Rèn luyện kĩ năng giải toán tổ hợp, xác suất ở trường phổ thông cho học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LUYỆN VĂN THÀNH
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Nghệ An, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LUYỆN VĂN THÀNH
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Chiến Thắng
1
Lời cảm ơn
Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn khoa học của Thầy giáo TS. Nguyễn Chiến Thắng. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới Thầy - ngời đã trực tiếp tận tình giúp đỡ tác giả hoàn
thành Luận văn.
Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ
môn Toán, trờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn.
Tác giả xin gửi tới tất cả ngời thân, bạn bè, đồng nghiệp lòng biết ơn sâu sắc, những ngời đã cổ vũ động viên
tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa.
Tác giả rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Nghệ An, tháng 10 năm 2014.
Tỏc gi
2

MỤC LỤC
Lời cảm ơn……………………………………………… …………………1
Mục lục……………………………………………………… …………… 2
Bảng kí hiệu các chữ cái viết tắt …………………………… ………… 4
LUYỆN VĂN THÀNH 1
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT 1
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH 1
LUYỆN VĂN THÀNH 2
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT 2
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH 2
Bảng ký hiệu các chữ viết tắt
THPT Trung học phổ thông
PPDH Phương pháp dạy học
GQVĐ Giải quyết vấn đề
SGK Sách giáo khoa
TN Thực nghiệm
ĐC Đối chứng
HS Học sinh
GV Giáo viên
3
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Lý thuyết xác suất là ngành Toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật
chi phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước
lượng, tính toán Xác suất của một biến ngẫu nhiên. Sự ra đời của lý thuyết
xác suất bắt đầu từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pa-
xcan (1623-1662) và Phéc-ma (1601-1665) xung quanh cách giải đáp một số
vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý tộc Pháp đặt
ra cho Pa-xcan. Ngày nay lý thuyết Xác suất đã trở thành một ngành Toán học
quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên,

khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, …Đại số Tổ hợp xuất
hiện vào thế kỉ XVII. Trong một thời gian dài, nó nằm ngoài hướng phát triển
chung và những ứng dụng của toán học. Sau khi máy tính điện tử ra đời và
tiếp sau đó là sự phát triển nhảy vọt của toán học hữu hạn. Ngày nay phương
pháp Tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong lí thuyết Xác suất với vai trò là công
cụ tính xác suất, trong thống kê, trong quy hoạch toán học, trong hình học hữu
hạn, hình học tổ hợp, trong lý thuyết biểu diễn nhóm, lí thuyết các đại số
không kết hợp, …
1.2. Chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong chương trình giải tích bậc THPT là
chủ đề hoàn toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu,
khái niệm mới. Vì vậy, việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựng
những khó khăn nhất định. Thế nhưng, việc dạy học Tổ hợp - Xác suất ở Việt
Nam dường như lại bị coi nhẹ. Thực tế cho thấy nhiều giáo viên còn lúng
túng trong thực hành giảng dạy, thậm chí có những quan điểm sai lầm về mục
đích dạy học Tổ hợp - Xác suất. Dường như việc dạy học chỉ giới thiệu cho
học sinh những kiến thức hình thức chứ không phải là giúp học làm chủ kiến
thức này để có thể sử dụng chúng trong cuộc sống.
4
1.3. Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí
tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc
sống, rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài
toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic
trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề một
cách chính xác. Để học tốt chủ đề Tổ hợp - Xác suất, người học không những
phải lĩnh hội được một khối lượng kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn
nhiều là phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán, các
tình huống cụ thể. Như vậy mới gọi là nắm vững và hiểu thấu đáo môn học.
1.4. Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của
học sinh chúng ta cần tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều
tình huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập đa dạng, phong phú để rèn

luyện kĩ năng giải toán và phát triển tư duy cho học sinh. Khi đó, học sinh
hiểu biết nhìn nhận mọi vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau. Không những
vậy mà thông qua việc giải các bài tập toán còn giúp học sinh hình thành thế
giới quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo.
Giúp học sinh hiểu biết hơn về lĩnh vực Tổ hợp - Xác suất là góp phần cho
các em say mê môn toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung. Hiện
nay chưa có công trình nào nghiên cứu một cách có hệ thống về việc rèn
luyện kĩ năng giải toán thuộc chủ đề này.
Vì những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là:
“Rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông
cho học sinh”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đặc điểm của chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong chương trình
phổ thông và việc giải toán Tổ hợp - Xác suất, từ đó xây dựng một số biện
5
pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường
phổ thông cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Tìm hiểu một số vấn đề về kĩ năng.
3.2. Làm rõ thêm nội dung chủ đề Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông và kĩ
năng giải toán thuộc chủ đề này.
3.3. Đề xuất ra các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở
trường phổ thông cho học sinh.
3.4. Thực nghiệm sư phạm để xem tính khả thi và hiệu quả của các phương
pháp đề xuất.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở phân tích nội dung, đặc điểm của chủ đề Tổ hợp - Xác suất,
nếu xây dựng được các biện pháp sư phạm thích hợp thì có thể rèn luyện kĩ
năng giải toán Tổ hợp - Xác suất cho học sinh, qua đó góp phần nâng cao kĩ
năng giải toán và chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông.

5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách báo về triết học,
tâm lí học và PPDH, định hướng đổi mới PPDH Toán và các SGK và SBT
Đại số và Giải tích 11 (cơ bản và nâng cao hiện hành), các luận án, luận văn
liên quan.
5.2. Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về việc dạy học Tổ hợp - Xác suất
và việc rèn luyện kĩ năng giải toán thuộc chủ đề này ở trường phổ thông hiện
nay.
5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra
tính khả thi của các biện pháp.
6. Đóng góp luận văn
6.1. Về mặt lí luận:
6
Góp phần làm rõ thêm lí luận về kĩ năng giải toán khi dạy học chủ đề Tổ
hợp - Xác suất.
6.2.Về mặt thực tiễn:
+ Đề xuất được các phương pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp -
Xác suất ở trường phổ thông cho học sinh.
+ Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho các GV dạy toán ở trường THPT.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3
chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất
ở trường phổ thông cho học sinh.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
7
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về kĩ năng giải toán
1.1.1. Kĩ năng

“Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong
đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một
việc gì” [1, tr.584].
Theo tâm lý học, kĩ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành
động nào đó theo một mục đích trong những điều kiến xác định. Nếu tạm thời
tách tri thức và kĩ năng để xem xét riêng từng các tri thức thuộc phạm vi hành
động, thuộc khả năng “biết làm”.
Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần tuý và một phần là kĩ năng”.
Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi
người để đạt được mục đích. Kĩ năng còn có thể đặc trưng như một thói quen
nhất định và cuối cùng kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp.
“Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực tiễn các
chứng minh đã nhận thấy được. Kĩ năng trong Toán học quan trọng hơn nhiều
so với kiến thức thuần tuý, so với thông tin trơn”. [39, tr.99].
Trong thực tế dạy học ta thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng
kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm vững
kiến thức các khái niệm, các định lí, quy tắc, không trở thành cơ sở của kĩ
năng. Muốn hình thành được kĩ năng, đặc biệt là kĩ năng giải toán cho học
sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động
và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri
thức, có kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện
nguyên lí của nhà trường phổ thông là: ”Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp
với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”.
8
1.1.2. Kĩ năng giải toán
“Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải
các bài tập toán (bằng suy luận và chứng minh)”[4, tr.12].
Để thực hiện tốt môn toán ở trường THPT, một trong những yêu cầu đặt
ra là:

“Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là
tri thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng. Chẳng hạn: tri
thức và kĩ năng giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức, kĩ năng chứng
minh Toán học, kĩ năng hoạt động và tư duy hàm…”[18, tr.41].
Cần chú ý là tuỳ theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn
luyện kĩ năng khác nhau.
1.1.3. Phân loại kĩ năng trong môn toán:
Có nhiều cách phân loại kĩ năng.
Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kĩ năng học tập cơ bản
thành 4 nhóm:
a) Kĩ năng nhận thức:
Kĩ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩ
năng nắm một khái niệm, định lý; kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,
trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc, …
b) Kĩ năng thực hành:
Trong môn Toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải
bài toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (Trong bài toán hoặc
trong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế.
c) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức.
d) Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá.
9
Xét kĩ năng toán học trên 3 bình diện: Kĩ năng vận dụng tri thức trong
nội bộ môn Toán, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học
khác, kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống.
1.1.4. Đặc điểm của kĩ năng giải toán
Khái niệm kĩ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau:
- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến
thức. Bởi vì, cấu trúc của kĩ năng là: hiểu mục đích biết cách thức đi đến kết
quả hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ

các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn
tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. cùng với vai trò cơ sở
của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩ năng. Bởi vì: “Môn Toán là
môn học công cụ có đặc điểm và vị rí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ
phát triển nhân cách ở trường phổ thông [18, tr. 29]. Vì vậy, cần hướng mạnh
vào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kĩ năng, vì kĩ năng chỉ có thể
được hình thành và phát triển trong hoạt động.
- Kĩ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm:
kiến thức, kĩ năng, phương pháp.
1.1.5. Vai trò của kĩ năng giải toán
Môn Toán được coi là một môn học công cụ do đặc điểm và vị trí của
nó trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhà
trường phổ thông, vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn
luyện kĩ năng.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn, dạy toán là dạy kiến thức, kĩ năng, tư duy và
tính cách [35, tr. 52]. Trong đó kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trong, bởi vì
nếu không có kĩ năng thì sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp
ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề.
10
Rèn luyện kĩ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ
giữa học với hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết
học thuộc lòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạo
vào việc giải bài tập.
1.1.6. Sự hình thành kĩ năng giải toán
Sự hình thành kĩ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống
phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa
đựng trong bài tập.
Vì vậy, muốn hình thành kĩ năng cho học sinh, chủ yếu là kĩ năng học
tập và kĩ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:
- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải

quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập khái quát về kiến thức tương
ứng.
Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông,
theo lý luận dạy học môn Toán cần chú ý:
“Trong khi dạy học môn Toán cần quan tâm rèn luyện cho học sinh
những kĩ năng trên những bình diện khác nhau đó là:
- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán
- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn khoa học khác
- Kĩ năng vận dụng tri thức vào trong đời sống” [17, tr. 19].
Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ
quan trọng hàng đầu của bộ môn toán học trong nhà trường phổ thông.
Rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn
mà trước tiên là kĩ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau [9, tr. 16]:
1/ Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên
suốt chương trình phổ thông. Trong môn Toán có thể kể tới các kiến thức sau:
11
- Các hệ thống số
- Hàm số và ánh xạ
- Phương trình và bất phương trình
- Định nghĩa và chứng minh Toán học.
- Ứng dụng Toán học
2/ Giúp học sinh phát triển các năng lực, cụ thể là:
- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng không gian
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo
3/ Coi trọng việc rèn luyện kĩ năng tính toán tất cả giờ học toán, gắn với việc
rèn luyện các kĩ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị.
4/Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính cẩn

thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.
1.1.7. Dạy học giải bài tập toán
a) Bài toán
Thuật ngữ "bài toán" được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số định
nghĩa sau:
G. Pôlia cho rằng: "Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách
có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không
thể đạt được ngay" [15, tr. 169].
Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa : "Khái niệm bài toán hiểu là
một công việc hoàn thành được nhờ những phương pháp đã biết trong những
điều kiện cho trước"
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ bài toán như sau: "Bài toán là
một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:
Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán)
12
Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)
Các điều kiện của hành động (mối quan hệ giữa cái đã có và cái phải tìm)
Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể,
không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Bài toán
không tồn tại độc lập với mọi "hệ quy chiếu".
b) Vai trò của việc giải bài tập toán
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn
Toán ở nhà trường phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động toán học. Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt
động như: nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc,
phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học.
Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: mục đích, nội dung
và phương pháp của quá trình dạy học. Cụ thể:
- Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khác

nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn Toán như:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, kĩ năng ứng dụng
toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tư duy,
hình thành các phẩm chất trí tuệ.
+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng
như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là phương tiện để cài đặt nội
dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã
học ở phần lý thuyết.
- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt
động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực
13
hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ
chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
c) Các chức năng của bài tập toán học
Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra.
+) Chức năng dạy học:
Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo những vấn đề về lý
thuyết đã học. Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức rất tốt để
dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. Có khi bài tập lại là một định
lý, mà vì một lí do nào đó không đưa vào lý thuyết. Cho nên, qua việc giải bài
tập mà học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
+) Chức năng giáo dục:
Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
Qua những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về
tính chất thực tiễn của toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài
toán từ cuộc sống chiến đấu và xây dựng của dân tộc. Đồng thời, học sinh

phải thể hiện một số phẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạt
động toán mà rèn luyện được: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc
có kế hoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm,
trung thực khiêm tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trong toán học và trong
thực tiễn.
+) Chức năng phát triển:
Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc
biệt là rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất tư duy
khoa học.
14
+) Chức năng kiểm tra:
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài
tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức,
khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng
như hiệu quả giảng dạy của giáo viên.
Trong việc lựa chọn bài toán và hướng dẫn học sinh giải Toán, giáo
viên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của bài toán.
Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huy
tác dụng giáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho
học sinh làm nhiều bài toán. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức
năng của bài tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của
bài tập toán.
Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:
- Lời giải không có sai lầm.
Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên
nhân sau:
+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái
niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận.
+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.
- Lời giải phải có cơ sở lý luận.
- Lời giải phải đầy đủ.
- Lời giải đơn giản nhất.
15
d) Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán
Trong dạy học giải Toán, kĩ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kĩ
năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các kĩ năng biến đổi bài toán là một
thành phần không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm của
G. Pôlya ông đã đa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán.
i) Hiểu rõ bài toán:
Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải
có hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy, điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý
hướng dẫn học sinh giải Toán là khơi gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán
của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tích
giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện.
Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì?. Có thể biểu diễn bài toán dưới
một hình thức khác được không?. Như vậy, ngay ở bước “Hiểu rõ đề Toán” ta
đã thấy được vai trò của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải.
ii) Xây dựng chương trình giải:
Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thể
hiện rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn
giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các
trường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv
thông qua các kĩ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:
- Huy động kiến thức có liên quan:
* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa.
Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được
không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?.
* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử
dụng kết quả của nó không?.
16
- Dự đoán kết quả phải tìm:
* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một
bài toán tổng quát hơn?. Một trường hợp riêng?. Một bài toán tương tự? Em
có thể giải một phần của bài toán?.
* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa?
Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?.
* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác
định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?.
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm
hướng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những
gợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kĩ năng tìm lời giải cho
các bài toán. Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên
trì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào
hoạt động giải Toán của mình.
iii) Thực hiện chương trình giải:
Khi thực hiện chương trình giải, hãy kiểm tra lại từng bước. Em đã
thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng
không?.
iv) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:
Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của
bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì
không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì
vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên
thực hiện các yêu cầu sau:
- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán.
17
-Tìm cách giải khác của bài toán: một bài toán thường có nhiều
cách giải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài
toán nhiều khi độc đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát
huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài
toán. Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học
sinh trung bình và kém chán nản.
Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một
bài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với học
sinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinh
giỏi. Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể
cho học sinh toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp
dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới.
e) Các kĩ năng giải Toán
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống các hành động có mục
đích, do đó chủ thể giải toán cần phải: nắm vững các tri thức về hành động,
thực hiện hành động theo các nhu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động
có kết quả trong những điều kiện khác nhau. Trong giải Toán thì kĩ năng của
học sinh chính là khả năng vận dụng sáng tạo, có mục đích những tri thức và
kinh nghiệm đã có vào giải các bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ
thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học.
Hệ thống kĩ năng giải toán của học sinh có thể chia thành ba cấp độ: biết làm,
thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải Toán, học sinh cần có nhóm kĩ năng chung sau:
+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán;
+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán;
+ Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch giải;
+ Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải toán và kết quả bài toán;
18

+ Kĩ năng thu nhận hợp thức hoá bài toán thành kiến thức mới của người giải toán.
Ngoài ra cần chú ý rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:
Nhóm kĩ năng thực hành.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải Toán.
+ Kĩ năng tính toán.
+ Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị,
đọc, vẽ hình, chính xác, rõ ràng.
+ Kĩ năng ước lượng đo đạc.
+ Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn.
Nhóm kĩ năng về tư duy.
+ Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải Toán.
+ Kĩ năng tổng hợp.
+ Kĩ năng phân tích.
+ Kĩ năng mô hình hoá.
+ Kĩ năng sử dụng thông tin.
1.2. Chủ đề Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông
1.2.1. Vai trò, ý nghĩa của Tổ hợp - Xác suất
a. Về việc học Tổ hợp
Trong thực tế đôi khi ta gặp những bài toán có dạng sau:
- Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một bàn tròn?
- Huấn luận viên có bao nhiêu cách lập một danh sách đá luân lưu 5 người lấy
trong 11 cầu thủ.
- Có bao nhiêu cách chọn 3 đại biểu trong số 5 người được đề cử?

Những bài toán như thế được gọi là bài toán Tổ hợp. Ngành Toán học
nghiên cứu cách giải các bài toán Tổ hợp được gọi là Đại số Tổ hợp.
19
Đại số Tổ hợp xuất hiện vào thế kỉ XVII. Trong một thời gian dài, nó
nằm ngoài hướng phát triển chung và những ứng dụng của toán học. Song
tình hình đã thay đổi hẳn, sau khi máy tính điện tử ra đời và tiếp theo đó

là sự phát triển nhảy vọt của toán học hữu hạn. Ngày nay các phương
pháp tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong lí thuyết các quá trình ngẫu
nhiên, trong thống kê, trong quy hoạch toán học, trong toán học tính toán,
trong hình học hữu hạn, hình học tổ hợp, trong lí thuyết biểu diễn nhóm, lí
thuyết các đại số không kết hợp
Đại số Tổ hợp đã được đưa vào chương trình môn toán ở trường trung
học phổ thông ở lớp 12 từ năm 1992-1993. Song vì số giờ dành cho môn này
quá ít, nên học sinh chỉ mới được làm quen với một vài khái niệm cơ bản như:
tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, nhị thức Niu - tơn. Nội dung ấy chưa tương xứng
với vai trò và vị trí của đại số tổ hợp trong khoa học và kĩ thuật hiện đại.
b. Về việc học Xác suất
Xã hội cung cấp một lượng thông tin phong phú, đa dạng, thường là chính
xác hay tương đối chính xác và được trình bày một cách khoa học hay không.
Người ta có thể rút ra kết luận nào từ thông tin cung cấp? Câu trả lời liên quan
đến phương pháp phân tích thông tin.
Ngoài ra, trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hiện
tượng không chắc chắn: kết quả bầu cử không đúng với dự kiến, dự báo thời
tiết không đáng tin cậy, chỉ số suy thoái của thị trường chứng khoán, khả năng
phát triển một lĩnh vực nào đó, những mô hình kinh tế không hiệu quả, và
nhiều biểu hiện khác của tính không chắc chắn trong thế giới của chúng ta.
Nghiên cứu phương pháp phân tích thông tin và tính không chắc chắn
liên quan hai chủ đề: Dữ liệu và cơ hội. Đó chính là nội dung nghiên cứu của
Xác suất. Chính vì thế mà ở nhiều nước các kiến nghị gần đây liên quan đến
vấn đề giảng dạy toán trong nhà trường đều có tính nhất trí cao đối với việc
20
gán cho xác suất một vị trí nỗi bật hơn so với chương trình của quá khứ. Ngay
PISA cũng xem tính không chắc chắn là một trong bốn ý tưởng bao quát nội
dung toán giảng dạy ở các nhà trường phổ thông trên thế giới.
Việc tăng cường và làm làm rõ mạch ứng dụng toán học được coi là
một trong những quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học

môn Toán ở trường phổ thông, chẳng hạn như: Một số yếu tố về thống kê mô
tả, Lí thuyết tổ hợp, Xác suất, “Các vấn đề về phương pháp và kĩ thuật tính
toán, lí thuyết tối ưu, tổ hợp, xác suất được đưa vào một cách tường minh hay
ẩn tàng là nhằm mục đích giới thiệu mặt “tính toán” của Toán học hiện đại
khi áp dụng giải quyết những bài toán thực tiễn phức tạp của cuộc sống thực
vốn đã khác xa những vấn đề thực tiễn của các giai đoạn trước, các giai đoạn
mà các nhà toán học xây dựng và phát triển lí thuyết về phương trình, về hàm
số, về phép tính vi phân và tích phân” [29, tr. 246].
Xu thế chung của giáo dục Toán học phổ thông hiện nay trên thế giới là
tăng cường thực hành ứng dụng cho học sinh. Vì vậy đa số các nước trên thế
giới đã có sự thống nhất về nội dung dạy học, và lựa chọn những tri thức có
nhiều ứng dụng như Thống kê toán và Lí thuyết xác suất. Nội dung dạy học
đó thường bao gồm những vấn đề:
- Các yếu tố của Thống kê mô tả
- Một số yếu tố của Giải tích tổ hợp; và một số yếu tố của Lí thuyết xác
suất.
Theo Nguyễn Bá Kim thì: “Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có
nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học
sinh. Bởi vậy, ngay từ những năm cuối thập kỉ 50 của thế kỉ XX, những kết
quả nghiên cứu của các nhà toán học và sư phạm trên thế giới đã khẳng định
một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào
21
học vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần thiết đưa một số yếu tố của các
lĩnh vực đó vào môn Toán ở trường phổ thông” [17, tr. 248].
Vũ Đình Hoà khẳng định: “Sự chuyển hướng xây dựng Toán học
hiện đại dựa trên cơ sở của lí thuyết tập hợp được mở ra ở cuối thế kỉ XIX.
Một trong những ảnh hưởng mạnh mẽ nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyết
tính toán với tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán
trong hình học tổ hợp , . . .”. Các bài toán Tổ hợp “là một bộ phận quan
trọng của toán học có nội dung rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thực

tiễn khoa học kĩ thuật cũng như trong đời sống hàng ngày của chúng ta”.
Và “Ngày nay, trong các kì thi quốc gia và quốc tế thường không vắng
bóng các bài toán tổ hợp, nhất là trong các kì thi học sinh giỏi Toán. Thông
thường đây là các bài toán khó không chỉ đối với học sinh Việt Nam mà cả
với học sinh quốc tế nói chung.” [11, tr. 3].
Từ trước những năm 90 của thế kỉ XX, các công trình nghiên cứu của
B.V.Gnhedenko, V.V.Firsov cùng các nhà sư phạm và toán học Xô Viết khác
đã thu được những kết quả đáng chú ý sau đây:
- Đã khẳng định được sự cần thiết của việc đưa các yếu tố của Thống
kê toán và Lí thuyết xác suất vào môn Toán ở trường phổ thông
- Mục đích của dạy học Thống kê toán và Lí thuyết xác suất ở trường phổ
thông là: “Phát triển có hệ thống ở học sinh những tư tưởng về sự tồn tại trong
tự nhiên những quy luật của một thiên nhiên rộng lớn, bao la hơn cái thiên
nhiên của thuyết quyết định luận cổ truyền nghiêm ngặt. Đó chính là những
quy luật thống kê.”
- Việc hình thành cho học sinh một hệ thống nguyên vẹn những tri thức
thống kê - xác suất phải được phối hợp thực hiện trong những giờ học của các
môn học khác [15, tr. 37]. Chính vì vậy, dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất là
góp phần tạo lập được trong tư tưởng của học sinh một bức tranh gần đúng của
22
thế giới hiện thực, để tận dụng khả năng của Lí thuyết xác suất trong sự nghiệp
giáo dục và đào tạo thế hệ trẻ, từ đó góp phần chuẩn bị tốt hơn cho học sinh
bước vào cuộc sống lao động và học tập sau này. Việc dạy học Xác suất
phải tạo điều kiện cho học sinh vượt ra ngoài khuôn khổ của quyết định
luận cơ học, hình thành cho các em những tư tưởng về biến cố ngẫu nhiên
và xác suất, về mối quan hệ biện chứng giữa tất nhiên và ngẫu nhiên; chẳng
hạn: “Khi một hiện tượng xảy ra một cách ngẫu nhiên thì ta có thể coi đó là
tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưa biết đến,
hoặc mới biết nửa vời. Cho nên người ta thường nói “cái tất nhiên bộc lộ ra
bên ngoài cái ngẫu nhiên” [34, tr. 109].

c. Vai trò của chủ đề tổ hợp Xác suất
Nhờ có trình độ trừu tượng cao và có đối tượng nghiên cứu là các quy
luật thống kê - những quy luật phổ biến trong hiện thực khách quan - Xác suất
thống kê đã thâm nhập vào mọi hoạt động thực tiễn của con người. “Tư duy lí
luận - Xác suất xâm nhập một cách có hệ thống vào tất cả các lĩnh vực hoạt
động. Phong cách tư duy vốn có của Lí thuyết xác suất và các kết quả của nó
là cần thiết cho người nghiên cứu và cho kĩ sư, cho nhà kinh tế, cho nhà y
học, cho nhà ngôn ngữ học và cho người tổ chức nền sản xuất: Cách tiếp cận
thống kê đối với những hiện tượng tự nhiên, đối với những vấn đề kĩ thuật và
kinh tế là cần thiết cho tất cả các chuyên gia” [17, tr. 247].
Tuy nhiên, ngay cả giữa thế kỉ 20 vẫn có khi các nhà toán học còn phải bảo
vệ Lí thuyết xác suất trước các buộc tội về tính phi khoa học của nó trong một số
ứng dụng. Chẳng hạn, “trong thời kì những năm 30 - 40 của thế kỉ 20 tại Liên Xô
là giai đoạn tấn công vào di truyền học, một ngành mà nhiều quy luật của nó dựa
trên Lí thuyết xác suất, trong nhiều tờ báo và các ấn phẩm giả khoa học đã xuất
hiện những khẩu hiệu như “khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên” và “thiên nhiên
không chơi trò gieo xúc xắc”. Nhà bác học Nga A.N.Khinshin, người đã phát
23
minh nhiều kết quả xác suất trong Lí thuyết xác suất đã nói về khẩu hiệu thứ nhất
như sau “Vâng điều đó đúng - Khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên, nhưng ta phải
nghiên cứu kẻ thù, và chính Lí thuyết xác suất làm việc đó”[40, tr. 15].
Lí thuyết xác suất, “sau khi sinh ra như là một ngành khoa học “ứng
dụng” đặc biệt, có liên quan đến sự hiểu biết trò chơi đánh bạc, sau khi trải qua
thời kì phát triển của các phương pháp thống kê “ngây thơ”, sau khi thu nhận
được cơ sở toán học vững chắc và ngôn ngữ của lí thuyết Metric các hàm, Lí
thuyết xác suất ở dạng hiện đại đã trở thành một ngành toán học đa diện bao gồm
cả chiều sâu lí luận, lẫn nội dung ứng dụng” [35, tr. 26]. Cho đến nay, nó đã trở
thành một khoa học có trình độ lí luận sâu sắc và phạm vi ứng dụng rất rộng rãi.
Lí thuyết xác suất đã trở thành công cụ đắc lực để nhận thức và cải tạo thế giới.
Vai trò của Tổ hợp và Xác suất trong hoạt động thực tiễn của loài

người. Chẳng hạn, giả sử trong một chuyến bay trong vũ trụ, ta cần thực hiện
n loại công việc nào đó (chẳng hạn sửa chữa các công việc khác nhau, quan
sát thiên văn, các thí nghiệm sinh học và vật lí . . .). Để thực hiện chuyến bay
người ta chon m ứng viên đã qua các tập luyện cần thiết. Mỗi ứng viên có thể
thực hiện một số trong các công việc đòi hỏi. Nhưng số thành viên tham gia
chuyến bay được giới hạn rất ngặt. Vì vậy phát sinh câu hỏi: có thể chọn tối
thiểu bao nhiêu người trong m ứng viên để nhóm đó có thể thực hiện tất cả
các nhiệm vụ đặt ra? Bài toán này là một trong những trường hợp riêng của
bài toán tổ hợp về cực trị bài toán phủ.
“Thống kê toán và Lí thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hết các
ngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kĩ thuật, vào quản lí kinh tế và
tổ chức nền sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người lao
động: kĩ sư, bác sĩ, giáo viên, công nhân, nông dân, . . .” [35, tr. 29]. V.I. Lenin
đã đánh giá cao giá trị của thống kê, Người đã dạy rằng: “Thống kê kinh tế - xã
hội là một trong những vũ khí hùng mạnh nhất để nhận thức xã hội”.