Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua việc dạy giảng một số dạng toán của nội dung hình học ở tiểu học

1

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học s phạm hà Nội 2






Bùi Thị Sao





Phát huy tính tích cực của học sinh
thông qua việc dạy giải một số dạng
toán có nội dung hình học
ở tiểu học







Luận văn thạc sĩ Giáo dục học

Hà Nội, 2009



2

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học s phạm hà Nội 2





Bùi Thị Sao




Phát huy tính tích cực của học sinh
thông qua việc dạy giải một số dạng
toán có nội dung hình học
ở tiểu học

Chuyên ngành: Giáo dục học (Bậc Tiểu học)
Mã số : 60 46 01




Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Phụ Hy



Hà Nội, 2009


3
Lời cảm ơn


Bằng sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ, chỉ bảo tận
tình của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy tôi đã hoàn thành luận văn:
Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua việc dạy giải một
số dạng toán có nội dung hình học ở tiểu học. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hớng dẫn và toàn thể các thầy cô
trong trờng ĐHSP Hà Nội 2.
Đồng thời, tôi xin gửi lời ảm ơn tới các bạn bè đồng
nghiệp, các em học sinh của trờng Tiểu học Cẩm Vũ Cẩm
Giàng Hải Dơng đã tạo điều kiện cho tôi khảo sát thực tế.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!


Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2009

Tác giả luận văn




Bùi Thị Sao







4
Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài: Phát huy tính tích cực của học
sinh thông qua việc dạy giải một số dạng toán có nội
dung hình học ở tiểu học là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, kết quả luận văn là trung thực, cha từng đợc ai
công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào khác.


Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2009
Tác giả luận văn




Bùi Thị Sao

5
Mục lục
Trang
mở đầu
5
1. Lí do chọn đề tài
5
2. Mục đích nghiên cứu
6
3. Nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu
6
4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
7
5. Giả thuyết khoa học
7
6. Phơng pháp nghiên cứu
7
7. Đóng góp của đề tài
7

8. Cấu trúc của luận văn
8
nội dung

9
Chơng 1: Cơ sở lý luận
9
1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học
9
1.2. Một số yếu tố toán học hiện đại
10
1.3. Đặc điểm môn toán ở tiểu học
20
1.4. Thực trạng dạy học giải một số dạng toán có nội dung hình học ở
tiểu học
21
1.5. Tổng quan về dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh.
21
Chơng 2: Dạy giải một số dạng toán có nội dung hình học ở tiểu học
theo hớng phát huy tính tích cực học tập của học sinh
28
2.1. Dạng toán nhận dạng các hình hình học
28
2.2. Dạng toán vẽ hình
44
2.3. Dạng toán xếp, cắt, ghép hình
66
2.4. Dạng toán chia một hình hình học theo yêu cầu nào đó
75
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

81
kết luận
92
Tài liệu tham khảo
93





6
mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, trong thời đại bùng nổ thông tin và sự phát triển của cuộc
cách mạng khoa học kỹ thuật, nhiệm vụ của nhà trờng nói chung, trờng tiểu
học nói riêng là giáo dục con ngời phát triển toàn diện. Mục đích cuối cùng
của giáo dục tiểu học là hình thành cơ sở ban đầu về nhân cách ngời công
dân tơng lai. Mục tiêu dạy học toán không vợt ra ngoài mục tiêu chung đó.
Nhiệm vụ của môn toán là rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, suy luận,
phơng pháp học tập, phơng pháp giải quyết vấn đề, phát triển trí thông
minh, cách suy nghĩ độc lập, sáng tạo, linh hoạt, góp phần vào việc hình thành
các phẩm chất của ngời lao động.
Cấp tiểu học là bậc học nền tảng cho các cấp học tiếp theo. Môn toán
có vị trí đặc biệt quan trọng. Nó giúp học sinh có những tri thức cơ sở ban đầu
về các số tự nhiên, số thập phân, các đại lợng đo cơ bản, một số yếu tố hình
học đơn giản và một số yếu tố thống kê mô tả, hình thành ở học sinh kỹ năng
thực hành tính, đo lờng, giải bài toán có nhiều ứng dụng thiết thực trong cuộc
sống, bớc đầu hình thành và phát triển năng lực trừu tợng hoá, khái quát
hoá, kích thích trí tởng tợng, gây hứng thú học tập, phát triển hợp lý khả
năng suy luận, phẩm chất trí tuệ của học sinh ngay từ nhỏ, góp phần rèn luyện

phơng pháp học tập và làm việc khoa học, linh hoạt, sáng tạo.
Sự ra đời của luật phổ cập giáo dục tiểu học cùng kế hoạch phát triển
giáo dục trong những năm tới, đòi hỏi tiểu học phải tạo đợc những bớc
nhảy vọt về chất trong giáo dục toàn diện nhằm tạo ra sản phẩm chất lợng
cao, đáp ứng ngày càng nhiều đơn đặt hàng của toàn xã hội.
ở tiểu học, các yếu tố hình học là một bộ phận gắn bó mật thiết với các
kiến thức số học, các yếu tố đại số, đo lờng, giải toán và một số yếu tố thống
kê mô tả thành môn toán thống nhất. Việc dạy giải một số dạng toán mang nội
dung hình học giúp cho học sinh khắc sâu các khái niệm, kiến thức đã học,

7
đồng thời phát huy khả năng t duy tích cực, độc lập, óc sáng tạo cũng nh
khả năng giải toán ở học sinh.
Tuy nhiên, việc dạy và học giải một số dạng toán mang nội dung hình
học ở tiểu học hiện nay còn sơ sài, qua loa, do đó nhiều giáo viên cũng nh
nhiều học sinh cha tìm ra các phơng pháp giải chung cho mỗi dạng toán đó.
Vì vậy học sinh giải những dạng toán này một cách thụ động, hay nhầm lẫn.
Vấn đề đặt ra là phải đa những phơng pháp giải một số dạng toán
mang nội dung hình học cụ thể vào dạy cho học sinh giải những bài toán đó
một cách tích cực, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn toán ở tiểu học.
Để đáp ứng yêu cầu, nhiệm vụ đó, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này
là: Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua việc dạy giải một số
dạng toán có nội dung hình học ở tiểu học".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu đề tài này là hệ thống hoá và phân tích nội dung,
phơng pháp giải một số dạng toán mang nội dung hình học ở cấp tiểu học,
nhằm phát huy tính tích cực của học sinh trong việc giải toán.
3. Nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài Phát huy tính
tích cực của học sinh thông qua việc dạy giải một số dạng toán có nội dung

hình học".
- Nghiên cứu nội dung chơng trình và phơng pháp dạy học một số
dạng toán mang nội dung hình học ở cấp tiểu học nhằm phát huy tính tích cực
của học sinh.
- Đa ra một số biện pháp phát huy tính tích cực của học sinh thông qua
việc giải một số dạng toán mang nội dung hình học góp phần nâng cao kỹ
năng giải toán cho học sinh.



8
4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung chơng trình về việc dạy học giải một số dạng
toán mang nội dung hình học ở cấp tiểu học nhằm phát huy tính tích cực của
học sinh trong việc giải toán.
Giới thiệu một số phơng pháp giải các dạng toán mang nội dung hình
học ở tiểu học nhằm đạt kết quả cao trong việc dạy, học toán.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu biết kết hợp giữa các phơng pháp dạy học truyền thống, hiện đại
và tâm lý học trong dạy học sẽ phát huy đợc tính tích cực của học sinh tiểu
học thông qua việc giải một số dạng toán mang mội dung hình học, nhờ đó
học sinh sẽ nâng cao kỹ năng giải toán.
6. Phơng pháp nghiên cứu

6.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu một số tài liệu về lý luận dạy học và giáo trình phơng pháp
dạy học toán ở tiểu học. Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu hớng dẫn giảng
dạy môn toán ở tiểu học và một số sách tham khảo, sách bồi dỡng giáo viên.
6.2. Điều tra quan sát
Tiến hành tìm hiểu tình hình dạy học và giải một số dạng toán mang nội

dung hình học qua thực tế giảng dạy, trao đổi với giáo viên trực tiếp đứng lớp,
trao đổi với học sinh và quan sát dự giờ.
6.3. Tổng kết kinh nghiệm
Trên cơ sở phân tích tình hình thực tế, thu thập các ý kiến đóng góp của
giáo viên, thu thập và tổng kết một số tài liệu. Từ đó đề xuất việc dạy học giải
một số dạng toán mang nội dung hình học.
7. Đóng góp của đề tài
Hệ thống đợc nội dung và đa ra các phơng pháp giải một số dạng
toán mang nội dung hình học, mỗi dạng toán đó cung cấp cho học sinh
phơng pháp giải cụ thể, bài toán có thể giải theo nhiều cách, từ đó học sinh

9
có thể chọn cách giải tốt nhất, nhằm phát huy tính tích cực của học sinh trong
học tập.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận thì luận văn đợc trình bày gồm 3
chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý luận.
1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học
1.2. Một số yếu tố toán học hiện đại
1.3. Đặc điểm môn toán ở tiểu học
1.4. Thực trạng việc dạy học giải một số dạng toán có nội dung hình
học ở tiểu học.
1.5. Tổng quan về dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh
1.5.1. Thế nào là tính tích cực?
1.5.2. Thế nào là dạy học phát huy tính tích cực của học sinh?
1.5.3. Những hoạt động dạy học phát huy tính tích cực của học sinh.
1.5.4. Vai trò của giáo viên và học sinh trong dạy học phát huy tính tích
cực.
1.5.5. Dạy học phát huy tính tích cực của học sinh thông qua việc giải

toán
Chơng 2: Dạy học một số dạng toán có nội dung hình học ở tiểu học theo
hớng phát huy tính tích cực học tập của học sinh
2.1. Dạng toán nhận dạng các hình hình học
2.2. Dạng toán vẽ hình
2.3. Dạng toán xếp, cắt, ghép hình
2.4. Dạng toán chia một hình hình học theo yêu cầu nào đó.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm



10
nội dung
Chơng 1: Cơ sở lý luận

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học
Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học ở các lớp đầu cấp học là
năng lực phân tích, tổng hợp cha phát triển, tri giác thờng dựa vào hình
dạng bên ngoài, gắn với hành động trên vật thật, nhận thức chủ yếu dựa vào
cái quan sát đợc, cha biết phân tích để nhận ra thuộc tính đặc trng nên khó
phân biệt các hình khi thay đổi vị trí của chúng trong không gian hay thay đổi
kích thớc. Đến các lớp cuối cấp học, trí tởng tợng của học sinh đã phát
triển song vẫn còn là một dãy phán đoán, nhiều khi còn cảm tính.
Khả năng phân tích của học sinh tiểu học còn kém, các em thờng tri
giác trên tổng thể. Tri giác không gian chịu nhiều tác động của trờng tri giác
gây ra các biến dạng, các ảo giác. So với học sinh ở đầu cấp tiểu học, các em
học sinh ở lớp cuối tiểu học có các hoạt động tri giác đã phát triển và đợc
hớng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác dần.
Chú ý của học sinh tiểu học chủ yếu là chú ý chủ định nên các em hay
chú ý đến cái mới lạ, hấp dẫn, cái đập vào trớc mắt hơn là cái cần quan sát.

Đối với học sinh tiểu học thì trí nhớ trực quan, hình tợng phát triển mạnh hơn
trí nhớ câu chữ trừu tợng, trí tởng tợng phụ thuộc vào hình mẫu có thực, t
duy cụ thể là chủ yếu, còn t duy trừu tợng dần dần hình thành. Do đó, việc
nhận thức các khái niệm toán học nói chung và các khái niệm hình học nói
riêng đối với các em còn phải dựa vào mô hình vật thật. Học sinh chỉ có thể có
biểu tợng chính xác về các hình hình học thông qua hoạt động thực tiễn (các
thao tác cụ thể) trên mô hình và hình học. Trên cơ sở đó trí tởng tợng của
học sinh đợc phát triển.
Tuy nhiên, đặc điểm tâm lý của học sinh tiểu học đó là ham học hỏi,
thích tìm tòi, khám phá cái mới lạ nhng cha kiên trì, khả năng thực hiện

11
hành động chính xác còn ở mức thấp.Mặt khác, để giải các bài toán mang nội
dung hình học ở tiểu học yêu cầu học sinh không những phải nắm những biểu
tợng chính xác về hình hình học mà còn phải vân dụng hết sức linh hoạt,
sáng tạo những kiến thức đã đợc cung cấp về hình học.
Với các đặc điểm nhận thức, tâm lý của học sinh tiểu học nh đã nêu, ta
phải lựa chọn để sử dụng phơng pháp dạy học nào trong quá trình giải một số
dạng toán mang nội dung hình học để đạt đợc hiệu quả cao, làm thế nào để
phát huy đợc tính tích cực học tập của học sinh tiểu học, giúp học sinh hiểu
đợc bản chất của bài toán, biết giải các bài toán một cách logic đồng thời
phát triển năng lực t duy sáng tạo của học sinh tiểu học.
1.2. Một số yếu tố toán học hiện đại
1.2.1. Lớp tập hợp
1.4.1. Lớp tập hợp
1 4.1.1. Định nghĩa
- Cho X là một tập hợp, ta gọi là lớp tập hợp mà phần tử của nó là tập
hợp con của tập X. Khi đó tập X còn đợc gọi là không gian. Lớp tập hợp
đợc kí hiệu bằng chữ in hoa.
1.4.1.2. Đại số tập hợp

* Định nghĩa: Một lớp tập hợp C



đợc gọi là 1 đại số tập hợp hay
đơn giản là một đại số, nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i, Nếu A

C

X\ A

C ;
i, Mọi họ hữu hạn bất kỳ

(A
j
)
1
n
j


C

1
n
j

A

j


C .
* Tính chất:
1) Với mọi họ hữu hạn (A
j
)
1
n
j


C
1
n
j

A
j

C .
Thật vậy!
1
n
j

A
j

X

1
n
j

A
j
=X\(X\
1
n
j

A
j
)=X\(
1
n
j

(X\A
j
))

12
A
j

C (theo giả thiết)

X\A
j

C ( j =1,2,3,,,n) (theo định nghĩa).


1
n
j

(X\A
j
)

C

X\(
1
n
j

(X\A
j
))

C

1
n
j

A
j

C .
2) Nếu A, B

C

A\B

C , B\A

C
Thật vậy: A\B=A

(X\B) mà A

C , X\B

C (theo định nghĩa)


A

(X\B)

C

A\B

C .
3)


C .
Thật vậy, ta thấy A

C

A\A

C




C .
4) X

C .
Thật vậy,


C (tính chất 3)
X\


C

X

C
Định lý: Giả sử lớp M



gồm những tập con nào đấy của tập X (nói
chung không phải là một đại số). Khi đó tồn tại duy nhất một đại số C (M)
C (M)

M và

C
,


M

C (M)

C
,
.
Đại số C (M) đợc gọi là đại số sinh bởi M.
Ví dụ: Giả sử C gồm tập X và tập

, C ={X,

}.

Dễ dàng kiểm tra C là một đại số.
1.4.1.3.

đại số
* Định nghĩa: Lớp tập hợp F



(gồm các tập con của tập X) gọi là 1

đại số nếu F thỏa mãn các điều kiện sau:
i, A

F

X\ A

F ;
ii, Với dãy đếm đợc

(A
n
)
1n




F

1
n



A
n


F .
Nhận xét: Ta nhận thấy một

- đại số cũng là một đại số.
Do đó

- đại số F có các tính chất của một đại số. Ngoài ra một

-
đại số có tính chất sau:

13
Tính chất 5:

(A
j
)
1j

F

1
n



A
n

F .
Ví dụ: Đặt F = 2
x
(họ tất cả các tập con của tập X), dễ dàng kiểm tra
2
x
là một

- đại số.

1.2.2. Đại lợng- phép đo đại lợng
1.2.2.1.Đại lợng
Khái niệm: Để hiểu rõ đợc phép đo đại lợng, trớc tiên ta phải hiểu
đợc đại lợng là gì?
Ta gọi là đại lợng một tập hợp X cùng với một quan hệ tơng đơng
trên X. Kí hiệu (X,

).
Nh vậy, khi có một đại lợng (X,

) quan hệ

trên X xác định sự chia
lớp trên tập hợp X.
Tập thơng X/

gọi là tập hợp các giá trị của đại lợng (X,

):
Với x

X, giá trị của x theo đại lợng (X,

) kí hiệu là
x
và
x

X/

.
Với x,y

X, ta nói x có cùng giá trị theo đại lợng (X,

) với y khi và
chỉ khi x

y.

Ví dụ: Gọi A là tập hợp các đoạn thẳng. Với x,y

A , x

y nếu x có độ
dài bằng độ dài của y. Quan hệ

là quan hệ tơng đơng.
Vậy (A ,

) là một đại lợng.
a. Đại lợng vô hớng
Ta gọi là đại lợng vô hớng một đại lợng (X,

) cùng với một quan
hệ thứ tự toàn phần

trong X/

. Kí hiệu (X,

,

).
Ví dụ: Đại lợng (A ,

) xét trong ví dụ trên. Với
x
,
y

A /

, x

y nếu
x không dài hơn y. Quan hệ

không phụ thuộc vào việc lựa chọn các phần tử
đại diện của hai lớp
x
,
y
. Quan hệ

là quan hệ thứ tự toàn phần trong A /

.
Vậy (A ,

,

) là một đại lợng vô hớng.

14
b. Đại lợng cng đợc
Ta gọi là một đại lợng cộng đợc (X,

) sao cho X/

là một vị nhóm
cộng giao hoán. Kí hiệu (X,

,+).
Ví dụ: Quan hệ bằng nhau (toàn đẳng)

giữa hai đoạn thẳng là một đại
lợng trong tập hợp E các đoạn thẳng.
Với
x
,
y

E/

, xác định a+b nh sau:
Trên đờng thẳng

lấy AB

a
, BC

b
sao cho hai véctơ
,AB


BC

là
hai véctơ cùng phơng, cùng chiều. Khi đó AC

a
+
b
. Việc xác định a+b
không phụ thuộc vào lấy đờng thẳng

.
(E,

,+) là một nhóm cộng giao hoán. Do đó (E,

,+) là một đại lợng
cộng đợc.
c. Đại lợng vô hớng cng đợc
Ta gọi là đại lợng vô hớng cộng đợc một đại lợng (X,

) thỏa mãn
các điều kiện sau:
i/ Có quan hệ

trong X/

sao cho (X,

,

) là một đại lợng vô

hớng;
ii/ Có phép cộng trong X/

sao cho (X,

,+) là một đại lợng cộng
đợc;
iii/ (X,

,+,

) là một vị nhóm cộng sắp thứ tự Acsimet mà mọi phần tử
khác không đều dơng.
Kí hiệu: (X,

,+,

) là đại lợng vô hớng đếm đợc.
Ví dụ: Xét tập E với quan hệ tơng đơng

và phép cộng cùng quan
hệ

:
Với
a
,
b

E/

, trên tia 0

lấy OA

a
, OB

b
, nếu và chỉ nếu điểm B
trùng với điểm A hoặc điểm B không thuộc đoạn OA.
Quan hệ

không phụ thuộc vào việc lựa chọn tia 0

.
Ta có: (E,

,

) là một đại lợng vô hớng.
(E,

,+) là một đại lợng cộng đợc.

15
(E,

,+,

) là một nhóm cộng sắp thứ tự Acsimet mà mọi phần tử khác
không đều dơng.
(E,

,+,

) là một đại lợng vô hớng cộng đợc.


1.2.2.2. Phép đo đại lợng
*Định nghĩa: Cho G là một đại lợng vô hớng cộng đợc. R
+
là vị nhóm
cộng sắp thứ tự Acsimet mà phần tử khác không đều dơng. Ta gọi là phép đo
đại lợng G mọi đơn cấu đơn điệu m: G

R
+
đi từ vị nhóm cộng sắp thứ tự G
đến vị nhóm cộng sắp thứ tự các số thực không âm với một phần tử
e
G sao
cho m(
e
) =1.
* Tính chất: Với một giá trị
a
G, số tơng ứng m(
a
) trong phép đo m đợc

gọi là số đo a. Phần tử
e
G để cho m(
e
) =1 đợc gọi là đơn vị của phép đo.
Từ định nghĩa trên ta thấy, phép đo đại lợng chẳng qua là một ánh xạ đi từ G
đến R
+
thỏa mãn tính chất sau:
i,

e


G m(
e
)=1
ii,

a,b

G
Nếu a

b thì m(a)

m(b)
iii,

a,b

G
M (a+b) = m(a) + m(b)
iiii,

a,b

G
Nếu a

b thì m(a)

m(b)
Cần lu ý rằng: Các phép toán trên tập G với phép toán trên tập R
+
là khác
nhau.
1.2.3.Độ đo- phép đo
1.2.3.1. Hàm tập hợp
Định nghĩa: Họ M


gồm những tập con của tập X nào đấy. Ta gọi là
hàm tập hợp với mọi ánh xạ

, ánh xạ M vào tập số thực R.
Ví dụ: Các đại lợng độ dài, diện tích, thể tích đều là hàm tập hợp.

16
1.2.3.2. Độ đo trên một đại số tập hợp

* Định nghĩa: Cho
c
là một đại số trên X. m :
c



đợc gọi là một độ đo
trên
c
nếu thoả mãn các điều kiện sau:
a)
c
là một đại số
b) (

A

c
), m(A)

0, m(

) = 0
c) (

A
n
)
1n

c,
A
n


A
k
=

(n

k)
1
j



A
j
=
c
thì m(

A
j
) =

1
j



m(A
j
) ( Tính chất cộng tính)
Nếu m (X)<

thì m đợc gọi là độ đo hữu hạn
Nếu m (X)=

, X=
1
n



X
n
, X
n


c
, m(X
n
) <

thì m đợc gọi là độ đo


hữu hạn.
*Tính chất:
Tính chất 1: (

A, B

c ,
B

A)

m(B)

m(A)
Tính chất 2: (

A, B

c ,
B

A, m(B) <

)

m(A \ B) = m(A)- m(B)
Tính chất 3: (

A
n
)
1n



C, , A

c
, A
n


c
(n= 1,2,), sao cho A

1
n



A
n

thì m(A)

1
n

m( A
n
).
Tính chất 4: (

A
n
)
1n



C , A

C , A
n

A
k
=

, (n

k),
1
n

A
n

A
thì
1
n



m( A
n
)

m(A) .
Tính chất 5: Nếu dãy (

A
n
)
1n



c
mà m(A
n
)= 0

n
n 1
A




c
thì
1n
m



(A
n
) = 0

17
Tính chất 6: Nếu có hai tập A, B

c,
trong đó m(B) = 0
thì m(A) = m(A

B) = m(A\ B)
Tính chất 7: Giả sử có một dãy các tập (

A
n

)
1n




c
,
A
1


A
2



A
n


1
n



A
n

c

thì m (
n
n 1
A



) =
lim
n

m(A
n
)
Tính chất 8: Nếu(

A
n
)
1n




c
, A
1


A

2




A
n


, m(A
1
)<


thì m(
1
n



A
n
) =
lim
n

m(A
n
)
Hai tính chất 7 và 8 đợc gọi là hai tính chất liên tục của độ đo.

1.2.3.3. Thác triển độ đo
* Độ đo ngoài: Cho X là một tập nào đó khác tập rỗng, kí hiệu 2
x
là lớp tất cả
các tập hợp con của X, M
*
là hàm tập hợp ánh xạ 2
x
vào tập số thực R, M
*

đợc gọi là độ đo ngoài trên X, M
*
nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i, (

A

X) M
*
(A)

0;
ii, M
*
(

)=0;
iii, (

A

X), (

A
n
)
1n



2
x
, A

1
n



A
n
thì M
*
(A)

1
n

M
*
( A
n
).
Từ định nghĩa trên ta suy ra tính chất đơn điệu sau:

A,B

C , A

B ta đều có M
*
(A)

M
*
(B).
Định lý: Cho M
*
là độ đo ngoài trên X, ký hiệu L gồm tất cả các tập con A
của tập X, thỏa mãn hệ thức:
(

E

2
x
)M

*
(E)= M
*
(E

A)+M
*
(E\A) (b). Khi đó L là một

- đại
số và độ đo ngoài M
*
khi chỉ xét trên L , kí hiệu M
*
L là một độ đo trên L
(hay độ đo trên X).

18
Đặt M = M
*
L thì M đợc gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài M
*
.
Còn tập hợp A thỏa mãn điều kiện (b) gọi là tập M
*
- đo đợc.
Định lý thác triển độ đo: Cho m là độ đo trên đại số C trong đó C là một lớp
khác rỗng các tập con của tập X. Với mỗi tập con A của tập X ta đặt:
M
*

(A) = inf
1
1
( ); ,
i i i
i
i
m C A








= inf
1
1
( ); ,
i i i
i
i
m C A

-Cách viết thứ hai với quy ớc nếu chỉ có hữu hạn các
i

mà hợp của chúng
chứa A thì ta bổ sung các tập rỗng để đợc một dãy các tập
i

.
Khi đó M
*
là một độ đo ngoài trên X.
Kí hiệu L là lớp tất cả các tập A

X thỏa mãn các điều kiện trên thì độ ngoài
M
*
L là một độ đo, còn L là một

- đại số. Hơn nữa chứng minh đợc L

C
và (A

C ), M (A)=m(A), nên độ đo M =M
*
L mở rộng thực sự độ đo m từ
đại số C

- đại số L và gọi là độ đo thác triển của độ đo m. Hơn nữa có thể
chứng minh đợc L chứa

- đại số sinh bởi C :L

F (C)

C .
* Định nghĩa độ đo đủ: Độ đo M trên tập X đợc gọi là độ đo đủ, nếu đối với
tập bất kỳ A

L có M (A)=0 đều có (

B

A), B

L , M (A)=0. Độ đo thác
triển có các tính chất sau:
Tính chất 9: Độ đo M cảm sinh bởi độ đo ngoài M
*
bao giờ cũng là độ đo đủ.
Tính chất 10: Khi m là độ đo hữu hạn (hay

hữu hạn) thì độ đo thác triển M
cũng là độ đo hữu hạn (hay

hữu hạn).
Tính chất 11: Với mọi tập hữu hạn phần tử hay đếm đợc đều có độ đo. Độ

đo thác triển M còn gọi là độ đo Lebesgue. A

L gọi là tập đo đợc
Lebesgue hay đo đợc (L).
1.2.4. Cơ sở của phép đếm
1.2.4.1. Hai nguyên lí đếm cơ bản
a) Quy tắc cộng

19
Số lợng cách chọn một phần tử từ hai tập hợp không giao nhau bằng
tổng của các bảng số bằng hai tập hợp đó. Điều đó có nghĩa là: A

B =

thì
Card(A

B) = CardA + CardB
Một cách tổng quát: Số lợng cách chọn một phần tử từ m ( m

N*,
m

2) rời nhau và hữu hạn là tổng các lực lợng của m tập hợp.
A
1
, A
2
,, A
m

, các tập hợp này đôi một không giao nhau: A
j

A
k
=

( j

k)
thì Card (

n
k 1
A
k
)= CardA
1
+ CardA
2
++ Card
n
Ngời ta có thể phát biểu quy tắc dới dạng khác nh sau:
Giả sử có một nhiệm vụ nào đó đợc tách ra thành m việc( m

N: m

2: A
1
,

A
2,,
A
m
). Mỗi việc A
k
có thể làm bằng n
k
cách và không có việc nào có thể
làm đồng thời thì sẽ có n
1
+ n
2
+ n
m
cách thực hiện nhiệm vụ đã cho. Quy
tắc này đã ngầm giới thiệu cho học sinh từ lớp 1, nó đợc thể hiện ở cách đếm
thêm.
b) Quy tắc nhân
Số lợng cách chọn một cặp phần tử có thứ tự trớc- sau từ hai tập hợp
bằng số lợng, cách chọn thành phần đầu tiên nhân với số lợng cách chọn
của thành phần thứ hai. Nghĩa là: Có hai tập hợp hữu hạn A, B thì
Card(A x B) = Card A x Card B (quy tắc nhân).
Tổng quát: Số lợng cách chọn một bộ m phần tử có thứ tự từ m tập hợp:
A
1
, A
2
, , A
m

hữu hạn( m

N; m

2) thì Card( A
1


A
2




A
m
) = CardA
1



CardA
2




CardA
m
.

Quy tắc nhân có thể diễn đạt một cách khác nh sau:
Giả sử một nhiệm vụ nào đó đợc thi hành bằng cách thực hiện m việc
A
1
, A
2
, , A
m
(m

2). Nếu việc A
k
có thể thực hiện bằng n
k
cách sau khi các
việc A
1
, A
2
, , A
k-1
đã đợc thực hiện (k

2) thì có: n
1


n
2

n
m
cách
thực hiện nhiệm vụ đã cho.

20
Tuy nhiên, nhiều bài toán đếm phức tạp không thể giải quyết đợc nếu
chỉ sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân. Trong nhiều trờng hợp ta có thể
giải quyết bài toán đó bằng cách sử dụng cả hai quy tắc cộng và nhân.
1.2.4.2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
*Hoán vị: Hoán vị của một tập hợp các đối tợng khác nhau là một cách sắp
xếp có thứ tự các đối tợng đó. Số hoán vị của n phần tử đợc kí hiệu là: P
n

(P
n
= n!), ( n

N*), 0! = 1.
- Ví dụ: 6 ngời đứng thành 1 hàng ngang để chụp ảnh. Hỏi có thể bố trí đợc
bao nhiêu kiểu?
áp dụng công thức ta có:
P
6
= 6! = 6

5

4

3

2

1 = 720 (kiểu).
* Chỉnh hợp: Một tập hợp có n phần tử ( n

N*) một cách sắp xếp có thứ tự k
phần tử
( 0 < k

n ) của tập hợp n phần tử đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần
tử. Kí hiệu số các chỉnh hợp:
n
k
A
= n(n 1) (n- k+1) =
)!(
!
kn
n


- Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ khác nhau trong 11 cầu thủ của đội
để đá luân lu 11m có thứ tự?
áp dụng công thức ta có:
A

11
5
=
11! 11! 11 10 9 8 7 6!
( )! 6! 6!n k



11

10

9

8

7=55440 (cách).
*Tổ hợp: Một tập hợp có n phần tử ( n

N*). Một tổ hợp chập k ( 0

k

n )
của tập hợp đã cho là cách chọn không có thứ tự k phần tử của tập hợp đó.

C
k
n
=

!
)1 (1(
k
knnn

=
)!(!
!
knk
n


- Ví dụ: Có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số 10 cầu thủ của 1 đội quần vợt để
đi thi đấu?
áp dụng công thức ta có:

21
C
k
n
=
10! 10 9 8 7 6 5! 10 9 8 7 6
5!5! 5 4 3 2 1 5! 5 4 3 2 1



252 (cách)
1.2.5. Các phơng pháp đếm khác
1.2.5.1. Sơ đồ cây( biểu đồ cây)
Có thể mô tả sơ đồ cây nh sau: Một cây bao gồm một gốc và các cành

đi ra từ gốc, các cành phụ đi ra từ điểm cuối của cành khác. Để sử dụng sơ đồ
cây trong bài toán đếm hình ta dùng cành biểu diễn mỗi lựa chọn (cách chọn),
các kết cục bằng các lá đó là điểm cuối của cành, không có cành khác bắt đầu
từ nó (trên nó).
1.2.5.2. Nguyên lý bù trừ
Giả sử một nhiệm vụ nào đó đợc tách ra làm 2 việc, hai việc đó có thể
làm đồng thời. Số cách thực hiện nhiệm vụ đã cho bằng tổng số cách làm mỗi
việc trong hai việc đó rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc.
Cụ thể là: Một việc nào đó tách thành hai việc A, B thì số cách thực
hiện nhiệm vụ đó bằng tổng số cách thực hiện từng nhiệm vụ trừ đi số cách
thực hiện đồng thời hai nhiệm vụ đó:
Card(A

B) = CardA + CardB- Card(A

B)
1.2.5.3. Nguyên lý Diriclet
Nếu có k+ 1 hoặc nhiều hơn đồ vật đợc đặt vào trong k hộp (k

N
*
) thì
có ít nhất một hộp chứa hai hoặc nhiều hơn hai đồ vật.
Ví dụ: Bài thi môn tiếng Anh đợc chấm theo thang điểm từ 1 đến 100. Một
lớp học sinh cần phải có bao nhiêu sinh viên để đảm bảo có ít nhất hai sinh
viên nhận cùng một điểm?
Ta thấy từ 0 đến 100 có 101 số khác nhau (nghĩa là có 101 điểm khác
nhau) nên để đảm bảo có ít nhất hai sinh viên nhận cùng điểm thì lớp học đó
phải có: 101 + 1 = 102 (sinh viên).
1.3. Đặc điểm môn Toán ở tiểu học

22
Môn toán ở tiểu học là một môn học thống nhất không đợc chia thành
các phân môn nh ở môn tiếng việt. Chơng trình môn toán ở tiểu học gồm
các tuyến kiến thức chính sau: số học (các số tự nhiên, thập phân, phân số);
các yếu tố đại số; các yếu tố hình học; đại lợng; một số yếu tố thống kê mô
tả; giải toán. Các tuyến kiến thức này nói chung không đợc trình bày thành
từng chơng, từng phần riêng biệt mà chúng đợc sắp xếp xen kẽ với nhau tạo
thành một sự kết hợp hữu cơ và hỗ trợ đắc lực lẫn nhau trên nền tảng của các
kiến thức số học. Sự sắp xếp xen kẽ này không những đợc thể hiện trong cấu
trúc chơng trình của toàn bộ chơng trình và sách giáo khoa, mà còn đợc
thể hiện trong từng bài, từng tiết học. Trong mỗi bài thì việc giải bài toán lại
chiếm một thời lợng khá lớn (khoảng 2/3 tiết học) đó là hình thức hoạt động
chủ yếu trong hoạt động học toán của học sinh. Các bài toán ở tiểu học là
phơng tiện rất hiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán
học vào thực tiễn. Trong thực tiễn dạy học, các bài tập toán có thể là phơng
tiện hình thành tri thức mới, có thể dùng để củng cố kiến thức mới hoặc dùng
để vận dụng vào thực tiễn cuộc sống. Hoạt động giải bài tập toán học là điều
kiện thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở phổ thông đặc biệt là cấp tiểu
học: Các khái niệm toán học không đợc định nghĩa mà chỉ thông qua biểu
tợng để giúp học sinh có kiến thức về khái niệm đó. Vì vậy, tổ chức có hiệu
quả việc dạy giải các bài tập toán học có vai trò quyết định đối với việc dạy
học toán ở tiểu học.
1.4. Thực trạng việc dạy học giải một số dạng toán mang nội
dung hình học ở Tiểu học.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: Hiện nay ở tiểu học, các bài
toán mang nội dung hình học đợc sắp xếp xen kẽ với các kiến thức khác và
luôn đợc đa vào cuối hệ thống bài tập của bài học vì thế mà giáo viên
thờng tổ chức cho học sinh giải qua loa, sơ sài do thời lợng tiết học đã hết

23
nên giáo viên cũng nh học sinh cha tìm ra cách giải cụ thể cho một số dạng
toán mang nội dung hình học. Do đó, học sinh thụ động, không nắm vững
kiến thức, kỹ năng và dễ nhầm lẫn khi giải các dạng toán đó.
1.5. Tổng quan về dạy học phát huy tính tích cực học tập của
học sinh
1.5.1. Thế nào là tính tích cực?
Tích cực là hăng hái, năng nổ, làm hết sức mình khác với thụ động ở
trạng thái chịu sự chi phối, tác động của bên ngoài.
Tích cực: có ý nghĩa, có tác dụng khẳng định, thúc đẩy sự phát triển, tỏ
ra chủ động có những hoạt động nhằm tạo ra sự biến đổi theo hớng phát
triển. Đem hết khả năng và tâm trí vào việc làm.
Tính tích cực của con ngời biểu hiện trong hoạt động. Hoạt động học
tập thực chất là hoạt động nhận thức. Khác với quá trình nhận thức nghiên cứu
khoa học, quá trình nhận thức trong học tập không nhằm phát hiện những điều
loài ngời cha biết mà nhằm lĩnh hội những tri thức loài ngời đã tích luỹ
đợc. Tuy nhiên, trong học tập học sinh cũng phải khám phá ra những hiểu
biết mới đối với bản thân. Học sinh sẽ thông hiểu, ghi nhớ những gì đã lĩnh
hội đợc qua hoạt động chủ động, nỗ lực của chính mình. Mác quan niệm:
Mỗi ngời tự làm ra mình bằng chính hoạt động của mình
Tính tích cực nhận thức trong hoạt động học tập liên quan mật thiết với
động cơ học tập. Động cơ học tập tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tính
tự giác. Hứng thú và tự giác là những yếu tố quan trọng tạo nên tính tích cực.
Tích cực trong học tập thờng đợc biểu hiện nh: Hăng hái trả lời các
câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, nêu thắc mắc hay đề
nghị giải thích những vấn đề cha đủ rõ; chủ động vận dụng kiến thức, kỹ
năng đã học để nhận thức vấn đề mới, tập trung chú ý vào vấn đề đang học,
kiên trì thực hiện các bài tập, không nản trớc những khó khăn. Tính tích cực

24
học tập của học sinh đạt những cấp độ từ thấp lên cao nh: bắt chớc, tìm tòi,
sáng tạo.
Một học sinh chăm chú nghe giáo viên giảng cách giải một bài toán, cố
gắng để hiểu đợc cách giải đó. Lúc đó, có thể nói đến t duy tích cực. Nếu
giáo viên thay việc giải thích cách giải bằng việc yêu cầu học sinh tự phân tích
lời giải trong sách giáo khoa, tự tìm hiểu cách giải đó thì trong trờng hợp này
có thể nói đến t duy độc lập ( tất nhiên điều đó cũng là t duy tích cực).
Có thể nói đến t duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm ra cách
giải mà học sinh đó cha biết. Chỉ có thể có t duy sáng tạo khi học sinh đã có
t duy tích cực và độc lập. Rèn luyện kỹ năng cộng tác độc lập cho học sinh
để học sinh tự lực chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả nhất để học sinh hiểu
kiến thức một cách sâu sắc và có ý thức. Chủ thể sử dụng thông tin xuất phát
từ hành động của bản thân mình tốt hơn là thông tin đợc áp đặt ở bên ngoài.
Theo các nhà tâm lý học, các kiến thức đợc biến đổi t duy và trong ý
nghĩa đó thì kiến thức là vũ khí của t duy, chúng xuất hiện dới dạng đã đợc
cải biến. Do đó tính tích cực trí tuệ của học sinh đợc bộc lộ ở khả năng biến
đổi các kiến thức đã cho phù hợp với các mục đích và nghiên cứu cụ thể. Vì
vậy, trong quá trình lĩnh hội cần phân biệt hai khía cạnh: cái gì đã cho (nội
dung nào) và nội dung đó thực sự đợc lĩnh hội nh thế nào (bằng các phơng
tiện t duy nào).
1.5.2. Thế nào là dạy học phát huy tính tích cực của học sinh ?
Hoạt động dạy của thầy và học của trò đợc tiến hành nhằm mục đích
giáo dục. Hoạt động học tập của học sinh chính là hoạt động nhận thức. Hoạt
động này chỉ có hiệu quả khi học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, tự
giác, với một động cơ nhận thức đúng đắn.
Kết quả học tập của học sinh là thớc đo kết quả hoạt động của giáo
viên và học sinh. Trong quá trình dạy học, tập trung là bản thân ngời học,
chứ không phải là ngời dạy tức là hoạt động dạy học cần dựa trên nhu cầu,

25
hứng thú, thói quen và năng lực của ngời học. Nh vậy: mục đích của dạy
học ở đây là trẻ em phát triển trên nhiều mặt chứ không chỉ nhằm lĩnh hội
kiến thức. Cần thật sự coi trọng quá trình học tập của học sinh, tức là coi trọng
việc hình thành những kỹ năng tự học và có khả năng đáp ứng yêu cầu của
dòng tri thức không ngừng gia tăng.
Trong khi dạy học, cần tạo điều kiện cho học sinh chủ động tiếp thu
kiến thức, kỹ năng, biến những kiến thức, kỹ năng đó thành cái vốn, tài
sản của mình. Học tập nh vậy khiến sự hiểu biết của các em đợc vững chắc
hơn, hứng thú của các em đợc tăng cờng hơn.
Khi dạy học, hoạt động t duy của học sinh đợc khơi dậy, phát triển và
coi trọng. Đó chính là dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, trái ngợc
với cách dạy học cũ: học sinh lĩnh hội tri thức một cách thụ động.
Dạy học phát huy tính tích cực và tơng tác của học sinh phù hợp với
quy luật của hoạt động học tập: hoạt động học tập đòi hỏi ở ngời học tính tự
giác, tích cực và độc lập không ai có thể học tập thay mình. Muốn học tập
có kết quả, cần sử dụng tối đa các giác quan khác nhau. Thị giác, thính giác
rất quan trọng cho việc học tập.
Trong dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, học sinh giữ vai trò
chủ động, ngời học không tiếp nhận thông tin một cách bị động mà chủ động
lĩnh hội thông tin, suy nghĩ, tìm tòi, khám phá các khía cạnh khác nhau của
thông tin, sắp xếp lại thông tin.
Dạy học phát huy tính tích cực của học sinh giúp học sinh:
- Nắm vững, hiểu sâu và bền vững hơn về kiến thức.
- Luôn luôn củng cố và phát triển cách học của mình.
- Phát triển những phẩm chất đạo đức của cá nhân nh: tính kiên trì,
lòng nhẫn nại, tinh thần trách nhiệm, ý thức tập thể.
- Phát triển đợc tinh thần hợp tác và tơng trợ lẫn nhau, tôn trọng lẫn
nhau.