Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng (LV00166)

1

Lời cảm ơn
Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình, chu
đáo và tỉ mỉ của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi, ngời thầy đ hớng dẫn và
truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa
học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.NGƯT
Nguyễn Huy Lợi.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Sau
đại học của Trờng ĐHSP Hà Nội 2, đ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả kết
thúc tốt đẹp chơng trình học cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng GD huyện Sóc Sơn, Trờng THCS
Mai Đình đ tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả công tác, học tập và hoàn
thành tốt luận văn.
Hà Nội, năm 2009
Tác giả


2

LờI cam ĐOAN
Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dới sự
hớng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Các kết quả trong luận văn
đợc trích dẫn rõ ràng, trung thực và luận văn không trùng lặp với những đề tài
khác.
Hà Nội, năm 2009
Tác giả

3

MụC LụC
Mở đầu. 4
Chơng 1. Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác.7
1.1. Hàm chỉnh hình..7
1.1.1. Định nghĩa đạo hàm 7
1.1.2. Điều kiện Cauchy- Riemann 8
1.1.3. Định nghĩa hàm chỉnh hình 8
1.1.4. ý nghĩa hình học của acgumen và môđun của đạo hàm 9
1.2. ánh xạ bảo giác . 11
1.3. Hàm phân tuyến tính ..12
1.4. Các nguyên lý biến phân cơ bản.. 13
1.4.1. Nguyên lý biến phân cơ bản . 14
1.4.2. Tính phổ biến của nguyên lý . 23
1.4.2.1. Miền ngoài của hình tròn 23
1.4.2.2. Trờng hợp nửa mặt phẳng 24
1.4.2.3. Trờng hợp các dải . 28
1.5. ánh xạ các miền xấp xỉ .31
Chơng 2. ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo
giác 43
2.1. ứng dụng để giải quyết một số vấn đề lý thuyết .43
2.1.1. Các đạo hàm biên .43
2.1.2. Các miền xấp xỉ với dữ kiện 50
2.2. ứng dụng giải quyết một số vấn đề kỹ thuật và thực tiễn 53
2.2.1. Tính quy đổi lực nâng .53
2.2.2. Các sóng trong chất lỏng nặng.62
Kết luận 72
Tài liệu tham khảo 73

4

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đ biết kết quả của những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến
phức có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng
nh trong thực tiễn. Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX nhiều nhà toán học đ
có những thành công trong việc nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức để giải
quyết các bài toán về thuỷ động lực học và khí động lực học. Nhờ những ứng
dụng bớc đầu to lớn đó lý thuyết hàm biến phức đ thu hút nhiều sự quan tâm,
nghiên cứu của các nhà toán học. Đặc biệt trong lý thuyết này có nguyên lý biến
phân của ánh xạ bảo giác với các tính chất đặc trng của nó đ đợc ứng dụng
nhiều trong việc giải quyết một số vấn đề lý thuyết giải toán trong vật lý trong
kỹ thuật, và trong thực tiễn.
Việc nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác giúp chúng ta
tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả đó
để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác.
Hơn nữa, là một giáo viên giảng dạy ở trờng phổ thông, việc tìm hiểu về
nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác có thể giúp em nhìn nhận kiến thức
toán giải tích đợc áp dụng rất rộng ri trong các môn khoa học khác, đặc biệt
là với những bài toán trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn để đáp ứng yêu cầu dạy
học hiện nay. Bởi vậy, em đ chọn đề tài Nguyên lý biến phân của ánh xạ
bảo giác và ứng dụng nhằm tổng hợp những ứng dụng về nguyên lý biến phân
của ánh xạ bảo giác trong việc giải quyết những vấn đề của vật lý, kỹ thuật và
thực tiễn.


5

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết hàm số biến số phức, trình bày một cách có hệ
thống về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác.
Tổng hợp những ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng của nó.

4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và
ứng dụng của nó đối với một số vấn đề lý thuyết và thực tiễn.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chơng, kết luận và tài liệu tham khảo.
Trong đó:
Chơng 1: Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác.
Chơng 2: ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác.

5. phơng pháp nghiên cứu
đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của
nó.

6. Những đóng góp mới của đề tài ti
Nghiên cứu sâu một nguyên lý quan trọng của Toán học, nâng nó thành
đề tài nghiên cứu theo nghĩa nghiên cứu và tổng hợp các ứng dụng của nó trong


6

giải quyết một số vấn đề của lý thuyết, một số vấn đề trong vật lý cũng nh

trong thực tiễn.
Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học,
những ngời yêu thích về hàm biến phức đặc biệt là về nguyên lý biến phân của
ánh xạ bảo giác và ứng dụng của nó.


7

Chơng 1

Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác

1.1. Hàm chỉnh hình
1.1.1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số
f
xác định trên miền D

C
. Xét giới hạn
(
)
(
)
0
lim ,
z
f z z f z
z

+


,
z z z
+
D.
Nếu tại điểm
z
giới hạn này tồn tại thì nó đợc gọi là đạo hàm phức của
f
tại
z
, ký hiệu là
(
)
f z

hay
( ).
df
z
dz

Nh vậy
(
)
f z

=

(
)
(
)
0
lim
z
f z z f z
z

+

.
Hàm
f
có đạo hàm phức tại
z
cũng đợc gọi là khả vi phức hay
C
khả
vi tại
z
.
Cũng nh đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết
( ) ( 1)
( )
k k
f f

=

nếu vế phải tồn tại ta gọi là đạo hàm phức cấp k của hàm
f
trên D.
Do định nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tơng tự với định nghĩa đạo hàm
của hàm một biến thực, ta dễ dàng thiết lập các công thức sau.

Định lí 1.1.
Nếu
( )
f z
và
( )
g z
khả vi phức tại
0
z
thì
(
)
( ),
f z g z

+

(
)
. ( )
f z g z

và
(
)
( )
f z g z
(
( ) 0
g z

) cũng khả vi phức tại
0
z
với mọi
,


C
và


8

(i)
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
f g z f z g z

+ = +
.
(ii)
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
fg z f z g z f z g z

= +
.
(iii)
0 0 0 0
0
2
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
f z g z f z g z
f g z
g z



=
.
(iv) Nếu
( )
w f z
=
khả vi phức tại

0
z
còn
( )
g w
khả vi phức tại
0 0
( )
w f z
=
thì hàm hợp
g f

khả vi phức tại
0
z
và
0 0 0
( ) ( ) ( ( )) ( )
gf z g f z f z

=
.

1.1.2. Điều kiện Cauchy- Riemann
Giả sử
( ) ( , ) ( , )
f z u x y iv x y
= +
,

z x iy
= +
xác định trong miền D

C
.
Hàm
f
đợc gọi là
2
R
- khả vi tại
z x iy
= +
nếu các hàm
( , )
u x y
và
( , )
v x y

khả vi tại
( , )
x y
(theo nghĩa đ biết trong giải tích thực).

Định lí 1.2.
Để hàm
f

C
- khả vi tại
z x iy
= +
D điều kiện cần và đủ là hàm
f

2
R
- khả vi tại
z
và điều kiện Cauchy Riemann sau đợc thoả mn tại
z
.
( , ) ( , ).
( , ) ( , ).


=






=



u v

x y x y
x y
u v
x y x y
y x

1.1.3. Định nghĩa hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.1.


9

Hàm
f
xác định trên miền D

C
với giá trị trong
C
gọi là chỉnh hình
tại
0
z

D nếu tồn tại
r
> 0 để
f

C

- khả vi tại mọi
0
( , )
z D z r

D.
Nếu
f
chỉnh hình tại mọi
z

D thì ta nói
f
chỉnh hình trên D.
Tính giải tích của hàm
f
tại điểm vô cùng đợc hiểu là tính giải tích của
hàm
1
( ) ( )
z f
z

=
tại
0
z
=
. Định nghĩa này cho phép ta xét hàm giải tích trên
các tập hợp của mặt phẳng phức đóng

C
.

1.1.4. ý nghĩa hình học của argument và môđun của đạo hàm
Giả sử
f
xác định trên miền D

C
và
C
- khả vi tại mọi
0
z

D với
(
)
0
0
f z


. Xét đờng cong trơn tuỳ ý
l
qua
0
z
và gọi
L

là ảnh của
l
qua
f
,
(
)
L f l
=
.
Cho điểm
0
z z z
= +
chạy trên
l
và xét
0 0
( ) ( )
f f z z f z
= +
. Giả sử

là góc giữa tiếp tuyến của
l
tại
0
z
với trục hoành, còn

là góc giữa tiếp
tuyến của
L
tại
0 0
( )
f z

=
với trục hoành. Khi đó rõ ràng
0
0
0
0
limarg( ) lim arg
z z z
z z l
z l
z z z


+

= =

và
0
0
0
0

limarg( ( ) ( )) lim arg .
z z z
z z l
z l
f z f z f


+

= =

Về mặt ý nghĩa hình học, hiệu


là góc giữa tiếp tuyến của
l
tại
0
z
và


10

góc giữa tiếp tuyến của
L
tại
0 0
( )
f z

=
. Một cách hình thức đó là góc mà hàm
f
đ quay đờng cong
l
tại
0
z
. Chú ý rằng


=
[ ]
0 0
0 0
lim arg arg lim arg
z z
z z l z z l
f
f z
z

+ +

=

.
Từ đó nếu viết
(

)
0
i
f z ke


=
thì


=
(
)
0
arg f z


=
.
Nh vậy nếu
(
)
0
0
f z


thì
(
)

0
arg
f z

là góc quay của tiếp tuyến của
l

tại
0
z
qua
f
.
Giả sử
1
l
và
2
l
là hai đờng cong trơn tuỳ ý qua
0
z
. Ký hiệu
1
L
và
2
L
và
các góc

1 2 1 2
, , ,

tơng ứng nh đối với
l
. Theo hình học thì góc giữa
1
l
và
2
l

tại
0
z
là
1 2


, góc giữa
1
L
và
2
L
tại
(
)
0
f z

là
1 2


. Nếu
(
)
0
0
i
f z ke


=
,
thì
1 1 2 2

=
(=

).
Do đó
1 2 1 2

=

tức là góc giữa hai đờng cong trơn tuỳ ý qua
0
z

đợc bảo toàn (cả về hớng và
độ lớn) qua ánh xạ
f
.
Hàm số có tính chất nh vậy sau này sẽ gọi là hàm bảo toàn góc tại
0
z
.


11

Bây giờ xét ý nghĩa hình học của môđun của đạo hàm
(
)
0
f z

.
Xét đờng cong trơn tuỳ ý
l
qua
0
z
.Ta có
( )
0
0
0
lim

z
z z l
f
f z
z

+


=

.
Nếu giới hạn này khác 0 thì theo ý nghĩa hình học nó đợc gọi là hệ số co
dn của
f
dọc theo
l
tại
0
z
. Nếu
(
)
0
0
i
f z ke


=

, thì
0
0
lim
z
z z l
f
k
z

+

=


với mọi đờng cong trơn
l
qua
0
z
.
Nh vậy trong trờng hợp này, hệ số co dn của
f
tại
0
z
dọc theo mọi
đờng cong trơn qua
0
z

đều bằng nhau và bằng
(
)
0
f z

. Một hàm
f
có tính
chất trên đợc gọi là hàm có hệ số co dn đều tại
0
z
.

1.2. ánh xạ bảo giác
Định nghĩa 1.2.
Hàm
f
xác định trên miền D


C
gọi là bảo giác tại
0
z

D nếu tại
điểm đó hàm
f
bảo toàn góc và có hệ số co dn đều.

Hàm
f
đợc gọi là bảo giác trên miền D


C
nếu nó bảo giác tại mọi


12

điểm thuộc D.

Định lý 1.3.
Nếu hàm
f
chỉnh hình trên miền D


C
thì nó bảo giác tại mọi
0
z

D
nếu và chỉ nếu
(
)
0
0

f z


.

Định lý 1.4.
Hàm
f
bảo giác trên miền D


C
khi và chỉ khi
f
chỉnh hình trên
miền D và
(
)
0
0
f z



z

D.

1.3. Hàm phân tuyến tính
Định nghĩa 1.3.

ánh xạ
( ) ,
az b
z f z
cz d
+
=
+


0
c

xác định trên tập
C
\
d
c




và hàm
này gọi là hàm phân tuyến tính.

Một số tính chất của hàm phân tuyến tính
Xét hàm phân tuyến tính (hay ánh xạ phân tuyến tính)
( )
, 0
az b

z ad bc
cz d

+
=
+
.


13

Giả thiết
0
ad bc

đặt ra để


const.
a) Bằng cách đặt
( )
a
c

=
và
d
c

=


, ánh xạ phân tuyến tính

là
song ánh giữa
C
và
C
.
b) Hàm phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trong
C
(tính bảo giác tại điểm

đợc hiểu là sự bảo toàn góc).
c) Hàm ngợc của một hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính.
d) Hợp của hai hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính.
e) ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn đờng tròn.
f) ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn hình tròn.
g) ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn tính đối xứng của các điểm qua đờng
tròn.
h) ánh xạ phân tuyến tính không phải là ánh xạ đồng nhất có nhiều nhất là
hai điểm bất động.
i) Cho bộ ba điểm phân biệt
{
}
1 2 3
, ,
z z z

và
{
}
1 2 3
, ,




C
. Khi đó tồn tại
duy nhất ánh xạ phân tuyến tính

biến
j
z
thành
j

(
1,2,3
j
=
).
j) Hàm phân tuyến tính bảo toàn tỉ số kép.

1.4. Các nguyên lý biến phân cơ bản
Giả sử trong mặt phẳng
z
ngời ta cho hai miền đơn liên D và B giới hạn

bởi các đờng cong
C
và
C

và cho

( )
w f z
=
;
w
=
( )
f z


là các hàm số của các ánh xạ bảo giác, ánh xạ D và B tới một trong các miền
đặc trng (hình tròn, nửa mặt phẳng, dải và có các chỉ số nh nhau).


14

Bài toán mà ta vừa nói ở trên đợc thực hiện nh sau: ánh xạ
( )
w f z
=
coi nh
đ biết, còn đờng biên
C

xấp xỉ với
C
ta phải tìm đoạn
f

số gia của

(
)
(
)
(
)
,
f z f z f r f f

= +


khi chuyển dịch từ D sang B.
Để giải bài toán này ta chia làm hai phần đó là các định lý định tính và
các phơng pháp tính gần đúng
f

với các đánh giá cho các thành phần còn lại
(
)
,
r f f

. Bây giờ chúng ta bắt đầu từ các nguyên lý định tính.

1.4.1. Nguyên lý biến phân cơ bản
Chúng ta đa ra một số ký hiệu sau: Miền giới hạn bởi đờng cong
C
ký
hiệu là
( )
D C
. Hàm số thực hiện ánh xạ bảo giác
( )
D C
lên hình tròn đơn vị, với
0
z
là điểm cố định thuộc hình tròn đơn vị chứa gốc toạ độ, ta ký hiệu :

( , )
w f z C
=
;
0
( , ) 0
f z C
=
. (1.1)
Các hàm số thoả mn tính chất trên đều là đa vô cực nhng chúng khác
nhau bởi tích của dạng
i

e

trong đó

là số thực, với
( , )
f z C
ta sẽ hiểu là hàm
số bất kỳ nào trong đó, còn đại lợng

đ có chúng ta sẽ xác định nó bằng các
điều kiện phụ, với ánh xạ (1.1) đờng cong kín đi qua hình tròn
1
w

= <
,
chúng ta ký hiệu là
C

và gọi đờng đó là đờng mức.
Chúng ta thay thế đờng biên biến dạng
C
bằng đờng biên
C

. Giả sử các miền
( )
D C
và

( )

D C
chứa điểm
0
z
, nghĩa là các giới hạn
C
và
C

của chúng trong hệ
toạ độ cực với gốc cực là
0
z
ta có thể biểu thị bằng phơng trình
(
)
r r

=
và
(
)
r r

=

với sự hỗ trợ của hàm số đơn trị
r

và
r

. Điểm
2
2 0 2

= +
i
z z r e
của
đờng biên
C
, trong đó tỉ số
(
)
(
)
r r


đạt tới điểm biến dạng lớn nhất và


15

tơng ứng với điểm
2
2 0 2
i

z z r e

= +


của đờng biên
C

ta gọi các điểm đó là các
điểm biến dạng lớn nhất, còn số
2 2
r r

=

là độ biến dạng lớn nhất của đờng
biên.
Nguyên lý biến phân cơ bản ta gọi là nguyên lý Lin - đê khẳng định nếu
nó bị giới hạn bởi các ánh xạ đến hình tròn đơn vị tâm là điểm
0
z
cố định
(nghịch ảnh của điểm
w
= 0 với mỗi ánh xạ đó). Khi có áp lực ép vào trong
biên của miền thì:
1- Tất cả các đờng mức bị ép lại.
2- Sức căng (độ gin) ở điểm
0
z

sẽ tăng lên.
3- Độ căng ( kéo dài) ở các điểm biên đợc giữ nguyên (và riêng chiều dài
của ảnh phần biên không biến dạng sẽ giảm đi).
4- ở các điểm biến dạng lớn nhất sức căng sẽ tăng lên hơn
1

lần.
Nói cách khác ta có:

Định lý 1.5.
Nếu miền
(
)

D C
chứa trong
( )
D C
thì:
a- Với bất kỳ

,
(0 1)

< <
thì miền
(
)
D C

nằm trong
(
)
D C

và sự tiếp xúc
của
C


với
C

chỉ có thể xảy ra khi
C

và
C
trùng nhau.
b- Tại điểm
0
z



(
)
(
)

0 0
, ,
f z C f z C



(1.2)
dấu đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi
C
và
C

trùng nhau.
c- Nếu các đờng biên
C
và
C

có một điểm chung
1
z
thì tại điểm này

(
)
(
)
1 1
, ,
f z C f z C

(1.3)


16

dấu đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi
C
và
C

trùng nhau.
d- Nếu các miền là sao đ biết đối với
0
z
thì tại các điểm biến dạng lớn nhất ta
có:
( )
( )
2 2
1
, ,
f z C f z C

(1.4)
trong đó
1

<
là độ biến dạng lớn nhất của đờng biên.
Chứng minh:
Bây giờ chúng ta chứng minh trực tiếp nguyên lý bằng hình học, cách
chứng minh đó chỉ rõ đợc bản chất cho phép ta có đợc sự đánh giá toàn diện.
Để thực hiện điều đó ta chỉ cần chứng minh định lý với trờng hợp khi đờng
biên
C

khác với
C
chỉ một đoạn nhỏ (a,b), mà nó là cung của đờng cong gần
với đờng cong
C
ở (a,b), sao cho
(
)

D C
tạo với
( )
D C
một diện tích nhỏ

.
Thực ra ta có thể có bất kỳ sự biến phân

C
nào bằng cách ứng dụng liên tiếp các
dạng biến phân đơn giản nhất và nêu định lý rồi chứng minh nó thì định lý sẽ
đợc chứng minh một cách tổng quát.
Giờ chúng ta lấy ra một mặt phẳng phụ

và ánh xạ miền
( )
D C
lên hình
tròn đơn vị
1

<
bằng bảo giác:
(
)
,
f z C

=
;
(
)
0
, 0.
f z C
=

Giả sử lúc này

C

đi qua đờng cong
C


, diện tích giữa
C


và đờng tròn
1

=
bằng


. Ta ánh xạ miền
(
)
D C


lên hình tròn đơn vị của mặt phẳng
w

bằng bảo giác:
(
)
w g

=
,
(
)
0 0
g
=
.
Với độ chính xác đến một vô cùng bé bậc cao ta có thể coi diện tích



là một lỗ nhỏ (*), nh vậy thay cho
g
ta có thể dùng cách biểu diễn


17


( )
1
1
2 1
i
i
e
w g
e

+
= = +



, (1.5)
trong đó

là argumen của một điểm nào đó thuộc diện tích


.

(Ghi chú: (*) Sự khẳng định này chỉ có căn cứ trong trờng hợp độ cong k của
đờng biên C là hàm số chiều dài của cung s thuộc đờng biên đó thoả mn
điều kiện của Gôn- đê:
(
)
(
)
(

)
s h k s A h

+ <
;
0 1

<
.
Để lập luận chúng ta còn phải dùng một loạt các tính chất giới hạn của
các ánh xạ w= f(z). Phần dới chúng ta chứng minh nguyên lý không dùng các
tính chất giới hạn của f(z)).
Bây giờ chúng ta tìm ánh xạ ngợc của g.
Để tìm chúng ta chuyển công thức (1.5) sang dạng sau:
1
1
2 1
i
i
e
w
e

+





(chúng ta làm nh vậy với

nhỏ có độ chính xác
1
1
1



+
).
Vì
w
khác với

đại lợng


nên trong các vế chứa tích


không thay đổi
mức độ chính xác ta có thể thay thế

bằng
w
, sao cho:
1
1
2 1
i
i
we
w
we








+





. (1.6)
Bây giờ chúng ta ký hiệu
C

là đờng cong của mặt phẳng

tơng ứng với
đờng tròn

=
qua ánh xạ
(
)
w g

=
. Để có đợc phơng trình tham số
C



ta đặt
,
i
re


=
i
w e


= .

18

Lấy loga biểu thức (1.6) ta có:

( )
(
)
( )
1
ln ln
2 1
i
i
r e
i
w e








+
= +

.

Ta phân ra phần ảo và phần thực:

( )
( )
( )
2
2
2
1
1
2 1 2 cos
2 sin
2 1 2 cos
r














+

+

. (1.7)
Từ các phơng trình này ta có thể có điều cần chứng minh của định lý.
Đơng nhiên ta có:

(
)
(
)
, , ;
w f z C g f z C= =



(1.8)
nh vậy qua ánh xạ
(
)
,
f z C

=

thì miền
(
)
D C


sẽ đi qua
(
)
D C


. Vì
(
)
D C


lúc này đi qua hình tròn

<
, nên để chứng minh phần một của định lý ta chỉ
cần
(
)
D C


nằm trong hình tròn

<
.
Nhng vì
(
)
(
)
2
2
1 2 cos 1

+ + nên theo công thức (1.7) đối với tất
cả các điểm của đờng biên
C


ta sẽ có:

1
1
2 1
r






= <

+

. (1.9)

Nh vậy kết luận thứ nhất của định lý đ đợc chứng minh một cách đầy đủ.
Sau khi chia bất đẳng thức (1.9) cho

và lấy giới hạn khi

dần tới 0 ta
sẽ đợc:
0
1 1.
2
w
d
dw


=

<



19

Nhng ở đây
(
)

0 1
g

>
nên theo công thức (1.8)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0
, 0 . , ,
f z C g f z C f z C

= >


đó là cách chứng minh kết luận thứ hai.
Bây giờ giả sử điểm
i
re


= tiếp xúc với điểm
i
e

của đờng tròn
1

=

theo bán kính của đờng tròn này thì
i
e

nằm ngoài


. Khi đó điểm
i
w e


=
tơng ứng của ánh xạ bảo giác sẽ tiếp xúc với điểm
i
e

theo phơng tiếp tuyến
với bán kính của đờng tròn
1
w
=
, và ta có :

1 ,

i
e r


= =

1
i
w w e


=
.
Song từ bất đẳng thức (1.9) ta có:

1 1
1
1
1 2 1
1
2 1
r

+
+
+
.
Chuyển qua giới hạn khi r dần tới 1 ta có:

1
1
lim 1 .
1 4
i
r
e
dw
d r





=


=


Kết luận thứ ba của định lý đợc chứng minh.
Để chứng minh kết luận cuối cùng ta ký hiệu đờng biên

*
C

có đợc từ
C
bằng cách biến đổi tơng tự
(
)
0 0
z z z

= +
. Ta thấy hàm số:
( )
*
0
0
, ,
z
w f C f z C





= = +



(1.10)

thực hiện ánh xạ bảo giác của miền
(
)
*
D C

lên hình tròn đơn vị.
Nhng
(
)
*
D C

nằm trong
(
)
D C

và điểm
2
z

thuộc cả
C

và
*
C

. Vì vậy theo kết

luận thứ ba của định lý


20


(
)
(
)
*
2 2
, , .
f z C f z C

<



Nhng từ (1.10) ta có:
( )
( )
2 2
1
, ,
f z C f z C



=

nên

( )
( )
2 2
1
, ,
f z C f z C





.
Định lý đợc chứng minh hoàn toàn.
Hệ quả của định lý đợc chứng minh ở trên đó chính là nguyên lý Mông-
ten.

Định lý1.6.
Giả sử các miền
(
)
D C
và
(
)
D C

có chứa điểm
0
z

và

1 2 1 2
,
C C C C C C
= + = +

,
1
C

nằm trong
(
)
D C
,
2
C

ở ngoài
(
)
D C
,
1
C

ở ngoài
(
)
D C

,
2
C
nằm trong
(
)
D C

(hình 1.1). Ngoài ra ta giả sử với các ánh xạ :
(
)
, ,
w f z C
=

(
)
,
w f z C
=

.
Các cung
1
C

và
1
C

tơng ứng chuyển thành các cung
1

và
1


thì khi đó độ dài
của các cung này đợc liên hệ với nhau bởi hệ thức
1 1



, (1.11)
trong đó dấu đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi
C
và
C

trùng nhau.
(Độ dài của các cung ta ký hiệu bằng chính các chữ của các cung đó).
Chứng minh:
Để chứng minh ta dùng miền phụ
(
)
D C

giới hạn bởi đờng cong
1 2
C C C

= +

, và ta ký hiệu ảnh của
2
C
qua ánh xạ
(
)
,
w f z C

=
là


. Vì
(
)
D C




21

thuộc vào
(
)
D C

còn cung
1
C

thuộc cả
C

lẫn
C

nên theo kết luận thứ ba của
nguyên lý Lin-đê-lốp thì tại mỗi điểm thuộc
1
C

ta có:







(
)

(
)
, ,
f z C f z C



.
Vậy ta xét ý nghĩa hình học của môđun dẫn xuất trên, ta có:
1
2




. (1.12)
Mặt khác
(
)
D C

nằm trong miền
(
)
D C
và cung
2
C
thuộc về đờng cong
C

và
C
vì thế ta có:

1
2



. (1.13)
Kết hợp các bất đẳng thức (1.12) và (1.13) ta có bất đẳng thức phải tìm là (1.11).
Cuối cùng ta nhận thấy rằng những nguyên lý biến phân Mông-ten và
Lin-đê-lốp đ chứng minh trên đồng thời cũng có thể có đợc dựa trên cơ sở của
nguyên lý Svat-xơ (mục 15 cuốn
[
]
5
). Thực ra các nguyên lý này rút ra từ kết
quả mà miền
(
)
D C


ở đó tạo ra hình tròn
w

<
, hàm số

(
)
h w

=
là hàm
ngợc của hàm
(
)
w g

=
thuộc về hình tròn

<
(chúng ta giữ nguyên ký
hiệu dùng chứng minh định lý 1.5).
Hình 1
.1



22

Nhng vì hàm số
(
)
,
h w

=

(
)
0 0
h
=
ánh xạ hình tròn
1
w
<
lên miền
(
)
D C


của hình tròn
1

<
nên theo bổ đề Svat-xơ đối với bất kỳ
w
,
1
w
<
ta cũng có
(
)

h w w
<
. Từ đó ta rút ra kết luận với bất kỳ giá trị

nào thì miền
(
)
p
D C


cũng thuộc vào hình tròn

<
.
Đồng thời các nguyên lý này cũng có thể rút ra từ nguyên lý cực đại đối
với các hàm số điều hoà (mục 42 cuốn
[
]
5
). Phơng pháp này có ý nghĩa đặc
biệt khi phát triển các nguyên lý biến phân tới các ánh xạ tổng quát hơn các ánh
xạ bảo giác và nói riêng nguyên lý cực đại tới các ánh xạ tựa bảo giác vẫn đúng,
bản chất của phơng pháp đó nh sau:
Giả sử
(
)
(
)
0

, 0
w f z f z
= =
và
(
)
(
)
0
, 0
w f z f z
= =

, ánh xạ bảo giác
tơng ứng các miền
(
)
D C
và
(
)
D C

tới hình tròn đơn vị. Hàm số
(
)
(
)
, ln
P x y f z

=

điều hoà trong miền
(
)
D C
, trừ điểm
0
z z
=
và
(
)
0
, ln
P x y z z
=
đúng với bất
kỳ điểm nào trong miền này . Vì
(
)
1
f z
=
ở
C
nên
(
)
,

P x y
quay về 0 ở
C
.
Dọc theo đờng
C

ta có:

(
)
, ln
P x y

=
(1.14)
sao cho phơng trình (1.14) ta có thể xem nh phơng trình
C

.
Chúng ta phải chứng minh rằng khi đờng biên biến dạng
C
thuộc miền
(
)
D C
với bất kỳ
,0 1

< <

nào thì miền
(
)
D C


cũng nằm trong
(
)
D C

.
Nhng khắp mọi nơi trong
(
)
D C
theo nguyên lý cực đại ta có
(
)
, 0
P x y
<
vì ở


23

phần
C

đoạn không trùng với
C
,
(
)
(
)
, ln 0
P x y f z
= =


. Khi đó ở phần chung
của
C
và
C

cả hai hàm số này bằng 0 do đó tất cả mọi nơi trong
(
)
D C



(
)
(
)
, ,

P x y P x y
<


Dựa trên cơ sở phơng trình (1.14) và phơng trình tơng tự đối với
C


ta
có thể khẳng định rằng
(
)
D C


chứa trong
(
)
D C


với bất kỳ
,0 1

< <
nào.

1.4.2. Tính phổ biến của nguyên lý
Nguyên lý biến phân cơ bản đ chứng minh ở trên đợc phát triển trong
các hàm số thực hiện các ánh xạ bảo giác đến các miền chuẩn khác.

1.4.2.1. Miền ngoài của hình tròn
Ta ký hiệu miền ngoài đờng biên khép kín
C
là
(
)
C

. Giả sử hàm số:
(
)
, ,
w F z C
=

(
)
,F C
=
(1.15)
thực hiện ánh xạ bảo giác của miền
(
)
C

tới miền ngoài của hình tròn đơn vị
1
w
>

.
Giữ nguyên các ký hiện đ dùng ở trên, ta có các định lý sau:

Định lý 1.7.
Nếu miền
(
)
C


chứa trong miền
(
)
C

thì:
a) Với bất kỳ
1

>
nào thì miền
(
)
C



cũng chứa trong miền
(
)

C


. Sự
tiếp xúc của các đờng biên
C


và
C

với

nào đó chỉ có thể xảy ra khi
C

và
C
trùng nhau.


24

b) Tại các điểm xa vô cực
(
)
(
)
, ,
F C F C

; (1.16)
c) Tại điểm
1
z
chung ở biên của
C

và
C


(
)
(
)
1 1
, ,
F z C F z C



; (1.17)
d) Nếu các đờng biên là sao tại điểm
0
=
z
thì tại các điểm biến dạng lớn

nhất
2
z
và
2
z

ta có:
( )
( )
2 2
1
, ,
F z C F z C





. (1.18)
Các dấu đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi
C

và
C
trùng nhau.
Cách chứng minh có thể thực hiện nh ở trên nếu ta dùng ánh xạ miền
ngoài của hình tròn đơn vị có lỗ phun ra của nó tới miền ngoài của hình tròn
thay cho (1.5). Đơn giản nhất là ta đa định lý này về dạng đ chứng minh bằng
cách thay thế các đại lợng

0
1
,
z z

=
1
w

=
.

1.4.2.2. Trờng hợp nửa mặt phẳng
Giả sử đờng biên
C
đi qua điểm xa vô cực và có độ cong hữu hạn, khi đó
đờng tròn
z R
=
với giá trị R đủ lớn thì nó sẽ cắt
C
ở hai điểm với các
acgumen mà hiệu của chúng sẽ gần sát với

bao nhiêu cũng đợc.
Ta giả sử thêm nửa trục ảo dơng ở phần xa đủ không giao nhau với
C
và
ta ký hiệu

( )
D C
là miền giới hạn bởi
C
có chứa đoạn này. Qua
(
)
, ;
w f z C
=

(
)
, ;
f C
=

(
)
, 1
f C

=
(1.19)


25

ánh xạ bảo giác của miền
( )

D C
tới nửa mặt phẳng trên v > 0. Theo định lý áp
dụng các điều kiện dùng cho đờng cong
C
, hàm
f
đợc áp dụng và đợc xác
định với độ chính xác tới hằng số không đổi vì sau đó số hằng này không đóng
vai trò gì, nên đối với
f
chúng ta sẽ hiểu bất kỳ hàm số nào trong các hàm số
này. Cuối cùng giả sử với các ánh xạ
(
)
(
)
, , ,
w f z C w f z C
= =

,
v
C
và
v
C

là các
đờng tơng ứng đi qua đuờng thẳng v = const (hình 1.2).

Từ những điều này ta có:

Định lý 1.8.
Giả sử đờng cong
C

đi qua điểm

và ở đó có tiếp tuyến chung với
C
.
Ngoài ra nếu miền
(
)
D C

chứa trong miền
( )
D C
thì:
a) Với bất kỳ v > 0 nào thì miền
(
)
v
D C

cũng nằm trong miền
(
)
v
D C
, đồng
thời
v
C
và
v
C

tiếp xúc với nhau chỉ có thể xảy ra khi
C
và
C

trùng nhau.
b) Nếu
C
và
C

có điểm chung
1
z
thì tại chính điểm này:
(

)
(
)
1 1
,
f z C f z C



(1.20)
dấu đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi
C
và
C

trùng nhau.
Hình
1.
2