Ảnh hưởng của từ trường lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong giếng lượng tử có kể đến sự giam cầm của phonon
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.4 MB, 78 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ THỊ HỒNG DUYÊN
ẢNH HƢỞNG CỦA TỪ TRƢỜNG LÊN HỆ SỐ
HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BỞI
ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG GIẾNG LƢỢNG TỬ
CÓ KỂ ĐẾN SỰ GIAM CẦM CỦA PHONON
Chuyên ngành : Vật lí chất rắn
Mã số : 60 44 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
HÀ NỘI, 2012
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với GS.TS.
NGUYỄN QUANG BÁU, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tôi hoàn thành luận
văn này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Vật Lý – Trƣờng
Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy , giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu tại trƣờng.
Cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý, phòng Sau đại học Trƣờng Đại
Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Học viên
Vũ Thị Hồng Duyên
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng, số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn
này là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng, mọi sự giúp đỡ cho việc hoàn chỉnh luận
văn đều đã đƣợc cảm ơn. Các thông tin, tài liệu trình bày trong luận văn này
đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Học viên
Vũ Thị Hồng Duyên
1
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 2
CHƢƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ GIẾNG LUỢNG TỬ VÀ HẤP THỤ PHI TUYẾN
SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG GIẾNG LƢỢNG TỬ KHI
CÓ MẶT TỪ TRƢỜNG TRƢỜNG HỢP PHONON KHÔNG GIAM CẦM 6
1.1. Khái niệm về giếng lƣợng tử 6
1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử 7
1.3. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong giếng
lƣợng tử khi có mặt từ trƣờng trƣờng hợp phonon không giam cầm 9
CHƢƠNG 2 HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG GIẾNG LƢỢNG TỬ KHI CÓ MẶT TỪ TRƢỜNG
NGOÀI CÓ KỂ ĐẾN ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM 31
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon quang giam cầm trong giếng lƣợng tử
khi có mặt từ trƣờng ngoài 31
2.2. Phƣơng trình động lƣơng tử của điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử
khi có mặt từ'trƣờng ngoài có kể đến ảnh hƣởng của phonon giam cầm 32
2.3. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong giếng
lƣợng tử khi có mặt từ trƣờng ngoài có kể đến ảnh hƣởng của phonon giam
cầm 41
CHƢƠNG 3 TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO
GIẾNG LƢỢNG TỬ GaAs/GaAsAl 51
3.1 Tính toán số và vẽ đồ thị cho hệ số hấp thụ cho trƣờng hợp giếng lƣợng tử
GaAs/GaAsAl 51
3.2 Thảo luận các kết quả thu đƣợc 55
KẾT LUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59
PHỤ LỤC 61
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thành tựu khoa học của vật lý cuối những năm 80 của thế kỷ 20 đƣợc
đặc trƣng bởi sự chuyển hƣớng đối tƣợng nghiên cứu chính từ các bán dẫn
khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều, nhƣ bán dẫn có
cấu trúc 2 chiều (giếng lƣợng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp,
màng mỏng, …), hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dây lƣợng tử: hình trụ,
hình chữ nhật,…), hoặc bán dẫn có cấu trúc không chiều (chấm lƣợng tử lập
phƣơng, hình cầu) [1-9].
Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh
kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện
đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và trong quang
- điện tử nói riêng, là cơ sở của sự phát triển mạnh mẽ máy tính, các thiết bị
điện tử hiện đại thế hệ mới siêu nhỏ, thông minh và đa năng nhƣ hiện nay.
Hàng loạt các linh kiện, thiết bị điện tử ứng dụng công nghệ bán dẫn thấp
chiều đã và đang đƣợc tạo ra, chẳng hạn nhƣ: các lase bán dẫn chấm lƣợng tử,
các điôt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các vi mạch điện tử tích hợp thấp
chiều.
Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, các công trình về hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong bán dẫn đã đƣợc nghiên cứu khá nhiều
[1]. Các công trình nghiên cứu về hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi
điện tử giam cầm trong các bán dẫn thấp chiều cũng đƣợc quan tâm nghiên
cứu nhiều trong thời gian gần đây[5-7,10-14]. Bài toán về hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử khi không có
mặt từ trƣờng nhƣng phonon giam cầm đã đƣợc công bố[12]. Bài toán về hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử
3
khi có mặt từ trƣờng nhƣng phonon không giam cầm thì cũng giải quyết và
đã đƣợc công bố [10]. Tuy nhiên, bài toán về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh bởi điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử kể cả phonon giam cầm lẫn
có mặt từ trƣờng cho đến nay vẫn còn bỏ ngỏ. Vì vậy. trong luận văn của
mình, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Ảnh hưởng của từ trường lên hệ số hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong giếng lượng tử có kể
đến sự giam cầm của phonon” để giải quyết các vấn đề còn bỏ ngỏ mà các
công trình trƣớc đây chƣa đề cập đến.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ảnh hƣởng của từ trƣờng lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử có kể đến sự giam
cầm của phonon.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Thiết lập đƣợc phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm
trong giếng lƣợng tử khi có mặt sóng điện từ và từ trƣờng .
- Tính đƣợc biểu thức giải tích tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử trong từ trƣờng
khi chịu ảnh hƣởng của phonon giam cầm.
- Từ các kết quả lý thuyết tính số và vẽ đồ thị hệ số hấp thụ đối với
giếng lƣợng tử GaAs/ GaAsAl.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu : giếng lƣợng tử .
- Phạm vi nghiên cứu : tính toán lý thuyết và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của
hệ số hấp thụ phi tuyến vào các đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho hiệu ứng.
5. Về phƣơng pháp nghiên cứu
Để giải quyết bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ có thể sử dụng
nhiều phƣơng pháp lý thuyết khác nhau nhƣ lý thuyết hàm Green, phƣơng
pháp phƣơng trình động lƣợng tử Trong luận văn này chúng tôi sử dụng
4
phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử. Từ Hamilton của hệ trong biểu
diễn lƣợng tử hóa lần hai ta xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử
giam cầm, áp dụng phƣơng trình động lƣợng tử để tính mật độ dòng hạt tải,
từ đó suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ. Đây là phƣơng pháp đƣợc
sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao
và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
3. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo
và phụ lục, luận văn đƣợc chia làm 3 chƣơng:
ChươngI: Giới thiệu về giếng lƣợng tử và hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
bởi điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử khi có mặt từ trƣờng ngoài trƣờng
hợp phonon không giam cầm.
ChươngII: Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm
trong giếng lƣợng tử khi có mặt từ trƣờng ngoài trƣờng hợp phonon giam
cầm.
ChươngIII: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho giếng lƣợng
tử GaAs/GaAsAl.
Trong đó chƣơng II và chƣơng III là hai chƣơng chứa đựng những kết quả
chính của luận văn.
Luận văn này đã đƣa ra đƣợc biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử khi có mặt từ
trƣờng. Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc phi tuyến vào
cƣờng độ sóng điện từ E
0
, phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính nào nhiệt
độ T của hệ, tần số
của sóng điện từ, tần số cyclotron Ω
B
của từ trƣờng ,
các tham số của giếng lƣợng tử ( n, L)
Và đặc biệt, do có sự ảnh hƣởng của tham số m đặc trƣng cho sự giam
cầm của phonon đã tác động lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ cho ta sự
khác biệt định tính và định lƣợng so với trƣờng hợp phonon không giam cầm đã
đƣợc tính toán trƣớc đó. Khi cho tham số giam cầm m =0 thì hệ số hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử có kể đến ảnh
5
hƣởng của phonon giam cầm lại trở về trƣờng hợp tính hệ số hấp thụ phi tuyến
trong trƣờng họp phonon không giam cầm.Từ biểu thức giải tích của hệ số hấp
thụ phi tuyến, tôi đã tiến hành tính toán số đối với giếng lƣợng tử GaAs/GaAsAl.
Các kết quả thu đƣợc trong luận văn một phần đƣợc báo cáo ở Hội nghị vật lý lý
thuyết toàn quốc lần thứ 37 Cửa Lò 8/2012.
6
CHƢƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ GIẾNG LUỢNG TỬ VÀ HẤP THỤ PHI TUYẾN
SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG GIẾNG LƢỢNG
TỬ KHI CÓ MẶT TỪ TRƢỜNG TRƢỜNG HỢP PHONON
KHÔNG GIAM CẦM
1.1. Khái niệm về giếng lƣợng tử:
Giếng lƣợng tử (Quantum Wells) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử
chuẩn hai chiều, đƣợc cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ
bằng nhau, có cấu trúc tinh thể tƣơng đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất
khác nhau sẽ xuất hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa
cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó đã tạo ra
một giếng thế năng đối với các điện tử, làm cho chúng không thể xuyên qua
mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh. Và do vậy trong cấu trúc
hố lƣợng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bởi
các hố thế lƣợng tử hai chiều đƣợc tạo bởi mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán
dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau. Đặc điểm chung của các hệ điện tử
trong cấu trúc giếng lƣợng tử là chuyển động của điện tử theo một hƣớng nào
đó (thƣờng chọn là hƣớng z) bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lƣợng của điện tử
theo trục z khi đó bị lƣợng tử hoá, chỉ còn thành phần xung lƣợng của điện tử
theo hƣớng x và y biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong giếng lƣợng tử do sự giam giữ
điện tử là mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu nhƣ trong cấu trúc với hệ điệntử
ba chiều, mật độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật
ε
1/2
(với ε
là năng lƣợng của điện tử), thì trong giếng lƣợng tử cũng nhƣ các hệ thấp
chiều khác, mật độ trạng thái bắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng
thái có năng lƣợng thấp nhất và quy luật khác ε
1/2
. Vì các dịch chuyển phụ
7
thuộc vào mật độ trang thái (hoặc là trạng thái đầu hoặc là trạng thái cuối)
nên các dịch chuyển sẽ đƣợc mở rộng do mật độ trạng thái khác 0 tại cực tiểu
vùng năng lƣợng.
Các hố thế có thể đƣợc xây dựng bằng nhiều phƣơng pháp nhƣ epytaxy
chùm phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp
bán dẫn trong giếng lƣợng tử phải phù hợp để có chất lƣợng cấu trúc giếng
lƣợng tử tốt. Khi xây dựng đƣợc cấu trúc hố thế có chất lƣợng tốt, có thể coi
hố thế đƣợc hình thành là hố thế vuông góc.
1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong giếng lƣợng tử:
Ta đã biết một trong những tham số quan trọng nhất của chất bán dẫn
là độ rộng vùng cấm. Bằng kỹ thuật Epytaxi chúng ta có thể tạo ra các lớp dị
tiếp xúc của hai chất bán dẫn với độ rộng vùng cấm khác nhau. Trong trƣờng
hợp giếng lƣợng tử, do cấu trúc một lớp mỏng bán dẫn này đƣợc đặt giữa hai
lớp bán dẫn khác, ví dụ: AlGaAs – GaAs – AlGaAs, sự khác biệt giữa các
cực tiểu vùng bán dẫn tạo nên một hố thế năng với điện tử. Các hạt tải điện
nằm trong mỗi lớp bán dẫn không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các
lớp bán dẫn bên cạnh. Nhƣ vậy trong cấu trúc này các hạt tải điện bị định sứ
mạnh, chúng bị cách ly nhau trong hố thế này và phổ năng lƣợng bị lƣợng tử
hóa, các giá trị xung lƣợng đƣợc phép của điện tử theo chiều vuông góc với dị
tiếp xúc cũng bị giới hạn.
Giả sử chuyển động của điện tử trong hố thế bị giới hạn theo phƣơng z.
Theo cơ học lƣợng tử, năng lƣợng của điện tử theo phƣơng z sẽ bị lƣợng tử
hoá và đƣợc đặc trƣng bởi một số lƣợng tử n nào đó. Trong khi đó chuyển
động của các điện tử trong mặt phẳng (xy) là tự do, phổ năng lƣợng của điện
tử trong mặt phẳng này sẽ có dạng Parabol thông thƣờng:
Với m: khối lƣợng hiệu dụng của điện tử; p
x
,p
y
các thành phần vectơ sóng
22
2
xy
pp
m
(1)
8
của điện tử theo các hƣớng x và y.
Phổ năng lƣợng tổng cộng của điện tử có dạng:
n
Để nghiên cứu sự hấp thụ sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong
giếng lƣợng tử, ta sử dụng mô hình lý tƣởng hóa hố thế hình chữ nhật, có
thành cao vô hạn. Giải phƣơng trình Schrodinger cho điện tử chuyển động
trong hố thế này trong trƣờng họp không có từ trƣờng ta thu đƣợc hàm sóng
và phổ năng lƣợng của điện tử có dạng [2]:
2 2 2
22
2
22
xy
n
pp
m mL
(3)
0
( ) sin
ip
rn
ez
r e p z
(4)
Với
0
: là hằng số chuẩn hóa;
,rp
là vị trí và vectơ sóng của điện tử trong
mặt phẳng (x,y);
n
n
p
L
là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiều
z.
Nhƣ vậy trong giếng lƣợng tử khi không có từ trƣờng, phổ năng lƣợng
của điện tử là sự kết hợp giữa phổ liên tục và phổ gián đoạn, không giống
trong bán dẫn khối, phổ năng lƣợng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự
biến đổi phổ năng lƣợng nhƣ vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả
tính chất của điện tử trong giếng lƣợng tử so với các mẫu khối.
Bây giờ giả sử có một từ trƣờng đƣợc định hƣớng song song với trục
của hố lƣợng tử nghĩa là
B
(0,0,B). Khi đó từ trƣờng chỉ ảnh hƣởng lên
chuyển động của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của giếng lƣợng
tử (mặt phẳng (x,y)) dẫn đến phổ năng lƣợng của điện tử có dạng [3]:
(2)
9
2
,0
1
2
n N B
p N n
Với
22
0
2
2mL
Trong đó: n= 0,1,2,3 : là số lƣợng tử hóa theo trục z; N= 0,1,2,3 : là
chỉ số mức phân vùng Landaure;
:
B
eB
mc
tần số cyclontron;
Nhƣ vậy, phổ năng lƣợng của điện tử trong hố lƣợng tử khi có mặt từ
trƣờng ngoài là gián đoạn hoàn toàn, cần chú ý rằng, chuyển động trong mặt
phẳng xy đƣợc mô tả bởi số lƣợng tử N (chỉ số mức phân vùng Landauer).
1.3. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong giếng
lƣợng tử khi có mặt từ trƣờng trƣờng hợp phonon không giam cầm
Chúng ta đều biết rằng chuyển động của điện tử trong giếng lƣợng tử
khi có mặt từ trƣờng thì năng lƣợng của nó bị lƣợng tử hóa thành các mức rời
rạc. Ta giả thiết rằng chiều của lƣợng tử hóa là z. Khi có mặt trƣờng bức xạ
Laze
0
sinE E t
đặt vuông góc và từ trƣờng B đặt song song với trục của
giếng lƣợng tử Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang trong biểu diễn
lƣợng tử hóa thứ cấp lần thứ 2 có thể viết dƣới dạng [3]:
e oph e oph
H H H H
Ở đây:
, , ,
,,
H
e n K n N k
n N k
e
H k A t a
c
0oph
q
H b b
22
, ' , '
', ',
, , ', ', ,
1
()
2
e oph n n z N N c
q n N k q q q
n N n N k q
H C I q J a q a b b
Trong đó:
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
10
: toán tử sinh (hủy) điện tử giam cầm trong trạng thái
,,n N k
: toán tử sinh (hủy) phonon;
,
.
H
nN
e
k A t
c
: năng lƣợng của điện tử khi có mặt từ
trƣờng ngoài
0
: năng lƣợng của một phonon quang
At
thế vectơ của trƣờng điện từ đƣợc xác định bởi:
:
q
C
hệ số tƣơng tác điện tử phonon quang:
2
2
0
2
00
2 . .
11
.
q
e
c
Vq
Với
là hệ số điện môi cao tần,
0
là hệ số điện môi tĩnh,
0
hằng số
điện môi trong chân không, V là thể tích của vật liệu.
'
,'
0
2
sin( )sin( )
z
z
L
iq z
nn
zz
n n q
I q z q z e dz
L
)
Với L: Độ rộng của hố lƣợng tử
2 2 2
,'
()
iq p
N N N c c c
J U r a p a q e r a p dr
)
Với
r
là vị trí của điện tử trong mặt phẳng (x,y); a
c
là bán kính quỹ đạo của
điện tử trong mặt phẳng (x,y);
22
2
;;
2
c
c
aq
c
aU
eB
là hàm điều hòa
Với mục đích thiết lập phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam
, , , ,n N k n N k
aa
bb
0
1 ( )
sin( )
d A t
Et
c dt
(10)
(11)
(12)
(13)
(10)
11
cầm trong giếng lƣợng tử khi có từ trƣờng ngoài, chúng ta thiết lập phƣơng
trình cho toán tử số hạt (hàm phân bố electron).
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm [1]:
, , , ,
,,
, , , ,
()
,
n N k n N k
n N k
n N k n N k
t
aa
nt
i i a a H
tt
Trong đó
t
ký hiệu giá trị trung bình thống kê ở thời điểm ;
, , , , , ,n N p n N k n N k
n a a
: hàm phân bố không cân bằng của điện tử
Thay Hamiltonian của hệ vào (14) ta có:
,,
, , , , , , , , , , , ,
()
, , ,
n N k
oph e oph
n N k n N k n N k n N k n N k n N k
tt
nt
i a a He a a H a a H
t
Tính số hạng thứ nhất ở vế phải của (15)
Từ biểu thức của
e
H
ở (7) ta có:
, , , ,
1,
n N k n N k
t
Sh a a He
=
11
,
. , . , . , . ,
,,
1,
H
nN
n N k n N k n N k n N k
n N k
t
e
Sh a a k A t a a
c
11
1
,
. , . , . , . ,
,,
,
H
nN
n N k n N k n N k n N k
n N k
t
e
k A t a a a a
c
Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử tồn tại các hệ thức giao hoán sau:
Giữa các toán tử sinh, hủy phonon tồn tại các hệ thức giao hoán sau:
, , , , 0
i k i k k i ik i k i k
b b bb b b b b b b
Từ đó suy ra:
,
, , 0
i k i k k i ik
i k i k
a a a a a a
a a a a
(14)
(15)
(16)
12
1 1 1 1
11
,
, , , ,
,,
, , , ,
, , , , 1 , , , , 1
, ( )
0
H
nN
n N k n N k
t
n N k
n n N N n n N N
n N k n N k k p k n N k n N k k k k
e
a a He k A t
c
a a a a
Tính số hạng thứ hai ở vế phải của (15):
Từ biểu thức của
oph
H
ở (8) ta có:
, , , ,
, , , , , , , , , , , ,
,,
2,
,0
oph
n N k n N k
t
n N k n N k m q m q m a m q n N k n N k
m q m q
t
Sh a a H
a a b b a a
Tính số hạng thứ ba ở vế phải của 15 :
Từ biểu thức của
e oph
H
ở (9 ) ta có:
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
, , , ,
22
' , '
, , , , ,
, , ', ' ,
', ', , ,
3,
1
,
2
e oph
n N k n N k
t
n n z N N c
n N k n N k q
n N n N k q
n N k q n N k q q
Sh a a H
a a C I q J a q
a a b b
1 1 1 1
1 1 1 1
''
11
11
22
' , '
,
, , ', ' ,
, , , , , ,
,,
1
2
,
n n z N N c
q
n N n N k q
n N k n N k n N k q q
n N k q
C I q J a q
a a a a b b
Sử dụng các hệ thức toán tử ta có :
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
, , , , ', ', , ,
, ' , ' , ,
, , , , ', ', , ,
,
q
n N k n N k n N k q n N k
n n N N n n N N
n N k n N k k k k n N k q n N k k k
a a a a
a a a a
Từ đó suy ra:
(17)
(18)
(19)
13
1
22
' , '
, , , , ,
', ',
*
, , , ', ', , ', ', , , ,
', ', , , , , , , , , ', ',
1
,
2
( ) ( )
()
e oph nn z N N c
n N k n N k q
t
n N q
n N k n N p q q n N k q n N p q
n N k q n N p q n N p n N p
a a H C I q J a q
F t F t
F t F
*
()
t
Với:
1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
, , , , , , , , ,
()
n N k n N k n N k n N k h
t
F t a a b
Thay (17), (18), (20) vào (15) ta đƣợc:
,,
22
' , '
', ',
()
1
2
n N k
nn z N N c
q
n N q
nt
i C I q J a q
t
*
, , , ', ', , ', ', , , ,
*
', ', , , , , , , , , ', ',
( ) ( )
( ) ( )
n N k n N p q q n N k q n N p q
n N k q n N p q n N p n N p q q
F t F t
F t F t
Hoàn toàn tƣơng tự ta thiết lập phƣơng trình động lƣợng tử cho toán tử
1 1 1 2 2 2
, , , ,n N k n N k h
t
a a b
ta có:
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
, , , ,
, , , ,
, , , , , , , ,
, , , ,
,
,,
,
h
n N k n N k
t
h
n N k n N k
t
h e h oph
n N k n N k n N k n N k
tt
h e oph
n N k n N k
t
a a b
i a a b H
t
a a b H a a b H
a a b H
Tƣơng tự ta cũng tính số hạng thứ nhất ở vế phải của (22):
Từ biểu thức của
e
H
ở (7) ta có:
1 1 1 2 2 2
'
, , , ,
,
he
n N k n N k
a a b H t
(20)
(21)
(22)
14
1 1 1 2 2 2
,
, , , , , , , ,
,,
()
H
h n N
n N k n N k n N k n N k
n N k
e
a a b k A t a a t
c
2 2 1 1
1 1 1 1 1 2
, 2 , 1
, , ', ' ,
HH
n N n N
n N k n N k h
t
ee
k A t k A t a a b
cc
Tính số hạng thứ hai ở vế phải của (22):
Từ biểu thức của
oph
H
ở (8) ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1
, , ', ' , , , , , ', ' , ,
,
oph
n N k q n N k m q m q n N k q n N k m q
t
a a b H t a a b
Tính số hạng thứ ba ở vế phải của (22):
Từ biểu thức của
e oph
H
ở (9) ta có:
1 1 1 2 2 2
, , , ,
,
oph
n N k n N k h
t
a a b H
22
, ' , '
, , , , , ', ', , ,
1 1 1 2 2 2
, , ' ',
1
,
2
n n z N N c
n N k n N k h q n N k q n N k q q
t
n N n N k q
a a b C I q J a q a a b b
22
11
22
,,
, , , ,
,,
1
2
n n z N N c
q n N k q n N k q h q q
t
n N q
C I q J a q a a b b b
11
22
,,
', ', , ,
1
2
n n z N N c
n N k q n N k q q h
t
I q J a q a a b b b
Thay (23), (24), (25) vào (22) ta có:
12
1 1 2 2
12
1 1 2 2
, , , , ,
, , , , ,
n N k n N k
n N k n N k
Ft
i F t
t
2 2 1 1
21
, , 0
( ) ( )
HH
n N n N
ee
k A t k A t
cc
22
2
11
22
,,
, , ,
,,
1
2
n n z N N c
q n N k n N k q h q q
t
n N q
C I q J a q a a b b b
(23)
(24)
(25)
15
11
22
,,
', ', , ,
1
2
n n z N N c
n N k q n N k q q h
t
I q J a q a a b b b
Hay:
2
12
2
12
, , , ,
, , , ,
()
( ) ( ) ( )
n k n k q
n k n k q
Ft
X t F t G t
t
Giải phƣơng trình (27) bằng phƣơng pháp biến thiên hàm số
Giải phƣơng trình vi phân thuần nhất tƣơng ứng :
2
12
12
12
0
, , , , ,
0
, , , , ,
()
( ) ( )
n k n k m q
n k n k m q
Ft
X t F t
t
Với điều kiện ban đầu :
0
()
0F
0
0
()
()
Ft
X t dt
Ft
Suy ra:
0
11
0
1
()
()
()
tt
Ft
X t dt
Ft
Hay:
0
1 1 1
ln ( )
t
F t X t dt
Suy ra:
0
1 1 1
( ) exp
t
F t X t dt
Đặt :
0
( ) ( )F t t F t
thay vào phƣơng trình (27) ta đƣợc:
0
00
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t F t
F t t X t t F t G t
tt
Tƣơng đƣơng:
(26)
(27)
(28)
(29)
16
0
()
( ) ( )
t
F t G t
t
Suy ra:
1
0
1
()
()
()
t
Gt
t dt
Ft
0
1
1 2 2
0
1
()
( ) ( ) ( ) exp ( )
()
tt
Gt
F t t F t dt X t dt
Ft
Theo đó ta đƣợc nghiệm của phƣơng trình (26) :
12
1 1 2 2
0
, , , , ,n N k n N k
Ft
2 2 1
1
21
, , 0 1
exp ( )
t
HH
n N n N
i e e
k A t k A t dt
cc
Từ đó ta suy ra nghiệm của phƣơng trình không thuần nhất (26) bằng phƣơng
pháp biến thiên hằng số và nó có dạng:
1 2 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2
0
, , , , , , , , , ,
()
n N k n N k n N k n N k
F t B t F t
Đạo hàm hai vế của (33) ta có:
12
1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
0
, , , , ,
0
, , , , , , , , , ,
()
()
( ) ( )
n N k n N k
n N k n N k n N k n N k
Ft
Bt
i F t i F t i B t
t t t
Thay (32) vào (34) ta có:
12
1 1 2 2
, , , , ,n N k n N k
i F t
t
1 1 1 1
21
' , ' ,
,
()
exp 1
t
HH
n N n N
mq
B t i e e
i k A t k A t dt
t c c
2 2 1 1
12
1 1 2 2
21
, , 0
, , , , ,
HH
n N n N
n N k n N k
ee
k A t k A t F t
cc
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
17
So sánh (35) và (26) ta đƣợc:
1 1 1 1
21
' , ' , 1
,
()
exp
t
HH
n N n N
mq
B t i e e
i k A t k A t dt
t c c
22
12
11
22
,,
, , , , , ,
,,
1
2
n n z N N c
q n N k n N k q h q q
t
n N q
C I q J a q a a b b b
11
2
11
22
,,
, , , ,
1
2
n n z N N c
n N k q n N k q q h
t
I q J a q a a b b b
Lấy tích phân cả hai vế lên ta đƣợc:
1
2 2 1 1
21
, , 0 1
( ) exp
t
t
HH
n N n N
i i e e
B t k A t k A t dt
cc
2 2 1
1
11
22
, , ' '
, , , ,
,,
1
2
n n z N N c n n
q n N k n N k q h q q
t
n N q
C I q J a q a a b b b
11
2
11
22
, , 1
, , , ,
1
2
n n z N N c
n N k q n N k q q h
t
I q J a q a a b b b dt
Thay (32), (37) vào (33) ta đƣợc :
1 1 1 1
12
, ' , , ',
,,
n n N N m
k k q
Ft
1
1 1 1 1
21
' , ' , 1
,
exp
t
t
HH
n N n N
mq
i e e
k A t k A t dt
cc
1
12
11
1 1 1 1
,1
, , ', ', ', ', ,
nn
n N k q n N k m q m q m q
t
a a b b b dt
1 1 1 1
21
' , ' , 1
,
exp
t
HH
n N n N
mq
i e e
k A t k A t dt
cc
Mặt khác ta có:
1 1 1 1
21
' , ' ,
HH
n N n N
ee
k A t k A t
cc
(36)
(37)
(38)
18
1 1 1 1
2 1 2 1
', ' ,
()
HH
n N n N
e
k k k k A t
mc
Thay (39) vào (38) ta đƣợc
12
1 1 2 2
, , , , ,n N k n N k
Ft
1
2 2 1 1
21
, , 0 1
exp
t
t
HH
n N n N
i e e
k A t k A t dt
cc
2 2 1
1
11
22
, , ' '
, , , ,
,,
1
2
n n z N N c n n
q n N k n N k q h q q
t
n N q
C I q J a q a a b b b
11
2
11
22
, , 1
, , , ,
1
2
n n z N N c
n N k q n N k q q h
t
I q J a q a a b b b dt
1
2 2 1 1
21
, , 0 1
exp
t
HH
n N n N
i e e
k A t k A t dt
cc
Mặt khác ta có:
2 2 1 1 2 2 1 1
2 1 2 1 2 1
, , , ,
H H H H
n N n N n N n N
e e e
k A t k A t k k k k A
c c mc
Thay (41) vào (40) ta đƣợc:
12
1 1 2 2
, , , , ,n N k n N k
Ft
1
2 2 1 1
21
, , 0 1
exp
t
t
HH
n N n N
i e e
k A t k A t dt
cc
2 2 1
1
11
22
, , ' '
, , , ,
,,
1
2
n n z N N c n n
q n N k n N k q h q q
t
n N q
C I q J a q a a b b b
11
2
11
22
, , 1
, , , ,
1
2
n n z N N c
n N k q n N k q q h
t
I q J a q a a b b b dt
(39)
(40)
(41)
(42)
19
Mặt khác từ (10) ta lại có :
1
0
1 2 1
2
( ) sin( ) sin( )
t
t
ieE q
ei
q A t dt t t
mc m
Với:
0
ieE q
m
Áp dụng công thức:
exp( sin ) ( )expiz J z i
(Với Jγ là hàm bessel)
Ta suy ra:
1
exp sin sin
i
tt
1
,
exp ( ) is
ls
ls
J J i l s t t t
Thay (42), (43), (44) và (45) vào (21) và chú ý:
1 1 1 1
2
* * *
, ' , '
, , , , ,
( ) ; ;
mm
n n z n n z
m q m q m q m q m q
I q I q C C C C c
Ta có:
2
2
2
,,
22
, ' , '
2
,
, , ', ' ,
,
()
11
2
n N p
m
n n z N N c
mq
n N n N m
mq
nt
i C I q J a q
t
1
,
exp ( ) is
ls
ls
J J i l s t t t
, , ', ',
1
t
n N k q n N k q q
dt n N n N
1
, ', ' 1
,
exp
HH
n N n N
mq
i
k k q s i t t
(43)
(44)
(45)
20
, , ', ',
1
n N k q n N k q q
n N n N
1
, ', ' 1
,
exp
HH
n N n N
mq
i
k k q s i t t
, , ', ',
( 1)
n N k q q n N k q
n N n N
1
', ' , 1
,
, , ', ',
exp
( 1)
HH
n N n N
mq
n N k q q n N k q
i
k q k s i t t
n N n N
1
', ' , 1
,
exp
HH
n N n N
mq
i
k q k s i t t
Phƣơng trình (46) là phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm
trong giếng lƣợng tử khi có mặt từ trƣờng trƣờng hợp phonon giam cầm và
lần đầu tiên đƣợc chúng tôi thu nhận. Trên cơ sở phƣơng trình (46), chúng ta
sẽ thu đƣợc hàm phân bố không cân bằng của điện tử
,,n N k
nt
những
tính toán về mật độ dòng điện và hệ số hấp thụ phi tuyến sẽ đƣợc trình bày ở
mục tiếp theo.
Để giải phƣơng trình (46) ta sử dụng phƣơng pháp gần đúng lặp liên
tiếp với
,,
,,
n N k
n N k
nn
Đặt k = l-s và lấy tích phân của (46) theo
1
t
sau
đó lấy tích phân theo t . Biểu thức của hàm phân bố không cân bằng của điện
tử có thể viết dƣới dạng:
2
2
2
22
, ' , '
,, , ,
', ',
11
()
2
n n z N N c
n N p q
n N q
n t C I q J a q
,
1
ik t
k s s
ls
e J J
k
(46)
21
', ', , ,
, , 0
1
n N p q n N p
HH
n N n N
n N n N
p p q s i
', ', , ,
, ', ' 0
1
n N p q n N p
HH
n N n N
n N n N
p p q s i
', ', , ,
', ' , 0
1
n N p n N p q
HH
n N n N
n N n N
p q p s i
', ', , ,
', ' , 0
1
n N p n N p q
HH
n N n N
n N n N
p q p s i
Phƣơng trình (47) là hàm phân bố không cân bằng của điện tử giam
cầm trong giếng lƣợng tử. Trong đó
,,
()
n N p
q
nN
là hàm phân bố cân bằng
của điện tử (phonon).
Mật độ dòng hạt tải điện trong giếng lƣợng tử đƣợc tính theo công thức :
, , , ,
, , , ,
( ) ( )
n N p n N p
n N p n N p
e e e
J t p A t n p n
m c m
Với
()At
là thế véc tơ của trƣờng lazer:
0
os
c
E
A t c t
Thay (49) vào (48) và đặt
0
,,
,
n N p
nN
nn
Với n
0
là nồng độ hạt tải trong hố lƣợng tử, ta có biểu thức cho véctơ mật độ
dòng trong giếng lƣợng tử:
2
0
0
,,
,,
( ) os( ) ,
n N p
n N p
e n E
e
J t c t p n
mm
(47)
(48)
(49)
(50)
22
Tính số hạng thứ hai ở vế phải của (50):
,,
,,
n N p
n N p
e
pn
m
2
2
2
22
, ' , '
,
, , ', ', ', ',
1
2
n n z N N c
q
n N p n N q n N q
e
C I q J a q
m
()
,
i kt
k s s
ls
p
e J J
k
', ', , ,
, , 0
1
n N p q n N p
HH
n N n N
n N n N
p p q s i
', ', , ,
, ', ' 0
1
n N p q n N p
HH
n N n N
n N n N
p p q s i
, , ', ',
', ' , 0
1
n N p n N p q
HH
n N n N
n N n N
p q p s i
, , ', ',
', ' , 0
0
1
n N p n N p q
HH
n N n N
n N n N
p q p s i
Trong tổng thứ nhất của (51) ta đổi ta đổi
q
thành -
q
, s thành –s rồi cộng
với số hạng thứ tƣ ; còn trong tổng thứ hai, ta đổi
q
thành
q
, s thành –s rồi
cộng với số hạng thứ ba và lƣu ý:
1J x J x J x
Ta có:
(51)
