Bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh khá, giỏi bậc THCS thông qua phát triển các bài toán cơ bản

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
*********

KHƯƠNG THỊ THANH

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN
THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI BẬC
TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA PHÁT
TRIỂN CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

Chuyên ngành :
HỌC

LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY
BỘ MƠN TỐN
Mã số : 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người hướng dẫn khoa học : TS. NGUYỄN CHIẾN THẮNG


2

TP. VINH – 2013
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

HS

:

Học sinh

GV

:

Giáo viên

HĐKT

:

Huy động kiến thức

THCS

:

Trung học cơ sở

SGK

:

Sách giáo khoa

GS

:

Giáo sư

DH

:

Dạy học

KG

:

Không gian

ĐC

:

Đối chứng

TN

:

Thực nghiệm

MỤC LỤC
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI............................................................................4
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.....................................................................5
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.....................................................................5
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.....................................................................5
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.............................................................6
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN..............................................................6
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN...............................................................7

CHƯƠNG 1.........................................................................................8
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................8
1.1. NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC..............................................8
1.1.1. Quan niệm về năng lực huy động kiến thức................................8
1.1.2. Vai trò của năng lực huy động kiến thức trong dạy học tốn ..10
1.2. BÀI TỐN CƠ BẢN .........................................................................17


3

1.2.1. Bài toán............................................................................................17
1.2.2. Bài toán cơ bản..............................................................................17
1.3. VÀI NÉT VỀ NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI BẬC
THCS...........................................................................................................21
1.3.1. Đặc điểm nhận thức của HS khá và giỏi bậc THCS.................21
1.3.2. Biểu hiện năng lực huy động kiến thức của học sinh THCS
trong học tập mơn tốn.............................................................................24
1.3.2.1. Năng lực chuyển hố nội dung và hình thức bài tốn để
phát hiện mối liên hệ với các kiến thức đã có..................................24
1.3.2.2 Năng lực khái quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá, xét

trường hợp đặc biệt cụ thể.................................................................26
1.3.2.3. Năng lực nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau
từ đó tìm nhiều cách giải phân tích và tìm cách giải hay nhất
................................................................................................................38

CHƯƠNG 2.......................................................................................42
CÁC BIỆN PHÁP CHỦ YẾU BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HUY
ĐỘNG KIẾN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI.......................42
2.1. CÁC ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ XUẤT BIỆN PHÁP...................................42
2.2. CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN
THỨC CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI
TOÁN CƠ BẢN..........................................................................................44
2.2.1. Biện pháp 1: Giúp học sinh xây dựng và nắm vững các bài toán
cơ bản........................................................................................................44
2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh năng lực biến đổi vấn đề,
biến đổi bài toán về bài toán cơ bản....................................................56
2.2.3.2. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi bài tốn về dạng
thuận lợi cho việc tìm liên hệ với kiến thức đã có của học sinh và
điều kiện đã cho của bài toán............................................................59
2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh sáng tạo bài toán mới từ
bài toán cơ bản ........................................................................................65
2.2.4.1.Khai thác bài toán dưới dạng chứng minh, quỹ tích, dựng
hình, cực trị...........................................................................................69
2.2.4.2. Khai thác một bài toán theo nhiều cách................................72
2.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2...................................................................101
3.3.3.3.Kiểm định giả thiết hai phương pháp:.................................110


4

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Trong xu thế hội nhập và phát triển thì Giáo dục & Đào tạo được Đảng
và nhà nước ta đặc biệt quan tâm, những mục tiêu về phương pháp giáo dục
học sinh được chỉ rõ trong Luật Giáo dục: “Phương pháp giáo dục phổ thơng
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dướng phương pháp tự học, khả
năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”
(Luật Giáo dục 2005, chương 2, điều 23)”. Để đạt được mục tiêu đó thì GV là
người được giao phó trọng trách tiếp thu những kiến thức, những phương
pháp dạy học tiến tiến, hiện đại; Những hiểu biết của mình để truyền đạt, giáo
dục cho HS phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các
kỹ năng cơ bản.
Người giáo viên phải thực sự tâm huyết với nghề, phải luôn biết trăn trở
để tìm ra những giải pháp tích cực, có hiệu quả cao trong giảng dạy đồng thời
giáo dục cho HS phát huy ý thức tổ chức quá trình tự học, tự tìm tịi khám phá
tri thức để tự hồn thiện bản thân. Và một trong những vấn đề mà giáo dục
đang quan tâm nữa là làm sao để HS phải biết vận dụng kiến thức đã có của
mình vào thực tiễn. Để làm được điều đó thì trước hết phải đào tạo cho họ có
trình độ và một năng lực nhất định, và năng lực đó cần phải được bồi dưỡng
thường xuyên.
1.2. Hiện nay, năng lực HĐKT trong dạy học toán ở các trường THCS chưa
được quan tâm đúng mức, học sinh cịn gặp một số khó khăn trong việc phát
hiện cách giải quyết vấn đề. Dạy tốn khơng chỉ đơn thuần là dạy kiến thức
mà còn dạy cho học sinh cách huy động kiến thức sao cho phù hợp để khi
đứng trước một vấn đề các em có thể biết cách lựa chọn tri thức phù hợp và
đúng đắn. Song áp dụng như thế nào còn phụ thuộc vào năng lực HĐKT của

5

chính các em. Với yêu cầu đổi mới dạy học tốn ở trường THPT hiện nay địi
hỏi học sinh phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân.
1.3. Chúng tôi nhận thấy rằng các năng lực huy động kiến thức để giải quyết
vấn đề tuỳ mức độ khác nhau được vận dụng trong nhiều phương pháp dạy
học tích cực, dạy học theo quan điểm phát hiện. Từ nhu cầu thực tế đó nên
cũng đã có một số cơng trình nghiên cứu về năng lực huy động kiến thức và
cách huy động kiến thức có hiệu quả. Tuy nhiên, việc xây dựng hệ thống các
bài toán cơ bản và phát triển các bài tốn đó để giúp học sinh bậc trung học
cơ sở rèn luyện năng lực huy động kiến thức thì chưa được quan tâm nhiều.
Với lí do đó chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Bồi dưỡng năng
lực huy động kiến thức cho học sinh khá, giỏi bậc trung học cơ sở thơng
qua phát triển các bài tốn cơ bản”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xác định các biểu hiện của năng lực huy động kiến thức của học sinh. Từ
đó, đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực huy động
kiến thức để giải quyết các bài toán cho học sinh thơng qua việc khai thác các
bài tốn cơ bản.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Có thể bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh khá giỏi nhằm
giải quyết bài tốn và phát hiện, tìm tịi các bài toán mới nếu giáo viên chú
trọng hoạt động phát triển các bài toán cơ bản ở trường THCS.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
4.1. Cơ sở lí luận và thực tiễn của năng lực huy động kiến thức.
4.2. Những quan điểm lý luận về hoạt động kiến tạo nhận thức của học sinh
trong quá trình học tập và giải các bài tập Toán.


6

4.3. Xây dựng một số biện pháp bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho
học sinh khá, giỏi THCS thơng qua phát triển các bài tốn cơ bản.
4.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện
thực, tính hiệu quả của đề tài.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lý luận
− Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học
mơn Tốn.
− Các sách báo về phương pháp giải tốn phục vụ cho đề tài.
− Các cơng trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh trong quá
trình khai thác các bài tập sách giáo khoa và các bài tập trong các tài liệu
tham khảo.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một lớp đối tượng.
6. ĐĨNG GĨP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Hệ thống hóa các vấn đề liên quan đến năng lực huy động kiến thức và
bài toán cơ bản.
6.2. Xây dựng một số biện pháp sư phạm có tác dụng bồi dưỡng các năng lực
huy động kiến thức cho học sinh khá, giỏi bậc trung học cơ sở thông qua việc
phát triển các bài tốn cơ bản.
6.3. Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho học sinh bậc Trung học cơ sở
và các giáo viên dạy Toán.


7

7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn
gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Các biện pháp chủ yếu bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho
học sinh khá, giỏi
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm


8

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC
1.1.1. Quan niệm về năng lực huy động kiến thức
Một số cơng trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ ra
rằng, quá trình hoạt động HS dần dần hình thành tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cho
bản thân. Và từ những nền tảng ban đầu đó HS bắt đầu phát triển những khả
năng của mình mức độ từ thấp đến cao. Cho đến một lúc sự phát triển bên
trong đủ khả năng giải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập và trong
cuộc sống thì lúc đó HS sẽ có những năng lực nhất định.
Năng lực là một vấn đề trừu tượng của tâm lý học. Khái niệm này cho
đến nay vẫn có nhiều cách hiểu và diễn đạt khác nhau, dưới đây là một số
cách hiểu về năng lực. Từ điển tiếng Việt định nghĩa: “Năng lực là phẩm chất
tâm lý tạo ra cho con người hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất
lượng cao[43]”. Theo Nguyễn Trọng Bảo: “Năng lực là tổ hợp những đặc
điểm tâm lý của con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất
định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào
đó” [1]. Tác giả Trần Đình Châu thì có quan niệm: “Năng lực là những đặc
điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất

định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động
nào đó” [3]. Cịn theo Phạm Minh Hạc: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm
tâm lý của con người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra
kết quả của một hoạt động nào đấy” [15].
Cho dù có cách tiếp cận khác nhau nhưng ta thấy năng lực biểu hiện
bởi các đặc trưng:


9

- Cấu trúc năng lực là tổ hợp nhiều kỹ năng thực hiện những hoạt động
thành phần có liên hệ chặt chẽ với nhau.
- Năng lực tồn tại và phát triển thơng qua hoạt động; nói đến năng lực
tức là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân.
- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới
mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tư duy có khác nhau về mức độ.
- Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được.
- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau.
Ở mỗi người có những loại năng lực khác nhau và hai người khác nhau
thì cũng có năng lực khác nhau. Vì ở mỗi người có những tố chất khác nhau
và ở hai người khác nhau thì có các tố chất khác nhau.
Theo [16], ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối
với học sinh, có thể xem giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn
học. Để giải một bài toán, điều quan trọng là người giải phải bắc được cầu nối
từ giả thiết đến kết luận của bài tốn đó. Muốn làm được điều đó, người giải
toán phải biết vận dụng các kiến thức liên quan đến bài tốn. Những kiến thức
liên quan có thể chia làm hai loại:
Thứ nhất, những kiến thức mà người giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện
của bài toán khi đọc kĩ đầu bài;
Thứ hai, những kiến thức tuy khơng nằm trong điều kiện của bài tốn, những

khơng có chúng thì q trình tư duy khơng thể nảy sinh được; đó là các kiến
thức về định nghĩa, định lí mà người giải tốn đã thu thập được từ trước.
Những kiến thức này cần thiết cho sự thiết lập mối quan hệ lôgic giữa giả
thiết và kết luận của bài toán. [12,trang 103].
Theo G.Polya: Tất cả những tư liệu, yếu tố phụ, các định lý,... sử dụng
trong quá trình giải bài toán được lấy từ đâu? Người giải đã tích luỹ được
những kiến thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích
hợp để giải bài tốn. Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức như


10

vậy là sự huy động, việc làm cho chúng thích ứng các bài toán đang giải là sự
tổ chức [31, tr. 310].
Như vậy ta có thể hiểu “huy động kiến thức” là việc nhớ lại có chọn lọc
các kiến thức mà mình đã có trước đó nhằm thích ứng với một vấn đề đặt ra
mà mình cần giải quyết.
Từ đó, ta có thể hiểu về năng lực huy động kiến thức như sau: Năng lực
huy động kiến thức là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp
ứng việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà mình đã có để thích ứng với
một vấn đề đặt ra mà mình cần giải quyết.
1.1.2. Vai trị của năng lực huy động kiến thức trong dạy học toán
Trước khi bắt tay vào giải một bài toán cụ thể, người giải đã tích lũy
được rất nhiều kiến thức, nhưng lúc này nên dùng kiến thức nào thì bài tốn
thường khơng nói rõ. Có đơi lúc bài tốn kèm theo những chỉ dẫn gợi ý: Hãy
sử dụng định lí này, hãy áp dụng mệnh đề kia hay người giải đã biết nó thuộc
phần kiến thức nào, nhưng chưa hẳn lúc đó bài tốn đã hồn tồn dễ đối với
người giải bởi vì chưa hẳn lúc đó họ có thể nhớ ngay được định lí, mệnh đề
hoặc có thể áp dụng được các định lí các mệnh đề.
Mặt khác, một bài tốn có chỉ dẫn chưa hẳn là đã dễ hơn một bài tốn

khác khơng có chỉ dẫn. Bài tốn tuy có chỉ dẫn nhưng cịn rất nhiều khâu mà
người giải phải thực hiện lấy và nó ln làm cho người giải bị trói buộc suy
nghĩ quanh chỉ dẫn đã ra, cịn bài tốn khơng chỉ dẫn có thể tiến hành theo
một thuật giải hay một cách khác hay hơn chỉ dẫn đưa ra.
Tốn học là một mơn khoa học có tính logic, hệ thống và kế thừa rất
cao. Mọi kiến thức tốn học đều xây dựng chặt chẽ và có cơ sở rất rõ ràng. Tri
thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, tất cả
như những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ.


11

Trong q trình giải một bài tốn cụ thể nào đó, lẽ đương nhiên
khơng cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu thập, tích
luỹ được từ trước. Cần huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét
đến những mối liên hệ nào, điều đó cịn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc
của người giải toán.
Một kiến thức toán học mới hay một bài tập toán được đưa ra thì nó ln
nằm trong hệ thống tốn học, nó khơng tách rời, khơng tự sinh ra một cách độc
lập mà có những cơ sở nhất định nằm trong hệ thống kiến thức đã có trước đó.
Để giải quyết được vấn đề đặt ra chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến
thức cũ, cái đã biết mới có thể giải quyết được. Song để xem xét kiến thức nào
là phù hợp với vấn đề đặt ra, kiến thức cũ sẽ sử dụng như thế nào,... đó chính là
việc ta phải dựa vào việc huy động kiến thức.
Năng lực huy động kiến thức mỗi người một khác. Đứng trước một bài
tốn cụ thể, có người liên tưởng được nhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ mà
những cái này có hy vọng giúp cho việc giải bài tốn. Có người chỉ liên tưởng
được đến một số ít định lý, mệnh đề, bài tốn phụ,... mà thơi. Sức liên tưởng và
huy động phụ thuộc vào khả năng tích luỹ kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy
cảm trong khâu phát hiện vấn đề.

Năng lực huy động kiến thức không phải là điều bất biến, một bài toán
cụ thể nếu đặt vào thời điểm này có thể học sinh khơng giải được, hoặc giải
được nhưng bởi một cách rất máy móc và dài dịng, nhưng khi đặt vào thời
điểm khác (có thể khơng xa lắm), nếu có năng lực liên tưởng và huy động tốt,
học sinh có thể giải được bài toán bằng một cách rất hay, rất độc đáo, thậm
chí cịn hình thành được một cách giải khái qt cho một lớp các bài tốn.
J.A.Kơmenxki đã từng nói: “Dạy học là một quá trình từ từ và liên tục,
những điều có hơm nay phải củng cố cái hơm qua và mở ra con đường cho
ngày mai”.


12

Ví dụ 1.1 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

2010
x − 2 x + 1001
2

Học sinh phải có năng lực biến đổi như sau :
A=

2010
2010
=
x − 2 x + 1001 ( x − 1) 2 + 1001
2

Đồng thời học sinh phải huy động kiến thức về việc tìm giá trị lớn nhất của A
tương đương với việc tìm giá trị nhỏ nhất của B = ( x − 1) + 1000 .

2

Từ đó việc giải bài tốn đơn giản hơn : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B = ( x − 1) + 1000
2

Do

( x − 1)

2

+ 1000 ≥ 1000 ∀x ⇒ Bmin = 1000 khi (x-1)2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒

2010

( x − 1)

2

+ 1000

≤

2010
2010
∀x vậy Amax =
⇔ x=1
1000
1000

Ví dụ 1.2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =

x2 − 4
x2 + 1

Đây là bài toán cực trị nhưng biểu thức B lại là phân thức mà tử số và
mẫu số cùng bậc. Vì vậy để giải quyết bài toán này học sinh phải huy động
kiến thức để biến đổi biểu thức cần tìm về dạng như ở ví dụ 1.1. Giáo viên gợi
ý cho học sinh phân tích tử về dạng tổng 2 số hạng mà trong đó có 1 số hạng
chia hết cho mẫu, số hạng còn lại phải là hằng số. Chúng ta sẽ mong đợi học
sinh trả lời rằng :

x2 − 4 x2 + 1 − 5
5
B= 2
=
= 1− 2
x +1
x2 + 1
x +1
Do x2 + 1 ≥ 1 ∀x nên
∀x
Vậy Bmin = - 4 ⇔ x = 0.

5
5
5
≤ 5⇒− 2
≥ −5 ⇒ 1 − 2

≥ 1 − 5 = −4
x2 + 1
x +1
x +1


13

Ví dụ 1.3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

12
x
+ với x > 1
x −1 3

Để giải quyết bài toán này học sinh sẽ thấy rằng khơng thể dùng phương pháp
ở hai ví dụ trên. Ở biểu thức này mỗi số hạng là một phân thức và mỗi phân
thức tử và mẫu cùng một bậc ⇒ dẫn đến học sinh phải liên tưởng huy động
đến kiến thức nào đã học. Tùy từng hoàn cảnh cụ thể đối tượng học sinh để
người thầy giáo có thể sử dụng hình thức thuyết trình phát hiện và giải quyết
vấn đề hoặc phối hợp giữa thuyết trình với vấn đáp phát hiện và giải quyết
vấn đề dẫn dắt học sinh đến tính chất : Hai số có tổng khơng đổi thì tích của
chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau, hay học sinh sẽ nghĩ đến áp dụng định lí
cơsi cho hai số. Từ đó học sinh sẽ đến với lời giải bài toán như sau :

A=

12
x 12
x −1 1

+ =
+
+
x −1 3 x −1
3
3

Ta có với x > 1 thì

12 x − 1
12 x − 1
;
.
= 4 khơng
là hai số dương có tích
x −1 3
x −1 3

đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi

12
x −1
2
=
⇔ ( x − 1) = 36 phương
x −1
3

trình này có hai nghiệm là x =7 và x = 5. Nghiệm x = 7 thỏa mãn điều kiện đề
bài.

Vậy Amin =

13
⇔ x = 7.
3

Cách 2 : Có thể áp dụng ngay bất đẳng thức cơsi với hai số dương
Ta có

12
x −1
12 x − 1
+
≥2
.
= 2.2 = 4
x −1
3
x −1 3

12 x − 1
;
x −1 3


14

Ví dụ 1.4 : Cho ∆ABC cân (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm E; Trên tia
đối của CA lấy điểm D sao cho BE = CD; DE cắt BC tại I. Chứng minh I là
trung điểm của ED.

Nếu học sinh biết cách huy động kiến thức có liên quan thì bài tốn khơng chỉ
dừng ở một cách giải mà có thể nghĩ ra nhiều cách giải khác nhau. Ta xét một
số cách giải như sau :
Cách 1 :

A

Kẻ EF // BC (hình 1).
Tứ giác EBCF là hình thang cân vì có

ˆ
ˆ
EF // BC và ABC = BCA
Nên BE = FC

E

F

Mà BE = CD ⇒ FC = CD
Tam giác DEF có CF = CD mà CI // EF.

B

Vậy EI = ID.

Hình 1

Cách 2 :

C

I
A

Từ E kẻ EG // AC (hình 2)

D

Ta có góc EBG = góc ACB (gt)
góc EGB = góc ACB (đồng vị)
⇒ góc EBG = góc EGB ⇒ ∆EBG cân

E

⇒ EG = EB mà EB = CD ⇒ EG = CD
Xét ∆GIE và ∆CID có

B

Góc EGI = góc ICD (cùng bù với hai góc
bằng nhau EGB và ACB);

C

I
G
A Hình 2

D

EG = CD và góc GEI = góc ICD (slt)
∆GIE = ∆CID (g.c.g) ⇒ EI = ID.
Cách 3 :

E

Kẻ DK // AB. Chứng minh như cách 2 :
B

C

K

I
D


15

∆EBI = ∆DKI (g.c.g) (hình 3a)
⇒ EI = ID
Hình 3a

Cách 4 :
Kẻ DL // BC. Chứng minh như cách 1.
∆ELD có EB = BL và BI // LD (hình 3b)
⇒ EI = ID
Cách 5 :
Kẻ IN // AB và DN // BC (hình 4a)

Hình thang INDC cân (do góc NIC = góc ICD vì cùng bù với hai góc BIN =
góc ACI ⇒ IN = CD = EB.
∆EBI = ∆IND (g.c.g) ⇒ EI = ID
A

A

E

E
B
I
L

Hình 3b

I

B

C
D

C

N

D

Hình 4a

Cách 6 :
A

Kẻ EP // BC; IP // AC (hình 4b)
Chứng minh tương tự cách 5, ta có :

E

P

∆EPI = ∆ICD (g.c.g) ⇒ EI = ID
Cách 7 :
Từ E hạ EH ⊥ BC
Từ D hạ DK ⊥ BC (hình 5)

B

I
Hình 4b

C
D


16

Xét hai tam giác vng ∆BHE và ∆CKD chúng có :
BE = DC (gt), góc EBH = góc DCK (= góc BCA) ⇒ ∆BHE = ∆CKD ⇒ EH

= DK.
* Xét hai tam giác vng ∆EHI và ∆DKI cũng có EH = DK (cm trên) và góc
EIH = góc DIK (đối đỉnh) nên ∆EHI = ∆DKI ⇒ EI = ID.

A

A

E

E
E
C

B

K

I

H
Hình 5

D

B

I

C

H
x

M

K

D

Hình 6

Cách 8 :
Từ E kẻ EH ⊥ BC
Từ C và I hạ CK và IM vng góc với đường thẳng Dx // BC (hình 6).
Ta có góc ACB = góc CDK (đồng vị)
Mà góc ABC = góc ACB (gt)
Do đó góc ABC = góc CDK hay góc EBH = góc CDK
Hai tam giác vng ∆EBH = ∆CDK vì có CD = BE (gt) và góc EBH = góc
CDK ⇒ CK = EH. Mà CK = MI (tính chất các cặp cạnh đối song song hoặc
ICKM là hình chữ nhật), nên IM = EH.


17

Hai tam giác vng ∆EHI = ∆IMD vì có EH = IM, góc EIH = góc IDM (đồng
vị) ⇒ EI = ID.

1.2. BÀI TỐN CƠ BẢN
1.2.1. Bài tốn

Thuật ngữ “Bài tốn” được hiểu theo nghĩa rộng thơng qua một số
định nghĩa sau:
G. Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một
cách có ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng
nhưng không thể đạt được ngay”.
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài tốn” như sau:
“Bài tốn” là một sự địi hỏi hành động, trong đó đã quy định:
- Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài tốn).
- Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài tốn).
- Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải
tìm).
Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể, khơng
thể nghiên cứu bài tốn tách rời với hành động của chủ thể. Các hành động
của chủ thể trong giải Tốn là: Phân tích bài tốn, mơ hình hố và cụ thể hoá
các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế
hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến
trình giải bài tốn, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại.
1.2.2. Bài tốn cơ bản
Theo [29], thuật ngữ “cơ bản” có nghĩa là “có tác dụng làm cơ sở cho những
cái khác trong tồn bộ hệ thống”. Chúng tơi quan niệm bài tốn cơ bản có thể


18

hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằm củng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng
đã học ở mức độ đơn giản, đồng thời thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:
- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tịi lời giải các bài tốn
khác.
- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tịi lời giải
các bài tốn khác.

- Nếu thay đổi giả thiết hoặc kết luận thì được bài tốn mới.
1.2.3. Vai trị của bài tốn cơ bản
G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra được một bài tốn mới, khơng
giống chút nào với bài tốn khác, hay là khơng có một điểm nào chung với
một bài tốn trước đó đã giải. Nếu như có một bài tốn như vậy vị tất đã giải
được. Thực vậy, khi giải một bài tốn, ta ln ln phải lợi dụng những bài
tốn đã giải, dùng kết quả, phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải
các bài tốn đó. Hiển nhiên, những bài tốn dùng tới, phải có liên hệ nào đó
với bài tốn hiện có [30, tr. 55].
Một bài tốn, vấn đề có thể bắt nguồn từ một bài tốn, một vấn đề khác,
cũng có thể là một bộ phận của một bài tốn, một vấn đề khác. Vì vậy, trong
dạy học Tốn GV nên tạo cho học sinh thói quen khắc sâu bài toán cơ bản để
dễ dàng áp dụng khi cần thiết và từ đó giúp học sinh có cơ hội đào sâu, kiến
tạo nên một số bài toán mới.
Trong dạy học Tốn, bài tốn cơ bản có vai trị quan trọng như:
- Bài tốn cơ bản nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lý
thuyết đã học. Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài tốn cơ bản là một hình
thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới.
- Khắc sâu được các định lý, khái niệm cơ bản và mối quan hệ giữa chúng.


19

- Qua các bài tốn cơ bản đó giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài toán
liên quan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn.
- Qua các bài toán cơ bản giúp HS huy động, kiến tạo ra được các bài toán
mới.
1.2.4. Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán
Trong dạy học giải Tốn, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ
năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần

không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm của G. Pôlya ông đã
đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ bài toán
Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa cịn phải có
hứng thú giải bài tốn đó. Vì vậy , điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý
hướng dẫn học sinh giải Tốn là khêu gợi trí tị mị, lịng ham muốn giải Tốn
của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tích
giả thiết và kết luận của bài tốn: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện.
Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài tốn dưới
một hình thức khác được không? Như vậy, ngay ở bước “Hiểu rõ đề Tốn” ta
đã thấy được vai trị của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải.
2) Xây dựng chương trình giải
Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thể hiện
rõ nét hơn qua việc phân tích bài tốn đã cho thành nhiều bài toán đơn giản
hơn, biến đổi bài toán đã cho, mị mẫm và dự đốn thơng qua xét các trường
hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái qt hố hơn v.v.. thơng qua
các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:
- Huy động kiến thức có liên quan:
* Em đã gặp bài tốn này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa. Em
có biết một bài nào liên quan khơng? Một định lý có thể dùng được khơng?


20

* Thử nhớ lại một bài tốn quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?
* Có thể sử dụng một bài tốn nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử
dụng kết quả của nó khơng?
- Dự đốn kết quả phải tìm:
* Em có thể nghĩ ra một bài tốn có liên quan mà dễ hơn khơng? Một
bài tốn tổng qt hơn? Một trường hợp riêng? Một bài tốn tương tự? Em

có thể giải một phần của bài toán?
* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã
để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác
định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm
hướng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi
ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các
bài tốn. Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì
tất cả các giờ dạy Tốn đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào
hoạt động giải Tốn của mình.
3) Thực hiện chương trình giải
Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước. Em đã thấy
rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng khơng?
4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được
Học sinh phổ thơng thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài
tốn thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì
khơng, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì
vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên
thực hiện các yêu cầu sau:
- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.


21

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài tốn.
- Tìm cách giải khác của bài tốn: Một bài tốn thường có nhiều cách giải,
học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài tốn nhiều khi
độc đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạo

của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài tốn. Tuy nhiên
cũng khơng nên q thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và
kém chán nản.
Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một bài
toán khác, đề xuất bài tốn mới: Có thể u cầu này là quá cao đối với học
sinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinh
giỏi. Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể
cho học sinh tồn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập tốn để áp
dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới.
1.3. VÀI NÉT VỀ NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI BẬC
THCS
1.3.1. Đặc điểm nhận thức của HS khá và giỏi bậc THCS
Lứa tuổi HS ở bậc THCS bao gồm những em có độ tuổi từ 11, 12 đến
14, 15 tuổi. Đó là những HS đang theo học từ lớp 6 đến lớp 9 ở trường THCS.
Lứa tuổi này cịn gọi là lứa tuổi thiếu niên và nó có một vị trí đặc biệt
trong thời kỳ phát triển của trẻ em. Vị trí đặc biệt này phản ánh bằng những
tên gọi khác nhau của nó: “tuổi quá độ”, “tuổi khó bảo”…Những tên gọi đó
nói lên q trình phát triển của HS bậc THCS.
Đây là lứa tuổi bắc cầu, chuyển tiếp từ trẻ em lên người lớn, từ thời thơ
ấu sang tuổi trưởng thành. Điều đó được thể hiện ở sự phát triển mạnh mẽ,
thiếu cân đối ở cơ thể, sự phát dục và sự hình thành những phẩm chất mới về
các mặt đạo đức, trí tuệ…


22

Sự thay đổi tính chất và hình thức hoạt động học tập cùng với sự phát
triển của nhu cầu nhận thức, hứng thú trong học tập đã ảnh hưởng mạnh mẽ
đến sự phát triển trí tuệ của HS. So với các lứa tuổi trước, hoạt động trí tuệ
của các em có những biến đổi cơ bản, đặc biệt là HS khá và giỏi.

HS khá và giỏi, tri giác có chủ định chiếm ưu thế, kỹ năng quan sát
được nâng cao. Tri giác trở nên có kế hoạch, có trình tự và hoàn thiện hơn so
với HS tiểu học và HS đại trà.
Trí nhớ HS khá và giỏi cũng được thay đổi về chất. Năng lực ghi nhớ
định nghĩa được nâng cao rõ rệt. Các em bắt đầu sử dụng một cách có ý thức
những thủ thuật ghi nhớ, biết lập giàn bài cho tài liệu cần ghi nhớ, vận dụng
các thao tác tư duy trong quá trình ghi nhớ. Các em có khuynh hướng muốn
tái hiện tài liệu bằng lời nói của mình và thường phản đối khi GV u cầu học
thuộc lòng những định nghĩa, quy luật.
Sự phát triển chú ý có chủ định bền vững được hình thành. Nhiều cơng
trình nghiên cứu cho thấy ở lứa tuổi HS bậc THCS khá và giỏi khối lượng chú
ý được tăng lên rõ rệt, khả năng di chuyển chú ý linh hoạt hơn, năng lực tập
trung chú ý cao hơn và bền vững hơn nhiều so với HS tiểu học và HS bậc
THCS diện đại trà.
Hoạt động tư duy của HS khá và giỏi cũng có những biến đổi cơ bản. Do
nội dung môn học phong phú, đa dạng, phức tạp nên địi hỏi các em phải có
khả năng tư duy độc lập cùng với sự vận động liên tục của các thao tác tư duy
trong quá trình lĩnh hội tri thức. Tư duy trừu tượng của các em đang trên đà
phát triển. Sự thay đổi mối quan hệ giữa tư duy hình tượng cụ thể sang tư duy
trừu tượng, khái quát mà trong đó sự chiếm ưu thế của tư duy trừu tượng là
đặc điểm cơ bản trong tư duy lứa tuổi HS khá và giỏi bậc THCS.
Tưởng tượng của HS khá và giỏi bậc THCS phát triển hơn so với lứa
tuổi HS tiểu học và HS bậc THCS diện đại trà. Càng về cuối cấp nội dung của
tưởng tượng ở HS càng phong phú hơn, những biểu tượng của tưởng tượng


23

tái tạo càng gần hiện thực hơn. Tưởng tượng sáng tạo của HS biểu hiện khá rõ
rệt khi các em làm thơ, làm văn, kể chuyện, giải tốn…

Về ngơn ngữ, do được tiếp xúc với nhiều môn học nên vốn từ ngữ, thuật
ngữ khoa học tăng lên rõ rệt. Ngôn ngữ HS khá phong phú và chuẩn xác, phát
triển cả về số lượng và chất lượng.
Với những đặc điểm về phát triển trí tuệ của HS khá và giỏi như hoạt
động tư duy có nhiều biến đổi, HS có khả năng tư duy độc lập và có sự vận
động liên tục của các thao tác tư duy trong quá trình lĩnh hội tri thức. Tri giác
có chủ định chiếm ưu thế, khả năng quan sát được nâng cao. Đó là những điều
kiện thuận lợi để phát triển tư duy sáng tạo cho HS thơng qua bộ mơn hình học
Hơn nữa việc bồi dưỡng một yêu tố về tư duy sáng tạo cho HS bậc
THCS khá và giỏi thông qua giải bài tập cực trị hình học phải có các yếu tố
cần thiết cho việc rèn luyện một số năng lực.
Trước hết HS khá, giỏi, đối tượng rèn luyện, bồi dưỡng phải tỏ ra “hứng
thú”, bởi vì đây là yếu tố quan trọng để nảy sinh sáng tạo. Cho nên ngay từ
khi ngồi trên ghế nhà trường muốn rèn luyện cho HS một số yếu tố của tư
duy sáng tạo thì trước tiên GV trong quá trình giảng dạy phải ra bài tập sao
cho phù hợp để HS thấy hứng thú trong học tập, hứng thú gây ra sáng tạo và
sáng tạo lại thúc đẩy hứng thú mới HS phải thấy được cần có hứng thú, nhận
thức cao, cần có khát khao nhận thức cái mới và vận dụng nội dung cái mới
vào thực tiễn.
- HS phải nhận thức được rằng muốn giải được bài tốn, cái đầu tiên là phải
có một nền “Kiến thức vững chắc”. Một quá trình sáng tạo bất kỳ đều bắt
đầu từ sự tái hiện cái đã biết. Tâm lý học hiện đại không phủ nhận vai trị
của trí nhớ. Dĩ nhiên nếu chỉ ghi nhớ đơn thuần khơng biết suy nghĩ, vận
dụng sáng tạo thì đó là kiến thức vơ dụng. Người HS phải biết vận dụng tri
thức đã biết vào tình huống mới để giải quyết bài toán.


24

- HS phải có tính “Nghi ngờ khoa học”, ln tự đặt ra cho mình câu hỏi,

cách làm này, phương án giải quyết này đã tối ưu chưa? Có cách giải
quyết nào hay hơn nữa không?
Như vậy điều kiện để hoàn thành các phát kiến càng được chuẩn bị tốt
bao nhiêu thì tính chủ động trong sáng tạo của HS càng được nâng cao bấy
nhiêu.
1.3.2. Biểu hiện năng lực huy động kiến thức của học sinh THCS trong
học tập môn toán.
Từ những luận điểm của toán học duy vật biện chứng về quan hệ giữa
nội dung và hình thức và quan hệ giữa cú pháp và ngữ nghĩa.
Từ những luận điểm của G.Polya về con đường phát hiện tìm tịi lời
giải bài toán.
Từ cách hiểu về hoạt động điều ứng để thích nghi.
Từ thực tiễn dạy giải bài tập tốn.
Có thể đưa ra một số biểu hiện của năng lực huy động kiến thức sau đây:
1.3.2.1. Năng lực chuyển hoá nội dung và hình thức bài tốn để phát hiện
mối liên hệ với các kiến thức đã có
Trong tự nhiên và xã hội, các sự vật có mối quan hệ với nhau và trong
những điều kiện nào đó chúng có thể chuyển hoá qua nhau.
Trong lĩnh vực Toán học cũng vậy, có nhiều loại Tốn có liên quan với
nhau. Mối liên hệ giữa chúng trong những điều kiện nào đó cho phép ta có thể
chuyển từ việc giải bài tốn này qua việc giải bài tốn khác.
Nói chung nội dung quyết định hình thức, nhưng trong hồn cảnh nào
đó sự thay đổi hình thức đúng mức cũng tác động đến nội dung bài tốn.
Chính vì vậy, trong một số bài tốn, việc thay đổi hình thức (dạng bên ngài
của bài tốn) có khả năng đưa bài tốn về dạng đơn giản hơn và liên hệ được
với các kiến thức đã có.


25

Theo quan điểm biện chứng thì nội dung có thể chứa đựng trong nhiều
hình thức, nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại với nội
dung, tuy nội dung có thể diễn tả dưới nhiều hình thức phong phú hơn, song
khơng có nghĩa là tuỳ tiện tìm ra nhiều hình thức khác nhau của cùng một nội
dung. Hình thức có thể làm che lấp nội dung nhưng bản chất của nó ln
khơng thay đổi. Trong dạy học Tốn giáo viên cần phải phân tích, chứng
minh, tìm tòi để học sinh nhận ra được đâu là nội dung đâu là hình thức của
bài tốn. Phải thấy được sự mâu thuẫn giữa nội dung đó và hình thức trong
đối tượng Tốn học. Tuỳ theo trình độ học sinh mà giáo viên có thể tổng qt
hố bài tốn.
Ví dụ 1.5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = 4x 2 − 12 x + 13 + 4x 2 − 28x + 53
Ta để ý rằng các biểu thức dưới căn bậc hai đều dương với mọi x, hơn
nữa ta có thể biến đổi
4x 2 − 12x + 13 = ( 2x − 3) + ( 0 − 2)
2

2

4x 2 − 28x + 53 = ( 2x − 7 ) + ( 0 − 2)
2

2

Biến đổi trên có được là nhờ sự liên tưởng đến công thức độ dài của
một đoạn thẳng.
AB2 = ( x B − x A ) + ( y B − y A )
2

2

Khi đó hàm số y được biến đổi về dạng
y=

( 2 x − 3)

2

y

+ ( 0 − 2 ) + ( 2 x + 7) + (0 − 2) 2
2

Gọi điểm M (2 x,0) di chuyển trên 0x
A(3;2); B(7;2) là các điểm cố định.
Ta được y = MA + MB
Như vậy ta đã biến đổi từ hình thức của
bài tốn đại số, dưới dạng hình thức của bài tốn

A

2
M
2x

0
7

3
A

’

Hình 7

B
H

5

x