Phương pháp giải nhanh phương trình lượng giác

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
2
MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông
Ví dụ như các công thức sau
2 2
sin cos 1
x x
 
2 2
cos2 2cos 1 1 2sin
x x x
   

sin 2 2sin cos
x x x

3
sin 3 3sin 4sin
x x x
 
…
Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay
không
2 2
sin 2 cos 2 1
x x
 
2 2
cos4 2cos 2 1 1 2sin 2

x x x
   

sin 4 2sin 2 cos 2
x x x

3
sin 9 3sin 3 4sin 3
x x x
 
…Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau
Với
0
k

ta có
2 2
sin cos 1
kx kx
 
2 2
cos2 2cos 1 1 2sin
kx kx kx
   

sin 2 2sin cos
kx kx kx

3
sin 3 3sin 4sin

kx kx kx
 

1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung
Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với
các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn
đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc
xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào
Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình:
1
1 7
4.sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x


 
  
 
 
 

 
 
Nhận xét:

Từ sự xuất hiện hai cung
3
2
x


và
7
4
x


mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng một
cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc
đặc biệt
Giải:
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
3
Ta có
3 3 3
sin sin .cos cos .sin cos
2 2 2
x x x x

  
 
   
 
 

     
7 7 7 2
sin sin cos cos .sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
  
 
       
 
 

Sử dụng công thức về các góc đặc biệt
Ta có
3 3
sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x
  

     
      
     
     

Hoặc
3
sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x
  

 
     
      
     
 
     
 

 
7 7 2
sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
  


     
         
     
     

Hoặc
 

7 2
sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
  

  
     
        
     
 
     
 

Chú ý:


 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x


 




 



và


 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x
 
 
   



   



Điều kiện:
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0
2
x

x x k k
x



    




Phương trình
1 1
4sin
sin cos 4
x
x x

 
    
 
 


sin cos 2 2 sin .cos sin cos
x x x x x x
    
 


sin cos 2 2 sin .cos 1 0

x x x x
   
tan 1
sin cos 0
2
2 2 sin .cos 1 0
sin 2
2
x
x x
x x
x
 

 


 


 
 



4 4
2 2 ,
4 8
5
5

2 2
4
8
x k x k
x k x k k
x k
x k
 
 
 
 




 
     
 
 
 
        
 
 
 
 
 
 
 

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là

4
x k


  
;
8
x k


  
;
5
8
x k


 
với
k


www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
4

Đs:
 
5
, , ,
4 8 8
x k x k x k k
  
  
        

Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình:
cos3 cos 2 – cos –1 0
x x x
 

Giải:
Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức
nhân ba và nhân đôi của hàm cos
Phương trình
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0
x x x x
      
3 2
2cos cos 2cos 1 0
x x x
    





2
2cos 1 cos 1 0
x x
   
 
2
1
cos
2cos 1 sin 0
2
sin 0
x
x x
x

 

   



 
2
2
;
3
x k
k
x k





  

 




Đs:
 
2
2 ,
3
x k x k k

 
    

Cách 2:
Nhận xét:
Ta có
3
2
x x
x



và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các hạng tử bằng cách
dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích




 
2
2
cos3 cos – 1 cos2 0 2sin 2 .sin 2sin 0
2sin 2cos 1 0
x x x x x x
x x
      
  

… tương tự như trên
Chú ý:
Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó
Công thức nhân ba
3 3
cos3 4cos 3cos , sin 3 3sin 4sin
x x x x x x
   
Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi
Ta có





   
2 2
2 2 3
cos3 cos 2 cos2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin
2cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos
x x x x x x x x x x x
x x x x x x
      
     

Tương tự cho
sin 3
x
Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:
6 2
3cos4 – 8cos 2cos 3 0
x x x
  
Giải:
Nhận xét 1:
Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
5



2 2 4 2
cos4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1
x x x x x
       
Cách 1:
Phương trình
6 4 2
4cos 12cos 11cos 3 0
x x x
   
(pt bậc 6 chẵn)
Đặt
2
cos , 0 1
t x t
  
Khi đó ta có
3 2
1
4 12 11 3 0
1
2
t
t t t
t



    




… bạn được giải tiếp được nghiệm
, ,
4 2
x k k k
 

  

Nhận xét 2:
Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ
cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi
Cách 2:
Phương trình
   
3
2 2
1 cos 2 1 cos 2
3 cos 2 1 8 2 3 0 cos2 2cos 2 3cos 2 2 0
2 2
cos 2 0
,
4 2
cos 2 1
x x
x x x x
x
x k

k
x
x k
 

 
   
        
   
   


 


  







Nhận xét 3:
Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình
tích
Cách 3:
0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3
222242
 xxxxxxx

2 2 2 2 2
6cos 2 2cos (2cos 1) cos 2 0 cos2 3cos 2 cos (2cos 1)
0
x x x x x x x x
 
       
 
2 4 2
cos 2 0
4 2
3(2cos 1) 2 cos cos 0
k
x x
x x x
 

   



   


Phương trình
2
4 2
2
cos 1 sin 0
2cos 5cos 3 0
3

cos ( )
2
x x x k
x x
x loai


    

     




Đs:
, ,
4 2
x k k k
 

  

Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình:


2sin 1 cos 2 sin 2 1 cos
x x x x
   

Giải:

Nhận xét:
Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân
đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
Phương trình
2
4sin .cos 2sin .cos 1 2cos
x x x x x
   

2sin .cos (1 2cos ) 1 2cos
x x x x
   
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
6
(1 2 cos )(sin 2 1) 0
x x
   
1
cos
2
sin 2 1
x
x









2
2
3
4
x k
x k





  




 


Đs:
 
2
2 , ,
3 4

x k x k k
 
 
     

Bài 5: Giải phương trình
3
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3
x x x
  
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương
trình bậc nhất đối với sin và cos
3
3sin 3 4sin 3 3 cos9 1 sin 9 3 cos9 1
x x x x x
      
2
1 3 1 1
18 9
sin 9 cos9 sin 9
7 2
2 2 2 3 2
54 9
x k
x x x k
x k
 


 

 

 
       

 
 

 



Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình
sin 5
1
5sin
x
x

Giải:
Điều kiện:
sin 0
x

Phương trình
sin 5 5sin sin 5 5sin
x x x x
   

Nhận xét:
Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng
Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai
sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin
4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1
x x x x x x
x x x x x x
    
   

2
3
cos ( )
cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0
2
cos2 1
x loai
x x x x
x

 

       



2
1 cos2 0 2sin 0 sin 0 ( )
x x x loai
      

Vậy phương trình vô nghiệm
Hướng 2: Phân tích cung
5 2 3
x x x
 
, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức
nhân hai, nhân ba


      
2
3 2 2 3 2 2
sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin
3sin 4sin cos sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
    
      

5 3 3 2 2
12sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0
x x x x x
     
… vô nghiệm
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

7
Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm


0;14
x 
nghiệm đúng phương trình:
cos3 – 4cos 2 3cos 4 0
x x x
  
Giải:
Phương trình


3 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0
x x x x
      
3 2 2
cos 2cos 0 cos (cos 2) 0
x x x x
     
cos 0
2
x x k


    

Vì



0;14
x 
nên
0 14
2
k


  
Đs:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
   
   

Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình
sin 3 sin 5
3
5
x x


Giải:
Phương trình







2
5sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos4 cos sin 4
x x x x x x x x x
     





   
 
2 2
2 2
5sin 3 4sin 3sin cos4 4cos cos 2
sin 0
5 3 4sin 3 cos 4 4cos cos2 *
x x x x x x
x x k
x x x x

   
  


  



Phương trình






2
* 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 cos2 cos 2
x x x x
 
      
 
 
2
5 1
cos 2
6 2
12cos 2 4cos 2 5 0
1
cos 2
3
2
x x k
x x
x k
x
 



 
   
 
     
 
 
  
 
 
 
Bài 9: (ĐH – D 2009) Giải phương trình:
3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0
x x x x
  
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và
3 2 5
x x x
 
ta nghĩ ngay tới việc áp dụng công thức biến đổi tổng
thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý
Phương trình
3 cos5 sin 5 sin sin 0
x x x x
    
3 1
cos5 sin 5 sin
2 2

x x x
  

www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
8
12 3
sin 5 sin
3
6 2
x k
x x k
x k
 

 

 

 
    

 
 

  




Đs:
 
, ,
18 3 6 2
x k x k k
   
     

Chú ý:
- Đối với phương trì n h b ậc nhất với sin và cos là
sin cos
a x b x c
 
học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu
gặp phương trì n h
s in cos 'sin 'cos , 0 , 1
a x b x a kx b k x k
   
thì làm thế nào, cứ b ì n h t ĩ n h n h é , t a c o i n h ư
h a i v ế của phương trì n h là h a i p hương trì n h b ậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự
- Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau
Bài 10: (ĐH – B 2 0 0 9 ) Giải phương trì n h :


3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sin
x x x x x x

   

Giải:
Phương trì n h


2
s i n 1 2sin c o s . s i n 2 3cos3 2cos4
x x x x x x
    

1 3
sin 3 3 cos3 2cos 4 si n 3 cos 3 cos 4
2 2
x x x x x x
     

c o s 4 cos 3
6
x x

 
  
 
 
4 3 2
6
x x k



 
    
 
 

 
2
6
2
42 7
x k
k
x k


 

  

 


 



Hoặc:
 
1 3 1
sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos4 sin sin 3 )

2 4 4
x x x x x x x
      

1 3 3 1
sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 3
2 2 2 2
x x x x x x
     
1 3
sin 3 3 cos3 2cos 4 si n 3 cos 3 cos 4
2 2
x x x x x x
     

Đs:
 
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
  

     

Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trì n h :
3
2
cos

cos
2sinsin



x
x
xx

HD:
Điều kiện:
3
2
202coscos


k
xkxxx 

www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
9
xxxxxxxx sin
2
1
cos
2

3
2sin
2
1
2cos
2
3
2cos3cos32sinsin 

3
2
9
2
6
cos
6
2cos



k
xkxxx 
















Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trì n h :
4 4
4
sin 2 cos 2
cos 4
tan tan
4 4
x x
x
x x
 


   
 
   
   
Giải:
Nhận xét:
Từ tổng hai cung
4 4 2
x x
  

   
   
   
   
nên
tan tan 1
4 4
x x
 
   
  
   
   
v à c u n g 2 x c ó t h ể đưa về cung 4x
b ằng công thức nhân đôi
Điều kiện:
cos 0
4
1
cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0
4 4 2 2
cos 0
4
x
x x x x
x

  



 
 
 
  
     
        

     
     
 

 
 

 

Phương trì n h
4 4 4 2 2 4 2 4
1
sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 c o s 4
2
x x x x x x x x
        
 
 
 
2
2 4 4 2
2
c o s 4 1

1
1 1 cos 4 c o s 4 2cos 4 cos 4 1 0
1
2
sin 4
2
sin 2 0
sin 4 0 ,
cos 2 0
2
x
x x x x
x loai
x
k
x x k
x loai




        

 




     





Chú ý:
- Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà
quy đồng và biến đổi thì … r a k h ô n g
- Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trì n h l ượng giác có dạng phân thức
như trên nếu không khôn khéo thì r ất … phức tạp.
- Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau
(ĐHGTVT – 1999) Giải phương trì n h :
4 4
7
sin c o s cot cot
8 3 6
x x x x
 
   
   
   
   
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
10
Đs:
,
12 2
k

x k
 
   

Bài 12: (ĐHTL – 2 0 0 1 ) Giải phương trì n h :
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
 
   
  
   
   
Giải:
Nhận xét:
Nhìn vào phương trì n h n à y t a n g ĩ d ùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế
khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung
3
10 2
x


và
3
10
2
x



có mối quan hệ với nhau như thế nào
Thật vậy
3 3 9 3 3
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
x x x x
   

       
       
       
       
từ đó ta đặt
3
10 2
x
t

 
v à s ử
dụng công thức nhân ba là ngon lành
Ph ư ơ n g t r ì n h
   
3 2
2
sin 0
1 1
sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 0
2 2
1 sin 0

t
t t t t t t t
t


       

 

TH 1:
3
sin 0 2 ,
5
t t k x k k

 
      

TH 2:
2
1 c o s 2 1 3
1 sin 0 1 0 cos 2 2 4 ,
2 2 6 5 6
t
t t t k x k k
  
 

               


Chú ý:
- Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau
3 3 3
2
10 2 5 10 2
x x
t x t t
  

        
- Với cách phân tích cung như trên ta có thể làm bài toán sau
a. (BCVT – 1999) Giải phương trì n h :
)
4
sin(2sin)
4
3sin(


 xxx

đặt
4
t x

 
Đs:
4 2
k
x

 
  

b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trì n h :
3
8cos cos 3
3
x x

 
 
 
 

đặt
3
t x

 
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
11
Đs:
6
2
,
3

x k
x k k
x k






 



   







c. (PVBCTT – 1998) Giải phương trì n h :
xx sin2)
4
(sin2
3


đặt
4

t x

 
Đs:
,
4
x k k


  

d. (QGHCM 1998) Giải phương trì n h :
xx sin2)
4
(sin
3


Bài tập tự giải:
Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm
)3;
2
(


x
của phương trì n h s a u
xxx sin21)
2
7

cos(3)
2
5
2sin( 


Đs:
13 5 17
,2 , , ,
6 6 6
x
  
 


Bài 2: (ĐHYTB – 1 9 9 7 ) Giải phương trì n h
2 3
2 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x
   
       
      
       
       
Đs:
5 5 5
5 , 5 , 5 ,
4 12 3
x k x k x k k

  
  
        

2. Biến đổi tích thành tích và ngược lại
Bài 1: Giải phươn g t r ì n h :
sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0
x x x x x x
     
Giải:
Nhận xét:
Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu ) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng
h o ặc hiệu các góc bằng nhau
Phương trì n h






sin 6 sin sin 5 sin 2 sin 4 sin 3 0
x x x x x x
      
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
12
 

7 5 3 7 3
2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cos 1 0
2 2 2 2 2 2
2
7
sin 0
7
2
3 2
cos 0 ;
2 3 3
2cos 1 0
2
2
3
x x x x x x
x
k
x
x
x k
x k Z
x
x k

 


 
 

      
 
 
 
 










     




 


  




Bài 2: Giải phươn g t r ì n h :
3 3

2 3 2
cos 3 cos sin 3 sin
8
x x x x

 

Giải:
Nhận xét:
Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà
ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Phương trì n h
   
2 2
1 1 2 3 2
cos cos 4 cos 2 sin cos 2 cos 4
2 2 8
x x x x x x

    

   
   
2 2 2 2 2
2 3 2 2 3 2
cos 4 cos sin c o s 2 cos sin c o s 4 cos 2
4 4
2
4cos 4 2 1 cos 4 2 3 2 cos4
2 16 2

x x x x x x x x
k
x x x x k Z
 
 
       
           
Cách khác:
Sử dụng công thức nhân ba
3 3
1 3 3 3 1 3
cos 3 cos si n 3 sin cos 3 cos 3 cos sin sin sin 3 cos 4
4 4 4 4 4 4
x x x x x x x x x x x
   
      
   
   

Bài tập tự giải:
Bài 1: (HVQHQT – 2000) Giải phương trì n h :
cos cos3 2cos5 0
x x x
  
Đs:
1 , 2
2
2
x k
x k






 



  


v ới
1, 2
1 17
cos
8




Bài 2: (ĐHNT 1997) Giải phương trì n h :
9sin 6cos – 3sin 2 cos 2 8
x x x x
  
Đs:
2
2
x k



 
Bài 3: (ĐHNTHCM – 2 0 0 0 ) Giải phương trì n h :
1 sin cos3 cos sin 2 cos 2
x x x x x
    
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
13
Đs:
2
3
7
,
6 6
x k
x k
x k x k



 
 






  



      

Bài 4: (ĐHYN – 2000) Giải phương trì n h :
sin 4 tan
x x

Đs:
2
x k
x k







  

với
1 3
cos
2

 



Bài 5: (ĐHYHN – 1996) Giải phương trì n h :


cos – sin cos sin cos cos 2
x x x x x x


Đs:
2
4
x k
x k





 



 


Bài 6: (ĐHHH – 2 0 0 0 ) Giải phương trì n h :





2
2sin 1 3cos 4 2sin – 4 4cos 3
x x x x
   
Đs:
2
6
7
2
6
2
x k
x k
k
x






  



 







Bài 7: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trì n h :
3 3
cos – sin s i n – c o s
x x x x

Đs:
4
x k


 
Bài 8: (ĐTTS – 1 9 9 6 ) Giải phương trì n h :
3 3
cos sin si n – c o s
x x x x
 

Đs:
2
x k


 
Bài 9: (ĐHCSND – 2000) Giải phương trì n h :
3 3
cos sin si n 2 sin cos
x x x x x

   

Đs:
2
k
x



Bài 10: (HVQY – 2000) Giải phương trì n h :
2 3
cos s i n cos 0
x x x
  
Đs:
2
2
4
x k
x k
 

 
 



  

v ới

1
cos 1
2

 
Bài 11: (HVNHHN – 2000) Giải phương trì n h :
3 2
cos cos 2sin – 2 0
x x x
  
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
14
Đs:
2
2
2
2
2
x k
x k
x k







 



  






Bài 12: (HVNHHCM – 2000) Giải phương trì n h :
2 3
sin sin cos 0
x x x
  
Đs:
2
2
4
x k
x k
 

 
 




  

với
1
cos 1
2

 
Bài 13: (DDHBCVTHCM – 1997) Giải phương trì n h :
2
cos – 4sin cos 0
x x x

Đs:
2
x k
x k


 

 


 

với
1
tan
4



Bài 14: (HVKTQS – 1999) Giải phương trì n h :
3 3
2sin – sin 2cos – cos cos 2
x x x x x
 
Đs:
2
4
4 2
2
x k
k
x
x k


 
 

  



 


 




Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trì n h :
3
4cos 3 2 sin 2 8cos
x x x
 

Đs:
2
2
4
3
4
x k
x k
x k







 



 




 


3. Sử d ụ n g c ô n g t h ứ c hạ b ậ c
Khi giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử
dụng các công thức hạ bậc… từ đó đưa về các phương trình cơ bản
Bài 1: (ĐHAG – 2 0 0 0 ) Giải phương trì n h
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
  
Giải:
Nhận xét:
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
15
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung
62
4
2
x x
x



m à t a n g h ĩ đ ế n v i ệ c h ạ b ậ c v à s ử dụng
công thức biến đổi tổng thành tích sau đó n h ó m c á c h ạng tử đưa về phương trì n h t í c h
cos 2 cos 4 cos 6 0 cos 4 (2cos 2 1 ) 0
x x x x x
      
cos 4 0
1
8 4 3
cos 2
2
x
k
x x k
x
  




       

 

Bài 2: (ĐH – B 2 0 0 2 ) Giải phương trì n h :
2 2 2 2
sin 3 cos 4 s i n 5 cos 6
x x x x
  

Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin, cos mà ta nghĩ đ ế n v i ệ c h ạ b ậ c v à kết hợp với công thức biến đổi tổng
thành tích đưa về phương trì n h t í c h
Phương trì n h
1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
2 2 2 2
x x x
   
   





cos12 cos10 c o s 8 cos 6 0
x x x x
    
2cos11 .cos 2cos 7 .cos 0
x x x x
  


cos cos11 cos 7 0
x x x
  
cos .sin 9 .sin 2 0 sin 9 .sin 2 0
x x x x x
   
sin 9 0 9

9
,
sin 2 0 2
2
x k
x x k
k
x x k
x k







 
 
   

 
 
 





Đs:
 

; ,
9 2
x k x k k
 
  

Chú ý: Có thể nhóm




cos12 cos8 cos10 cos 6 0
x x x x
   
Bài 3: (ĐH – D 2 0 0 3 ) Giải phương trì n h :
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x

 
  
 
 

Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin mà ta nghĩ đ ế n v i ệ c h ạ b ậ c v à nhóm các hạng tử đưa về phương trì n h
tích

Điều kiện:
cos 0
x

Phương trì n h
2
1 cos tan
2
1 cos
0
2 2
x x
x

 
 
 
 
 

 
 
  




2 2 2 3
1 sin tan 1 cos 0 1 sin sin cos cos 0
x x x x x x x

         
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
16
(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0
sin cos 0
1 sin cos cos sin 0
x x x x x x
x x
x x x x
     
 



   

Khi
sin cos 0 tan 1 ;
4
x x x x k k



        

Khi

1 sin cos cos sin 0
x x x x
   
Đặt
2
1
c o s sin sin cos
2
t
t x x x x

   

Ta được
2
2 1 0
t t
  
1
t
  
2 3
cos cos
4 2 4
x
 

 
   
 

 

2
3
2
2
4 4
2
x k
x k
x k


 

 

 

     

  

So với điều kiện ta chỉ nhận
2
x k
 
  
Cách 2:
2

2 2
2
1 sin 1
1 cos ( 1 c o s ) ( 1 s i n ) s i n ( 1 c o s ) c o s
2 2 2cos
x
x x x x x x
x

 
 
        
 
 
 
 

2
sin 1
2
( 1 s i n ) ( 1 c o s ) ( s i n cos ) 0 cos 1 2
tan 1
4
x k
x
x x x x x x k
x
x k



 



 





          




 

  


K ết hợp với điều kiện ta được



kxkx 
4
2

Chú ý: Vì
cos 0 sin 1

x x
   
nên ta loại ngay được
2
2
x k


 

Đs:
 
2 , ,
4
x k x k k

  
     

Bài 4: (ĐH – A 2 0 0 5 ) Giải phương trì n h :
2 2
cos 3 .cos 2 – cos 0
x x x

Giải:
Cách 1:
Phương trì n h
1 cos6 1 cos2
.cos 2 0
2 2

x x
x
 
  
cos6 .cos 2 1 0
x x
  
 
1
cos8 cos 4 1 0
2
x x
   
2
2cos 4 1 cos 4 2 0
x x
    
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
17
 
2
cos 4 1
2cos 4 c o s 4 3 0
3
cos 4 1
2

x
x x
x loai



    

   

 
4 2
2
x k x k k


    

Cách 2:


3 4 2
cos 6 cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 .cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 1 0
x x x x x x x
          
Đs:
 
2
k
x k


 

Cách 3:
cos 6 cos 2 1
x x
 
cos 2 1 cos6 1
cos 2 1 cos6 1
x x
x x
  



    

Khi
cos 2 1
x

thì
3
cos 6 4cos 2 3cos2
x x x
 
=1
Khi
cos 2 1
x

 
thì
3
cos 6 4cos 2 3cos2 1
x x x
   
Vậy hệ trên tương đương
sin 2 0
x

cho ta nghiệm
2
x k


Chú ý: Một số kết quả thu được
1 sin ,cos 1
x x
  
sin 1 cos 1
sin .cos 1
sin 1 cos 1
a b
a b
a b
  

 

    


sin 1 sin 1
sin .sin 1
sin 1 sin 1
a b
a b
a b
  

 

    

cos 1 cos 1
cos .cos 1
cos 1 cos 1
a b
a b
a b
  

 

    

Tương tự cho trường hợp vế phải là 1
sin 1 cos 1
sin .cos 1
sin 1 cos 1
a b

a b
a b
   

  

   

sin 1 sin 1
sin .sin 1
sin 1 sin 1
a b
a b
a b
   

  

   

cos 1 cos 1
cos .cos 1
cos 1 cos 1
a b
a b
a b
   

  


   

www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
18
Bài 5: (ĐHL – 1995) Giải phương trì n h
4 4
cos sin 1
4
x x

 
  
 
 
Giải:
Phương trì n h
2
2
1 cos 2
1 cos2
2
1
2 2
x
x


 
 
 
 
 

 
 
 
  
 
 
 
 
 
2 2
( 1 cos 2 ) ( 1 sin 2 ) 1 cos 2 si n 2 1 2 cos 2 1
2
x x x x x

 
            
 
 

1
cos 2 ,
2 2 4
2
x x k x k k

  
 
 
           
 
 

Bài 6: (ĐHDB – 2003) Giải phương trì n h :


1
1
cos
2
42
sin2cos32
2









x
x
x


Giải:
Điều kiện:
2
1
cos x

Ph ư ơ n g t r ì n h
0cos
2
3
sin
2
1
20sincos31cos2
2
cos1cos)32( 




















 xxxxxxx








)12(
3
2
1
cos
3
3
0
3
sin2 



  












 nx
x
kx
kxx
Đs:
,
3
x k k


  

Bài 7: (QGHN – 1998) Giải phương trì n h
2 2 2
sin cos 2 cos 3
x x x
 

Giải:
Phương trì n h
1 cos 2 1 cos4 1 cos6

cos 2 cos4 1 cos6 0
2 2 2
x x x
x x x
  
       
2
2cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0 4cos3 cos 2 co
s 0
x x x x x x x x x
       
6 3
,
4 2
2
x k
x k k
x k
 
 



 



   




 



www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
19
Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trì n h
3 2
2
3 ( 1 s i n )
3tan tan 8cos 0
4 2cos
x x
x x x
x


 
    
 
 

Giải:
Phương trì n h





3 2
3tan tan 3 ( 1 sin ) 1 tan 4 1 sin 0
x x x x x
       




   
 
 
3 2
2
2
3tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0
3tan 1 sin tan 1 sin tan 0
1 sin tan 3tan 1 0
x x x x x
x x x x x
x x x
      
     
    
TH 1:
1
tan ,
6

3
x x k k


      

TH 2:
1 sin tan 0 sin cos sin cos 0
x x x x x x
      
(pt đối xứng với sin và cos)
Giải phương trì n h n à y t a được
2 ,
4
x k k

 
   

với
2 1
cos
2




Bài 9: ĐH – B 2007) Giải phương trì n h :
2
2sin 2 s i n 7 1 sin

x x x
  
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung x, 2x, 7x và
7
2.2
2
x x
x


chính vì thế ta định hướng hạ bậc chẵn và áp dụng công
thức biến đổi tổng thành tích
Phương trình


2
sin 7 sin 1 2sin 2 0
x x x
    
2cos 4 .sin 3 cos 4 0
x x x
  
 
cos 4 0
cos 4 2sin 3 1 0
1
sin 3
2

x
x x
x



   



4
8 4
2
2
3 2 ,
6 18 3
5 5 2
3 2
6 18 3
x k
x k
x k x k k
x k x k
 

  

  




 
 






      





   
 



Đs:
 
2 5 2
; ,
18 3 18 3
x k x k k
   
    

www.DETHITHU.NET

www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
20
Bài tập tự giải:
Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trì n h : s i n
4
x +
8
9
)
4
(sin)
4
(sin
44



xx

Đs:
,
2
x k k


   


với
2 6
cos
2

 


Bài 2: (ĐHQGHN – 1 9 9 8 ) Giải phương trì n h :
2 2 2
sin cos 2 cos 3
x x x
 

Đs:
6 3
,
4 2
k
x
k
k
x
 
 

 





 



Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trì n h :
2 2
17
sin 2 – cos 8 sin 10
2
x x x

 
 
 
 
Đs:
20 10
,
6 3
k
x
k
k
x
 
 

 





 



Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trì n h :


2 2
sin 4 – cos 6 sin 10,5 10
x x x

 

Đs:
20 10
,
2
k
x
k
x k
 



 





 



Bài 5: (TCKT – 2001)
2 2 2
sin sin 3 3cos 2 0
x x x
  
Đs:
,
3 2
x k x k
 
 
     
với
5 1
,cos
2
k


 

Bài 6: (ĐHTDTT – 2001) Giải phương trì n h : c o s 3 x + sin7x =
2

9
cos2)
2
5
4
(sin2
22
xx


Đs:
12 6
,
4
8 2
k
x
x k k
k
x
 


 

 



  




  



Bài 7: (ĐHNTHCM – 1 9 9 5 ) Giải phương trì n h :
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
 

Đs:
,
8 4
k
x k
 
  

Bài 8: (KTMM – 1999) Giải phương trì n h :
8 8
17
sin cos
32
x x 

www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
21
Đs:
,
8 4
k
x k
 
  

Bài 9: (HVQY – 1997) Giải phương trì n h :
8 8
1
sin 2 cos 2
8
x x
 
Đs:
,
8 4
k
x k
 
  

Bài 10: (ĐHSPHN – A 200) Tìm các nghiệm của phương trì n h

2 2
7
sin sin 4 si n 2 4sin
4 2 2
x
x x x

 
   
 
 
thỏa mãn điều kiện
1 3
x
 
Đs:
7
;
6 6
x
 
 

Bài 11: (ĐHSP HCM – A 2000) Giải phương trì n h :
2 2
sin sin c o s s i n 1 2cos
2 2 4 2
x x x
x x


 
   
 
 
Đs:
,x k k

 

Bài 12: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trì n h :
2 2 2
2cos 2 cos 2 4sin 2 cos
x x x x
 

Đs:
,
8 4
k
x k
 
  

5. Sử d ụ n g 7 h ằ n g đ ẳ n g t h ứ c đ á n g n h ớ v à m ột số đẳng thức quan trọng
 
2
2 2
1 sin 2 si n cos 2sin cos sin cos
x x x x x x x
     

2 2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )
x x x x x x x
     
sin 2
sin cos
2
x
x x 









3 3 2 2
sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos
x x x x x x x x x x x x
       










3 3 2 2
sin cos sin cos sin sin .cos c o s sin cos 1 sin .cos
x x x x x x x x x x x x
       

2
tan cot
sin 2
x x
x
 
,
cot tan 2cot
x x x
 
4 4 2 2 2 2
1 1 1 3 1
sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
2 2 2 4 4
x x x x x x x
        





4 4 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos 2
x x x x x

    
6 6 4 4 2 2 2
3 3 5
sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 4
4 8 8
x x x x x x x x
       
6 6 4 4 2 2
cos sin cos 2 (sin cos sin cos )
x x x x x x x
   
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
22
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
 
   
   
   
   


1
1 tan .tan
2 cos

x
x
x
 

Mối quan hệ giữa
cos
x
và
1 sin
x

là
2
cos cos 1 sin
1 sin cos (1 sin ) cos
x x x
x x x x

 
 

Bài 1: (ĐH – D 2 0 0 7 ) Giải phương trì n h :
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
  

 
 

Giải:
Phương trì n h
2 2
sin 2sin cos cos 3 cos 2
2 2 2 2
x x x x
x
    
sin 3 cos 1
x x
  
1 3 1
si n cos
2 2 2
x x
  
1
sin .cos cos .sin
3 3 2
x x
 
  
1
sin
3 2
x


 
  
 
 

 
2 2
3 6
6
5
2 2
3 6
2
x k x k
k
x k x k
  
 
  
 
 
     
 
  




    
 



Đs:
 
2 , 2 ,
2 6
x k x k k
 
 
     

Bài 2: (ĐH – B 2 0 0 3 ) Giải phương trì n h :
x
xxx
2
sin
2
2sin4tancot 

Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện hiệu
cot tan
x x

v à
sin 2
x
ta xem chúng có mối quan hệ thế nào, có đưa về nhân tử chung
h a y c u n g m ột cung 2x hay không

Ta có
2 2
cos sin cos 2 2cos 2
sin cos sin cos sin 2
x x x x
x x x x x

 
từ đó ta định hướng giải như sau
Điều kiện:
sin 0
cos 0 sin 2 0
2
sin 2 0
x
k
x x x
x




    




www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
23
2 2
cos sin 2 cos 2 1
4sin 2 2sin 2
sin cos sin 2 sin 2 si n 2
x x x
x x
x x x x x

     

2 2
cos 2 2sin 2 1 2cos 2 cos 2 1 0
x x x x
      
cos 2 1
1
cos 2
2
x
x









Khi
cos 2 1
x

thì
sin 0
x

không thỏa ĐK
Khi
1
cos 2
2
x


thì
2
1
cos x
4

thỏa mãn điều kiện
Vậy ta nhận
1
cos 2
2 3
x x k




    
Đs:
 
,
3
x k k


   

Chú ý:
Từ mối quan hệ giữa
tan
x
và
cot
x
, giữa
tan
x
và
sin 2
x
ta có thể làm như sau
Đặt
2
1
cot

tan
2
sin 2
1
x
t
t x
t
x
t



 






Ta được phương trì n h
2
2
1 2 1
4 2
2
1
t t
t
t t

t

  

… bạn đọc giải tiếp nhé
Bài 3: (ĐH – D 2 0 0 5 ) Giải phương trì n h :
4 4
3
cos sin cos .sin 3 0
4 4 2
x x x x
 
   
     
   
   

Giải:
Nhận xét:
Từ đẳng thức
4 4 2
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
  
và hiệu hai cung
3 2
4 4
x x x

 
   
   
   
   

Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x
Phương trì n h
2 2
1 1
2sin cos sin 4 sin 2 0
2 2 2
x x x x

 
 
      
 
 
 
 

2
s in 2 cos 4 sin 2 1 0
x x x
     
2
sin 2 sin 2 2 0
x x
   

www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
24
sin 2 1 ;
4
x x k k


     

Đs:
 
,
4
x k k


  

Bài 4: Giải phương trì n h
6 6 2
13
cos sin cos 2
8
x x x
 

Giải:
Nhận xét:
Đề bài xuất hiện cung 2x, ta nghĩ xem liệu hiệu
6 6
cos s i n
x x

có biểu diễn qua cung 2x để có nhân tử chung
h a y k h ô n g t a l à m n h ư s a u
2 3 2 3 2
13
(cos ) ( sin ) cos 2
8
x x x
  
2 2 4 4 2 2 2
13
(cos sin )(c os sin sin cos ) cos 2
8
x x x x x x x
    

2 2 2 2 2
1 1 13
cos 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (8 2sin 2 ) 13cos 2
2 4 8
x x x x x x x
 
      
 

 

2 2 2
cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0
8 2sin 2 13cos2 8 2(1 cos 2 ) 13cos2 2cos 2 13cos2 6 0
x x x
x x x x x x
  
  
  
  
       
  
cos 2 0
1
4 2
cos 2 ( k )
2
cos 2 6 ( )
6
x
x k
x
x k
x loai
 






  



   



  






Bài 5: (GTVT – 1998) Giải phương trì n h
tan cot 2(sin 2 cos 2 )
x x x x
  
Giải:
Điều kiện
cos 0
sin 2 0
sin 0
x
x
x



 



sin cos
tan c o t 2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 c o s 2 )
cos sin
1 2
2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )
sin cos sin 2
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x x
      
     
2
1 sin 2 (sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 sin 2 cos 2
x x x x x x
     
2
cos 2 0
cos 2 sin 2 cos 2 ,
tan 2 1
4 2 8 2
x
k k
x x x x x k
x

   


         




Bài 6: (QGHN – 1996) Giải phương trì n h
3
tan cot 2cot 2
x x x
 

Giải:
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
25
Điều kiện
cos 0
sin 0 sin 2 0
2
sin 2 0
x
k
x x x
x





    




3 3
3 3
sin cos
tan cot 2cot 2 2cot 2
cos sin
2cos2
2cot 2 cot 2 cot 2
sin 2
x x
x x x x
x x
x
x x x
x
    
     
2
cot 2 0
2 ,
2 4 2
cot 2 1 ( )

x
k
x k x k
x loai
  



       

 


Bài 7: (ĐH – A 2 0 0 6 ) Giải phương trì n h : 0
sin22
cossin)sin(cos2
66



x
xxxx

Giải:
Điều kiện:
1
sin
2
x 

Phương trì n h
4 4 2 2
2(cos sin sin c o s ) sin cos 0
x x x x x x
    
2 2
2 6sin cos sin cos 0
x x x x
   
2
3sin 2 sin 2 4 0
x x
   
sin 2 1
4
x x k


    
2
4
;
5
2
4
x k
k
x k






 

 


 



Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trì n h là
5
2 ;
4
x k k


  

Bài 8: (ĐH – A 2 0 1 0 ) Giải phương trì n h :
 
1 sin cos 2 sin
1
4
c o s
1 tan
2
x x x

x
x

 
  
 
 



Giải:
Điều kiện:
tan 1
cos 0
x
x
 




Phương trì n h
   
2sin 1 sin c o s 2 1 tan .cos
4
x x x x x

 
     
 

 


  
s i n c o s
s i n c o s 1 sin c o s 2 .cos
c o s
x x
x x x x x
x

   

sin cos 2 0
x x
  
www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
26


2
sin 1
2sin sin 1 0
1
sin
2

x loai
x x
x


    

 


 
2
6
7
2
6
x k
k
x k





  

 


 




Đs:
7
2 , 2 ,
6 6
x k x k k
 
 
     

Bài 9: (ĐHDB – 2002) Giải phương trì n h :
x
x
x
xx
2
sin
8
1
2cot
2
1
2
sin
5
cossin
44




Giải:
Điều kiện:
sin 2 0
x

Ph ư ơ n g t r ì n h
0
4
9
2cos52cos
8
1
2cos
2
1
5
2sin
2
1
1
8
1
2cos
2
1
5
cos.sin21
2

2
22




 xxx
x
x
xx













kxx
loaix
62
1
2cos
)(
2

9
2cos
Bài 10: (ĐH – B 2 0 0 5 ) Giải phương trì n h :
1 sin cos sin 2 cos 2 0
x x x x
    
Giải:
Phương trì n h
 
2
2 2
sin c o s sin c o s c o s s i n 0
x x x x x x
      
(sin cos )(1 2 cos ) 0
x x x
   
s i n 0
4
4
;
2
1
2
cos
3
2
x
x k
k

x k
x






 

 
  
 


 

  



  
 





Đs:
 

2
2
3
x k k


   

Bài 11: (ĐHDB – 2002) Giải phương trì n h :
2
tan cos – cos sin (1 tan .tan )
2
x
x x x x x  

HD:
Điều kiện:







0
2
cos
0cos
x
x

www.DETHITHU.NET
www.dethithu.net
DeThiThu.Net