Một số bài toán tìm hằng số

MỘT SỐ BÀI TOÁN HẰNG SỐ TỐT NHẤT
Lê Xuân ðại, GV THPT Chuyên vĩnh Phúc

Bài 1. Tìm tất cả các số thực r sao cho bất ñẳng thức
3
)
2
1
()()()( +≥
+
+
+
+
+
+ r
b
a
c
r
a
c
b
r
c
b
a
r
(6) ñúng với mọi bộ 3 số thực dương a,b,c
(Việt nam TST 2009)
Lời giải
Giả sử bất ñẳng thức (6) ñúng với mọi bộ 3 số thực dương (a,b,c)

Xét 3 dãy số (a
n
) , (b
n
), (c
n
): a
n
= 1 , b
n
= c
n
= n (
∀
n
∈
N
*
)
3
)
2
1
()
1
()
1
()
2
1

(
+≥
+
+
+
++
⇒ r
n
n
r
n
n
r
n
r

⇒

lim
[
3
)
2
1
()]
1
()
1
()
2

1
(
+≥
+
+
+
++
r
n
n
r
n
n
r
n
r

⇒
r ( r+1)
2
≥

3
)
2
1
(
+
r

⇒

4
51
4
51
−−
≤
+−
≥
r
r

Giả sử a, b, c > 0 và a+b+c = 1
(6)
⇔
3
)
2
1
(
)()()(
+≥
+
+
+
+
+
+

+
+
+
r
b
a
cbar
a
c
bacr
c
b
acbr

⇔
[r+(1-r)a] [r+(1-r)b] [r+(1-r)c]
3
)
2
1
( +≥ r
(1-a) ( 1- b) (1- c)
⇔
r
3
+ r
2
(1-r) +r(1-r)
2
(ab + bc + ca) + ( 1-r)

3
abc
3
)
2
1
(
+≥
r
( ab + bc + ca - abc)
⇔
[
23
)1()
2
1
( rrr
−−+
] ( ab + bc + ca ) - [
33
)1()
2
1
( rr
−++
] abc
≤
r
2
⇔

ab + bc + ca -
1
2
28
8
1
2
28
)124(9
2
2
2
2
+
−
≤
+
−
+−
r
r
r
abc
r
r
rr
(7)
ðặt k =
1
2

28
)124(9
2
2
+
−
+−
r
r
rr
và E = ab + bc + ca - kabc
V
ới r
≥

4
51+−
hoặc r
≤

4
51−−
thì 4r
2
+2r - 1
≥
0
+∞→n

⇒
k
4
9
≤

Theo bài toán 7 ta có E
≤
1
2
28
8
27
9
2
2
+
−
=
−
r
r
rk

Vậy (7) ñúng với mọi a,b,c >0 ( a+b+c =1) . Tập hợp các giá trị r cần tìm là
( -
2
51
,
−−

∞
]
∪
[
+∞
+−
,
2
51
)
Bài 2: Cho k là số thực, k ≥ 8. Chứng minh rằng với các số nguyên dương a, b, c ta có bất
ñẳng thức
1
3
222
+
≥
+
+
+
+
+
k
kabc
c
kcab
b
kbca
a

Lời giải: Ta có, theo Cauchy-Schwarz
(
)
( )
2
2
2
∑∑∑
≥+








+
akbcaa
kbca
a

Bây giờ, áp dụng Cauchy-Schwarz cho tổng thứ hai
(
)
(
)
(
)
(

)
∑∑∑∑
+≤+=+ )(
3
2
3
2
2
kabcaakabcaakbcaa

Như vậy ta chỉ cần chứng minh
(
)
(
)
∑
∑
+≥+ )(9)1(
3
3
kabcaak

Nhưng ñiều này tương ñương với
(k-8)(a
3
+b
3
+c
3
) + 3(k+1)(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 27kabc

Bất ñẳng thức cuối cùng là hiển nhiên theo BðT trung bình cộng-trung bình nhân.
Tuy nhiên ta có thể hỏi một cách khác khó hơn như sau:
Cho biểu thức
1 1 1
1 1 1
P
kx ky kz
= + +
+ + +
với x,y,z dương và xyz=1, k>0 cho trước
Tìm k ñể P ñạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất ñó.
Lời giải.
• Với
8
k
≥
thì tương tự ta chứng minh ñược
3
1
k
+
, khi x=y=z=1 (có thể chứng
minh bằng biến ñổi tương ñương, bằng cách quy ñồng…)
• Với 0<k<8, ta chứng minh P không có giá trị nhỏ nhất.
D
ễ thấy P>1, ta cần chỉ ra một bộ
( , , )
n n n
x y z
sao cho

lim 1
n
P
=
.
Chọn
2
1
;
n n n
y z n x
n
= = =
thì
lim 1
n
P
=
.
Bài 3:
Tìm số C lớn nhất sao cho với mọi
, , , , 0
≥
a b c d e
thỏa mãn
+ = + +
a b c d e
ta ñều có:
(
)

2
2 2 2 2 2
+ + + + ≥ + + + +
a b c d e C a b c d e

Lời giải: Cho a=b=3, c=d=e=2, ta ñược:
2
30
6( 3 2)
≤
+
C

Ta sẽ chứng minh BðT ñúng với
2
30
6( 3 2)
=
+
C
. Thật vậy, ñặt
+ = + + =
a b c d e t

Theo BðT Cauchy-Schwar ta có:
2 2
2 2
( )
2 2
+

+ ≥ =
a b t
a b
và
2 2
2 2 2
( )
3 3
+ +
+ + ≥ =
c d e t
c d e

Do ñó
2 2 2 2 2
5
.
6
+ + + + ≥
a b c d e t
(1)
Lại có
2( ) 2
+ ≤ + =
a b a b t
và
3( ) 3
+ + ≤ + + =
c d e c d e t

Do ñó
(
)
2
2
( 2 3)
+ + + + ≤ +
a b c d e t
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
2 2 2 2 2
2
2
30
6( 3 2)
+ + + +
≥
+
+ + + +
a b c d e
a b c d e
(ñpcm).
Bài 4. Tìm số M nhỏ nhất sao cho với mọi
, ,
a b c
∈
ℝ
ta ñều có:
(

)
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
ab a b bc b c ca c a M a b c
− + − + − ≤ + +

Lời giải. Trước hết ta chứng minh
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
A ab a b bc b c ca c a b c a b a c a b c
= − + − + − = − − − + +

Thật vậy, xét ña thức
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
P x bx x b bc b c cx c x
= − + − + −

Ta có
( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )( )( )( )
P b P c P b c P x b c x b x c x b c
= = − − = ⇒ = − − − + +

Khi ñó
( ) ( )( )( )( )
A P a b c a b a c a b c
= = − − − + +
(ñpcm).
Trở lại bài toán: Tìm M nhỏ nhất ñể

(
)
2
2 2 2
( )( )( )( )
b c a b a c a b c M a b c
− − − + + ≤ + +
(1)
Gi
ả sử
a b c
≤ ≤
. Ta có
2
2
( )
( )( ) ( )( )
2 4
b a c b a c
a b b c b a c b
− + − −
 
− − = − − ≤ =
 
 
(2)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
a c b
+ =

.
Dễ thấy lại có
2 2 2 2
3( ) 2 ( ) ( ) ( )
c a b a c b c a
 
− ≤ − + − + −
 
(3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi
2
a c b
+ =
.
Từ (2) và (3) suy ra:
3
3
2 2 2
6 2 2
2
3
2 2 2
2
4
2
2 2 2 2
1
( )( )( )( ) ( ) ( )
4
2 ( ) ( ) ( )

1 1
( ) .( ) .( )
4 4 3
2 ( ) ( ) ( )
.( )
2 3
2 ( ) ( ) ( ) ( )
(
2 4
b c a b a c a b c c a a b c
a b b c c a
c a a b c a b c
a b b c c a
a b c
a b b c c a a b c
AM G
− − − + + ≤ − + +
 
 
− + − + −
 
 
= − + + ≤ + +
 
 
 
 
− + − + −
 
= + +

 
 
 
 
 
− + − + − + + +
≤ −
 
 
2 2 2 2
)
9 2
( )
32
M
a b c= + +

Như vậy BðT (1) ñúng với
9 2
32
M =
, ñẳng thức xảy ra khi
2
a c b
+ =
và
2 2 2
2
( ) ( ) ( )
( )

3
b a c b c a
a b c
− + − + −
= + +
, từ ñó giải ra
2 2
2
( ) 18
a c b
c a b
+ =


− =


Có thể chọn b=1 thì
3 3
1 2; 1 2
2 2
a c= − = +
.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M bằng
9 2
32
.
Chú ý: Có thể chứng minh
2 2 2 2
9 2

( )( )( )( ) ( )
32
b c a b a c a b c a b c
− − − + + ≤ + +
bằng cách ñơn giản
hơn như sau: Giả sử
( , , )
a max a b c
=
, ta có
2
2 2 2 2 2 2
9( ) ( ) 2( ) 2( )( )
2 2 ( )( ) 2 ( )( )
16 2 ( )( )( )( )
a b c a b c b c a b a c
a b c b c a b a c
b c a b a c a b c
 
+ + = + + + − + − −
 
 
≥ + + − + − −
 
≥ − − − + +

Vậy
2 2 2 2
9 2
( )( )( )( ) ( )

32
b c a b a c a b c a b c
− − − + + ≤ + +
(ñpcm).
Bài 5.
Cho n s
ố không âm
1 2
, , ,
n
x x x
,
2
n
≥
. Tìm hằng số C nhỏ nhất sao cho
4
2 2
1 1
( )
n
i j i j i
i j n i
x x x x C x
≤ < ≤ =
 
+ ≤
 
 
∑ ∑

(1)
Lời giải.
1) Nếu
1 2
0
n
x x x
= = = =
thì (1) ñúng với mọi
0
C
≥

2) Nếu tồn tại
0
i
x
>
thì
1 2
0
n
x x x
+ + + >
. Do tính thuần nhất, ta chuẩn hoá
1 2
1
n
x x x
+ + + =

.
Khi ñó
2 2 3 3
1 2
1 1 1
( , , , ) ( )
n i j i j i j i j
i j n i j n i j n
F x x x x x x x x x x x
≤ < ≤ ≤ < ≤ ≤ < ≤
= + = +
∑ ∑ ∑


3 3
1 1 1
. (1 ) ( )
i j i i i
i n j i i n i n
x x x x f x
≤ ≤ ≠ ≤ ≤ ≤ ≤
 
= = − =
 
 
∑ ∑ ∑ ∑

Do vậy ta cần tìm C nhỏ nhất sao cho
1
( )

i
i n
f x C
≤ ≤
≤
∑
với
1 2
1
n
x x x
+ + + =
.
Ta có
''( ) 6 (1 2 )
f x x x
= −
nên hàm f(x) lồi trên
1
0;
2
 
 
 
.
Giả sử
1 2

n
x x x

≥ ≥ ≥
. Ta sẽ áp dụng BðT Karamatta. Xét các trường hợp sau:
a)
1
1
2
x
≤
. Khi ñó
1 2
1 1
, ,0,0, ,0 ( , , , )
2 2
n
x x x
 
>
 
 
, suy ra
1
1 1 1
( ) (0) (0)
2 2 8
i
i n
f x f f f f
≤ ≤
   
≤ + + + + =

   
   
∑

b)
1
1
2
x
≥
. Khi ñó
1 2 3
( 2)
1 ,0,0, ,0 ( , , , )
n
n
x x x x
−
 
 
− >
 
 

, suy ra
1 1 1 1 1
1 2
2 2
1 1 1 1
2

1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (0) (0) ( ) (1 )
(1 ) (1 )
1
(1 ) 2 (1 2 )
8
i i
i n i n
f x f x f x f x f x f f f x f x
x x x x
x x x x
≤ ≤ ≤ ≤
= + ≤ + − + + + = + −
 
= − + −
 
 
= − + − ≤
 
∑ ∑

Vậy
1
1
( )
8
i
i n
f x
≤ ≤

≤
∑
với mọi
0
i
x
≥
và
1 2
1
n
x x x
+ + + =
. Do ñó
1
8
C
≥
.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của C bằng
1
8
.
Bài 6. Tìm tất cả các số thực không âm k sao cho với mọi a,b,c không âm thoả mãn
2 2 2
3
a b c kabc k
+ + + = +
(*) ta ñều có bất ñẳng thức
3

a b c
+ + ≤
.
Lời giải. 1) Giả sử k thoả mãn ñề bài. Cho a=0,
3
2
k
b c
+
= =
thì a,b,c thoả mãn (*)
Lúc ñó
3 3
2 3
2 2
k
a b c k
+
+ + = ≤ ⇒ ≤
.
Ta chứng minh với mọi
3
0
2
k
≤ ≤
ñều thoả mãn ñề bài.
2) Bổ ñề: Nếu x,y,z không âm thoả mãn x+y+z=3 thì
2 2 2
3

x y z kxyz k
+ + + ≥ +
với mọi
3
0;
2
k
 
∈
 
 
.
Chứng minh bổ ñề: Áp dụng BðT
( )( )( )
x y z y z x x z y xyz
+ − + − + − ≤
ta ñược
(3 2 )(3 2 )(3 2 )
x y z xyz
− − − ≤

Suy ra
4
9 12( ) 27 3 ( )
3
k
xyz xy yz xz kxyz k xy yz xz
≥ + + −
⇒
≥ − + + +

Do ñó
2 2 2 2 2 2
4
( ) 3
3
k
P x y z kxyz x y z xy yz xz k
= + + + ≥ + + + + + −

2 2 2 2 2 2
2 4 3 2
( ) ( ) ( ) 3
3 3 3
k k k
P x y z xy yz xz x y z k
−
 
⇒ ≥ + + + + + + + + −
 
 

2 2 2 2
2 3 2
( ) ( ) 3 3
3 3
k k
P x y z x y z k k
−
⇒ ≥ + + + + + − ≥ ≥ +

(ñpcm).
* Trở lại bài toán: Với
3
0;
2
k
 
∈
 
 
. Xét a,b,c không âm thoả mãn (*). Ta cần chứng minh
3
a b c
+ + ≤
.
Thật vậy, phản chứng rằng a+b+c>3, khi ñó tồn tại t>1 sao cho
3
a b c
t
+ +
=

ðặt
; ;
a b c
x y z
t t t
= = =
thì x+y+z=3.
Áp dụng bổ ñề ta ñược :

2 2 2 2 2 2 2
3 (3 ) 3
kabc
x y z kxyz k a b c k t k
t
+ + + ≥ + ⇒ + + + ≥ + > +

Mà t>1 nên
2 2 2 2 2 2
kabc
a b c kabc a b c
t
+ + + ≥ + + +
. Do ñó
2 2 2
3
a b c kabc k
+ + + > +
, mâu thuẫn với
giả thiết.
Kết luận: Các giá trị cần tìm của k là
3
0;
2
k
 
∈
 
 
.

Bài 7. Tìm số thực k lớn nhất sao cho với mọi a,b,c không âm thoả mãn
1
a b c
+ + =
ta ñều có
bất ñẳng thức
3 3 3
1
9 27
k
a b c kabc+ + + ≥ +
.
Lời giải. Cho
1
; 0
2
a b c
= = =
ta suy ra
15
4
k
≤
.
Ta chứng minh BðT ñúng với
15
4
k
=
, tức là cần chứng minh:

3 3 3
15 1
4 4
a b c abc
+ + + ≥
(1)
BðT (1) có thể ñược chứng minh bằng BðT Schur.