Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
NGUYỄN VĂN DƯƠNG
DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội-2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
NGUYỄN VĂN DƯƠNG
DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội-2012
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người thầy đã hướng dẫn
và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý trong học tập và nghiên
cứu khoa học. Thầy luôn động viên khích lệ để tác giả vươn lên trong
học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu Trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và các thầy
cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận
lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả
Nguyễn Văn Dương
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Văn Dương
v
Mục lục
Bảng kí hiệu và viết tắt vii
Mở đầu x
Nội dung 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Không gian Banach và không gian đối ngẫu . . . . . . . 1
1.2 Hàm khả vi trên không gian Banach . . . . . . . . . . . 5
1.3 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Hàm Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Dưới vi phân Fréchet 13
2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản . . . . . . . . . . 13
2.2 Những phép tính sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Dưới vi phân Fréchet và đạo hàm theo hướng . . . . . . 33
2.4 Nón pháp Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Nón pháp và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Đối đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Ứng dụng 52
3.1 Nghiên cứu hàm giá trị tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . 54
vi
3.2 Nghiên cứu điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu . . . 58

3.3 Nghiên cứu tính chính quy metric của ánh xạ đa trị . . . 66
Kết luận 70
Tài liệu tham khảo 71
vii
Bảng kí hiệu và viết tắt
R : Tập hợp các số thực.
R : Tập số thực mở rộng.
X : Không gian Banach.
X
∗
: Không gian đối ngẫu của không gian Banach X.
X
∗∗
: Không gian liên hợp thứ hai của không gian X.
sup : Cận trên đúng.
inf : Cận dưới đúng.
F

(x, d) : Đạo hàm của F theo phương d tại x.
∇f (x) : Đạo hàm Fréchet (Gâteaux) của f tại x.
(∇f (x))
∗
: Đạo hàm liên hợp với ∇f (x).
Q : Hình nón.
F : X ⇒ Y : Ánh xạ đa trị từ X vào Y .
f : X → Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y .
domF : Miền xác định hữu hiệu của F .
gphF : Đồ thị của hàm F .
epif : Trên đồ thị của hàm f.
F

−1
: Y ⇒ X : Ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị F .
viii
x
∗
, x : Giá trị của hàm x
∗
tại x.
cl : Bao đóng.
co : Bao lồi.
cl co : Bao lồi đóng.
· : Chuẩn trong không gian Banach.
·
∗
: Chuẩn trong không gian đối ngẫu.
∂f (x) : Dưới vi phân Fréchet của f tại x.
∂
+
f (x) : Khả vi Fréchet trên của f tại x.
df (x) (z) : Đạo hàm dưới của f tại x theo hướng z.
d
w
f (x) (z) : Đạo hàm dưới yếu của f tại x theo hướng z.
N (x |Ω) : Nón pháp Fréchet với Ω tại x.
N ((x, y) |gphF ) : Nón pháp Fréchet với gphF tại (x, y).
Ω ⊂ X : Ω là tập con của X.
δ
Ω
(u) : Hàm chỉ δ
Ω

của Ω.
d
Ω
(u) : Hàm khoảng cách d
Ω
của Ω.
T (x |Ω) : Nón tiếp tuyến với Ω tại x.
T
w
(x |Ω) : Nón tiếp tuyến yếu với Ω tại x.
∂F (x, y) : Đối đạo hàm Fréchet của F tại (x, y).
µ (x) : Hàm giá trị tối ưu.
ix
B
ρ
(x) : Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ.
D
ρ
(x) : Hình cầu mở tâm x bán kính ρ.
lsc : Nửa liên tục dưới.
usc : Nửa liên tục trên.
u
f
→
x : u → x và f (u) → f (x).
u
Ω
→
x : u tiến đến x với u ∈ Ω.
u

w
→
x : u tiến đến x theo tôpô yếu trong X.
t ↓ 0 : t lớn hơn 0, t tiến đến 0.
x
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20
khi những nhà điều khiển học và những nhà lập trình phi tuyến muốn
tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ liệu không trơn hoặc với
những hàm không trơn xuất hiện trong những bài toán với dữ liệu trơn.
Hai ví dụ sau minh họa bản chất không trơn xảy ra trong những bài
toán với dữ liệu tưởng chừng như là trơn.
Ví dụ 1. Ta thường quan tâm đến bài toán cực đại của hai hoặc
nhiều hàm số. Cho f(x) = max(f
1
(x), f
2
(x)). Với những hàm trơn đơn
giản trên R, f
1
(x) = x và f
2
(x) = −x ta nhận được f(x) = |x| là một
hàm không trơn.
Ví dụ 2. Xét bài toán cực tiểu đơn giản sau: Cực tiểu hàm f(x)
với điều kiện g(x) = a và x ∈ R. Ở đây a ∈ R là một tham số cho phép
nhiễu của ràng buộc. Trong thực tế, vấn đề quan trọng là làm thế nào
để biết được mô hình tương ứng với nhiễu a. Để làm điều đó ta cần xét,
chẳng hạn, hàm giá trị tối ưu

µ (a) = inf {f (x) : g (x) = a} .
Như một hàm số của a. Xét một ví dụ cụ thể với hai hàm trơn
f(x) = 1 − cos x, g(x) = sin(6x) −3x và a ∈

−π
2
,
π
2

ứng với x ∈

−π
6
,
π
6

.
Ta có thể chỉ ra được hàm µ (a) không trơn (thực tế nó không liên tục).
Để xử lí linh hoạt với những bài toán như thế, nhiều khái niệm
xi
đạo hàm suy rộng đã được đưa ra để thay thế đạo hàm cổ điển: Dưới vi
phân hàm lồi, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Dini, dưới vi phân suy
rộng Clarke, đối đạo hàm Mordukhovich . . . (xem [6], [7], [8] và những
tài liệu dẫn trong đó).
Dưới vi phân có thể chia thành hai nhóm lớn: Dưới vi phân
“đơn ” và dưới vi phân “ngặt ”. Dưới vi phân đơn được định nghĩa tại một
điểm cố định và nó không được đưa vào tính chất vi phân của một hàm
trong một vùng lân cận của nó. Thường thường, dưới vi phân khái quát

hóa một số khái niệm tính khả vi cổ điển (Fréchet, Gâteaux, Dini, ).
Ngược lại với dưới vi phân đơn, định nghĩa của dưới vi phân
ngặt được hợp nhất với tính chất vi phân của một hàm gần một điểm
cố định. Thường thường, dưới vi phân ngặt có thể được biểu diễn như
giới hạn của dưới vi phân đơn.
Những khái niệm này không ngừng phát triển và ngày càng tỏ
ra có nhiều ứng dụng hiệu quả trong giải tích phi tuyến và lí thuyết tối
ưu (xem [5], [6], [7], [8] và những tài liệu dẫn trong đó). Trong những
khái niệm vi phân mới, dưới vi phân Fréchet cũng đã tỏ ra rất hiệu quả
trong ứng dụng. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên
cứu những khía cạnh khác nhau của lý thuyết dưới vi phân Fréchet (xem
[6], [7], [8]).
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong
muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học và những kiến thức
mới, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:
"Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng"
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu một cách hệ thống về dưới vi phân Fréchet như định
nghĩa, tính chất, phép tính sơ cấp, nón pháp, đạo hàm theo hướng, dưới
xii
vi phân, đối đạo hàm. . . và ứng dụng của dưới vi phân Frechet trong
vấn đề tối ưu hóa.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống, tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân Fréchet cùng
một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng.
Phạm vi: Những tính chất đơn giản và ứng dụng vào nghiên
cứu điều kiện cần tối ưu, hàm giá trị tối ưu và tính chính quy metric
của ánh xạ đa trị.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan
đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lý
thuyết tối ưu.
6. Dự kiến đóng góp mới
Nghiên cứu và làm rõ được khái niệm dưới vi phân Fréchet.
Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học
nghiên cứu và công bố về dưới vi phân Fréchet và ứng dụng.
1
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về
không gian Banach, hàm khả vi trên không gian Banach cùng những
tính chất, ánh xạ đa trị, hàm lồi và hàm Lipschitz. Những kiến thức
trình bày trong chương này được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3],
[4], [5], [6] và [10].
1.1 Không gian Banach và không gian đối ngẫu
Mục này trình bày những khái niệm, tính chất về không gian Banach
và không gian liên hợp. Cho X là một không gian vectơ trên tập số thực
R.
Định nghĩa 1.1.1 ([1], tr.11-12). Một chuẩn trong X, kí hiệu là ·, là
một ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các tiên đề sau:
Với ∀u, v ∈ X và α ∈ R
(i) u  0 (với u là một số thực không âm)
(ii) u = 0 nếu u = 0
(iii) αu = |α| . u
(iv) u + v  u + v (bất đẳng thức tam giác).
2
Số u gọi là chuẩn của u ∈ X.
Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn · xác định trong không

gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ·) hay đơn
giản là X.
Mệnh đề 1.1.1 ([1], tr.12). Cho X là một không gian định chuẩn với
chuẩn ·. Với ∀x, y ∈ X, đặt
d(x, y) = x − y .
Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.2 ([1], tr.21). Giả sử (X, ·) là một không gian định
chuẩn và X
0
là một không gian con của X. Dễ dàng thấy rằng hàm số
·
X
0
= · |
X
0
: X
0
→ R

x |
X
0
= x với ∀x ∈ X
0

là một chuẩn trên X
0
. Không gian định chuẩn


X
0
, ·
X
0

gọi là không
gian con của không gian định chuẩn (X, ·) .
Nếu X
0
đồng thời là tập đóng trong không gian X thì không gian
định chuẩn X
0
gọi là không gian con đóng trong không gian X.
Định nghĩa 1.1.3 ([1]. tr.12). Cho X là một không gian định chuẩn
với chuẩn ·. Nếu X với khoảng cách d(x, y) = x − y là một không
gian metric đủ, khi đó X được gọi là một không gian Banach.
Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được
kí hiệu là X. Chuẩn trong không gian Banach được kí hiệu là ·
X
hoặc
·.
Một số ví dụ về không gian Banach.
Ví dụ 1.1.2. Không gian X := R là không gian Banach trên trường số
thực với chuẩn u = |u| , ∀u ∈ R.
3
Ví dụ 1.1.3. Không gian l
2
bao gồm tất cả những dãy số x = (x
n

)
sao cho chuỗi
∞

n=1
|x
n
|
2
hội tụ với chuẩn x =

∞

n=1
|x
n
|
2
là không gian
Banach.
Ví dụ 1.1.4. Không gian C
([a,b])
gồm những hàm liên tục (giá trị thực
hoặc phức) trên một đoạn [a, b] với chuẩn f = max
[a,b]
|f (x)| là không
gian Banach.
Định nghĩa 1.1.4 ([1], tr.61). Cho X là một không gian định chuẩn
với chuẩn ·. Ánh xạ tuyến tính liên tục x
∗

: X → R gọi là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục xác định trên X.
Nếu x
∗
: X → R là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và x ∈ X thì
giá trị của x
∗
tại x được kí hiệu là x
∗
, x, nghĩa là x
∗
, x = x
∗
(x).
Dễ dàng chứng minh được rằng, tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên X với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ
tuyến tính với một số thực lập thành một không gian vectơ ( tuyến tính)
thực. Ta gọi không gian này là không gian liên hợp (hay không gian đối
ngẫu) của X và kí hiệu là X
∗
.
Định lí 1.1.5 ([1]). Không gian X
∗
với chuẩn xác định bởi
x
∗

∗
= sup
x=0

|x
∗
, x|
x
.
là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.5 ([1], tr.73). Không gian liên hợp của không gian X
∗
gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí
hiệu X
∗∗
. Như vậy
X
∗∗
= (X
∗
)
∗
.
Định lí 1.1.6 ([1], tr.85). Cho X là không gian Banach, X
∗∗
là không
gian liên hợp thứ hai của X. Khi đó, tồn tại một phép đẳng cự tuyến
4
tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X
∗∗
của không gian X.
Định nghĩa 1.1.6 ([1], tr.85). Không gian định chuẩn X gọi là không
gian phản xạ, nếu X = X
∗∗

.
Theo định lý 1.1.6 thì X đẳng cự tuyến tính với không gian liên
hợp thứ hai X
∗∗
của nó. Do đó không gian phản xạ là một không gian
Banach.
Định lí 1.1.7 ([1]. Định lý 3.2). Không gian con đóng của một không
gian phản xạ là không gian phản xạ.
Tôpô σ
G
sinh bởi metric của X
∗
trong định lí 1.1.5 nên gọi là tôpô
mạnh trong X
∗
.
Định nghĩa 1.1.7 ([5]). Tôpô σ
W
trong X
∗
gọi là tôpô yếu nếu một họ
các lân cận của x
0
là các tập có dạng
{x
∗
∈ X
∗
: x
i

∗∗
, x
∗
 < ε, i = 1, , k} , (1.1)
trong đó x
i
∗∗
∈ X
∗∗
, i = 1, , k và ε > 0.
Định nghĩa 1.1.8 ([5]). Tôpô σ
∗
trong X
∗
gọi là tôpô yếu * nếu một
họ các lân cận của x
0
là các tập có dạng
{x
∗
∈ X
∗
: x
i
∗
, x
i
 < ε, i = 1, , k} , (1.2)
trong đó x
i

∈ X, i = 1, , k và ε > 0.
Định nghĩa 1.1.9 ([5]). Tập A ⊂ X đóng (bị chặn, compact) theo tôpô
yếu trong X được gọi là tập đóng yếu (tương ứng , bị chặn, compact).
Tập A đóng (bị chặn, compact) theo tôpô yếu * trong X
∗
được gọi là
tập đóng yếu * (tương tự, bị chặn, compact yếu *).
5
1.2 Hàm khả vi trên không gian Banach
Mục này trình bày khái niệm các đạo hàm cổ điển: Đạo hàm theo
phương, đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet. Các kiến thức trình bày
trong phần này được lấy từ tài liệu [2]. Cho X, Y là những không gian
Banach trên một trường số thực R. Giả sử rằng F : X → Y là một ánh
xạ với miền xác định D (F ) = X.
Định nghĩa 1.2.1 ([2]. Định nghĩa 1.5). Cho d ∈ X và x ∈ X. Nếu giới
hạn
lim
t↓0
F (x + td) − F (x)
t
, (1.3)
tồn tại thì F có đạo hàm theo phương d tại x, kí hiệu là F

(x, d).
Định nghĩa 1.2.2 ([2]. Định nghĩa 1.6). Cho x ∈ X là một điểm cố
định. Ánh xạ F : X → Y được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu tồn tại
một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y thỏa mãn
lim
t→0





F (x + th) − F (x)
t
− A (h)




= 0 (1.4)
với mỗi h ∈ X, trong đó t → 0 trong R.
Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại x và giá trị của nó
tại h được kí hiệu là A (h) = dF (x, h).
Từ định nghĩa trên, đạo hàm Gâteaux của một ánh xạ từ X vào Y tại
x ∈ X là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Chú ý rằng nếu F là một
ánh xạ tuyến tính, thì dF (x, h) = F (h) hay dF (x) = F với ∀x ∈ X.
Nếu f là một hàm trên X, hay f : X → R, và f khả vi Gâteaux tại
x ∈ X, thì
df (x, h) =

d
dt
f (x + th)

t=0
và với mỗi x ∈ X cố định, df (x, h) là một hàm tuyến tính của h ∈ X.
6
Nhận xét 1.2.1. Nếu đạo hàm Gâteaux tồn tại thì nó là duy nhất.
Từ định nghĩa của đạo hàm thông thường có thể được suy rộng cho

một ánh xạ từ một không gian Banach vào một không gian Banach.
Điều này dẫn đến khái niệm đạo hàm Fréchet.
Định nghĩa 1.2.3 ([2]. Định nghĩa 1.8). Cho x là một điểm cố định
trong không gian Banach X. Một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y
được gọi là đạo hàm Fréchet của ánh xạ F : X → Y tại x nếu
F (x + h) − F (x) = Ah + r (h)
trong đó lim
h→0
r(h)
h
= 0, hay tương đương
lim
h→0
F (x + h) − F (x) − Ah
h
= 0.
Đạo hàm Fréchet tại x được kí hiệu là F

(x) hay dF (x) hay ∇f (x).
Nhận xét 1.2.2. Nếu đạo hàm Fréchet tồn tại thì nó là duy nhất.
Định lí 1.2.3. Nếu một ánh xạ có đạo hàm Fréchet tại một điểm, thì
nó có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm bằng nhau.
Ví dụ 1.2.4. Cho f : R
2
→ R : f (u
1
, u
2
) = −


|u
1
|
2
+ |u
2
|
2
với u
2
= u
2
1
và f (u
1
, u
2
) = 0 tương ứng. Hàm này khả vi Gâteaux (có đạo hàm bằng
0) nhưng không khả vi Fréchet tại (0, 0).
1.3 Ánh xạ đa trị
Mục này trình bày khái niệm của nón, định nghĩa ánh xạ đa trị và
ánh xạ ngược, tính chất liên tục của ánh xạ, tính metric chính quy. Các
kiến thức trình bày được lấy từ [4], [6], [10].
7
Định nghĩa 1.3.1 ([4]. Định nghĩa 1.1.1). Cho Y là không gian tuyến
tính và Q ⊆ Y . Ta nói rằng Q là nón trong Y nếu: tc ∈ Q với mọi
c ∈ Q, t  0.
Nón Q được gọi là nón lồi nếu Q là tập lồi.
Nón Q gọi là nón đóng nếu Q là tập đóng. Kí hiệu: l (Q) = Q ∩(−Q).
Nếu Q là nón lồi thì l (Q) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm

trong Q và nó được gọi là phần trong tuyến tính của nón Q.
Định nghĩa 1.3.2 ([6], trang 9-10). Cho X, Y là hai tập hợp bấy kì.
Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con
của Y ( được kí hiệu là 2
Y
). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như
vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập hợp con của Y . Không loại trừ khả
năng là với một số phần tử x ∈ X nào đó, ta có F (x) là tập rỗng. Ta
thường kí hiệu ánh xạ đa trị là
F : X ⇒ Y.
Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì
ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó ta kí hiệu:
F : X → Y.
Miền xác định hữu hiệu và đồ thị của F được định nghĩa như sau
domF = {x ∈ X |F (x) = φ} ,
gphF = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x) , x ∈ domF } .
Trong trường hợp Y là không gian tuyến tính với nón Q ⊂ Y , thì
trên đồ thị của F được định nghĩa
epiF = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x) + Q, x ∈ domF } .
Ánh xạ ngược F
−
1 : Y ⇒ X của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được xác
định bởi công thức
F
−1
(y) = {x ∈ X |y ∈ F (x)} , (y ∈ Y ).
8
Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không
gian Banach Y .
Định nghĩa 1.3.3 ([6], trang 19). Ta nói F là nửa liên tục trên tại

x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân
cận mở U của x sao cho
F (u) ⊂ V (∀u ∈ U).
Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi
là nửa liên tục trên ở trong X.
Định nghĩa 1.3.4 ([6], trang 20). Ta nói F là nửa liên tục dưới tại
x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V = φ tồn tại
lân cận mở U của x sao cho
F (u) ∩ V = φ (∀u ∈ U ∩ domF ).
Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi
là nửa liên tục dưới ở trong X.
Định nghĩa 1.3.5 ([6], trang 20). Ta nói F liên tục tại x ∈ domF nếu
F đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. Nếu F là liên
tục tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là nửa liên tục ở trên X.
Định nghĩa 1.3.6 ([10], tr.1725). Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ
không gian Banach X vào không gian Banach Y và điểm (x
0
, y
0
) ∈ gphF.
Ánh xạ F là metric chính quy gần điểm (x
0
, y
0
) nếu tồn tại k, r dương
sao cho
d

x, F
−1

(y)

 kd (y, F (x)) ,
với mọi x ∈ B (x
0
, r) và y ∈ B (y
0
, r).
9
1.4 Hàm lồi
Các kết quả về hàm lồi được lấy từ [3], [5]. Giả sử X là không gian
tuyến tính, A ⊂ X, f : A → R ∪ {±∞}.
Định nghĩa 1.4.1 ([3]. Định nghĩa 1.1). Tập A ⊂ X được gọi là tập lồi
nếu ∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0; 1] ta có
tx + (1 − t) y ∈ A
Định nghĩa 1.4.2 ([3]. Định nghĩa 2.1). Trên đồ thị của hàm f, ký hiệu
là epif, được định nghĩa như sau
epif = {(x, r) ∈ A × R : f (x)  r} .
Miền hữu hiệu của hàm f, ký hiệu là domf, được định nghĩa như sau
domf = {x ∈ A : f (x) < +∞} .
Hàm f được gọi là chính thường, nếu domf = ∅ và f (x) > −∞ (∀x ∈ A).
Định nghĩa 1.4.3 ([3]. Định nghĩa 2.2). Hàm f được gọi là lồi trên A
nếu epif là tập lồi trong X × R. Hàm f được gọi là hàm lõm trên A nếu
−f là hàm lồi trên A.
Nhận xét 1.4.1. Nếu f lồi thì domf lồi.
Ví dụ 1.4.2. Hàm chỉ δ (· |A) của tập lồi A ⊂ X là hàm lồi. δ (· |A) = 0
nếu x ∈ A và δ (· |A) = +∞ nếu x /∈ A.
Định lí 1.4.3 ([3]. Định lý 2.1). Giả sử D là tập lồi trong không gian
X, hàm f : D → (−∞, +∞]. Khi đó, f lồi trên D khi và chỉ khi
f (λx + (1 − λ) y)  λf (x) + (1 − λ) f (y) (∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ A)

(1.5)
10
Định nghĩa 1.4.4 ([3]. Định nghĩa 2.6). Hàm f : A → R ∪ {±∞} được
gọi là đóng nếu epif đóng trong X × R.
Định nghĩa 1.4.5 ([3]. Định nghĩa 2.9). Bao đóng của hàm f, kí kiệu
là f hay clf, được xác định như sau
epif = epif.
Bao lồi và bao lồi đóng của hàm f, kí hiệu là cof và cof(hay cl (cof)),
được xác định tương ứng như sau
epi (cof) = co (epif)
epi (cof) = co (epif)
Nhận xét 1.4.4. Hàm f đóng ⇔f = f.
Định nghĩa 1.4.6 ([5]). Một không gian tôpô X gọi là không gian lồi
địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận gồm toàn tập hợp lồi.
Cho X là không gian lồi địa phương, f : A → R ∪ {±∞}.
Định nghĩa 1.4.7 ([3]. Định nghĩa 2.11).
(i) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (lsc) tại x ∈ X (f (x) < ∞) nếu
với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho
f (x) − ε < f (y) (∀y ∈ U).
(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (lsc), nếu f nửa liên tục dưới
tại mọi x ∈ X.
(iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (usc) tại x ∈ X (f (x) < ∞)
nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho
f (x) < f (y) + ε (∀y ∈ U).
11
(iv) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (usc), nếu f nửa liên tục trên
tại mọi x ∈ X.
Cho X là không gian tuyến tính, X
∗
là không gian liên hợp (không

gian đối ngẫu) của X, f là hàm xác định trên X.
Định nghĩa 1.4.8 ([3]. Phép biến đổi Young- Fenchel). Hàm liên hợp
của f được xác định trên X
∗
như sau
f
∗
(x
∗
) = sup
x∈X
{x
∗
, x − f (x)} .
Từ định nghĩa ta suy ra
f
∗∗
(x) = (f
∗
)
∗
(x) = sup
x
∗
{x
∗
, x − f
∗
(x
∗

)} .
Định nghĩa 1.4.9 (Không gian Asplund). Không gian Banach X gọi
là không gian Asplund nếu mọi hàm lồi liên tục trên tập lồi, mở U ⊂ X
là hàm khả vi Fréchet tại những điểm của tập trù mật U
0
⊂ U.
1.5 Hàm Lipschitz
Mục này trình bày định nghĩa hàm Lipschitz . Kiến thức trình bày ở
đây được lấy trong [2]. Cho X là không gian Banach, ánh xạ f : X → R.
Định nghĩa 1.5.1 ( Hàm Lipschitz). Hàm f được gọi là Lipschitz địa
phương tại x ∈ X hay Lipschitz ở gần x, nếu tồn tại lân cận U của x,
số k > 0 sao cho
(∀u, v ∈ U) |f (u) − f (v)|  k u − v . (1.6)
Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y ⊂ X, nếu f
Lipschitz địa phương tại mọi u ∈ Y .
Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz k trên tập Y ⊂ X,
nếu (1.6) đúng với mọi u, v ∈ Y .
12
Trong chương này chúng ta đã trình bày một cách hệ thống các kiến
thức về không gian Banach, hàm số khả vi trên không gian Banach, hàm
lồi, hàm Lipschitz, trong đó có đưa vào một số ví dụ minh họa.
13
Chương 2
Dưới vi phân Fréchet
Chương này trình bày định nghĩa và tính chất cơ bản của dưới vi phân
Fréchet, những phép tính sơ cấp, nón pháp và đạo hàm theo hướng, nón
pháp và dưới vi phân, đối đạo hàm. Các kết quả chủ yếu được chọn từ
tài liệu [7], [9].
Các khái niệm thông thường được sử dụng xuyên suốt trong chương
này. X và Y được kí hiệu là không gian Banach và X

∗
và Y
∗
là không
gian đối ngẫu của chúng. x
∗
, x là giá trị của hàm x
∗
tại x. B
ρ
(x) là một
hình cầu đóng tâm x bán kính ρ. Chúng ta kí hiệu B
ρ
thay cho B
ρ
(0).
Các chuẩn trong không gian Banach và không gian đối ngẫu được kí
hiệu tương ứng bởi · và ·
∗
.
2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản
Dưới vi phân Fréchet được biết đến từ nhiều năm trước. Lần đầu
tiên được giới thiệu trong không gian hữu hạn chiều ([7] và tài liệu dẫn
trong đó) dưới cái tên nửa vi phân dưới (lower semidifferentials). Một
số tính chất của chúng trong không gian hữu hạn chiều đã được nghiên
cứu trong [7].
Định nghĩa 2.1.1 ([7], trang 3326). Cho X là không gian Banach trên