquiước

(

)
làquátrìnhgiácủachứngkhoánkhôngcórủiro(còngọi
làtráiphiếu)tạithờiđiểmt. 


(

)
thỏamãnphươngtrìnhsau:


(

)
=
(

)


(

)
 , 

(
0
)
=1
vàtrongtrườnghợpnàycóthểcoi

(

)

nhưmộttráiphiếukhobạcvớilãi
suấtlà
(

)
.
Cònlạicác

(

)
,=1,





làcácquátrìnhgiácủacácchứngkhoáncórủi
ro(còngọilàcổphiếu)tạithờiđiểmt.
 Định nghĩa:
1)Mộtchiếnlượcphânbổvốnđầutưlàmộtquátrìnhvectodựđoánđược
(khi biết tất cả các thông tin về thị trường cho đến thời điểm t) ℎ
(

)
=
ℎ

(


)
,…,ℎ

(

)
,trongđóℎ

(

)
làsốlượngtàisảnloạimànhàđầutưđang
giữ.ℎ
(

)
cònđượcgọilàdanhmụcđầutư.
2)Quátrìnhtrịgiáứngvớiℎlà:

(
;ℎ
)
= ℎ

(

)





(

)

3) Một chiến lược phân bổ vốn đầu tư ℎ được gọi là chiến lược tự điều
chỉnhtàichínhhoặctựtàitrợnếu:

(
,ℎ
)
=ℎ

(

)




(

)
hoặc 

(

)
ℎ


(

)


=0
Tứclànhàđầutưmuốntăngđầutưcủamìnhvàotàisảnnàythìphảigiảm
đầutưvàotàisảnkia.
 b)Yêu cầu tài chính và điều kiện để cho thị trường không có độ chênh
thị giá:
Đểhiểurõkháiniệmyêucầungẫunhiêncủasựđầutưtahãyxétmộtvídụ
sau:
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang12




Giả sử một người muốn mua một lượngtrái phiếu năm năm với lãisuất
12%mộtnămđểsaunămnămcóđượcsốvốnlà10triệuđồng(đólàmục
tiêucầnđạtđược)thìngườiđóphảiđầutưmộtlượngvốnbanđầu là

=
10/
(
1 + 0.12
)

 còn nếu ngườiđó muốn đầutư vàotàisản 


(

)
 chẳng
hạnthìvốnbanđầucầnphảithỏamãnđiềukiện



(
60
)
=10(đơn
vịthờigianlàtháng)vàkhiđóyêucầu(ngẫunhiên)củaanhtalà



(
60
)

(đểđơngiảntagiảthiếtrằng

(
0
)
=1).
 Định nghĩa 1:
1) Một biến ngẫu nhiên không âm H được gọi là một yêu cầu tài chính hoặc
quyền tài chính.

2) Một chiến lược đầu tư ℎ trong khoảng thời gian
[
0,
]
được gọi là chiến
lược có cơ lợi hoặc có độ chênh thị giá (arbitrage) nếu nó là chiến lược tự
điều chỉnh tài chính và hàm giá trị tương ứng với nó có tính chất:

(
0
)
=0,
(

)
≥0,
{

(

)
>0
}
>0,
tức là chiến lược không cần vốn ban đầu mà vẫn có thu nhập. Chiến lược cơ
lợi là chiến lược kiếm lời nhờ chênh lệch giá.
3) Nếu mô hình (còn được gọi là một thị trường)
{



,

,… 

}
đối với nó
không tồn tại chiến lược ℎ có cơ lợi được gọi là thị trường không có cơ lợi
hoặc thị trường lành mạnh.
 Định nghĩa 2:
Một yêu cầu  được gọi là yêu cầu có thể đạt được nếu tồn tại một chiến
lược tự điều chỉnh tài chính ℎ và vốn ban đầu 

sao cho hàm trị giá tương
ứng (,ℎ) thỏa mãn: 
(
0,ℎ
)
=

,
(
,ℎ
)
=.
Mộtvídụvềtìnhhuốngcócơlợilà:xétmộtthịtrườnggồmhaitàisản


và

,trongđó


làtàikhoảnngânhàngcólãisuất>0saumộtđơnvị
thờigian.Nhưvậy:

=
(
1 + 
)

,=1,2,…,.
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang13




Còn

cóđộnghọcsau:


=
(
1+ 

)
…
(
1+ 


)
,≤

≤,=1,2,….
Khiđónếu≤ngườitasẽvayvốnngânhàngvàsauđóđầutưvàotài
sản

,đếnhạnbáncổphiếuvới giá 

sẽthuđượcmộtkhoảnlợi mà
khôngcầnvốnbanđầubởivìtaluôncó

>

.Ngượclạinếu>ta
có

<

nênnếungườitavaycổphiếusauđóbánđivàgửitiềnvàotài
khoảnngânhàngngườitasẽthuđượcmộtkhoảnlời

− 

màkhôngcần
đếnvốnbanđầu.
Vớithịtrườngnày,ngườitacóthểchứngminhrằng:thịtrườngđólà lành
mạnhkhivàchỉkhi<<.
Định nghĩa 3:

Giả sử
{


,

,… 

}
là một thị trường lành mạnh và  là một yêu cầu có
thể đạt được. Khi đó vốn ban đầu tối thiểu 

đối với nó có tồn tại một chiến
lược tự điều chỉnh tài chính ℎ sao cho 
(
,ℎ
)
= được gọi là phí tổn hoặc
giá hợp lý của yêu cầu , còn chiến lược tự điều chỉnh tài chính ℎ được gọi
là chiến lược đảm bảo yêu cầu tài chính.
Cácbàitoáncơbảnđặtrakhinghiêncứuthịtrườngchứngkhoánlà:
1) Khinàomộtthịtrườnglàlànhmạnh?
2) KhinàomộtyêucầuHcóthểđạtđược?Thựcchấtlàbàitoánkhi
nào mộtthịtrường làđầyđủ,tức làkhi nào một yêucầubấtkỳcó thểđạt
được?
3) XácđịnhgiáhợplýcủayêucầuHvàchiếnlượcđảmbảotàichính
tươngứng?
4) Khicónhucầutiêudùnghoặccónguồnvốnbổsunghãyxácđịnhvốn
tốithiểubanđầu


vàchiếnlượcđảmbảotàichínhvàtiêudùng?

LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang14




1.2. Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính
Trongphần này  ta nêu mộtsố kiếnthức xác suất cơ bản như:quátrình
ngẫunhiên,quátrìnhWiener,Martingalevớithờigianliêntụcvàtínhtoán
vitíchphânngẫunhiênđốivớiquátrìnhWiener.Đâylànhữngkiếnthứcrất
cầnkhinghiêncứuvềcácthịtrườngtàichínhvớithờigianliêntục.
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục
Chokhônggianxácsuất(Ω,ℱ,P).
 Véc tơ ngẫu nhiên n chiều:
MộtánhxạX : Ω → 

saocho:


(

)
=
{
:
(


)
∈
}
∈ℱ,∀ ∈ℬ


vớiℬ

làσ-đạisốBoreltrênℝ

đượcgọilàmộtmộtbiếnngẫunhiên(hoặc
véctơngẫunhiênnchiều).TacũngnóiX làℱ-đođược.
 Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục:
VớimỗiT∈ 

, ánhxạX:
[
0,) ×Ω→R


 (t,ω)→X(t,ω)∈R


vàlàmộthàmđođượcvớiσ-trườngtíchℬ
(


)
× ℱđượcgọilàquátrình
ngẫunhiênvớithờigianliêntục,trongđó ℬ

(


)
làσ-trườngcáctậpBorel
trên

(n=1,2,…)
Để đơn giản ta thường viết
t
X
 thay cho


,
X t

và viết quá trình ngẫu
nhiên


t
t T
X X



Chú ý:
1)Vớimỗiω∈Ωtaxétmộthàm→


()xácđịnhtrên

vớigiátrị
trong

,hàmđóđượcgọilàmộtquỹđạocủaquátrình.
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang15




2)Mộtquátrìnhngẫunhiêncóthểcoinhưmộtánhxạtừ

× Ω→

.
Quátrình
(


()
)
∈

 được gọi là đo được nếuánh xạ đó là ℬ
(



)
×
ℱ− ℬ

đođược,tứclà:
{(
,
)
:

()∈
}
∈ℬ
(


)
× ℱ, ∀∈ℬ


 Định nghĩa lọc:Họcácσ-đạisốconcủaℱ:
{
ℱ

}

đượcgọilàmột
lọcnếu:∀<,ℱ

⊂ℱ


⊂ℱ
Họ
{
ℱ

}

đượcxemnhưcácthôngtincóđượcchođếnthờiđiểmt.
Với ∀ thì 

 là một biến ngẫu nhiên đo được đối với ℱ

. Ta nói
{


}

thíchnghivới
{
ℱ

}

.
Họ
{
ℱ


}

đượcgọilàlọcđầyđủnếuℱ

chứamọibiếncốAcủaℱcóxác
suấtbằngkhông(P(A)=0).
Taluôngiảthiếthọ
{
ℱ

}

làđầyđủ,điềuđóđểđảmbảorằngnếuX=Y
(P-hầuchắcchắn)thìkhiXlàℱ

đođượcYcũnglàℱ

đođược.
 Bộ lọc tự nhiên:
Lọc
{
ℱ


}

vớiℱ


=

(


,≤
)
,=
{


}

làσ-đạisốcảmsinhbởi
tấtcảcácbiếnngẫunhiên

với≤. ℱ


chứamọithôngtinvềdiễnbiến
quákhứcủaquátrìnhX=
{


}

chođếnthờiđiểmtnênđượcgọilàbộlọc
tựnhiêncủaquátrìnhX,haylịchsửcủaX haycũngcòngọilàtrườngthông
tincủaquátrìnhX.
 Không gian xác suất được lọc:Bộ(Ω,ℱ,
{
ℱ


}

,P)đượcgọilàkhông
gianxácsuấtđượctrangbịlọcvớilọc
{
ℱ

}

.
 Thời điểm Markov và thời điểm dừng:
MộtbiếnngẫunhiênτđượcgọilàmộtthờiđiểmMarkovnếuvớimọi≥0

{
∈Ω:()≤
}
∈ℱ


MộtthờiđiểmMarkovτđượcgọilàthờiđiểmdừngnếuτlàhữuhạnhầu
chắcchắn,tứclà:
{
∈Ω:
(

)
<∞
}
=1

LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang16




1.2.2. Quá trình chuyển động Brown
Một trong các quá trình ngẫu nhiên quan trọng là quá trình chuyển động
Brown.Quátrìnhnàyđượcsửdụngđểxâydựngphầnlớncácmôhìnhchứng
khoán.
 Chuyển động Brown:
Quátrìnhngẫunhiên
(


)

vớigiátrịthựcđượcgọilà(quátrình)chuyển
độngBrownnếu:
1)Nólàquátrìnhliêntục: →

()làliêntụcvớihầuhếtmọiω
2)Nólàquátrìnhgiasốđộclập:nếu≥,

− 

làđộclậpvớiσ-đạisố
ℱ


=(

,≤).
3)Các gia số là dừng:nếu ≤, luậtphânbố của 

− 

 trùng với luật
phânbốcủa

− 

.
 Chuyển động Brown tiêu chuẩn:
MộtchuyểnđộngBrown
(


)

đượcgọilàmộtchuyểnđộngBrowntiêu
chuẩnhoặcquátrìnhWienernếu:


=0,− ℎ ;
(


)
=0 ;

(



)
=.
 Chuyển động Brown với lọc:
Quátrình
(


)

đượcgọilàchuyểnđộngBrownđốivớilọc
{
ℱ

}

nếu:
1)Quỹđạocủa
(


)
làliêntục P-hầuchắcchắn.
2) 

làℱ


đođượcvới∀≥0.
3)Nếu≤thì

− 

độclậpvớiℱ

.
4)Nếu ≤ thì luật phân bố của 

− 

 giống như luật phân bố của


− 

.
 Chuyển động Brown n chiều:
Quátrìnhngẫunhiênnchiều
(


)

=
(




,


,…,


)

đượcgọilà
chuyển động Brown n chiều đối với lọc
{
ℱ

}

 nếu mỗi 




(
=
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang17




1,…,










)
làmộtchuyểnđộngBrownvàcácthànhphầncủa

làđộclậpvới
nhau.
1.2.3. Martingale với thời gian liên tục
 Định nghĩa Martingale:
Chokhônggian(Ω,ℱ,
{
ℱ

}

,P).
Quátrìnhngẫunhiên
{


}

là(ℱ


)-tươngthíchvà

làP-khảtích(tứclà

(
|


|
)
<+∞,∀>0)đượcgọilà:
1) Một Martingale nếu:∀ ≤,
(


|
ℱ

)
=

.
2) Một Martingale trên(Supermartingale)nếu: ∀ ≤,
(


|
ℱ


)
≤

.
3) Một Martingale dưới(Submatingale) nếu: ∀ ≤,
(


|
ℱ

)
≥

.
Chú ý:Nếu
{


}

làmộtMartingletươngthíchvớilọc
{
ℱ

}

thìta
thườngkíhiệu:=
{



,ℱ

,≥0
}
làMartingale.
 Martingale địa phương:Quátrìnhngẫunhiên
{


,ℱ

,≥0
}
đượcgọi
làmartingaleđịaphươngnếutồntạidãythờiđiểmmarkov
(


)
đốivới(ℱ

)
saocho:
1) 
{


≤

}
=1 ,
{
lim
→


}
=1.
2) Đốivớimỗin=1,2,…dãy
˄

,ℱ

,≥0làmartingalekhảtíchđều.
 Mệnh đề: Nếu
(


)

làmộtchuyểnđộngBrowntiêuchuẩnđốivới
lọc
{
ℱ

}

thì:
1)

(


)

làmộtℱ

− .
2) 


− làmộtℱ

− .
3) 
(


− 

/2
)
ℱ

− .
 Khai triển Doob-Mayer:
Nếu =
{



,ℱ

,≥0
}
làmộtmarrtingaledướiliêntụcphảitheot
thìXcómộtbiểudiễnduynhấtdướidạng:
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang18






=

+ 


Trongđó

làmộtmartingaleđốivới
{
ℱ

}

liêntụcphảivà


làmột
quátrìnhtăngvàthíchnghivới
{
ℱ

}

.
 Ứng dụng của lý thuyết Martingale trong toán tài chính:
Trongtoántàichính,giácủacáctàisảntàichínhcơsởnhư:giácổphiếu

,
giátráiphiếu

,giácủacáctàisảnpháisinhtàichính

đềuđượcxemlà
các quátrìnhngẫunhiên.Nóichungchúngkhông phải là nhữngMartingal
đốivớitrườngthôngtin
(
ℱ

)
đangxét.
Giảsử

làgiácủamộttàisảntạithờiđiểmmàtacầnxácđịnh.Nóichung


 không phải là một Martingale. Nếu ta biến đổi 


 thành quá trình


=
(


)
làmộtMartingalevàgiảsửtabiết

(t<T).Khiđóvì:

(


|
ℱ

)
=

(t<T)
Nêntacóthểtínhđượcgiá

tạithờiđiểmt<Tbởi:


=


[

(


|
ℱ

)]
(t<T)
Cóhaicáchđểthựchiệnsựbiếnđổinóitrên
Cách 1: Áp dụng khai triển Doob-Meyer.
Giảsử

làmộtmartingaledưới.Tacó:


=Martingale

+quátrìnhtăng


Nếu tìm được cụ thể quá trình tăng 

 thì ta biến đổi đượ
c


thànhmộtmartingle,cụthể:


=

− 

.
Nếu

làmộtmartingaletrênthì−

làmộtmartingaledưới,tađượckết
quảtươngtự.
Cách 2: Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất.
Khitanói:nóichung

khôngphảilàmartingalelàkhitaxétdướiđộđo
xácsuấtbanđầuP đãcho.Bâygiờtagiảsửtìmđượcmộtđộđoxácsuất
mới

tươngđươngvớiđộđoxácsuấtP
(

)
=0⇔

(

)
=0 ∀∈ℱvà
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang19




mộtphépbiếnđổiquátrình

thànhquátrình
t
X

saochodướixácsuất


mớinàythì
t
X

trởthànhmartingale.
Giảsửtabiết
t
X

( ≤).Vì
t
X

làmartingalenêntacó:
 







ℱ

=
t
X

 ∀≤
Gọiφlàphépbiếnđổitừ

sang
t
X

,vậy

=


t
X

vàtađịnhgiá
đượctàisản

tạithờiđiểmt bởicôngthức:



=







ℱ


Talưuýhaiđiềuquantrọng:
1) Thôngthườngphépbiếnđổiđólàmộtphépchiếtkhấukhôngrủirosao
cho:
t
X

=
()
.

,< vớihằngsố>0làlãisuấtkhôngrủiro,còn
Tlàthờiđiểmđáohạn.
Vì






ℱ

=
t
X

=

.

nêncuốicùngtacócôngthứcđịnhgiátàisản
Xtạithờiđiểm<là:

=
()



(


)
.
2) Xácsuất

ởđâygọilàxácsuấtrủirotrungtínhhaycòngọilàđộđo
trunghòavàkíhiệulạilàQ.
Người ta chứng minh được rằng : Nếu thị trường đang xét không có độ
chênhthịgiáthìtậpđộđotrunghòakhácrỗng.


1.2.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô
 Vi phân Itô:
Giảsửrằng=
(


,≥0
)
làmộtquátrìnhngẫunhiênsaocho:
1) Hầuhếtcácquỹđạo→

làliêntục.
2) Hầuchắcchắn

cóbiểudiễn:
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang20






=

+
∫
ℎ(,)



+
∫
(,)




Trongđóhvàf làcácquátrìnhngẫunhiênđođượcsaochocáctíchphân
trongbiểudiễntồntạithìtanóirằngXlàmộtquátrìnhItôvàcóviphânItô
dX.
ViphândXlàmộtbiểuthứchìnhthứcvàđượcviếtnhưsau:


= ℎ
(
,
)
+(,)


hay=ℎ+ .
 Công thức Itô:
ChoXlàmộtquátrìnhItôvới=ℎ+
Giảsử:
(
,
)
:


→làmộthàmhaibiếnkhảviliêntụctheobiếnthứ
nhấtt,hailầnkhảviliêntụctheobiếnthứhaix.
Khiđóquátrìnhngẫunhiên

=(,

)làmộtquátrìnhItôcóviphân
Itôchobởi:
(


)

2
2
2
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
2
t t t t t
g g g
dY t X dt t X dX t X f t dt
t x x

  
  
  

ĐólàcôngthứcItô.CôngthứcItôcòncódạngtươngđươngsau:

(


)

2
2
0
2
0 0
1
(0, ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
2
t t
t s s s s
g g g
Y g X s X ds s X dX s X f s ds
s x x

  
   
  
 

 Chúý:
1) Trongcôngthức
(


)

và
(


)
thìdXcoinhưđãbiếtvàtacóthểthay
=ℎ+.
2) Trongkhithựchiệncácphéptoántrêncácviphân,tacóthểápdụng
cácquitắcsau:
.=0,.=.=0 ,.=.
LuậnvănThạcsĩKhoahọc

Trang21




CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP
CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH

2.1. Mô hình:
2.1.1. Thị trường vốn:
Chokhônggianxácsuất(Ω,ℱ,P)vàlọc
{
ℱ

}

.Tínhbấtđịnhcủamôhình
nàyphátsinhtừmộtchuyểnđộngBrowntiêuchuẩnn-chiềuw.

Cón+1tàisảnmànhàđầutưcóthểgiaodịch.Tàisảnđầutiênlàtàikhoản
thịtrườngtiềntệtăngtrưởngở mộtmứccốđịnh, với lãisuấtképlà>0
(còngọilàtráiphiếu).ntàisảncònlạilàcáctàisảnrủiro(tacòngọilàcổ
phiếu). Nhà đầu tư có thể mua cổ phiếu i với giá 

() và bán nó với giá
(
1 − 

)


(

)
với0≤

<1làhệsốtỉlệcủachiphígiaodịch.Ngoàiranhà
đầutưphảitrảmộtkhoảnphímôigiớicốđịnh

≥0chomỗilầngiaodịch
khigiaodịchcổphiếui.
Cho=
(


,

,…,


)
và=
(


,

,…,

)
.Đểđơngiảnchúngtagiả
địnhkhôngtrảcổtứcbằngcổphiếu.Giámua

()đượcgiảsửlàtuântheo
chuyểnđộngBrownhìnhhọc:

(i=1,2, ,n)(2.1)
it
i i it
it
dS
dt d
S
  
 

Trongđó

làthànhphầnthứicủachuyểnđộngBrownn-chiều,


>
và

>0.
2.1.2. Bài toán của nhà đầu tư.
TheoMerton(1971),chúngtagiảsửrằngnhàđầutưthuđượclợinhuậntừ
lượngtiêuthụvớithờigian liêntụcc=c(t) củatàikhoảnthịtrườngtiềntệ.
ChúngtakíhiệuCđểchỉkhônggiantiêuthụchấpnhậnđượccủanhàđầutư,