Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và bài tập hình học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (449.85 KB, 48 trang )
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận này tôi gặp rất nhiều khó
khăn và bỡ ngỡ. Nhưng dưới sự chỉ bảo tận tình của Giảng viên Bùi Văn Bình,
tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành khóa luận với đề tài “Phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng và bài tập hình học”. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ
nhiệt tình của thầy.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa
Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo
điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Phạm Thị Kiều Trang
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Giảng
viên Bùi Văn Bình cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên
cứu tôi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài
liệu tham khảo)
Tôi xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu
của bản thân không trùng lập với bất kì kết quả nào khác.
Sinh viên
Phạm Thị Kiều Trang
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU 1
1.Lý do chọn đề tài. 1
2.Mục đích nghiên cứu: 2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài: 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu: 2
5.Các phương pháp chính: 2
NỘI DUNG 3
CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỌA ĐỘ 3
A. TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC. 3
1. VECTƠ 3
2.TRỤC TỌA ĐỘ 3
2.1 Tọa độ của vectơ trên trục. 3
2.2 Tọa độ của điểm trên trục. 4
B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. 4
1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. 4
2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. 4
3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. 5
4. ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC. 5
5. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG. 6
C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. 6
1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 6
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
2. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG. 7
3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG. 7
4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG. 7
5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. 8
6.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. 9
7.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. 10
CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ. 11
A. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HƯỚNG
KHI GIẢI TOÁN. 11
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 12
I. DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN 12
KẾT LUẬN 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
1
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài.
Môn toán là một trong những môn học quan trọng hàng đầu trong chương
trình giáo dục phổ thông. Nó không chỉ là cơ sở, tiền đề để học tốt các môn
học khác mà còn có ứng dụng rất quan trọng trong thực tế. Trong đó phương
pháp tọa độ là phương pháp toán học cơ bản kết hợp với phương pháp tổng
hợp để nghiên cứu những đối tượng và quan hệ hình học trên mặt phẳng và
trong không gian.
Nó là công cụ để giải các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài chứng minh
mà không giải được bằng suy luận.
Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã thiết lập mối quan hệ mật thiết giữa
hình học và đại số là hai ngành toán học phát triển theo hai hướng khác nhau
của toán học.
Phương pháp tọa độ là phương pháp chuyển các yếu tố hình học về các
yếu tố đại số.
Nhằm tạo cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề có nhiều góc cạnh khác
nhau và cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải các bài toán hình học
phẳng.
Vì thế, việc đưa ra phương pháp tọa độ vào phương trình hình học là
nhằm hiện đại hóa môn học. Đồng thời sẽ giúp học sinh có thêm một công cụ
mới để diễn đạt, suy luận, để suy nghĩ về toán học theo một phương pháp khác
với các phương pháp quen thuộc từ trước tới nay.
Xuất phát từ những lý do trên, tôi đi đến quyết định chọn đề tài nghiên
cứu: “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học” để làm đề
tài nghiên cứu khoa học của mình.
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
2
2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh giải quyết một bài toán hình học phẳng bằng nhiều cách
giải khác nhau.
Giới thiệu cho học sinh làm quen với phương pháp tọa độ để cho học sinh
thấy được những ứng dụng rộng rãi và tính ưu việt của phương pháp này.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài:
1. Đối tượng nghiên cứu:
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học.
2. Phạm vi nghiên cứu:
Vì lý do thời gian và trình độ của mình nên trong phạm vi của đề tài nghiên
cứu này tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán điển hình trong hình học phẳng với
kiến thức không vượt quá chương trình toán học lớp 10 trung học phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương pháp tọa độ mà
học sinh đã học.
Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quan
trọng của phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng ở phổ
thông.
5. Các phương pháp chính:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận.
- Phương pháp quan sát.
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
3
NỘI DUNG
CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ
TỌA ĐỘ
A. TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC.
1. VECTƠ
Vectơ
AB
: A là điểm đầu, B là điểm cuối.
Khi A trùng với B gọi là vectơ không:
0
AB
: độ dài của vectơ
AB
2.TRỤC TỌA ĐỘ
Trục tọa độ(còn gọi là trục hay trục số)là 1 đường thẳng trên đó đã xác định 1 điểm
O và một vectơ
i
có độ dài bằng 1.
Điểm O gọi là gốc tọa độ , vectơ
i
gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ.
2.1 Tọa độ của vectơ trên trục.
AB =m
i
( số thực m là số duy nhất được gọi là tọa độ của vectơ
AB
)
Nếu A,B có tọa độ lần lượt là a,b. Khi đó:
AB
có tọa độ là (b-a)
x x’
O
i
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
4
2.2 Tọa độ của điểm trên trục.
Cho điểm A trên trục x’Ox. Khi đó
OA ai
thì A được gọi là tọa độ của điểm
A trên trục.
Cho điểm
1 2
;A a a
, điểm B
1 2
;b b
. Khi dó điểm
;M x y
là trung điểm của
AB thì:
1 1
2 2
2
2
M
M
a b
x
a b
y
B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
Trên mặt phẳng cho 2 trục
'xOx
(vectơ đơn vị
i
),
'y Oy
(vectơ đơn vị
j
) vuông
góc với nhau tại O. Hệ gồm 2 trục nói trên gọi là hệ trục tọa độ, kí hiệu
0; ;Oxy hay i j
Điểm O gọi là gốc tọa độ
Trục Ox gọi là trục hoành
Trục Oy gọi là trục tung
2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
-Đối với hệ trục tọa độ
; ;o i j
, nếu
a xi y j
thì cặp số
;x y
được gọi là tọa
độ của vectơ
a
, ký hiệu là
; ;a x y hay a x y
-Tính chất:
y
0
x’
y’
i
x
j
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
5
Nếu
' '
; à ;u x y v v x y
thì:
' '
;
u v x x y y
;ku kx ky
2 2
u x y
3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho điểm M. Khi đó tọa độ OM gọi là tọa
độ điểm M đối với hệ
Oxy
.
;OM xi y j M x y
*Định lý:
' '
; , ;A x y B x y
thì:
' '
2 2
' '
;AB x x y y
AB AB x x y y
4. ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC.
Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k nếu:
MA k MB
Nếu
' '
; à ;A x y v B x y
và M chia AB theo tỷ số
1k
thì điểm M có tọa
độ là:
' '
,
1 1
M M
x kx y ky
x y
k k
Đặc biệt nếu M là trung điểm đoạn AB thì:
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
6
'
'
2
2
M
M
x x
x
y y
y
5. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG.
Nếu :
1 2
;a a a
1 2
;b b b
thì
1 1 2 2
.
a b a b a b
C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm
0 0
;I x y
và vectơ
; 0
n a b
Gọi
là đường thẳng đi qua I,
có vectơ pháp tuyến là
n
thì
phương trình đường thẳng có dạng:
0 0
0
a x x b y y
Hay:
2 2
0 0 (1)
ax by c a b
Khi đó phương trình (1) được gọi là
phương trình tổng quát của
.
x
y
I
0
M
n
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
7
2. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
Cho đường thẳng (d) có phương trình:
y kx m
, hệ số k được gọi là hệ số
góc của đường thẳng (d).
Điều kiện để 2 đường thẳng song song với nhau là:
'
'
k k
m m
Điều kiện để 2 đường thẳng vuông góc với nhau là:
'
. 1k k
3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
,
cho đường thẳng
đi qua điểm
0 0
;I x y
và có vectơ chỉ phương
;u a b
thì phương
trình đường thẳng có dạng:
0, 0
I x y
2 2
0
0
0 (1)
x x at a b
y y bt
Hệ (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng
với tham số t.
4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG.
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng
có phương trình tổng quát:
x
y
0
,M x y
u
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
8
2 2
a 0 0
x by c a b
d M
Thì khoảng cách từ M tới
được tính bởi công thức:
2 2
a
;
M M
x by c
d M
a b
5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Xét 2 đường thẳng
1 2
à
v
có phương trình tổng quát lần lượt là:
1 1 1 2 2 2
0 à 0
a x b y c v a x b x c
Tọa độ giao điểm
1 2
à
v
là nghiệm của hệ phương
trình:
1 1 1
2 2 2
0
1
0
a x b y c
a x b y c
Ta có các trường hợp sau:
a, Hệ (1) có một nghiệm
0 0
;x y
, khi đó
1 2
tại điểm
0 0
;
o
M x y
.
b, Hệ (1) có vô số nghiệm, khi đó
1 2
c, Hệ (1) có vô nghiệm, khi đó
1 2
à
v
không có điểm chung, hay
1 2
/ / .
y
x
0
M’
M
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
9
6. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
* Định nghĩa
Hai đường thẳng
1 2
à
v
cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất của
các góc đó được gọi là số đo của góc giữa 2 đường thẳng
1 2
à
v
, hay đơn
giản là góc giữa
1 2
à
v
Khi
1
song song hoặc trùng với
2
ta quy ước góc giữa chúng bằng
0
0
*Kí hiệu:
1 2
;
, hoặc
1 2
;
Chú ý:
0
1 2
0 ; 90
*Công thức:
Xét 2 đường thẳng
1 2
à
v
có phương trình tổng quát lần lượt là:
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
Các vectơ pháp tuyến của
1 2
à
v
lần lượt là:
1 1 1 2 2 2
; ; ;n a b n a b
Ta có công thức tính góc giữa 2 đường thẳng
1 2
à
v
là:
1
n
2
2
n
2
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
10
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
os
a a bb
c
a b a b
7.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C),
có tâm
0 0
,I x y
và bán kính R.
Điểm
,M x y
thuộc đường tròn (C) và chỉ
Khi
IM R
, hay là phương trình của đường
tròn :
2 2
0 0
x x y y R
(1)
Ta gọi phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C).
y
y
0
y
0
0
x
I
M
x
x
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
11
CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
PHẲNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
A. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
HƯỚNG KHI GIẢI TOÁN.
Với nhiều bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học như:
thẳng hàng, song song, vuông góc … hay chứa yếu tố khoảng cách, nếu ta chọn
hệ tọa độ thích hợp thì có thể chuyển thành bài toán đại số với các quan hệ giữa
những số , những chữ, những vectơ và những phép toán các bài toán đại số này
có thể giải được dễ dàng.
Việc giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ đòi hỏi học sinh
phải được luyện tập, vận dụng tổng hợp những kiến thức có liên quan.
Học sinh cần nắm được các bước giải một bài toán bằng phương pháp tọa
độ:
+ B1: Chọn hệ tọa độ thích hợp
+ B2: Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ tọa độ
+ B3: Dùng các kiến thức tọa độ để giải
+ B4: Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học.
Trong phạm vi bài viết này, tôi xin đưa ra ba dạng bài toán có thể sử dụng
phương pháp tọa độ để giải (có so sánh với phương pháp tổng hợp) đó là:
- Bài toán tính toán
- Bài toán chứng minh
- Bài toán tìm quỹ tích
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
12
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
I. DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN
Đối với những bài toán tính toán thì việc giải bằng phương pháp sơ cấp đôi
khi rất khó khăn, phức tạp. Do vậy phương pháp tọa độ sẽ là công cụ giải toán
tói ưu cho loại bài toán này (vì nó thường liên quan đến khoảng cách mà
phương pháp tọa độ thường cho ta biểu diễn khoảng cách các điểm một cách dễ
dàng).
Bài toán 1:
Trên trục x’Ox cho 3 điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a,b,c. Tìm tọa độ điểm
M sao cho :
0
MA MB MC
(1)
Lời giải
Theo giả thiết ta có
MA
có tọa độ a – x (x la tọa độ điểm M)
MB
có tọa độ b – x
MC
có tọa độ c – x
Vậy (1)
a – x + b – x + c – x = 0
x =
3
a b c
Bài toán 2:
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;3), B(-1;1), C(6;0). Hỏi tam
giác ABC la tam giác gì?
Lời giải
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
13
Ta có:
2 2 2 2
3 4 5
B A B A
AB x x y y
2 2 2 2
4 3 5
C A C A
AC x x y y
Vậy AB = AC nên tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A (1)
Lại có:
2 2 2
50AB AC BC
tam giác ABC vuông ở A (2)
Từ (1) và (2)
tam giác ABC vuông cân đỉnh A.
Bài toán 3:
Cho 3 điểm A(4;6); B(5;1); C(1;-3)
a. Tính chu vi tam giác ABC
b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính đường
tròn đó.
Lời giải
a, Ta có
2 2
2 2
1 5 26
B A B A
AB x x y y
2 2
2 2
4 4 4 2
C B C B
BC x x y y
2 2
2 2
3 9 3 10
C A C A
AC x x y y
Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC =
26 4 2 3 10
b,Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, giả sử O có tọa độ (x;y)
Ta có:
OA OB OC
hay
2 2 2
OA OB OC
2 2
2
4 6
OA x y
2 2
2
5 1
OB x y
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
14
2 2
2
1 3
OC x y
Vậy:
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
4 6 5 1
13/ 4
5 / 4
4 6 1 3
x y x y
OA OB x
y
OA OC
x y x y
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: O(13/4;5/4)
Bán kính là:
2 2
2
13 5 185 185
4 6
4 4 8 8
OA R OA
Bài toán 4
Cho đường tròn (O;R) và 2 dây cung bất kỳ AB và CD vuông góc với
nhau.Hãy tính
2 2
AB CD
và tìm P để
2 2
AB CD
lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải
Đặt hệ trục O sao cho sao cho:
Ox // CD, Oy // AB
Gọi P(
0; 0
x y
)
2 2 2
0 0
x y R
:
2 2
0 0
2 2
0
2 2
0
2 2
0
;
;
;
;
o
o
o
A x R x
B x R x
C R y y
D R y y
2 2
2 2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2
o o
AB CD x x R x R y y y
P
A
B
C
D
O
x
x
0
y
y
0
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
15
=
2 2 2
0 0
8 4
R x y
=
2 2
8 40R P
Vậy
2 2 2 2
8 40AB CD R P
và
2 2
AB CD
lớn nhất
O P
2 2
AB CD
nhỏ nhất
P
đường tròn tâm O.
Bài toán 5
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm M(1;3); N(4;2)
a. Tìm tọa độ điểm P thuộc trục Ox và cách đều 2 điểm M và N.
b. Tính chu vi và diện tích tam giác OMN.
c. Phân giác trong của góc MON cắt MN tại E. Tìm tọa độ của E.
Lời giải
a.
Giả sử P
0
;0
x
, theo giả thiết ta có:
PM=PN
0
5
3
x
Vậy P
5
;0
3
b.
Ta có OM =
1 9 10
2
x
1
4
P
O
3
y
M
N
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
16
MN =
9 1 10
ON =
16 4 2 5
Vậy chu vi tam giác OMN là: OM+MN+ON=2
5 10
Gọi I
;
I I
x y
là trung điểm của ON
2
I
x
và
1
I
y
Độ dài đường cao MI =
2 2
1 2 3 1 5
Vậy diện tích tam giác OMN là:
1 1
. .2 5. 5 5
2 2
OMN
S ON MI
(đơn vị diện
tích)
c.
Vì OE là phân giác của
MON nên ta có:
10 2
2
2 5
EM OM
EN ON
2
2
EM EN
điểm E chia đoạn MN theo tỉ số
2
2
nên ta có:
2
1 .4
2 4 2
2
2 2 2
1
2
2
3 .2
6 2 2
2
2 2 2
1
2
E
E
x
y
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
17
Bài toán 6
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho
ABC
có trọng tâm G
2;0
. Biết
phương trình các cạnh AB, BC theo thứ tự là
4 14 0,2 5 0x y x y
. Tìm
tọa độ các đỉnh A, B, C.
Lời giải
Ta có;
A AB AC
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
4 14 0 4
2 5 2 0 2
x y x
x y y
Hay A(-4;2)
( ; 4 14)B AB B b b
2 1
;
5 5
C AC C c c
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
4 6
3 ( 3; 2)
2 1
1 (1;0)
2 4 14
5 5
b c
b B
c C
b c o
Vậy A(-4;2), B(-3;-2), C(1;0)
Bài toán 7
Cho
ABC
cân tại A, BC=a, đường cao AH=h. Gọi K là hình chiếu của B
lên cạnh AC. Tìm điều kiện của a, h để K thuộc cạnh AC khi đó hãy tính AK?
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
18
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: H(0;0), A(0;h), B(-a/2;0)
Giả sử: K(x;y)
Từ giả thuyết ta có:
BK AC
AK AC
cùng phương
. 0
.( ) ( ) 0
2
BK AC
a
x h y h
2
2 4 0
2 0
ax hy a
hx ay ab
2
2 2
2
2 2
(4 )
2( 4 )
2
4
a h a
x
a h
a h
y
a h
Để K thuộc cạnh AC ta phải có x > 0 và y > 0 (y > 0 hiển nhiên do h>0)
Để x>0 phải có
2 2
4 0 2h a h a
Vậy với 2h>a thì K ∈ AC
Với A(0;h),
2 2 2
2 2 2 2
(4 ) 2
;
2 4 4
a h a a h
K
a h a h
Ta có:
2
2
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
4 4
2
0
2( 4 ) 4 4 4
a h a h a
a h
AK h
a h a h a h
A
B
H
C
x
y
h
O
K
a
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
19
Vậy
2 2
2 2
4
2 4
h a
AK
a h
Kết luận: Để K thuộc cạnh AC phải có : 2h>a, khi đó
2 2
2 2
4
2 4
h a
AK
a h
Bài toán 8
Với M là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp
ABC
. Hãy tính giá trị:
4 4 4
MA MB MC
Lời giải:
Gọi (I; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC
Chọn hệ trục tọa độ, ta chọn đường cao AH làm trục hoành.
Đương thẳng vuông góc với AH tại A làm trục tung.
Vậy A(0;0) làm gốc tọa độ
y
x
A
B
C
I
H
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
20
AI=R
AH=
3
2
AI=
3
2
R
Trong hệ tọa độ đã chọn ta có: I(R;0); B(
3
2
R
;
B
y
);C(
3
2
R
;
C
y
)
Ta có:
0
3 3
: 3
tan60 2 2
B
AH R R
y BH
3
2
c B
R
y y
Suy ra
3 3 3 3
; ; ;
2 2 2 2
R R R R
B C
Giả sử M(x;y) ∈ (I;R)
Ta có:
2
2 2 2 2 2 2
2MI R MI R x R y R x y Rx
Ta lại có:
4 4 4
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
MA MB MC
R R R R
x y x y x y
2 2
2
2 2
2 3 3 3 3Rx R Rx R y R Rx R y
2 2 4 3 2 2
6 18 12 6
R x R R x R y
2 2 2 4 3
6 18 12
R x y R R x
2
6R
∙
4 3
2 18 12Rx R R x
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học
21
3 4 3 4
12 18 12 18R x R R x R
Vậy
4 4 4 4
18MA MB MC R
Bài toán 9
Cho ∆ABC, đường phân giác trong và ngoài góc C của ∆ABC cắt đường
thẳng AB tại L và M sao cho CL=CM. Hãy tính AC
2
+ BC
2
theo R.
Lời giải
Từ giả thiết
CL CM
CL CM
∆MCL vuông cân ở C
Chọn hệ tọa độ:
Chọn đường thẳng chứa A,B làm trục hoành.
Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB làm trục tung.
O làm gốc tọa độ như hình vẽ.
Khi đó ta có O(0;0), A(a;0), C(0;c).
A
C
O
L
B
M
X
Y
