Một số ứng dụng của lượng giác

Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Trang 1
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sự
liên hệ giữa cạnh và góc của nó. Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học,
nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số và
Giải tích. Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú. Việc phát
hiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn.
Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng
“chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học. Nhưng có những dạng toán
nếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếu
như không muốn nói là bế tắt. Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bản
chất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trở
thành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu. Bên cạnh đó, thông qua chuyên đề
này tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượng
giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán.
Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không những
đưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi
ngôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác.
Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng
của lượng giác” .
Chuyên đề được chia thành 4 phần:
 Phần thứ nhất: Mở đầu.
 Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị.
 Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác.
 Phần thứ tư: Kết luận
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và hệ thống việc ứng dụng lượng giác
trong đại số, số học, giải tích và trong hình học.
Trang 2

Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
- Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa, các bài tập tự giải được sử dụng
phương pháp lượng giác nhằm nâng cao trình độ tư duy và kỹ năng giải
toán cho học sinh.
- Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mới
phương pháp có hiệu quả.
III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Thông qua các bài toán tích phân, dãy số, phương
trình, hệ phương trình, tính góc và cạnh của tam giác, nhận dạng tam giác.
- Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình sách giáo khoa toán hiện hành
và trong nội dung đề thi CĐ-ĐH, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi học
sinh giỏi máy tính cầm tay.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu tài liệu, sách và báo liên quan đến đề tài.
- Điều tra và khảo sát thực tế học sinh.
- Trao đổi cùng đồng nghiệp trong và ngoài tổ chuyên môn.
- Tích lũy, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
IV. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1) Khó khăn:
 Do khối lượng công thức lượng giác là khá nhiều và học sinh
không hiểu bản chất của lượng giác. Vì vậy khi gặp các bài toán lượng
giác học sinh thường ngán, ngại bỏ qua. Đó là chưa nói đến ứng dụng của
lượng giác.
 Điều đáng nói là cho đến nay vẫn thiếu những tài liệu ứng dụng
của lượng giác trong đại số, giải tích và trong hình học, nếu có cũng chưa
có tính hệ thống. Hơn nữa, học sinh chưa có thói quen tự học, tự nghiên
cứu.
Trang 3
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
2) Số liệu thống kê: Sau đây là kết quả kiểm tra 60 phút tự luận của 2

lớp
12 trong năm học 2013-2014 (trước khi áp dụng SKKN ).
I. Công thức lượng giác
1.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.

α
−

απ
−

απ
+

2
π
α
−

2
π
α
+
cos
cosα
cos
α
−
cos
α

−
sin
α
sin
α
−
sin
sin
α
−
sinα
sin
α
−
cos
α
cosα
tan
tan
α
−
tan
α
−
tanα
cot
α
cot
α
−

cot
cot
α
−
cot
α
−
cotα
tan
α
tan
α
−
1.2 Hằng đẳng thức lượng giác
2 2
sin cos 1x x
+ =
,
2
tan .cot 1
k
x kx x
π
 
 ÷
 
≠ ∈= Z
sin
tan ,
cos 2

x
x x k k
x
π
π
 
 ÷
 
= ≠ + ∈Z
( )
2
2
1
1 cot ,
sin
x x k k
x
π
+ = ≠ ∈Z
( )
cos
cot ,
sin
x
x x k k
x
π
= ≠ ∈Z
2
2

1
1 tan ,
2
cos
x x k k
x
π
π
 
 ÷
 
+ = ≠ + ∈Z
1.3 Công thức cộng
( )
sin sin cos cos sina b a b a b± = ±
(
)
tan tan
1 tan tan
tan
a b
a b
a b
±
± =
m
(
)
cos cos cos sin sina b a b a b± = m
(

)
cot cot 1
cot
cot cot
a b
a b
b a
± =
±
m
1.4 Công thức nhân
Trang 4
Góc
GTLG
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
a. Công thức nhân đôi
sin 2 2sin .cosx x x=
2 2 2 2
cos2 1 1
cos sin 2cos 2sin
x
x x x x−
= = − = −
2
an 2
2tan
t
1 tan
x
x

x
=
−
b. Công thức nhân ba
3
sin3 3sin sin
4
x x x−
=
3
cos3 cos 3cos
4
x x x
−
=
3
2
tan3tan
tan3
1 3tan
xx
x
x
−
=
−
1.5 Công thức tính theo
2
tan
x

t =

2
2
sin
1
t
x
t
=
+
;
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
;
2
2
tan
1
t
x

t
=
−
.
1.6 Công thức hạ bậc
2
1 cos2
sin
2
x
x
−
=
;
2
1 cos2
cos
2
x
x
+
=
;
2
1 cos2
tan
1 cos2
x
x
x

−
=
+
.
1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2 cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =

cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2 sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2 cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =

1.8 Công thức biến đổi tích thành tổng
( ) ( )
1
2
cos .cos cos cosa b a b a b
 
 
 
= + + −
( ) ( )
1
2
sin .sin cos cosa b a b a b
 
 
 
= − + − −
( ) ( )
1
2
sin .cos sin sina b a b a b
 
 
 
= + + −
II. Một số dấu hiệu chuyển bài toán qua dạng lượng giác.
Do số lượng các công thức lượng giác là rất nhiều, nên khi chuyển bài
toán qua lượng giác thì đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức lượng
giác, kĩ thuật biến đổi, tính tuần hoàn và tính bị chặn của các hàm số lượng
Trang 5

Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
giác. Hơn nữa trong bài toán phải có dấu hiệu đặc trưng của lượng giác về
biểu thức, đẳng thức hoặc biến
x
tham gia trong bài toán. Sau đây là một số
dấu hiệu cơ bản.
2.1 Nếu
x a≤
, ta đặt
sin , ;
2 2
x a t t
π π
 
 
 
= ∈ −
hoặc
cos , 0;a t tx
π
 
 
∈=
2.2 Nếu
( )
0ax a >≥
, ta đặt
( )
, 0;
sin

a
x t
t
π
= ∈
hoặc

,
2 2cos
;
a
x
t
t
π π
 
 ÷
 
= −∈
2.3 Nếu
x ∈¡
, ta đặt
;
2 2
,tanx a t t
π π
 
−
 ÷
 

= ∈
hoặc
( )
0;,cotx a t t
π
= ∈
2.4 Nếu bài toán có chứa đẳng thức
( ) ( )
2 2
1f x g x+ =
, thì có thể đặt

( ) cos
( ) sin
f x t
g x t





=
=
hoặc
( ) cos
( ) sin
g x t
f x t






=
=
2.5 Nếu bài toán chứa biểu thức
2 2
a x−
thì có thể đặt:

| |sin , ,
2 2
x a t t
π π
 
 
 
= ∈ −
hoặc
| |cos , 0,x a t t
π
 
 
= ∈
2.6 Nếu bài toán chứa biểu thức
2 2
x a−
thì có thể đặt:

{ }

| |
, , \ 0
sin 2 2
a
x t
t
π π
 
 
 
= ∈ −
hoặc
| |
, 0, \
cos 2
a
x t
t
π
π
 
 
 
 
 
= ∈
2.7 Nếu bài toán chứa biểu thức
2 2
a x+
thì có thể đặt:

| | tan , ,
2 2
x a t t
π π
 
 ÷
 
= ∈ −
hoặc
( )
| |cot , 0,x a t t
π
= ∈
.
2.8 Nếu bài toán chứa biểu thức
a x
a x
+
−
thì có thể đặt:
( )
0;cos2 ,x a t t
π
= ∈
hoặc
a x
a x
−
+

thì đặt
[ ]
0; \
2
cos2 ,x a t t
π
π
 
 
 
= ∈
.
Trang 6
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
2.9 Nếu bài toán chứa biểu thức
( )( )x a b x− −
thì có thể đặt:
( )
2
sin , 0;x a b a t t
π
 
 
= + − ∈

2.10 Nếu bài toán chứa biểu thức
1
x y
xy
+

−
hoặc
1
x y
xy
−
+
hoặc
2
2
1
x
x+
hoặc
2
2
1
x
x−

hoặc
2
2
1
1
x
x
−
+
hoặc

3
2
3
1 3
x x
x
−
−
…thì ta có thể đặt
tan
, ;
tan
2 2
x
y
α
π π
α β
β
 

 

 ÷

 ÷
 ÷

 


 
=
∈ −
=
.
2.11 Nhận xét
 Với hàm số sin
●
22
1 2sin cos21 2x
α α
= − =−
●
2 4 42
2 2
1
2
1
2
1 sin sin cos1 x
α α
α
   
+
 ÷  ÷
   
= − =−
●
33
3sin 4sin sin33 4x x

α α α
= − =−
●
2 6 62
2 2
3
4
3
4
1 sin sin cos1 x
α α
α
   
+
 ÷  ÷
   
= − =−
●
5 35 3
16 2016 20 sin55 sin sin 5sinxx x
α α αα
++ = − =−
 Với hàm số cos
●
22
2cos 1 cos22 1x
α α
= − =−
●
33

4cos 3cos cos34 3x x
α α α
− − ==
●
( ) ( )
3
33
2cos 3 2cos 8cos 6cos 2.cos33x x
α α α α α
− = − = − =
●
4 24 2
8 88 8 cos cos 1 cos41x x
α α α
−− = − =−
●
5 35 3
16 2016 20 cos55 cos cos 5cosxx x
α α αα
++ = − =−
●
6 46 4 2 2
32 832 48 18 4 18cos cos6cos cos 11x x x
αα α α
− −+ += − =−
III. Phương trình bậc ba.
Phương trình là một dạng toán cơ bản nhưng cũng rất quan trọng trong
lĩnh vực đại số. Chúng ta làm quen với các bài toán về phương trình từ những
ngày đầu học toán. Ở cấp tiểu học, chúng ta được biết đến những bài toán tìm
x…, những năm ở THCS bài toán về phương trình bậc nhất, phương trình bậc

hai, phương trình vô tỉ được xây dựng, Hiện nay, việc giải và biện luận
Trang 7
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
phương trình bậc nhất, bậc hai đã trở nên rất quen thuộc đối với học sinh ở
cấp THPT. Học sinh cũng có dịp làm quen với phương trình bậc ba, phương
trình bậc bốn, tuy nhiên việc giải và biện luận phương trình bậc ba tổng quát
chưa được trình bày trong chương trình THPT. Tôi xin giới thiệu cách giải và
biện luận phương trình bậc ba dạng tổng quát.
Phương trình bậc ba dạng tổng quát:
( )
( )
3 2
1 1 1 1 1
00a x b x c x d a ≠ ∗+ + + =
mọi phương trình (*) đều đưa về dạng chuẩn tắc
3 2
0x ax bx c+ + + =
.
Giải và biện luận phương trình:
3 2
0t at bt c+ + + +
(1)
Lời giải: Đặt
3
a
x y= −
. Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng
3 2
0
3 3 3

a a a
y a y b y c
     
 ÷  ÷  ÷
     
− + − + − + =
Tương đương
3
y py q
− =
(2) . Trong đó
2
3
a
p b= −
,
3
27 3
a ab
q c
= − + +
 Nếu p = 0 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất
3
y q
=
 Nếu p > 0 thì ta đưa phương trình về dạng Bài toán 1 hoặc Bài toán 2
bằng cách đặt
2
3
p

y t=
ta thu được phương trình dạng
3
4 3 ,t t m− =
với
3 3
2
q
m
p p
=
(3)
+ Nếu
1m ≤
thì ta đặt m = cos α và phương trình (2) có 3 nghiêm
1
cos
3
t
α
=
;
2,3
2
cos
3
t
α π
±
=

+ Nếu
1m ≥
thì đặt
3
3
1 1
2
m d
d
 
 ÷
 
= +
thì phương trình có nghiêm duy
nhất là
3 3
2 2
1 1 1
1 1
2 2
t d m m m m
d
 
 
 ÷
 ÷
 
 
= + = + + + − +
 Nếu p < 0 thì đặt

2
3
p
y t
−
=
ta sẽ được phương trình
3
4 3t t m+ =
Trang 8
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Đặt
3
3
1 1
2
m d
d
 
= −
 ÷
 
với
3 2
1d m m
= ± +
.
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất
3 3
2 2

1
1 1
2
t m m m m
 
 ÷
 
= + − + − −
Từ nghiệm
t
ta tính được nghiệm y và từ đó suy ra nghiệm
x
3 3
2 2
1
2 1 1
3 2 3
p a
x m m m m
 
 ÷
 
= + − + − − −
.
I.V Công thức, định lý trong hình học phẳng
Trong tam giác
ABC
ta ký hiệu:
a, b, c tương ứng là độ dài các cạnh
, ,BC AC AB

S là diện tích , p là nửa chu vi tam giác
ABC
, ,
a c
b
h h h
tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ
, ,A B C
, ,
a c
b
m m m
tương ứng là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ
, ,A B C
,R r
tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
4.1 Định lý hàm số sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =

4.2 Định lý hàm số cos :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos

2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + −
= + −
= + −
4.3 Độ dài đường trung tuyến :
2 2 2
2 2
2
a
c b a
m
+ −
=
4.4 Độ dài đường cao :

.sin .sin
.sin .sin
sin
a
a B C
h b C c B
A
= = =
;
2
a
S

h
a
=
.
4.5 Diện tích tam giác :

( ) ( ) ( )
S p p a p b p c= − − −

4 4
abc abc
S R
R S
= ⇒ =


2
1 .sin .sin
.
2 2sin
a
a B C
S a h
A
= =
2
2 .sin .sin .sinS R A B C=
.
Trang 9
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa

1 1 1
. . .sin . . .sin . . .sin
2 2 2
S a b C b c A a c B= = =
V Đẳng thức lượng giác trong tam giác
( )
sin sinA B C+ =

( )
cos cosA B C+ = −

( )
tan tanA B C+ = −

( )
cot cotA B C+ = −
2
2
sin cos
A B
C
+
=

2
2
cos sin
A B
C

+
=
2
2
tan cot
A B
C
+
=

2
2
cot tan
A B
C
+
=
.
I. Trong chương trình toán học THPT, dãy số là một phần quan trọng của Đại
số & Giải Tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán
liên quan đến dãy số như tính giới hạn hay xác định công thức số hạng tổng
quát của dãy số. Khi gặp các con số đặc biệt
1
; ; ; ;
2 2 2
2 3
2 3
có liên quan
đến các giá trị lượng giác thì ta cũng phải nghĩ đến việc sử dụng công cụ
lượng giác để giải chúng. Dưới đây là một số ví dụ ứng dụng của lượng giác

trong dãy số.
Bài 1.1 Cho dãy số
( )
n
u
có
3
1
1
1
3
2
, 2
4 3
n
n
n
n
u
u u u
−
−




− ∀ ≥

=
=

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.
Bài giải
Trang 10
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Nhận xét: Từ công thức truy hồi của dãy, gợi nhớ đến công thức nhân ba của
hàm số cosin, bên cạnh đó số
3
2
có liên hệ với giá trị lượng góc đặc biệt.
Ta có
1
3
2 6
cosu
π
= =

3
2
6 6
3
4cos 3 cos
6
cosu
π π π
−

×
= =

2
3
3
3.
6
3.
6
3
4cos 3 cos
6
cosu
π π π
−
×
= =
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
1
3
cos
6
n
n
u
π
−
=
Bài 1.2 Cho dãy số

( )
n
u
có
2
1
1
3
2
, 2
2
n
n
n
u
u u
−




∀ ≥

=
= −
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.

Bài giải
Nhận xét: Bài toán giấu đi tính lượng giác rất khéo, quan sát từ công thức
truy hồi của dãy, ta tạo ra công thức nhân đôi của hàm số cosin.
Vì vậy, đặt
, ;
4 2
3
cos
π
α α π
 
 ÷
 
− ∈=
Khi đó
1
4
3
2 2cosu
α
 
−
 ÷
 
= − × = −


( )
2
2

2 1 2cos 2cos2u
α α
= −= −

( )
2
3
2 1 2cos 2 2cos4u
α
α
= −
= −

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
( )
1
cos
2 2
n
n
u
α
−
= −
Bài 1.3 Cho dãy số
( )
n
u
có
( )

1
1
3
1
2 1
,
1 1
2
n
n
n
n
u
u
u
u
+




∀ ≥



=
+ −
− +
=
. Tính

2015
u
( Trích đề thi Olympic 30/40/2003)
Bài giải
Trang 11
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Nhận xét: Quan sát từ công thức truy hồi của dãy, ta chú ý đến 2 công thức
sau
t
π
an = 2 -1
8
và
( )
tan tan
1 tan tan
tan
a b
a b
a b
+
−
+ =
, ngoài ra
3
3
tan
π
=

Ta có
1
3
3
tanu
π
= =


2
3 8
3 8
.
3 8
tan tan
tan
1 tan tan
u
π π
π π
π π
 
 ÷
 
+
+= =
−


3

8
2
3 8
.
8
tan tan
3 8
tan
1 tan tan
3 8
u
π
π π
π
π π
π π
 
 ÷
 
 
 ÷
 
 
 ÷
 
+
+ ×
+
= =
− +

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
( )
1
3 8
tan
n
nu
π π
 
 ÷
 
−+ ×=
Vậy
2015
3
2014 2 3
3 8 3 4
tan tanu
π π π π
 
 
= =
 ÷
 ÷
 
 
+ × + −=
Bài 1.4 Cho dãy số
( )

n
u
có :
0
1
2 1
1
1
2
n n n
u
u
u u u
+ +
=



=


= −


. Tính
2015
u
Bài giải
Cách 1: Ta có

1 0
0
1
2
0 0
1
2 3
2
2
1 cos cos
3
1
cos cos
3
1
cos
3
u
u
u u u
π
π
π
π
= ×
= ×
= − ×
 
 ÷
 

 
 ÷
 
 
 ÷
 
= =
= =
= − =
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
cos
3
n
n
u
π
=
Vậy
2015
2015 1
cos cos 672
3 3 2
u
π π
π
=
 
 ÷
 
×

− =
=
.
Trang 12
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Cách 2: Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính bậc hai để tìm số hạng
tổng quát
● Phương trình đặc trưng
2
1 0
λ λ
− + =
có nghiệm phức
1,2
1 3
2
i
λ
±
=
Ta có
1 3 1
; ; 1; arctan
2 2 3
3
A B r
π
ϕ
= = = = =
⇒

công thức số hạng tổng quát của dãy số có dạng
1 2
.cos .sin
3 3
n
n n
u C C
π π
= +
●
1 2
,C C
là nghiệm của hệ phương trình
1 2
1
2
1 2
cos0 sin 0 0
1
1
0
cos sin
3 3 2
C C
C
C
C C
π π
+ =


=


⇔
 
=
+ =




Vậy
cos
3
n
n
u
π
=
. Do đó
2015
2015 1
cos
3 2
u
π
=
×
=
.

Bài 1.5 Cho dãy số
( )
n
u
có
2 2 2
2
n
n
u
= × − + +
. Tìm
lim
n
n
u
→+∞
.
Bài giải
Ta có
2
4
2cos
π
=


3
2 2cos 2 1 cos cos cos
4 4 8 2

2 2 2 2
π π π π
 
=
 ÷
 
+ + =+ = =


4
2 1 cos cos cos
8 16 2
2 2 2 2 2
π π π
 
 ÷
 
+ =+ + = =

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
1
2 2 cos
2
2
n
π
+
+ + =

Suy ra

1
2
2 2 2 1 cos 2
2
2 sin
2
n
n
π π
+
+
 
− =
 ÷
 
+ + −=

Vậy
1
2
2 sin
2
n
n
n
u
π
+
+
= ×

Do dó
2
2
1
2
sin
2
2
2
lim lim 2 sin lim
2 2
n
n
n
n
n n n
n
u
π
π
π
π π
+
+
+
+
→+∞ →+∞ →+∞
 
 ÷
 

= = =
 ÷  ÷
 
 ÷
 
×
×
.
Trang 13
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
① Cho hai dãy số
( )
( )
,
n n
a b
được xác định như sau

1
1 1
2
1 1
2015 2016
2
2

2
n n
n
a

a b
a
a b
a
− −











+
=
+
=
+
=
và
1 1
2 2 1
1
2016

n n
n

b a
b a b
b a b
−









=
=
=
. Tính
lim , lim
n n
n n
a b
→+∞ →+∞
.
② Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau
0
1

2
2000
1
n
n
n
u
u u
u
+





=
= +
. Tính
3
lim
n
n
n
a
→+∞
.
③ Cho dãy số
( )
n
u

có
1
1
2
1
,
2
n
n
n
u
u u
+



∀ ≥


=
= +
. Tìm
lim
n
n
u
→+∞
.
④ Cho dãy số
( )

n
u
có :
2
1
1
1
2
1, 2
2
n
n
n
u
u u
−




− ∀ ≥

=
=
. Tính
2016
u
⑤Cho dãy số
( )
n

v
có:
( )
1
1
1
1
2 1
,
1 1
2
n
n
n
n
v
v
v
v
+
−




∀ ≥



=

+ −
− +
=
. Tính
2016
v
⑥ Cho dãy số
( )
n
u
có
2
1
1
1
2
2 2 1
, 2
2
n
n
u
n
u
u
−





− −

∀ ≥


=
=

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.
⑦ Cho dãy số
( )
n
u
có
1
2
1 1
1
3
1
1 ,
n n
n
n
u
u u

u
− −




+ ∀ ≥

=
+
=

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.
Trang 14
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
⑧ Cho dãy số
( )
n
u
và
( )
n
v
có :
0
0

1
1 1
2
1
2 .
.
n n
n
n n
n
n n
u
v
u v
u
u v
v u v
+
+ +









=
=

=
+
=
. Tính
2015
v
và
2016
u
II. Trong chương trình Giải Tích 12, tích phân là một phần quan trọng và có
nhiều ứng dụng trong thực tế. Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
số dạng lượng giác, học sinh thường lúng túng và gặp khó khăn không biết sử
dụng phép đặt lượng giác nào. Thông qua chuyên để này tôi xin hệ thống và
đưa ra những dấu hiệu nhận biết khi sử dụng phương pháp đổi biến dạng
lượng giác.
❶ Tính tích phân bằng phương pháp lượng giác ta thực hiện các bước sau
- Lựa chọn phép lượng giác hóa thích hợp.
- Chuyển các biểu thức đại số sang lượng giác, thực hiện phép đổi cận.
- Tính tích phân lượng giác thu được.
❷ Một số phép đặt lượng giác thường gặp.
Dấu hiệu Cách đặt
( )
2 2
0aa x >−

| |sin , ,
2 2
x a t t
π π
 

 
 
= ∈ −

hoặc
| |cos , 0,x a t t
π
 
 
= ∈
2 2
x a−

( )
0a >

{ }
| |
, , \ 0
sin 2 2
a
x t
t
π π
 
 
 
= ∈ −

hoặc

| |
, 0, \
cos 2
a
x t
t
π
π
 
 
 
 
 
= ∈
2 2
a x+

( )
0a >

| | tan , ,
2 2
x a t t
π π
 
 ÷
 
= ∈ −

hoặc

( )
| |cot , 0,x a t t
π
= ∈
.

a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+

( )
0a >

( )
0;cos2 ,x a t t
π
= ∈
( )( )x a b x− −

( )
0a >

( )
2

sin , 0;x a b a t t
π
 
 
= + − ∈
Trang 15
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Bài 2.1 Tính tích phân
2
2
1
2I x x dx
= −
∫
.
(Trích đề thi thử_THPT chuyên Lương Thế Vinh_Đồng Nai_2013)
Bài giải
Ta có
( )
2 2
2
2
1 1
2 1 1I x x dx x dx
=
= − −
−
∫ ∫
Đặt
;

2 2
,
1 sin
t
x t
π π
 
−
 
 
∈
− =
. Suy ra
cosdx tdt
=
Đổi cận
2
1 0 ;
2x ì t x ì t
th th
π
= = = =
Bài 2.2 Tính tích phân
3
2 2
1
4 3
dx
I
x x

=
−
∫
.
Bài giải
Đặt
{ }
os
, ;
2 2
3
\ 0
2c
t
x
t
π π
 
 ÷
 
∈ −
=
. Suy ra
2
os
3sin
2
c t
t
dx dt=

Đổi cận
1 ;
6 3
3
x ì t x ì t
th th
π π
= = = =
Bài 2.3 Tính tích phân
( )
3
2
3
1
0
1
x
I
x
dx
=
+
∫
.
(Trích đề thi thử _ THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Ngãi_ 2013).
Bài giải
Đặt
;
2 2
tan ,

t
x t
π π
 
 ÷
 
−
=
∈
.
Trang 16
2
2 2
3
6
6
3
3
6
3 sin
.
2 os
3 1
3 1
4cos os
2 3 1
cos
3
3
2

sin
3
t
c t
t c t
I t dt
dt t
π
π
π
π
π
π
= =
 
−
 ÷
 
−
= −
=
∫
∫

Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Suy ra
( )
2
1 tandx t dt
= +

Với
0 0ìx th t= =
;
4
1 ìx th t
π
= =

( )
( ) ( )
( )
3
2
3
3
2 2
4 4 4
3 2
0 0
0
tan 1 tan
sin cos sin cos
1 tan 1 tan
tan
t t
t t t t
t t
t
I dt dt dt
π π π

=
+
−
+ +
= =
∫ ∫ ∫


Bài 2.4 Tính tích phân
2
0
2
2
x
I dx
x
−
+
=
−
∫
.
Bài giải
Đặt
2cos2 , 0;
2
t
x t
π
 



 
= ∈
. Suy ra
4sin 2dx tdt
=
−
Với
;
2
2 4
0
ì ì
x th x th
t t
π π
−
= =
= =
( )
( )
( )
4 2
2 4
2
2
4
2 1 os2
2 1 os2

4 .sin 2 cos 1 os2
4
8
c t
c t
I tdt t dt c t dt
π π
π π
π
π
=
+
−
= − +
=
∫ ∫ ∫

Bài 2.5 Tính tích phân
( )
3
4
1
4
3 4
5 4 1
x
I
x x
dx
−

=
− −
∫
.
Bài giải
Đặt
2
1 1 2x tdt dx
t t x
⇒ ⇒
− = =−
= −
.
Với
3
2
1
4
ìx th t= =
;
1
2
3
4
ì
x th t
= =
Trang 17
( )
2

4
4 2sin2 2.t t
π
π
π
+ −
=
=
( )
( )
4
0
2 4
3
4
0
1 1
cos cos
2 4
1
cos cos cos
16
t t
t t d t
π
π
 
= =
 ÷
 

− +
= − +
∫
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Đặt
( )
2
1
2
tan
1
1 tan
2
u
t dt u du
⇒
= = +
.
Đặt
;
2 2
2 tan ,
u
t u
π π
 
 ÷
 
−
=

∈
. Suy ra
(
)
2
2 1 tandt u du
= +
Với
1
2 4
ìt th u
π
= =
;
3
2 3
ìt th u
π
= =
Khi đó
V
Vậy
1
6
3
I
π
−
= −
.

Bài 2.6 Tính tích phân
( )
2
5
2
3
7
4
4 5x x
dx
I
− + −
=
∫
.
Bài giải
Viết I lại dưới dạng
( ) ( )
5
2
3
7
4
1
4
x x
dx
I
− −
 

 
=
∫
Đặt
2
0;
2
1 3sin ,
t
x t
π
 
 ÷
 
= +
∈
.
Suy ra
3sin 2dx t dt=
Với
5
2 4
ìx th t
π
= =
;
4 6
7
ìx th t
π

= =

Vậy
Trang 18
3
2
3
2
2
2 2
1
2
3
3
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1 4 2
1
1 4 1 4
1
2 2 4
1 4
2

t
t t
I dt t dt
t
dt
 
= −
 ÷
 
− +
−
+ +
=
+
=
∫
∫
∫
( )
( )
2
4 4
2 2
6
4
3
6
6
.
8 1 4

cot 2
9 sin 2 9
3sin 2 4 3
27
3sin 3 3sin
t
t
t
I dt dt
t t
π π
π
π
π
π
 
= = =
 ÷
 
−
=
−
∫ ∫
( )
3
3
2
2
1
4

2
3
2
2
4
.
1
2
1 1 1
1 tan
1 tan 2 24
1 4
J dt u du u
u
t
π
π
π
π
π
= == + =
+
+
∫ ∫
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Bài 2.7 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
( )
2
:
2P y x

=
và
( )
2 2
:
8C x y
+
=
.
Bài giải
● Phương trình tung độ giao điểm của hai
đồ thị hàm số
2
2
y
x
=
và
2
8x y
−
=
là

2
2
2
8
y
y

−
=


4 2
4 32 0y y
⇔ + − =


2
y
⇔
= ±

● Do tính đối xứng của đồ thị, nên diện tích hình phẳng là
2
2
2
0
8
2
2
y
y
S dy
 
−
 ÷
 
−

=
∫

2
2 2
2
0 0
2 8 y dy y dy
= − −
∫ ∫

Xét tích phân
2
2
0
8I y dy
= −
∫

Đặt
, ;
2 2
2 2sin
t
y t
π π
 
 
 
∈ −

=
. Suy ra
2 2 cosdy tdt=
.
Đổi cận
4
0 ;
0 2y ì t y ì t
th th
π
= = = =
( )
4 4
2
4
2
0 0
0
8 1 sin .cos 8 cos 4 1 cos2I t tdt t dt t dt
π π
π
== − +=
∫ ∫
∫

Trang 19
2
0
3
8

2 2
3 3
y
I I
=
= − −
4
0
1
sin2 2
2
4
t
t
π
π
 
 ÷
 ÷
 
=
= +
+
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Vậy
( )
8 4
2 2
3 3
dvdt

S I
π
=
= − +
.
Nhận xét: Do vai trò các trục tọa độ như nhau, nên có thể biểu diễn
phương trình các đường giới hạn hình phẳng là các hàm số của biến
y
và
công thức tính tích phân để tính diện tích tương ứng cũng theo biến
y
.
Tính các tích phân sau
1
2
2 2
0
4I x x dx
= −
∫
.
2
1
0
2
1
dx
I
x x
−

=
+ +
∫
3
1
2
1/2
8 2
dx
I
x x
−
=
+ −
∫
4
3 3
2
2
0
1
9
I dx
x
=
−
∫
5
2
2

1
2
2
1
x
I dx
x
=
−
∫
( )
6
2 2
2
2
1
1 2 3
I dx
x x x
+
+
=
− − −
∫
7
1
2
ln2
1
x x

e
I e dx
−
= −
∫

8
2
1
2
2 5
dx
I
x x
−
−
=
+ +
∫
( )
( )
( )
9
2
3
4
a b
a b
a b
I

x a b x dx
+
+
<
=
− −
∫

( )
10
0
0
a
a
a x
a x
I dx
−
>
+
−
=
∫
III. Học sinh được học phương trình khá sớm- nó đưa vào từ chương trình
tiểu học và lưu lượng được trải dài trong ba cấp học. Đây cũng là đề tài nhiều
người quan tâm và khai thác rất nhiều góc độ khác nhau.
Để giải một phương trình nói chung có rất nhiều cách giải và sâu rộng
về dạng toán, càng lên các lớp trên việc học cách giải phương trình càng
mang tính tự thân, có lẽ vì lý do đó mà nó có mặt trong các kỳ thi CĐ-ĐH, thi
học sinh giỏi các cấp. Cách phân tích, nhận dạng một phương trình và lựa

chọn phương pháp giải thích hợp là khó. Để có khả năng này chúng ta giải
quyết nhiều phương trình và tự rút ra những nhận xét, kinh nghiệm qua mỗi
Trang 20
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
lần giải toán. Nếu biết kỹ thuật, phân tích nhận dạng được phương trình thì sẽ
biết giải được hệ phương trình. Trong phần này tôi muốn nhấn mạnh cái “hồn
lượng giác” được biểu hiện trong phương trình và hệ phương trình cụ thể là
❶ Dấu hiệu nhận biết qua điều kiện của biến
x
tham gia trong bài toán.
Điều kiện của biến
x
Cách đặt
x a
≤

( )
0a >

sin , ;
2 2
x a t t
π π
 
 
 
= ∈ −

hoặc
cos , 0;a t tx

π
 
 
∈=
x a
≥

( )
0a >

( )
, 0;
sin
a
x t
t
π
= ∈

hoặc
,
2 2cos
;
a
x
t
t
π π
 
 ÷

 
= −∈
x ∈¡

;
2 2
,tanx a t t
π π
 
−
 ÷
 
= ∈
hoặc
( )
0;,cotx a t t
π
= ∈
❷ Dấu hiệu nhận biết qua biểu thức hoặc đẳng thức có liên hệ với các công
thức lượng giác.
Biểu thức hoặc đẳng thức Cách đặt
( ) ( )
2 2
1f x g x+ =
( )
2 2
sin cos 1
t t
+ =

( ) cos
( ) sin
f x t
g x t





=
=

2
1 x−
hoặc
2
1 2x−

(
2
1 sin t−
hoặc
)
2
2sin
1
t
−

sinx t=

3
4 3x x−
( )
3
cos34cos 3cos tt t− =

cosx t
=
6 4 2
32 48 18 1x x x −+−
( )
6 4 2
32 84 18coscos cos 1 cos6tt t t−+− =

cosx t=
5 3
16 20 5xx x +−
( )
5 3
16 20 sin5sin sin 5sint t tt+− =

sinx t=
Trang 21
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
( )( )x a b x− −
( )
0a >
( )
2

sinx a b a t= + −
Bài 3.1: Giải phương trình:
( )
3 2
14 3 1x x x− = −

(Trích đề thi Olympic 30/4/2003).
Bài giải:
Nhận xét: Do phương trình có chứa các biểu thức
3
4 3x x−
( )
3
4cos 3cost t−
và
2
1 x−
( )
2
1 cos t−
,đồng thời điều kiện
1x
≤
, nên ta có thể đặt
cosx t
=
.
ĐK:
1 1x− ≤ ≤
.

Đặt
cosx t=
0;
,t
π
 
 
∈
. Phương trình (1) trở thành:
3
4cos 3cos sint t t− =

⇔

cos3 cos
2
t t
π
 
 ÷
 
= −

⇔

4
t k
π
π
= − +

hoặc
8 2
,t k k
π π
= + ∈Z
Vì
0;t
π
 
 
∈
nên ta chọn được
5 3
, ,
8 8 4
t t t
π π π
= = =
.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
2 2 5 2 2 3 2
cos , cos , cos
8 2 8 2 4 2
x x x
π π π
+ −
= = = = − = =−
.
Bài 3.2 : Giải phương trình
( )

3 2
28 24 6 10 3 6 0x x x+ + − − =
Bài giải:
Phương trình
( )
3 2
2
10 3 6
0
8
3
3
4
x x x
⇔
+
=
+ + −

Đặt
1x y
= −
. Ta thu được phương trình
3
9 3 6
0
4 8
y y
− − =
Đặt

3y t
=
ta thu được phương trình
( )
3
2
2
4 3t t−
= ∗
Đặt
cos ,t
α
=

0,
α π
 
 
∈
Trang 22
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
( )
3
2
2
4cos 3cos
α α
∗ ⇔
− =
2

cos3
2
α
⇔
=
, , ,
3 7
12 4 12
π π π
α α α
⇔
= = =
Phương trình
( )
∗
có các nghiệm
1
cos ,
12
t
π
=
2
3
cos ,
4
t
π
=

3
7
12
cos
t
π
=

1
3cos
12
y
π
⇒ =
;
2
3
3
cos
4
y
π
=
;
3
7
3cos
12
y
π

=
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

3cos
12
1
π
−
;
3cos
3
1
4
π
−
;
7
3cos
12
1
π
−
.
Bài 3.3: Giải phương trình
( )
5 3
31024 320 20 3 0x x x− + =−

(Trích đề thi HSG Toán 11_Tỉnh Thanh Hóa_2005).
Bài giải:

 Xét
( ) ( )
; 1 1;x
∪
∈ −∞ − +∞
thì phương trình
( )
3
vô nghiệm.
 Xét
1;1
x
 
 
−
∈
, đặt
2
t
x =
, thay vào phương trình
( )
3
ta được

5 3
3
2
16 20 5t t t− + =
Đặt

sint
α
=
,
2 2
;
π π
α
 
 
 
−∈
. Ta được phương trình

5 3
3
16 20sin sin 5sin sin
π
α α α
+ =−

⇔

sin5 sin
3
π
α
=

2
15 5
k
π π
α
⇔
= +
hoặc
2 2
15 5
,k k
π π
α
= + ∈Z

Vì
2 2
;
π π
α
 
 
 
−∈
nên ta chọn được
2 7 4
, , , ,
15 15 15 15 3
t t t t t
π π π π π

= = = = − = −

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm là:

1 1 2 1 7 1 4 1
sin ; sin ; sin ; sin ; sin
2 15 2 15 2 15 2 15 2 3
π π π π π
− −
.
Nhận xét
Trong lời giải trên, phép đặt
2
t
x =
được tìm ra như sau:
Trang 23
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Do công thức
5 35 3
16 2016 20 5 sin sin 5sin sin5xx x
α α α α
++ = − =−
nên
ta đặt
x at
=
, tìm a bằng cách, thay
x at
=

vào phương trình đã cho ta được

5 5 3 3
1024 320 20 3 0a t a t at− + =−
.
Tìm a thỏa điều kiện
5 3
1024 320 20
16 20 5
a a a
= =
−
−

1
2
a
⇒
= ±
.
Vậy ta có phép đặt
2
t
x =
.
Bài 3.4: Giải phương trình
3
3
6 1 8 14x x x+ = − −

( )
4
(Trích đề thi thử _ THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh_ 2011).
Bài giải:
Phương trình
( )
4
được viết lại
( )
3
3
26 1 6 1 2x x x x++ + +=
Xét hàm số
( )
3
,f t tt t ∀ ∈+= R
và
( )
f t
đồng biến trên
R
Mặt khác
( )
( )
3
26 1f x xf+ =
nên phương trình
( )
8

3
6 1 2x x⇔ + =


( )
3
1
2
4 3x x
∗⇔ − =

 Xét
( ) ( )
; 1 1;x ∪∈ −∞ − +∞
thì phương trình
( )
∗
vô nghiệm.
 Xét
1;1x
 
 
−∈
, khi đó ta đặt
cosx t
=
, t
∈
0;
π

 
 
Phương trình
( )
∗
trở thành:
1
cos3
2
t =

⇔

2
9 3
,
t k
k
π π
= ± +
∈Z

Vì t
∈
0;
π
 
 
nên ta chọn được:
5 7

, ,
9 9 9
t t t
π π π
= = =
.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
5 7
cos ; cos ; cos
9 9 9
π π π
.
Bài 3.5: Giải phương trình
2
2015
6 2
6 2
4 2
log 3 1
1
x
x x
x x
+
= − −
+ +

( )
5
(Trích đề thi Olympic 30/4/ 2003).

Bài giải:
Trang 24
Một số ứng dụng của lượng giác ThS: Phan Thị Thái Hòa
Đặt
( )
2
6 2
4 2
, 0
1
a x
a b
b x x





= +
>
= + +
Phương trình
( )
5
trở thành
2015
log
a
b a
b

−=

2015
b a
a
b
−
⇔ =

.2015 .2015
a b
a b⇔ =
Xét hàm số
( )
, 02015.
t
f t tt >= ∀
và
( )
f t
đồng biến trên
( )
0;+∞
Mặt khác
( )
( )
f a bf=


a b⇒ =

2 6 2
4 2 1x x x⇔ + = + +

( )
6 2
13x x ∗⇔ − =

Đặt
2
, 0uu x ≥=
Phương trình
( )
∗
trở thành
( )
3
13u u ∗∗− =
 Xét
( ) ( )
; 2 2;x ∪∈ −∞ − +∞
thì phương trình
( )
∗∗
vô nghiệm.
 Xét
2;2
x
 
 

−
∈
, khi đó ta đặt
2cosu t=
, t
∈
0;
π
 
 
Phương trình
( )
∗∗
trở thành:
1
cos3
2
t =

⇔

2
9 3
,
t k
k
π π
= ± +
∈Z

1
cos
9
u
π
⇒ =
(nhận)
2
5
; cos
9
u
π
=
(loại)
3
7
; cos
9
u
π
=
(loại)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
2cos
9
x
π
±=

Bài 3.6 Giải hệ phương trình
( )
( ) ( )
( )
3
2 2
1
2
8 2 5 2
3 1 9 1 1
x y y x
x x y y





+ = + +
+ + + + =
(Trích đề thi số 5 _ Toán học và tuổi trẻ_ năm 2015)
Bài giải:Điều kiện
05 2y x ≥+ +
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2

2
2
2
1
3 1 9
1
1
3 1 9
x x
y y
y y
x x
 
⇔ ⇔ ∗
 ÷
 
+ + = +
+ +
− + −
+ + =
Xét hàm số
( )
( )
2
1t t tf t= + ∀ ∈+ R

( )
2
2
0,

1
1
t
t t
t
t
f
= > ∀ ∈
+ +
+
⇒
′
R

Trang 25