Hình thành kĩ năng giải dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ cho học sinh tiểu học

7

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC






NGUYỄN THỊ KIM TÂN






HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÌM
HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ CHO HỌC
SINH TIỂU HỌC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán







HÀ NỘI, 2011

8

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Môn Toán là môn học chiếm thời gian đáng kể trong kế hoạch đào tạo của
nhà trường Tiểu học. Không ai có thể phủ nhận khả năng ứng dụng rộng rãi các
kiến thức toán học vào cuộc sống, thế nên việc dạy và học toán như thế nào để
thu hút được học sinh, sự quan tâm của giáo viên và toàn xã hội? Đây là một
câu hỏi lớn mà nhiều nhà khoa học và nhà sư phạm phải suy nghĩ và dành thời
gian nghiên cứu, tìm tòi từ đó tìm ra phương pháp tối ưu nhất sao cho việc dạy
Toán đạt hiệu quả, vừa đảm bảo được tính phổ thông, vừa đảm bảo tính khoa
học. Nhưng để học sinh học tốt môn Toán đòi hỏi ở mỗi học sinh sự huy động
vốn kiến thức toán học vào hoạt động giải toán, cũng như hình thành kĩ năng
giải toán của học sinh. Trong đó giải các bài toán có lời văn là nội dung tương
đối khó với học sinh. Đòi hỏi học sinh phải có lối tư duy khoa học và vốn kiến
thức tổng hợp thực tế như: Tiếng Việt, Tự nhiên – xã hội… Mỗi bài toán có lời
văn được thể hiện qua các thuật toán và ẩn dưới các dạng toán điển hình như:
Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó; Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số
của hai số đó… Dạy học các dạng toán này giáo viên cần hình thành cho học
sinh kĩ năng giải toán bằng phương pháp số học. Học sinh nắm vững được bản
chất của các dạng toán, tóm tắt sơ đồ, giải được bài toán.
Thực tế cho thấy, khả năng trình bày các bài toán giải có lời văn đặc biệt là
dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của học sinh Tiểu học còn rất hạn
chế, có thể các em tìm kết quả đúng nhưng lời giải thì sai hoặc ghi đơn vị không
đúng, hoặc giải được bài toán khi các dữ kiện biết một cách tường minh. Chính
vì vậy bài toán mất đi sự sáng tạo của nó. Một phần nữa do một số giáo viên
9

chưa có phương pháp hướng dẫn cụ thể, chỉ hướng dẫn một cách qua loa, chưa
đi sâu vào bản chất của từng dạng toán.

Trong các dạng toán giải bằng lời văn, tôi đặc biệt quan tâm tới dạng bài:
tìm hai số khi biết tổng và tỉ số. Bởi khi học sinh nắm chắc được phương pháp
giải dạng toán này thì có thể áp dụng cách giải dạng bài này vào các dạng bài
tương tự đồng thời giúp học sinh hình thành kĩ năng làm các dạng bài như: Tìm
hai số khi biết hiệu và tỉ số; Tìm hai số khi biết tỉ số; Vì vậy để góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học toán ở Tiểu học và khắc phục những lỗi sai của học
sinh trong giải toán có lời văn đặc biệt là dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số của hai số đó tôi đã dành thời gian nghiên cứu và lựa chọn đề tài: “Hình
thành kĩ năng giải dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cho học sinh
Tiểu học”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số, từ đó đề xuất
phương pháp hình thành kĩ năng giải dạng toán này cho học sinh Tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài.
- Tìm hiểu phương pháp dạy học dạng toán: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số ở trường Tiểu học.
- Xây dựng hệ thống bài tập về dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng: Phương pháp dạy học dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số ở trường Tiểu học.

10

5. Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi nghiên cứu là các bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số trong
chương trình ở trường Tiểu học.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp quan sát.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
















11

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học
Chúng ta thấy rằng khuynh hướng nhận thức của trẻ em ngày nay được mở
rộng, năng khiếu, nhu cầu hứng thú, thị hiếu, thẩm mỹ, … trở nên phong phú và
đa dạng hơn. Bởi trẻ em ngày nay được tiếp nhận những lượng thông tin nhờ sự
tăng dần đáng kể các phương tiện thông tin đại chúng, được khai sáng bằng
cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật và công nghệ. Vì thế, việc giáo dục trẻ em
càng dễ hơn và cũng khó hơn trước. Dễ vì trẻ em ngày nay tiếp thu nhanh hơn,
có khả năng và điều kiện để vận dụng những điều đã học được. Khó hơn vì tầm

suy nghĩ của trẻ rộng hơn, những vấn đề đặt ra phong phú hơn và phức tạp hơn.
Bởi vậy, muốn giáo dục trẻ thì bản thân chúng ta phải hiểu trẻ, ngược lại muốn
hiểu trẻ thì phải tiến hành giáo dục trẻ.
1.1.1. Về tri giác
Tri giác của học sinh Tiểu học mang tính đại thể, ít đi sâu vào chi tiết và
mang tính chủ định. Do đó, các em phân biệt những đối tượng còn chưa chính
xác, dễ mắc sai lầm, có khi còn lẫn lộn. Tri giác trước hết là những sự vật,
những dấu hiệu, những đặc điểm nào trực tiếp gây cho các em những xúc cảm.
Vì thế, cái trực quan, cái rực rỡ, cái sinh động được các em tri giác tốt hơn, dễ
gây ấn tượng cho các em hơn.
1.1.2. Về chú ý
Ở lứa tuổi học sinh Tiểu học, chú ý không chủ định được phát triển. Những
12

gì mang tính mới mẻ, bất ngờ, rực rỡ, khác thường sẽ dễ dàng lôi cuốn sự chú ý
của các em mà không cần sự lỗ lực của ý chí. Ở lứa tuổi này, chú ý có chủ định
của các em còn yếu, khả năng điều chỉnh chú ý một cách có ý chí chưa mạnh.
Sự chú ý của học sinh đòi hỏi một động cơ gần thúc đẩy.
1.1.3. Trí nhớ
Học sinh Tiểu học chủ yếu vẫn là ghi nhớ máy móc. Trí nhớ trực quan
hình ảnh phát triển hơn trí nhớ từ ngữ trừu tượng. Các em nhớ và giữ gìn chính
xác những sự vật, hiện tượng cụ thể nhanh hơn và tốt hơn những định nghĩa,
những lời giải thích dài dòng.
1.1.4. Tưởng tượng
Tưởng tượng của học sinh Tiểu học đã phát triển và phong phú hơn so với
trẻ mẫu giáo. Đây là lứa tuổi thơ mộng giúp cho các em phát triển trí tưởng
tượng. Tuy vậy, tưởng tượng của các em còn tản mạn, ít có tổ chức. Hình ảnh
của tưởng tượng còn đơn giản, chưa được gọt rũa, hay thay đổi, chưa bền vững.
Đến cuối cấp Tiểu học, tính trực quan tưởng tượng của các em giảm dần, các
em có khả năng tưởng tượng sáng tạo. Sở dĩ như vậy là vì các em đã có kinh

nghiệm phong phú, đã lĩnh hội được những tri thức khoa học do nhà trường
đem lại.
1.1.5. Tư duy
Khả năng tư duy của trẻ em mới đến trường là tư duy cụ thể, mang tính
hình thức bằng cách dựa vào những đặc điểm trực quan của những đối tượng và
hình tượng cụ thể. Trong quá trình học tập, tư duy của học sinh Tiểu học thay
đổi ít nhiều. Sự phát triển của tư duy dẫn đến sự tổ chức lại một cách căn bản
quá trình nhận thức, chúng được tiến hành một cách có chủ định.
13

Tóm lại, lứa tuổi học sinh Tiểu học nhờ có giáo dục (nhà trường, gia đình,
xã hội) nhờ các em tham gia vào các hoạt động (học tập, giao tiếp, vui chơi, lao
động tự phục vụ ) nên tâm lí của các em phát triển, khả năng nhận thức từng
bước chuyển biến để phát triển ở trình độ cao hơn.
1.2. Bài toán và lời giải của bài toán
Theo G. POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có
ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy
rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Trên cơ sở định khái quát của G. POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán là sự
đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với
một số quan niệm khác nhau về bài toán: Đề toán, bài tập….
1.3. Các yếu tố của bài toán
Trong các định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp
thành của một bài toán đó là:
+ Mục đích của bài toán.
+ Sự đòi hỏi thực hiện mục đích của bài toán.
Ví dụ: “Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 514. Tìm hai số đó, biết rằng nếu
viết thêm chữ số 8 vào bên phải số bé thì được số lớn đã cho”
Trong bài toán này 2 yếu tố cơ bản hợp thành đó là:
+ Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “Tìm hai số đó”

+ Mục đích của bài toán thể hiện qua: “Tổng của hai số bằng 514 và nếu
viết thêm chữ số 8 vào bên phải số lớn thì được số lớn đã cho”
1.4. Lời giải cho bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện
14

để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, của bài toán.
Một bài toán có thể có:
- Một lời giải.
- Không có lời giải.
- Nhiều lời giải.
Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một
lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc có lí giải được
bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
1.5. Ý nghĩa của việc giải toán
Giải toán có ý nghĩa to lớn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học
Toán của học sinh Tiểu học. Cụ thể:
- Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh Tiểu học.
- Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh Tiểu học.
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán cho học sinh Tiểu học.
- Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh Tiểu học.
1.6. Phương pháp tìm lời giải của bài toán
1.6.1. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
a. Phân loại theo hình thức bài toán
Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay chưa để phân chia bài toán ra thành hai loại:
15

- Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một
cách rõ ràng trong đề bài toán.
Ví dụ:
“Chứng tỏ rằng một số tự nhiên chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng lập
thành một số chia hết cho 4”.
“Chứng tỏ rằng đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh của một tam giác
tạo ra một tam giác mới có diện tích bằng một phần tư tam giác ban đầu”.
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn trong
đề bài bài toán.
Ví dụ:
“Cho hai số tự nhiên, trong đó số lớn hơn số bé 678. Tìm hai số đó, biết
rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào bên phải số bé thì được số lớn”.
“Tìm các số tự nhiên có ba chữ số biết rằng nó gấp 5 lần tích các chữ số
của nó”.
b. Phân loại theo phương pháp giải toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angorit
giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại.
- Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một thuật toán chung nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó.
Ví dụ:
“Dạng toán tìm 2 số khi biết tổng số và tỉ số của hai số đó”
“Dạng toán tìm 2 số khi biết hiệu số và tỉ số của hai số đó”
“Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó”
“Dạng toán tìm số trung bình cộng của các số”
16

- Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó
không mang theo một thuật toán chung nào đó hoặc không mang tính chất
angorit nào.

Ví dụ:
“Cho hình vuông ABCD có cạnh 20cm. Gọi M, N lần lượt là điểm chính
giữa của cạnh AB, BC. Nối CM và DN cắt nhau tại I. Hãy tính diện tích của
hình tứ giác AMID”
c. Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ
của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các
loại khác nhau như sau:
- Bài toán số học.
+ Bài toán về chuyển động đều.
+ Bài toán về tuổi.
+ Bài toán trồng cây.
+ Bài toán về cấu tạo số.
- Bài toán hình học.
d. Phân loại theo ý nghĩa
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải toán để phân loại bài toán: Bài toán
này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó, hay là
bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau:
- Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau
khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.
- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
17

kiến thức cũng như kĩ năng, kĩ xảo nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng
tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.6.2. Phương pháp tìm lời giải của bài toán
Dựa theo 4 bước của G. POLIA
Bước 1: Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:

Những gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi,
biến thiên của bài toán.
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Để tìm được lời giải cho bài toán một cách hiệu quả thì bước xây dựng
chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó khăn nhất.
Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để nhận xét, so
sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán.
Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ tiến hành xây
dựng chương trình giải theo phương pháp sau:
•
Phương pháp đi xuôi
Xuất phát từ giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề. Bằng suy luận hợp
lô-gic chúng ta tìm ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm tiền đề
mới. Lại bằng suy luận hợp lô-gic chúng ta tìm ra các hệ quả lô-gic mới gần gũi
18

hơn với kết luận… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra được hệ quả lô-gic
trùng với kết luận của bài toán. Khi ấy ta tìm được lời giải của bài toán.

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:


•
Phương pháp đi ngược
Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp lô-gic
chúng ta đi ngược để tìm các tiền đề lô-gic của kết luận này.
Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết

của bài toán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề lô-gic mới của kết luận
mới này… Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được các tiền đề lô-gic trùng
với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:


Chú ý: Thông thường trong trường hợp để tìm được lời giải của bài toán ta
thường kết hợp cả 2 phương pháp đi xuôi và đi ngược.
Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:
“Một hình chữ nhật có chu vi là 120m, chiều rộng bằng
3
2
chiều dài.
Tính diện tích hình chữ nhật đó.”
Hướng dẫn:
+ Tóm tắt đề toán:
X
<=

C
<=
A
(trong đó A, B giả thiết còn X là kết luận )
D <= B
=>
X (trong đó A, C là các giả thiết còn X là kết luận)
C=>D
A=>B
19

Bài toán cho biết gì? (chu vi hình chữ nhật là 120m, chiều rộng bằng
3
2

chiều dài)
Bài toán yêu cầu gì?
+ Nếu hình chữ nhật có chu vi là 120m, chiều rộng bằng
3
2
chiều dài thì
diện tích của hình chữ nhật sẽ là bao nhiêu?
+ Để tính diện tích hình chữ nhật thực chất ở đây ta đi tính cái gì?
+ Để tính diện tích hình chữ nhật ta có chu vi hình chữ nhật và mối quan
hệ giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó, ta phải làm như thế nào?
+ Đến đây ta đưa bài toán về dạng toán quen thuộc nào?
+ Hãy trình bày lời giải bài toán?
• Phương pháp sử dụng các phép suy luận quy nạp
Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phương
pháp. Tuy nhiên không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài
toán.
Có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phương pháp: Phương pháp đi
xuôi; phương pháp đi ngược… thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó mà vẫn
chưa tìm được lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển hướng suy nghĩ
theo một hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử dụng các phép suy luận qui
nạp, nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán liên quan, có tính chất gần giống với bài
toán ta cần giải. Có thể là bài toán con, bài toán tương tự, bài toán đặc biệt, đôi
khi là bài toán khái quát.
20

Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của các bài toán có liên quan với bài

toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã
cho.
Theo G. POLIA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi sau: “Bạn có
biết một bài toán nào gần giống với bài toán của bạn không?”; “Đây là một bài
toán gần giống với bài toán của bạn đã giải được rồi. Bạn có thể dùng được nó
làm gì không?”; “Nếu bạn không giải được bài toán đã cho, thì trước hết hãy
giải bài toán gần giống với nó”
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình, ta dùng
các phép suy luận hợp lô-gic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh đề
toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt
sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được – chính
là điều chứng minh được.
Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm
được của bài toán.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.



21

CHƯƠNG 2
HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT
TỔNG VÀ TỈ

2.1. Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ của hai số đó trong chương
trình Tiểu học

Trong trường Tiểu học dạng toán này được chính thức đưa vào dạy ở lớp 4
và tiếp tục được triển khai ở lóp 5.
2.1.1. Trong chương trình toán lớp 4
Dạng toán xuất hiện trong chương V bao gồm: Tỉ số và các bài toán liên
quan đến tỉ số hay gọi là các bài toán điển hình và dạng toán “Tìm hai số khi
biết tổng và tỉ số của hai số đó” nằm trong các bài toán điển hình đó.
Trước khi học dạng toán này học sinh đã được giới thiệu kiến thức về “tỉ
số”, hiểu được bản chất của “tỉ số” để chuẩn bị cho các bài toán liên quan sau
đó.
* Nội dung được giới thiệu thông qua bài toán mẫu:
Bài toán 1: Tổng của hai số là 96. Tỉ số của hai số đó là
5
3
. Tìm hai số đó.
Bài toán mẫu đầu tiên này có tổng không quá lớn và có dạng tiêu biểu nhất
chứa đựng tất cả những đặc điểm chung của dạng toán. Đó là cho biết “tổng” là
96 và “tỉ số” là
5
3
. Bài toán này giúp học sinh tập trung chú ý vào khâu nhận
dạng loại toán và rút ra được cách giải tổng quát.
- Với bài toán này dùng “Sơ đồ đoạn thẳng” để hỗ trợ và cách giải như
sau :
22

+ Tỉ số của hai số bằng
5
3
. Tức là số bé bằng
5

3
số lớn hay số bé chiếm 3
phần, số lớn chiếm 5 phần. Nếu biểu thị số bé bằng 3 phần bằng nhau thì số lớn
bằng 5 phần như thế.
+ Biểu thị các dữ kiện của bài toán trên sơ đồ. Tổng của hai số là 96 đó là
tổng các phần của hai số đó.
Ta có sơ đồsau : Số bé :
Số lớn :


Dựa vào sơ đồ: Tìm lời giải cho bài toán.
+ Theo sơ đồ 96 ứng với 8 phần bằng nhau (8 = 5 +3) hay gọi đây là tổng
số phần bằng nhau.
+ 8 phần bằng nhau có giá trị là 96. Vậy sẽ tìm được giá trị của một phần
là (96 :8)
+ Tìm được số bé (96 : 8 x 3), số lớn (96 – số bé)
- Lời giải của bài toán như sau:
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
5 +3 = 8 (phần)
Số bé là:
96 : 8 x 3 = 36
Số lớn là:
96 – 36 = 60
Đáp số: Số bé: 36
Số lớn: 60
96
?
?

23

- Lưu ý: Trong quá trình hướng dẫn học sinh trình bày bài giải cần lưu ý
học sinh.
+ Yêu cầu học sinh vẽ “Sơ đồ đoạn thẳng” trước khi viết bài giải toán.
+ Nếu không vẽ sơ đồ đoạn thẳng có thể diễn đạt bằng lời rồi sau đó viết
lời giải bình thường.
Ví dụ: Biểu thị số bé bằng 3 phần bằng nhau thì số lớn là 5 phần như thế.
Tuy nhiên khi mới học dạng toán này không nên khuyến khích học sinh
trình bày cách giải này.
- Qua bài toán mẫu số một học sinh thấy ra được cách giải tổng quát của
dạng toán này gồm 4 bước:
Bước 1: Vẽ sơ đồ.
Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau.
Bước 3: Tìm giá trị của một phần.
Bước 4: Tìm các số theo yêu cầu của bài toán.
* Bài toán mẫu thứ hai là bài toán tương tự bài toán mẫu số một song thay
đổi “văn cảnh” và số tổng để rèn luyện kĩ năng nhận dạng bài toán và giải bài
toán.
Bài toán 2: Minh và Khôi có 25 quyển vở. Số vở của Minh bằng
3
2
số vở
của Khôi. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở?
Để thấy được đặc điểm điển hình của bài toán trên, giáo viên cần giúp học
sinh xác định đâu là tổng? (25 quyển vở), đâu là tỉ số (
3
2
) và đâu là các yếu tố
cần tìm (số vở của Minh, số vở của Khôi).
24

Tương tự bài toán mẫu số một, bài toán này được giải tương tự theo các
bước cụ thể sau:
- Vẽ sơ đồ đoạn thẳng.
Tỉ số là
3
2
, tỉ số này cho biết số vở của Minh bằng
3
2
số vở của Khôi. Tức
là nếu ta biểu diễn số vở của Minh là 2 phần bằng nhau thì số vở của Khôi sẽ là
3 phần như thế.
Biểu diễn các dữ liệu trên sơ đồ nhưng lưu ý học sinh bài toán mẫu số hai
này có sự khác biệt đó là xuất hiện danh số (hay kèm theo đơn vị quyển vở) cần
phải thể hiện trên sơ đồ.
Ta có sơ đồ sau:
Số vở của Minh:
Số vở của Khôi:

Dựa vào sơ đồ trên bài toán được giải tương tự bài toán mẫu số một, lời
giải bài toán như sau:
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
2 + 3 = 5 (phần)
Số vở của Minh là:
25 : 5 x 2 = 10 (quyển)
Số vở của Khôi là:
25 – 10 = 15 (quyển)
Đáp số: Minh: 10 quyển vở
Khôi: 15 quyển vở

25 quyển
? quyển
? quyển
25

* Để củng cố kiến thức dạng toán cho học sinh, Sách Giáo Khoa đưa ra
một số dạng toán phức tạp dần bao gồm các nội dung:
+ Bài toán có cách trình bày đầu bài khác với cách trình bày của bài toán
mẫu.
+ Thay đổi dữ kiện để học sinh phải giải thông qua một số bước của bài
toán mẫu.
+ Lập đề toán thuộc dạng toán đang học và giải bài toán đó.
- Phần bài tập sau hai bài toán mẫu:
Bài 1: Tổng của hai số là 333. Tỉ số của hai số đó là
7
2
. Tìm hai số đó.
Bài 2: Hai kho chứa 125 tấn thóc, trong đó số thóc ở kho thứ nhất bằng
2
3

số thóc ở kho thứ hai. Hỏi mỗi kho chứa bao nhiêu tấn thóc?
Bài 3: Tổng của hai số bằng số lớn nhất có hai chữ số. Tỉ số của hai số là
5
4
. Tìm hai số đó.
- Các bài tập trong 2 tiết luyện tập tiếp:
* Tiết thứ nhất:
Bài 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 198 và tỉ số của hai số đó là
8

3
.
Bài 2: Một người đã bán được 280 quả cam quýt, trong đó số cam bằng
5
2

số quýt. Tìm số cam, số quýt.
Bài 3: Lớp 4A và lớp 4B trồng được 330 cây. Lớp 4A có 34 học sinh, lớp
4B có 32 học sinh. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây, biết rằng mỗi học
sinh đều trồng được số cây như nhau?
26

Bài 4: Một hình chữ nhật có chu vi là 350 m, chiều rộng bằng
4
3
chiều dài.
Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó.
* Tiết thứ hai:
Bài 1: Một sợi dây dài 28m được cắt thành hai đoạn, đoạn thứ nhất dài gấp
3 lần đoạn thứ hai. Hỏi mỗi đoạn dài bao nhiêu mét?
Bài 2: Một nhóm học sinh có 12 bạn, trong đó số bạn trai bằng một nửa số
bạn gái. Hỏi nhóm đó có mấy bạn trai, mấy bạn gái?
Bài 3: Tổng của hai số là 72. Tìm hai số đó, biết rằng nếu số lớn giảm 5
lần thì được số bé.
Bài 4: Nêu bài toán rồi giải bài toán theo sơ đồ sau :
Thùng 1:
Thùng 2:

- Các bài tập trong phần luyện tập chung trang trong hai tiết này cũng có
một số bài toán ở mức độ phức tạp đòi hỏi học sinh có tư duy tốt. Học sinh phải

biến đổi để đưa bài toán về đúng dạng rồi mới giải. Các bài toán này thường
liên quan đến tính chất chất của tổng.
* Các bài tập: Luyện tập chung trang 149.
Bài 1: Viết tỉ số của a và b, biết:
a) a = 3 c) a = 12kg
b = 4 b = 3kg
b) a = 5m d) a = 6l
b = 7m b = 8l

? l
180 l
? l
27

Bài 2: Viết số thích hợp vào ô trống:

Bài 3: Hai số có tổng bằng 1080. Tìm hai số đó, biết rằng gấp 7 lần số thứ
nhất thì được số thứ hai.
Bài 4: Một hình chữ nhật có nửa chu vi là 125m, chiều rộng bằng
3
2
chiều
dài. Tìm chiều dài, chiều rộng của hình đó.
Bài 5: Một hình chữ nhật có chu vi là 64 m, chiều rộng ngắn hơn chiều dài 8
m. Tìm chiều dài, chiều rộng của hình đó.
* Các bài luyện tập chung trang 153.
Bài tập: Một gian hàng có 63 đồ chơi gồm ô tô và búp bê, số búp bê bằng

5
2

số ô tô. Hỏi gian hàng đó có bao nhiêu chiếc ô tô?
* Các bài luyện tập chung trang 176.
Bài 1: Viết số thích hợp vào ô trống.
Tổng hai số 91 170 216
Tỉ số của hai số
6
1

3
2

5
3

Số bé
Số lớn
Tổng của hai số 72 120 45
Tỉ số của hai số
5
1

7
1

3
2

Số bé
Số lón
28

Bài 2: Hai kho chứa 1350 tấn thóc. Tìm số thóc của mỗi kho, biết rằng số
thóc của kho thứ nhất bằng
5
4
số thóc của kho thứ hai?
Bài 3: Một cửa hàng bán được 56 hộp kẹo và hộp bánh, trong đó số hộp
kẹo bằng
4
3
số hộp bánh. Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu hộp mỗi loại?
* Các bài luyện tập chung trang 178.
Bài tập: Một lớp có 35 học sinh, trong đó số học sinh trai bằng
4
3
số học
sinh gái. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh gái?
2.1.2. Trong chương trình dạy học toán lớp 5
Dạng toán này vẫn tiếp tục thể hiện thông qua một số bài toán chuyển
động, hình học.
- Ở phần ôn tập giải toán, dạng toán này tiếp tục được giới thiệu lại thông
qua bài toán và lời giải.
Giáo viên chỉ nêu bài toán và yêu cầu học sinh nhắc lại cách giải và yêu
cầu học sinh tự trình bày.
Bài toán: Tổng của hai số là 121. Tỉ số của hai số đó là
6
5
. Tìm hai số đó.
Bài giải:
Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
121
?
?
Số bé:

Số lớn:

29

5 + 6 = 11 (phần)
Số bé là:
121 : 11 x 5 = 55
Số lớn là:
121 – 55 = 66
Đáp số: 55 và 66
- Các bài tập luyện tập phần lớn nằm trong phần ôn tập giải toán. Các bài
tập dưới hình thức mới đó là các bài toán liên quan đến hình học, toán chuyển
động…
* Ôn tập giải toán trang 18 có:
Bài 1: Tổng của hai số là 80. Số thứ nhất bằng
9
7
số thứ hai. Tìm hai số
đó.
Bài 2: Một vườn hoa hình chữ nhật có chu vi là 120m. Chiều rộng bằng

7
5

chiều dài.
a) Tính chiều dài, chiều rộng vườn hoa đó.
b) Người ta sử dụng
25
1
diện tích vườn hoa để làm lối đi. Hỏi diện tích lối
đi là bao nhiêu mét vuông?
* Bài tập: Luyện tập trang 22:
Bài tập: Một lớp học có 28 học sinh, trong đó số em nam bằng
5
2
số em
nữ. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu em nữ, bao nhiêu em nam?
* Ôn tập giải toán trang 171:
30

Bài tập: Lớp 5A có 35 học sinh. Số học sinh nam bằng
4
3
số học sinh nữ.
Hỏi số học sinh nữ hơn số học sinh nam là bao nhiêu em?
2.2. Phương pháp chung để giải bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số của hai số đó
- Để phù hợp với nhận thức của học sinh Tiểu học và giải toán dạng “Tìm
hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”. Việc tóm tắt sơ đồ đoạn thẳng là phù
hợp với kết quả cao nhất. Thông qua sơ đồ đoạn thẳng.
+ Thể hiện được các yếu tố của bài toán.

+ Thấy được các yếu tố đã cho, các yếu tố cần tìm.
Do đó phương pháp thông dụng để giải dạng toán này là phương pháp sơ
đồ đoạn thẳng. Phương pháp này bao gồm các bước sau:
Bước 1: Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Dùng đoạn thẳng để biểu thị số cần tìm, số phần bằng nhau của các đoạn
thẳng đó tương ứng với tỉ số cần tìm.
Bước 2: Tìm tổng số phần tử bằng nhau.
Bước 3: Tìm giá trị của một phần.
Bước 4: Tìm các số.
Đôi khi ta có thể kết hợp các bước 2, 3, và 4.
- Tuy nhiên tùy một số bài toán mà giáo viên có sự hướng dẫn khác nhau.
Có dạng bài tường minh chỉ cần áp dụng các bước trên, có dạng ẩn tàng
giáo viên giúp học sinh đưa về dạng quen thuộc sau đó mới giải bài toán
theo 4 bước.
31

Ví dụ 1: Hai kho thóc chứa 125 tấn thóc, trong đó số thóc ở kho thứ nhất
bằng
2
3
số thóc ở kho thứ hai. Hỏi mỗi kho chứa bao nhiêu tấn thóc?
Phân tích:
Bài toán cho biết tổng số tấn thóc của hai kho là 125 tấn, số tấn thóc ở kho
thứ nhất bằng
2
3
số tấn thóc của kho thứ hai. Đây là bài toán thuộc dạng tìm hai
số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Ta sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn
thẳng. Nếu biểu diễn số tấn thóc của kho thứ nhất là 3 phần bằng nhau, thì số
tấn thóc của kho thứ hai là 2 phần bằng nhau như thế. Biểu thị các dữ liệu trên

sơ đồ. Từ đó ta tìm lời giải của bài toán.
Bài giải:
Ta có sơ đồ sau:
Số thóc ở kho thứ nhất:
Số thóc ở kho thứ hai:

Theo sơ đồ ta có, tổng số phần bằng nhau là:
3 + 2 = 5 (phần)
Số thóc ở kho thứ nhất là:
125 : 5 x 3 = 75 (tấn)
Số thóc ở kho thứ hai là:
125 – 75 = 50 (tấn)
Đáp số: Kho thứ nhất: 75 tấn
Kho thứ hai: 50 tấn
125 tấn
? tấn
? tấn