Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b]

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy PGS.TS. Khuất Văn Ninh,
người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận
văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy
Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý
thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáo dạy
cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Học viên
Trần Mạnh Cường
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong
bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Học viên
Trần Mạnh Cường
Mục lục
Mở đầu 1
Nội dung 2
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên
lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Banach . . . . . 10
1.3. Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Hilbert, L
2
[a;b]
. . 13
1.4. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz . . . . . . 17
1.4.1. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz . . 17
1.4.2. Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai . . . . . . 21
1.4.3. Phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai . . . . . . . 24
2 Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại
hai trong không gian L
2
[a;b]
26
ii
iii
2.1. Định lý về sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Giải xấp xỉ phương trình toán tử loại hai bằng phương pháp thác triển
theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1. Hai bước theo tham số (N = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2. Ba bước theo tham số (N = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Ước lượng tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình
toán tử loại hai trong không gian L
2
[a;b]
39
3.1. Phương trình tích phân Fredholm loại hai trong không gian L

2
[a;b]
. . . . 39
3.1.1. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm
tuyến tính loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm
phi tuyến loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2. Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán
tử loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với
hạch suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với
hạch không suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.3. Giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Kết luận 81
Tài liệu tham khảo 82
BẢNG KÝ HIỆU
C Tập số phức
C
[a;b]
Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]
D
k
[a;b]
Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp
k trên [a, b]
l
2
Tập tất cả những dãy số thực (phức) x = {x
n

} sao cho chuỗi
∞

n=1
|x
n
|
2
hội tụ
L
2
[a;b]
Tập tất cả các hàm đo được, bình phương khả tích trên [a; b]
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
R Tập số thực
R
k
Không gian thực k chiều
Ø Tập hợp rỗng
∞ Dương vô cùng (tương ứng với +∞)
−∞ Âm vô cùng
θ Phần tử không
. Chuẩn
 Kết thúc chứng minh
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được nhiều nhà

khoa học nghiên cứu. Trong đó phần lớn các công trình nghiên cứu tìm nghiệm của
phương trình toán tử loại hai x + Ax = f với toán tử A đơn điệu, liên tục Lipschitz
tác dụng trong không gian Banach tùy ý X.
Phương pháp này sử dụng quá trình lặp, thông qua một số hữu hạn các bước theo
tham số ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co. Trong các bài toán
cụ thể thì các yếu tố đã biết không thuận lợi cho việc tìm nghiệm chính xác, nên nhiều
công trình tập trung nghiên cứu tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử loại hai.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của phương pháp nói trên vào việc
giải gần đúng phương trình toán tử loại hai và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất
Văn Ninh chúng tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp thác triển theo tham số giải
phương trình toán tử loại hai trong không gian L
2
[a;b]
”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình
toán tử loại hai và ứng dụng của phương pháp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình
loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian L
2
[a;b]
.
- Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải phương trình toán tử
loại hai trong không gian L
2
[a;b]
.
2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp thác triển theo tham số và ứng dụng để giải phương trình toán tử
loại hai trong không gian L
2
[a;b]
.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số vấn
đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach,
không gian Hilbert, nguyên lý ánh xạ co
1.1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian định chuẩn)
Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian
tuyến tính X trên trường K (K = R hoặc K = C) cùng với một ánh xạ X → R, được
gọi là chuẩn và ký hiệu là . thỏa mãn các tiên đề sau:
1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) αx = |α| x;
3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y.
Số x gọi là chuẩn của vector x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Các
tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn)
Dãy điểm {x
n
} của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X
nếu:
lim
n→∞
x

n
− x = 0.
3
4
Ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay x
n
→ x (n → ∞).
Định nghĩa 1.1.3. (Dãy cơ bản)
Dãy điểm {x
n
} trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu:
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là x
n
− x
m
 → 0 (n, m → ∞) kéo
theo sự tồn tại x
0
∈ X sao cho x

n
→ x
0
. Thì X được gọi là không gian đủ.
1.1.2. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.4. (Không gian Banach)
Không gian định chuẩn X được gọi là gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1.1. Xét không gian L
2
[a;b]
=

f : [a; b] → R|
b

a
|f (t)|
2
dt < ∞

, f là hàm
đo được, xác định trên [a; b].
Đặt f =

b

a
|f (t)|
2

dt

1
2
. Khi đó L
2
[a;b]
là không gian Banach.
Thật vậy,
- L
2
[a;b]
là một không gian định chuẩn
1) ∀f ∈ L
2
[a;b]
, f =

b

a
|f (t)|
2
dt

1
2
≥ 0,
f = 0 ⇔ |f (t)|
2

= 0 h. k. n ⇔ f (t) = 0 h. k. n trên đoạn [a; b].
2) ∀f ∈ L
2
[a;b]
,∀α ∈ R ta có:
αf =

b

a
|αf (t)|
2
dt

1
2
= |α|

b

a
|f (t)|
2
dt

1
2
= |α| f.
3) ∀f, g ∈ L
2

[a;b]
ta có:
f + g =

b

a
|f (t) + g (t)|
2
dt

1
2
≤

b

a
|f (t)|
2
dt

1
2
+

b

a
|g (t)|

2
dt

1
2
Suy ra f + g ≤ f + g.
- L
2
[a;b]
là một không gian đủ
Giả sử {f
n
} là một dãy cơ bản trong L
2
[a;b]
tức là f
n
− f
m
 → 0 khi n, m → ∞. Ta
5
chọn từ {f
n
} một dãy con {f
n
k
} hội tụ hầu khắp nơi về một hàm f nào đó.
Vì {f
n
} là dãy cơ bản, nên khi ta cố định ε > 0 bất kì đối với mọi k và l đủ lớn sẽ

có:
b

a
|f
n
k
(t) − f
n
l
(t)|
2
dt < ε.
Chuyển qua giới hạn khi l → ∞ trong bất đẳng thức trên ta nhận được:
b

a
|f
n
k
(t) − f (t)|
2
dt < ε.
Từ đó suy ra f ∈ L
2
[a;b]
và f
n
k
→ f . Vì dãy cơ bản chứa một dãy con hội tụ thì cả

dãy hội tụ về giới hạn ấy.
Vậy L
2
[a;b]
cùng với chuẩn f =

b

a
|f (t)|
2
dt

1
2
là một không gian Banach.
Ví dụ 1.1.2. Xét không gian l
p
=

x = {x
i
} |
∞

i=1
|x
i
|
p

< ∞

với 1 ≤ p < ∞. Khi đó
l
p
cùng với chuẩn được định nghĩa bởi x =

∞

i=1
|x
i
|
p

1
p
trong l
p
là một không gian
Banach.
Thật vậy, l
p
là một không gian vector với phép cộng các dãy số thực và phép nhân
dãy số với một số định nghĩa như sau:
x = (x
1
, x
2
, , x

n
, ) ; y = (y
1
, y
2
, , y
n
, ) ∈ l
p
,
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, , x
n
+ y
n
, ) ,
αx = (αx
1
, αx
2
, , αx
n
, ) .

Từ bất đẳng thức Minkowski’s và đẳng thức:
∞

i=1
|x
i
|
p
< ∞,
∞

i=1
|y
i
|
p
< ∞,
Ta có:
∞

i=1
|x
i
+ y
i
|
p
≤
∞


i=1
|x
i
|
p
+
∞

i=1
|y
i
|
p
.
Điều này cho thấy: x + y ∈ l
p
.
Từ đẳng thức
∞

i=1
|αx
i
|
p
= |α|
p
∞

i=1

|x
i
|
p
< ∞ với mọi số α, ta suy ra αx ∈ l
p
.
Dễ dàng thử lại các tiên đề của không gian vector.
Ta đi kiểm tra các tiên đề của chuẩn, với chuẩn được định nghĩa bởi:
x =

∞

i=1
|x
i
|
p

1
p
trong l
p
.
Rõ ràng là x ≥ 0, ∀x ∈ l
p
.
x = 0 ⇔ |x
i
|

p
= 0 ∀i ⇔ x
i
= 0 ∀i ⇔ x = θ.
6
αx =

∞

i=1
|αx
i
|
p

1
p
=

|α|
p
∞

i=1
|x
i
|
p

1

p
= |α| x ,∀x ∈ l
p
, ∀α ∈ R.
x + y =

∞

i=1
|x
i
+ y
i
|
p

1
p
,
theo bất đẳng thức Minkowski’s ta có:

∞

i=1
|x
i
+ y
i
|
p


1
p
≤

∞

i=1
|x
i
|
p

1
p
+

∞

i=1
|y
i
|
p

1
p
, ∀x, y ∈ l
p
Từ điều này suy ra x + y ≤ x + y.

Để chứng minh l
p
là không gian Banach, ta chứng minh mọi dãy Cauchy trong l
p
hội tụ tới một phần tử trong l
p
.
Giả sử x
n
=

a
(n)
i

là một dãy Cauchy trong l
p
, nghĩa là:
x
n
− x
m
 =

∞

i=1




a
(n)
i
− a
(m)
i



p

1
p
< ε với n, m ≥ N, (1.1)
từ bất đẳng thức (1.1) suy ra:



a
(n)
i
− a
(m)
i



< ε với n, m ≥ N và với mọi i, (1.2)
với mỗi i cố định, từ đẳng thức (1.2) suy ra


a
(n)
i

là một dãy Cauchy các số thực.
Theo tiêu chuẩn Cauchy của dãy số thực thì nó hội tụ về a
i
, nghĩa là:
lim
n→∞
a
(n)
i
= a
i
, (1.3)
Từ đẳng thức (1.1) ta có:
k

i=1



a
(n)
i
− a
(m)
i




p
< ε
p
, với mọi k.
Chuyển qua giới hạn khi m → ∞ trong bất đẳng thức trên ta được:
k

i=1



a
(n)
i
− a
i



p
≤ ε
p
, với n ≥ N .
Cho k → ∞, ta được:
7
∞

i=1




a
(n)
i
− a
i



p
≤ ε
p
, với n ≥ N .
Mặt khác ta có:
− (x
n
− x) = x − x
n
∈ l
p
,
với x = (a
1
, a
2
, , a
n
, ), suy ra x = (x − x

n
) + x
n
∈ l
p
.
Hơn nữa:
x
n
− x =

∞

i=1



a
(n)
i
− a
i



p

1
p
≤ ε, với n ≥ N.

Nghĩa là:
x
n
− x → 0 khi n → ∞.
1.1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.5. (Không gian tiền Hilbert)
Cho H là không gian vector trên trường K (với K = R hoặc K = C). Tích vô
hướng xác định trong H là một ánh xạ:
., . : H × H → K
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
1. x, y = y, x với mọi x, y ∈ H.
2. x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
3. αx, y = α x, y với mọi x, y ∈ H và α ∈ K.
4. x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = θ ⇔ x = θ.
8
Số x, y gọi là tích vô hương của hai vector x và y.
Cặp (H, ., .) được gọi là không gian tiền Hilbert.
Ta kí hiệu không gian tiền Hilbert H thay cho cặp (H, ., .).
Định nghĩa 1.1.6. (Không gian Hilbert)
Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn sinh bởi tích vô
hướng thì được gọi là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.3. Xét không gian l
2
=

x = (x
n
)
n∈N

⊂ K|
∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞

.
Ta đã biết l
2
là không gian Banach với chuẩn:
x =

∞

n=1
|x
n
|
2

1
2
.
Với x = (x
n
)

n∈N
, y = (y
n
)
n∈N
∈ l
2
, nhờ bất đẳng thức Buyakowsky ta có:




∞

n=1
x
n
y
n




2
≤ x
2
y
2
< +∞.
Dễ dàng chứng minh rằng:

x, y =
∞

n=1
x
n
y
n
,
xác định một tích vô hướng trong l
2
và nó cảm sinh chuẩn nêu trên.
Vậy l
2
là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.4. Xét không gian L
2
[a;b]
=

f : [a; b] → R|
b

a
|f (t)|
2
dt < ∞

, f là hàm
đo được, xác định trên [a; b].

Trong ví dụ 1.1.1 ta đã biết L
2
[a;b]
là một không gian Banach với chuẩn:
f =

b

a
|f (t)|
2
dt

1
2
.
Hơn nữa, với f, g ∈ L
2
[a;b]
, từ bất đẳng thức Holder về tích phân, ta có:
b

a
|f (t) g (t)| dt ≤

b

a
|f (t)|
2

dt

1
2

b

a
|g (t)|
2
dt

1
2
< +∞.
9
Ta kiểm tra thấy rằng:
f, g =
b

a
f.gdt,
xác định một tích vô hướng trong L
2
[a;b]
. Thật vậy:
1. f, g =
b

a

f.gdt =
b

a
g.fdt = g, f với mọi f, g ∈ L
2
[a;b]
.
2. f
1
+ f
2
, g =
b

a
(f
1
+ f
2
) .gdt
=
b

a
f
1
.gdt +
b


a
f
2
.gdt
= f
1
, g + f
2
, g với mọi f
1
, f
2
, g ∈ L
2
[a;b]
.
3. αf, g =
b

a
αf.gdt = α
b

a
f.gdt
= α f, g với mọi f, g ∈ L
2
[a;b]
và α ∈ R.
4. f, f =

b

a
f
2
dt ≥ 0 với mọi f ∈ L
2
[a;b]
,
f, f =
b

a
f
2
dt = 0 ⇔ f
2
= 0 ⇔ f = 0 h. k. n trên đoạn [a; b].
Vậy L
2
[a;b]
trở thành không gian Hilbert thực.
1.1.4. Nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.1.7. (Ánh xạ co)
Ánh xạ A đưa không gian Metric đủ (X, d) vào trong nó gọi là ánh xạ co nếu tồn
tại hằng số q ∈ [0; 1) sao cho:
∀x, y ∈ X, d (A (x) , A (y)) ≤ qd (x, y).
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co)
Cho A là ánh xạ co trong không gian Metric đủ (X, d). Khi đó:
1. Tồn tại duy nhất x

∗
∈ X sao cho A (x
∗
) = x
∗
. Phần tử x
∗
gọi là điểm bất động
của ánh xạ A.
10
2. Dãy (x
n
) xác định theo công thức x
n+1
= A (x
n
) (n ≥ 0) xuất phát từ x
0
∈ X
tùy ý đều hội tụ tới x
∗
∈ X. Ngoài ra, ta có các ước lượng sau:
d (x
n
, x
∗
) ≤
q
n
1 − q

d (x
0
, x
1
) (n ≥ 1),
d (x
n
, x
∗
) ≤
q
1 − q
d (x
n−1
, x
n
) (n ≥ 1).
1.2. Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không
gian Banach
Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử đơn điệu)
Giả sử X là không gian Banach thực, X
∗
là không gian liên hợp của X và toán tử
A : X → X
∗
. Khi đó:
1. A được gọi là đơn điệu nếu:
Au − Av, u − v ≥ 0 với mọi u, v ∈ X.
2. A được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt (thực sự) nếu:
Au − Av, u − v > 0 với mọi u, v ∈ X.

3. A được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho:
Au − Av, u − v ≥ c u − v
2
với mọi u, v ∈ X.
4. A được gọi là d−đơn điệu nếu:
Au − Av, u − v ≥ (α (u) − α (v)) (u − v) với mọi u, v ∈ X,
trong đó α là hàm số liên tục, tăng nghiêm ngặt trên [0; +∞).
5. A được gọi là đơn điệu đều nếu:
Au − Av, u − v ≥ ρ (u − v) với mọi u, v ∈ X.
trong đó ρ là hàm số liên tục, tăng nghiêm ngặt trên [0; +∞) và ρ (0) = 0.
11
Ví dụ 1.2.1. (Toán tử đơn điệu tuyến tính)
Cho A : X → X
∗
là một toán tử tuyến tính trong không gian Banach thực X. Khi
đó:
1. A là đơn điệu nếu A là toán tử dương, nghĩa là:
Au, u ≥ 0 với mọi u ∈ X.
2. A là đơn điệu nghiêm ngặt nếu A là toán tử dương nghiêm ngặt, nghĩa là:
Au, u > 0 với mọi u ∈ X và u = 0.
3. A là đơn điệu mạnh nếu A là toán tử dương mạnh, nghĩa là:
Au, u ≥ c u
2
với mọi u ∈ X hằng số c > 0.
Thật vậy, ta lưu ý là Au − Av = A (u − v).
Ví dụ 1.2.2. (Hàm số thực đơn điệu)
Xét hàm số f : R → R. Ta xem f như là toán tử từ X tới X
∗
với X = R. Khi đó:
f (u) − f (v) , u − v = (f (u) − f (v)) (u − v) với mọi u, v ∈ R.

Từ đó, ta có các kết quả sau:
1. f : X → X
∗
là đơn điệu nghiêm ngặt nếu f : R → R là đơn điệu tăng nghiêm
ngặt.
2. f : X → X
∗
là đơn điệu mạnh nếu:
inf
u=v
f (u) − f (v)
u − v
> 0.
3. Nếu F : R → R là C
2
thỏa mãn:
F

(u) ≥ c với mọi u ∈ R và hằng số c > 0 cho trước,
thì:
(F

(u) − F

(v)) (u − v) ≥ c (u − v)
2
với mọi u, v ∈ R,
nghĩa là: F

: R → R là đơn điệu mạnh.

12
4. Nếu F : R → R là C
1
thỏa mãn:
F

(u) − F

(v) ≥ c (u − v),
với mọi u, v ∈ R, u ≥ v và hằng số c > 0 cho trước thì F

: R → R là đơn điệu
mạnh.
Định nghĩa 1.2.2. (Liên tục Lipschitz)
Toán tử A : X → X
∗
được gọi là liên tục Lipschitz trong không gian Banach thực
X nếu tồn tại hằng số L > 0, với các phần tử x
1
, x
2
∈ X ước lượng sau đây đúng:
Ax
1
− Ax
2
 ≤ L x
1
− x
2

,
trong đó . là chuẩn của không gian Banach X, L là hằng số Lipschitz.
Định lý 1.2.1. (Rockafella)
Nếu toán tử A : X → X
∗
đơn điệu thì A sẽ bị chăn địa phương.
Định lý 1.2.2. Giả sử A : X → X
∗
là toán tử trong không gian Banach thực X. Xét
hàm số:
f (t) = A (u + tv) , v với mọi t ∈ R.
Khi đó hai mệnh đề sau là tương dương:
a) Toán tử A là đơn điệu.
b) Hàm f : [0; 1] → R là đơn điệu tăng với mọi u, v ∈ X.
Chứng minh. Nếu A : X → X
∗
là đơn điệu thì với 0 ≤ s < t ta có:
f (t) − f (s) = A (u + tv) , v − A (u + sv) , v
=
1
t − s
A (u + tv) − A (u + sv) , u + tv − (u + sv)
=
1
t − s
A (u + tv) − A (u + sv) , (t − s) v ≥ 0.
Suy ra f (t) đơn điệu tăng trên [0; 1].
Ngược lại, nếu f : [0; 1] → R là đơn điệu tăng thì với u, v ∈ X ta có:
A (u + v) − Au, v = f (1) − f (0) ≥ 0.
Suy ra A là toán tử đơn điệu.

13
1.3. Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không
gian Hilbert, L
2
[a;b]
Định nghĩa 1.3.1. (Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert)
Giả sử H là không gian Hilbert và D ⊂ H, toán tử A : D → H. Khi đó:
1. A được gọi là đơn điệu nếu:
Re A (u) − A (v) , u − v ≥ 0 với mọi u, v ∈ D.
2. A được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt (thực sự) nếu:
Re Au − Av, u − v > 0 với mọi u, v ∈ D.
3. A được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho:
Re A (u) − A (v) , u − v ≥ c u − v
2
với mọi u, v ∈ D.
Định lý 1.3.1. Cho H là không gian Hilbert thực và giả sử toán tử T : H → H là liên
tục, đơn điệu và bức yếu. Khi đó
T (H) = H,
hơn nữa, nếu T là đơn điệu mạnh thì với mỗi h ∈ H tồn tại và duy nhất u ∈ H sao
cho:
T (u) = h.
Bổ đề 1.3.1. Cho D là một tập con đóng trong không gian Hilbert thực H. Giả sử
toán tử T : D → H là liên tục và đơn điệu mạnh. Khi đó, T (D) là tập con đóng trong
H.
Chứng minh. Giả sử với mỗi h ∈ H tồn tại dãy {u
n
}
∞
n=1
⊂ D sao cho:

T (u
n
) → h.
Theo giả thiết T là đơn điệu mạnh, ta có:
14
T (u
n
) − T (u
m
) , u
n
− u
m
 ≥ c u
n
− u
m

2
,
và theo bất đẳng thức Schwartz ta có:
1
c
T (u
n
) − T (u
m
) ≥ u
n
− u

m
.
Bởi vì {u
n
}
∞
n=1
là một dãy Cauchy nên tồn tại u
0
∈ D sao cho:
u
n
→ u
0
.
Từ sự liên tục của T suy ra rằng:
T (u
n
) → T (u
0
) nghĩa là T (u
0
) = h.
Bổ đề 1.3.2. Cho D là một tập con mở trong không gian Hilbert thực H. Giả sử toán
tử T : D → H là liên tục và đơn điệu mạnh. Khi đó, T (D) là tập con mở trong H.
Mệnh đề 1.3.1. Cho H là không gian Hilbert thực. Nếu toán tử T : H → H liên tục
và đơn điệu mạnh thì:
T (H) = H.
Chứng minh.
Do H là không gian Metric liên thông và theo bổ đề 1.3.1 và 1.3.2 ta có T (H) là

tập con vừa mở, vừa đóng trong H.
Do đó T (H) = H (Bởi vì tập con khác rỗng duy nhất của H vừa mở, vừa đóng
nằm hoàn toàn trong H)
Chứng minh. (định lý 1.3.1.)
Sự duy nhất u ∈ H là một hệ quả trực tiếp của toán tử đơn điệu nghiêm ngặt. Với
bất kì h ∈ H, sự tồn tại u ∈ H được chứng minh trong hai bước.
Bước 1: Theo mệnh đề 1.3.1 thì khẳng định của định lý là đúng nếu toán tử T là liên
tục và đơn điệu mạnh.
Xét toán tử đơn điệu mạnh T
n
: H → H, n ∈ N, xác định bởi:
15
T
n
: u →
1
n
u + T (u),
với mỗi n ∈ N, T
n
thỏa mãn với h ∈ H thì tồn tại u
n
∈ H sao cho:
T
n
(u
n
) = h. (1.4)
Bước 2: Ta chứng minh {u
n

}
∞
n=1
là một dãy bị chặn trong H. Giả sử ngược lại tồn tại
một dãy con được kí hiệu bởi {u
n
}
∞
n=1
sao cho:
lim
n→∞
u
n
 = ∞.
Từ tính đơn điệu của T suy ra:
h ≥

h,
u
n
u
n


=
1
n
u
n

 +
1
u
n

T (u
n
) − T (o) , u
n
 +
1
u
n

T (o) , u
n

≥
1
n
u
n
 − T (o),
nghĩa là

1
n
u
n


∞
n=1
là một dãy bị chặn.
Khi đó tồn tại một dãy con

1
n
k
u
n
k

∞
k=1
⊂

1
n
u
n

∞
n=1
hội tụ yếu, nghĩa là:
1
n
k
u
n
k

w.
Theo (1.4) ta có:
T (u
n
k
) h − w.
Suy ra rằng {T (u
n
k
)}
∞
k=1
là dãy bị chặn. Điều này mâu thuẫn với tính bức yếu của
T . Suy ra tính bị chăn của {u
n
}
∞
n=1
. Đặc biệt,
1
n
u
n
→ o và T (u
n
) → h.
Do đó có một dãy con {u
m
k
}

∞
k=1
⊂ {u
n
}
∞
n=1
sao cho:
u
m
k
u
0
.
Ta chứng minh được rằng T (u
0
) = h. Thật vậy, với mọi v ∈ H và k ∈ N ta có:
T (u
m
k
) − T (v) , u
m
k
− v ≥ 0.
Chuyển qua giới hạn với k → ∞ ta nhận được:
16
h − T (v) , u
0
− v ≥ 0 với mọi v ∈ H.
Đặt v = u

0
+ λw, λ > 0, w ∈ H. Thì
h − T (u
0
+ λw) , w ≤ 0 đúng với mọi λ > 0 và w ∈ H. (1.5)
Chuyển qua giới hạn với λ → 0
+
trong (1.5) và sử dụng tính liên tục của T , tích
vô hướng trong H ta có:
h − T (u
0
) , w ≤ 0 với mọi w ∈ H. (1.6)
Đẳng thức (1.6) đúng cho cả w và −w, ta có được:
h − T (u
0
) , w = 0 với w ∈ H, nghĩa là T (u
0
) = h.
Hệ quả 1.1. Giả sử H là không gian Hilbert thực và T : H → H là toán tử liên tục,
đơn điệu mạnh. Khi đó với mỗi h ∈ H tồn tại và duy nhất u ∈ H sao cho:
T (u) = h.
Nếu T (u
1
) = h
1
và T (u
2
) = h
2
thì:

u
1
− u
2
 ≤
1
c
h
1
− h
2
,
với c > 0 thỏa mãn định nghĩa đơn điệu mạnh.
Điều đó có nghĩa là T
−1
là toán tử liên tục Lipschitz.
Chứng minh. Từ định lý 1.3.1 suy ra sự tồn tại u ∈ H. Tính duy nhất là hiển nhiên.
Từ T (u
1
) = h
1
, T (u
2
) = h
2
và sử dụng bất đẳng thức Schwartz ta có:
c u
1
− u
2


2
≤ T (u
1
) − T (u
2
) , u
1
− u
2
 ≤ u
1
− u
2
 h
1
− h
2
.
Hệ quả hoàn toàn được chứng minh.
17
1.4. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên
tục Lipschitz
1.4.1. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục
Lipschitz
Định nghĩa 1.4.1. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz có
dạng:
x + λAx = f , (1.7)
trong đó A là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz từ không gian định chuẩn X vào
chính nó, f là phần tử cho trước và f ∈ X, λ là tham số và λ ∈ K (K = R hoặc

K = C).
Nếu A là toán tử tuyến tính (phi tuyến) thì phương trình (1.7) gọi là phương trình
tuyến tính (phi tuyến) loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz.
Định lý 1.4.1. Cho H là không gian Hilbert và D (A) ⊂ H. Xét phương trình có dạng:
x + Ax = f , (1.8)
trong đó toán tử A : D (A) → H. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1. Phương trình (1.8) có nghiệm x
∗
∈ D (A),
2. x
∗
là điểm trong của miền D (A),
3. A là toán tử đơn điệu từ D (A) vào H.
Khi đó tồn tại hình cầu S (x
∗
, r) với tâm tại x
∗
, bán kính r và số dương K sao cho
với số C tùy ý lớn hơn K và đối với xấp xỉ ban đầu tùy ý x
1
∈ S (x
∗
, r), dãy {x
n
} được
dựng bởi công thức:
18
x
n+1
= x

n
− (n + C)
−1
(x
n
− Ax
n
− f), n = 1, 2, , (1.9)
được chứa trong hình cầu S (x
∗
, r) và hội tụ tới x
∗
với ước lượng:
x
n
− x
∗
 = O

n
−1/2

. (1.10)
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh rằng nghiệm x
∗
của phương trình (1.8) là duy nhất.
Thật vậy, nếu tồn tại nghiệm y
∗
= x
∗

thì
x
∗
+ Ax
∗
= f và y
∗
+ Ay
∗
= f.
Từ đẳng thức này và tính đơn điệu của toán tử A ta thu được điều mâu thuẫn sau:
0 ≤ Ay
∗
− Ax
∗
, y − x = f − y
∗
− f + x
∗
, y
∗
− x
∗
 = − y
∗
− x
∗
, y
∗
− x

∗
 < 0
Theo định lý Rockafella thì toán tử đơn điệu sẽ bị chặn địa phương tại mỗi điểm
trong của miền xác định của toán tử, do đó tồn tại hình cầu S (x
∗
, r) với tâm tại x
∗
,
bán kính r, S (x
∗
, r) ≡ S ⊂ D (A). Ta kí hiệu K = [diamA (S) /r]
2
. Khi đó K > 0 và
với số C tùy ý lớn hơn K thì diamA (S) ≤ rC
1/2
.
Đặt t
n
= (n + C)
−1
, d
n
= (n + C − 1)
−1/2
.
Lấy một phần tử tùy ý x
1
∈ S và dựng dãy {x
n
} theo công thức (1.9).

Ta có thể chứng minh bằng quy nạp dãy {x
n
} được chứa trong S (x
∗
, r) và hội tụ
tới x
∗
với ước lượng:
x
n
− x
∗
 ≤ d
n
rC
1/2
. (1.11)
Thật vậy, với n = 1 ta có x
n
− x
∗
 ≤ r = d
1
rC
1/2
.
Giả sử (1.11) đúng với n khi đó
x
n
− x

∗
 ≤ d
n
rC
1/2
≤ d
1
rC
1/2
= r,
tức là x
n
∈ S (x
∗
, r) ⊂ D (A). Và như vậy x
n+1
hoàn toàn được xác định.
Vì x
∗
+ Ax
∗
= f nên
x
n+1
− x
∗
= x
n
+ (n + C)
−1

(x
n
+ Ax
n
− f) − x
∗
19
= x
n
− (n + C)
−1
(x
n
+ Ax
n
− x
∗
− Ax
∗
) − x
∗
= (x
n
− x
∗
)

1 − (n + C)
−1


− (n + C)
−1
(Ax
n
− Ax
∗
)
= (x
n
− x
∗
) (1 − t
n
) − t
n
(Ax
n
− Ax
∗
).
Ta có:
x
n+1
− x
∗

2
= (1 − t
n
)

2
x
n
− x
∗

2
− 2t
n
(1 − t
n
) Re Ax
n
− Ax
∗
, x
n
− x
∗
 +
+t
2
n
Ax
n
− Ax
∗

2
.

Vì toán tử A đơn điệu nên
x
n+1
− x
∗

2
≤ (1 − t
n
)
2
x
n
− x
∗

2
+ t
2
n
Ax
n
− Ax
∗

2
≤ (1 − t
n
)
2

d
2
n
r
2
C + t
2
n
r
2
C = r
2
C

(1 − t
n
)
2
d
2
n
+ t
2
n

,
và
r
2
C


(1 − t
n
)
2
d
2
n
+ t
2
n

= r
2
C


n + C − 1
n + C

2
·
1
n + C − 1
+
1
(n + C)
2

=

1
(n + C)
r
2
C = d
2
n+1
r
2
C.
Do đó
x
n+1
− x
∗
 ≤ d
n+1
rC
1/2
.
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy ta đã chứng minh dãy {x
n
} hội tụ tới x
∗
với ước lương
x
n
− x
∗

 = O

n
−1/2

.
Hệ quả 1.2. Giả sử A là toán tử đơn điệu liên tục và miền D (A) mở trong không
gian Hilbert H, y ∈ R (I + A). Khi đó tồn tại hình cầu S = S (x
∗
, r) với điểm x
∗
=
(I + A)
−1
y sao cho đối với xấp xỉ ban đầu tùy ý x
1
∈ S dãy {x
n
} được dựng bằng công
thức:
x
n+1
=
n
n + 1
x
n
−
1
n + 1

(Ax
n
− y), (1.12)
được chứa trong D (A) và hội tụ đến x
∗
với tốc độ:
20
x
n
− x
∗
 = O

n
−1/2

.
Chứng minh. Nhờ định lý vừa chứng minh ta có hình cầu S
1
= S
1
(x
∗
, r
1
) tâm tại x
∗
và một số dương C sao cho dãy {z
n
} với xấp xỉ ban đầu z

1
∈ S
1
được dựng bởi công
thức:
z
n+1
= z
n
− (n + C)
−1
(z
n
+ Az
n
− y). (1.13)
Hội tụ đến x
∗
với tốc độ O

n
−1/2

. Từ tính chất liên tục của toán tử A tại điểm x
∗
suy ra tồn tại một lân cận S của điểm x
∗
sao cho C xấp xỉ đầu tiên của dãy (1.12) (số
C có thể lấy là số nguyên dương) được chứa trong S
1

. Lấy z
1
= x
c
và dựng dãy {z
n
}
theo công thức (1.13) ta có x
n
= z
n
− C + 1 với n ≥ C.
Dãy này được chứa trong D (A) và x
n
→ x
∗
với tốc độ:
O

(n − C + 1)
−1/2

= O

n
−1/2

.
Nếu A là toán tử tuyến tính ta có các tích chất sau:
Định lý 1.4.2. Cho A là toán tử hoàn toàn liên tục từ không gian Banach E vào chính

nó. Nếu phương trình x + Ax = f giải được với f tùy ý thì phương trình x + Ax = 0
không có nghiệm khác với nghiệm tầm thường.
Hệ quả 1.3. Nếu phương trình x + Ax = f giải được với f tùy ý thì phương trình này
có nghiệm duy nhất đối với mỗi f, nghĩa là trong trường hợp này toán tử I + A có toán
tử ngược.
Định lý 1.4.3. (Định lý đảo của định lý 1.4.2
Nếu phương trình x+Ax = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 thì phương trình x+Ax = f
có nghiệm với mọi f.